Формулы для огэ по математике 2023 геометрия

Предстоящее ОГЭ по математике в 2023 году включает в себя множество заданий по геометрии. Для получения высоких оценок необходимо глубокое знание теории, умение быстро анализировать и решать задачи. Одним из главных инструментов для решения задач являются формулы.

В данной статье мы рассмотрим основные формулы для ОГЭ по математике в разделе геометрии, которые позволят эффективно и быстро решать задачи различной сложности. На примерах мы разберем, как применять формулы в практических задачах.

Выучив и понимая формулы, можно не только поднять свой балл на экзамене, но и существенно облегчить учебу в школе. Ведь формулы применяются не только на ОГЭ, но и в высшей математике, а также в профессиональной деятельности в некоторых областях. Воспользуйтесь нашей статьей, чтобы лучше понять геометрические формулы и увереннее сдавать ОГЭ по математике в 2023 году!

Содержание

  1. Формулы для ОГЭ по математике 2023: геометрия
  2. Периметр и площадь прямоугольника
  3. Периметр и площадь квадрата
  4. Диагонали прямоугольника и квадрата
  5. Периметр и площадь круга
  6. Определение геометрии
  7. Круг и его свойства
  8. Определение круга
  9. Формулы для расчета периметра и площади круга
  10. Свойства круга
  11. Пример задачи
  12. Треугольник и его свойства
  13. Соотношение между углами треугольника
  14. Типы треугольников
  15. Формулы для вычисления площади и периметра треугольника
  16. Площади геометрических фигур
  17. Треугольник
  18. Прямоугольник
  19. Круг
  20. Трапеция
  21. Параллелограмм
  22. Правильные тела и их объёмы
  23. Что такое правильное тело?
  24. Какие бывают правильные тела?
  25. Как найти объем правильного тела?
  26. Почему важно знать формулы объемов правильных тел?
  27. Теорема Пифагора и её применение
  28. Уравнения окружностей и прямых
  29. Уравнения окружностей
  30. Уравнения прямых

Формулы для ОГЭ по математике 2023: геометрия

Периметр и площадь прямоугольника

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его сторон:

P = 2(a + b)

где a и b — длины сторон прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

S = ab

Периметр и площадь квадрата

Периметр квадрата — это сумма длин всех его сторон:

P = 4a

где a — длина стороны квадрата.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

S = a2

Диагонали прямоугольника и квадрата

Диагональ прямоугольника может быть найдена по теореме Пифагора:

d = √(a2 + b2)

где a и b — длины сторон прямоугольника.

Диагональ квадрата — это сторона, умноженная на √2:

d = a√2

Периметр и площадь круга

Периметр круга (окружности) равен удвоенному произведению радиуса на число π:

P = 2πr

где r — радиус круга.

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число π:

S = πr2

Определение геометрии

Геометрия – это раздел математики, изучающий пространственные и фигурные объекты, а также свойства их составных элементов: точек, линий, углов, поверхностей и тел. Одной из основных задач геометрии является решение геометрических задач, основанных на применении формул и теорем.

Геометрия имеет свои корни еще в древности, когда при строительстве храмов и пирамид были использованы математические знания и геометрические теоремы. С того времени геометрия значительно развилась, и в настоящее время представляет собой одну из самых важных наук, имеющих огромное практическое применение в жизни человека.

Основными понятиями геометрии являются: точка, линия, угол, многоугольник, окружность, цилиндр, конус, сфера, куб, параллелепипед и многие другие. Изучение их свойств и особенностей позволяет решать широкий круг задач в области проектирования и строительства, научиться рисовать и понимать геометрические формы, и, конечно же, успешно сдавать экзамены по математике, включая ОГЭ и ЕГЭ.

Важным аспектом геометрии является запоминание и понимание формул и теорем, позволяющих решать задачи в кратчайшие сроки. Например, формулы для нахождения площади и периметра прямоугольника или треугольника, теорема Пифагора для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника, теорема косинусов для нахождения стороны треугольника и многие другие. 2

Треугольник и его свойства

Соотношение между углами треугольника

Треугольник — это многоугольник соответствующий которому имеет три вершины и три стороны. Одно из важных свойств треугольника заключается в том, что сумма всех его углов равна 180 градусов. Также стоит отметить, что наибольший угол треугольника всегда находится напротив наибольшей стороны, наименьший угол — напротив наименьшей его стороны.

