Сумма двух углов параллелограмма равно 50 градусов.Найдите один из оставшихся углов.Ответ
На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки D и E соответственно. X — точка пересечения отрезков BE и CD. В точке B находится масса 8. Какие ма … ссы надо поместить в точки A и C, чтобы центр масс попал в точку X, если AD:DB=1:2, AE:EC=2:1?
Около правильного шестиугольника, сторона которого равна 17 см, описан круг. Вычисли площадь круга (π=3,14) (ответ округли до сотых): см2.
АВ -перпендикуляр, АМ і АК — похилі, проведені з точки А до прямої m, ВМ і ВК їх відповідні проекції причому МВ більше ВК. Яка нерівність правильна?
При каких условиях можно утверждать, что точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности? Четвёрки точек (A,C,D,E), (B,C,D,E), (C,D,E,F) лежат на одн … ой окружности Четвёрки точек (A,C,D,E), (B,C,D,E), (C,D,E,F) лежат на одной окружности и ABCDEF — выпуклый шестиугольник Четвёрки точек (A,B,C,D), (C,D,E,F), (A,B,E,F) лежат на одной окружности Четвёрки точек (A,B,C,D), (C,D,E,F), (A,B,E,F) лежат на одной окружности и ABCDEF — выпуклый шестиугольник Четвёрки точек (A,B,C,D), (B,C,D,E), (A,C,D,E) лежат на одной окружности Четвёрки точек (A,B,C,D), (B,C,D,E), (A,C,D,E) лежат на одной окружности и ABCDEF — выпуклый шестиугольник
В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены равенства BC=AD, ∠BAC=∠ACD. Какого из следующих условий достаточно потребовать, чтобы четырёхугольник оказа … лся вписанным? AB≠CD ∠BCA>90∘ AD>AB ∠ABC≠∠ADC BD не перпендикулярен AC BC не параллелен AD ∠BCA≠∠CAD ∠ABC=90∘
В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнены равенства BC=CD, ∠BAC=∠CAD. Какого из следующих условий достаточно потребовать, чтобы четырёхугольник оказа … лся вписанным? Выберите все правильные варианты ответа. AB≠AD AD>BC ∠BCA>90∘ ∠ADC>90∘ ∠ABC=90∘ BD не перпендикулярен AC BD перпендикулярен AC ∠ABC≠∠ADC ∠BCA≠∠ACD
Про четырёхугольник ABCD известно, что AB=BC, DB — биссектриса угла D, ∠ABD=30∘, ∠ADB=40∘.
Чему может быть равен угол ACB? (не один ответ)
допоможіть будь ласка з завданням!!!
Допоможіть з завданням 284 будь ласка!!!
Завдання 282;283; дуже прошу!!!
Задания по теме: «Углы параллелограмма»
Задания для подготовке к ОГЭ 8 класс Тема: Параллелограмм. Углы. Вариант 1 | Задания для подготовке к ОГЭ 8 класс Тема: Параллелограмм. Углы. Вариант 2 | ||
1) Один из углов параллелограмма равен 41°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 2) Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах. 3) Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 40° и 35°. 4) Сумма двух углов параллелограмма равна Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 5) Один угол параллелограмма на 52 больше другого. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 6) Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. 7) В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AD, из точки В равна 3, а сторона параллелограмма AB равна 4. Найдите синус угла С. 8) В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 1) Один из углов параллелограмма равен 96°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. 2) Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах. 3) Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 4) Сумма двух углов параллелограмма равна 10 Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 5) Один угол параллелограмма на 40 меньше другого. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 6) Один угол параллелограмма в три раза меньше другого. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. 7) В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AD, из точки В равна 6, а сторона параллелограмма AB равна 10. Найдите косинус угла С. 8) В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=36°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | ||
Задания для подготовке к ОГЭ 8 класс Тема: Параллелограмм. Углы. Вариант 3 | Задания для подготовке к ОГЭ 8 класс Тема: Параллелограмм. Углы. Вариант 4 | ||
1) Один из углов параллелограмма равен 102°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 2) Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 44°. Ответ дайте в градусах.
| 1) Один из углов параллелограмма равен 33°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте 2) Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 40°. Ответ дайте в градусах. 3) Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах. 4) Сумма двух углов параллелограмма равна 78 Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. 5) Один угол параллелограмма на 76 меньше другого. 6) Один угол параллелограмма в 17 раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. 7) В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AD, из точки В равна 24, а сторона параллелограмма AB равна 25. Найдите косинус угла С. 8) В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=103°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. |
Ответ дайте
Найдите меньший
Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.Задание для подготовки:
1) Один из углов параллелограмма равен 61°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте
в градусах.
2) Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте
в градусах.
3) Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
4) Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°.
Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
5) Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 40°.
Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
6) Сумма двух углов параллелограмма равна 202 Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
7) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
8) Один угол параллелограмма в 8 раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
9) В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=21°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
ОТВЕТЫ:
Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | |
1 | 139 | 84 | 78 | 147 |
2 | 30 | 82 | 88 | 80 |
3 | 105 | 45 | 65 | 65 |
4 | 149 | 129 | 108 | 141 |
5 | 116 | 110 | 120 | 128 |
6 | 60 | 135 | 175 | 10 |
7 | 0,75 | 0,8 | 0,5 | 0,28 |
8 | 38 | 72 | 5,5 | 38,5 |
Решение задач по теме «Четырехугольники»
Сумма двух углов параллелограмма равна 80 о .
Найдите один из оставшихся углов.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 140 о .
Один угол параллелограмма больше другого на 40 о . Найдите больший угол.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 110 о .
Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25 о и 35 о . Найдите больший угол параллелограмма.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 120 о .
Периметр параллелограмма равен 48. Одна сторона параллелограмма на 2 больше другой. Найдите большую сторону параллелограмма.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 13.
Меньшая сторона прямоугольника равна 5, диагонали пересекаются под углом 60 о . Найдите диагонали прямоугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 10.
Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите меньший из углов, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника?
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 30 о .
Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен 34, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 13.
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки длиной 4 и 5. Найдите меньшую сторону данного прямоугольника.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 4.
В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 5. Найдите периметр этого квадрата.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 40.
Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 4, один из углов равен 45 о .
Найдите высоту трапеции.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 1.
Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 5 и 2. Найдите среднюю линию этой трапеции.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 5.
Средняя линия трапеции равна 30, а меньшее основание равно 20. Найдите большее основание.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 40.
В равнобедренной трапеции основания равны 13 и 28, острый угол равен 60. Найдите ее периметр .
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 71.
Периметр трапеции равен 50 см, а сумма непараллельных сторон равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 15.
Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону данной трапеции.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 20.
Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите большее основание трапеции.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 9.
Периметр прямоугольника ABCD равен 54. Точка
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 9.
В параллелограмме ABCD высота DH делит сторону AB пополам. Найдите диагональ BD , если периметр параллелограмма равен 6 и превышает периметр треугольника ABD на 1.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 2.
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 10.
Основания трапеции относятся как 5:2, а их разность равна 18 см. Найдите среднюю линию трапеции.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 21.
Найдите меньший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3:7.
В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой
Ответ: 54.
Учителя математики Карамышева Елена Евгеньевна и Камышева Юлия Владимировна лиен г. Саратов
Учителя математики Карамышева Елена Евгеньевна и Камышева Юлия Владимировна ЛИЕН г. Саратов.
Вариант 1 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 940 . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 44. Одна сторона параллелограмма на 6 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в три раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 3:17, а периметр его равен 20. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 220. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 760. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма
образует с двумя его сторонами углы
670 и 210. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 11. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 560 . Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 29:43. Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 32. Найдите его большую сторону. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 45. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Найдите больший угол параллелограмма.
Ответ дайте в градусах.Вариант 1 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 940 . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 44. Одна сторона параллелограмма на 6 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в три раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 3:17, а периметр его равен 20. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3)
Разность углов, прилежащих к одной
стороне параллелограмма, равна 220. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 760. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 670 и 210. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 11. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 560 . Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 29:43. Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 32. Найдите его большую сторону. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 45. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Найдите меньший угол параллелограмма.
Ответ дайте в градусах.Вариант 1 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
Вариант 2 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1)
Один угол параллелограмма больше
другого на 780.
Найдите больший угол. | 7) Периметр параллелограмма равен 86. Одна сторона параллелограмма на 33 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в восемь раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 1:19, а периметр его равен 80. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1260. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 540. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 360 и 210. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 5:8, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 36. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 380. Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как7:11 . Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 13. Найдите его большую строну. | 12) Боковая сторона равнобедренного
треугольника равна 31. |
Ответ дайте в
градусах.
Из точки, взятой
на основании этого треугольника,
проведены две прямые, параллельные
боковым сторонам. Найдите периметр
получившегося параллелограмма.Вариант 2 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 780. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 86. Одна сторона параллелограмма на 33 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в восемь раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 1:19, а периметр его равен 80. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1260. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 540. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 360 и 210. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 5:8, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 36. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 380. Ответ дайте в градусах. | 11)
Найдите больший угол параллелограмма,
если два его угла относятся как7:11 . |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 13. Найдите его большую строну. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 31. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Ответ дайте в градусах.Вариант 3 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 960 . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 40. Одна сторона параллелограмма на 4 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в пять раз больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 7:13, а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1100. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 220. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 250 и 130. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла
параллелограмма делит противоположную
сторону в отношении 2:7, считая от
вершины острого угла. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 340 . Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 17:19. Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 1. Найдите его большую сторону. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Найдите большую
сторону параллелограмма, если его
периметр равен 88.Вариант 4 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 160. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 42. Одна сторона параллелограмма на 4 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в пять раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 2:3, а периметр его равен 80. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 80. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9)
Сумма двух углов параллелограмма
равна 120. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 180 и 460. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 70. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 240. Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3:5. Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую строну. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 23. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Найдите один из оставшихся углов.
Ответ дайте в градусах.Вариант 5 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 300 . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 36. Одна сторона параллелограмма на 2 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2)
Один угол параллелограмма в пять раз
больше другого. Найдите меньший угол. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 7:13, а периметр его равен 80. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 520. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 520. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 150 и 340. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:7, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 44. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 110 . Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 7:17. Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 48. Найдите его большую сторону. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 14. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Ответ дайте в градусах.Вариант 6 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1)
Один угол параллелограмма больше
другого на 1040. | 7) Периметр параллелограмма равен 78. Одна сторона параллелограмма на 25 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в четыре раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 3:7, а периметр его равен 60. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1240. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 920. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 130 и 240. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:7, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 91. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 860. Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 1:71. Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 27. Найдите его большую строну. | 12) Боковая сторона равнобедренного
треугольника равна 20. |
Найдите больший угол. Ответ дайте в
градусах.
Из точки, взятой
на основании этого треугольника,
проведены две прямые, параллельные
боковым сторонам. Найдите периметр
получившегося параллелограмма.Вариант 7 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 200 . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 60. Одна сторона параллелограмма на 7 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в пять раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 1:19, а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1520. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 440. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 100 и 240. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 5:8, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 54. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 620 . Ответ дайте в градусах. | 11)
Найдите больший угол параллелограмма,
если два его угла относятся как 31:41. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 18. Найдите его большую сторону. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 43. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Ответ дайте в градусах.Вариант 8 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 220. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 22. Одна сторона параллелограмма на 4 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 9:11, а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 480. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 980. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 180 и 320. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла
параллелограмма делит противоположную
сторону в отношении 3:7, считая от
вершины острого угла. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 200. Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 19:53 . Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 50. Найдите его большую строну. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 21. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Найдите большую
сторону параллелограмма, если его
периметр равен 104.Вариант 9 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 1000 . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 62. Одна сторона параллелограмма на 9 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в одиннадцать раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 3:7, а периметр его равен 20. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 740. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9)
Сумма двух углов параллелограмма
равна 140. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 660 и 70. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:7, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 66. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 160 . Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 17:55. Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 24. Найдите его большую сторону. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 9. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Найдите один из оставшихся углов.
