Методическая разработка по алгебре (11 класс): тождественные преобразования алгебраических выражений

Тождественные преобразования алгебраических выражений

Определение. Алгебраическим выражением называется выражение, получаемое из постоянных и переменных при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня.

Примеры алгебраических выражений:

Все алгебраические выражения  по действиям, которые производятся над буквами можно классифицировать следующим образом:

1.Целые алгебраические выражения ( многочлены)

2.Дробно-рациональные алгебраические выражения.

3.Иррациональные алгебраические выражения.

Буквы, входящие в алгебраическое выражение  могут принимать значения из некоторого числового множества, которое называется множеством допустимых значений или областью определения алгебраического выражения.

 Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы. Например,

 

3 a 2 b 4 ,    b d 3 ,    – 17 a b c- одночлены.

Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

 

a x 3 y 2  – 5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = ( a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .

 

Эта операция называется приведением подобных членов.

Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки.

 

Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Область определения дробно-рационального алгебраического выражения не включает те значения, входящих в выражение букв, при которых знаменатель дробей в выражении обращается в нуль.

В общем случае область определения иррационального выражения включает только те значения букв, при которых выражения, стоящие под знаком корня четной степени принимают неотрицательные значения.

Тождеством называется равенство двух алгебраических выражений справедливое для любых допустимых значений, входящих в него букв.

Целью тождественных преобразований может быть приведение выражению вида, более удобного для численных расчетов или дальнейших преобразований.

К тождественных преобразований относятся:

приведение подобных членов

раскрытие скобок

разложение на множители

приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

избавление от иррациональности в знаменателе и т.п.

Для успешного осуществления тождественных преобразований целых       алгебраических  выражений нужно помнить:

]       ( a + b )²  =  a²  + 2ab + b² ,

        ( a – b )²  =  a² – 2ab + b² ,

        ( a + b ) ( a – b ) = a²  –  b²,

        ( a + b )³  =  a³  + 3a² b + 3ab²  + b³ ,

         ( a – b )³  =  a ³  – 3a² b + 3ab²  – b³ ,

         ( a + b )( a²  – ab + b² ) =  a³ + b³ ,

         ( a – b )( a ²  + ab + b² ) =  a³ – b³ .

Свойства степени с целыми показателями

Формулы корней квадратного трехчлена ax2 + bx + c

Теорему Виета х1 и х2 — корни ax2 + bx + c в том и только том случае, если

Разложение квадратного трехчлена ax2 + bx + c на множители.

Если х1, х2 — корни трехчлена, то ax2 + bx + c = а(х–х1)(х–х2)

Рассмотрим несколько примеров тождественных преобразований целых А.В.

Пример 1.

Разложить многочлен на множители

Решение:

Задача заключается в том, чтобы сгруппировать слагаемые так, чтобы они имели общий множитель, который можно будет затем вынести за скобки, прейдя от суммы к произведению.

Объединим крайние слагаемые в одну группу, а средние в другую:

2) Вынесем за скобки во второй группе общий множитель 2ab, получим:

3) Вынесем за скобки общий множитель первого и второго слагаемого

Полученное выражение есть произведение двух сомножителей, а значит многочлен f(a,b) разложили на множители.

Ответ:

Рассмотрим примеры тождественных преобразований дробно-рациональных выражений.

При выполнении тождественных преобразований таких выражений надо следить за областью определения выражения, т.к. может происходить расширение области определения. Это может произойти, например, при сокращении дроби.

Так область определения дроби исключает -1 и -2

Вместе с тем .

Сократив дробь, получим . Область определения полученной дроби  шире, чем область определения первоначальной дроби.

Поэтому дроби  и  равны при всех х, кроме -1 и -2.

Изменение области определения выражения возможно и в результате некоторых других преобразований, поэтому, выполнив преобразования выражения, нужно всегда уметь ответить на вопрос, на каком множестве оно тождественно полученному.

Пример 2.

Сократить дробь

Решение:

Ответ: .

 Пример 3.  Упростить выражение  

 =

Пример 4. 

Упростить выражение

Решение: Найдем область определения выражения, для этого потребуем

первые два выражения, как сумма трех неотрицательных слагаемых равны нулю только при х=0 и у=0.

Рассмотрим третье выражение

тогда  когда .

Область определения исключает х=0, у=0

2) Знаменатель третьей дроби мы разложили на множители, находя область определения выражения. Разложим на множители числитель первой дроби, а в числителе и в знаменателе второй представим

Воспользуемся правилами деления дробей

Ответ: 

Для успешного выполнения тождественных преобразований иррациональных выражений нужно помнить:

Определение.

Если  и n – натуральное число большее 1, то существует только одно неотрицательное число x такое, что выполняется равенство . Это число х называется арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а и обозначается .

Пример.

Если n – нечетное натуральное число большее 1 и а  понимают такое отрицательное число х, что .  

например  

Из определения  следует, что если в алгебраическом выражении есть корни четной степени, то подкоренные выражения таких корней должны быть неотрицательными, что учитывается при определении области определения алгебраического выражения.

