Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Смотри видео «Текстовые задачи на ЕГЭ по математике».

Почему текстовые задачи относятся к простым?

Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

  1. на больше
  2. в пять раз больше
  3. на меньше, чем
  4. меньше в раза
  5. на меньше, чем
  6. частное от деления на в полтора раза больше
  7. квадрат суммы и равен
  8. составляет процентов от
  9. больше на процентов

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте! 🙂

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах и . Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на больше ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы 🙂

Итак, правильные ответы:


  1. больше, чем . Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.

  2. больше, чем , в пять раз. Значит, если умножить на , получим .

  3. меньше, чем . Разница между ними равна . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.

  5. меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.

  7. На всякий случай повторим терминологию:
    Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
    Разность — результат вычитания.
    Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
    Частное — результат деления чисел.

  8. Мы помним, что .

  9. Если принять за , то на процентов больше, то есть .

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

  1. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: , то есть расстояние скорость время. Из этой формулы можно выразить скорость или время .
  2. В качестве переменной удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

. Из пункта в пункт , расстояние между которыми км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт на часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на километров больше, значит, его скорость равна .

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по км. Можно внести скорость — она равна и для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: . Для велосипедиста получим , для автомобилиста .
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что на четыре больше, чем , то есть

Решаем уравнение.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на , вторую — на .

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение…), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.

А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю» или «Как раскрывать скобки» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

Разделим обе части нашего уравнения на . В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

Умножим обе части уравнения на . Получим:

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида . Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле , затем корни по формуле .

В нашем уравнении , , .

Найдем дискриминант и корни:

, .

Ясно, что не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: .

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города в город , расстояние между которыми равно км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из в . Найдите скорость велосипедиста на пути из в . Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из в равна . Тогда его скорость на обратном пути равна . Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — километров. Осталось записать время. Поскольку , на путь из в велосипедист затратит время , а на обратный путь время .

На обратном пути велосипедист сделал остановку на часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из в . Это значит, что на обратном пути он крутил педали на часа меньше.

Значит, на три меньше, чем . Получается уравнение:

Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

Разделим обе части уравнения на .

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на , раскроем скобки и соберем все в левой части.

Находим дискриминант. Он равен .

Найдем корни уравнения:

. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

3. Моторная лодка прошла против течения реки км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна .

Тогда скорость движения моторки по течению равна , а скорость, с которой она движется против течения .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению , при движении против течения , причем на два часа больше, чем .

Условие « на два часа больше, чем » можно записать в виде:


Составляем уравнение:

и решаем его.

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю

Раскрываем скобки

Делим обе части на , чтобы упростить уравнение

Умножаем обе части уравнения на

Вообще-то это уравнение имеет два корня: и (оба этих числа при возведении в квадрат дают ). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: .

4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна км/ч, стоянка длится часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна , скорость его движения против течения равна . Расстояния — и туда, и обратно — равны км.

Теперь графа «время».

Поскольку , время движения теплохода по течению равно , которое теплоход затратил на движение против течения, равно .

В пункт отправления теплоход вернулся через часов после отплытия из него. Стоянка длилась часов, следовательно, часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит,

Прежде всего разделим обе части уравнения на . Оно станет проще!

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на , получаем квадратное уравнение . Поскольку скорость течения положительна, получаем: .

Ответ: .

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную километров в час — задача решена неверно.

5. Баржа в вышла из пункта в пункт , расположенный в км от . Пробыв в пункте — час минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт в . Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна км/ч.

Пусть скорость течения равна . Тогда по течению баржа плывет со скоростью , а против течения со скоростью .

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из вычесть , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что час минут придется перевести в часы: час минут часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно часа.

Возникает вопрос — какой из пунктов, или , расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! 🙂 Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма , равная .

Итак,

Решим это уравнение. Число в правой части представим в виде неправильной дроби: .

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на и умножим на , оно станет значительно проще:

Поскольку скорость течения положительна, .

Ответ: 2.

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

 

Задачи на движение по прямой и по окружности

В задачах на движение по прямой часто надо отыскать среднюю скорость транспортного средства.

Средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь.

$v_{ср}={S_{общий}}/{t_{общее}}$

Пример:

Первые $140$ км автомобиль ехал со скоростью $70$ км/ч, следующие $220$ км — со скоростью $80$ км/ч, а затем $30$ км — со скоростью $120$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для простоты решения задачи сделаем таблицу.

$S_1=140км$$S_2=220км$$S_3=30км$
$v_1=70$км/ч$v_2=80$км/ч$v_3=120$км/ч
$t_1-?$$t_2-?$$t_3-?$

Получилось три участка пути, про каждый участок мы знаем его путь и скорость, но для расчета средней скорости необходимо знать путь и время каждого участка. Найдем время каждого участка пути, для этого разделим путь на скорость.