Ответ дайте в градусах.Вариант 10 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 340. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 16. Одна сторона параллелограмма на 5 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2)
Один угол параллелограмма в два раза
больше другого. Найдите меньший угол. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 1:5, а периметр его равен 24. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 20. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 240. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 120 и 530. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 5:8, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 72. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 180. Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 13:23 . Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 37. Найдите его большую строну. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 50. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Ответ дайте в градусах.Вариант 11 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1)
Один угол параллелограмма больше
другого на 420 . | 7) Периметр параллелограмма равен 102. Одна сторона параллелограмма на 11 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в пять раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 7:13, а периметр его равен 20. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 220. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 660. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 760 и 10. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 5:8, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 126. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 540 . Ответ дайте в градусах. | 11) Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 1:11. Ответ дайте в градусах. |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 14. Найдите его большую сторону. | 12) Боковая сторона равнобедренного
треугольника равна 47. |
Найдите больший угол. Ответ дайте в
градусах.
Из точки, взятой
на основании этого треугольника,
проведены две прямые, параллельные
боковым сторонам. Найдите периметр
получившегося параллелограмма.Вариант 12 | Серия «СМОГ-У» Параллелограмм |
1) Один угол параллелограмма больше другого на 460. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | 7) Периметр параллелограмма равен 98. Одна сторона параллелограмма на 5 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. |
2) Один угол параллелограмма в четыре раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | 8) Две стороны параллелограмма относятся как 1:9, а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма. |
3) Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1260. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 9) Сумма двух углов параллелограмма равна 200. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. |
4) Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 370 и 440. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | 10) Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 65. |
5) Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 460. Ответ дайте в градусах. | 11)
Найдите больший угол параллелограмма,
если два его угла относятся как 5:67 . |
6) Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 19. Найдите его большую строну. | 12) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. |
Ответ дайте в градусах.Задачи «Четырёхугольники» | Презентация к уроку по математике на тему:
Слайд 1
Упражнение 1 Сумма двух углов параллелограмма равна 80 о . Найдите один из оставшихся углов. Ответ: 140 о .Слайд 2
Упражнение 2 Один угол параллелограмма больше другого на 40 о . Найдите больший угол. Ответ: 110 о .
Слайд 3
Упражнение 3 Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы 25 о и 35 о . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ: 120 о .
Слайд 4
Упражнение 4 Периметр параллелограмма равен 48. Одна сторона параллелограмма на 2 больше другой. Найдите большую сторону параллелограмма. Ответ: 13.
Слайд 5
Упражнение 5 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. Ответ: 10.
Слайд 6
Упражнение 6 Из точки D , принадлежащей гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC , проведены две прямые, параллельные катетам. Сумма периметров получившихся треугольников AKD и DLB равна 12. Найдите периметр данного треугольника ABC . Ответ: 12.
Слайд 7
Упражнение 7 Меньшая сторона прямоугольника равна 5, диагонали пересекаются под углом 60 о . Найдите диагонали прямоугольника. Ответ: 10.
Слайд 8
Упражнение 8 Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон.
Найдите меньший из углов, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ: 30 о .
Слайд 9
Упражнение 9 Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен 34, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30. Ответ: 13.
Слайд 10
Упражнение 10 Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки длиной 4 и 5. Найдите меньшую сторону данного прямоугольника. Ответ: 4.
Слайд 11
Упражнение 11 В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 5. Найдите периметр этого квадрата. Ответ: 40.
Слайд 12
Упражнение 12 Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 4, один из углов равен 45 о . Найдите высоту трапеции. Ответ: 1.
Слайд 13
Упражнение 13 Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 5 и 2. Найдите среднюю линию этой трапеции. Ответ: 5.
Слайд 14
Упражнение 14 Средняя линия трапеции равна 30, а меньшее основание равно 20. Найдите большее основание. Ответ: 40.
Слайд 15
Упражнение 15 В равнобедренной трапеции большее основание равно 27, боковая сторона равна 1, угол между ними 60 о . Найдите меньшее основание. Ответ: 17.
Слайд 16
Упражнение 16 В равнобедренной трапеции основания равны 13 и 28, острый угол равен 60. Найдите ее периметр. Ответ: 71.
Слайд 17
Упражнение 17 В прямоугольной трапеции один из углов равен 45, средняя линия равна 24, основания относятся как 3:5. Найдите меньшую боковую сторону. Ответ: 12.
Слайд 18
Упражнение 18 Периметр трапеции равен 50 см, а сумма непараллельных сторон равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: 15.
Слайд 19
Упражнение 19 Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону данной трапеции. Ответ: 20.
Слайд 20
Упражнение 20 Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см.
Найдите большее основание трапеции. Ответ: 9.
Слайд 21
Упражнение 21 Периметр прямоугольника ABCD равен 54. Точка M – середина стороны CD . Прямые AM и BM перпендикулярны. Найдите меньшую сторону прямоугольника. Ответ: 9.
Слайд 22
Упражнение 22 Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 10, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника. Ответ: 20.
Слайд 23
Упражнение 23 В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 4 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56. Найдите меньшую сторону. Ответ: 10.
Слайд 24
Упражнение 24 В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника. Одна сторона этого прямоугольника вдвое меньше другой. Диагональ квадрата равна 36. Найдите меньшую сторону прямоугольника. Ответ: 12.
Слайд 25
Упражнение 25 В параллелограмме ABCD высота DH делит сторону AB пополам. Найдите диагональ BD , если периметр параллелограмма равен 6 и превышает периметр треугольника ABD на 1. Ответ: 2.
Слайд 26
Упражнение 26 Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:3, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 96. Ответ: 30.
Слайд 27
Упражнение 27 Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведен отрезок EF параллельно AD . Сумма диагоналей параллелограмма равна 84. Разность периметров треугольников AOE и DOF равна 16. Найдите большую диагональ параллелограмма. Ответ: 58.
Слайд 28
Упражнение 28 Найдите диагональ прямоугольника, образованного биссектрисами углов параллелограмма, соседние стороны которого равны 3 см и 5 см. Ответ: 2.
Слайд 29
Упражнение 29 Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.
Найдите большую сторону. Ответ: 10.
Слайд 30
Упражнение 30 Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба. Ответ: 48.
Слайд 31
Упражнение 31 Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите больший угол трапеции. Ответ: 120 о .
Слайд 32
Упражнение 32 Основания трапеции относятся как 5:2, а их разность равна 18 см. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: 21.
Слайд 33
Упражнение 33 C редняя линия трапеции равна 10. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание этой трапеции. Ответ: 12.
Слайд 34
Упражнение 34 Средняя линия трапеции делится ее диагоналями на части, которые относятся как 2:3:2. Найдите большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 42. Ответ: 60.
Слайд 35
Упражнение 35 Диагонали четырехугольника равны 3 и 4. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. Ответ: 7.
Слайд 36
Упражнение 36 Основания трапеции равны 6 и 4. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции. Ответ: 1.
Слайд 37
Упражнение 37 В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 10. Найдите среднюю линию. Ответ: 10.
Слайд 38
Упражнение 38 В прямоугольной трапеции ABCD ( AB || CD ) угол B равен 45 о и сторона AB равна 30. Через середину E стороны BC проведен к ней перпендикуляр, который пересекает продолжение стороны DA в точке F . Найдите DF . Ответ: 30.
Слайд 39
Упражнение 39 Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна из боковых сторон разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите больший из отрезов этих прямых, заключенных внутри трапеции. Ответ: 18.
Слайд 40
Упражнение 40 Каждая из сторон треугольника разделена на три равных отрезка и точки деления соединены отрезками.
Найдите периметр образовавшейся при этом фигуры, если периметр исходного треугольника равен 15. Ответ: 15.
Слайд 41
Упражнение 41 Найдите меньший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 3:7. Ответ: 54.
Слайд 42
Упражнение 42 Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащими к одной стороне. Ответ: 90 о .
Слайд 43
Упражнение 43 Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 40 о ? Ответ: 110 о .
Слайд 44
Упражнение 44 Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 28. Найдите большую сторону параллелограмма. Ответ: 8.
Слайд 45
Упражнение 45 В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 5. Найдите диагонали данного прямоугольника. Ответ: 10.
Слайд 46
Упражнение 46 В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH , равная 3. Из точки H опущены перпендикуляры HK и HL на катеты треугольника. Найдите расстояние между точками K и L . Ответ: 3.
Слайд 47
Упражнение 47 Перпендикуляр BH , опущенный из вершины B прямоугольника ABCD на его диагональ AC , делит угол B в отношении 2:3. Найдите угол между перпендикуляром BH и диагональю BD . Ответ: 18.
Слайд 48
Упражнение 48 Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 3, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции. Ответ: 21.
Слайд 49
Упражнение 49 Основания трапеции относятся как 2 : 3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание. Ответ: 4.
Слайд 50
Упражнение 50 Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей. Ответ: 2.
ОГЭ по геометрии — презентация онлайн
1. ОГЭ Модуль «ГЕОМЕТРИЯ»
1Повторение (2)
Ответ: 70
2
3. Повторение
В равнобедренном треугольнике углы приосновании равны
В треугольнике сумма углов равна 180°
3
Повторение (3)
Ответ: 6.
4
5. Повторение
Внешний угол треугольника – это угол, смежныйс углом треугольника
Сумма смежных углов углов равна 180°
В треугольнике сумма углов равна 180°
5
Повторение (3)
Ответ: 111.
6
7. Повторение
В равнобедренном треугольнике углы приосновании равны
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам
В треугольнике сумма углов равна 180°
7
Найти наименьший из оставшихся
углов ∆ АВС.
Повторение
H
Наименьшим из оставшихся углов ∆ АВС является ∠В, так
как ∠CHB =90° и в ∆ABH и в ∆ACH.
В ∆CBH ∠В= 90°-66°=24°
Ответ: 24.
8
9. Повторение
Сумма острых углов прямоугольноготреугольника равна 90°
9
Один из углов параллелограмма на
46° больше другого. Найти больший
из них.
∠А+∠D=180°
Повторение (2)
Пусть ∠А=х°, тогда∠D=х°+46°
х+х+46=180
2х=134
х=67
∠D =2∙67°=134°
Ответ: 134.
10
11. Повторение
Параллелограмм – это четырехугольник, укоторого противоположные стороны
параллельны.
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
11
Найти больший угол
параллелограмма АВСD.
Повторение (2)
∠DCВ=∠АCD+∠АСВ=23°+49°=72°
∠С+∠В=180°
∠В=180°-∠В=180°-72°=108°
Ответ: 108.
12
13. Повторение
Если угол разделен на части, то его градуснаямера равна сумме градусных мер его частей.
В параллелограмме сумма соседних углов
равна 180°
13
АВСD параллелограмм.
Повторение (2)
Отрезок АС явл. диагональю параллелограмма.
Углы при вершине А равны, зн. углы при вершине С
тоже равны. ⇒
АВСD — ромб. ⇒
АС ⊥ BD, зн. Угол, под
которым пересекаются
диагонали равен 90°
Ответ: 90.