 

Область определения выражения

Определение модуля числа.

Модулем числа а называется само число а, если  и противоположное ему число, если а

4. Свойства арифметического корня:

Если n, k, m – натуральные числа,  то:

1°

2°  , если b ¹ 0.

Замечание. Если a

3°  

4°  

5°  

6°  

Замечание. Если показатели корней нечетные числа, то свойства 1°– 6° выполняются для a

7°  Если n – четное число т.е. n = 2k, то

Например.  т.к. , то , тогда по определению модуля  и .

Пример 5.

Упростить выражение:

Решение.

1) Сначала, используя свойства арифметического корня, упростить каждый из имеющихся радикалов:

2)

3) Раскроем скобки и приведем подобные

Ответ: 

Пример 6.

Упростить выражение

Решение: Выражение упростится, если окажется, что под этим корнем содержится полный квадрат разности или суммы каких-нибудь чисел.

Представим  в виде полного квадрата. Для этого представим

 тогда

2)

3) По свойству 7° имеем

Т.к. , то , тогда по определению модуля

 и

Ответ: .

Пример 7.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

Решение:

В знаменателе имеем иррациональность 2-ой степени, поэтому домножим и числитель, и знаменатель дроби на сумму чисел  и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.

Ответ: .

Пример 8.

 Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Решение:

Имеем иррациональность 3-ей степени, поэтому и числитель, и знаменатель умножим на неполный квадрат чисел  и 1, тогда в знаменателе получим разность кубов, которая и ликвидирует иррациональность.

Ответ: 

Пример 9.

Вычислите:

Решение:

Воспользуемся свойствами степени с рациональным показателем и арифметического корня

Ответ: .

Решение:

От десятичных дробей в показателе степени перейдем к обыкновенным и воспользуемся свойствами арифметического корня и степени с рациональным показателем

Ответ: .

Пример 10.

Упростить выражение

Решение:

1. Найдем область определения алгебраического выражения

в результате имеем .

2. Перейдем в показателях степеней от десятичных дробей к обыкновенным и выражения, стоящие в скобках приведем к общему знаменателю

3. Числитель первой дроби преобразуем как сумму кубов

Пример 11. 

Упростить выражение

 

Решение:

Приведем дроби, стоящие под знаками корня к общему знаменателю

В числителе первой дроби стоит полный квадрат суммы, а в числителе второй дроби – полный квадрат разности  и :

3.  Воспользуемся свойством арифметического корня

4. Так как  и , то , а значит .

5. Так как  может быть как отрицательным, так и положительным, рассмотрим два случая:

1) , тогда . В этом случае  и

2) , тогда .

В этом случае  и

Ответ: . 

Пример 12. Разложить на множители:

a) (x + y)(y + z)(z + x) — xyz;

b) x3 + y3 + z3 — 3xyz;

c) x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1;

d) x5 + x + 1.

Решение.

 a) Прибавляя и вычитая z(y + z)(z + x), а затем группируя удобным образом, получим:

(x + y)(y + z)(z + x) + z(y + z)(z + x) — z(y + z)(z + x) — xyz =

= (y + z)(z + x)(x + y + z) — z((y + z)(z + x) — xy) =

= (y + z)(z + x)(x + y + z) — z(z2 + yz + zx) =

= (y + z)(z + x)(x + y + z) — z2(x + y + z) =

= (x + y + z)((y + z)(z + x) — z2) = (x + y + z)(xy + yz + zx).

b) Применяется формула суммы кубов и решается подобно предыдущему упражнению

x3 + y3 + z3 — 3xyz = (x + y)(x2 — xy + y2) + z(z2 — 3xy) =

= (x + y + z)(x2 — xy + y2) + z(z2 — 3xy — x2 + xy — y2) =

= (x + y + z)(x2 — xy + y2) + z(z2 — (x + y)2) =

= (x + y + z)(x2 — xy + y2 + z(z — x — y)) =

= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 — xy — xz — yz).

c) Применяя формулы сокращенного умножения, получим:

d)     x5 + x + 1 = 1 + x + x2 — x2 + x5 = 1 + x + x2 — x2(1 — x3) = (1 + x + x2) –

— x2(1 — x)(1 + x + x2) = (1 + x + x2)(1 — x2(1 — x)) = (1 + x + x2)(1 — x2 + x3).

Пример13. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

Алгебраические преобразования

2019-09-12 | Автор: Анна

Пара алгебраических задач на сообразительность. Для тренировки при решении задачи 21 ОГЭ и задачи 9 ЕГЭ.

Задача 1. Если , то

Решение.

Показать

Пусть \sqrt{a}=t, тогда

   

А ищем мы .

    \[t^4+12t-5=0\]

   

   

Раскроем как разность квадратов:

   

   

Либо

   

Тут корней нет.

    \[t^2+2t-1=0\]

То есть t^2+2t=1

Ответ: 1.

Задача 2. Если , то

Решение.

