Правильный шестиугольник и его свойства
Определение
Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.
Замечание
Т.к. сумма всех углов \(n\)–угольника равна \(180^\circ(n-2)\), то каждый угол правильного \(n\)–угольника равен \[\alpha_n=\dfrac{n-2}n \cdot 180^\circ\]
Пример
Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен \(\dfrac {4-2}4\cdot 180^\circ=90^\circ\);
каждый угол правильного шестиугольника равен \(\dfrac{6-2}6\cdot 180^\circ=120^\circ\).
Теоремы
1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствия
1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.
2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.
Теорема
Если \(a\) – сторона правильного \(n\)–угольника, \(R\) и \(r\) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: \[\begin{aligned} S&=\dfrac n2ar\\ a&=2R\cdot \sin\dfrac{180^\circ}n\\ r&=R\cdot \cos\dfrac{180^\circ}n \end{aligned}\]
Свойства правильного шестиугольника
1. Сторона равна радиусу описанной окружности: \(a=R\).
2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.
3. Все углы правильного шестиугольника равны \(120^\circ\).
4. Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\).
5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу \(r\) вписанной в правильный шестиугольник окружности.
6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный \(60^\circ\) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).
Замечание
В общем случае правильный \(n\)-угольник инвариантен относительно поворота на угол \(\dfrac{360^\circ}{n}\).
Гексагон
фывафыва
Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.
Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.
Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.
Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.
Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов.
При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.
Свойства правильного шестиугольника
- все внутренние углы равны между собой
- каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
- все стороны равны между собой
- сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
- большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
- меньшая диагональ правильного шестиугольника в \( \sqrt{3} \)раз больше его стороны.
- vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
- правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
- диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
- инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
- nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.
Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны \(120^\circ\):
\(\alpha = 120^\circ\)
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
\(m = a\large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize\)
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
\(m = a\large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize\)
Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:
\(r = m = a\large\frac{{\sqrt 3 }}{2}\normalsize\)
Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:
\(R = a\)
Периметр правильного шестиугольника
\(P = 6a\)
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
\(S = pr = {a^2}\large\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\normalsize\),
где \(p\) − полупериметр шестиугольника.
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
\( S = r^{2}\cdot 2\sqrt{3} \)
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
\( S = \frac{R^{2}\cdot 3\sqrt{3}}{2} \)
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Шестиугольник, виды, свойства и формулы
Шестиугольник, виды, свойства и формулы.
Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.
Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник
Правильный шестиугольник (понятие и определение)
Свойства правильного шестиугольника
Формулы правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
Звездчатый шестиугольник
Восьмиугольник
Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:
Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.
Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.
Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый шестиугольник – это шестиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 1. Выпуклый шестиугольник
Рис. 2. Невыпуклый шестиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.
.
Правильный шестиугольник (понятие и определение):
Правильный шестиугольник (гексагон) – это правильный многоугольник с шестью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.
Рис. 3. Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник имеет 6 сторон, 6 углов и 6 вершин.
Углы правильного шестиугольника образуют шесть равносторонних треугольников.
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.
Свойства правильного шестиугольника:
1. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой.
a1 = a2 = a3 = a4= a5 = a6.
2. Все углы равны между собой и составляют 120°.
α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = α6 = 120°.
Рис. 4. Правильный шестиугольник
3. Сумма внутренних углов любого правильного шестиугольника равна 720°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного шестиугольника O.
Рис. 5. Правильный шестиугольник
5. Количество диагоналей правильного шестиугольника равно 9.
Рис. 6. Правильный шестиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.
Рис. 7. Правильный шестиугольник
7. Правильные шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
8. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника и его сторона равны.
Рис. 8. Правильный шестиугольник
R = a
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре:
Пчелиные соты имеют форму правильного шестиугольника.
Графит, графен имеют гексагональную кристаллическую решетку.
Гигантский гексагон – атмосферное явление на Сатурне – имеет форму правильного шестиугольника.
Рис. 9. Гигантский гексагон на Сатурне
Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
Панцирь черепахи состоит из шестиугольников.
Гексагоном иногда называют материковую часть Франции, потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.