14
15. Повторение
Если в параллелограмме диагональ делит углыпополам, то этот параллелограмм является
ромбом
В ромбе диагонали пересекаются под прямым
углом
15
АВСD параллелограмм.
75
°
Повторение (3)
∠А=∠ АDС=75°
∠ АDС=∠DСК=75°
∠DСК=∠ DКС=75°
∠СDК=180°-2⋅75°=30°
Ответ: 30.
16
17. Повторение
В равнобедренной трапеции углы при основанииравны
При пересечении двух параллельных прямых
третьей накрест лежащие углы равны
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
17
Углы ромба относятся
как 3:7 .
Повторение
Найти больший
угол. (2)
∠1+∠2=180°
Пусть х° — одна часть, тогда∠2=3х°, ∠1=7х°
3х+7х=180
10х=180
х=18
∠1=18°∙7=126°
Ответ: 126.
18
19. Повторение
В ромбе противоположные стороныпараллельны
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
19
Сумма двух углов
параллелограмма
равна 50°. Найти один
Повторение
(2)
из оставшихся
углов.
∠А+∠С=50°
∠С+∠D=180°
∠D=180°-50°=130°
Ответ: 130.
20
21. Повторение
В параллелограмме противоположные углыравны
Если две параллельные прямые пересечены
третьей, то сумма внутренних односторонних
углов равна 180°
21
Разность
противолежащих
углов трапеции
Повторение (2)
равна 68°. Найти
больший угол.
∠А+∠В=180°
∠В+∠С
Если ∠А=х°, то ∠В=х°+68°
х+х+68=180
2х=180-68
х=12
∠В=12°+68°=80°
Ответ: 80.
22
23. Повторение
В равнобедренном треугольнике углы приосновании равны.
Сумма углов, прилежащих боковой стороне
трапеции равна 180°.
23
Найдите угол между
С биссектрисами
D
О
углов
1
4
Повторение (3)
параллелограмма,
А 3 2 В прилежащих к одной
стороне.
∠DАВ+∠АВС=180°
Так как ∠1=∠2 и ∠3=∠4, то ∠3+∠2=90°
∠О=180°-(∠3+ ∠2)=90⁰
Ответ: 90.
24
25. Повторение
Сумма соседних углов параллелограмма равна180⁰
Биссектриса – это луч, который делит угол
пополам.
В треугольнике сумма углов равна 180°
25
В
С
Найдите угол между
гипотенузой и
47⁰
D медианой,
?
Повторение
(3)
проведенной
из
А
прямого угла.
∠А+∠В=90°
Так как ∠С=∠А+∠В, то ∠В= ∠ВСD, ∠А= ∠АCD
∠ВCD=47°
∠ВDC=180°-2∙47⁰=86⁰
Ответ: 86.
26
27. Повторение
В прямоугольном треугольнике сумма острыхуглов равна 90⁰
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
Сумма углов треугольника равна 180⁰
27
С
N
В
Найдите внешний
угол при вершине С.
?
Повторение (3)
О L
4
1
3 100⁰2
А
Так как ∠1=∠2, ∠3=∠4, то ∠2+∠3=1/2(∠А +∠В)
∠2+∠3=180°-100⁰=80⁰ ⇒
∠А+∠В=80⁰∙2=160⁰
Внешний угол при вершине С равен 160⁰
Ответ: 160.
28
29. Повторение
Биссектриса – это луч, который делит уголпополам
В треугольнике сумма углов равна 180°
Внешний угол треугольника – это угол, смежный
с углом треугольника и он равен сумме углов
треугольника, не смежных с ним.
29
С
H
26⁰
Повторение (3)
L
А
?
В
В ∆HLF ∠H=90⁰, ⇒ ∠HАL+∠HLA=90° ⇒
∠HLA=90°-26⁰=64⁰
∠HLA внешний для ∆АLВ, ⇒ ∠HLA= ∠LАВ+∠В
∆АLВ — равнобедренный, ⇒ ∠LАВ=∠В
∠В=½ ∠HLA= ½ ∙ 64⁰=32⁰
Ответ: 32.
30
31. Повторение
В прямоугольном треугольнике сумма острыхуглов равна 90°
Внешний угол треугольника равен сумме углов
треугольника, не смежных с ним
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
31
А
Y
В
Повторение (2)
?
O X
119⁰
С
∠ВОС=∠XOY как вертикальные
⇒
∠XOY =119⁰
∠YOX+∠OYA+ ∠A+∠AXO =360°, где ∠OYA=∠AXO=90⁰
⇒ ∠А=360⁰-2∙90⁰-⁰119⁰=61⁰
Ответ: 61.
32
33. Повторение
Вертикальными углами называются углы,стороны которых являются продолжением друг
друга. Вертикальные углы равны.
Сумма углов четырехугольника равна 360°
33
Е
В
23⁰
Повторение (2)
?
А
D
41⁰ С
∠ЕАD=∠DАС по условию, АЕ=АС по условию, АD — общая
⇒ ∆ЕАD=∆DАС ⇒ ∠АЕD=∠АСD=41⁰
∠ЕАD – внешний для ∆DВЕ
∠ВDЕ=41⁰-23⁰=18⁰
Ответ: 18.
34
35. Повторение
Если две стороны и угол между ними одноготреугольника соответственно равны двум
сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны
Внешний угол треугольника равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним.
35
D
Найдите
∠ВDЕ.
В
?
Повторение (3)
104⁰
Е
С
10⁰
А
∠СВD и ∠АВС ⇒ ∠СВD=180⁰-104⁰=76⁰
∠ЕСВ – внешний для ∆АВС ⇒ ∠ЕСВ=104⁰+10⁰=114⁰
∠DСВ =½∠ЕСВ=57⁰
По сумме углов тр-ка ∠СDВ =180⁰-76⁰-57⁰=47⁰
∆СDЕ=∆СDВ
⇒
∠ЕDВ =2∠СDВ=2∙47⁰=94⁰
Ответ: 94.
36
37. Повторение
Если в треугольниках две стороны и угол междуними равны, то треугольники равны
В равных треугольниках соответственные углы
равны
Если угол разбит на части, то его градусная мера
равна сумме градусных мер его частей
37
В
sin A=0,8. Найдите sin B.
С
Повторение (2)
А
sin À cos  0,8
sin cos 1
2
2
sin  1 cos B 1 0,8 0,6
2
2
Ответ: 0,6.
38
39. Повторение
В прямоугольном треугольнике синус одногоострого угла равен косинусу другого острого угла
Основное тригонометрическое тождество:
sin 2 cos 2 1
39
В
sin ÀÑÌ
М
3
2
Найдите sin
B.
Повторение (4)
С
А
∠А+∠В=90°
3
Так как ∠С=∠А+∠В, то ∠А= ∠АСМ ⇒ sin ÀÑÌ sin À
2
3
sin À cos Â
2
sin 2 cos 2 1
3 2 1
sin  1 cos B 1 ( ) 0,5
2
2
2
Ответ: 0,5.
40
41. Повторение
В прямоугольном треугольнике сумма острыхуглов равна 90⁰
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны
В прямоугольном треугольнике синус одного
острого угла равен косинусу другого острого угла
Основное тригонометрическое тождество:
sin 2 cos 2 1
41
Тема №5054 Вычисление углов
Ответы в самом низу встроенного документа
1907.
Один острый угол прямоугольного треугольника на 79° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
1908. Один острый угол прямоугольного треугольника на 16° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
1909. Один острый угол прямоугольного треугольника на 44° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
1910. Один острый угол прямоугольного треугольника на 84° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
1911. Один острый угол прямоугольного треугольника на 28° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.
1912. В треугольнике АВС АС = ВС. Угол С равен 116°. Найдите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.
1913. В треугольнике АВС АС = ВС. Угол С равен 64°. Най-дите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.
1914. В треугольнике АВС АС = ВС. Угол С равен 140°. Найдите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.
1915. В треугольнике АВС АС = ВС. Угол С равен 70°. Найдите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.
1916. В треугольнике АВС АС = ВС. Угол С равен 78°. Най-дите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.
1917. В треугольнике АВС АС = ВС. Внешний угол при вер-шине С равен 84°. Найдите угол В. Ответ дайте в гра-дусах.
1918. В треугольнике АВС АС = ВС. Внешний угол при вер-шине С равен 150°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
1919. В треугольнике АВС АС = ВС. Внешний угол при вер-шине С равен 146°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
1920. В треугольнике АВС АС = ВС. Внешний угол при вер-шине С равен 162°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
1921. В треугольнике АВС АС = ВС. Внешний угол при вер-шине С равен 44°. Найдите угол В. Ответ дайте в гра-дусах.
1922. Один из внешних углов треугольника равен 15°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1 :4. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
1923. Один из внешних углов треугольника равен 90°.
Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1:2. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
1924. Один из внешних углов треугольника равен 40°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
1925. Один из внешних углов треугольника равен 112°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1:6. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
1926. Один из внешних углов треугольника равен 24°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1:2. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
1927. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
1928. Один из углов равнобедренного треугольника равен 108°. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
1929. Один из углов равнобедренного треугольника равен 160°. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
1930. Один из углов равнобедренного треугольника равен 154°. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
1931. Один из углов равнобедренного треугольника равен 132°. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
1932. Один из углов равнобедренного треугольника равен 112°. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.
1933. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 68°. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах.
1934. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к ’ третьему равна 4°. Найдите этот третий угол. Ответ
дайте в градусах.
1935. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 72°. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах.
1936. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 156°. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах.
1937. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 22°. Найдите этот третий угол.
Ответ дайте в градусах.
1943. В треугольнике АВС угол А равен 17°, угол В равен 23°, СН — высота. Найдите разность углов АСН и ВСН. Ответ дайте в градусах.
1944. В треугольнике АВС угол А равен 20°, угол В равен 36°, СН — высота. Найдите разность углов АСН и ВСН. Ответ дайте в градусах.
1945. В треугольнике АВС угол А равен 20°, угол В равен 72°, СН — высота. Найдите разность углов АСН и ВСН. Ответ дайте в градусах.
1946. В треугольнике АВС угол А равен 20°, угол В равен 52°, СН — высота. Найдите разность углов АСН и ВСН. Ответ дайте в градусах.
1947. В треугольнике АВС угол А равен 20°, угол В равен 88°, СН — высота. Найдите разность углов АСН и ВСН. Ответ дайте в градусах.
1948. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 30°, угол BAD равен 69°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
1949. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 5°, угол BAD равен 55°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
1950. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 47°, угол BAD равен 65°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
1951. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 50°, угол BAD равен 54°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
1952. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол С равен 45°, угол BAD равен 39°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
1953. В треугольнике АВС АС = ВС, AD — высота, угол BAD равен 19°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
1954. В треугольнике АВС АС = ВС, AD — высота, угол BAD равен 46°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
1955. В треугольнике АВС АС = ВС, AD — высота, угол BAD равен 14°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
1956. В треугольнике АВС АС = ВС, AD — высота, угол BAD равен 48°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
1957. В треугольнике АВС АС = ВС, AD — высота, угол BAD равен 43°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
1958. В треугольнике ABC CD — медиана, угол АС В равен 90°, угол В равен 55°.
Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
1959. В треугольнике ABC CD — медиана, угол АСВ равен 90°, угол В равен 15°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
1960. В треугольнике ABC CD — медиана, угол АСВ равен 90°, угол В равен 52°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
1961. В треугольнике ABC CD — медиана, угол АСВ равен 90°, угол В равен 16°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
1962. В треугольнике ABC CD — медиана, угол АСВ равен 90°, угол В равен 8°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
1963. Два угла треугольника равны 147° и 27°. Найдите тупой угол, который образует высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в гра-дусах.
