Решение уравнений огэ математика: Как решать задание ОГЭ — урок. Основной государственный экзамен 9 класс, Математика.

Задание 9 ОГЭ по математике. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Джамиля Агишева

При выполнении задания 9 ОГЭ по математике необходимо:

уметь решать линейные и квадратные уравнения, системы уравнений и неравенств.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Уравнение линейное. Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, все «иксы» переносим в левую часть равенства, всё без «иксов» – вправо:

Ответ: — 2.

Пример 2. Решите уравнение . Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение. Уравнение является квадратным , , . Вычисляем дискриминант и корни:

Ответ: .

Пример 3. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение. В левой части данного уравнения произведение двух множителей-скобок, и это произведение равно нулю.

Это возможно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, получаем два уравнения:

Тогда меньший из корней уравнения равен -0,75.

Ответ: -0,75.

Пример 4. Решите систему уравнений

В ответе запишите значение .

Решение. Используем метод подстановки: из второго уравнения можно выразить y и подставить в первое уравнение.

Таким образом, .

Пример 5. На рисунке изображены графики функций и . Вычислите ординату точки B.

Решение. Для нахождения координат точек пересечения графиков заданных функций необходимо решить систему уравнений.

Найдём корни первого уравнения системы.

̶ абсцисса точка B.

Тогда ордината точки В:

Ответ: -5.

Пример 6. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств:

Решение. Выразим из каждого неравенства переменную x. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, при делении на отрицательное число ̶ знак неравенства меняется на противоположный.

Используем числовую прямую. Решение первого неравенства отметим штриховкой («ёлочкой») с наклоном вправо, второго неравенства ̶ штриховкой с наклоном влево. При этом точка -2 будет «закрашенной», т.к. знак первого неравенства нестрогий, а точка -5,5 будет «выколотой», т.к. знак второго неравенства строгий.

Решением системы неравенств является тот промежуток, на котором пересеклись две «ёлочки», то есть две штриховки. Это промежуток . «Выколотой» точке соответствует круглая скобка, «закрашенной» ̶ квадратная.

Ответим на вопрос задачи. Наибольшее значение

Ответ: .

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 9 ОГЭ по математике.

Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.03.2023

Задание №9 ОГЭ по математике

уравнения
Первичный бал: 1 Сложность (от 1 до 3):

2 Среднее время выполнения: 3 мин.

В девятом задании модуля алгебра ОГЭ по математике нам предлагают решить уравнения. Это могут быть как линейные уравнения, которые решаются переносом всех известных членов в одну сторону, а неизвестных (x) в другую, так и квадратные уравнения, которые в свою очередь могут быть полными и неполными. Судя по материалам ОГЭ и практике проведения экзамена, наиболее вероятным заданием может быть решение линейного или квадратного уравнения. Тем не менее мы рассмотрим задания по всей этой тематике. Сложность заданий как всегда возрастает от задания к заданию. Ответом в задании №9 является целое число или конечная десятичная дробь.

Теория к заданию №9

Ниже я привел теорию по решениям линейных и квадратных уравнений:

Схема решения, правила и алгоритм действий при решении линейного уравнения:

Схема решения, правила и порядок действий при решении квадратного уравнения:

В трех типовых вариантах я разобрал данные случаи – в первом варианте вы найдете подробные указания по решению линейных уравнений, во втором разобран пример решения неполного квадратного уравнения, а в третьем – решение полного квадратного уравнения с вычислением дискриминанта.

Задание 9OM21R Найти корень уравнения 2 + 3х= – 7х – 5

Имеем линейное уравнение:

2 + 3х= – 7х – 5

Следовательно, начинаем решение с переноса слагаемых (с переменной влево, без переменной – вправо): 3х + 7х= – 5 – 2, не забывая изменять знак у слагаемых, которые переносим. Теперь приводим подобные в каждой части, получаем 10х= –7.

Находим неизвестный множитель делением произведения –7 на известный множитель 10, получаем –0,7.

Запись решения выглядит так:

2 + 3х= – 7х – 5

3х + 7х= – 5 – 2

10х= –7

х=–7:10

х=–0,7

Ответ: –0,7

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0906o

Найдите корень уравнения:

Обе части уравнения приводим к единому знаменателю 12: Т.к. знаменатели в левой и правой частях уравнения одинаковы, не равны нулю и не содержат переменных, то их можно сократить (т.е. ими можно пренебречь). Тогда получаем: 11х=44 х=44:11 х=4

Ответ: 4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0905o

Найдите корень уравнения:

режде всего, исключим корень, который не входит в ОДЗ:

x+6≠0 → х≠–6

Далее решаем уравнение.