Рис. 10. Материковая часть Франции
Формулы правильного шестиугольника:
Пусть a – сторона шестиугольника, r – радиус окружности, вписанной в шестиугольник, R
Формулы периметра правильного шестиугольника:
Формулы площади правильного шестиугольника:
Формула радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник:
Формула радиуса окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника:
R = a
Звездчатый шестиугольник:
Звездчатый шестиугольник (гексаграмма) – это многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника.
Гексаграмма (др.-греч. ἕξ – «шесть» и γραμμή – «черта, линия») – это звезда с шестью углами, которая образуется из двух наложенных друг на друга равносторонних треугольников.
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Коэффициент востребованности 1 410
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник
Центр правильного шестиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.
Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.
Отрезки OA, OB — радиусы правильного шестиугольника.
Обозначения на рисунке для правильного шестиугольника
| n=6 | число сторон и вершин правильного шестиугольника, | шт |
|---|---|---|
| α | центральный угол правильного шестиугольника, | радианы, ° |
| β | половина внутреннего угла правильного шестиугольника, | радианы, ° |
| γ | внутренний угол правильного шестиугольника, | радианы, ° |
| a | сторона правильного шестиугольника, | м |
| R | радиусы правильного шестиугольника, | м |
| p | полупериметр правильного шестиугольника, | м |
| L | периметр правильного шестиугольника, | м |
| h | апофемы правильного шестиугольника, | м |
Основные формулы для правильного шестиугольника
Периметр правильного шестиугольника
\[ L = 6a \]
Полупериметр правильного шестиугольника
\[ p = 3a \]
Центральный угол правильного шестиугольника в радианах
\[ α = \frac{π}{3} \]
Центральный угол правильного шестиугольника в градусах
\[ α = \frac{180°}{3} = 60° \]
Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в радианах
\[ β = \frac{π}{3} \]
Половина внутреннего угла правильного шестиугольника в градусах
\[ β = \frac{180°}{3} = 60° \]
Внутренний угол правильного шестиугольника в радианах
\[ γ = 2β = \frac{2}{3}π \]
Внутренний угол правильного шестиугольника в градусах
\[ γ = \frac{2}{3}180° = 120° \]
Площадь правильного шестиугольника
\[ S = ph = 3ha \]
Или учитывая формулу Площади правильного шестиугольника получим
\[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \]
Отсюда получим апофему правильного шестиугольника
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \]
В помощь студенту
Правильный шестиугольник |
стр. 269 |
|---|
Правильный шестиугольник — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Правильный шестиугольник (гексагон) — правильный многоугольник с шестью сторонами.
Свойства
- Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
- Правильный шестиугольник со стороной 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} (лемма Пала)[1].
Построение
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
Примечания
- ↑ А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М.: Издательство МЦНМО, 2006. — С. 9. — 56 с. — (Библиотека „Математическое просвещение“). — ISBN ISBN 5-94057-249-9.
См. также
Ссылки
 | |
|---|---|
| Многоугольники | |
| Звёздчатые многоугольники | |
| Паркеты на плоскости | |
| Правильные многогранники и сферические паркеты | |
| Многогранники Кеплера — Пуансо | |
| Соты | |
| Четырёхмерные многогранники |
|
Правильный шестиугольник — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Правильный шестиугольник (гексагон) — правильный многоугольник с шестью сторонами.
Свойства
- Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
- Правильный шестиугольник со стороной 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} (лемма Пала)[1].
Построение
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
Примечания
- ↑ А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М.: Издательство МЦНМО, 2006. — С. 9. — 56 с. — (Библиотека „Математическое просвещение“). — ISBN ISBN 5-94057-249-9.
См. также
Ссылки
| |
|---|---|
| Многоугольники | |
| Звёздчатые многоугольники | |
| Паркеты на плоскости | |
| Правильные многогранники и сферические паркеты | |
| Многогранники Кеплера — Пуансо | |
| Соты | |
| Четырёхмерные многогранники |
|
Правильный шестиугольник ≪ Scisne?