Неравенство в треугольнике: любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше разности между ними.

Типы треугольников

Существует несколько типов треугольников, различающихся по длинам сторон и величине углов. Так, треугольник может быть равносторонним, равнобедренным, прямоугольным и разносторонним.

  • Равносторонний треугольник — все стороны и углы равны.
  • Равнобедренный треугольник — имеет две равные стороны, а углы напротив определенных сторон также равны.
  • Прямоугольный треугольник — характеризуется наличием прямого угла. Сторона противолежащая прямому углу называется гипотенузой.
  • Разносторонний треугольник — все три стороны и углы различны.

Формулы для вычисления площади и периметра треугольника

Для расчета периметра треугольника надо сложить длины всех его сторон.

Площадь треугольника можно вычислить, используя следующие формулы:

  • Если известна длина основания (стороны) и высоты (отрезка, проведенного к середине этой стороны из противоположной вершины), то площадь равна половине произведения основания на высоту. S = (a*h)/2.
  • Формула Герона: для нахождения площади треугольника по трем сторонам можно воспользоваться формулой Герона, которая выглядит следующим образом: S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)), где p=(a+b+c)/2 — полупериметр треугольника, a, b, c — длины его сторон.

Площади геометрических фигур

Треугольник

Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания и высоты, опущенной на эту основу.

S=1/2*a*h, где a — длина основания, h — высота, опущенная на основание

Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины.

S=a*b, где a и b — длина и ширина прямоугольника соответственно.

Круг

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число Пи (3,14).

S=π*r², где r — радиус круга.

Трапеция

Площадь трапеции равна половине суммы ее оснований, умноженной на высоту.

S=1/2*(a+b)*h, где a и b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Параллелограмм

Площадь параллелограмма равна произведению длины одной стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

S=a*h, где a — одна из сторон параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне.

Правильные тела и их объёмы

Что такое правильное тело?

Правильное тело — это геометрическая фигура, у которой все стороны равны и все углы равны.

Какие бывают правильные тела?

Среди правильных тел можно выделить несколько групп:

  • Правильные многогранники, такие как тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.
  • Правильные многогранные углы, такие как тетраэдральный угол и октаэдральный угол.
  • Правильные цилиндры, такие как цилиндр, треугольный цилиндр и шестиугольный цилиндр.
  • Правильные конусы, такие как конус, треугольный конус и шестиугольный конус.
  • Правильные сферы.

Как найти объем правильного тела?

Для нахождения объема правильного тела можно использовать специальные формулы, которые зависят от типа тела. Например, для нахождения объема шара можно использовать формулу V = 4/3πr³, а для нахождения объема куба — формулу V = a³, где a — длина грани куба.

Почему важно знать формулы объемов правильных тел?

Знание формул объемов правильных тел является важным для успешного решения задач по геометрии, которые часто встречаются на ОГЭ по математике. Кроме того, это знание может пригодиться в повседневной жизни при расчете объемов различных предметов и контейнеров.

Теорема Пифагора и её применение

Одна из основных теорем геометрии — Теорема Пифагора — гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема Пифагора имеет множество применений в различных областях науки и техники. Например, её можно использовать для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости, для определения длины сторон треугольника, для расчёта длины пути в лабиринте и многих других задач.

Применение теоремы Пифагора требует умения разбираться в геометрических фигурах и аналитической геометрии. Чтобы успешно применять формулу, необходимо уметь вычислять корни квадратного уравнения и работать с тригонометрическими функциями.

Но несмотря на некоторую сложность, знание теоремы Пифагора и её применения является необходимым для успешного сдачи экзамена по геометрии в ОГЭ по математике. Поэтому рекомендуется хорошо усвоить эту теорему и освоить приёмы её применения.

  • Теорема Пифагора является одной из основных теорем геометрии.
  • Она позволяет вычислять длину сторон треугольника и расстояние между точками на плоскости.
  • Применение теоремы Пифагора требует знания аналитической геометрии и тригонометрии.
  • Умение применять теорему Пифагора и её применения необходимо для успешной сдачи экзамена по геометрии в ОГЭ по математике.