$t_1={S_1}/{v_1}={140}/{70}=2$ часа

$t_2={S_2}/{v_2}={220}/{80}=2.75$ часа

$t_3={S_3}/{v_3}={30}/{120}=0.25$ часа

$v_{ср}={S_1+S_2+S_3}/{t_1+t_2+t_3}={140+220+30}/{2+2.75+0.25}={390}/{5}=78$ км/ч

Ответ: $78$ км/ч

Иногда встречаются такие задачи на движение, в которых учитываются размеры транспортного средства. Чаще всего в таких задачах необходимо рассчитать длину поезда, например.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60$ км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой равна $200$ метрам, за $3$ минуты. Найдите длину поезда в метрах.

Решение:

Считается, что поезд проедет полностью мимо платформы, если он проедет длину платформы и еще свою длину.

Найдем расстояние, которое поезд проедет за три минуты. Время переведем в секунды и умножим на скорость поезда, которую переведем из км/ч в м/с.

$3$ минуты $=3·60=180$ секунд

$60$ км/ч$={60}/{3.6}={600}/{36}={50}/{3}$ м/с

$S=v·t={50·180}/{3}=3000$ метров

Чтобы найти длину поезда из всего пройденного пути за $3$ минуты вычтем длину платформы:

$l=3000-200=2800$ метров.

Ответ: $2800$

Пример:

Два велосипедиста одновременно отправились в пробег протяжённостью $84$ километра. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей скорости второго, и прибыл к финишу на $5$ часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть $х$ км/ч –скорость второго велосипедиста, тогда $(х+5)$ км/ч – скорость первого велосипедиста.

Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.

 $S$(км)$v$(км)$t$(ч)
Первый велосипедист $(x+5)$ 
Второй велосипедист $x$ 

Так как расстояние, которое проехали велосипедисты одинаково и равно $84$ км, заполняем столбец $«S»$.

 $S$(км)$v$(км)$t$(ч)
Первый велосипедист$84$$(x+5)$ 
Второй велосипедист$84$$x$ 

Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$.

 $S$(км)$v$(км)$t$(ч)
Первый велосипедист$84$$(x+5)$${84}/{(x+5)}$
Второй велосипедист$84$$x$${84}/{x}$

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче.2+5х-84=0$

По теореме Виета

$х_1=-12, х_2=7$

$х_1=-12$ нам не подходит, так как отрицательная величина.

$х_2=7$ км/ч – скорость велосипедиста.

Ответ: $7$

Некоторые нюансы в задачах с круговым движением:

  1. В задачах на движение по окружности желательно делать рисунок, чтобы расставить величины и увидеть взаимосвязь между транспортными средствами.
  2. Если транспортные средства начали двигаться из одной точки в диаметрально противоположных направлениях, то между ними расстояние равное половине длины окружности.
  3. Если в задаче сказано, что транспортные средства двигаются в одном направлении, то необходимо узнать их скорость опережения: для этого из большей скорости вычитается меньшая.
  4. Любую задачу на круговое движение можно представить как задачу на прямолинейном отрезке, мысленно развернув круговую трассу в прямую.

Пример:

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $18$ км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $92$ км/ч, и через $45$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Сделаем рисунок к задаче, для этого мысленно развернем круговую трассу в прямую.

$S=18$ км

$t=45$мин$={3}/{4}$часа

Пусть $х$ км/ч — скорость второго автомобиля.

Скорость опережения равна разности скоростей.

Тогда скорость опережения равна $v_{опережения}=(92-х)$. Так как первый автомобиль обгонит второй на один круг за $45$ минут, то скорость опережения можно выразить еще одним способом: для этого длину круга надо разделить на время опережения.

Не забываем перевести время из минут в часы $45$минут$={45}/{60}={3}/{4}$часа

$v_{опережения}={S}/{t}={18}/{{3}/{4}}={18·4}/{3}=24$

Так как мы разными записями выразили скорость опережения, то для составления уравнения приравняем обе записи друг к другу.

$92-х=24$

$-х=24-92$

$х=68$ км/ч – скорость второго автомобиля.

Ответ: $68$

Текстовые задачи на движение по прямой 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Текстовые задачи на движение по прямой

Основной инструмент при работе с текстовыми задачами на движение – таблица.

Работаем по формуле нахождения расстояния: S=v∙t, заполняем столбцы и строки таблицы согласно информации в условии, потом определяем связь уже известных характеристик. То, что нужно найти, обозначаем за x. Составляем уравнение и решаем его.

Задача №1

Велосипедист преодолел путь из города А в город B, расстояние между которыми равно 288 км, с постоянной скоростью. На следующий день он поехал обратно со скоростью на 6 км/ч большей скорости в предыдущий день. По дороге он сделал остановку на 4 часа, при на обратный путь он затратил столько же времени, сколько составил его дорога из города A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Расстояние

Скорость

Время

Из A в B

288

x

288x

Из B в A

288

x+6

288x+6

288x=288x+6+4

288x+6−288x−4xx+6=0

x2+6x−432=0

x1=18

x2=−24

Ответ: 18

Общая скорость — скорость движения одного тела относительно другого.

Если цель одна — при движении навстречу друг другу и движении в противоположных направлениях: скорости складываем.

Если разные цели — при движении в одном направлении: скорости вычитаем.