Представляем число 2 в уравнении справа в виде дроби 2/1. Уравнение получает вид пропорции: Применим правило пропорции. Перемножим между собой крайние ее члены и средние:

1·1=(х+6)·2

Выполним умножение в левой части уравнения и раскроем скобки справа:

1=2х+12

Поменяем местами левую и правую части уравнения, чтобы оно приняло привычный вид:

2х+12=1

Переносим 12 из левой части в правую:

2х=1–12

2х=–11

Находим корень:

х=–11/2=–5,5

ОДЗ это значение не исключает, поэтому оно является искомым результатом.Ответ: -5,5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0904o

Решите уравнение:

7х — 9 = 40

В данной задаче нам предстоит решить линейное уравнение. Подход к решению таких уравнений достаточно простой – всё, что известно переносим в правую часть, всё, что неизвестно – оставляем в левой. Далее выполняем необходимое арифметическое действие.

Решение:

7х – 9 = 40

Переносим 9 в правую часть (не забываем про смену знака):

7х = 40 + 9, что эквивалентно

7х = 49

х в нашем случае – это неизвестный множитель, следовательно, чтобы его найти, делим произведение на известный множитель:

х = 49/7, откуда

х = 7

Ответ: 7

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0903o

Решите уравнение:

8 x² — 10x + 2 = 0

Уравнение является полным квадратным уравнением, поэтому классическим вариантом решения является вычисление дискриминанта. Но в данном случае можно заметить, что все множители кратны двум, поэтому можно все уравнение разделить на 2 для удобства вычисления:

4 x² — 5x + 1 = 0

Далее вычисляем дискриминант:

D = b² — 4ac

D = 5² — 4 •4•1 = 9

Вычисляем корни:

x = (- b — √D) / 2a = (5 — 3 )/ 2 •4 = 0,25

x = (- b + √D) / 2a = (5 + 3 )/ 2 •4 = 1

Так как нам нужно выбрать меньший из корней по условию, то выбираем 0,25

Ответ: 0,25

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0902o

Решите уравнение:

3 x² + 12 x = 0

Это неполное квадратное уравнение, в котором не обязательно вычислять дискриминант, а достаточно вынести x за скобку:

x ( 3 x + 12 ) = 0

Произведение множителей тогда равно нулю, когда один из множителей равен нолю:

x = 0

или

3 x + 12 = 0

3 x = -12

x = -4

Так как в ответе просят указать наименьший корень, то это -4.

Ответ: -4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM0901o

Найдите корень уравнения:

10 ( x — 9 ) = 7

Данное уравнение представляет собой обыкновенное уравнение первой степени и решается переносом всех известных частей в правую часть, оставив x слева.

Для начала следует раскрыть скобки: 10x – 90 = 7

Затем переносим 90 в правую часть (не забываем поменять знак):

10x = 7 + 90

10x = 97

Затем делим обе части на 10:

x = 9,7

Ответ: 9,7

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

👀 22.3k |

Нечетное обобщенное экспоненциальное распределение Гомперца

Прикладная математика Vol.06 № 14 (2015), ID статьи: 62500,14 страницы
10.4236/AM.2015.614206

ОБЩЕСТВЕННОЕ ОБЩЕСТВЕННОЕ экспоненциальное распределение Gompertz

M. A. El-Damcese ¹, Abdelfattah Mustafa ², B. S. Desouky ² , M. E. Mustafa ²

¹ Кафедра математики, Факультет естественных наук, Университет Танта, Египет

² Кафедра математики, Факультет естественных наук, Университет Мансура, Египет

Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

Поступила в редакцию 6 ноября 2015 г.; принято 28 декабря 2015 г.; опубликовано 31 декабря 2015 г.

АННОТАЦИЯ

В этой статье мы предлагаем новую модель времени жизни, называемую нечетным обобщенным экспоненциальным распределением Гомперца. Мы получили некоторые его математические свойства. Исследованы некоторые структурные свойства нового распределения. Для оценки параметров модели используется метод максимального правдоподобия и выводится наблюдаемая информационная матрица Фишера. Мы иллюстрируем полезность предложенной модели приложениями к реальным данным.