Уравнения окружностей и прямых

Уравнения окружностей

Окружность – это замкнутая кривая, которая со всех сторон находится на одинаковом расстоянии от центра. Уравнение окружности задается формулой:

(x – a)² + (y – b)² = r²,

  • где a и b — координаты центра окружности;
  • r — радиус окружности.

Также существует каноническое уравнение окружности:

x² + y² = r²,

  • где r — радиус окружности.

Уравнения прямых

Прямая — это линия, которая не имеет изгибов и продолжается в обе стороны до бесконечности. Уравнение прямой задается формулой:

y = kx + b,

  • где k — угловой коэффициент прямой;
  • b — свободный член уравнения.

Угловой коэффициент определяет наклон прямой к оси абсцисс:

  • если k > 0, то прямая наклонена вправо и вверх;
  • если k , то прямая наклонена влево и вверх;
  • если k = 0, то прямая параллельна оси абсцисс;
  • если k = бесконечности, то прямая параллельна оси ординат.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (справочник по математике для школьников — Геометрия



Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (справочник по математике для школьников — Геометрия — Планиметрия)

К. Л. САМАРОВ, С.

С.САМАРОВА

Справочник по математике для школьников

Тематическое содержание

Основные фигуры планиметрии

Фигуры, составляющие основу планиметрии

Углы

Углы на плоскости
Теорема Фалеса
Углы, связанные с окружностью
Вписанные и центральные углы
Углы, образованные хордами, касательными и секущими
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Параллельность прямых

Признаки параллельности прямых

Треугольники

Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
Типы треугольников
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Свойства и признаки равнобедренного треугольника
Свойства прямоугольного треугольника
Свойства сторон и углов треугольника
Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников
Подобные треугольники
Признаки подобия треугольников
Признаки подобия прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора. Теорема косинусов
Теорема Пифагора
Теорема косинусов
Биссектриса треугольника. Свойства биссектрисы. Вычисление длины биссектрисы
Медиана треугольника. Свойства медианы. Вычисление длины медианы
Высота треугольника. Задача Фаньяно
Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Расположение высот у треугольников различных типов
Ортоцентр треугольника
Расположение ортоцентров у треугольников различных типов
Ортоцентрический треугольник
Задача Фаньяно
Средние линии треугольника
Теорема Чевы
Теорема Чевы 1
Теорема Чевы 2
Применения теоремы Чевы
Теорема Менелая
Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку
Окружность описанная около треугольника
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
Площадь треугольника
Формулы для площади треугольника
Вывод формул для площади произвольного треугольника
Вывод формул для площади равностороннего (правильного) треугольника
Вывод формул для площади прямоугольного треугольника
Вывод формулы Герона для площади треугольника
Окружность, вписанная в треугольник.
Основное свойство биссектрисы угла
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Вневписанные окружности

Четырехугольники

Четырехугольники
Типы четырехугольников
Типы параллелограмов
Типы трапеций
Параллелограммы
Свойства и признаки параллелограмма
Свойства и признаки прямоугольника
Свойства и признаки ромба
Свойства и признаки квадрата
Трапеции
Основные определения и свойства трапеций
Свойства и признаки равнобедренных трапеций
Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вписанные четырехугольники и их свойства
Теорема Птолемея
Описанные четырехугольники
Средние линии четырехугольников
Средняя линия трапеции
Средние линии четырехугольников. Теорема Вариньона
Формулы для стороны, периметра и площади квадрата
Площади четырехугольников
Формулы для площадей четырехугольников
Вывод формул для площадей четырехугольников
Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

Многоугольники

Многоугольники
Определение многоугольника
Диагонали n – угольника
Внешний угол многоугольника
Свойства углов треугольника
Свойства углов многоугольника
Свойства углов правильного n – угольника
Доказательства теорем о свойствах углов многоугольника
Правильные многоугольники
Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника
Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника
Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