1964. Два угла треугольника равны 53° и 55°. Найдите тупой угол, который образует высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в гра-дусах.
1965. Два угла треугольника равны 49° и 65°. Найдите тупой угол, который образует высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в гра-дусах.
1966. Два угла треугольника равны 143° и 19°. Найдите тупой угол, который образует высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в гра-дусах.
1967. Два угла треугольника равны 100° и 39°. Найдите тупой угол, который образует высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в гра-дусах.
1968. В треугольнике АВС СН — высота, AD — биссектриса, О — точка пересечения прямых СН и AD, угол BAD равен 74°. Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.
1969. В треугольнике АВС СН — высота, AD — биссектриса, О — точка пересечения прямых СН и AD, угол BAD равен 58°. Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.
1970. В треугольнике АВС СН — высота, AD — биссектриса, О — точка пересечения прямых СН и AD, угол BAD равен 80°. Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.
1971. В треугольнике АВС СН — высота, AD — биссектриса, О — точка пересечения прямых СН и AD, угол BAD равен 30°. Найдите угол АОС.
Ответ дайте в градусах.
1972. В треугольнике АВС СН — высота, AD — биссектриса, О — точка пересечения прямых СН и AD, угол BAD равен 12°. Найдите угол АОС. Ответ дайте в градусах.
1973. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого уг-ла, равен 37°. Найдите меньший угол данного тре-угольника. Ответ дайте в градусах.
1974. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого уг-ла, равен 39°. Найдите меньший угол данного тре-угольника. Ответ дайте в градусах.
1975. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого уг-ла, равен 12°. Найдите меньший угол данного тре-угольника. Ответ дайте в градусах.
1976. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого уг-ла, равен 20°. Найдите меньший угол данного тре-угольника. Ответ дайте в градусах.
1977. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого уг-ла, равен 34°. Найдите меньший угол данного тре-угольника. Ответ дайте в градусах.
1978. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 3°. Найдите больший угол данного треугольни-ка. Ответ дайте в градусах.
1979. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите больший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
1980. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 22°. Найдите больший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
1981. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 18°. Найдите больший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
1982. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 31°.
Найдите больший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
1983. В треугольнике АВС угол А равен 4°, угол В равен 10°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине С, при-чём точка D лежит на прямой АВ. На продолжении стороны АС за точку С выбрана такая точка Е, что СЕ = СВ. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
1984. В треугольнике АВС угол А равен 30°, угол В равен 88°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине С, причём точка D лежит на прямой АВ. На продолжении стороны АС за точку С выбрана такая точка Е, что СЕ = СВ. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
1985. В треугольнике АВС угол А равен 19°, угол В равен
48°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине С, причём точка D лежит на прямой АВ. На
продолжении стороны АС за точку С выбрана такая точка Е, что СЕ = СВ. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
1986. В треугольнике АВС угол А равен 24°, угол В равен
90°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине С, причём точка D лежит на прямой АВ. На
продолжении стороны АС за точку С выбрана такая точка Е, что СЕ = СВ. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
1987. В треугольнике АВС угол А равен 10°, угол В равен 104°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине С, причём точка D лежит на прямой АВ. На продолжении стороны АС за точку С выбрана такая точка Е, что СЕ = СВ. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
1988. В треугольнике АВС угол А равен 25°, угол В равен 89°. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1989. В треугольнике АВС угол А равен 40°, угол В равен 38°. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1990. В треугольнике АВС угол А равен 48°, угол В равен 44°. АВ, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1991. В треугольнике АВС угол А равен 37°, угол В равен 19°.
AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1992. В треугольнике АВС угол А равен 31°, угол В равен 98°. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1993. В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 45°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1994. В треугольнике АВС угол А равен 30°, угол В равен 39°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1995. В треугольнике АВС угол А равен 33°, угол В равен 78°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1996. В треугольнике АВС угол А равен 37°, угол В равен 25°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1997. В треугольнике АВС угол А равен 35°, угол В равен 20°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
1998. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 86, высота СН равна 43л/3 .Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
1999. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 84, высота СН равна 42 л/З . Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
2000. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 22, высота СН равна 11 л/З . Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
2001. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 102, высота СН равна 51 л/З . Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
2002. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 70, высота СН равна 35 л/З . Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
2003. Сумма двух углов параллелограмма равна 50°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
2004. Сумма двух углов параллелограмма равна 42°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
2005. Сумма двух углов параллелограмма равна 26°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
2006. Сумма двух углов параллелограмма равна 28°.
Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
2007. Сумма двух углов параллелограмма равна 80°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
2008. Один угол параллелограмма больше другого на 52°. Найдите болший угол. Ответ дайте в градусах.
2009. Один угол параллелограмма больше другого на 10°. Найдите болший угол. Ответ дайте в градусах.
2010. Один угол параллелограмма больше другого на 56°. Найдите болший угол. Ответ дайте в градусах.
2011. Один угол параллелограмма больше другого на 62°. Найдите болший угол. Ответ дайте в градусах.
2012. Один угол параллелограмма больше другого на 68°. Найдите болший угол. Ответ дайте в градусах.
2013. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 5:31. Ответ дайте в градусах.
2014. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 7 :65. Ответ дайте в градусах.
2015. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 1:35. Ответ дайте в градусах.
2016. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 11 :61. Ответ дайте в градусах.
2017. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 2:7. Ответ дайте в градусах.
2018. В ромбе ABCD угол DAB равен 36°. Найдите угол DBC. Ответ дайте в градусах.
2019. В ромбе ABCD угол АВС равен 112°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
2020. В ромбе ABCD угол DAB равен 108°. Найдите угол DBC. Ответ дайте в градусах.
2021. В ромбе ABCD угол АВС равен 162°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
2022. В ромбе ABCD угол АВС равен 132°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
2023. В ромбе ABCD угол CAD равен 63°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.
2024. В ромбе ABCD угол BDC равен 89°. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.
2025. В ромбе ABCD угол BDC равен 49°. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.
2026. В ромбе ABCD угол BDA равен 62°.
Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.
2027. В ромбе ABCD угол АСВ равен 65°. Найдите угол CDA. Ответ дайте в градусах.
2028. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 6°? Ответ дайте в градусах.
2029. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 36°? Ответ дайте в градусах.
2030. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 82°? Ответ дайте в градусах.
2031. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 4б°? Ответ дайте в градусах.
2032. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 12°? Ответ дайте в градусах.
2033. Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окруж-ность, равен 46°. Найдите угол С этого четырёхуголь-ника. Ответ дайте в градусах.
2034. Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окруж-ность, равен 96°. Найдите угол С этого четырёхуголь-ника. Ответ дайте в градусах.
2035. Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окруж-ность, равен 40°. Найдите угол С этого четырёхуголь-ника. Ответ дайте в градусах.
2036. Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окруж-ность, равен 126°. Найдите угол С этого четырёх-угольника. Ответ дайте в градусах.
2037. Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окруж-ность, равен 92°. Найдите угол С этого четырёхуголь-ника. Ответ дайте в градусах.
2038. Стороны четырёхугольника ABCD АВ, ВС, CD, и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные ве-личины которых равны соответственно 63°, 62°, 90°, 145°. Найдите угол В этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
2039. Стороны четырёхугольника ABCD АВ, ВС, CD, и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные ве-личины которых равны соответственно 68°, 77°, 115°, 100°. Найдите угол В этого четырёхугольника.
Ответ дайте в градусах.
2040. Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1 : 4 : 12 : 19. Найдите угол А четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
2041. Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1 : 4 : 15 : 16. Найдите угол А четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
2042. Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1 : 5 : 10 : 20. Найдите угол А четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
2043. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 48°, угол CAD равен 38°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
2044. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 58°, угол CAD равен 43°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
2045. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 62°, угол CAD равен 45°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
2046. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 130°, угол CAD равен 79°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
2047. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 128°, угол CAD равен 78°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
2048. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 25° и 51°. Найдите больший из оставшихся уг-лов. Ответ дайте в градусах.
2049. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 21° и 43°. Найдите больший из оставшихся уг-лов. Ответ дайте в градусах.
2050. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 26° и 53°. Найдите больший из оставшихся уг-лов. Отрет дайте в градусах.
2051. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 24° и 49°. Найдите больший из оставшихся уг-лов. Ответ дайте в градусах.
2052. Два утла вписанного в окружность четырёхугольника равны 40° и 83°. Найдите больший из оставшихся уг-лов. Ответ дайте в градусах.
2053. Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся как 7:7:11. Найдите угол D, если около данного четы-рёхугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
2054. Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся как 1 :13 :17. Найдите угол В, если около данного четы-рёхугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
2055. Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся как 5:9:13. Найдите угол D, если около данного четы-рёхугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
2056. Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся как 5:6:13. Найдите угол В, если около данного четы-рёхугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
2057. Углы А, В и С четырёхугольника ABCD относятся как 7:2:11. Найдите угол В, если около данного четы-рёхугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
2058. Центральный угол на 45° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
2059. Центральный угол на 21° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
2060. Центральный угол на 27° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
2061. Центральный угол на 58° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
2062. Центральный угол на 47° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
2068. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, ко-торая составляет 20% окружности. Ответ дайте в гра-дусах.
2069. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, ко-торая составляет 5% окружности.
Ответ дайте в гра-дусах.
2070. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, ко-торая составляет 10% окружности. Ответ дайте в гра-дусах.
2071. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, ко-торая составляет 15% окружности. Ответ дайте в гра-дусах.
2072. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, ко-торая составляет 35% окружности. Ответ дайте в гра-дусах.
2073. Дуга окружности АС, не содержащая точки В, состав-ляет 165°. А дуга окружности ВС, не содержащая точки А, составляет 55°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
2074. Дуга окружности АС, не содержащая точки В, состав-ляет 180°. А дуга окружности ВС, не содержащая точки А, составляет 45°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
2075. Дуга окружности АС, не содержащая точки В, состав-ляет 260°. А дуга окружности ВС, не содержащая точки А, составляет 90°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
2076. Дуга окружности АС, не содержащая точки В, состав-ляет 170°. А дуга окружности ВС, не содержащая точки А, составляет 50°. Найдите вписанный угол АС В. Ответ дайте в градусах.
2077. Дуга окружности АС, не содержащая точки В, состав-ляет 190°. А дуга окружности ВС, не содержащая точки А, составляет 40°. Найдите вписанный угол АС В. Ответ дайте в градусах.
2078. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:2:15. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
2079. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:5:12. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
2080. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 :4 :13. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
2081. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 :3 : 14.
Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
2082. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные величины которых относятся как 2:9:25. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
2083. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АС В равен 69°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
2084. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 35°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в гра-дусах.
2085. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 34°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в гра-дусах.
2086. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 39°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в гра-дусах.
2087. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 22°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в гра-дусах.
2088. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 6°. Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.
2089. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 44°. Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.
2090. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 114°. Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.
2091. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 88°. Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.
2092. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 98°. Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.
2093. Касательные СА и СВ к окружности образуют угол АСВ, равный 118°. Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
2094. Касательные СА и СВ к окружности образуют угол АСВ, равный 90°. Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания.
Ответ дайте в градусах.
2095. Касательные СА и СВ к окружности образуют угол АСВ, равный 130°. Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
2096. Касательные СА и СВ к окружности образуют угол АСВ, равный 112°. Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
2097. Касательные СА и СВ к окружности образуют угол АСВ, равный 80°. Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
2098. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается ок-ружности, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 33°. Ответ дайте в градусах.
