Двойные неравенства. 2 способа решения

Например:

\(5<11<17\)
\(-2\leq3x+5\leq2\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\)

Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому  их всегда можно представить в виде системы.

Например:

\(-2\leq3x+5\leq2\Leftrightarrow\begin{cases}-2\leq3x+5\\3x+5\leq2\end{cases}\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\Leftrightarrow\begin{cases}2x-5\leq3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)

Но делать это нужно не всегда.

1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду \([число]\)\(<\)\(x\)\(<\)\([число]\).

Пример: Решите двойное неравенство:

\(-2\leq3x+5\leq2\)    \(|-5\)

Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям — числа.
Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем \(5\) из всего неравенства.

\(-7≤3x≤-3\)   \(|:3\)

 

Теперь нам мешает \(3\). Поделим все три части неравенства на \(3\).

\(-\)\(\frac{7}{3}\)\(\leq x \leq-1\)

  

Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.

Ответ: \([-\)\(\frac{7}{3}\)\(;-1]\)

2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.

Пример: Решите двойное неравенство:

\(2x-5<3x+7≤8x\)

В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.

\(\begin{cases}2x-5<3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)

Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов — в правую.

\(\begin{cases}2x-3x<7+5\\3x-8x\leq-7\end{cases}\)

Приводим подобные слагаемые

\(\begin{cases}-x<12   \\-5x\leq-7   \end{cases}\)

«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на \((-1)\), нижнее на \((-5)\). Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.

\(\begin{cases}x>-12   \\x\geq \frac{7}{5}\end{cases}\)

Отметим на числовой оси оба решения

  

Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.

Ответ: \([\)\(\frac{7}{5}\)\(;\infty)\)

Функция СЧЁТЕСЛИМН — Служба поддержки Майкрософт

Excel

Формулы и функции

Логические

Логические

Функция СЧЁТЕСЛИМН

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel Web App Excel 2010 Еще.

..Меньше

Функция СЧЁТЕСЛИМН применяет критерии к ячейкам в нескольких диапазонах и вычисляет количество соответствий всем критериям.

Это видео — часть учебного курса Усложненные функции ЕСЛИ.

Синтаксис

СЧЁТЕСЛИМН(диапазон_условия1;условие1;[диапазон_условия2;условие2];…)

Аргументы функции СЧЁТЕСЛИМН описаны ниже.

  • Диапазон_условия1.    Обязательный аргумент. Первый диапазон, в котором необходимо проверить соответствие заданному условию.

  • Условие1.    Обязательный аргумент. Условие в форме числа, выражения, ссылки на ячейку или текста, которые определяют, какие ячейки требуется учитывать. Например, условие может быть выражено следующим образом: 32, «>32», B4, «яблоки» или «32».

  • Диапазон_условия2, условие2…    Необязательный аргумент. Дополнительные диапазоны и условия для них. Разрешается использовать до 127 пар диапазонов и условий.

Важно: Каждый дополнительный диапазон должен состоять из такого же количества строк и столбцов, что и аргумент диапазон_условия1. Эти диапазоны могут не находиться рядом друг с другом.

Замечания

  • Каждое условие диапазона одновременно применяется к одной ячейке. Если все первые ячейки соответствуют требуемому условию, счет увеличивается на 1. Если все вторые ячейки соответствуют требуемому условию, счет еще раз увеличивается на 1, и это продолжается до тех пор, пока не будут проверены все ячейки.

  • Если аргумент условия является ссылкой на пустую ячейку, то он интерпретируется функцией СЧЁТЕСЛИМН

    как значение 0.

  • В условии можно использовать подстановочные знаки: вопросительный знак (?) и звездочку (*). Вопросительный знак соответствует любому одиночному символу; звездочка — любой последовательности символов. Если нужно найти сам вопросительный знак или звездочку, поставьте перед ними знак тильды (~).

Пример 1

Скопируйте образец данных из следующих таблиц и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Продавец

Превышена квота Q1

Превышена квота Q2

Превышена квота Q3

Ильина

Да

Нет

Нет

Егоров

Да

Да

Нет

Шашков

Да

Да

Да

Климов

Нет

Да

Да

Формула

Описание

Результат

=СЧЁТЕСЛИМН(B2:D2,»=Да»)

Определяет, насколько Ильина превысила квоту продаж для кварталов 1, 2 и 3 (только в квартале 1).