Окружность и круг

Углы, связанные с окружностью
Вписанные и центральные углы
Углы, образованные хордами, касательными и секущими
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Свойства хорд и дуг окружности
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема о бабочке
Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
Взаимное расположение двух окружностей
Общие касательные к двум окружностям
Формулы для длин общих касательных и общей хорды
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды
Длина окружности и ее дуг. Площадь круга и его частей
Основные определения и свойства. Число π
Формулы для площади круга
Формулы для длины окружности и ее дуг
Площадь круга
Длина окружности
Длина дуги
Площадь сектора
Площадь сегмента
Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку
Окружность описанная около треугольника
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Существование окружности, вписанной в треугольник
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Вневписанные окружности
Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вписанные четырехугольники и их свойства
Теорема Птолемея
Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника
Описанные четырехугольники

Площади

Площади четырехугольников
Формулы для площадей четырехугольников
Вывод формул для площадей четырехугольников
Площадь треугольника
Формулы для площади треугольника
Вывод формул для площади произвольного треугольника
Вывод формул для площади равностороннего (правильного) треугольника
Вывод формул для площади прямоугольного треугольника
Вывод формул Герона и Брахмагупты
Вывод формулы Герона для площади треугольника
Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

Средние линии

Средние линии
Средние линии треугольника
Средняя линия трапеции
Средние линии четырехугольников. Теорема Вариньона
Средние линии тетраэдра

Геометрические места точек на плоскости

Геометрические места точек на плоскости

Преобразования плоскости

Движения плоскости. Теорема Шаля. Афинные преобразования плоскости
Преобразования плоскости
Движения плоскости
Теорема Шаля
Афинные преобразования плоскости
Классификация афинных преобразований плоскости

      С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ ПАРТНЕРЫ
  • «НПО Астек»
  • «Fastvideo»
  • Бюро переводов «Медтран»
  • Независимый бизнес-консультант Е.Самаров

       

Геометрия Математика Уравнения, формулы, эквиваленты

Служба членства

Геометрия Математика Уравнения, формулы, эквиваленты — Engineers Edge

Основное меню Engineering

  • Ниже приведены ссылки на инженерную математику, исчисление, геометрию, уравнения тригонометрии. кс

  • Если вы обнаружите какие-либо ошибки, упущения, неработающие ссылки, сообщите нам об этом — Обратная связь

** Искать ТОЛЬКО на этой СТРАНИЦЕ, нажмите на увеличительное стекло **

  • Справочник по математике для инженеров Премиум-членство Обязательно для просмотра Документ/Книга
  • История математики, Карл Бойер, 735 страниц ** Требуется минимум бесплатного членства **
  • Приложения и основы исчисления ** Требуется минимум бесплатного членства **
  • Расчет для инженеров ** Требуется минимум бесплатного членства **
  • Промышленная техническая математика Практически прикладная премиум-подписка Требуется для просмотра документа/книги
  • Mathematical Handbook of Formulas and Tables
    Murray R. Spiegel, Ph.D
    ** Требуется минимум бесплатного членства **
  • Инструмент моделирования дифференциальных уравнений явного исчисления второго порядка

  • Инженерно-математический графический калькулятор
  • Алгебраические комбинации
  • Алгебраические радикальные комбинации
  • Формулы расширения алгебры
  • Площади плоских фигур
  • Площади плоских фигур #2
  • Диаграмма Аргана
  • Уравнение функции Бесселя
  • Формула функции Бесселя
  • Уравнение функции Бесселя
  • Калькулятор функций BesselY

  • Калькулятор преобразования двоичных чисел в десятичные

  • Калькулятор преобразования двоичного кода в шестнадцатеричный

  • Калькулятор преобразования двоичного кода в восьмеричный
  • Биномиальное расширение
  • Калькулятор биномиального распределения вероятностей
  • Изменение переменной в интегрировании поверхности и объема
  • Уравнение кругового сегмента и калькулятор
  • Комплексные переменные — Общие
  • Комплексные переменные, комплексное сопряжение
  • Требуется бесплатное членство в Computational Dynamics
  • Теорема де Муавра
  • Дифференциация
  • Дифференциация интеграла
  • Дифференциальные уравнения, интегрирующие коэффициенты
  • Частные коэффициенты дифференциальных уравнений
  • Метод двойного интегрирования для прогиба балки Обзор Метод двойного интегрирования, также известный как метод Маколея, является мощным инструментом для определения прогиба и наклона балки в любой точке
  • Метод двойного интегрирования Пример 1. Просто опертая балка с сосредоточенной нагрузкой в ​​середине пролета
  • Метод двойного интегрирования Пример 3 Доказательство консольной балки длиной L с переменной возрастающей нагрузкой до ω или на свободном конце.
  • Метод двойного интегрирования Пример 4 Доказательство свободно опертой балки длиной L с частичной распределенной нагрузкой.
  • Метод двойного интегрирования Пример 5 Доказательная балка с опорой на шарнирах длиной L с одинарной консольной нагрузкой
  • Собственные значения и собственные векторы
  • Функция ошибки (интеграл Гаусса)
  • Полный диапазон серии Фурье
  • Серия Фурье Общий диапазон
  • Полудиапазон ряда Фурье
  • Преобразование Фурье