Показать

Приведем к общему знаменателю:

    \[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}=\frac{b(a+b)-a(a+b)-ab}{ab(a+b)}=\frac{b^2-ab-a^2}{ ab(a+b)}=0\]

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю:

   

   

    \[b=\frac{a\pm a\sqrt{5}}{2}\]

Тогда

    \[\frac{b}{a}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\]

Если

    \[\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

То

   

Ищем то, что просили:

   

Ответ: 2\sqrt{2}

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ – Репетитор по математике

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ

Разложение многочлена на множители методом неопределенных коэффициентов

В этой статье мы рассмотрим решение уравнения четвертой степени с помощью разложения на множители методом неопределенных коэффициентов.

Решить уравнение:

Решение. показать

Перед нами уравнение четвертой степени.

Чтобы решить это уравнение, разложим левую часть уравнения на множители.

Многочлен четвертой степени можно разложить на произведение двух многочленов второй степени.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Пусть выполняется равенство:

Здесь -целые числа.

Перемножим две скобки справа и приведем подобные члены. Получим:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях  и получим систему уравнений:

Без ограничения общности можем считать, что

, тогда пусть

, отсюда или .

Рассмотрим два случая:

  1. , 

Получим систему уравнений:

Из второго и третьего уравнений получаем — что не удовлетворяет третьему уравнению. Система не имеет решений.

2. , 

Из второго и третьего уравнений получаем — и эти значения удовлетворяет третьему уравнению.

Получили:

Тогда наше разложение имеет вид:

Осталось приравнять  квадратные трехчлены в скобках к нулю и найти корни:

Ответ: , 

И.В. Фельдман, репетитор по математике

Рациональные выражения. Задачи В11 ЕГЭ по математике

Часть 1.

Здесь смотрим части 2, 3, 4, 5

Разбор Задач №9 ЕГЭ по математике из открытого банка заданий
I. Преобразование числовых рациональных выражений

Задание 1.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Ответ: 18. 

Задание 2.

Найдите значение выражения  .

Решение: + показать

Ответ: 0,1. 

Задание 3.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Задание 4.

Найдите значение выражения: .

Решение: + показать

Ответ: -24,32. 

II. Преобразование буквенных рациональных выражений

Задание 1.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Задание 2.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Задание 3.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Раскладываем числитель на множители, пользуясь формулой разности квадратов:

Ответ: -2. 

Задание 4.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Раскладываем числитель и знаменатель на множители путем вынесения общего множителя за скобку:

Ответ: 17. 

Задание 5.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Задание 6.

Найдите значение выражения .

Решение: + показать

Не выполняя действие во вторых скобках, сразу производим раскрытие скобок:

Ответ: -8. 

Задание 7.

Найдите , если  при .

Решение: + показать

Ответ: 1. 

Задание 8.

Найдите , если   при .

Решение: + показать

Ответ: 0. 

Задание 9.

Найдите , если .

Решение: + показать

   =>  

Делим обе части равенства на :

Ответ: -0,2. 

Задание 10.

Найдите , если .

Решение: + показать

 =>

Тогда

Ответ: 2. 

Задание 11.

Найдите значение выражения  , если , .

Решение: + показать

🙂 За улыбкой сюда –>+ показать

Надеюсь, вам было также интересно…

Вы можете пройти тест по заданиям 9 «Преобразования рациональных выражений».

Урок алгебры Тождественные преобразования алгебраических выражений

Краткосрочный план урока по алгебре

7.3В раздел:

Дата:

ФИО учителя: Саганаева А.Е.

класс: 7

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Тождественные преобразования алгебраических выражений hello_html_64ed2c9b.gifhello_html_64ed2c9b.gif

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке

7.2.1.21

выполнять преобразования алгебраических выражений

Цели урока

Преобразует алгебраические выражения с помощью действий над многочленами, разложения многочлена на множители

Критерии оценивания

— Знание и понимание: знает правило раскрытия скобок, правила умножения одночлена на многочлен; понимает формулировку заданий: «упростить выражение», «разложить на множители», «способы группировки», «метод выделения полного квадрата» и т.д.

Применение знаний: выполняет тождественные преобразования алгебраических выражений с помощью действий над многочленами, разложения многочлена на множители;

Языковые цели

Предметная лексика и терминология

  • формулы сокращенного умножения;

  • разность квадратов двух выражений;

  • квадрат суммы двух выражений;

  • квадрат разности двух выражений;

Серия полезных фраз для диалога/письма

  • разность квадратов двух выражений равна…;

  • квадрат суммы (разности) двух выражений равен….;

  • куб суммы (разности) двух выражений равен….;

  • данное выражение можно записать в виде…;

Привитие ценностей

Привитие ценностей осуществляется посредством/через парную и групповую виды работ.

Учащиеся вступая в диалог со своими одноклассниками, обсуждая в группе развивают коммуникативные навыки. Через решение интересных задач развивают творческие способности, ставят цели, поддерживают друг-друга, делятся идеями, учатся быть ответственными.

Предварительные знания

Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители многочлена

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

  1. Приветствие. Деление на группы по цвету фигур. Организационный момент.

Класс делится на четыре группы. Выбирают лидера группы, спикера. Каждой группе дается оценочный лист.

