Геометрические задачи с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
Кирюшина Я.С. 1Кудряшева Д.Е. 1
1ГБОУ «Брянский городской лицей №1 имени А.С.Пушкина»
Ефремова Л.И. 1
1ГБОУ «Брянский городской лицей №1 имени А.С.Пушкина», учитель математики
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
I.Введение
Подготовка к государственной итоговой аттестации – дело очень серьёзное и, как правило, к 9 классу одноклассники уже задумываются над тем, чтобы успешно сдать экзамены и продолжить обучение в лицее, а не где-то в другом месте. В начале учебного года мы закупили учебно-методическое пособие под редакцией Д.А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ». И так как мы учимся хорошо, то нам хочется научиться решать задания II части, а именно задачи под 26 номером. Они, конечно, трудные, но в тесте 15 мы столкнулись с неизвестным нам видом окружности, которая не находится внутри треугольника и касается только одной его стороны и продолжений двух сторон треугольника. Такого материала в школьном курсе математики не оказалось, тем более мы учимся в социально-гуманитарном классе, где математики 5 часов в неделю, поэтому мы обратилась к своему учителю математики, что побудило нас заняться проектно-исследовательской работой «
Объект исследования: вневписанные окружности.
Предмет исследования: установление взаимосвязей между элементами вневписанных окружностей и треугольника.
Актуальность исследования
заключается в том, что данная тема выходит за рамки школьной программы и будет полезна учащимся, интересующимся математикой, или для учащихся специализированных классов. В большей части заданий термин «вневписанная окружность» не фигурирует, а появляется как вспомогательная фигура, именно поэтому объект данного исследования помогает решать различные геометрические задачи.
Цель исследования: показать эффективность применения теории вневписанных окружностей при решении планиметрических задач на доказательство и вычисление элементов треугольника.
Задачи исследования:
изучить литературу по выбранной теме;
познакомиться с понятием вневписанной окружности треугольника;
вывести и доказать свойства вневписанных окружностей и научиться применять их при решении геометрических задач;
найти и разобрать решение задач с вневписанными окружностями из учебно-методического пособия под редакцией Д. А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ»;
провести анкетирование на предмет выявления у обучающихся 9-х классов знаний о вневписанных окружностях;
изготовить макет и таблицы с вневписанной окружностью для более быстрого анализа задачи и повторения теории.
II.Основная часть
2.1. Основные теоретические сведения.
2.1.1. Понятие вневписанной окружности.
В.И.Арнольд, говорит, что математика – это часть физики. А я дополняю: физика – это часть геометрии.
(И.Ф. Шарыгин— профессор МГУ,
математик и педагог, специалист по
элементарной геометрии,
популяризатор науки, автор учебников и
пособий для школьников).
В своём учебнике геометрии Игорь Фёдорович Шарыгин написал: «Каждый треугольник определяет семейство окружностей, помогающих глубже и полнее понять «устройство» треугольника» Рассмотрим одно из таких «семейств». Оказывается, что у каждого треугольника имеется четыре (!) окружности, касающиеся всех трех прямых, образующих этот треугольник. Одна из них — это известная вам вписанная окружность. Три другие называются вневписанными окружностями. [9]
Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.
2.1.2. Свойства вневписанной окружности.
Смотреть приложение.
2.1.3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных
окружностей. (См. Приложение)
спецкурсе в 9 с/г классе
2.2. Применение свойств вневписанных окружностей
при решении задач.
На данном этапе работы над исследованием, нам пришлось разделиться. Яна занялась отбором задач из учебно-методического пособия под редакцией Д.А.Мальцева, а Даша поиском задач с вневписанными окружностями из других источников. Мы нашли всего 11 задач. Из сборника под редакцией Мальцева Д.А. «ОГЭ – 2019» семь задач. Это задачи №26 из тестов:15, 16,29,39,50,52,56. Еще 2 задачи из сборника под редакцией Ф.Ф.Лысенко «Подготовка к ЕГЭ-2010, и две задачи из сборника «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева. В презентацию мы несли 6 задач, остальные решили и записали в специальную тетрадь для подготовки к ОГЭ.
Формы работы: публичные выступления, устный опрос, дискуссия.
Задача 1
сборник «Подготовка к ОГЭ-2019, под редакцией Д.А. Мальцева
В равнобедренном треугольнике ABC основанием AB = 24 длины боковых сторон равны 37. Найдите радиус окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон AC, BC за точки A и B соответственно.