Задача №2

Из двух посёлков, расстояние между которыми 88 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Через сколько часов велосипедисты встретятся, если их скорости равны 18 км/ч и 22 км/ч?

Решение

Общая скорость: 18 + 22 = 40 км/ч.

Время: t=Sv=8840=2,2ч

Ответ: 2,2

Задача №3

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Через сколько минут расстояние между ними будет равно 475 м, если скорость первого пешехода равна 4,8 км/ч, а второго – 3,3 км/ч?

Решение

4,8кмч=4,8∙1000 м60 мин=80ммин

3,3кмч=3,3∙1000 м60 мин=55ммин

Общая скорость: 80 — 55 = 25 м/мин.

Время: t=Sv=47525=19 мин.

Ответ: 19

Задачи на движение ДВИ МГУ — Видеоуроки по математике и физике для ЕГЭ и ОГЭ

Оглавление

1 Введение
2 Задачи на проценты
3 Движение по окружности
4 Движение по прямой
5 Движение по воде
6 Задачи на движение ДВИ МГУ
7 Задачи на работу
8 Задачи на прогрессии

Наконец, настало время разобрать текстовые задачи из ДВИ МГУ. Если не знать, как их решать, традиционными методами их решить довольно трудно. Но есть универсальный ключик, который мы здесь и рассмотрим.

1 Графики равномерного движения

Конечно, многие их хорошо помнят, но на всякий случай, я все-таки напоминаю графики равномерного движения. Фактически мы вспоминаем уравнение прямой $y=kx+b$, обычно хорошо известное школьникам.

 

2 Графический метод решения текстовых задач ДВИ МГУ.

Применим теперь то, что мы вспомнили, к решению часто встречающихся в ДВИ МГУ задач на движение.

Мы рассмотрим графическое решение следующей задачи из ДВИ МГУ 2017 года:

Сначала я очень детально покажу, как построить график движения для этой задачи. То есть, мы применяем то, о чем говорили в предыдущем видео, к данному конкретному условию задачи.

Далее — само решение. Я делал все не просто подробно, а очень подробно и очень медленно. В реальности, решив несколько подобных задач графическим методом, вы будете все делать гораздо быстрее.

Для тренировки решите сами аналогичную задачу (ДВИ МГУ 2017. Ответ: 1/5 пути):

Если вдруг у кого-то возникнут трудности, то вот видео с решением. В нем я все делаю гораздо быстрее, с менее подробными объяснениями — примерно так, как на экзамене. Решив несколько аналогичных задач, вы будете решать их примерно с такой же скоростью.

3 Теорема Менелая в графическом методе решения задач на движение

Вспомним формулировки теорем Менелая и Чевы. Для этого я написал статью Как запомнить теоремы Менелая и Чевы. Здесь нам понадобится нам только теорема Менелая. Для вашего удобства я также включил формулировку этой теоремы в видео.

Домашнее задание:

Еще одна задача такого типа из того же 2016 года содержится в pdf файле этого видео.

ДВИ МГУ по математике, математика

 1,167 total views,  3 views today

Поделиться ссылкой:

Подготовка к ОГЭ

Номер

задания КИМ

Тема

Просмотр видео-уроков

1-5

Задачи практического содержания

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

Разбор задач ОГЭ (деление на типы) №1-№5 по ссылкам:

1

2

3

4

6

Вычисление значений выражений (оптимальное решение, не повышающее вероятность ошибки): обыкновенные и десятичные дроби

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

7

Расположение чисел на координатной прямой:

1) Уметь сравнивать дроби (обыкновенные и десятичные)

2) При данных значениях переменных сравнивать с 0 их комбинацию (произведение, частное, сумму, разность, возведение в степень)

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

8

Вычисление значений выражений:

1) Степени с целым показателем и их свойства

2) Арифметический квадратный корень

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

9

Решение уравнений:

1) Линейные уравнения

2) Квадратные уравнения

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

10

Теория вероятности, статистические характеристики

Экспресс подготовка:

Смотреть

11

Графики функций (все виды функций):

1) Какой функции какая формула соответствует

2) Какому графику какая формула соответствует

3) Свойства функций

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

12

Задачи на прогрессии:

1) Арифметическая прогрессия

2) Геометрическая прогрессия

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

13

Преобразование выражений и нахождение их значений:

1) Выполнять разложение многочлена на множители различными способами

2) Выполнять совместные действия с алгебраическими дробями

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

14

Выражение переменной из формулы и отыскание значения этой переменной

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

15

Решение неравенств, выбрать промежуток, соответствующий заданному неравенству:

1) Линейные неравенства

2) Системы линейных неравенств

3) Квадратные неравенства

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

16

Простейшие задачи на нахождение градусных мер углов, длин отрезков

Основные 8 типов задач с рассмотрением примеров каждого вида: Смотреть

Общая подготовка №16 без классификации: Смотреть

17

Простейшие задачи на нахождение элементов окружности

Экспресс подготовка к ОГЭ: Смотреть

18

Задачи на нахождение площади фигуры, изображенной на рисунке

Задания на клетчатой бумаге, экспресс подготовка:

Смотреть

19

Задачи на нахождение тригонометрической функции от острого угла

Рассмотрение 8 под тем, экспресс подготовка: Смотреть

Все задания №19 из банка ФИПИ: Смотреть

20

Определить истинность геометрических утверждений

Рассмотрение типовых заданий: Смотреть

21

 

Решение уравнений и систем уравнений:

1. Системы уравнений

2. Уравнения с заменой переменных

3. Уравнения высоких порядков (3, 4, 5, … степеней)

4. Неравенства

5. Прочее (не относящиеся ни к одному из видов)

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

и продолжение:

Смотреть

 

22

 

Задачи на составление уравнений

1. Задачи на движение. Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

2. продолжение, задачи на проценты, сплавы, смеси:

Смотреть

23

 

Задачи на построение графиков

Экспресс подготовка от Учи. Ру

Смотреть

Все задания №23 из ОГЭ (урок длится 4 часа):

Смотреть

24

 

 

Задачи на нахождение длин отрезков, градусных мер углов (геометрическая задача на нахождение неизвестной величины)

Экспресс подготовка от учи.ру:

Смотреть

 

25

 

Разные задачи на доказательство повышенного уровня сложности

Рассмотрение доказательства типовых задач:

Задача 1 типа: Смотреть

Задача 2 типа: Смотреть

Задача 3 типа: Смотреть

Задача 4 типа: Смотреть

Задача 5 типа: Смотреть

Задача 6 типа: Смотреть

26

 

Разные задачи по геометрии высокого уровня сложности.

Комбинированные задачи вида: четырехугольник вписанный, или описанный около окружности;

Нахождение расстояния от точки до прямой в четырехугольниках и т.д.

Рассмотрение решения типовых задач:

Задача 1 типа: Смотреть

Задача 2 типа: Смотреть

Задача 3 типа: Смотреть

Движение вдогонку | Математика

Рассмотрим задачи на движение вдогонку, в которых объекты движутся в одном направлении, но выезжают из разных пунктов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

При движении вдогонку объекты могут как сближаться, так и удаляться.

Если скорость объекта, который идет впереди, меньше скорости идущего вслед за ним объекта, то второй догоняет первого и они сближаются.

Чтобы найти скорость сближения, надо из большей скорости вычесть меньшую:

   

   

Если скорость идущего впереди объекта больше скорости объекта, который движется следом, то второй не сможет  догнать первого и они удаляются друг от друга.

Чтобы найти скорость удаления, надо из большей скорости вычесть меньшую:

   

   

Скорость, время и расстояние связаны между собой формулой пути:

   

Задача 1.

Расстояние между двумя пунктами 20 км. Из этих пунктов в одном направлении одновременно выехали автомобиль и мотоциклист, причем автомобиль двигался впереди. Через 5 часов расстояние между ними стало 170 км. Найти скорость мотоциклиста, если скорость автомобиля 70 км/ч.

Решение:

v, км/ч

t, ч

s, км

Автомобиль

70

5

?

Мотоциклист

?

5

?

1) 170-20=150 (км) на столько увеличилось расстояние между автомобилем и мотоциклистом за 5 часов

2) 150:5=30 (км/ч) скорость удаления автомобиля от мотоциклиста

3) 70-30=40 (км/ч) скорость мотоциклиста.

Ответ: 40 км/ч.


Задача 2.

Расстояние между двумя станциями 40 км. Из этих станций одновременно в одном направлении вышли скорый и товарный поезда, причем товарный поезд едет впереди. Через сколько часов скорый поезд догонит товарный, если его скорость равна 80 км/ч, а скорость товарного поезда — 60 км/ч?

Решение:

v, км/ч

t, ч

s, км

Пассажирский

80

?

? на 40 км больше

Товарный

60

?

?

1) 80-60=20 (км/ч) скорость сближения поездов

2) 40:20=2 (ч) через такое время скорый поезд догонит товарный.

Ответ: через 2 ч.

Задача 3.

Расстояние между пунктами равно 50 км. Из этих пунктов одновременно в одном направлении выезжают велосипедист и мотоциклист, причем велосипедист едет впереди. Скорость велосипедиста равна 13 км/ч, скорость мотоциклиста — 38 км/ч. На каком расстоянии от пункта своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение:

v, км/ч

t, ч

s, км

Мотоциклист

38

?

? на 50 км больше

Велосипедист

13

?

?

1) 38-13=25 (км/ч) скорость сближения мотоциклиста и велосипедиста

2) 50:25=2 (ч) через столько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста

3) 38∙2=76 (км) на таком расстоянии от пункта своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста.

Ответ: 76 км.