Правильный шестиугольник (гексагон) — это правильный многоугольник с шестью сторонами. Правильный шестиугольник |
Математические свойства
Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности , поскольку .
Все углы равны 120°.
Радиус вписанной окружности равен:
.Периметр правильного шестиугольника равен:
Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:,
.
Шестиугольники замощают плоскость, то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений, образуя так называемый паркет.
Шестиугольный паркет (шестиугольный паркетаж) — замощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне.
 Шахматная раскраска шестиугольного паркета |
Шестиугольный паркет является двойственным треугольному паркету: если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольный паркетаж. Символ Шлефли шестиугольного паркета — {6,3}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника.
Шестиугольный паркет является наиболее плотной упаковкой кругов на плоскости. В двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружен шестью другими. Плотность данной упаковки равна . В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.
Наиболее плотная упаковка кругов на плоскости |
Правильный шестиугольник со стороной является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра можно покрыть правильным шестиугольником со стороной (лемма Пала).
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.
 Построение правильного шестиугольника с помощью циркуля и линейки |
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре
Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники. Шестиугольная форма больше остальных позволяет сэкономить на стенках, то есть на соты с такими ячейками уйдёт меньше воска.
 Пчелиные соты |
Некоторые сложные кристаллы и молекулы, например графит, имеют гексагональную кристаллическую решётку.
 Кристаллическая решетка графита |
Снежинки образуется, когда микроскопические капли воды в облаках притягиваются к пылевым частицам и замерзают. Появляющиеся при этом кристаллы льда, не превышающие поначалу 0,1 мм в диаметре, падают вниз и растут в результате конденсации на них влаги из воздуха. При этом образуются шестиконечные кристаллические формы. Из-за структуры молекул воды между лучами кристалла возможны углы лишь в 60° и 120°. Основной кристалл воды имеет в плоскости форму правильного шестиугольника. На вершинах такого шестиугольника затем осаждаются новые кристаллы, на них — новые, и так получаются разнообразные формы звёздочек-снежинок.
 Снежинки |
Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
 Гигантский гексагон — устойчивое атмосферное образование на северном полюсе Сатурна, открытое аппаратом Вояджер-1 и наблюдаемое снова в 2006 году аппаратом Кассини-Гюйгенс. |
Учёные из Оксфордского университета смогли в лабораторных условиях смоделировать возникновение подобного гексагона. Чтобы выяснить, как возникает такое образование, исследователи поставили на вертящийся стол 30-литровый баллон с водой. Она моделировала атмосферу Сатурна и её обычное вращение. Внутри учёные поместили маленькие кольца, вращающиеся быстрее ёмкости. Это генерировало миниатюрные вихри и струи, которые экспериментаторы визуализировали при помощи зелёной краски. Чем быстрее вращалось кольцо, тем больше становились вихри, заставляя близлежащий поток отклоняться от круговой формы. Таким образом авторам опыта удалось получить различные фигуры — овалы, треугольники, квадраты и, конечно, искомый шестиугольник.
 Вращение гексагона на северном полюсе Сатурна |
Дорога гигантов — памятник природы из примерно 40 000 соединённых между собой базальтовых (реже андезитовых) колонн, образовавшихся в результате древнего извержения вулкана. Расположен на северо-востоке Северной Ирландии в 3 км к северу от города Бушмилса.
Верхушки колонн образуют подобие трамплина, который начинается у подножья скалы и исчезает под поверхностью моря. Большинство колонн шестиугольные, хотя у некоторых четыре, пять, семь и восемь углов. Самая высокая колонна высотой около 12 м.
Около 50-60 миллионов лет назад, во время палеогенового периода, месторасположение Антрим подвергалось интенсивной вулканической активности, когда расплавленный базальт проникал через отложения, формируя обширные лавовые плато. По мере быстрого охлаждения происходило сокращение объёма вещества (подобное наблюдается при высыхании грязи). Горизонтальное сжатие приводило к характерной структуре шестигранных столбов.
 Дорога гигантов |
Игровое поле зачастую составляют шестиугольники. Замощение плоскости правильными шестиугольниками является основой для гекса, гексагональных шахмат и других игр на клетчатом поле, полигексов, вариантов модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов, кольцевых флексагонов и т.п.
