При прямолинейном движении зависимость координаты тела x от времени t имеет вид: При прямолинейном движении зависимость координаты тела x от времени tимеет вид

Равномерное прямолинейное движение

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение – это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:

vcp = v

= / t

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

= • t

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

vx = v,	то есть v > 0

s = vt = x – x0

Уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:

х = x0 + vt

х = x0 - vt

Зависимость скорости, координат и пути от времени

Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1.11. Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot.

Рис. 1.11. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Рис. 1.12. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

График зависимости перемещения от времени показан на рис. 1.13. Из графика видно, что проекция скорости равна

v = s1 / t1 = tg α

tg α = v

Рис. 1.13. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Зависимость координаты от времени показана на рис. 1.14. Из рисунка видно, что

tg α1 > tg α2

tg α3 = v3 < 0

х = х0

Рис. 1.14. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Задачи по физике на тему «Равнопеременное движение» (9, 11 классы)

Задачи на тему : Равнопеременное движение

1. Движение двух велосипедистов заданы уравнениями  и Найдите координату x места встречи велосипедистов. Велосипедисты двигаются вдоль одной прямой. (Ответ дайте в метрах.) ответ: 20 м

2. Тело разгоняется на прямолинейном участке пути, при этом зависимость пройденного телом пути S от времени t имеет вид:

Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 c при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду. ) ответ:8 м/с

3. При прямолинейном движении зависимость координаты тела x от времени t имеет вид:

Чему равна скорость тела в момент времени t = 2 c при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду.) ответ: 16 м/с

4. Зависимость координаты x тела от времени t имеет вид:

Чему равна проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t = 3 с при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду.) ответ: 20 м/с

5. Зависимость координаты x тела от времени t имеет вид:

Чему равна проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t = 1 с при таком движении? (Ответ дайте в метрах в секунду. ) ответ: 0

6. Зависимость координаты x тела от времени t имеет вид:

Через сколько секунд после начала отсчета времени t = 0 с проекция вектора скорости тела на ось Ox станет равной нулю? Ответ: 1,5 с

7. Небольшое тело движется вдоль оси Ox. Его координата x изменяется с течением времени t по закону

где  выражено в секундах, а  — в метрах. Чему равна проекция ускорения этого тела на ось Ox в момент времени ? (Ответ дайте в метрах в секунду в квадрате.) ответ: -2м/с²

8. Скорость тела, совершающего гармонические колебания меняется с течением времени в соответствии с уравнением   где все величины выражены в СИ. Какова амплитуда колебаний скорости? (Ответ дайте в метрах в секунду.) ответ: 0,03 м/с

9. Колебательное движение тела задано уравнением:

где   Чему равна амплитуда колебаний? (Ответ дайте в сантиметрах.) ответ: 5 см

10. Гиря массой 2 кг подвешена на стальной пружине и совершает свободные колебания вдоль вертикально направленной оси Ox, координата x центра масс гири, выраженная в метрах, изменяется со временем по закону   Чему равна кинетическая энергия гири в начальный момент времени? (Ответ выразите в джоулях.)

1-й способ

2-й способ

3-й способ

Поскольку координата центра масс гири меняется по закону х=0,4sin5t=x₀sinω₀t

скорость центра масс гири меняется согласно v=x₀ω₀cosω₀t=0,45cos5t=2cos5t

В начальный момент скорость гири равна 2 м/с, а её кинетическая энергия E=(mv²)/2=4 Дж

11. Смещение груза пружинного маятника от положения равновесия меняется с течением времени по закону  где период Т = 1 с. Через какое минимальное время начиная с момента t = 0 потенциальная энергия маятника вернётся к своему исходному значению? Ответ выразите в секундах. Ответ: 0,5 с

Объединение Физико-математическое, 2 курс

Просим Вас не высылать работы ценными письмами.

Желаем успехов!

Контрольная работа № 1

Объединение Физико-математическое, 2 курс

1. Два велосипедиста движутся друг за другом по шоссе: первый со скоростью ʋ₁ = 5м/с, а второй с ʋ₂ = 10м/с. Первоначальное расстояние между ними было s = 200м. Составить уравнения их движения, приняв направление оси Ох по движению, а за начало координат положение второго. Найти время и место встречи. Какое расстояние между ними будет через 60с?

2. Дано уравнения движения тела: х=100 – 20t +0,5t² . Чему равны начальная координата, проекция начальной скорости и ускорения тела? В какой момент времени тело окажется в начале координат?

3. Два велосипедиста движутся навстречу друг другу: первый со скоростью ʋ₁ = 5м/с, а второй с ʋ₂ = 10м/с. Первоначальное расстояние между ними было s = 200м. Составить уравнения их движения, приняв направление оси Ох по движению первого, а за начало координат положение второго. Найти время и место встречи. Какое расстояние между ними будет через 60с?

4. Дано уравнения движения тела: х= 25 – 20t +t² . Чему равны начальная координата, проекция начальной скорости и ускорения тела? В какой момент времени тело окажется в начале координат?