Ключевые слова:

Распределение Гомперца, Функция опасности, Моменты, Оценка максимального правдоподобия, Функция шансов, Семейство распределений T-X

1. Введение

При анализе данных о продолжительности жизни мы можем использовать распределение Гомперца, экспоненциальное и обобщенное экспоненциальное распределения. Известно, что экспоненциальное распределение имеет только постоянную функцию степени опасности, тогда как как Гомпертц, так и обобщенные экспоненциальные распределения могут иметь только монотонную (возрастающую в случае Гомперца и возрастающую или убывающую в случае обобщенного экспоненциального распределения) степень опасности. Эти распределения используются для моделирования времени жизни компонентов физических систем и организмов биологических популяций. Распределение Гомперца привлекло значительное внимание демографов и актуариев. Поллард и Валкович [1] были первыми, кто исследовал распределение Гомперца, они оба определили производящую функцию момента распределения Гомперца в терминах неполной или полной гамма-функции, и их результаты либо приближены, либо оставлены в интегральной форме. Позднее Маршалл и Олкин [2] описали отрицательное распределение Гомперца; распределение Гомперца с отрицательным параметром скорости старения.

Недавно в [4] было предложено обобщение распределения Гомперца, основанное на идее, изложенной в [3]. Это новое распределение известно как обобщенное распределение Гомперца (GG), которое включает экспоненциальное (E), обобщенно-экспоненциальное (GE) распределение. и распределения Гомперца (G). Новое обобщение распределения Гомперца (G), которое является результатом применения распределения Гомперца к бета-генератору, предложенному в [5], называется распределением Бета-Гомперца (BG), которое было введено в [6]. С другой стороны, двухпараметрическое экспоненциальное экспоненциальное или обобщенное экспоненциальное распределение (GE), введенное [3]. Это распределение является частным членом экспоненциального распределения Вейбулла (EW), введенного в [7]. Распределение GE представляет собой унимодальное распределение со смещением вправо, функция плотности и функция опасности экспоненциального экспоненциального распределения очень похожи на функцию плотности и функцию опасности гамма-распределения. Его приложения широко распространены в качестве модели для оборудования энергосистемы, данных об осадках, надежности программного обеспечения и анализа поведения животных.

Недавно [8] предложил новый класс одномерных распределений, названный нечетным обобщенно-экспоненциальным (OGE) семейством, и изучил каждое из распределений OGE-Weibull (OGE-W), OGE-Fréchet (OGE-Fr) распределение и OGE -Нормальное (ОГЭ-Н) распределение. Этот метод является гибким, потому что формы степени опасности могут быть возрастающими, уменьшающимися, ванной и перевернутой ванной.

В этой статье мы представляем новое распределение из экспоненциального экспоненциального распределения и распределения Гомперца, называемое нечетным обобщенным экспоненциальным распределением Гомперца (OGE-G), используя новое семейство одномерных распределений, предложенное [8] . Говорят, что случайная величина X имеет обобщенное экспоненциальное (GE) распределение с параметрами, если кумулятивная функция распределения (CDF) определяется как

(1)

Семейство нечетных обобщенных экспонент согласно [8] определяется следующим образом. Пусть ВПР любого распределения зависит от параметра и, следовательно, функция выживания равна, тогда ВПР семейства ОГЭ-

определяется заменой x в ВПР ГЭ в уравнении (1) на, чтобы получить

(2)

Этот документ изложен следующим образом. В разделе 2 мы определяем кумулятивную функцию распределения, функцию плотности, функцию надежности и функцию риска нечетного обобщенного экспоненциального распределения Гомперца (OGE-G). В разделе 3 мы вводим статистические свойства, включая функцию квантиля, моду, медиану и моменты. В разделе 4 обсуждается распределение порядковой статистики для распределения (ОГЭ-Г). Кроме того, в разделе 5 определяется максимально правдоподобная оценка параметров. Наконец, в разделе 6 представлено применение ОГЭ-Г с использованием реального набора данных.0006

2. Распределение ОГЭ-Г

2.1. Спецификации OGE-G

В этом разделе мы определяем новое распределение с четырьмя параметрами, называемое нечетным обобщенным экспоненциальным распределением-Гомперца, с параметрами, записанными как OGE-G(Θ), где вектор Θ определяется формулой.

Говорят, что случайная величина X имеет ОГЭ-Г с параметрами, если ее кумулятивная функция распределения имеет вид

(3)

где – параметры масштаба, а – параметр формы.