  • Калькулятор преобразования шестнадцатеричных чисел в двоичные

  • Калькулятор преобразования шестнадцатеричных чисел в десятичные

  • Калькулятор преобразования шестнадцатеричных чисел в восьмеричные

  • Гиперболические функции
  • Неупругий анализ геометрически точных стержней
  • Целочисленный ряд
  • Интегралы и производные функциональной схемы
  • Интеграция по частям
  • Преобразования Лапласа
  • Алгоритм подбора методом наименьших квадратов для подгонки полиномиальной кривой к калькулятору набора данных и графическому инструменту
  • Математическая энциклопедия
  • Матрицы и линейная алгебра
  • Матрицы и прочее. Относится к IB Linear Algebra
  • Численный анализ — поиск корней уравнений
  • Численный анализ конечных разностей
  • Численный анализ Интеграция общего ODE
  • Численный анализ кривой наименьших квадратов
  • Численный анализ Правило Симпсона
  • Численный анализ кубической кривой Безье
  • Численный анализ кубической кривой Фергюсона
  • Численный анализ Правило трапеции
  • Калькулятор преобразования восьмеричного числа в двоичное
  • Калькулятор преобразования восьмеричных чисел в десятичные и таблица
  • Калькулятор преобразования восьмеричного числа в шестнадцатеричное и таблица
  • Заказы на выражение величины для чисел
  • Цепное правило частичной дифференциации
  • Стационарные точки частичной дифференциации
  • Частное дифференцирование Теорема полного дифференциала
  • Процент разницы, Процент ошибки, Процент уравнений
  • Силовая серия
  • Вероятность и статистика Непрерывные случайные величины
  • Вероятность и статистика дискретных случайных величин
  • Вероятность и статистическое стандартное нормальное распределение
  • Свойства кругов
  • Свойства разделов #1
  • Свойства секций #2
  • Свойства секций #3
  • Свойства секций #4
  • Квадратное уравнение
  • Коэффициент Рэлея
  • Скалярное произведение (вектор)
  • Скалярное тройное произведение
  • Серия Арифметика
    • Серия
  • Геометрическая
  • Стандартные неопределенные интегралы
  • Стандартные замены (интегралы)
  • Статика и динамика, Введение
    ** Минимум бесплатного членства **
  • Уравнения площади поверхности
  • Таблица преобразований Лапласа
  • Серия Тейлор
  • Technical Shop Mathematics В этой книге основное внимание уделяется элементарным навыкам, необходимым для изучения математики и решения практических задач, возникающих в технических областях.
  • Тригонометрические функции
  • Тригонометрические формулы
  • Тригонометрические отношения и константы
  • Тригонометрические решения треугольников
  • Векторное исчисление декартовых координат
  • Векторное исчисление цилиндрических полярных координат
  • Теорема Гаусса о векторном исчислении
  • Идентичности векторного исчисления
  • Потенциалы векторного исчисления
  • Векторное исчисление сферической симметрии
  • Теорема Стокса для векторного исчисления
  • Векторный продукт
  • Тройной векторный продукт
  • Уравнения объема
  • Объемы твердых веществ

Конгруэнтные треугольники

Треугольники, имеющие одинаковые размеры и форму, называются конгруэнтными треугольниками. Символ конгруэнтности ≅. Два треугольника равны, если три стороны и три угла одного треугольника имеют те же размеры, что и три стороны и три угла другого треугольника. Треугольники на рисунке 1 являются конгруэнтными треугольниками.

Рисунок 1  Конгруэнтные треугольники.