Д ано:
ΔABC- равнобедренный
AB- основание
AB =24
AC = CB = 37
Окр. (О; r) – вневписанная
Найти: r
Решение:
Найдём центр вневписанной окружности.
О – точка пересечения биссектрисы ∠ACB и биссектрисы ∠ABM.
r = , где p- полупериметр
p = = 49
SABC= = = = = =7·12·25=420
r = = = 16,8
Ответ: 16,8
Тест №16
К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, проведена касательная, которая параллельна основанию AB и пересекает боковые стороны AC, BC в точках M и N соответственно.
Дано:
ΔABC- равнобедренный
AB- основание
Окр(О; r) вписана в ΔABC
a ∥AB
a – касательная к Окр(O; r)
MN = 20
CM = 26
Найти: SABC
Решение:
Окр(O; r) является вневписанной для ΔMCN
Найдём r
R = p·tg , где p – полупериметр ΔMCN.
По теореме Пифагора: CH·CH =
CH= = 24
tg = = =
p= = 36
r = 36· = 15
CP= HP+ CH = 15·2+24 = 54
ΔCMN~ΔABC по 1 признаку подобия треугольников (∠C- общий, ∠CMN = ∠CAB как соответственные при a ∥AB и секущей AC)
=
= ; AB= = 45
SABC= AB· CP = 0,5·45·54=1215
Ответ: 1215
Также были подготовлены задачи о вневписанных окружностях из учебно-методического пособия под редакцией Д. А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ», макет и таблицы с вневписанной окружностью для более быстрого анализа задачи и повторения теории. Очень много времени ушло на решение задач, они все трудные для нас и мы хотели разобраться. Этот период в работе проекта был самый
2.3. Результаты анкетирования.
Вопросы, которые задавались во время социологического опроса:
Сколько окружностей касается сторон треугольника?
Какая окружность называется вневписанной?
Приходилось ли вам решать геометрические задачи с вневписанными окружностями?
Как вы думаете, есть ли в тестах ОГЭ и ЕГЭ такие задачи?
Хотели бы вы научиться решать такие задачи?
Социологический опрос
Были опрошены учащиеся 9 социально-экономического, химико-биологического №1 и №2, социально-гуманитарного классов. Всего 83 ученика. На первый вопрос ответы были разнообразные: 64% считают, что такая окружность одна, и она является вписанной, 2% — две, 18% — три, 7% — 4, и 9% много окружностей. Правильный ответ дали только 6 человек. Это очень мало и вполне объяснимо, ведь данная тема не входит в школьную программу.
Фото 3, обработка социологического опроса
На второй вопрос правильноответили 11%, возможно кто-то из них вневписанную окружность спутал понятием вписанной, либо описанной окружностей.
На третий вопрос (Приходилось ли вам решать геометрические задачи с вневписанными окружностями?) ответы были такие: да -29%, нет –71%. Мы думаем, что большинство тех учеников, которые сказали «да» опять же спутали вневписанную окружность просто с задачами про окружность.
Четвертый вопрос: Как вы думаете, есть ли в тестах ОГЭ и ЕГЭ такие задачи? Большинство девятиклассников считают, что «да» — это 67%, нет-33%. На пятый вопрос(Хотели бы вы научиться решать такие задачи?) одна треть ответила, что «нет» — 31%, не хотят, а две трети – 69% с удовольствием хотели бы познакомиться с такими задачами.
После обработки данных социологического опроса, мы поняли, что данная тема незнакома. Значит, нужно взяться за эту работу и выступить на неделе Науки в лицее.
Выводы: поэтому после социологического опроса мы решили создать презентацию «Геометрические задачи с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ», макет и таблицы с вневписанной окружностью для быстрого анализа задачи и повторения теории.
III. Заключение
Рассмотрено определение вневписанной окружности. Рассмотренные свойства позволили установить связь между биссектрисой внутреннего и двух внешних углов, не смежных с первым, треугольника и центром вневписанной окружности. А также между длиной отрезка вершины до точки касания с вневписанной окружностью; между радиусами вневписанной окружности и площадью треугольника; между точкой касания вневписанной окружности; вписанной окружности и вершины треугольника; между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника; между радиусами вневписанной и вписанной окружности.