5. Ав­то­мо­биль дви­жет­ся по пря­мой улице. На гра­фи­ке пред­став­ле­на за­ви­си­мость ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля от вре­ме­ни. Чему равен мак­си­маль­ный мо­дуль уско­ре­ния? Ответ вы­ра­зи­те в м/с².

6. Тело раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке пути, при этом за­ви­си­мость прой­ден­но­го телом пути S от вре­ме­ни t имеет вид: S(t) = 4t + t²

Чему равна ско­рость тела в мо­мент вре­ме­ни t = 2 c при таком дви­же­нии? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду. )

7. При пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты тела x от вре­ме­ни t имеет вид: X = 5 + 2t + 4t².

Чему равна ско­рость тела в мо­мент вре­ме­ни t = 2 c при таком дви­же­нии? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

8. За­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты x тела от вре­ме­ни t имеет вид: x = 1 + 2t + 3t².

Чему равна про­ек­ция ско­ро­сти тела на ось Ox в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с при таком дви­же­нии? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

9. За­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты x тела от вре­ме­ни t имеет вид: x = 1 + 4t – 2t².

Чему равна про­ек­ция ско­ро­сти тела на ось Ox в мо­мент вре­ме­ни t = 1 с при таком дви­же­нии? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

10. За­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты x тела от вре­ме­ни t имеет вид:

Через сколь­ко се­кунд после на­ча­ла от­сче­та вре­ме­ни t = 0 с про­ек­ция век­то­ра ско­ро­сти тела на ось Ox ста­нет рав­ной нулю?

11. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни. Чему равна про­ек­ция уско­ре­ния тела в мо­мент вре­ме­ни 16 с? Ответ вы­ра­зи­те в м/с².

12. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни. Чему равна про­ек­ция уско­ре­ния тела в мо­мент вре­ме­ни 6 с? Ответ вы­ра­зи­те в м/с².

13. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни. Чему равна про­ек­ция уско­ре­ния тела в мо­мент вре­ме­ни 26 с? Ответ вы­ра­зи­те в м/с².

14.

На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела от вре­ме­ни. Чему равна про­ек­ция уско­ре­ния тела в мо­мент вре­ме­ни 54 с? Ответ вы­ра­зи­те в м/с².

15. Тело бро­ше­но вер­ти­каль­но вверх. Через 0,5 с после брос­ка его ско­рость 20 м/с. Ка­ко­ва на­чаль­ная ско­рость тела? Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь. (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

16. Ав­то­мо­биль дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но. На гра­фи­ке пред­став­ле­на за­ви­си­мость ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля от вре­ме­ни. Чему равен ми­ни­маль­ный мо­дуль уско­ре­ния? Ответ вы­ра­зи­те в м/с².

17. Тело бро­ше­но вер­ти­каль­но вверх с на­чаль­ной ско­ро­стью 20 м/с. Чему равен мо­дуль ско­ро­сти тела через 0,5 c после на­ча­ла от­сче­та вре­ме­ни? Со­про­тив­ле­ние воз­ду­ха не учи­ты­вать. (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.)

18. Ве­ло­си­пе­дист съез­жа­ет с горки, дви­га­ясь пря­мо­ли­ней­но и рав­но­уско­рен­но. За время спус­ка ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста уве­ли­чи­лась на 10 м/с. Уско­ре­ние ве­ло­си­пе­ди­ста — 0,5 м/с². Сколь­ко се­кунд длил­ся спуск?

19. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля ско­ро­сти дви­же­ния четырёх ав­то­мо­би­лей от вре­ме­ни. Один из ав­то­мо­би­лей за пер­вые 15 с дви­же­ния про­ехал наи­боль­ший путь. Най­ди­те этот путь. Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

20. На гра­фи­ке при­ве­де­на за­ви­си­мость ско­ро­сти пря­мо­ли­ней­но­ дви­жу­ще­го­ся тела от вре­ме­ни. Опре­де­ли­те мо­дуль уско­ре­ния тела. (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду в квад­ра­те.)

21. Не­боль­шое тело дви­жет­ся вдоль оси Ox. Его ко­ор­ди­на­та x из­ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни t по за­ко­ну x(t) = 2 + t – t²

где t вы­ра­же­но в се­кун­дах, а x — в мет­рах. Чему равна про­ек­ция уско­ре­ния этого тела на ось Ox в мо­мент вре­ме­ни ? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду в квад­ра­те.)

22.

То­чеч­ное тело на­чи­на­ет дви­же­ние из со­сто­я­ния покоя и дви­жет­ся рав­но­уско­рен­но вдоль оси Оx по глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти. Ис­поль­зуя таб­ли­цу, опре­де­ли­те зна­че­ние про­ек­ции на ось Оx уско­ре­ния этого тела. (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду в квад­ра­те.)