1

=СЧЁТЕСЛИМН(B2:B5,»=Да»,C2:C5,»=Да»)

Определяет, сколько продавцов превысили свои квоты за кварталы 1 и 2 (Егоров и Климов).

2

=СЧЁТЕСЛИМН(B5:D5,»=Да»,B3:D3,»=Да»)

Определяет, насколько продавцы Егоров и Климов превысили квоту для периодов Q1, Q2 и Q3 (только в Q2).

1

Пример 2

Данные

 

1

01. 05.2011

2

02.05.2011

3

03.05.2011

4

04.05.2011

5

05.05.2011

6

06. 05.2011

Формула

Описание

Результат

=СЧЁТЕСЛИМН(A2:A7;»<6″;A2:A7;»>1″)

Подсчитывает количество чисел между 1 и 6 (не включая 1 и 6), содержащихся в ячейках A2–A7.

4

=СЧЁТЕСЛИМН(A2:A7; «<5»; B2:B7; «<03. 05.2011″)

Подсчитывает количество строк, содержащих числа меньше 5 в ячейках A2–A7 и даты раньше 03.05.2011 в ячейках B2–B7.

2

=СЧЁТЕСЛИМН(A2:A7; «<» & A6; B2:B7; «<» & B4)

Такое же описание, что и для предыдущего примера, но вместо констант в условии используются ссылки на ячейки.

2

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

См.

также

Для подсчета непустых ячеек используйте функцию СЧЁТЗ

Для подсчета ячеек на основании одного условия используйте функцию СЧЁТЕСЛИ

Функция СУММЕСЛИ суммирует только те значения, которые соответствуют одному условию

Функция СУММЕСЛИМН суммирует только те значения, которые соответствуют нескольким условиям

Функция ЕСЛИМН (Microsoft 365, Excel 2016 и более поздних)

Полные сведения о формулах в Excel

Рекомендации, позволяющие избежать появления неработающих формул

Обнаружение ошибок в формулах

Статистические функции

Функции Excel (по алфавиту)

Функции Excel (по категориям)

составных неравенств: составные неравенства | SparkNotes

Чтобы решить составное неравенство, сначала разделите его на два неравенства. Определите, должен ли ответ быть объединением множеств («или») или пересечением множеств («и»). Затем решите оба неравенства и график.

Если неясно, является ли неравенство объединением множеств или пересечением множеств, то ##проверьте каждую область##, чтобы убедиться, что она удовлетворяет составному неравенству.


Пример 1 : Решите и постройте график: 4≤2 x ≤8

4≤2 x и 2 x ≤8 (пересечение множеств)
4≤2 x

≤
2≤ x
х ≥2

2 x ≤8

≤82
х ≤4

2≤ х и х ≤4.
График:

Пример 1


Пример 2 : Решите и постройте график: { x : 5≤ +5 < 6}

5≤ + 5 и +5 < 6 (пересечение множеств)
5≤ + 5

0≤
0≤ x

+5 < 6

< 1
х < 3

0≤ x и x < 3.
График:

Пример 2


Пример 3 : Решить и построить график: 3( x — 2) < 9 или 3( x — 2) > 15 (объединение наборов)

3( x — 2)

х — 2 < 3
х < 5

3( х — 2) > 15

х — 2 > 5
х > 7

x < 5 или x > 7.
График:

Пример 3


Пример 4 : Решите и постройте график: { x : 2 x ≤ x — 3}∪{ x : x < 3 x —

2 х ≤ x — 3 или x < 3 x — 4 (объединение наборов)
2 x ≤ x — 3

х ≤ — 3

х < 3 х — 4

-2 х < - 4
х >2

x ≤ — 3 или x > 2.
График:

Пример 4


Пример 5 : Решите и постройте график: 2 x — 2 < - 2 или 3( x + 5) > 2 x + 15 (объединение наборов)

2 x — 2 < - 2

2 х < 0
х < 0

3( х + 5) > 2 х + 15

3 х + 15 > 2 х + 15
3 х > 2 х
х > 0

x < 0 или x > 0.
График:

Пример 5


Пример 6 : 2 x — 3 < 5≤2 - 3 x

2 x — 3 < 5 и 5≤2 - 3 x (пересечение множеств)
2 x — 3 < 5

2 х < 8
х < 4

5≤2 — 3 x

3≤ — 3 x -1 ≥ x x ≤ — 1

x < 4 и x ≤ — 1.
График:

Пример 6

Решение сложных неравенств — ChiliMath

При решении составных неравенств мы будем иметь дело с двумя общими случаями или типами.