2.2. PDF и степень опасности

Если случайная величина X имеет CDF в (3), то соответствующая функция плотности вероятности имеет вид

(4)

, где

Случайная величина имеет функцию выживания в виде

(6)

Суммарное распределение, плотность вероятности и функция степени опасности ОГЭ-Г(Θ) отображаются на рис. 1, рис. 2 и рис. 3. Функция распределения ОГЭ-Г может быть убывающей, возрастающей или иметь форму ванны, что делает распределение более гибким для соответствия различным наборам данных о времени жизни.

3. Статистические свойства

В этом разделе мы изучаем некоторые статистические свойства ОГЭ-Г, особенно квантиль, медиану, моду и моменты.

3.1. Квантиль и медиана ОГЭ-Г

Квантиль распределения ОГЭ-Г(Θ) дается с использованием

(7)

Рис. 1. CDF различных распределений ОГЭ-Г для некоторых значений параметров.

Рис. 2. PDF различных распределений ОГЭ-Г для некоторых значений параметров.

Рис. 3. Опасность различных распределений ОГЭ-Г для некоторых значений параметров.

Подставляя из (3) в (7), можно получить как Распределение G () можно получить, установив q = 0,5 (50% квантиля) в (8).

(9)

3.2. Мода ОГЭ-G

В этом подразделе мы получим моду распределения ОГЭ-G(Θ) путем получения его PDF по x и приравняем его к нулю, таким образом, мода ОГЭ-G(Θ) распределение может быть получено как неотрицательное решение следующего нелинейного уравнения

(10)

На рисунке 2 pdf распределения ОГЭ-Г имеет только один пик. Это унимодальное распределение, поэтому приведенное выше уравнение имеет только одно решение. Получить явное решение (10) в общем случае не удается. Для ее решения следует использовать численные методы, такие как деление пополам или метод с фиксированной точкой.

3.3. Моменты

Моменты необходимы и важны в любом статистическом анализе, особенно в приложениях. Его можно использовать для изучения наиболее важных особенностей и характеристик распределения (например, тенденции, дисперсии, асимметрии и эксцесса). В этом подразделе мы получим r-е моменты распределения ОГЭ-G(Θ) в виде разложения в бесконечный ряд.

Теорема 1. Если, где, то r-й момент X равен

Доказательство. Г-й момент случайной величины X с ФВР определяется как

(11)

Подставляя из (4) в (11), получаем

(12)

Поскольку для имеем

(13)

Подставляя из (13) в (12), получаем

Используя разложение в ряд, получаем

Используя биномиальное разложение, получаем

Используя разложение в ряд, получаем

Используя определение гамма-функции в виде

Таким образом, мы получаем момент ОГЭ-G(Θ) следующим образом

Это завершает доказательство .

4. Статистика порядка

Пусть простая случайная выборка размера n из распределения ОГЭ-G(Θ) с кумулятивной функцией распределения и функцией плотности вероятности, заданной (3) и (4) соответственно. Обозначим порядковую статистику, полученную из этой выборки. Функция плотности вероятности имеет вид

(14)

где и – PDF и CDF распределения ОГЭ-G(Θ) согласно (3) и (4) соответственно, а – бета-функция. Так как для , мы можем использовать биномиальное разложение данного следующим образом 16) получаем

(17)

Таким образом, в (17) определено средневзвешенное распределение ОГЭ-Г с различными параметрами формы.

5. Оценка и вывод

Теперь определим оценки максимального правдоподобия (MLE) параметров ОГЭ-Г.

5.1. Оценки максимального правдоподобия

Пусть случайная выборка размера n из ОГЭ-Г(Θ), где тогда функция правдоподобия этой выборки определяется как

(18)

Подставляя из (4) в (18) , мы получаем

Функция логарифмического правдоподобия задается следующим образом:

(19)

) по α, λ, c и β. Компоненты вектора оценок

задаются как

(20)

(21)

(22)

(23)

, где

Нормальные уравнения можно получить, задав приведенные выше нелинейные уравнения. (20)-(23) к нулю. То есть нормальные уравнения принимают следующий вид

(24)

(25)

(26)

(27)

Нормальные уравнения не имеют явных решений и их приходится получать численно. Из уравнения (24) MLE для β можно получить следующим образом

(28)

Подставляя из (28) в (25), (26) и (27), получаем МЛУ α, λ, c, решая следующую систему нелинейных уравнений

(29)

(30)

(31)

где

Эти уравнения нельзя решить аналитически, и для численного решения уравнений можно использовать статистическое программное обеспечение. Мы можем использовать итерационные методы, такие как алгоритм типа Ньютона Рафсона, для получения оценки.