  1. Проверка домашнего задания примеры 288(6-8) и 289(3):

За первые три примера оцениваются по 1 баллу, четвертый в 2 балла. Максимальный балл 5.

Середина урока

  1. Актуализация опорных знаний.

Задание 1. Каждой группе нужно сформулировать свое правило. Правильный ответ оценивается в 1 балл.

Устный опрос:

  1. Сформулируйте правило сложения рациональных дробей.

  2. Сформулируйте правило вычитания рациональных дробей.

  3. Сформулируйте правило умножения рациональных дробей.

  4. Сформулируйте правило деления рациональных дробей.

Задание 2. Даются карточки с элементами формул сокращенного умножения, которые нужно правильно собрать.

Формулы сокращенного умножения:

  1. а2-в2=(а-в)(а+в)

  2. (а+в)2=а2+2ав+в2

  3. (а-в)2=а2-2ав+в2

3) (а-в)3=а3-3а2в+3ав2-в3

4) (а-в)3=а3-3а2в+3ав2-в3

5)

6)

За каждую правильно собранную формулу дается 1 балл. Максимальный балл 7.

4. Закрепление

Задание №4

Каждой группе дается два примера, которые они должны решить в группе вместе. После решения идет взаимопроверка между группами (группа 1 проверяет группу 2, а группа 3 проверяет группу 4). За каждый правильно решенный пример дается 1 балл. Максимальный балл 2.

Самостоятельная работа. За правильное решение примера оценивается в 1 балл.

Рефлексия Домашнее задание

Домашнее задание: № 292 (3,4)

Рефлексия.

«Три М».

Учащимся предлагается назвать три момента, которые у них получились хорошо в процессе урока, и предложить одно действие, которое улучшит их работу на следующем уроке.

Презентация к уроку по алгебре (9 класс) по теме: Алгебраические преобразования. Приложение 8

Тема урока: Повторение и подготовка к экзамену. Урок обобщения и систематизации ЗУН и СД по теме «Преобразование алгебраических выражений». Подготовка к контрольной работе.

Цели урока: 1) Обобщение и систематизация ЗУН и СД по теме «Преобразование алгебраических выражений».

2) Техническая и методическая подготовка к ИГА с учетом специфики формулировок заданий и записи ответов (1 часть экзамена),  оформления решения заданий 2 части экзамена.

3) Развитие аналитического, логического, алгоритмического типов мышления.

4) Развитие познавательной активности учащихся.

5) Воспитание целеустремленности, повышение работоспособности и активной жизненной позиции.

План урока:

I. Актуализация опорных знаний.

Проводится выборочный контроль знаний по готовым листам с пропусками для заполнения, при этом каждый учащийся сдает такой теоретический зачет. Время зачета ограничено 1 – 2 минутами.

Способы разложения многочленов на множители.

Разложение на множители  — это операция преобразования ……………….. в ………………………………….

Основные способы:

1. Вынесение …………………………………………………… скобки.

2. Применение формул ……………………………………………………………..

a2- b2 = ………………………………….

a2  2ab + b2 = ………………………………

*a3  3a2b + 3ab2 b3 = ……………….

*a3  b3 = ………………………………………………

3. Разложение на множители квадратного трехчлена:

ax2 + bx + c = ……………………………………..,  где х1и х2 – корни уравнения

ax2 + bx + c = ……

4. …………………………………………………., а затем 1,2,3 в записанном порядке.

Степени и корни.

     1. Определения:  ;   …….;  ……….;               ,

 2. Свойства:   1. ………….;  2. …………;  3. …………..;

 4. ………….;    5. ………….;  6. ; 7. ;

8. ; 10. .

Части и проценты.

. Заполнить пропуски в таблице:

1%

5%

10%

20%

25%

50%

75%

100%

0,01

0,2

0,5

1

1

Основные задачи:

1) Дробь от числа – число ………………………………….. на дробь.

2) Процент от числа – процент записать в виде дроби, затем ………………………………….. на дробь.

Прогрессии.

Арифметическая

Геометрическая

Определение

an+1 =………………..

bn+1 =………………..

Характеристическое свойство

an = n > 1

= …………..

Формула n-го члена

an = a1 + ………………..

bn = ……… · qn-1

Сумма n первых членов

Sn =

Sn =

Sn =         

II. Проверка качества выполнения домашнего задания «Демоверсия контрольной работы».

Демоверсия содержит 7 заданий, из которых 4 – задания базового уровня и еще 3 – повышенного. Решение всех  заданий по просьбе учителя некоторые учащиеся представят в виде презентаций с подробным объяснением хода решения, записью ответа. Если некоторые задания окажутся не по силам учащихся, подробное решение разбирают всем классом.

III. Работа над формированием умений и навыков решения задач.

Каждый учащийся подготовил список заданий, вызвавших у него затруднения при решении. Кроме того, такой список заданий дает и учитель:

1. Какому из данных промежутков принадлежит число ?

1)            2)         3)         4)

1. Запишите в ответе номера верных равенств:

1)        2)        3)       4)

9. Упростить выражение       и найти его числовое значение при

.

19. Найдите значение выражения        .

13. Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

……. Найти  х .

Все задания решаются с подробной записью решения и ответов.

Если у учащихся не возникло вопросов по подготовке к экзамену на данном этапе, учитель предлагает решить более сложные задания или задания, вызвавшие, по мнению учителя, затруднения при решении. Задания заранее подобраны учителем из имеющихся сборников по подготовке к экзамену.

IV. Итог урока и домашнее задание.

Тема повторена, на следующем уроке контрольная работа «Преобразование алгебраических выражений». Учащиеся продолжают самоподготовку по первой технологической карте. Но повторение и подготовка к экзамену продолжается. Следующая тема «Уравнения и системы уравнений». Учитель дает учащимся следующую технологическую карту и предлагает подготовиться к теоретическому зачету «Уравнения» (вопросы в папке) уже на первом же уроке после контрольной работы.

Сборник упражнений по алгебре для 8 класса

 

 

 

 

Круговые задания

 

Сборник упражнений по алгебре для 8 класса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Пезарева Светлана   Николаевна, 

 

учитель математики

 

МАОУ «СОШ № 93», г. Кемерово

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кемерово 2019

 

 

 

Содержание

Введение

3

Глава 1. Рациональные дроби

5

§1.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

5

§2.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

6

§3.

Умножение и деление алгебраических дробей

7

§4.

Преобразование рациональных выражений

7

Глава 2. Квадратные уравнения

9

§1.

Неполные квадратные уравнения

9

§2.

Формула корней квадратного уравнения

10

§3.

Дробные рациональные уравнения

11

Глава 3. Неравенства

13

§1.

Числовые неравенства

13

§2.

Доказательство неравенств

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Важным звеном процесса обучения математике является контроль знаний и умений обучающихся. Оттого, как он организован, существенно зависит эффективность учебной работы.

В данном сборнике предложены круговые задания, при выполнении которых на каждом этапе можно проверить себя. Эти задания приучают детей к самостоятельности, быстроте реакции, самоконтролю. Каждое задание включает в себя от 4 до 6 упражнений.

  Виды контроля:

1.а) значение выражения есть в другом выражении;

  б) корень уравнения есть в другом уравнении.

2. Ответ: номер

     а) выражения;

     б) уравнения.

3. Модуль ответа равен:

     а) номеру выражения;

     б) номеру уравнения.

 Назначение данного пособия – предоставить в распоряжение учителя разнообразный материал упражнений для дифференцированного обучения путем разумного сочетания фронтальной, групповой и индивидуальной работы с обучающимися.

Сборник, который я предлагаю, можно использовать при опросе учащихся, при самостоятельной работе по закреплению материала, с учетом подготовки учащихся, заинтересованности их математикой, при повторении, на внеклассных занятиях, а также при индивидуальной работе с учениками, проявляющими повышенный интерес к математике.

  Цель упражнений – помочь более сознательному и прочному усвоению теории, научить применять пройденный материал, содействовать развитию логического мышления учащихся, их сообразительности,  сформировать умения применять полученные знания в нестандартных ситуациях.

 Пособие является дидактическим материалом по алгебре для 8 класса. Оно может использоваться, когда преподавание ведется по учебнику «Алгебра, 8» авторов Ю.Н.Макарычев и др. под редакцией С.А.Теляковского.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Рациональные дроби

§1.Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

№ 1. Найдите значение выражения:

1 вариант.

 

2 вариант.

 

 

§2.Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

№ 2. Найдите значение выражения:

1вариант.

 

2 вариант

 

 

§3. Умножение и деление алгебраических дробей

№ 3. Упростите выражение:

1вариант.

2вариант.

 

 

§4. Преобразование рациональных выражений

№ 4. Упростите выражение:

(Значение выражения есть в другом выражении)

№ 5. Упростить и найти числовые значения выражений:

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Ответ 1 4 2 3 5

(Ответ номер следующего выражения)

№ 6. Решите уравнение:

(Корень уравнения, номер следующего уравнения)

 

Глава 2. Квадратные уравнения

§1. Неполные квадратные уравнения

№ 7. Решите уравнение:

1вариант.

 

 

№ 8. Решите уравнение:

1вариант.

 

 

 

 

 

 

§2.Формула корней квадратного уравнения

№ 9. Решите уравнение:

1вариант.

 

1. (2х-1)(2х-3)-(Х-2)2=19+3х.

2. (Х-6)(Х+6)=3(Х-12)

3. (Х+1)2-(Х+1)(1-Х)=2х+50

 

 

2вариант.

 

1. (3х-2)2-(х-4)(5х+1)=100.

2. (1+х)(х-1)-(1+х)2=-2х+22.

3. (4+3х)2-(5+2х)(5-2х)=10+(4х+1)2

4. (х-3)(х+3)=3(х-3)

 

§3.Дробные рациональные уравнения

№ 10. Решите уравнение:

 

1вариант.

2вариант.

(Модуль корня, номер следующего уравнения.)

№ 11. Решите уравнение:

1вариант.

(Модуль корня, номер следующего уравнения.)

 

 

2вариант.