Материалы для организации дистанционного обучения. Геометрия (7-9 классы)

Класс Название урока Ссылка на учебные материалы
7 Прямая и отрезок https://resh.edu.ru/subject/lesson/7284/main/250334/
7 Луч и угол https://resh.edu.ru/subject/lesson/7283/main/250509/
7 Сравнение отрезков и углов https://resh.edu.ru/subject/lesson/7282/main/250086/
7 Измерение отрезков https://resh.edu.ru/subject/lesson/7281/main/250474/
7 Измерение углов https://resh.edu.ru/subject/lesson/7286/main/249984/
7 Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы https://resh.edu.ru/subject/lesson/7287/main/249702/
7 Перпендикулярные прямые https://resh.edu.ru/subject/lesson/7288/main/250076/
7 Обобщение и систематизация знаний по теме «Простейшие геометрические фигуры и их свойства» https://resh.edu.ru/subject/lesson/7285/main/249914/
7 Треугольник https://resh.edu.ru/subject/lesson/7292/main/272170/
7 Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника https://resh.edu.ru/subject/lesson/7290/start/250190/
7 Перпендикуляр к прямой https://resh.edu.ru/subject/lesson/7291/main/249774/
7 Равнобедренный треугольник https://resh.edu.ru/subject/lesson/7295/main/250019/
7 Первый признак равенства треугольников https://resh.edu.ru/subject/lesson/7294/main/249879/
7 Второй и третий признаки равенства треугольников https://resh.edu.ru/subject/lesson/7296/main/250229/
7 Решение задач на признаки равенства треугольников https://resh.edu.ru/subject/lesson/7297/main/249528/
7 Обобщение и систематизация знаний по теме «Равные треугольники» https://resh.edu.ru/subject/lesson/7293/main/249844/
7 Параллельные прямые https://resh.edu.ru/subject/lesson/7299/main/269607/
7 Аксиома параллельных прямых https://resh.edu.ru/subject/lesson/7300/main/249563/
7 Признаки параллельности прямых https://resh.edu.ru/subject/lesson/7298/main/249809/
7 Свойства параллельных прямых https://resh.edu.ru/subject/lesson/7301/main/249515/
7 Обобщение и систематизация знаний по теме «Параллельные прямые» https://resh.edu.ru/subject/lesson/7302/main/250439/
7 Сумма углов треугольника https://resh.edu.ru/subject/lesson/7308/main/249598/
7 Соотношение между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника https://resh.edu.ru/subject/lesson/7307/main/271523/
7 Прямоугольные треугольники https://resh.edu.ru/subject/lesson/7309/main/249739/
7 Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми https://resh.edu.ru/subject/lesson/7306/main/250264/
7 Построение треугольника по трём элементам https://resh.edu.ru/subject/lesson/7305/main/250159/
7 Окружность. Задачи на построение https://resh.edu.ru/subject/lesson/7289/main/250391/
7 Расстояние между фигурами https://resh.edu.ru/subject/lesson/1289/
7 Построение треугольника по трём элементам. Решение задач на построение https://resh.edu.ru/subject/lesson/1356/
7 Обобщение и систематизация знаний по теме «Соотношение между сторонами и углами треугольника» https://resh.edu.ru/subject/lesson/7304/main/250562/
7 Об истории геометрии. Решение задач https://resh.edu.ru/subject/lesson/7303/main/250295/
7 Повторение. Начальные геометрические сведения https://resh.edu.ru/subject/lesson/7313/main/249388/
7 Повторение. Треугольник. Равенство треугольников https://resh.edu.ru/subject/lesson/7314/main/249422/
7 Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства https://resh.edu.ru/subject/lesson/7312/main/249458/
7 Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые https://resh.edu.ru/subject/lesson/7311/main/250404/
7 Занимательные задачи. Итоговое обобщение и систематизация знаний https://resh.edu.ru/subject/lesson/7310/main/249668/
7 Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами https://znaika.ru/catalog/7-klass/geometry/Ugly-s-sootvetstvenno-parallelnymi-ili-perpendikulyarnymi-storonami.html
7 Геометрия как наука https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/4485746
8 Многоугольники. Четырёхугольник https://resh.edu.ru/subject/lesson/1497/main/
8 Параллелограмм. Свойства параллелограмма https://resh.edu.ru/subject/lesson/1499/main/
8 Признаки параллелограмма https://resh.edu.ru/subject/lesson/1496/main/
8 Трапеция https://resh.edu.ru/subject/lesson/2009/main/
8 Теорема Фалеса https://resh.edu.ru/subject/lesson/2502/main/
8 Прямоугольник. Ромб. Квадрат https://resh.edu.ru/subject/lesson/1495/main/
8 Осевая и центральная симметрия https://resh.edu.ru/subject/lesson/2010/main/
8 Симметрия. Виды симметрии https://mosobr.tv/release/7879
8 Площадь. Площадь прямоугольника https://resh.edu.ru/subject/lesson/1484/main/
8 Площадь параллелограмма https://resh.edu.ru/subject/lesson/1493/main/
8 Площадь треугольника https://resh.edu.ru/subject/lesson/1492/main/
8 Площадь трапеции https://resh.edu.ru/subject/lesson/1491/main/
8 Теорема Пифагора https://resh.edu.ru/subject/lesson/1490/main/