 Гексагональные шахматы Глинского. Начальное положение фигур. |
Сечение гайки имеет вид правильного шестиугольника.
 Гайки |
Звезда Давида (гексаграмма) — шестиконечная звезда, образованная двумя правильными треугольниками, символ иудаизма.
 Звезда Давида |
| 6-сторонний многоугольник
Сотовый рисунок — почему 6-сторонняя форма так распространена в природе
Сотовый рисунок состоит из правильных шестиугольников, расположенных рядом . Они полностью заполняют всю поверхность, так что между ними нет никаких отверстий. Эта сотовая структура появляется не только в сотах (удивительно!), Но и в многих других местах в природе . На самом деле, он настолько популярен, что можно сказать, что это форма по умолчанию, когда в игру вступают конфликтующие силы, а сферы невозможны из-за характера проблемы.
От пчел «ульев» до трещин в горных породах благодаря органической химии (даже в строительных блоках жизни: белках), правильные шестиугольники — самая распространенная многоугольная форма, которая существует в природе. И тому есть причина: углы шестиугольника. Угол 120º является наиболее механически стабильным из всех, и по совпадению это также угол , при котором стороны встречаются в вершинах , когда мы выстраиваем шестиугольники рядом друг с другом. Для полного описания важности и преимуществ обычных шестиугольников мы рекомендуем посмотреть видео выше.Если вы любите читать, читайте дальше (вы можете проверить скорость чтения с помощью калькулятора скорости чтения).
То, как углы в 120 ° распределяют силы (и, в свою очередь, напряжение) между двумя сторонами шестиугольника, делает его очень стабильной и механически эффективной геометрией. Это значительное преимущество шестиугольников. Другое важное свойство правильных шестиугольников состоит в том, что они могут заполнять поверхность без промежутков между ними (вместе с правильными треугольниками и квадратами). Кроме того, правильная 6-сторонняя форма имеет наименьший периметр для самой большой площади среди этих многоугольников заполнения поверхности, что, очевидно, делает ее очень эффективной.
Очень интересный пример в видео выше — это мыльные пузыри . Когда вы создаете пузырь, используя воду, мыло и немного собственного дыхания, он всегда имеет сферическую форму. Это потому, что объем сферы является наибольшим из любых других объектов для данной площади поверхности.
Однако, когда мы собираем пузыри вместе на плоской поверхности, сфера теряет свое преимущество в эффективности , так как часть сферы не может полностью покрывать 2D-пространство.Следующая лучшая форма с точки зрения объема к площади поверхности, оказывается, также лучше всего подходит для балансировки натяжения между пузырьками, которое создается на поверхности пузырьков. Мы, конечно, говорим о нашем всемогущем шестиугольнике .
Пузырипредставляют интересный способ визуализации преимуществ шестиугольника над другими формами, но это не единственный способ. В природе, как мы уже упоминали, существует примеров шестиугольных образований , главным образом из-за напряжений и напряжений в материале.К сожалению, мы не можем подробно рассмотреть все из них. Мы можем, однако, назвать несколько мест, где можно найти правильные шестиугольные модели в природе:
- соты
- Органические соединения
- Стеки пузырьков
- Скальные образования (например, Giant’s Causeway)
- Глаза насекомых
- …
Богна Хапонюк и Альваро Диес
.Поскольку шестиугольник имеет четное число сторон, в правильный шестиугольник, противоположные стороны параллельны друг другу.
Свойства правильных шестиугольников
| Внутренний угол | 120 ° | Как и любой правильный многоугольник, для нахождения внутреннего угла мы используем формулу (180n-360) / п.Для шестиугольника n = 6. См. Внутренние углы многоугольника |
| Внешний угол | 60 ° | Чтобы найти внешний угол правильного шестиугольника, мы используем тот факт, что внешний угол образует линейная пара с внутренним углом, так что в общем случае определяется по формуле 180-внутренний угол. См. Внешние углы многоугольника |
| Площадь | 2,598 с 2 ок | Где S — длина стороныЧтобы найти точную площадь шестиугольника или любого многоугольника, используя различные методы, см. Площадь правильного многоугольника и Площадь неправильного многоугольника |
Радиус равен длине стороны
В правильном шестиугольнике радиус равен длине стороны. То есть линия от центра до любой вершины будет иметь ту же длину, что и любая сторона.