 

(Модуль корня, номер следующего уравнения.)

 

 

 

№ 12. Решите уравнение:

 

1вариант.

 

 

 

2вариант.

 

 

Модуль целого корня номер следующего уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Неравенства

§1.Числовые неравенства

№ 13. Верно ли при любом значении переменной данное неравенство.

  1. (с+2)(с+4)>(c+1)(c+5)

 

  1. (3x+2)2>3x(3x+4)

 

  1. (2a+5)(2a-5)<4(a2-5)

 

  1. (3a-1)(3a+1)<9a2

 

  1. 5)(4a+1)2-8a>(4a+1)(4a-1)

 

OTBET:135241

 

Модуль разности левой и правой части номер следующего

неравенства.

 

§2.Доказательство неравенств

№ 14. Докажите неравенства:

1вариант.

 

Модуль разности левой и правой части номер следующего неравенства.

 

 

2вариант.

 

 

Модуль разности левой и правой части номер следующего неравенства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебра — Преобразования

Пол Заметки Онлайн

Ноты Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Ноты
  • Проблемы практики
  • Проблемы с назначением
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Разные функции
  • Симметрия
  • глав
  • Графика и функции
  • полиномиальных функций
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Обзор алгебры и триггеров
  • Распространенные математические ошибки
  • Комплексное число праймер
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои ученики
  • Примечания Загрузки
  • Полная книга
  • Текущий Глава
  • Текущий раздел
  • Практика Проблемы Загрузки
  • Complete Book — Проблемы только
  • Complete Book — Решения
  • Текущая глава — только проблемы
  • Текущая глава — Решения
  • Текущий раздел — только проблемы
  • Текущий раздел — Решения
  • Проблемы с назначением Загрузки
  • Полная книга
  • Текущий Глава
  • Текущий раздел
  • Другие предметы
  • Получить URL для загрузки элементов
  • Распечатать страницу в текущей форме (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • алгебра
    • Предварительные
      • Целочисленные экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • полиномов
      • Факторинг Полиномы
      • Rational Expressions
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и комплекты решений
      • линейных уравнений
      • приложений линейных уравнений
      • уравнений с более чем одной переменной
      • Квадратичные уравнения — Часть I
      • Квадратичные уравнения — Часть II
      • Квадратичные уравнения: краткое изложение
      • Приложения квадратичных уравнений
        • Уравнения
      • , приводимые к квадратичной форме
      • Уравнения с радикалами
      • линейных неравенств
      • Полиномиальное неравенство
      • Рациональное неравенство
      • Уравнения абсолютной стоимости
      • Абсолютное неравенство в значениях
    • Графика и функции
      • График
      • Линии
      • Круги
      • Определение функции
      • Графические функции
      • Объединение функций
      • Обратные функции
    • общих графиков
      • Линии, окружности и кусочные функции
      • Параболы
      • Эллипсы
      • Гипербол
      • Разные функции
.

Функциональные преобразования

Давайте начнем с функции, в данном случае это f (x) = x 2 , но это может быть что угодно:

f (x) = x 2

Вот несколько простых вещей, которые мы можем сделать для перемещения или масштабирования на графике:

Мы можем переместить его вверх или вниз, добавив константу к значению y:

г (х) = х 2 + С

Примечание: чтобы переместить линию вниз на , мы используем отрицательное значение для C.

  • C> 0 поднимает его на
  • C <0 понижает

Мы можем переместить его влево или вправо, добавив константу к значению x:

г (х) = (х + С) 2

При добавлении C функция перемещается на влево на (отрицательное направление).

Почему? Хорошо, представьте, что вы унаследуете состояние, когда ваш возраст = 25 .Если вы измените это на (возраст + 4) = 25 , то вы получите его, когда вам исполнится 21 год. Добавление 4 сделало это раньше.

  • C> 0 двигается влево
  • C <0 движется вправо

НО мы должны добавить C везде, где x появляется в функции (мы заменяем x + C на x).

Пример: функция v (x) = x 3 — x 2 + 4x

Чтобы переместить C пробелов влево, добавьте C к x везде, где появляется x :

w (x) = (x + C) 3 — (x + C) 2 + 4 (x + C)

Простой способ запомнить, что происходит с графиком, когда мы добавляем константу:

добавьте к и , чтобы перейти к к высокой
добавить к x до осталось

Мы можем растянуть или сжать его в направлении у, умножив всю функцию на константу.

г (х) = 0,35 (х 2 )

  • C> 1 растягивает его
  • 0

Мы можем растянуть или сжать его в направлении х, умножив х на константу.

г (х) = (2х) 2

  • C> 1 сжимает его
  • 0

Обратите внимание, что (в отличие от направления y) большие значения вызывают большее сжатие .

Мы можем перевернуть его, умножив всю функцию на -1:

г (х) = — (х 2 )

Это также называется отражением относительно оси x (ось, где y = 0)

Мы можем объединить отрицательное значение с масштабированием:

Пример: умножение на -2 перевернет его вверх дном и растянет в направлении y.