23. На гра­фи­ке при­ве­де­на за­ви­си­мость ско­ро­сти тела от вре­ме­ни при пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку уско­ре­ние тела. (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду в квад­ра­те.)

24. На гра­фи­ке при­ве­де­на за­ви­си­мость ско­ро­сти тела от вре­ме­ни при пря­мо­ли­ней­ном дви­же­нии. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку уско­ре­ние тела. (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду в квад­ра­те.)

25. На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти мо­ду­ля ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля от вре­ме­ни. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку путь, прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем в ин­тер­ва­ле от мо­мен­та вре­ме­ни 0 с до мо­мен­та вре­ме­ни 5 с после на­ча­ла от­сче­та вре­ме­ни. (Ответ дайте в мет­рах.)

26. Маль­чик съез­жа­ет на сан­ках рав­но­уско­рен­но со снеж­ной горки. Ско­рость санок в конце спус­ка 10 м/с. Уско­ре­ние равно 1 м/с², на­чаль­ная ско­рость равна нулю. Ка­ко­ва длина горки? (Ответ дайте в мет­рах.)

27.

Ав­то­мо­биль тро­га­ет­ся с места и дви­жет­ся с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем 5 м/с². Какой путь прошёл ав­то­мо­биль, если его ско­рость в конце пути ока­за­лась рав­ной 15 м/с? (Ответ дайте в мет­рах.)

28.

При рав­но­уско­рен­ном дви­же­нии ав­то­мо­би­ля на пути 25 м его ско­рость уве­ли­чи­лась от 5 до 10 м/с. Чему равно уско­ре­ние ав­то­мо­би­ля? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду в квад­ра­те.)

29.

Ве­ло­си­пе­дист съез­жа­ет с горки, дви­га­ясь рав­но­уско­рен­но. На­чаль­ная ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна нулю. У ос­но­ва­ния горки дли­ной 100 м ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста 10 м/с. Чему равно его уско­ре­ние? (Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду в квад­ра­те.)

30. На ри­сун­ке при­ведён гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти тела v_x от вре­ме­ни. Чему равна про­ек­ции уско­ре­ния этого тела a_x в ин­тер­ва­ле вре­ме­ни от 6 с до 10 с? Ответ вы­ра­зи­те в м/с².

Консультации Вы можете получить у преподавателей, предварительно договорившись по телефону в Кургане 8 (3522) 46-63-02 или в группе физико-математического объединения вКонтакте.

Электронная почта очно-заочной школы: [email protected]

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

Урок 2. равномерное прямолинейное движение материальной точки — Физика — 10 класс

Физика, 10 класс

Урок 2. Равномерное прямолинейное движение материальной точки

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: 1) основная задача механики; 2) относительность механического движения; 3) система отсчёта, материальная точка, перемещение, траектория, скорость; 4) кинематическое уравнение.

Глоссарий по теме:

Раздел механики, в котором изучается движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение, называют кинематикой.

Механическим движением тела называется изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Материальной точкой называют тело, размерами и формой которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь. Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчета. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов называют системой отсчета.

Траектория — линия, по которой движется точка в пространстве.

Длину траектории, по которой двигалось тело в течение какого-то промежутка времени, называют путем, пройденным за этот промежуток времени.

Перемещением тела (материальной точки) называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.

Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения.

Скорость равномерного прямолинейного движения точки – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.

Относительность механического движения – это зависимость траектории движения тела, пройденного пути, перемещения и скорости от выбора системы отсчёта

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2016.– С.10-30.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009.

Открытые электронные ресурсы по теме урока:

http://kvant.mccme.ru/1974/12/byvaet_li_ravnomernoe_dvizheni.htm.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основная задача классической механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени. По характеру решаемых задач классическую механику делят на кинематику, динамику и статику. В кинематике описывают движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение. Раздел механики, в котором изучаются причины движения, называют динамикой. Статика — раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твердых тел. Законы сохранения импульса и энергии являются следствиями законов Ньютонов.

Механическим движением тела называется изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Сформулируем закон относительности движения: характер движения тела зависит от того, относительно каких тел мы рассматриваем движение. Нет абсолютно неподвижных тел.

Рассмотрим самое простое движение – прямолинейное равномерное движение. Описать движение тела – это значит, указать способ определения его положения в пространстве в любой момент времени.

Для описания движения нужно ввести некоторые понятия: материальная точка, траектория, путь, перемещение, координата, момент времени, промежуток времени, скорость. Материальной точкой называют тело, размерами которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь. Это первая физическая модель реальных тел. Практически всякое тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела, очень велики по сравнению с его размерами. Например, материальными точками считают Землю и другие планеты при изучении их движения вокруг Солнца. В данном случае различия в движении разных точек любой планеты, вызванные её суточным вращением, не влияют на величины, описывающие годовое движение. Но при решении задач, связанных с суточным вращением планет (например, при определении времени восхода солнца в разных местах поверхности земного шара), считать планету материальной точкой нельзя, так как результат задачи зависит от размеров этой планеты и скорости движения точек её поверхности.