2099. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается ок-ружности, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 74°. Ответ дайте в градусах.
2100. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается ок-ружности, О — центр окружности, а меньшая /дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 25°. Ответ дайте в градусах.
2101. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 13°. Ответ дайте в градусах.
2102. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 41°. Ответ дайте в градусах.
2103. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 113°. Ответ дайте в градусах.
2104. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 111°. Ответ дайте в градусах.
2105. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 121°.
Ответ дайте в градусах.
2106. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 110°. Ответ дайте в градусах.
2107. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 132°. Ответ дайте в градусах.
2108. Найдите угол CDB, если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 128° и 48°. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол CDB, если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 67° и 25°. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол CDB, если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 166° и 88°. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол CDB, если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 32° и 23°. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол CDB, если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 91° и 37°. Ответ дайте в градусах.
Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 30 минут?
Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 5 минут?
Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 6 минут?
Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 3 минуты?
Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 11 минут?
Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 5 часов 52 минуты?
Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 34 минуты?
Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 3 часа?
2121. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 3 часа 6 минут?
2122. Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 1 час 50 минут?
2123. Угол между стороной правильного л-угольника, впи-санного в окружность, и радиусом этой окружности, проведённым в одну из вершин стороны, равен 75°.
Найдите л.
2124. Угол между стороной правильного л-угольника, впи-санного в окружность, и радиусом этой окружности, проведённым в одну из вершин стороны, равен 60°. Найдите л.
2125. Угол между стороной правильного л-угольника, впи-санного в окружность, и радиусом этой окружности, проведённым в одну из вершин стороны, равен 54°. Найдите л.
2126. Угол между стороной правильного л-угольника, впи-санного в окружность, и радиусом этой окружности, проведённым в одну из вершин стороны, равен 85°. Найдите л.
2127. Угол между стороной правильного л-угольника, впи-санного в окружность, и радиусом этой окружности, проведённым в одну из вершин стороны, равен 30°. Найдите л.
2128. Колесо имеет 5 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
2129. Колесо имеет 40 спиц. Найдите величину угла (в гра-дусах), который образуют две соседние спицы.
2130. Колесо имеет 6 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
2131. Колесо имеет 24 спицы. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.
2132. Колесо имеет 30 спиц. Найдите величину угла (в гра-дусах), который образуют две соседние спицы.
2133. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними двумя спицами равен 12°?
2134. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними двумя спицами равен 40°?
2135. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними двумя спицами равен 15°?
2136. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними двумя спицами равен 30°?
2137. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними двумя спицами равен 45°?
Дополнительные уголки
Дополнительные углы два углы чьи меры в сумме 180 ° .
Два угла
линейная пара
, нравиться
∠
1
и
∠
2
на рисунке ниже всегда являются дополнительными.
Но два угла не обязательно должны быть смежными, чтобы быть дополнительными.На следующем рисунке ∠ 3 и ∠ 4 являются дополнительными, потому что их меры добавляют к 180 ° .
Пример 1:
Два угла являются дополнительными. Если размер угла вдвое больше другого, найдите размер каждого угла.
Пусть мера одного из дополнительных углов равна а .
Измерение другого угла 2 раз а .
Итак, другой угол измеряется 2 а .
Если сумма измерений двух углов равна 180 ° , то углы дополнительные.
Так, а + 2 а знак равно 180 °
Упрощать.
3 а знак равно 180 °
Изолировать а , разделим обе части уравнения на 3 .
3 а 3 знак равно 180 ° 3 а знак равно 60 °
Измерение второго угла:
2 а знак равно 2 × 60 ° знак равно 120 °
Таким образом, размеры двух дополнительных углов равны
60
°
и
120
°
.
Пример 2:
Находить м ∠ п и м ∠ Q если ∠ п и ∠ Q являются дополнительными, м ∠ п знак равно 2 Икс + 15 , и м ∠ Q знак равно 5 Икс — 38 .
Сумма измерений двух дополнительных углов равна 180 ° .
Так, м ∠ п + м ∠ Q знак равно 180 °
Заменять 2 Икс + 15 для м ∠ п и 5 Икс — 38 для м ∠ Q .
2 Икс + 15 + 5 Икс — 38 знак равно 180 °
Объедините похожие термины. Мы получили:
7 Икс — 23 знак равно 180 °
Добавлять 23 в обе стороны. Мы получили:
7 Икс знак равно 203 °
Разделите обе стороны на 7 .
7 Икс 7 знак равно 203 ° 7
Упрощать.
Икс знак равно 29 °
Найти
м
∠
п
, заменять
29
для
Икс
в
2
Икс
+
15
.
2 ( 29 ) + 15 знак равно 58 + 15
Упрощать.
58 + 15 знак равно 73
Так, м ∠ п знак равно 73 ° .
Найти м ∠ Q , заменять 29 для Икс в 5 Икс — 38 .
5 ( 29 ) — 38 знак равно 145 — 38
Упрощать.
145 — 38 знак равно 107
Так, м ∠ Q знак равно 107 ° .
Смотрите также дополнительные углы .
Как найти угол в прямоугольном треугольнике
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как как ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.
Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Нахождение недостающих углов | Помощь с математикой
Напоминания- Сумма углов в треугольнике = 180 °
- Сумма углов в четырехугольнике = 360 °
- Противоположные углы равны
- Для двух параллельных прямых и поперечной,
- соответствующие углы равны, а
- чередующихся углов равны.
Проработайте со своими детьми приведенные ниже примеры. Обсудите альтернативные способы поиска недостающих углов, поскольку часто есть и другие способы их найти.
Поиск углов: пример 1| Большой треугольник — это равнобедренный треугольник. Два угла на основании равны. | Угол a = 35 ° |
| Теперь мы знаем два угла в самом большом треугольнике. Третий угол, угол b, необходимо добавить к ним, чтобы получилось 180 °. | 35 ° + 35 ° + b = 180 ° b = 180 ° — 70 ° b = 110 ° |
| Теперь мы знаем два угла в четырехугольнике. Два неизвестных угла, включая угол c, равны. Все четыре угла в сумме составляют 360 °. | 2c + 110 ° + 120 ° = 360 ° 2c = 360 ° — 230 ° 2c = 130 ° c = 65 ° |
| Посмотрите вдоль основания большого треугольника. Угол a добавлен к 75 °, а 70 ° равняется 180 °. | a + 75 ° + 70 ° = 180 ° a = 180 ° — 145 ° Угол a = 35 ° |
| Глядя на маленький треугольник, который включает в себя угол b, мы теперь знаем, что a = 35 °, и, поскольку сумма треугольников равна 180 °, мы можем найти угол b. | 35 ° + 95 ° + b = 180 ° b = 180 ° — 130 ° b = 50 ° |
| Угол c и угол 95 ° являются дополнительными; в сумме они составляют 180 °. | c + 95 ° = 180 ° Угол c = 85 ° |
| Теперь мы знаем, что c = 85 °, мы можем найти угол d, так как три угла в треугольнике в сумме дают 180 °. | 85 ° + 70 ° + d = 180 ° d = 180 ° — 155 ° d = 25 ° |
| Треугольник в середине равнобедренный, поэтому углы в основании равны и вместе с углом f составляют 180 °. | e = 75 ° 75 ° + 75 ° + f = 180 ° f = 180 ° — 150 ° f = 30 ° |
Угол a и угол 70 ° являются противоположными углами, поэтому они равны. | Угол a = 70 ° |
| Угол b и угол 135 ° являются дополнительными, поэтому в сумме они составляют 180 °. | 135 ° + b = 180 ° b = 180 ° — 135 ° b = 45 ° |
| Теперь мы знаем два угла в треугольнике. Эти два угла вместе с углом c составляют в сумме 180 °. | c + 70 ° + 45 ° = 180 ° c = 180 ° — 115 ° c = 65 ° |
| Углы d и b являются альтернативными углами, и, поскольку две прямые параллельны, они равны. | d = 45 ° |
| Угол e и угол 70 ° являются соответствующими углами и, поскольку две прямые параллельны, они равны. | е = 70 ° |
| Угол f и угол e являются дополнительными. В сумме они составляют 180 °. | 70 ° + f = 180 ° f = 180 ° — 70 ° f = 110 ° |
В приведенных выше примерах открытие каждого угла следует из поиска других углов.Недостающие углы не всегда обозначаются буквами a, b, c, d и т. Д., Поэтому последовательность поиска углов может быть неочевидной. Иногда лучше просто начать находить любые углы, какие только можно, и продолжать, пока не будут найдены все необходимые.
Рабочие листы с отсутствующими угламиРаспечатайте приведенные ниже рабочие листы, чтобы помочь вашим детям попрактиковаться в поиске недостающих углов.
Как найти измерения углов треугольника
Сумма трех углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.Треугольник может быть прямым, равнобедренным, острым, тупым, равносторонним или разносторонним, но сумма всех углов по-прежнему составляет 180 градусов.
Используйте свойства треугольников каждого типа для решения вопроса об измерении углов. Когда вы помните об этих конкретных характеристиках, это вопрос точного вычисления углового измерения для определения углов по градусам.
Определение углов по градусам: два известных угла
Нарисуйте треугольник, если изображение не предоставлено.
Обозначьте каждый известный угол соответствующими размерами.
Сложите два измерения вместе.
30 градусов + 45 градусов = 75 градусов
Найдите величину угла C, вычтя сумму двух измерений из 180 градусов, чтобы найти величину третьего угла.
Добавьте ответ и два предоставленных угловых измерения, чтобы проверить точность. Сумма всех трех углов должна равняться 180 градусам.
30 градусов + 45 градусов + 105 градусов = 180 градусов
Определение углов по градусам: один известный угол
Нарисуйте треугольник, если изображение не предоставлено.Равнобедренный и прямоугольный треугольники — это обычные треугольники, используемые при измерении одного угла. Пометьте каждый известный угол прилагаемым размером.
Сформируйте уравнение, используя свойства типа треугольника, представленного в задаче, который равен 180 градусам. Равнобедренные треугольники содержат равные углы, прилегающие к сторонам равной длины, в то время как прямоугольные треугольники содержат один угол в 90 градусов.
Угол A (рядом с равным боковым углом) = x
Угол B (рядом с равным боковым углом) = x
x + x + 80 градусов = 180 градусов
Угол A = прямой угол = 90 градусов
90 градусов + 15 градусов + x = 180 градусов
Решите уравнение для значения «x», вычитая цифры из 180 градусов.
90 + 15 + x = 180 градусов
Добавьте вычисленные и предоставленные угловые измерения, чтобы убедиться, что он равен 180 градусам.
Пример равнобедренного сустава: 50 + 50 + 80 = 180 градусов
Пример прямоугольного треугольника: 90 + 15 + 75 = 180 градусов
Определение углов по градусам: неизвестные углы
Нарисуйте равносторонний треугольник, который представляет собой многоугольник с тремя равными сторонами и тремя равными углами.
Обозначьте каждое измерение угла знаком «x», представляющим неизвестное измерение, поскольку равносторонние треугольники имеют три угла, которые эквивалентны друг другу (отсюда и название).
Сформируйте уравнение, складывающее три неизвестных измерения, равных 180 градусам, которые являются суммой всех трех углов в треугольнике любого типа.
Решите уравнение для «x», объединив три значения в «3x». А затем разделите каждую сторону знака «равно» на три.
Проверьте свою работу, сложив каждое измерение угла вместе, и убедитесь, что сумма этих трех углов равна 180 градусам.