Мы можем перевернуть его влево-вправо, умножив значение x на -1:

г (х) = (−x) 2

Это действительно переворачивает это влево и вправо! Но вы этого не видите, потому что x 2 симметричен относительно оси y.Итак, вот еще один пример использования √ (x):

г (х) = √ (-х)

Это также называется отражением относительно оси y (ось, где x = 0)

Резюме

y = f (x) + C
  • C> 0 поднимает его на
  • C <0 понижает
у = f (х + С)
  • C> 0 двигается влево
  • C <0 движется вправо
у = Cf (х)
  • C> 1 растягивает его в направлении у
  • 0
у = f (Cx)
  • C> 1 сжимает его в направлении x
  • 0
у = −f (х)
у = f (−x)

Примеры

Пример: функция g (x) = 1 / x

Вот некоторые вещи, которые мы можем сделать:

Перемещение на 2 пробела вверх: ч (х) = 1 / х + 2

Переместите 3 пробела вниз: ч (х) = 1 / х — 3

Переместите 4 пробела вправо: ч (х) = 1 / (х − 4) графика

Переместить 5 пробелов влево: ч (х) = 1 / (х + 5)

Растяните его на 2 в направлении y: ч (х) = 2 / х

Сжать на 3 в направлении x: ч (х) = 1 / (3х)

Переверните вверх дном: ч (х) = -1 / х

Пример: функция v (x) = x 3 — 4x

Вот некоторые вещи, которые мы можем сделать:

Перемещение на 2 пробела вверх: w (x) = x 3 — 4x + 2

Переместите 3 пробела вниз: (x) = x 3 — 4x — 3

Переместите 4 пробела вправо: w (x) = (x − 4) 3 — 4 (x − 4)

Переместите 5 пробелов влево: w (x) = (x + 5) 3 — 4 (x + 5) график

Растяните его на 2 в направлении y: w (x) = 2 (x 3 — 4x)
= 2x 3 — 8x

Сжать на 3 в направлении x: w (x) = (3x) 3 — 4 (3x)
= 27x 3 — 12x

Переверните вверх дном: ш (х) = −x 3 + 4x

все в одном…!

Мы можем сделать все преобразования за один раз , используя это:


— вертикальное растяжение / сжатие

  • | а | > 1 тянется
  • | а | <1 компрессы
  • a <0 переворачивает график вверх ногами

— горизонтальное растяжение / сжатие

  • | б | > 1 компресс
  • | б | <1 простирается
  • b <0 переворачивает график влево-вправо

с горизонтальным смещением

  • с <0 сдвигается вправо
  • с> 0 сдвигается влево

— вертикальное смещение

  • d> 0 сдвигается вверх
  • d <0 сдвигается вниз

Пример: 2√ (x + 1) +1

a = 2, c = 1, d = 1

Итак, он принимает функцию квадратного корня, а затем

  • Растягивает его на 2 в направлении у
  • сдвигов влево 1, а
  • сдвигает вверх 1

Играть с этим графиком

,

Преобразования — математика GCSE Редакция

В этом разделе рассматриваются преобразования, расширения, вращения и отражения.

Перевод происходит, когда фигура перемещается из одного места в другое. Это равносильно тому, чтобы взять форму и положить ее куда-нибудь еще. Векторы используются для описания переводов.

В видео и тексте ниже рассматриваются переводы, в том числе: отражения, повороты и расширения.

Размышления

Отражение похоже на размещение зеркала на странице.При описании отражения вам необходимо указать линию, в которой фигура была отражена. Расстояние каждой точки фигуры от линии отражения будет таким же, как и расстояние отраженной точки от линии.

Например, ниже приведен треугольник, который был отражен в линии y = x (длина розовых линий должна быть одинаковой на каждой стороне линии y = x):

Вращения

При описании вращения указываются центр и угол поворота.Если вы хотите использовать кальку для помощи в поворотах: нарисуйте фигуру, которую вы хотите повернуть, на кальку и нанесите ее поверх фигуры. Наденьте конец карандаша на кальку, где находится центр вращения, и поверните кальку на соответствующий угол (если вам не сообщают, является ли угол поворота по часовой стрелке или против часовой стрелки, он обычно будет против часовой стрелки). Результирующее положение фигуры на кальке — это то, куда поворачивается фигура.

Transformations

Расширения

Расширения имеют центр увеличения и масштабный коэффициент.
1) Нарисуйте линию от центра увеличения до каждой вершины («угла») фигуры, которую вы хотите увеличить. Измерьте длину каждой из этих линий.
2) Если масштабный коэффициент равен 2, нарисуйте линию от центра увеличения через каждую вершину, которая в два раза больше длины, которую вы измерили. Если масштабный коэффициент равен 3, нарисуйте линии, длина которых в три раза больше. Если масштабный коэффициент равен 1/2, нарисуйте линии, длина которых равна 1/2, и т. Д.

Пример

Центр расширения отмечен.Увеличить треугольник в 2 раза.

Enlargement

,

преобразований функций

В этом разделе вы узнаете, как выполнять различные типы преобразований функций, таких как перемещение, растяжение, сжатие и отражение.