5.2. Асимптотические доверительные границы

В этом подразделе выводятся асимптотические доверительные интервалы неизвестных параметров α, λ, c, β при , и. Самый простой подход к большой выборке состоит в том, чтобы предположить, что MLE (α, λ, c, β) являются приблизительно многомерными нормальными со средним значением (α, λ, c, β) и ковариационной матрицей, где обратная наблюдаемая информационная матрица, которая определила следующим образом

(32)

Вторые частные производные, включенные в, приведены следующим образом

, где

Асимптотические достоверные интервалы α, C и β, и соответственно, есть процентные доценты, где есть процентные интервалы α, C и β, и соответственно, что Asymptotic Contraging Of is is β, и соответственно. стандартное нормальное распределение.

6. Анализ данных

В этом разделе мы выполняем приложение к реальным данным, чтобы проиллюстрировать, что OGE-G может быть хорошей моделью времени жизни, сравнивая со многими известными распределениями, такими как экспоненциальное, обобщенное экспоненциальное, Гомперца, обобщенное Гомперца и Бета-распределения Гомперца (ED, GE, G, GG, BG), см. [4] [6] [10] [11] .

Учтите, что данные были получены от Aarset [9] и широко представлены в некоторых источниках, см. [3] [4] [12] — [15] . Он представляет собой срок службы 50 устройств, а также обладает свойством интенсивности отказов в форме ванны, таблица 1. Распределения E, GE, G, GG и BG. MLE неизвестных параметров для этих распределений приведены в таблице 2 и таблице 3. Кроме того, значения логарифмических функций правдоподобия (-L), статистики K-S (Колмогорова-Смирнова), AIC (информационный критерий Акаике), статистика AICC (Akaike Information Citerion с поправкой) и BIC (Байесовский информационный критерий) рассчитываются для шести распределений, чтобы проверить, какое распределение лучше соответствует этим данным.

На основании таблицы 2 и таблицы 3 показано, что модель ОГЭ-Г (α, λ, c, β) является лучшей среди этих распределений, поскольку имеет наименьшее значение (K-S), AIC, CAIC и BIC тест.

Подставляя MLE неизвестных параметров α, λ, c, β в (32), мы получаем следующую оценку ковариационной матрицы

Приблизительные 95% двусторонние доверительные интервалы неизвестных параметров α, λ, c и β равны , и соответственно. Чтобы показать, что уравнение правдоподобия имеет единственное решение, мы построили профили логарифмической функции правдоподобия α, λ, β и c на рисунках 4 и 5.

Таблица 1. Данные Aarset [9] .

Таблица 2. MLE, логарифмическая вероятность для данных Aarset.

Таблица 3. Значения AIC, CAIC, BIC и K-S для данных Aarset.

Рис. 4. Профиль логарифмической функции правдоподобия α, λ.

Рис. 5. Профиль логарифмической функции правдоподобия c, β.

Непараметрическая оценка функции выживания с использованием метода Каплана-Мейера и ее подобранные параметрические оценки, когда предполагается, что распределение равно ED, GED, GD, GGD и OGE-GD, вычислены и представлены на рисунке 6.

На рисунке 7 представлена форма коэффициента опасности для ED, GED, GD, GGD, BGD и OGE-GD, которые используются для подбора данных после замены неизвестных параметров, включенных в каждое распределение, их MLE.

7. Заключение

В этой статье мы предлагаем новую модель, называемую нечетным обобщенным экспоненциальным распределением Гомперца (OGE-G), и изучаем ее различные свойства. Были получены и обсуждены некоторые статистические свойства этого распределения. Квантиль, медиана, мода и моменты ОГЭ-Г выводятся в замкнутых формах. Обсуждается распределение статистики заказов. Как точечные, так и асимптотические оценки параметров доверительного интервала получены с использованием метода максимального правдоподобия, и мы получили наблюдаемую информационную матрицу Фишера. Мы используем приложение на наборе реальных данных для сравнения OGE-G с другими известными распределениями, такими как экспоненциальное (E), обобщенное экспоненциальное (GE), Гомперца (G), обобщенное Гомперца (GG) и бета-Гомперца (BG). Аппликации на множестве реальных данных показали, что ОГЭ-Г является лучшим распределением для аппроксимации этих наборов данных по сравнению с другими распределениями, рассмотренными в этой статье.

Рисунок 6. Оценка Каплана-Мейера функции выживания.

Рисунок 7. Подогнанная функция коэффициента опасности для данных.

Благодарности

Авторы благодарны анонимному рецензенту за тщательную проверку деталей и полезные комментарии, позволившие улучшить эту статью.