60 + 60 + 60 = 180 градусов
Дополнительные углы
Два угла являются дополнительными, когда они
в сумме составляют 90 градусов (прямой угол).
Эти два угла (40 ° и 50 °) равны дополнительным углам , потому что в сумме они дают 90 °:
Обратите внимание, что вместе они составляют прямой угол.
Но углы не обязательно должны быть вместе.
Эти два дополняют друг друга, потому что 27 ° + 63 ° = 90 °
поиграй с этим …
(перетащите точки)
Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике два непрямых угла дополняют друг друга, потому что в треугольнике три угла складываются в 180 °, а 90 ° уже получен прямым углом.
| Когда два угла складываются в 90 °, мы говорим, что они «дополняют» друг друга. Дополнительный происходит от латинского completum , что означает «завершенный» … , потому что прямой угол считается полным углом. | |
| Орфография: будьте осторожны, это , а не «Дополнительный угол» (с буквой «i»)… вот такой угол вы получите бесплатно! |
Дополнительный и дополнительный
Связанная идея — Дополнительные углы — в сумме они равны 180 °
Как вспомнить, что есть что? Ну, по алфавиту это:
- Дополнение к 90 °
- Дополнение к 180 °
Вы тоже можете подумать:
- « C » из C дополнительный для « C orner» (Прямой угол) и
- « S » из S дополнительный для « S traight» (180 ° — прямая линия)
Или вы можете подумать:
- когда вы правы вы получите комплимент (звучит как комплимент и )
- «добавка» (например, витаминная добавка) — это нечто дополнительное, поэтому больше
Сумма и разность идентичностей | Precalculus II
Используйте формулы суммы и разности для косинуса
Часто бывает проще найти точное значение синуса, косинуса или тангенса угла, если мы можем переписать данный угол в терминах двух углов, для которых известны тригонометрические значения.
Мы можем использовать специальных углов , которые мы можем просмотреть в единичном круге, показанном на рисунке 2.
Рисунок 2. Единичный круг
Мы начнем с формулы суммы и разности для косинуса , чтобы мы могли найти косинус заданного угла, если мы можем разбить его на сумму или разность двух специальных углов.
| Формула суммы для косинуса | [латекс] \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex] |
| Формула разности для косинуса | [латекс] \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex] |
Сначала докажем формулу разности для косинусов.Рассмотрим две точки на единичной окружности. Точка [латекс] P [/ latex] находится под углом [latex] \ alpha [/ latex] к положительной оси x- с координатами [latex] \ left (\ cos \ alpha, \ sin \ alpha \ right) [/ latex] и точка [latex] Q [/ latex] находится под углом [latex] \ beta [/ latex] от положительной оси x- с координатами [latex] \ left (\ cos \ beta, \ sin \ beta \ right) [/ latex]. Обратите внимание, что размер угла [латекс] POQ [/ latex] равен [latex] \ alpha — \ beta [/ latex].
Обозначьте еще две точки: [латекс] A [/ латекс] под углом [латекс] \ влево (\ alpha — \ beta \ right) [/ latex] от положительной оси x- с координатами [латекс] \ left (\ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right), \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) \ right) [/ latex]; и точка [latex] B [/ latex] с координатами [latex] \ left (1,0 \ right) [/ latex].{2} \ left (\ alpha — \ beta \ right) \ right) -2 \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) +1} \ hfill \ end {array} \ hfill \\ = \ sqrt { 1-2 \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) +1} \ hfill \\ = \ sqrt {2-2 \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right)} \ hfill \ end {массив } [/ латекс]
Поскольку два расстояния одинаковы, мы устанавливаем их равными друг другу и упрощаем.
[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \ hfill \\ \ sqrt {2–2 \ cos \ alpha \ cos \ beta -2 \ sin \ alpha \ sin \ beta} = \ sqrt {2 — 2 \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right)} \ hfill \ end {array} \ hfill \\ \ text {} 2 — 2 \ cos \ alpha \ cos \ beta -2 \ sin \ alpha \ sin \ beta = 2 — 2 \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) \ text {} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Наконец, мы вычитаем [латекс] 2 [/ латекс] с обеих сторон и делим обе стороны на [латекс] -2 [/ латекс].
[латекс] \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta = \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) \ text {} [/ latex]
Таким образом, у нас есть разностная формула для косинуса. Мы можем использовать аналогичные методы для получения косинуса суммы двух углов.
Общее примечание: формулы суммы и разности для косинуса
Эти формулы можно использовать для вычисления косинуса сумм и разностей углов.
[латекс] \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex]
[латекс] \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex]
Как: по двум углам найдите косинус разницы между углами.
- Напишите формулу разности для косинуса.
- Подставьте значения заданных углов в формулу.
- Упростить.
Пример 1: Нахождение точного значения по формуле косинуса разности двух углов
Используя формулу косинуса разности двух углов, найдите точное значение [latex] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right) [/латекс].
Решение
Используйте формулу косинуса разности двух углов.У нас
[латекс] \ begin {массив} {l} \ hfill \\ \ begin {array} {l} \ text {} \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta \ hfill \\ \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {4} — \ frac {\ pi} {6} \ right) = \ cos \ left (\ frac { 5 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) + \ sin \ left (\ frac {5 \ pi} {4} \ right) \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ hfill \\ \ text {} = \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \ left (\ frac {\ sqrt { 3}} {2} \ right) — \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ hfill \\ \ text {} = — \ frac {\ sqrt {6}} {4} — \ frac {\ sqrt {2}} {4} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {- \ sqrt {6} — \ sqrt {2 }} {4} \ hfill \\ \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Попробуй 1
Найдите точное значение [латекс] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {3} — \ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex].
{\ circ} \ right) [/ латекс].
Решение
Используйте формулы суммы и разности для синуса
Формулы суммы и разности для синуса могут быть получены таким же образом, как и формулы для косинуса, и они напоминают формулы косинуса.
Общее примечание: формулы суммы и разности для синуса
Эти формулы можно использовать для вычисления синусов сумм и разностей углов.
[латекс] \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex]
[латекс] \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex]
Практическое руководство. Для двух углов найдите синус разницы между углами.{-1} \ frac {3} {5} \ right) = \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) \ hfill \\ \ text {} = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ cdot \ frac {4} {5} + \ frac {1} {2} \ cdot \ frac { 3} {5} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {4 \ sqrt {3} +3} {10} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Используйте формулы суммы и разности для тангенса
Нахождение точных значений тангенса суммы или разности двух углов немного сложнее, но опять же, это вопрос распознавания шаблона.
Чтобы найти формулу суммы двух углов для тангенса, нужно взять частное из формул суммы для синуса и косинуса и упростить. Напомним, [латекс] \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x}, \ cos x \ ne 0 [/ latex].
Выведем формулу суммы для касательной.
[латекс] \ begin {array} {ll} \ tan \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ frac {\ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right)} {\ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right)} \ hfill & \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta} {\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta} \ hfill & \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ frac {\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}} {\ frac {\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}} \ hfill & \ text {Разделите числитель и знаменатель равен cos} \ alpha \ text {cos} \ beta \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ frac {\ sin \ alpha \ overline {) \ cos \ beta}} {\ cos \ alpha \ overline { ) \ cos \ beta}} + \ frac {\ overline {) \ cos \ alpha} \ sin \ beta} {\ overline {) \ cos \ alpha} \ cos \ beta}} {\ frac {\ overline {) \ cos \ alpha} \ overline {) \ cos \ beta}} {\ overline {) \ cos \ alpha} \ overline {) \ cos \ beta}} — \ frac {\ sin \ alpha \ sin \ beta} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}} \ hfill & \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha} + \ frac {\ sin \ beta} {\ cos \ бета}} {1- \ frac { \ sin \ alpha \ sin \ beta} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}} \ hfill & \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1- \ tan \ alpha \ tan \ beta} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]
Аналогичным образом можно вывести разностную формулу для касательной.
Общее примечание: формулы суммы и разности для тангенса
Формулы суммы и разности для тангенса :
[латекс] \ tan \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1- \ tan \ alpha \ tan \ beta} [/ latex]
[латекс] \ tan \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1+ \ tan \ alpha \ tan \ beta} [/ latex]
Как: для двух углов найдите тангенс суммы углов.
- Напишите формулу суммы для тангенса.
- Подставляет указанные углы в формулу.
- Упростить.
Пример 5: Нахождение точного значения выражения, содержащего тангенс
Найдите точное значение [латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex].
Решение
Давайте сначала напишем формулу суммы для тангенса и подставим заданные углы в формулу.
[латекс] \ begin {array} {l} \ tan \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1- \ tan \ alpha \ tan \ beta } \ hfill \\ \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {4} \ right) = \ frac {\ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) + \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right)} {1- \ left (\ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ right) \ left (\ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) \ right)} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Далее определяем отдельные касательные по формуле:
[латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {\ sqrt {3}}, \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} \ справа) = 1 [/ латекс]
Итак, у нас
[латекс] \ begin {array} {l} \ tan \ left (\ frac {\ pi} {6} + \ frac {\ pi} {4} \ right) = \ frac {\ frac {1} {\ sqrt {3}} + 1} {1- \ left (\ frac {1} {\ sqrt {3}} \ right) \ left (1 \ right)} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ frac {1+ \ sqrt {3}} {\ sqrt {3}}} {\ frac {\ sqrt {3} -1} {\ sqrt {3}}} \ hfill \\ \ text {} = \ frac { 1+ \ sqrt {3}} {\ sqrt {3}} \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {\ sqrt {3} -1} \ right) \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ sqrt {3} +1} {\ sqrt {3} -1} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Попробуй 3
Найдите точное значение [латекс] \ tan \ left (\ frac {2 \ pi} {3} + \ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex].
{2} = 16 \ hfill \\ \ text {} a = 4 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Рисунок 4
Поскольку [latex] \ cos \ beta = — \ frac {5} {13} [/ latex] и [latex] \ pi <\ beta <\ frac {3 \ pi} {2} [/ latex], сторона Рядом с [latex] \ beta [/ latex] находится [latex] -5 [/ latex], гипотенуза - 13, а [latex] \ beta [/ latex] находится в третьем квадранте.{2} = 144 \ hfill \\ a = \ pm 12 \ hfill \ end {array} [/ latex]
Поскольку [latex] \ beta [/ latex] находится в третьем квадранте, [latex] a = -12 [/ latex].
Рисунок 5
Следующим шагом является нахождение косинуса [latex] \ alpha [/ latex] и синуса [latex] \ beta [/ latex]. Косинус [latex] \ alpha [/ latex] — это сторона, прилегающая к гипотенузе. Его можно найти в треугольнике на рисунке 5: [latex] \ cos \ alpha = \ frac {4} {5} [/ latex]. Мы также можем найти синус [latex] \ beta [/ latex] из треугольника на рисунке 5 как противоположную сторону от гипотенузы: [latex] \ sin \ beta = — \ frac {12} {13} [/ latex ].Теперь мы готовы оценить [латекс] \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) [/ latex].
[латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ hfill \\ \ text { } = \ left (\ frac {3} {5} \ right) \ left (- \ frac {5} {13} \ right) + \ left (\ frac {4} {5} \ right) \ left (- \ frac {12} {13} \ right) \ hfill \\ \ text {} = — \ frac {15} {65} — \ frac {48} {65} \ hfill \\ \ text {} = — \ frac {63} {65} \ hfill \ end {array} [/ latex]
[латекс] \ begin {array} {l} \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta \ hfill \\ \ text { } = \ left (\ frac {4} {5} \ right) \ left (- \ frac {5} {13} \ right) — \ left (\ frac {3} {5} \ right) \ left (- \ frac {12} {13} \ right) \ hfill \\ \ text {} = — \ frac {20} {65} + \ frac {36} {65} \ hfill \\ \ text {} = \ frac { 16} {65} \ hfill \ end {array} [/ latex]
[латекс] \ tan \ alpha = \ frac {\ frac {3} {5}} {\ frac {4} {5}} = \ frac {3} {4} [/ latex]
Если [латекс] \ sin \ beta = — \ frac {12} {13} [/ latex] и [latex] \ cos \ beta = — \ frac {5} {13} [/ latex],
, то
[латекс] \ tan \ beta = \ frac {\ frac {-12} {13}} {\ frac {-5} {13}} = \ frac {12} {5} [/ latex]
Затем,
[латекс] \ begin {array} {l} \ tan \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1- \ tan \ alpha \ tan \ beta } \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ frac {3} {4} + \ frac {12} {5}} {1- \ frac {3} {4} \ left (\ frac {12} {5} \ right)} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ text {} \ frac {63} {20}} {- \ frac {16} {20}} \ hfill \\ \ text { } \ text {} = — \ frac {63} {16} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Мы можем их подставить и оценить.[латекс] \ begin {array} {l} \ tan \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1+ \ tan \ alpha \ tan \ beta } \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ frac {3} {4} — \ frac {12} {5}} {1+ \ frac {3} {4} \ left (\ frac {12} {5} \ right)} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {- \ frac {33} {20}} {\ frac {56} {20}} \ hfill \\ \ text {} = — \ гидроразрыв {33} {56} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Анализ решения
Распространенная ошибка при решении подобных проблем состоит в том, что у нас может возникнуть соблазн подумать, что [латекс] \ альфа [/ латекс] и [латекс] \ бета [/ латекс] являются углами в одном треугольнике, что, конечно же, они не.Также обратите внимание, что
[латекс] \ tan \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ frac {\ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right)} {\ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right)} [/ латекс]
Использовать формулы суммы и разности для совместных функций
Теперь, когда мы можем найти функции синуса, косинуса и тангенса для сумм и разностей углов, мы можем использовать их, чтобы сделать то же самое для их совместных функций. Вы можете вспомнить, что если сумма двух положительных углов равна [latex] \ frac {\ pi} {2} [/ latex], эти два угла являются дополнительными, а сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна [latex ] \ frac {\ pi} {2} [/ latex], поэтому они также являются дополнениями.На рисунке 6 обратите внимание, что если один из острых углов обозначен как [latex] \ theta [/ latex], то другой острый угол должен быть обозначен как [latex] \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ тета \ право) [/ латекс].
Рисунок 6. Из этих отношений формируются идентификаторы совместных функций.
Обратите внимание, что [latex] \ sin \ theta = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right): [/ latex] напротив гипотенузы. Таким образом, когда два угла дополняют друг друга, мы можем сказать, что синус [latex] \ theta [/ latex] равен совместной функции дополнения [latex] \ theta [/ latex].
Точно так же тангенс и котангенс являются совместными функциями, а секанс и косеканс являются совместными функциями.
Общее примечание: идентификаторы совместных функций
Идентификаторы совместных функций приведены в таблице ниже.
| [латекс] \ sin \ theta = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) [/ latex] | [латекс] \ cos \ theta = \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) [/ latex] |
| [латекс] \ tan \ theta = \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) [/ latex] | [латекс] \ cot \ theta = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) [/ latex] |
| [латекс] \ sec \ theta = \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) [/ latex] | [латекс] \ csc \ theta = \ sec \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) [/ latex] |
Обратите внимание, что формулы в таблице можно также выровнять алгебраически с помощью формул суммы и разности.Например, используя
[латекс] \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex],
мы можем написать
[латекс] \ begin {array} {l} \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) = \ cos \ frac {\ pi} {2} \ cos \ theta + \ sin \ frac {\ pi} {2} \ sin \ theta \ hfill \\ \ text {} = \ left (0 \ right) \ cos \ theta + \ left (1 \ right) \ sin \ theta \ hfill \\ \ text {} = \ sin \ theta \ hfill \ end {array} [/ latex]
Пример 7: Поиск совместной функции с тем же значением, что и данное выражение
Запишите [латекс] \ tan \ frac {\ pi} {9} [/ latex] в терминах его совместной функции.
Решение
Совместная функция [latex] \ tan \ theta = \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) [/ latex]. Таким образом,
[латекс] \ begin {array} {l} \ tan \ left (\ frac {\ pi} {9} \ right) = \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ frac {\ pi } {9} \ right) \ hfill \\ \ text {} = \ cot \ left (\ frac {9 \ pi} {18} — \ frac {2 \ pi} {18} \ right) \ hfill \\ \ текст {} = \ cot \ left (\ frac {7 \ pi} {18} \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]
Попробовать 4
Запишите [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {7} [/ latex] в терминах его совместной функции.
Решение
Использование формул суммы и разности для проверки идентичности
Проверка идентичности означает демонстрацию того, что уравнение выполняется для всех значений переменной. Это помогает хорошо знать личности или иметь их список, доступный во время работы с проблемами.
Как сделать: при наличии идентичности проверьте, используя формулы суммы и разности.
- Начните с выражения со стороны знака равенства, которое кажется наиболее сложным.Перепишите это выражение, пока оно не совпадет с обратной стороной знака равенства. Иногда нам, возможно, придется изменить обе стороны, но работа только с одной стороной является наиболее эффективной.
- Ищите возможности использовать формулы суммы и разницы.
- Перепишите суммы или разности частных как одинарные.
- Если процесс становится громоздким, перепишите выражение в терминах синусов и косинусов.
Пример 8: Проверка идентичности с использованием синуса
Проверьте идентичность [латекс] \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) + \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) = 2 \ sin \ alpha \ cos \ beta [/ latex].
Решение
Мы видим, что левая часть уравнения включает синусы суммы и разности углов.
[латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ hfill \\ \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta \ hfill \ end {array} [/ latex]
Мы можем переписать каждое, используя формулы суммы и разности.
[латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) + \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta + \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta \ hfill \\ \ text {} = 2 \ sin \ alpha \ cos \ beta \ hfill \ end {array} [/ латекс]
Видим, что личность проверена.
Пример 9: Проверка личности по касательной
Проверьте следующую личность.
[латекс] \ frac {\ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right)} {\ cos \ alpha \ cos \ beta} = \ tan \ alpha — \ tan \ beta [/ latex]
Решение
Мы можем начать с переписывания числителя в левой части уравнения.
[латекс] \ begin {array} {ll} \ frac {\ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right)} {\ cos \ alpha \ cos \ beta} = \ frac {\ sin \ alpha \ cos \ бета — \ cos \ alpha \ sin \ beta} {\ cos \ alpha \ cos \ beta} \ hfill & \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ sin \ alpha \ overline {) \ cos \ beta}} {\ cos \ alpha \ overline {) \ cos \ beta}} — \ frac {\ overline {) \ cos \ alpha} \ sin \ beta} {\ overline {) \ cos \ alpha} \ cos \ beta} \ begin {array} {cccc} & & & \ end {array} \ hfill & \ text {Перепишите, используя общий знаменатель}.\ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha} — \ frac {\ sin \ beta} {\ cos \ beta} \ hfill & \ text {Отмена}. \ hfill \ \ \ text {} = \ tan \ alpha — \ tan \ beta \ hfill & \ text {Перепишите по касательной}. \ hfill \ end {array} [/ latex]
Видим, что личность проверена. Во многих случаях проверка идентичности касательной может быть успешно выполнена путем записи касательной в терминах синуса и косинуса.
Попробуй 5
Подтвердите идентичность: [latex] \ tan \ left (\ pi — \ theta \ right) = — \ tan \ theta [/ latex].
Решение
Пример 10: Использование формул суммы и разности для решения прикладной задачи
Пусть [latex] {L} _ {1} [/ latex] и [latex] {L} _ {2} [/ latex] обозначают две невертикальные пересекающиеся линии, и пусть [latex] \ theta [/ latex] обозначают острый угол между [латексом] {L} _ {1} [/ латексом] и [латексом] {L} _ {2} [/ латексом].
Покажи, что
[латекс] \ tan \ theta = \ frac {{m} _ {2} — {m} _ {1}} {1+ {m} _ {1} {m} _ {2}} [/ латекс]
где [латекс] {m} _ {1} [/ latex] и [latex] {m} _ {2} [/ latex] — наклоны [латекса] {L} _ {1} [/ latex] и [латекс] {L} _ {2} [/ латекс] соответственно.( Подсказка: Используйте тот факт, что [latex] \ tan {\ theta} _ {1} = {m} _ {1} [/ latex] и [latex] \ tan {\ theta} _ {2} = { м} _ {2} [/ латекс].)
Рисунок 7
Решение
Используя формулу разности для тангенса, эта проблема не кажется такой сложной, как могла бы.
[латекс] \ begin {array} {l} \ tan \ theta = \ tan \ left ({\ theta} _ {2} — {\ theta} _ {1} \ right) \ hfill \\ \ text {} = \ frac {\ tan {\ theta} _ {2} — \ tan {\ theta} _ {1}} {1+ \ tan {\ theta} _ {1} \ tan {\ theta} _ {2}} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {{m} _ {2} — {m} _ {1}} {1+ {m} _ {1} {m} _ {2}} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Пример 11: Исследование проблемы с оттяжкой
Рисунок 8
Для скалодрома на вертикальном столбе высотой 47 футов крепится растяжка [латекс] R [/ латекс].Дополнительная поддержка обеспечивается другой растяжкой [латекс] S [/ латекс], прикрепленной на высоте 40 футов над землей на той же опоре. Если провода прикреплены к земле в 50 футах от столба, найдите угол [латекс] \ альфа [/ латекс] между проводами.
Решение
Давайте сначала подведем итог информации, которую мы можем собрать из диаграммы. Поскольку известны только стороны, смежные с прямым углом, мы можем использовать функцию касательной. Обратите внимание, что [latex] \ tan \ beta = \ frac {47} {50} [/ latex] и [latex] \ tan \ left (\ beta — \ alpha \ right) = \ frac {40} {50} = \ frac {4} {5} [/ latex].Затем мы можем использовать формулу разности для касательной.
[латекс] \ tan \ left (\ beta — \ alpha \ right) = \ frac {\ tan \ beta — \ tan \ alpha} {1+ \ tan \ beta \ tan \ alpha} [/ latex]
Теперь, подставляя известные нам значения в формулу, получаем
[латекс] \ begin {array} {l} \ text {} \ frac {4} {5} = \ frac {\ frac {47} {50} — \ tan \ alpha} {1+ \ frac {47} {50} \ tan \ alpha} \ hfill \\ 4 \ left (1+ \ frac {47} {50} \ tan \ alpha \ right) = 5 \ left (\ frac {47} {50} — \ tan \ альфа \ право) \ hfill \\ \ hfill \ end {array} [/ latex]
Используйте свойство дистрибутива, а затем упростите функции.
{\ circ} [/ латекс]
Анализ решения
Иногда, когда появляется приложение, содержащее прямоугольный треугольник, мы можем подумать, что решение — это вопрос применения теоремы Пифагора. Это может быть частично правдой, но это зависит от того, о чем проблема и какая информация предоставляется.