8 Формула Герона https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/
8 Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников https://resh.edu.ru/subject/lesson/2014/main/
8 Признаки подобия треугольников https://resh.edu.ru/subject/lesson/2503/main/
8 Средняя линия треугольника https://resh.edu.ru/subject/lesson/2015/main/
8 Свойство медиан треугольника https://onliskill.ru/video/1537-geometrija-8-klass-svoistvo-median-treugolnika.html
8 Практическое приложение подобия треугольников https://resh.edu.ru/subject/lesson/3140/main/
8 Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике https://resh.edu.ru/subject/lesson/3035/main/
8 Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника https://resh.edu.ru/subject/lesson/2019/main/
8 Значение синуса, косинуса и тангенса некоторых углов https://resh.edu.ru/subject/lesson/2016/main/
8 Решение задач по теме «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника» https://resh.edu.ru/subject/lesson/2017/main/
8 Ломаная https://uchebnik.mos.ru/catalogue/material_view/atomic_objects/5794942
8 Взаимное расположение прямой и окружности https://resh.edu.ru/subject/lesson/3036/main/
8 Теорема о вписанном угле https://resh.edu.ru/subject/lesson/2505/main/
8 Градусная мера дуги окружности. Центральные углы https://resh.edu.ru/subject/lesson/2027/main/
8 Вписанная окружность https://resh.edu.ru/subject/lesson/2023/main/
8 Описанная окружность https://resh.edu.ru/subject/lesson/2021/main/
8 Свойства хорд окружностей https://resh.edu.ru/subject/lesson/2504/main/
8 Свойство биссектрисы угла https://resh.edu.ru/subject/lesson/2026/main/
8 Свойство серединного перпендикуляра https://resh.edu.ru/subject/lesson/2025/main/
8 Теорема о пересечении высот треугольника https://resh.edu.ru/subject/lesson/2024/main/
8 Фракталы вокруг нас https://mosobr.tv/release/7963
9 Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки https://resh.edu.ru/subject/lesson/2506/main/
9 Сумма двух векторов. Правило треугольника. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма. Сумма нескольких векторов https://resh.edu.ru/subject/lesson/2030/main/
9 Вычитание векторов https://resh.edu.ru/subject/lesson/2733/main/
9 Умножение вектора на число https://resh.edu.ru/subject/lesson/3037/main/
9 Средняя линия трапеции https://resh.edu.ru/subject/lesson/2029/main/
9 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам https://resh.edu.ru/subject/lesson/3038/main/
9 Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах https://resh.edu.ru/subject/lesson/2508/main/
9 Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение прямой https://resh.edu.ru/subject/lesson/2028/main/
9 Взаимное расположение двух окружностей. Использование уравнений окружности и прямой при решении задач https://resh.edu.ru/subject/lesson/2033/main/
9 Синус, косинус, тангенс, котангенс угла https://resh.edu.ru/subject/lesson/2509/main/
9 Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. Формулы для вычисления координат точки https://resh.edu.ru/subject/lesson/2510/main/
9 Теорема о площади треугольника https://resh.edu.ru/subject/lesson/2032/main/
9 Теорема синусов https://resh.edu.ru/subject/lesson/2034/main/
9 Теорема косинусов https://resh.edu.ru/subject/lesson/2041/main/
9 Решение треугольников. Измерительные работы https://resh.edu.ru/subject/lesson/2040/main/
9 Угол между векторами. Скалярное произведение векторов https://resh.edu.ru/subject/lesson/2039/main/
9 Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов https://resh.edu.ru/subject/lesson/2038/main/
9 Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник https://resh.edu.ru/subject/lesson/2037/main/
9 Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности https://resh.edu.ru/subject/lesson/2512/main/
9 Длина окружности https://resh.edu.ru/subject/lesson/2513/main/
9 Площадь круга. Площадь кругового сектора https://resh.edu.ru/subject/lesson/2514/main/
9 Решение практических задач с использованием формулы длины окружности, площади круга и кругового сектора https://resh.edu.ru/subject/lesson/2515/main/
9 Построение правильных многоугольников https://resh.edu.ru/subject/lesson/2516/main/
9 Отображение плоскости на себя. Понятие движения. Наложения и движения https://resh.edu.ru/subject/lesson/2035/main/
9 Параллельный перенос https://resh.edu.ru/subject/lesson/3040/main/
9 Поворот https://resh.edu.ru/subject/lesson/3041/main/
9 Решение задач на движение по теме «Движение» https://resh.edu.ru/subject/lesson/2517/main/
9 Предмет стереометрии. Многогранники https://resh.edu.ru/subject/lesson/2780/main/
9 Тела и поверхности вращения https://resh.edu.ru/subject/lesson/2031/main/
9 Применение векторов для решения задач https://infourok.ru/videouroki/3293
9 Осевая и центральная симметрия https://znaika.ru/catalog/8-klass/geometry/Osevaya-i-tsentralnaya-simmetriya.html