Соответствующие детали

Части двух треугольников, имеющие одинаковые размеры (конгруэнтные), называются соответствующими частями. Это означает, что соответствующих частей конгруэнтных треугольников конгруэнтны (CPCTC). Конгруэнтные треугольники называются путем перечисления их вершин в соответствующем порядке. На рисунке Δ BAT ≅ Δ ICE .

Пример 1: Если Δ PQR ≅ Δ STU , какие детали должны иметь одинаковые размеры?

Эти части равны, потому что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.

Тесты на конгруэнтность

Чтобы показать, что два треугольника конгруэнтны, нет необходимости доказывать, что все шесть пар соответствующих частей равны. Следующие постулаты и теоремы являются наиболее распространенными методами доказательства конгруэнтности (или равенства) треугольников.

Постулат 13 (постулат SSS): Если каждая сторона одного треугольника конгруэнтна соответствующей стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны (рис. 2).

                                             

Рисунок 2  Соответствующие стороны (SSS)  двух треугольников конгруэнтны.

Постулат 14 (постулат SAS): Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике конгруэнтны соответствующим частям другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны (рис. 3).

Рисунок 3  Две стороны и угол между ними (SAS)  одного треугольника равны

соответствующих частей другого треугольника.

Постулат 15 (Постулат АСА): Если два угла и сторона между ними в одном треугольнике конгруэнтны соответствующим частям в другом треугольнике, то такие треугольники конгруэнтны (рис. 4).

Рисунок 4  Два угла и их общая сторона  (ASA)  в одном треугольнике конгруэнтны

соответствующих частей другого треугольника.

Теорема 28 (Теорема AAS): Если два угла и сторона, не заключенная между ними в одном треугольнике, конгруэнтны соответствующим частям в другом треугольнике, то такие треугольники конгруэнтны (рис. 5).

Рисунок 5  Два угла и сторона, противолежащая одному из этих углов  (ААС)  в одном треугольнике

равны соответствующим частям другого треугольника.

Постулат 16 (постулат HL): Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники конгруэнтны (рис. 6).

Рис. 6 Гипотенуза и катет (HL) первого прямоугольного треугольника равны

соответствующих частей второго прямоугольного треугольника.

Теорема 29 (Теорема HA): Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники конгруэнтны (рис. 7).

Рисунок 7  Гипотенуза и острый угол  (HA)  первого прямоугольного треугольника равны

к соответствующим частям второго прямоугольного треугольника.

Теорема 30 (Теорема LL): Если катеты одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники конгруэнтны (рис. 8).

Рисунок 8 Катеты (LL) первого прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим частям

второго прямоугольного треугольника.

Теорема 31 (Теорема LA): Если один катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны соответствующим частям другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (рис. 9).

Рисунок 9  Одна сторона и острый угол  (LA)  первого прямоугольного треугольника конгруэнтны

соответствующих частей второго прямоугольного треугольника.

Пример 2: Основываясь на маркировке на рисунке 10, завершите заявление о сравнении Δ ABC ≅Δ .

Рисунок 10  Конгруэнтные треугольники.

Δ YXZ , потому что A соответствует Y, B соответствует X и C соответствует З .

Пример 3: Каким методом будет доказана конгруэнтность каждого из треугольников на рисунках с 11 (а) по 11 (i)?

Рисунок 11  Методы доказательства конгруэнтности пар треугольников.

  • (а) САС.
  • (б) Нет. Метода AAA не существует.
  • (с) HL.
  • (г) ААС.
  • (e) ССС. Третья пара конгруэнтных сторон — это сторона, общая для двух треугольников.
  • (f) SAS или LL.
  • (г) LL или SAS .
  • (h) HA или AAS.
  • (i) Нет. Метода SSA не существует.

Пример 4: Назовите дополнительные равные соответствующие части, необходимые для доказательства конгруэнтности треугольников на рисунках с 12 (а) по 12 (е) согласно указанному постулату или теореме.

Рисунок 12  Дополнительная информация, необходимая для доказательства конгруэнтности пар треугольников.

  • (a) BC = EF или AB = DE ( , но не AC = DF , потому что эти две стороны лежат между равными углами).
  • (б) GI = JL.