Ключевые уравнения
| Формула суммы для косинуса | [латекс] \ cos \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex] |
| Формула разности для косинуса | [латекс] \ cos \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ latex] |
| Формула суммы для синуса | [латекс] \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex] |
| Формула разности для синуса | [латекс] \ sin \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ sin \ alpha \ cos \ beta — \ cos \ alpha \ sin \ beta [/ latex] |
| Формула суммы для тангенса | [латекс] \ tan \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1- \ tan \ alpha \ tan \ beta} [/ latex] |
| Формула разности для тангенса | [латекс] \ tan \ left (\ alpha — \ beta \ right) = \ frac {\ tan \ alpha — \ tan \ beta} {1+ \ tan \ alpha \ tan \ beta} [/ latex] |
| Идентификаторы совместных функций | [латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ theta = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) \\ \ cos \ theta = \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) \\ \ tan \ theta = \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) \\ \ cot \ theta = \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) \\ \ sec \ theta = \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) \\ \ csc \ theta = \ sec \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) \ end {array} [/ latex] |
Ключевые понятия
- Формула суммы для косинусов утверждает, что косинус суммы двух углов равен произведению косинусов углов минус произведение синусов углов. Формула разности для косинусов утверждает, что косинус разницы двух углов равен произведению косинусов углов и произведению синусов углов.
- Формулы суммы и разности можно использовать для определения точных значений синуса, косинуса или тангенса угла.
- Формула суммы для синусов утверждает, что синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла и косинуса второго угла плюс произведение косинуса первого угла и синуса второго угла.Формула разности для синусов утверждает, что синус разницы двух углов равен произведению синуса первого угла и косинуса второго угла минус произведение косинуса первого угла и синуса второго угла.
- Формулы суммы и разности для синуса и косинуса также могут использоваться для обратных тригонометрических функций.
- Формула суммы для тангенса гласит, что тангенс суммы двух углов равен сумме тангенсов углов, деленной на 1 минус произведение тангенсов углов.Формула разности для тангенса гласит, что тангенс разности двух углов равен разности касательных углов, деленной на 1, плюс произведение тангенсов углов.
- Теорема Пифагора вместе с формулами суммы и разности может использоваться для нахождения нескольких сумм и разностей углов.
- Идентификаторы совместных функций применяются к дополнительным углам и парам взаимных функций.
- Формулы суммы и разности полезны при проверке идентичности.
- Часто прикладные задачи легче решить, используя формулы суммы и разности.
Формула разности для косинусов утверждает, что косинус разницы двух углов равен произведению косинусов углов и произведению синусов углов.Раздел упражнений
1. Объясните, на чем основаны идентификаторы совместных функций, и когда они применяются.
2. Есть ли только один способ оценить [latex] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {4} \ right)? [/ Latex] Объясните, как настроить решение двумя разными способами, а затем вычислить, чтобы убедиться, что они дают одинаковый ответ.
3. Объясните тому, кто забыл о четно-нечетных свойствах синусоидальных функций, как формулы сложения и вычитания могут определять эту характеристику для [латекса] f \ left (x \ right) = \ sin \ left (x \ right) [ / latex] и [латекс] g \ left (x \ right) = \ cos \ left (x \ right) [/ latex].
(Подсказка: [латекс] 0-x = -x [/ latex])
Найдите точное значение для следующих упражнений.
4. [латекс] \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {12} \ right) [/ latex]
5. [латекс] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {12} \ right) [/ latex]
6. [латекс] \ sin \ left (\ frac {5 \ pi} {12} \ right) [/ latex]
7. [латекс] \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {12} \ right) [/ latex]
8. [латекс] \ tan \ left (- \ frac {\ pi} {12} \ right) [/ latex]
9. [латекс] \ tan \ left (\ frac {19 \ pi} {12} \ right) [/ latex]
Для следующих упражнений перепишите в терминах [латекс] \ sin x [/ latex] и [латекс] \ cos x [/ latex].
10. [латекс] \ sin \ left (x + \ frac {11 \ pi} {6} \ right) [/ latex]
11. [латекс] \ sin \ left (x- \ frac {3 \ pi} {4} \ right) [/ latex]
12. [латекс] \ cos \ left (x- \ frac {5 \ pi} {6} \ right) [/ latex]
13. [латекс] \ cos \ left (x + \ frac {2 \ pi} {3} \ right) [/ latex]
Для следующих упражнений упростите данное выражение.
14. [латекс] \ csc \ left (\ frac {\ pi} {2} -t \ right) [/ latex]
15. [латекс] \ sec \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ theta \ right) [/ latex]
16.[латекс] \ cot \ left (\ frac {\ pi} {2} -x \ right) [/ latex]
17. [латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {2} -x \ right) [/ latex]
18. [латекс] \ sin \ left (2x \ right) \ cos \ left (5x \ right) — \ sin \ left (5x \ right) \ cos \ left (2x \ right) [/ latex]
19. [латекс] \ frac {\ tan \ left (\ frac {3} {2} x \ right) — \ tan \ left (\ frac {7} {5} x \ right)} {1+ \ tan \ left (\ frac {3} {2} x \ right) \ tan \ left (\ frac {7} {5} x \ right)} [/ latex]
Найдите запрошенную информацию для следующих упражнений.
20. Учитывая, что [латекс] \ sin a = \ frac {2} {3} [/ latex] и [latex] \ cos b = — \ frac {1} {4} [/ latex], с [латексом] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] оба в интервале [latex] \ left [\ frac {\ pi} {2}, \ pi \ right) [/ latex], найдите [latex] \ sin \ left (a + b \ right) [/ latex] и [latex] \ cos \ left (ab \ right) [/ latex].
{-1} \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ right) [/ latex]
Для следующих упражнений упростите выражение, а затем изобразите оба выражения как функции, чтобы убедиться, что графики идентичны.
25. [латекс] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} -x \ right) [/ latex]
26. [латекс] \ sin \ left (\ pi -x \ right) [/ латекс]
27. [латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {3} + x \ right) [/ latex]
28. [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} + x \ right) [/ latex]
29. [латекс] \ tan \ left (\ frac {\ pi} {4} -x \ right) [/ latex]
30.[латекс] \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} + x \ right) [/ latex]
31. [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {4} + x \ right) [/ latex]
32. [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {4} + x \ right) [/ latex]
В следующих упражнениях используйте график, чтобы определить, являются ли функции одинаковыми или разными. Если они такие же, покажите почему. Если они разные, замените вторую функцию на ту, которая идентична первой. (Подсказка: подумайте [латекс] 2x = x + x [/ latex].
)
33. [латекс] f \ left (x \ right) = \ sin \ left (4x \ right) — \ sin \ left (3x \ right) \ cos x, g \ left (x \ right) = \ sin x \ cos \ left (3x \ right) [/ латекс]
34.[латекс] f \ left (x \ right) = \ cos \ left (4x \ right) + \ sin x \ sin \ left (3x \ right), g \ left (x \ right) = — \ cos x \ cos \ влево (3x \ вправо) [/ латекс]
35. [латекс] f \ left (x \ right) = \ sin \ left (3x \ right) \ cos \ left (6x \ right), g \ left (x \ right) = — \ sin \ left (3x \ right) \ cos \ left (6x \ right) [/ латекс]
36. [латекс] f \ left (x \ right) = \ sin \ left (4x \ right), g \ left (x \ right) = \ sin \ left (5x \ right) \ cos x- \ cos \ влево (5x \ вправо) \ sin x [/ латекс]
37. [латекс] f \ left (x \ right) = \ sin \ left (2x \ right), g \ left (x \ right) = 2 \ sin x \ cos x [/ латекс]
38.{\ circ} \ right) [/ латекс]
Для следующих упражнений подтвердите предоставленные личности.
{2} y [/ latex]
51.{2} y} [/ латекс]
55. Если [latex] \ alpha, \ beta [/ latex] и [latex] \ gamma [/ latex] являются углами в одном треугольнике, тогда докажите или опровергните [latex] \ sin \ left (\ alpha + \ beta \ right) = \ sin \ gamma [/ latex].
57. Если [latex] \ alpha, \ beta [/ latex] и [latex] y [/ latex] являются углами в одном треугольнике, тогда докажите или опровергните [latex] \ tan \ alpha + \ tan \ beta + \ tan \ gamma = \ tan \ alpha \ tan \ beta \ tan \ gamma [/ латекс]
треугольников ASA | Блог по математике ∞
Буквы ASA обозначают угол — сторона — угол, что означает треугольник с двумя известными углами и известной длиной одной стороны между двумя углами.Когда у нас будет столько информации, мы сможем вычислить оставшийся угол и длину двух других сторон.
Нахождение третьего угла треугольника ASA
Представьте себе треугольник со сторонами a, b и c, где длина a = 5 дюймов. Мы знаем, что угол пересечения a и b равен 60 градусам. Мы знаем, что угол пересечения a и c равен 90 градусам. Чтобы узнать третий угол, нам нужно только запомнить правило, согласно которому сумма трех углов любого треугольника всегда равна 180.В этом примере 60 + 90 +? = 180. Поскольку 60 + 90 = 150, а 180 — 150 = 30, мы знаем, что угол, где b пересекает c, равен 30 градусам.
Поиск двух оставшихся сторон треугольника ASA
Формула для нахождения сторон треугольника ASA немного сложнее, и для нее требуется функция синуса на калькуляторе. Сначала давайте изобразим треугольник, подобный приведенному выше, со сторонами a, b и c. Обозначим угол напротив каждой стороны заглавной буквой, так что угол напротив стороны a равен A, угол напротив стороны b равен B, а угол напротив стороны c равен C.Используя эти обозначения, Закон синуса утверждает, что
a / sin A = b / sin B = c / sin C
Следовательно, если мы знаем по крайней мере два угла и одну противоположную сторону, мы можем использовать формулу, чтобы найти длины двух других сторон.
В приведенном выше примере мы знаем, что одна сторона (a) имеет длину 5 дюймов, и мы знаем, что противоположный угол A (где b пересекает c) равен 30 градусам. Мы также знаем, что угол B, противоположный стороне b, равен 90 градусам. Мы можем использовать эту информацию, чтобы составить уравнение: 5 / sin (30) = b / sin (90).
Используя алгебру, мы можем переписать уравнение как
б = 5 / грех (30) х грех (90)
b = 5 / 0,5 x 1
b = 10 дюймов
Затем мы можем сделать то же самое со стороной c, зная, что ее противоположный угол C равен 60 градусам. Мы можем использовать либо a / sin (A), либо b / sin (B) для вычисления c. Используя первую сторону и угол, a / sin (A), мы можем составить новое уравнение как 5 / sin (30) = c / sin (60). Изменив уравнение, мы можем решить его, выполнив следующие шаги.
с = 5 / грех (30) х грех (60)
c = 5 /.5 х 0,87
c = 8,7 дюйма
Практика
Задача: Учитывая следующую информацию о треугольнике ASA, решите угол C и стороны a и b.
Угол A = 50 градусов
Угол B = 70 градусов
сторона c = 6 дюймов
Решение:
Чтобы найти третий угол, сложите A и B и вычтите из 180. Угол C равен 60 градусам.
Чтобы найти сторону a, используйте правило синуса: a / sin (50) = 6 / sin (60)
а = 6 / грех (60) х грех (50)
а = 6 /.87 х 0,77
a = 5,3 дюйма
Чтобы найти сторону b, используйте синусоидальное правило b / sin (70) = 6 / sin (60)
б = 6 / грех (60) х грех (70)
b = 6 / 0,87 x 0,94
b = 6,5 дюймов
.
Leave A Comment