Мистер Бартон по математике

arrow_back Вернуться к работе с y = mx + c
Работа с y = mx + c: расширенные задачи

Хорошее насыщенное задание не пройти! Для меня сложная задача — одна который одновременно стимулирует и бросает вызов учащимся всех возрастов и способности. Вот некоторые из моих любимых.

Содержание
  • Медианные богатые задачи и целенаправленная практика
  • NRICH
  • Другие сложные задачи
Медиана комплексных задач и целенаправленная практика
keyboard_arrow_up

В начало

Нет слов, чтобы выразить как я люблю Дона Стюарда и его удивительные ресурсы в его блоге Median.Они позволяют целенаправленно практика, чтобы студенты могли свободно владеть ключевыми навыками. Но у них также есть нечто большее, чем просто разбрызгивание богатства, которое ведет студенты весело идут по пути к гипотезам и обобщения. Удивительный.

Лестница крутизна
прямых графиков и n-го члена
квадратов под лестницей
линейных правил, с контекстами
найти правило
4 на линии и отрицательные координаты
4 на продолжении линии
4 на продолжении линии
, где линии пересекаются с
4 линии
задачи с прямым графиком
линейные уравнения и г-н Венн
График привязан
спутанные графики
пересечения
NRICH
keyboard_arrow_up

В начало

NRICH — это просто один из лучших сайтов для богатые математические задачи во всем мире.

Алмазный Коллекционер
Переводчик Линии
Отражающие линии
Нет Сложить
Другие расширенные задачи
keyboard_arrow_up

В начало

Подборка некоторых моих любимые насыщенные задания, в том числе — должен признаться — некоторые из моих собственных. Для моей полной коллекции, включая мои мысли о том, что делает хорошая богатая задача, пожалуйста, посетите богатых Страница задач.

Диаграмма Венна — Прямые графики
Арифмагон — Уравнения линий
Запрос Математика y — x = 4
Запрос Математика пересекающиеся линии

Джеймс Эссе Тантона об учебной программе, апрель 2015 г .: Slope

Ресурсоголик: прямые линии

Это вторая статья Энн Уотсон из серии «Доза Дона». Она разместила это в своем блоге здесь, и я воспроизвел его слово в слово.Историю этой серии читайте в моем предыдущем посте «Линии и углы на квадратной сетке». Выражаю благодарность Анне за то, что она дала мне разрешение поделиться своим текстом здесь.

Доза Дон 2: Прямые линии

Это вторая из нерегулярной серии статей, в которых я (и, я надеюсь, другие) глубоко вникаю в набор задач в блоге Дона Стюарда и вытаскиваю темы о ключевых идеях математики, которые работают через несколько своих задач. По возможности даю прямую ссылку на задачи; где я извлек часть задачи, я направляю вас к «родителю», от которого она пришла.

Дон был очень щедрым в выполнении своих задач, и я надеюсь, что вы ответите на эту щедрость так, как он просил перед своей смертью, а именно, чтобы сделать пожертвование на justgiving.com/fundraising/jessesteward.

In Dose of Don 1 Я сосредоточился на одной особенности Дона. работа по сетям. Я думаю об этом как о том маленький треугольник »- прямоугольный треугольник, который образует прямую линию на сетке, может использоваться для определения угла, градиента, касательной, направления, расстояния между двумя точками, скорость изменения, соотношение, мгновенное изменение и так далее.я конечно, я еще вернусь к этому треугольнику. На данный момент несколько ролей играемый «этим маленьким треугольником», заставило меня приблизить выражения вида «mx + c ’или‘ kn + c ’, где обычно x используется для непрерывных переменных, а n для дискретных переменных. Я понял одну вещь: выражение типа kn + c можно рассматривать как член семейства кратных k с остатками. Для Например, любое целое число можно записать как 4n , 4n + 1 , 4n + 2 или 4n + 3 .Любое целое число равно 0 (mod 4), 1 (mod 4), 2 (мод 4) или 3 (мод 4). Параллельные прямые y = 4n + c — это одна и та же прямая переводится вертикально согласно остатку c при делении на 4. «Отмена» 4n + c может пониматься как «вычесть остаток, чтобы вернуться к кратное, затем разделите на 4, чтобы вернуться к n ’, что совпадает с говоря, что уравнения: y = mx + c и x = (y — c) / m эквивалентны, что, конечно, вы знаете, но контекст или воскрешение деления из целого числа и остальных частей кажется хороший контекст для размышлений о преобразовании уравнений (поиск эквивалентных способов чтобы выразить те же отношения), а просто пройдя через некоторые манипуляции для решения чего-либо.

Дон задает массу вопросов о свойствах любых четырех последовательные числа, многие из которых (но не все) могут быть доказаны с помощью выражения 4n + c. Например, если их сумма равна 130, каковы будут числа? («4 последовательных номера смешанных вопросов»). Алгебра, связанная с этим вопросом, того же типа, что и нахождение выражения для периметров. На том же на странице он предлагает загадочный слайд, в котором сочетаются мод 3 и 4, когда буква «n» линейное выражение само по себе является линейным выражением.У меня есть кое-что о замене, когда это делается как бессмысленное упражнение, которое фокусируется на расчет, а не структура, поэтому мне понравился этот слайд, потому что он требует распределительный закон и будет хорошо смотреться в виде удочек cuisenaire или даже двух соединенные винтики (если 3n + 2 витка одного зубца делают один оборот большего зубца, то….?).