Фото 4 фото 5
Решение задач из сборника Мальцева-2019
Также были подготовлены задачи о вневписанных окружностях из учебно-методического пособия под редакцией Д.А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ», макет и таблицы с вневписанной окружностью для более быстрого анализа задачи и повторения теории. Очень много времени ушло на решение задач, они все трудные для нас и мы хотели разобраться. Этот период в работе исследования был самый трудный. А когда у нас был спецкурс, то за одно занятие мы смогли решить только две задачи, так как они достаточно объемные. Нашим одноклассникам понравилось это занятие больше других.
В следующем году мы планируем продолжить данную тему, решая все более сложные задачи, а так же рассмотреть свойства вневписанных окружностей для многоугольников.
IV. Список источников информации
1. Березин В.И. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике / В.И.Березин: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1985.
2. Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника / Квант-1987, №7.
3. Гнеденко, Б.В. Энциклопедический словарь юного математика /Б.В. Гнеденко. – М.: Педагогика, 1989.
4. Заславский А.А., Протасов В.Ю., Шарыгин Д. И. Геометрические олимпиады им. И.Ф. Шарыгина — М.:МЦНМО, 2007. — 152 с.: ил.
5. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави».
6. Мальцев Д.А. Учебно-методическое пособие под редакцией Д.А.Мальцева «Математика 9 класс. ОГЭ 2019, 60 тестов, 15 проверочных работ». М.: Народное образование, 2018.-333[1]с
7.Мальцев Д.А. Учебно-методическое пособие под редакцией «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева
8. Лысенко Ф.Ф. Учебно-методическое пособие «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко.
9. Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — М.: Наука, 1982.— 160 с
Приложение
6 таблиц формата А2
Таблицы [1], [2] и [3]
9
Просмотров работы: 486
ГДЗ Мальцев Огэ 2020 – Telegraph
➡➡➡ ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ!
ГДЗ Мальцев Огэ 2020
(продолжение) ОГЭ – 2020 . Математика . 9 класс . 30 тестов . Под редакцией Д . А . Мальцева: Ответы .
ВКонтакте – универсальное средство для общения и поиска друзей и одноклассников, которым ежедневно пользуются десятки миллионов человек . Мы хотим, чтобы друзья, однокурсники, одноклассники, соседи и коллеги всегда оставались в контакте .
128 руб . ОГЭ 2020 » под редакцией Д .А . Мальцева . В §2 приведены решения всех задач с нечётными номерами из задачника . А в §3 и §4 даны краткие решения и указания к некоторым из заданий 25 и 26 тестов с чётными номерами . . Все решения написаны достаточно подробно, в . .
214 руб . ОГЭ 2020 » под редакцией Д .А . Мальцева . В §2 приведены решения всех задач с нечётными номерами из задачника . А в §3 и §4 даны краткие решения и указания к некоторым из заданий 25 и 26 тестов с чётными номерами . Все решения написаны достаточно подробно, в . .
Под редакцией Д . А . Мальцева . Димон Знаток (294), закрыт 9 месяцев назад . Нина Рядчикова Знаток (305) Все контакты у меня на канале Подготовка к ОГЭ по математике Бесплатно! . Задание 23 и 22 .
Основной рекомендуемый учебник, решебник и ГДЗ в этом году для подготовки к экзаменам ОГЭ — это новый сборник Мальцев , Мальцев , Мальцева : ОГЭ -2020 . Математика . 9 класс .
Главные вкладки . 15 .06 .2020 ПК1 литература Итоговый тест . ответить на вопросы теста . .
9 класс . ОГЭ 2020 . Решебник в интернет-магазине книг Учитель .by . Большой выбор учебной литературы, канцтоваров по низким ценам . Данное пособие содержит решения заданий части 2 всех тестов с нечётными номерами книги «Математика 9 класс .
36 руб . ОГЭ 2020 » под редакцией Д .А . Мальцева . В §2 приведены решения всех задач с нечётными номерами из задачника . А в §3 и §4 даны краткие решения и указания к некоторым из заданий 25 и 26 тестов с чётными номерами . Все решения написаны достаточно подробно, в . .
Данное пособие предназначено для подготовки к итоговой аттестации по математике в 9 классе . Оно содержит: 30 тестов по новому плану ОГЭ 2020 ; подборку дополнительных задач части 2 . Одновременно с данным пособием выходит Решебник, содержащий решения заданий с . .
Алексей Александрович Мальцев , Дмитрий Александрович Мальцев , Луиза Ишбулдовна Мальцева . Основная цель данной книги — помочь ученику, желающему научиться решать наиболее сложные задачи предстоящего выпускного экзамена по математике .