  • Первый случай включает решение двух линейных неравенств, соединенных словом «и». Слово «и» также известно как союз. Решением составного неравенства «и» является множество всех значений x, которые удовлетворяют обоим из двух неравенств. Другими словами, вам нужен набор решений, который работает с обоими неравенствами. Другими словами, множество решений сложного неравенства «и» — это пересечение , представленное символом \Large{\color{red} \cap} двух неравенств.
  • Что касается второго случая , то он включает решение двух линейных неравенств, соединенных словом «или». Решением составного неравенства «или» является множество всех x, которые удовлетворяют одному из двух неравенств или иногда удовлетворяют обоим одновременно. Другими словами, вам нужно решение, которое работает хотя бы с одним неравенством. Другими словами, множество решений составного неравенства «или» — это объединение , представленное символом \Large{\color{red} \cup}, двух неравенств.

В обоих случаях решения составных неравенств могут быть представлены в виде графиков на числовой прямой, а также в виде интервальных обозначений.

Я предлагаю сначала изобразить решения двух неравенств на числовой прямой, прежде чем записывать решение составного неравенства в интервальной записи. Имея визуальное представление о том, как два неравенства ведут себя на числовой прямой, гораздо проще написать соответствующее обозначение интервала.

Мы также рассмотрим несколько примеров, когда составное неравенство не имеет решения или имеет бесконечное решение.

Где-то в наших примерах мы обсудим случай составного неравенства «и», который можно сжать в одно неравенство с тремя частями: левой частью, средней частью и правой частью. Примером может быть — 1 \le x \le 3, полученное из -1 \le x и x \le 3. Записав его в такой форме, мы можем решить составное неравенство намного быстрее.

Составные неравенства «И»

Решите составное неравенство «и», решив каждое из двух неравенств по отдельности, а затем исследуйте или рассмотрите их решения вместе. Для случая «и» мы хотим найти все числа или значения, которые могут сделать оба два неравенства истинными .

Пример 1: Решите составное неравенство x — 1 > 1 и 27 \ge 2x — 1. Нанесите решения на числовую прямую. Затем запишите свои решения в интервальной записи.

ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

  • Первое неравенство: x — 1 > 1

Добавьте 1 к обеим частям неравенства.

x — 1 > 1

x — 1+1 > 1+1

\color{red}x > 2

  • Второе неравенство: 27 \ge 2x — 1

Сложите обе части неравенства 1, затем разделите на 2. Наконец, убедитесь, что переменная находится слева. Когда вы меняете местоположение, в этом случае переменная x будет перемещаться справа налево. Относительная ориентация символа неравенства должна оставаться неизменной, чтобы сохранить значение неизменным. Один из способов представить это так: «устье» символа неравенства открывается в сторону числа 14. Поэтому, когда вы меняете местами, «устье» неравенства все еще должно указывать на число 14.

27 \ge 2x — 1

27 + 1 \ge 2x — 1 + 1

8 \ge 2x

{\ Large {{{28} \более 2}}} \ge {\ Large {{{ 2x} \over 2}}}

14 \ge x

\color{red}x \le 14

Решения задаются \color{red}x > 2 и \color{red}x \le 14

ШАГ 2. Нанесите решения на числовую прямую.

Для \color{red}x > 2 точка 2 не входит в состав решений, так как x > 2 означает все числа больше 2. Кроме того, она не имеет условий равенства, поэтому мы должны исключить число 2. Таким образом, мы поместим открытый кружок над 2, чтобы указать, что это не решение. Все решения представляют собой числа больше 2, поэтому мы рисуем стрелку справа от 2.