Тело, движущееся поступательно, можно принимать за материальную точку даже в том случае, если его размеры соизмеримы с проходимыми им расстояниями. Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остается параллельным самому себе.

Что нужно знать для того, чтобы в любой момент времени указать положение тела? Надо, во-первых, знать, где оно было в начальный момент времени; во-вторых, каков вектор перемещения в любой момент времени. Мы уже знаем, что движение любого тела относительно. Поэтому, изучая движение тела, мы обязательно указываем, относительно какого тела это движение рассматривается. Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчета. Чтобы рассчитать положение материальной точки относительно выбранной точки отсчета, надо связать с ним систему координат и измерить время. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов называют системой отсчета.

Рассмотрим два наиболее часто применяемых способа описания движения тел: координатный и векторный. В координатном способе положение тела в пространстве задается координатами, которые с течением времени меняются.

Рассмотрим движение материальной точки М с координатами (х, y, z) в момент времени t.

Математически это принято записывать в виде:

Количество координат зависит от условия задачи: на прямой – одна, в плоскости – две, в пространстве – три.

В векторном способе используется радиус-вектор. Радиус-вектор – это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку. Закон (или уравнение) движения в векторной форме — зависимость радиуса-вектора от времени:

Итак, для задания закона движения материальной точки необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от времени, либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки.

Три скалярных уравнения или эквивалентное им одно векторное уравнение называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Двигаясь, материальная точка занимает различные положения в пространстве относительно выбранной системы отсчета. При этом она «описывает» в пространстве какую-то линию. Линия, по которой движется точка в пространстве, называется траекторией. По форме траектории все движения делятся на прямолинейные и криволинейные. Траектория движения указывает все положения, которые занимала точка, но, зная траекторию, ничего нельзя сказать о том, быстро или медленно проходила точка отдельные участки траектории. Длину траектории, по которой двигалось тело в течение какого-то промежутка времени, называют путём, пройденным за этот промежуток времени, его обозначают буквой S. Путь – скалярная величина.

Для описания движения тела нужно указать, как меняется положение точек с течением времени. Если участки криволинейные, то изменение координат тела описывают с помощью такого понятия как перемещение. Перемещением тела (материальной точки) называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Обозначается на чертежах как направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положение тела в пространстве:

Путь и модуль перемещения могут совпадать по значению, только в том случае, если тело движется вдоль одной прямой в одном направлении.

Важной величиной, характеризующей движение тела, является его скорость. Скорость – векторная величина. Она считается заданной, если известен ее модуль и направление. Скорость равномерного прямолинейного движения точки – векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Пусть радиус-вектор задает положение точки в начальный момент времени t₀, а радиус-вектор- в момент времени t. Тогда промежуток времени:

,

и перемещение:

.

Подставляя выражение для скорости, получим:

Если начальный момент времени t₀ принять равным нулю, то скорость равна:

Выразим отсюда радиус-вектор :

Это и есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в векторной форме. Оно позволяет найти радиус-вектор точки при этом движении в любой момент времени, если известны скорость точки и радиус-вектор, задающий ее положение в начальный момент времени. В проекциях на ось ОХ уравнение можно записать в виде:

х=х₀+v_хt.

Это уравнение есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в координатной форме. Оно позволяет найти координату х тела при этом движении в любой момент времени, если известны проекция его скорости на ось ОX и его начальная координата х₀.

Путь S, пройденный точкой при движении вдоль оси ОХ, равен модулю изменения ее координаты:

Его можно найти, зная модуль скорости

Строго говоря, равномерного прямолинейного движения не существует. Но приближенно на протяжении не слишком большого промежутка времени движение автомобиля можно считать равномерным и прямолинейным с достаточной для практических целей точностью. Таково одно из упрощений действительности, позволяющее без больших усилий описывать многие движения.

Полученные результаты можно изобразить наглядно с помощью графиков. Для прямолинейного равномерного движения график зависимости проекции скорости от времени очень прост. Это прямая, параллельная оси времени.

Как мы уже знаем, зависимость координаты тела от времени описывается формулой х=х₀+𝞾_хt. График движения представляет собой прямую линию:

Из второго рисунка видим, что углы наклона прямых разные. Угол наклона второй прямой больше угол наклона первой прямой , т.е за одно и тоже время тело, движущееся со скоростью , проходит большее расстояние, чем при движении со скоростью А значит А что же в случае 3, когда угол α < 0? В случае 3 тело движется в сторону, противоположную оси ОХ. Проекция скорости в случае 3 имеет отрицательное значение и график проходит ниже оси ОХ. Проекция скорости определяет угол наклона прямой х(t) к оси t и численно равна тангенсу угла

Относительность механического движения – это зависимость траектории движения тела, пройденного пути, перемещения и скорости от выбора системы отсчёта. В рамках классической механики время есть величина абсолютная, то есть протекающее во всех системах отсчета одинаково.