47 руб . Данное пособие содержит решения заданий части 2 всех тестов с нечетными номерами книги «Математика . 9 класс . 30 тестов по новому плану ОГЭ 2020 » под редакцией Мальцева Д .А . Также в параграфе 2 приведены решения задач с нечетными номерами из задачниками .
Автор: Мальцева . Издательство: Афина . Год издания: 2020 . Богданов Николай Александрович ОГЭ 2019 .
Пособии от известных авторов ОГЭ ЕГЭ ФИПИ . математика, русский язык, обществознание, химия, биология, история, литература, информатика, английский язык, география, физика (задания и ответы) .
ОГЭ 2020 » под редакцией Д .А . Мальцева . Если Вы обнаружили ошибку в описании товара «ОГЭ -2020 . Математика . 9 класс . Решебник» Мальцев Д .А ., выделите её мышкой и нажмите: Ctrl+Enter .
(продолжение) ОГЭ – 2020 . Математика . 9 класс . 30 тестов . Под редакцией Д . А . Мальцева: Ответы .
ВКонтакте – универсальное средство для общения и поиска друзей и одноклассников, которым ежедневно пользуются десятки миллионов человек . Мы хотим, чтобы друзья, однокурсники, одноклассники, соседи и коллеги всегда оставались в контакте .
128 руб . ОГЭ 2020 » под редакцией Д .А . Мальцева . В §2 приведены решения всех задач с нечётными номерами из задачника . А в §3 и §4 даны краткие решения и указания к некоторым из заданий 25 и 26 тестов с чётными номерами . . Все решения написаны достаточно подробно, в . .
214 руб . ОГЭ 2020 » под редакцией Д .А . Мальцева . В §2 приведены решения всех задач с нечётными номерами из задачника . А в §3 и §4 даны краткие решения и указания к некоторым из заданий 25 и 26 тестов с чётными номерами . Все решения написаны достаточно подробно, в . .
Под редакцией Д . А . Мальцева . Димон Знаток (294), закрыт 9 месяцев назад . Нина Рядчикова Знаток (305) Все контакты у меня на канале Подготовка к ОГЭ по математике Бесплатно! . Задание 23 и 22 .
Основной рекомендуемый учебник, решебник и ГДЗ в этом году для подготовки к экзаменам ОГЭ — это новый сборник Мальцев , Мальцев , Мальцева : ОГЭ -2020 . Математика . 9 класс .
Главные вкладки . 15 .06 .2020 ПК1 литература Итоговый тест . ответить на вопросы теста . .
9 класс . ОГЭ 2020 . Решебник в интернет-магазине книг Учитель .by . Большой выбор учебной литературы, канцтоваров по низким ценам . Данное пособие содержит решения заданий части 2 всех тестов с нечётными номерами книги «Математика 9 класс .
36 руб . ОГЭ 2020 » под редакцией Д .А . Мальцева . В §2 приведены решения всех задач с нечётными номерами из задачника . А в §3 и §4 даны краткие решения и указания к некоторым из заданий 25 и 26 тестов с чётными номерами . Все решения написаны достаточно подробно, в . .
Данное пособие предназначено для подготовки к итоговой аттестации по математике в 9 классе . Оно содержит: 30 тестов по новому плану ОГЭ 2020 ; подборку дополнительных задач части 2 . Одновременно с данным пособием выходит Решебник, содержащий решения заданий с . .
Алексей Александрович Мальцев , Дмитрий Александрович Мальцев , Луиза Ишбулдовна Мальцева . Основная цель данной книги — помочь ученику, желающему научиться решать наиболее сложные задачи предстоящего выпускного экзамена по математике .
47 руб . Данное пособие содержит решения заданий части 2 всех тестов с нечетными номерами книги «Математика . 9 класс . 30 тестов по новому плану ОГЭ 2020 » под редакцией Мальцева Д .А . Также в параграфе 2 приведены решения задач с нечетными номерами из задачниками .
Автор: Мальцева . Издательство: Афина . Год издания: 2020 . Богданов Николай Александрович ОГЭ 2019 .
Пособии от известных авторов ОГЭ ЕГЭ ФИПИ . математика, русский язык, обществознание, химия, биология, история, литература, информатика, английский язык, география, физика (задания и ответы) .
Leave A Comment