Для \color{red}x \le 14 мы читаем это как «x меньше или равно 14». Обратите внимание, что существует условие равенства, поэтому число 14 является частью решения, поэтому мы обведем его закрытым кружком. Все числа слева от 14 также являются решениями, поэтому мы нарисуем стрелку, указывающую слева от него.

Окончательные решения будут пересечением или перекрытием двух неравенств: \color{red}x > 2 и \color{red}x \le 14. Обратите внимание, что все числа от 2 до 14 пересекаются, поэтому они часть окончательных решений сложного неравенства «и». Они также пересекаются под номером 14, поэтому мы добавляем его в набор решений. Однако они не пересекаются в точке 2, поэтому мы отбрасываем ее как часть решения. Мы только что вычислили полный набор решений данного составного неравенства.

ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

Обратите внимание, что все числа от 2 до 14 являются частью решения. Кроме того, число 2 равно , исключено , потому что оно с незамкнутым кругом , а число 14 равно , включено , потому что оно закрыто замкнутым кругом . Теперь мы используем круглую скобку или круглую скобку, если она исключена (2 исключается), и используем квадратную скобку, если она включена (14 включено).

\Large{\left( {2,14} \right]}

Читается как «все числа больше 2, но меньше или равны 14».

Помните: Этот тип интервала также известен как полузакрытый или полуоткрытый интервал, потому что одна из двух конечных точек включена, а другая нет.

Пример 2: Решите составное неравенство 2 + 3x > — 10 и 2\left( {x — 1} \right) < x + 4. Нанесите решение на числовую прямую. Затем запишите набор решений в интервальной нотации.

ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

  • Первое неравенство: 2 + 3x > — 10

Вычтите обе части неравенства на 2. Затем обе части разделите на 3.

2 + 3x > — 10

2 — 2 + 3x > — 10 — 2

3x > — 12

{\ Large {{{3x} \более 3}}} > {\ Large{{{ — 12} \over 3}}}

\color{red}x > — \ ,4

  • Второе неравенство: 2\left( {x — 1} \right) < x + 4

Распределите 2 в двучлене внутри скобок. Прибавьте по 2 с обеих сторон по неравенству. Затем вычтите обе части на x.

2\left( {x — 1} \right) < x + 4

2x — 2 < x + 4

2x — 2 + 2 < x + 4 + 2

2x < x + 6

2x — x < x - x + 6

\color{red}x < 6

Решения задаются как \color{red}x > — \,4 и \color{red}x < 6.

ШАГ 2. Нарисуйте набор решений на числовой прямой.

A строгое неравенство — это тип неравенства, которое либо абсолютно больше числа, x>a, либо абсолютно меньше числа, x

С другой стороны, символ неравенства x \ge a, который читается как «x больше или равен a», и символ неравенства x \le a, который читается как «x меньше или равен a», являются оба нестрогие неравенства потому что они имеют условия равенства.

Неравенство \color{red}x > — \,4 является строгим неравенством, поэтому мы обведем -4 кружком, так как оно не входит в решения, и проведем стрелку вправо. Точно так же \color{red}x < 6 является строгим неравенством, поэтому мы поместим открытый кружок над 6 и нарисуем стрелку влево.

Конечным набором решений будет пересечение \color{red}x > — \,4 и \color{red}x < 6, которые представляют собой все числа от -4 до 6, кроме конечных точек -4 и 6.

ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

Мы будем использовать скругленные скобки или круглые скобки с обеих сторон, чтобы обозначить, что обе конечные точки исключены из набора решений.

\Large{\left( {-4,6} \right)}

Читается как «все числа больше -4, но меньше 6».

Помните: Этот тип интервала также известен как открытый интервал , потому что две конечные точки исключены из набора решений. То есть они НЕ являются частью решений.

Пример 3: Решите сложное неравенство 5 — 3\left( {x — 2} \right) \le x — \left( { — 2x + 13} \right) и 5 ​​- \left( {x + 1} \right) \le 2\left( {7 — x} \right) + 1. Постройте график набора решений, затем запишите его решения в интервальной записи.

ШАГ 1: Решите каждое неравенство.