Процитировать эту статью

М. А. Эль-Дамсезе, Абдельфаттах Мустафа, Б. С. Эль-Десуки, М. Э. Мустафа, (2015) Нечетное обобщенное экспоненциальное распределение Гомперца. Прикладная математика , 06 , 2340-2353. doi: 10.4236/am.2015.614206

Ссылки

1. Pollard, J.H. и Валкович, Э.Дж. (1992) Распределение Гомперца и его приложения. Род, 48, 15-28.

2. Маршалл, А.В. и Олкин, И. (2007) Life Distribution. Структура непараметрических, полупараметрических и параметрических семейств. Спрингер, Нью-Йорк.

3. Абу-Зинада Х.Х. и Алуфи А.С. (2014) Некоторые характеристики экспоненциального распределения Гомперца. Международный математический форум, 9, 1427-1439 гг.

4. Эль-Гохари, А., Альшамрани, А. и Аль-Отайби, А.Н. (2013) Обобщенное распределение Гомперца. Прикладное математическое моделирование, 37, 13-24.
http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2011.05.017

5. Юджин, Н., Ли, К. и Фамойе, Ф. (2002) Бета-нормальное распределение и его приложения. Коммуникации в статистике — теория и методы, 31, 497-512.
http://dx.doi.org/10.1081/STA-120003130

6. Джафари А.А., Тахмасеби С. и Ализаде М. (2014) Распределение бета-Гомперца. Revista Colombiana de Esta-distica, 37, 141-158.
http://dx.doi.org/10.15446/rce.v37n1.44363

7. Мудхолкар Г.С. и Шривастава Д.К. (1993) Экспоненциальное семейство Вейбулла для анализа данных о поломке ванны. IEEE Transactions on Reliability, 42, 299-302.
http://dx.doi.org/10.1109/24.229504

8. Тахир М.Х., Кордейро Г.М., Ализаде М., Мансур М., Зубаир М. и Хамедани Г.Г. (2015) Нечетное обобщенное экспоненциальное семейство распределений с приложениями. Журнал статистических распределений и приложений, 2, 1-28.
http://dx.doi.org/10.1186/s40488-014-0024-2

9. Аарсет М.В. (1987) Как определить уровень опасности для ванны. IEEE Transactions on Reliability, 36, 106-108.
http://dx.doi.org/10.1109/TR.1987.5222310

10. Гупта, Р. Д. и Кунду, Д. (2007) Обобщенное экспоненциальное распределение: существующие результаты и некоторые последние разработки. Журнал статистического планирования и выводов, 137, 3537-3547.
http://dx.doi.org/10.1016/j.jspi.2007.03.030

11. Гупта, Р. Д. и Кунду, Д. (2001) Обобщенное экспоненциальное распределение: другой метод оценок. Журнал статистических вычислений и моделирования, 69, 315-337.
http://dx.doi.org/10.1080/00949650108812098

12. Ленарт, А. (2014) Моменты распределения Гомперца и оценка максимального правдоподобия его параметров. Скандинавский актуарный журнал, 2014 г., стр. 255–277.
http://dx.doi.org/10.1080/03461238.2012.687697

13. Надараджа С. и Коц С. (2006) Бета-экспоненциальное распределение. Надежность и системная безопасность, 91, 689-697.
http://dx.doi.org/10.1016/j.ress.2005.05.008

14. Пасупулети С.С. и Патхак П. (2010) Специальная форма модели Гомперца и ее применение. Род, 66, 95-125.

15. Гупта, Р. Д. и Кунду, Д. (1999) Обобщенное экспоненциальное распределение. Статистический журнал Австралии и Новой Зеландии, 41, 173–188.
http://dx.doi.org/10.1111/1467-842X.00072

Математические игры

Вы можете получить очень хорошее представление о математических идеях, концепциях и закономерностях, играя в некоторые игры, представленные на этой странице. Будь то стратегическая игра или наши популярные Tran Towers и Tran Tunnels, мы надеемся, что вы весело проведете время, изучая математику.

Пары теоремы о круге

Парная игра, основанная на десяти теоремах об углах, образованных хордами, радиусами и касательными окружностей.

Обезьяны, ныряющие со скал

Проверьте свои навыки расчета времени, нажимая на обезьян, чтобы они спрыгнули со скалы в нужное время и приземлились в лодке.

Тяжелые времена

Самые сложные факты умножения (согласно исследованиям Transum) представлены в виде парных игр.