Примеры и разбор решения заданий

1. Тело движется равномерно и прямолинейно в положительном направлении оси ОХ. Координата тела в начальный момент времени равна x_о = -10м. Найдите координату тела через 5с, если модуль её скорости равен ʋ=2 м/с. Какой путь проделало тело за это время?

Дано: x_о = — 10 м, t = 5 c, ʋ = 2 м/с. Найти s, х.

Решение: координату точки найдем по формуле:

х = х₀ + 𝞾_х t

Так как направление вектора скорости совпадает с направлением оси координат, проекция вектора скорости положительна и равна ʋ_x=ʋ; тогда вычисляем:

х = — 10 + 2· 5 = 0 (м).

Пройденный путь найдем s = ʋ t; s = 2·5 = 10 м.

2. Равномерно друг за другом движутся два поезда. Скорость первого равна 72 км/ч, а скорость второго — 54 км/ч. Определите скорость первого поезда относительно второго.

Дано:

Найти .

Решение: Из условия задачи ясно, что векторы скоростей поездов направлены в одну сторону. По закону сложения скоростей запишем:

,

где — искомая величина.

Находим проекцию скоростей на ось ОХ и записываем, чему равен модуль искомой величины

Ответ: .

Равноускоренное движение: формулы, примеры

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение — это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение — частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.

Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g→, которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.  

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y — равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Формулы для равноускоренного движения

Формула для скорости при равноускоренном движении:

v=v0+at.

Здесь v0 — начальная скорость тела, a=const — ускорение.

Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v(t) имеет вид прямой линии.

​​​​​​​

Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.

a=v-v0t=BCAC

Чем больше угол β, тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.

Для первого графика: v0=-2 мс; a=0,5 мс2.

Для второго графика: v0=3 мс; a=-13 мс2.

Слишком сложно?

Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу

По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t. Как это сделать?

Выделим на графике малый отрезок времени ∆t. Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆t. Тогда, перемещение ∆s за время ∆t будет равно ∆s=v∆t.

Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆t. Перемещение s за время t равно площади трапеции ODEF.

s=OD+EF2OF=v0+v2t=2v0+(v-v0)2t.

Мы знаем, что v-v0=at, поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:

s=v0t+at22

Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.

Закон равноускоренного движения

Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения — нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.

Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:

s=v2-v022a.

По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:

v=v02+2as.

При v0=0 s=v22a и v=2as

Величины v, v0, a, y0, s, входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Графики движения с постоянной скоростью

Тело движется с равномерным прямолинейным движением (u.r.m.), когда оно имеет постоянную скорость , т. Е. Когда его траектория прямолинейна, а скорость постоянна. В этом разделе мы собираемся изучить график движения с постоянной скоростью , также известный как u.r.m. графики , то есть:

U.R.M. Графики

Положение-время (

х = х0 + v⋅t

График положение-время (x-t) равномерного прямолинейного движения (u. пк). представляет время на горизонтальной оси (, t-ось ) и положение на вертикальной оси ( x-ось ). Обратите внимание на то, как положение (обычно x-координата ) увеличивается (или уменьшается) равномерно со временем. Мы можем выделить два случая, когда скорость положительна или когда она отрицательна:

Мы можем получить скорость по углу α. Для этого просто помните, что в прямоугольном треугольнике касательная к каждому из его углов определяется как противоположная сторона (катет), деленная на соседнюю :

tanα = противоположный катет, прилегающий катет = ∆x∆t = x-x0t = v

Величина наклона — это величина скорости.Следовательно, чем больше наклон прямой, тем выше скорость тела.

Скорость-время (

v = v0 = cnst

График скорость-время (v-t) равномерного прямолинейного движения (u.r.m.) показывает, что скорость остается постоянной во времени. Опять же, мы можем выделить два случая:

Обратите внимание, что площадь, заключенная под кривой между двумя моментами времени, — это пройденное расстояние.

График пройденного расстояния

Площадь, заключенная внутри прямой v-t, оси абсцисс и моментов времени t и t0, соответствует пройденному расстоянию. Это свойство действительно для любого движения.

В частности, для u.r.m., поскольку это площадь прямоугольника (основание x высота):

∆x = x-x0 = v · t-t0

В данном случае это просто расчет указанной площади, так как это прямоугольник. Но знаете ли вы, какой математический инструмент позволяет рассчитать площадь под кривой независимо от ее формы?

График времени разгона (

а = 0

График — время ускорения (a-t) равномерного прямолинейного движения (u.среднеквадратичное значение) показывает, что ускорение всегда равно нулю. В этом случае, является ли скорость тела положительной или отрицательной, существует только одна возможность, показанная на рисунке:

Пример

Определите графики следующих равномерных прямолинейных движений:

1. x = 3 + 4 · т
2. x = 3 — 4 · т
3. x = -3 + 4 · т
4. x = -3 — 4 · т
5. 3 · x = 9 + 12 · т

Где x измеряется в метрах, а t — в секундах.)РС.