Из-за этого правильный шестиугольник можно считать состоящим из шести равносторонние треугольники.
Свойства всех шестиугольников
| Количество диагоналей | 9 | Количество различных диагоналей, возможных из всех вершин. (В общем случае ½n (n – 3)). На рисунке выше нажмите «показать диагонали», чтобы увидеть их. Смотрите Диагонали Полигона |
| Количество треугольников | 4 | Количество треугольников, созданных путем отрисовки диагоналей из заданной вершины. (В общем случае n – 2). На рисунке выше нажмите «показать треугольники», чтобы увидеть их.См. Треугольники многоугольника |
| Сумма внутренних углов | 720 ° | В целом 180 (n – 2) градусов. См. Внутренние углы многоугольника |
Гайки и болты шестиугольников
Большинство гаек и головок болтов выполнены в форме шестиугольника. Поскольку шестиугольник имеет три пары параллельных граней, можно поместить гаечный ключ
по любой паре.
В замкнутом пространстве ключ можно повернуть на 60 ° (наружный угол шестиугольника), а затем ключ переместился на следующую пару сторон.Делая это многократно затяните гайку.
Таким образом, вам не нужно места, чтобы повернуть весь гаечный ключ на полный круг.
Другие темы о многоугольниках
Общее
Типы полигонов
Площадь различных типов многоугольников
Периметр различных типов многоугольников
Углы, связанные с полигонами
Именованные полигоны
(C) 2011 Copyright Math Открытая ссылка.
Все права защищены
многоугольников — шестиугольников
Свойства шестиугольников, внутренние углы шестиугольников
| многоугольников: свойства шестиугольников | |||
| |||
| |||
| |||
| Регулярные шестиугольники: | |||
| Свойства обычных шестиугольников: | |||
| все стороны равны (конгруэнтный) и все внутренние углы одинакового размера (конгруэнтный). | |||
| |||
| Мера центральных углов правильного шестиугольника: | |
| Чтобы найти меру центрального угла правильный шестиугольник, сделайте круг посередине… Круг составляет 360 градусов вокруг … Разделите это на шесть углов … Итак, мера центрального угла правильного шестиугольника составляет 60 градусов. Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников! |
Полигон
Многоугольник — это плоская форма (двумерная) с прямыми сторонами. Примеры включают в себя треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и так далее.
Обычный
«Правильный многоугольник» имеет: В противном случае это нерегулярных . |
|
Здесь мы рассмотрим только обычных полигонов .
свойства
Итак, что мы можем знать о правильных многоугольниках? Прежде всего, мы можем отработать углы.
Внешний угол Внешний угол — это угол между любой стороной фигуры, |
Все внешние углы многоугольника составляют в целом 360 °, поэтому:
Каждый внешний угол должен быть 360 ° / n
(где n — количество сторон)
Нажмите кнопку воспроизведения, чтобы увидеть.
Внешний угол
(из правильного восьмиугольника)
Пример: каков внешний угол правильного восьмиугольника?
восьмиугольник имеет 8 граней, поэтому:
Внешний угол = 360 ° / n
= 360 ° / 8
= 45 °
Внутренние углыВнутренний угол и Внешний угол измеряются по одной линии, поэтому они составляют и составляют 180 ° . |
Внутренний угол = 180 ° — Внешний угол
Нам известен внешний угол = 360 ° / n , поэтому:
Внутренний угол = 180 ° — 360 ° / n
, которые можно переставить так:
Внутренний угол = 180 ° — 360 ° / n
= (n × 180 ° / n) — (2 × 180 ° / n)
= (n − 2) × 180 ° / n
Итак, у нас также есть это:
Внутренний угол = (n − 2) × 180 ° / n
Пример: каков внутренний угол правильного восьмиугольника?