  • Первое неравенство: 5 — 3\left( {x — 2} \right) \le x — \left( { — 2x + 13} \right)

Избавьтесь от скобок с каждой стороны неравенства используя распределительное свойство умножения над сложением. Добавьте 5 и 6 слева. Вычтите обе стороны на 11. Вычтите обе стороны в 3 раза. Чтобы решить x, разделите обе части на -6. Поскольку мы делим каждую сторону на отрицательное число, мы изменим направление неравенства. То есть «от меньше или равно» до «больше или равно».

5 — 3\влево( {x — 2} \вправо) \le x — \влево( { — 2x + 13} \вправо)

5 — 3x + 6 \le x + 2x — 13 

— 3x + 11 \le 3x — 13 

— 3x + 11 — 11 \le 3x — 13 — 11

— 3x \le 3x — 24 

— 3x -3x \le 3x — 3x+24 

— 6x \le -24

{\Large{{{ — 6x} \over { — 6}}}} \le {\Large{{{ — 24} \over { — 6}}}}

\color{red}x \ge 4

  • Второе неравенство: 5 — \left( {x + 1} \right) \le 2\left( {7 — x} \right) + 1

Удалите скобки, используя распределительное свойство умножения над сложением. Вычтите 5 на 1 в левой части. Вычтите 4 из обеих частей неравенства. Затем добавьте 2 раза с обеих сторон, чтобы закончить.

5 — \left( {x + 1} \right) \le 2\left( {7 — x} \right) + 1

5 — x — 1 \le 14 — 2x + 1 

4 — x \le 15 — 2x

4 — 4 — x \le 15 — 4 — 2x

— x \le 11 — 2x

— x + 2x \le 11 — 2x + 2x

\color{red}x \ ле 11

Решения задаются \color{red}x \ge 4 и \color{red}x \le 11 .

ШАГ 2. Нарисуйте набор решений на числовой прямой.

Для \color{red}x \ge 4 мы заштрихуем кружок над 4, чтобы показать, что он входит в решения, потому что неравенство имеет условие равенства, то есть «больше или равно». Стрелка указывает вправо от числа 4, потому что оно содержит компонент «больше».

Для \color{red}x \le 11 мы также заштрихуем кружок над 11, чтобы указать, что он является частью набора решений, поскольку неравенство имеет условие равенства, то есть «меньше или равно ». Стрелка указывает налево от 11, потому что это меньше чем.

Что касается конечного множества решений, то мы находим все точки пересечения двух неравенств. Очевидно, они пересекаются между 4 и 11. Более того, они также пересекаются в конечных точках. Следовательно, окончательный набор решений содержит все точки между конечными точками 4 и 11, включая конечные точки.

ШАГ 3.  Запишите набор решений в интервальной записи.

Мы будем использовать квадратные скобки с обеих сторон, чтобы обозначить, что обе конечные точки включены в набор решений.

\Large{\left[ {4,11} \right]}

Читается как «все числа больше или равные 4, но меньше или равные 11».

Помните: Этот тип интервала также известен как закрытый интервал , потому что две конечные точки включены в набор решений. То есть это части растворов.

Пример 4: Решите составное неравенство 3x — 2\left( {1 — x} \right) < x - 6 и 10 - x < x + 2. Постройте график множества решений, затем запишите его решения в интервале обозначение.

ШАГ 1. Решите каждое неравенство.

  • Первое неравенство: 3x — 2\left( {1 — x} \right) < x - 6

Распределите -2 на бином 1-x в левой части неравенства, чтобы убрать скобки. Добавьте 3x и 2x с левой стороны. Добавьте 2 к обеим частям неравенства. Вычтите x с обеих сторон. Наконец, разделите обе части неравенства на 4.

3x — 2\left( {1 — x} \right) < x - 6

3x — 2 + 2x < x - 6

5x — 2 < x - 6

5x — 2 + 2 < x - 6 + 2

5x < x - 4

5x — x < x - x - 4

4x < - 4

{\ Large{{{4x} \over 4}}} < {\Large{{{ - 4} \over 4}}}

\color{red}x <- 1

  • Второе неравенство: 10 — x < x + 2

Вычтите обе части неравенства на 10. Затем вычтите его также с обеих сторон на x. Наконец, разделите каждую сторону на -2. Поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны перевернуть или изменить направление символа неравенства. В данном случае от меньшего к большему.