(a) Каковы составляющие x- и y положения и скорости лыжника как функции времени? (b) Каковы ее положение и скорость при t = 10,0 с?

Стратегия

Решение

Подставляя начальное положение и скорость в уравнение 4.12 и 4.13 для x , получаем

Для у имеем

(b) Теперь, когда у нас есть уравнения движения для x и y как функции времени, мы можем оценить их как t = 10,0 с:

Величина скорости лыжника на 10,0 с составляет 25 м / с, что составляет 60 миль / ч.

Значение

4.2 Вектор ускорения | Университетская физика, том 1,

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Рассчитайте вектор ускорения с учетом функции скорости в единичном векторе.
• Опишите движение частицы с постоянным ускорением в трех измерениях.
• Используйте одномерные уравнения движения вдоль перпендикулярных осей, чтобы решить задачу в двух или трех измерениях с постоянным ускорением.
• Выразите ускорение в единичном векторе.

Мгновенное ускорение

Помимо получения векторов смещения и скорости движущегося объекта, мы часто хотим знать его ускорение вектор в любой момент времени на его траектории.Этот вектор ускорения представляет собой мгновенное ускорение, и его можно получить из производной по времени функции скорости, как мы видели в предыдущей главе. Единственная разница в двух или трех измерениях состоит в том, что теперь это векторные величины. Взяв производную по времени [latex] \ overset {\ to} {v} (t), [/ latex], находим

[латекс] \ overset {\ to} {a} (t) = \ underset {t \ to 0} {\ text {lim}} \ frac {\ overset {\ to} {v} (t + \ text {Δ } t) — \ overset {\ to} {v} (t)} {\ text {Δ} t} = \ frac {d \ overset {\ to} {v} (t)} {dt}.{2}) \ hat {i} + 5t \ hat {j} + 5t \ text {} \ hat {k} \ text {m}. [/ latex] (а) Какая скорость? б) Что такое ускорение? (c) Опишите движение от t = 0 с.

Стратегия

Мы можем получить некоторое представление о проблеме, посмотрев на функцию положения. Оно линейно в y и z , поэтому мы знаем, что ускорение в этих направлениях равно нулю, когда мы берем вторую производную. Также обратите внимание, что позиция в направлении x равна нулю для t = 0 с и t = 10 с.{2}. [/ latex] Вектор ускорения постоянен в отрицательном направлении оси x.

(в)

Давайте сначала посмотрим в направлениях y и z. Положение частицы постоянно увеличивается в зависимости от времени с постоянной скоростью в этих направлениях. Однако в направлении x частица следует по положительному положительному x до тех пор, пока t = 5 с, когда она меняет направление на противоположное. Мы знаем это, глядя на функцию скорости, которая в этот момент становится нулевой, а затем становится отрицательной.Мы также знаем это, потому что ускорение отрицательное и постоянное — это означает, что частица замедляется или ускоряется в отрицательном направлении. Положение частицы достигает 25 м, после чего она меняет направление и начинает ускоряться в отрицательном направлении оси x. Положение достигает нуля при t = 10 с.

Рисунок 4.9 Частица начинается в точке (x, y, z) = (0, 0, 0) с вектором положения [latex] \ overset {\ to} {r} = 0. [/ latex] Показана проекция траектории на плоскость xy.Значения y и z увеличиваются линейно как функция времени, тогда как x имеет точку поворота при t = 5 с и 25 м, когда он меняет направление. {2}, [/ latex] где a, b, и c — константы.Что можно сказать о функциональном виде функции скорости?

Вектор ускорения постоянный и не меняется со временем. Если a, b и c не равны нулю, то функция скорости должна быть линейной во времени. У нас есть [латекс] \ overset {\ to} {v} (t) = \ int \ overset {\ to} {a} dt = \ int (a \ hat {i} + b \ hat {j} + c \ hat {k}) dt = (a \ hat {i} + b \ hat {j} + c \ hat {k}) t \, \ text {m / s}, [/ latex], так как взятие производной функция скорости производит [латекс] \ overset {\ to} {a} (t).[/ latex] Если какой-либо из компонентов ускорения равен нулю, то этот компонент скорости будет постоянным.

Постоянное ускорение

Многомерное движение с постоянным ускорением можно рассматривать так же, как показано в предыдущей главе для одномерного движения. Ранее мы показали, что трехмерное движение эквивалентно трем одномерным движениям, каждое по оси, перпендикулярной другим. {2} +2 {a} _ {y} (y- {y} _ {0}).[/латекс]

Здесь нижний индекс 0 обозначает начальное положение или скорость. (Рисунок) на (Рисунок) можно заменить на (Рисунок) и (Рисунок) без компонента z , чтобы получить вектор положения и вектор скорости как функцию времени в двух измерениях:

[латекс] \ overset {\ to} {r} (t) = x (t) \ hat {i} + y (t) \ hat {j} \, \ text {и} \, \ overset {\ to } {v} (t) = {v} _ {x} (t) \ hat {i} + {v} _ {y} (t) \ hat {j}. [/ латекс]

Следующий пример иллюстрирует практическое использование кинематических уравнений в двух измерениях.{2} [/ latex] вниз по склону [латекс] 15 \ text {°} [/ latex] при t = 0. С началом системы координат в передней части ложи, ее начальное положение и скорость являются

[латекс] \ overset {\ to} {r} (0) = (75,0 \ hat {i} -50,0 \ hat {j}) \, \ text {m} [/ latex]

и

[латекс] \ overset {\ to} {v} (0) = (4.1 \ hat {i} -1.1 \ hat {j}) \, \ text {m / s}. [/ латекс]

(a) Каковы составляющие x- и y положения и скорости лыжника как функции времени? (b) Каковы ее положение и скорость при t = 10. {2} [/ latex] по склону [латекс] 15 \ text {°}. [/ latex] Начало системы координат находится в лыжной базе.

Стратегия

Поскольку мы оцениваем компоненты уравнений движения в направлениях x и y , нам необходимо найти компоненты ускорения и поместить их в кинематические уравнения. Компоненты ускорения находятся в системе координат на (Рисунок). Затем, вставив компоненты начального положения и скорости в уравнения движения, мы можем найти ее положение и скорость в более позднее время t .{2}) (10.0 \, \ text {s}) = — 6.5 \, \ text {m / s}. [/ latex] Положение и скорость при t = 10.0 с, наконец,

[латекс] \ overset {\ to} {r} (10.0 \, \ text {s}) = (216.0 \ hat {i} -88.0 \ hat {j}) \, \ text {m} [/ latex] [латекс] \ overset {\ to} {v} (10.0 \, \ text {s}) = (24.1 \ hat {i} -6.5 \ hat {j}) \ text {m / s}. [/ latex] Величина скорости лыжника на 10,0 с составляет 25 м / с, что составляет 60 миль / ч.

Значение

Полезно знать, что, учитывая начальные условия положения, скорости и ускорения объекта, мы можем найти положение, скорость и ускорение в любое более позднее время.

С (Рисунок) — (Рисунок) мы завершили набор выражений для положения, скорости и ускорения объекта, движущегося в двух или трех измерениях. Если траектории объектов выглядят как «красные стрелки» на начальном рисунке главы, то выражения для положения, скорости и ускорения могут быть довольно сложными. В следующих разделах мы исследуем два частных случая движения в двух и трех измерениях, рассматривая движение снаряда и круговое движение.

Сводка

• В двух и трех измерениях вектор ускорения может иметь произвольное направление и не обязательно указывать вдоль заданного компонента скорости.
• Мгновенное ускорение вызывается изменением скорости за очень короткий (бесконечно малый) период времени. Мгновенное ускорение — это вектор в двух или трех измерениях. Он находится путем взятия производной функции скорости по времени.
• В трех измерениях ускорение [латекс] \ overset {\ to} {a} (t) [/ latex] может быть записано как векторная сумма одномерных ускорений [latex] {a} _ {x} (t ), {a} _ {y} (t), \ text {and} \, {a} _ {z} (t) [/ latex] вдоль трасс x- , y — и z- осей.
• Кинематические уравнения для постоянного ускорения могут быть записаны как векторная сумма уравнений постоянного ускорения в направлениях x , y и z .

Концептуальные вопросы

Если функция положения частицы является линейной функцией времени, что можно сказать о ее ускорении?

Если объект имеет постоянную составляющую x скорости и внезапно испытывает ускорение в направлении y , изменится ли составляющая x его скорости?

Нет, движения в перпендикулярных направлениях независимы.{2} \ hat {i}. [/ latex] Сильный ветер толкает лодку, придавая ей дополнительную скорость [latex] 2.0 \, \ text {м / с} \ hat {i} +1.0 \, \ text {m / s} \ hat { j}. [/ latex] (a) Какова скорость лодки при т = 10 с? (b) Каково положение лодки при т = 10 с? Нарисуйте эскиз траектории и положения лодки на отметке t = 10 с, показывая оси x и y .

Положение частицы для t > 0 определяется выражением [latex] \ overset {\ to} {r} (t) = (3.{2} [/ латекс],

г. [латекс] \ overset {\ to} {v} (2.0s) = (12.0 \ hat {i} -84.0 \ hat {j} +1.25 \ hat {k}) \ text {m / s} [/ latex] ,

г. [латекс] \ overset {\ to} {v} (1.0 \, \ text {s}) = 6.0 \ hat {i} -21.0 \ hat {j} +10.0 \ hat {k} \ text {m / s} , \, | \ overset {\ to} {v} (1.0 \, \ text {s}) | = 24.0 \, \ text {m / s} [/ latex]