Перетягивание каната

Игра для двух игроков или команд, проверяющая их скорость реакции на вопросы по арифметике в уме.

Игра «Вычитание»

Эта базовая версия Ним представляет собой математическую стратегическую игру, в которой игроки по очереди вынимают палочки из кучи.

Ним

Ним — это математическая стратегическая игра, в которой два игрока по очереди удаляют объекты из групп объектов.

Инерционная гоночная трасса

Гоночная игра для двух игроков, в которой они используют векторы для управления движением своих автомобилей.

Где Валлаби?

Найдите спрятавшегося валлаби, используя подсказки, обнаруженные в выбранных координатах.

Снукер Углы

Онлайн-игра для одного или двух игроков, требующая умения оценивать углы как азимуты.

Пятнадцать

Стратегическая игра. Играйте против компьютера, чтобы выбрать три числа, которые в сумме дают 15.

23 или бюст

Игра, включающая ментальную арифметику и стратегию для двух игроков или одного игрока против компьютера.

Стратегические игры

Стратегические игры, требующие арифметики в уме, творчества или логики.

Пи-Мон

Запомните цифры числа пи с помощью музыкальных нот.

Цифровой дартс

Онлайн-игра в дартс для одного или двух игроков, требующая навыков, стратегии и счета в уме.

Игра Роукол

Стратегическая игра, основанная на захвате жетонов в определенных строках и столбцах.

Вокаберо

Найдите математическое слово из серии догадок и подсказок.

Игра БИДМАС

Интерактивная онлайн-игра, посвященная порядку математических операций.

Экватеро

Найдите выражение из серии догадок и подсказок.

Пары времени

Традиционная игра в пары или пельманизм, адаптированная для проверки способности сравнивать аналоговое и цифровое время.

Математические пары

Традиционная игра в пары или пельманизм, требующая знания некоторых великих математиков.

Дробь Десятичные пары

Традиционная игра в пары или пельманизм, адаптированная для проверки знаний простых дробей и эквивалентных им десятичных дробей.

Большое ожидание

Интерактивное онлайн-задание, требующее логического мышления и определенной доли удачи, чтобы разместить цифры с правильной стороны от знака неравенства.

В штучной упаковке

Классическая игра в точки и прямоугольники с добавлением положительных и отрицательных чисел, определяющих ваш счет.

Эквивалентные пары дробей

Традиционная игра в пары или пельманизм, адаптированная для проверки знаний эквивалентных дробей.

В штучной упаковке

Классическая игра для двух игроков в точки и квадраты с добавлением некоторых дробей, которые определяют ваш счет.

Дробь Процент Пары

Традиционная игра в пары или пельманизм, адаптированная для проверки знаний простых дробей и их эквивалентов в процентах.

Пронумеровать

Зарабатывайте очки, составляя уравнения на сетке в этой игре уравнений.

Не стреляйте в квадрат

Вам нужно быть быстрым в розыгрыше, чтобы выбить все числа, кроме квадратных чисел.

DiceGebra

Настольная онлайн-игра для двух игроков, оценивающих алгебраические уравнения и неравенства.

Закругляющая защелка

Если последняя выложенная карта равна предыдущей карте до ближайшего целого числа, все игроки начинают кричать СНИМОК!

Трансформация Тетрис

Развивайте свои навыки перевода и вращения фигур в этой динамичной классической игре.

Башни Тран

Приключенческая игра, в которой ученики должны решать головоломки, путешествуя по старому особняку.

Находка

Найти, где спрятаны мины, не наступая ни на одну из них.

Соедините 4 фактора

Это игра для одного или двух игроков. Выигрывает тот, кто первым выстроит четыре числа с общим множителем.

Тройки и пятерки

Игра для двух игроков, которые по очереди добавляют домино к линии, чтобы получить тройки и пятерки.

Алгебра Пары

Классическая игра в пельманизм или парная игра, требующая от вас сопоставления эквивалентных выражений.

Полибрэгинг

Трансумная версия игры Top Trumps, в которую играют онлайн со свойствами полигонов.

Тран тоннели

Мини-приключенческая игра, содержащая математические головоломки и задачи. Найдите свой путь через лабиринт туннелей, чтобы найти волшебный клавесин Голдберга.

Ошарашенная игра

Эта игра для одного или двух игроков представляет собой захватывающую задачу продемонстрировать понимание множителей и множителей.

Конгруэнтные пары

Сопоставьте конгруэнтные фигуры, имеющие одинаковую форму и размер.