Правильный восьмиугольник имеет 8 граней, поэтому:
Внешний угол = 360 ° /8 = 45 °
Внутренний угол = 180 ° — 45 ° = 135 °
Внутренний угол
(из правильного восьмиугольника)
Или мы могли бы использовать:
Внутренний угол = (n − 2) × 180 ° / n
= (8−2) × 180 ° / 8
= 6 × 180 ° / 8
= 135 °
Пример: каковы внутренние и внешние углы правильного шестиугольника?
У правильного шестиугольника есть 6 сторон, таким образом:
Внешний угол = 360 ° /6 = 60 °
Внутренний угол = 180 ° — 60 ° = 120 °
А теперь для некоторых имен:
«Окружность, окружность, радиус и апофем… «
Звучит довольно музыкально, если вы повторите это несколько раз, но это просто названия «внешних» и «внутренних» кругов (и каждого радиуса), которые можно нарисовать на многоугольнике следующим образом:
«Внешний» круг называется окружностью , и он соединяет все вершины (угловые точки) многоугольника.
Радиус окружности также равен радиуса многоугольника .
«Внутренний» круг называется в форме окружности , и он просто касается каждой стороны многоугольника в его средней точке.
Радиус вкрапления — это апотема многоугольника .
(Не все многоугольники имеют эти свойства, но треугольники и правильные многоугольники имеют).
разбиваются на треугольники
Мы можем многое узнать о правильных многоугольниках, разбив их на треугольники следующим образом:
Обратите внимание, что:
- «основание» треугольника является одной стороной многоугольника.
- «высота» треугольника — это «апофеон» многоугольника
Теперь площадь треугольника равна половине высоты базового времени, поэтому:
Площадь одного треугольника = основание × высота / 2 = сторона × апофем / 2
Чтобы получить площадь всего многоугольника, просто сложите области всех маленьких треугольников («n» из них):
Площадь многоугольника = n × сторона × apothem / 2
И так как периметр со всех сторон = n × сторона, мы получаем:
Площадь многоугольника = периметр × apothem / 2
Меньший Треугольник
Разрезая треугольник пополам, мы получим это:
(Примечание: углы указаны в радианах, а не в градусах)
Маленький треугольник расположен под прямым углом, поэтому мы можем использовать синус, косинус и тангенс, чтобы найти связь между сторонами , , радиусом , , апотемами , и и (числом сторон):
| грех (π / n) = (сторона / 2) / радиус | Сторона = 2 × Радиус × грех (π / n) | |
| cos (π / n) = Apothem / Radius | Apothem = Радиус × cos (π / n) | |
| tan (π / n) = (Side / 2) / Apothem | Side = 2 × Apothem × tan (π / n) |
Таких отношений намного больше (большинство из них просто «переустанавливает»), но они подойдут.
Больше формул области
Мы можем использовать это, чтобы вычислить площадь, когда мы знаем только Апофему:
Площадь Малого Треугольника = ½ × Апотема × (Сторона / 2)
И мы знаем (из приведенной выше формулы «загар»):
Side = 2 × Apothem × tan (π / n)
Итак:
Площадь Малого Треугольника = ½ × Apothem × (Apothem × tan (π / n))
= ½ × Apothem 2 × tan (π / n)
И есть 2 таких треугольника на сторону, или 2n для целого многоугольника :
Площадь многоугольника = n × Apothem 2 × tan (π / n)
Когда мы не знаем Апофема, мы можем использовать ту же формулу, но переработанную для Радиуса или для Стороны:
Площадь многоугольника = ½ × n × Радиус 2 × sin (2 × π / n)
Площадь многоугольника = ¼ × n × Сторона 2 / загар (π / n)
Таблица значений
А вот таблица Side, Apothem и Area по сравнению с радиусом «1», используя формулы, которые мы разработали:
График
А вот график таблицы выше, но с количеством сторон («n») от 3 до 30.
Обратите внимание, что по мере того как «n» становится больше, Апотем стремится к 1 (равно Радиусу), а Район стремится к π = 3.14159 …, как круг.
Какая длина стороны стремится к?
,
Leave A Comment