[латекс] \ overset {\ to} {v} (3.0 \, \ text {s}) = 18.0 \ hat {i} -189.0 \ hat {j} +0,37 \ hat {k} \ text {м / с }, [/ latex] [latex] | \ overset {\ to} {v} (3.0 \, \ text {s}) | = 199.0 \, \ text {m / s} [/ latex],

e. [латекс] \ overset {\ to} {r} (t) = (3.{-2} \ hat {k}) \ text {cm} [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill {\ overset {\ to} {v}} _ {\ text {avg}} & = 9.0 \ hat {i} -49.0 \ hat {j} -6.3 \ hat {k} \ text {m / s} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Ускорение частицы — постоянная величина. При t = 0 скорость частицы равна [latex] (10 \ hat {i} +20 \ hat {j}) \ text {m / s}. [/ latex] При t = 4 с скорость [латекс] 10 \ hat {j} \ text {м / с}. [/ latex] а) Каково ускорение частицы? б) Как положение и скорость меняются со временем? Предположим, что частица изначально находится в начале координат.

У частицы есть функция положения [latex] \ overset {\ to} {r} (t) = \ text {cos} (1.0t) \ hat {i} + \ text {sin} (1.0t) \ hat { j} + t \ hat {k}, [/ latex], где аргументы функций косинуса и синуса выражены в радианах. а) Что такое вектор скорости? б) Что такое вектор ускорения?

а. [латекс] \ overset {\ to} {v} (t) = \ text {−sin} (1.0t) \ hat {i} + \ text {cos} (1.0t) \ hat {j} + \ hat { k} [/ латекс], б. [латекс] \ overset {\ to} {a} (t) = \ text {−cos} (1.0t) \ hat {i} — \ text {sin} (1.0t) \ hat {j} [/ latex]

Реактивный самолет Lockheed Martin F-35 II Lighting взлетает с авианосца с длиной взлетно-посадочной полосы 90 м и скоростью взлета 70 м / с в конце взлетно-посадочной полосы. {2} [/ latex] на [latex] 30 \ text {°} [/ latex] по отношению к горизонтали. (а) Каково начальное ускорение F-35 на палубе авианосца, чтобы он поднялся в воздух? (b) Запишите положение и скорость F-35 в единичном векторе с точки, когда он покидает палубу авианосца. (c) На какой высоте находится истребитель через 5,0 с после выхода из палубы авианосца? (г) Каковы его скорость и скорость в это время? д) Как далеко он продвинулся по горизонтали?

Глоссарий

вектор ускорения

мгновенное ускорение, полученное путем взятия производной функции скорости по времени в обозначении единичного вектора

4.ДВИЖЕНИЕ НА САМОЛЕТЕ

В главе 2 мы обсуждали движение объекта в одном измерении. это позиция однозначно определялась ее удаленностью (положительной или отрицательной) от пользовательское происхождение. Движение этого объекта можно описать в терминах скаляров. Обсуждение движения в двух или трех измерениях более сложный. Чтобы ответить на вопрос «где я?» в двух измерениях, одно необходимо указать две координаты.В трех измерениях нужно указать три координаты. Для определения положения объекта используется концепция Необходимо ввести вектор позиции . Вектор положения определяется как вектор, который начинается в (определяемой пользователем) исходной точке и заканчивается в текущее положение объекта (см. рисунок 4.1). В целом позиция вектор будет зависеть от времени (т). Используя методы, разработанные в главе 3, мы можем записать вектор положения по составным частям:

Рисунок 4.1. Определение вектора положения.

Примечание : В главе 2 мы привыкли строить положение объект, его скорость и ускорение как функция времени. Через два или три размеров, это намного сложнее, и большинство графиков, например, покажет траектории движения объекта (без предоставления прямой информации о время).

Определяется скорость объекта в двух или трех измерениях. аналогично его определению в главе 2:

Это уравнение показывает, что скорость объекта в два или три размеры тоже вектор.Опять же, вектор скорости может разложить на три компонента:

Компоненты (т) можно вычислить из соответствующих компонентов вектора положения (т):

Делаем вывод:

ускорение объекта в три измерения определены аналогично его определению в главе 2:

Это уравнение показывает, что ускорение объекта в два или три Размеры — это тоже вектор, который можно разложить на три составляющие:

Компоненты (т) можно вычислить из соответствующих компонентов вектора положения (т) и вектор скорости (т):

Делаем вывод:

Предполагая постоянное ускорение в направлениях x, y и z, мы можем запишите следующие уравнения движения:

v _x (t) = v _x0 + a _x t

v _y (t) = v _y0 + a _y t

v _z (t) = v _z0 + a _z t

Величину скорости как функцию времени можно вычислить:

Если мы посмотрим на очень маленький интервал времени, изменение скорости вектор будет маленьким. В этом лимите:

Величину скорости для малых интервалов времени можно записать как:

Из этой формулы можно сделать вывод:

Пример задачи 4-2 — 4-4

Кролик пробегает по стоянке, на которой оси координат, как ни странно, нарисованы.Путь таков, что компоненты положения кролика относительно начала система координат задается как функция времени