10 — х < х + 2

10 — 10 — х < х + 2 - 10

— х < х - 8

— х — х < х - х - 8

— 2х < - 8

{\Large{{{ — 2x} \over { — 2}}}} > {\Large{{{ — 8} \over { — 2}}}}

\color{red} x > 4

Заметим, что решения двух неравенств \color{red}x <- 1 и \color{red} x > 4 не пересекаются, и поэтому составное неравенство не имеет решения .

Более очевидно, что они не пересекаются, если мы посмотрим на их графики на числовой прямой.

Пример 5: Решите сложное неравенство — 5 < 3x + 7 \le 22. Нарисуйте график множества решений, затем запишите его решения в виде интервалов.

Это гибридное неравенство, состоящее из двух символов неравенства и трех частей, на самом деле является комбинацией двух неравенств, соединенных союзом «И».

Мы можем разделить это составное неравенство на два неравенства с помощью соединителя «И», а затем решить их, как обычно. Вот как это выглядит, если разбить составное неравенство на два более простых неравенства.

Однако нет необходимости разбивать его на два неравенства. Мы можем решить составное неравенство в его нынешнем виде. На самом деле, мне нравится, как это есть, потому что это намного проще решить.

Цель состоит в том, чтобы изолировать переменную средней части. Чтобы все было сбалансировано, что бы мы ни делали в средней части, мы должны делать то же самое и с левой, и с правой стороны. Когда все сделано правильно, ответ должен получиться красивым!

Поехали. Давайте работать!

ШАГ 1: Решите составное неравенство.

Чтобы найти x, мы вычитаем середину на 7, что означает, что мы должны сделать то же самое с левой и правой частями составного неравенства. Наконец, чтобы изолировать x, мы делим середину на 3, что мы делаем то же самое слева и справа.

— 5 < 3x + 7 \ le 22

— 5 {\ color {red} — 7} < 3x + 7 {\ color {red} - 7} \ le 22 {\ color {red} - 7} 

— 12 < 3x \le 15

{\ Large {{{ — 15} \ over {\ color {red} 3}}}} < {\ Large {{{3x} \ over {\ color {red} 3 }}}} \le {\Large{{{15}\over {\color{red}3}}}}

— 4 < x \le 5

Решения даны как — 4 < x \le 5.

ШАГ 2. Нарисуйте набор решений на числовой прямой.

ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

\Large{\left( {-4,5} \right]}

Читается как «все числа больше -4, но меньше или равны 5».

Составные неравенства «ИЛИ»

Решите составное неравенство «или», решив каждое из двух неравенств по отдельности.Для случая «или» мы хотим найти все числа, которые могут составить хотя бы одно из двух неравенств верно .

Пример 6: Решите составное неравенство 2x — 5 > 3x + 2 или x — 1 < 2x - 5. Нанесите решение на числовую прямую. Затем запишите свои решения в интервальной записи.

ШАГ 1.  Решите каждое неравенство.

Добавьте 5 к обеим частям неравенства. Затем вычтите 3x с обеих сторон. Наконец, разделите -1 на обе стороны. Не забудьте перевернуть символ неравенства, потому что мы разделили число на отрицательное число.

  • Первое неравенство: 2х — 5 > 3х + 2

2х — 5 > 3х + 2

2х — 5 + 5 > 3х + 2 + 5

2х > 3х + 7 90х002 2х3 -3 900 — 3x + 7

-x > 7

{\ Large {{{ — x} \ over { — 1}}}} < {\ Large {{7 \ over { - 1}}}}

\ color {red}x < - 7

  • Второе неравенство: x — 1 < 2x - 5

Добавьте обе стороны на 1. Затем вычтите обе стороны в 2 раза. Разделите обе части неравенства на -1, поменяв таким образом направление символа неравенства.

x — 1 < 2x - 5

x — 1 + 1 < 2x - 5 + 1

x < 2x - 4

x — 2x < 2x - 2x - 4

— x < - 4

3 {

3 \Large{{{ — x} \over { — 1}}}} > {\Large{{4 \over { — 1}}}}

\color{red}x > 4

Решения даются формулой \color{red}x < - 7 или \color{red}x > 4.

ШАГ 2.  Отобразите набор решений на числовой прямой.

ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

\left( { — \infty ,7} \right) \cup \left( {4,\infty } \right)

Читается как «все числа меньше отрицательного 7 или все числа больше 4“.

Пример 7: Решите составное неравенство 2\влево( {x + 1} \вправо) \le x — 2 или 3\влево( {x — 1} \вправо) \le 4x — 3. Постройте график решения на числовой прямой. Затем запишите свои решения в интервальной записи.

ШАГ 1.  Решите каждое неравенство.

  • Первое неравенство: 2\left( {x + 1} \right) \le x — 2

Распределить 2 на количество (x+1). Вычтите 2 из обеих частей неравенства. Наконец, вычтите x с обеих сторон, чтобы получить окончательное решение.

  • Второе неравенство: 3\left( {x — 1} \right) \le 4x — 3

Распределить 3 на количество (x-1). Затем прибавьте 3 к обеим частям неравенства. Затем вычтите стороны в 4 раза. Наконец разделите обе части на -1. Пожалуйста, не забудьте переключить направление неравенства с «меньше или равно» на «больше или равно».

Решения задаются как \color{red}x \le — 4 или \color{red}x \ge 0.

ШАГ 2.  Отобразите набор решений на числовой прямой.

ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

\left( { — \infty , — 4} \right) \cup \left( {0,\infty } \right)

Читается как «все числа меньше или равные -4 или все числа больше или равные 0».

Пример 8: Решить составное неравенство 2\влево( {x + 1} \вправо) — 3\влево( {x + 1} \вправо) < 0 или 4x + 3 \ge 15 + 6x. Нарисуйте набор решений на числовой прямой. Затем запишите набор решений в интервальной нотации.

ШАГ 1.  Решить каждое неравенство.

  • Первое неравенство: 2\left( {x + 1} \right) — 3\left( {x + 1} \right) < 0

Дважды применить распределительное свойство умножения над сложением слева от неравенство. Соедините похожие термины. Добавьте 1 с обеих сторон. Наконец, разделите обе части неравенства на -1. Не забудьте переключить направление открытия символа неравенства, так как мы разделили на отрицательное число.

  • Второе неравенство: 4x + 3 \ge 15 + 6x

Вычесть 3 с обеих сторон, а затем вычесть 6x. Разделите каждую сторону на -2, затем измените направление неравенства.

Решения задаются как \color{red}x > — 1 или \color{red}x \le — 6.

ШАГ 2.  Отобразите набор решений на числовой прямой.

ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

\left( { — \infty , — 6} \right] \cup \left( { — 1,\infty } \right)

Читается как «все числа меньше или равные -6 или все числа больше или равные -1».

Пример 9: Решите составное неравенство 0 < 3 - \left( {x + 4} \right) или 2 < 1 - \left( {x - 2} \right). Нарисуйте набор решений на числовой прямой. Затем запишите набор решений в интервальной нотации.

ШАГ 1.  Решите каждое неравенство.

  • Первое неравенство: 0 < 3 - \left( {x + 4} \right)

Примените Распределительное Свойство к правой части неравенства, затем добавьте x к обеим частям неравенства.

  • Второе неравенство: 2 < 1 - \left( {x - 2} \right)

Примените Распределительное Свойство к правой части, затем добавьте x к обеим частям неравенства. Наконец, вычтите 2 с обеих сторон, чтобы получить окончательный ответ.

Решения задаются как \color{red}x < - 1 или \color{red}x < 1.

ШАГ 2.  Отобразите набор решений на числовой прямой.

ШАГ 3. Запишите решения в интервальной записи.

\left( { — \infty ,1} \right)

Читается как «все числа меньше 1».

Пример 10: Решите составное неравенство 10x — 8 < 7x + 7 или 3x - 2\left( {2 - x} \right) \ge 1. Отобразите набор решений на числовой прямой. Затем запишите набор решений в интервальной нотации.

ШАГ 1.  Решите каждое неравенство.

  • Первое неравенство: 10x — 8 < 7x + 7

Добавьте 8 с обеих сторон. Затем вычтите 7x с обеих сторон. Наконец, разделите обе части на положительное число 3.

  • Второе неравенство: 3x — 2\left( {2 — x} \right) \ge 1

Примените свойство распределения к левой части. Соедините похожие термины.