Чтобы ученики поняли различные типы преобразований, мы объяснили каждый вид преобразований с пошаговым объяснением вместе с соответствующими рисунками.

Преобразования — Определение

Очень простое определение для преобразований: всякий раз, когда фигура перемещается из одного места в другое, Преобразование происходит.

Если фигура перемещается из одного места в другое, скажем, это трансформация.

Наш следующий вопрос: как будет преобразование

Чтобы знать это, мы должны знать различные типы преобразований.

Теперь давайте познакомимся с различными типами преобразований.

различных типов преобразований

Различные типы преобразований, которые мы можем выполнять в функциях:

1.Горизонтальный перевод

2. Вертикальный перевод

3. Отражение по оси x

4. Отражение по оси y

5. Горизонтальные расширения и сжатия

6 Вертикальные расширения и сжатия

Как различные типы преобразований происходят в терминах x-координаты и y-координаты, было суммировано ниже.

Краткое описание трансформации

Вертикальный перевод

Горизонтальный перевод

Вертикальное растяжение или сжатие

Горизонтальное растяжение или сжатие

Отражение по оси X

Отражение по оси Y

Орден Преобразований

В преобразованиях функций, если у нас более одного преобразования, мы должны выполнять преобразования по одному в следующем порядке.

1. Растяжки / сжатия

2. Отражения

3. Переводы

Что такое изображение и предварительное изображение?

Когда происходит преобразование, исходная фигура называется предварительным изображением, а новая фигура называется изображением.

Это было ясно показано на рисунке ниже.

Когда фигура перемещается из одного места в другое, мы говорим, что это трансформация.

В этом пункте всегда у студентов есть следующие вопросы.

Как осуществляется это преобразование?

Более понятно, на каком основании производится преобразование?

Есть ли заранее определенное правило для преобразования?

Да, существует заранее определенное правило для каждого преобразования.

Правило, которое мы применяем для преобразования, зависит от вида преобразования, которое мы делаем.

Мы уже видели различные типы преобразований в функциях.

Например, если мы собираемся выполнить преобразование функции, используя отражение через ось X, для этого есть заранее определенное правило.Согласно правилу, мы должны сделать трансформацию.

Правило, которое мы применяем для преобразования с помощью отражения, и правило, которое мы применяем для преобразования с использованием вращения, не одинаковы.

Следовательно, для каждого типа преобразования нам, возможно, придется применить другое правило.

Помимо материалов, приведенных в этом разделе, если вам нужны другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы по различным материалам по математике.

ЗАДАЧИ СЛОВА

Задачи со словами в HCF и LCM

Задачи со словами в простых уравнениях

Задачи в области линейных уравнений

Задачи в словах по квадратным уравнениям

Задачи в алгебре

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами в области и по периметру

Проблемы со словами при прямом и обратном изменении

Проблемы со словами в цене за единицу

Проблемы со словами в цене за единицу

Слово задачи сравнения ставок

Преобразование словарных задач в обычные единицы

Преобразование слов в метрических единицах задачи

Задачи на простые проценты

Задачи на сложные слова на 9009

Задачи на сложные слова ngles

словесные задачи о дополнительном и дополнительном углах

словесные задачи с двойными фактами

словесные задачи о тригонометрии

процентные задачи о словах

словесные проблемы о прибылях и убытках

разметка и разметка задачи

задачи с десятичными словами

задачи со словами на дробях

задачи на слова на смешанных дробях

задачи с одним уравнением в слове задачи

проблемы с линейными неравенствами слова

отношение и пропорции слова задачи

Проблемы со временем и рабочим словом

Проблемы со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами в возрасте

Проблемы со словами в теореме Пифагора

Процент числа oblems

Задачи на слово с постоянной скоростью

Задачи на слово на средней скорости

Задачи на слово на сумму углов треугольника составляет 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Ярлыки на прибыль и убытки

Процентные ярлыки

Ярлыки временных таблиц

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения отношений и пропорций

Область и диапазон рациональных функций

Домен и диапазон функции с отверстиями

Графические рациональные функции

Графические рациональные функции с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск квадратного корня с помощью long di зрение

л.Метод CM для решения задач времени и работы

Перевод словесных задач в алгебраические выражения

Остаток при делении 2-й степени 256 на 17

Остаток при делении 17-й степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, кратных 6

Сумма всех трехзначных чисел, кратных 7

Сумма всех трехзначных чисел, кратных 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Обучение не для оценки, это процесс для понимания концепции.

Мы твердо верим, что глубокое понимание концепции имеет значение. Наша конечная цель всегда состоит в том, чтобы студенты глубже поняли концепцию.

Наши студенты всегда получают оценки только благодаря пониманию концепции.

Мы являемся экспертами в SCAT (математика и английский), SAT (математический английский), ACT (математика и английский), SAT Level 1 & 2 (предметные тесты), исчисление, предварительное исчисление и многое другое.

Для онлайн-классов, пожалуйста, свяжитесь:

WhatsApp: + 91-37004

Skype ID: rams_tpt

,

Related Posts

Leave A Comment