Пипсы в банках

Это версия Wari, одной из старейших известных игр, в которую до сих пор широко играют. В нем участвуют маленькие простые числа.

Пары вращательной симметрии

Традиционная игра в пары или пельманизм, адаптированная для проверки знаний вращательной симметрии.

Альфа Твист

Развивайте свои навыки и понимание вращения в этом динамичном испытании.

Окончательные крестики-нолики

Игра, требующая от вас разработки стратегии, гораздо более сложной, чем та, которая требуется для стандартной игры.

Путь Пазл

Отличная головоломка, в которой вам нужно использовать все карты, чтобы создать непрерывную красную линию от начала до конца.

Выберите простые числа

Как можно быстрее сорвите с дерева лучшие плоды. Практикуйтесь, чтобы улучшить свое личное лучшее время.

Пары двадцать одна

Найдите пары чисел, которые в сумме дают 21, в этой коллекции игр на совпадение.

Пары 240

Найдите пары чисел, которые при умножении дают произведение, равное 240, в этой коллекции игр на совпадение.

Пар одиннадцать

Найдите пары игральных карт одной масти, сумма которых равна одиннадцати.

Пары кругов

Найдите совпадающие пары круговых диаграмм и свойств кругов в этой интерактивной онлайн-игре.

Пары формул

Найдите совпадающие пары диаграмм и формул для основных геометрических фигур.

Разобранный

Забавная игра, в которой вам нужно как можно быстрее найти числа, которые в сумме дают заданное число.

Матополия

Игра о покупке и продаже недвижимости с добавлением математических вопросов.

Гонка «Сброс игральных костей»

Настольная онлайн-игра для двух игроков, в которой участвуют простые и квадратные числа, а также выбор.

Пары диаграмм Венна

Традиционная игра в пары или пельманизм, адаптированная для проверки знаний диаграмм Венна.

Игра простых пар

Игра для двух игроков, которые по очереди выбирают два числа, которые в сумме дают простое число.

Двойной дубль

Объединить две плитки в одну, чтобы получилась двойная. Какой самый большой дубль вы можете сделать?

Cat Апульт

Используйте катапульту, чтобы выстрелить кошками на полки в соответствии с инструкциями по последовательности чисел.

Охотник за шестигранными блоками

Математическая версия телеигры «Блокбастеры». Найдите математические слова из подсказок.

Остаток гонки

Игра, основанная на удаче и выборе, требующая умения вычислять остаток от деления двузначного числа на однозначное число.

Пары графических уравнений

Сопоставьте уравнение с его графиком. Включает в себя квадратичные, кубические, обратные, экспоненциальные и функции синуса.

Строительные пары Loci

Сопоставьте описание локусов со схемой построения.

Да Нет Вопросы

Игра, в которой нужно определить математический предмет, задавая вопросы, на которые можно ответить только да или нет.

Сага о хрусте чисел

Увлекательная математическая игра, в которой вам нужно выровнять три числа, чтобы получить заданную целевую сумму или произведение.

Выберите среднее значение

Это игра для двух игроков. Вы должны знать, как найти среднее значение, медиану и диапазон набора чисел.

Пар индексов

Традиционная игра в пары или пельманизм, адаптированная для проверки знаний индексов.

Захват столов

Игра для одного или двух игроков. Цель состоит в том, чтобы захватить все кратные выбранной таблицы умножения быстрее, чем другой игрок.

Столы Dash

Пересмотрите факты умножения, бегая по экрану, чтобы сопоставить вопрос таблицы умножения с правильным ответом, не поражая молнией.

Гонки улиток

Гонка между 12 улитками. Какая улитка, скорее всего, победит? Это студенческая версия симулятора гонки.

Истерика

Игра, головоломка и задача, в которой фишки расставляются по углам квадрата на сетке.

Сумма игры

Игра на время, чтобы найти числа, которые в сумме дают заданное число.

Манифест

Увлекательная и наводящая на размышления игра для двух игроков или одного игрока против компьютера.

Предсказания Hi-Low

Версия телешоу «Разыгрывай карты правильно». Подсчитайте вероятность того, что карты будут выше или ниже.

Улучшенный

Игра для двух игроков, которые соревнуются в том, чтобы составить как можно большее число из случайно выбранных карточек.

Тем не менее

Игроки решают, куда положить карты, чтобы составить уравнение с максимально возможным решением.

Шипучий зуммер

Цифровая версия популярной игры про шипение. Нажмите на зуммеры, если они являются факторами счетчика.