До сих пор использование и смысл алгебры заданные вопросы. Как он подходит к более процедурным потребностям работа с линейными выражениями? Следующие два слайда демонстрируют приверженность структура и смысл.Мой личный подход к алгебраическим выражениям заключается в следующем: не делайте с ними чего-либо, если я не знаю, что это необходимо, и не могу предвидеть его использование. Поэтому я начал с этих слайдов не «что мне делать?», А «что они мне говорят? ».

Они взяты из «алгебр змей и ветвей», в которых основной упор делается на построение и преобразование выражений, так что что данные выражения можно прочитать со смыслом.

Я предлагал их разным учителям, а также молодым учеников, и кажется, что есть две реакции: первая — умножить все скобки, упрощают и сравнивают целые выражения; другой — думать о их константы и удалите те, которые не могут иметь правильную константу, затем проверьте количество «n» и удалите те, которые не могут иметь правильного числа, затем проверить заменой e.грамм. 1 для n или d (вам нужны два значения?). Этот подход использует значение закона распределения и может быть использована подстановка чтобы узнать, как влияет на «-3» вычитание двукратного его значения на одном из примеры справа. Однако, спрашивая: «Что они мне говорят?» показывает некоторую осторожность при разработке этих примеров. Я не собираюсь указывать все, что я наблюдаю, но, например, посмотрите, как (n + 2) появляется в различных в левом примере. Что-то похожее таится в правой руке пример.«Умножение» теряет те наблюдения, которые значительно уменьшить объем работы за счет распознавания структур.

В этом подходе к алгебре «о чем он мне говорит?» Есть отголоски на протяжении всей его коллекции задач. Здесь это пара слайдов, на которых вставлен вопрос: «Если я знаю это — что еще делать Я знаю? »

Это со слайдов, озаглавленных« так, линейно ». Он говорит на веб-сайте, что «законно переходя от одного утверждения к другому, (это вроде того, о чем идет речь в математике) »[его скобки].Это так глубоко, но так заниженный.

Переход от представления о линейной форме как об обобщении от «mx + c» до «ax + by» мне нужно изучить больше. Я признаю, что график, который можно записать как ax + by = c, является вариацией на x + y = 1, с связанная с этим простота поиска точек пересечения по обеим осям. Похоже, что у Дона было это имея в виду его предложения по замене нулей на правом слайде. Это также выглядит так, как если бы у него были требования к алгебраическим решениям одновременных уравнения с некоторыми из этих преобразований.

Вот еще один пример необходимости распознавания алгебраический формат линейных графиков с типично игровой задачей: «запутанные правила и графики». Почему он решил использовать в большинстве из них похожие номера? Как учащиеся могут Подход к этой задаче изменится, если оси не масштабировались одинаково? Сколько из их можно «рассматривать» как вариации x + y = 1?

Наконец-то я возвращаюсь к задаче, которую опубликовал в Dose Дона 1 называют «целочисленными точками пересечения». Я снова возвращаюсь к размышлениям о линейных графиках как о представлении подобных треугольников, каждая пара точек на прямой является вершинами прямоугольный треугольник, вертикальная и горизонтальная длины которого находятся в фиксированном соотношение.2 + 17 $ пересекает прямую, проходящую через точки $ (0, -1) $ и $ (1,0) $. Чтобы найти эту точку пересечения, мы должны сначала найти уравнение для этой линии. Общее уравнение прямой имеет вид $ y = mx + b $, где $ m $ — наклон прямой, а $ b $ — $ y $ -пересечение. Мы знаем, что наклон, $ m $, этой прямой в общем случае определяется выражением:

$$ m = \ frac {y_2 — y_1} {x_2 — x_1} $$

где $ (x_1, y_1) $ и $ (x_2, y_2) $ — две точки на прямой. Мы знаем, что $ (0, -1) $ и $ (1,0) $ — две точки на этой прямой.Таким образом, наклон этой прямой можно найти, подставив эти точки в нашу общую формулу:

$$ \ begin {align} m & = \ frac {0 — (- 1)} {1-0} \\ m & = \ frac11 \\ m & = 1 \ end {align} $$

Наклон нашей прямой равен $ m = 1 $. Мы уже знаем, что координата точки пересечения $ y $ для этой линии равна $ (0, -1) $, потому что это одна из наших заданных точек, что дает $ b = -1 $. У нас есть $ m = 1 $ и $ b = -1 $, поэтому, подставляя эти значения в наше общее уравнение для прямой, мы обнаруживаем, что уравнение для прямой, проходящей через точку $ P $, имеет вид $ y = 1 \ cdot x — 1 $ или $ y = x-1 $.2 + 5х — 14 & = 0 \\ (х-2) (х + 7) & = 0 \ end {align} $$

Таким образом, $ x = 2 $ или $ x = -7 $. Мы знаем, что точка $ P $ находится в первом квадранте плоскости $ xy $, поэтому $ x $ -координата точки $ P $ не может быть $ x = -7 $, что означает, что $ x $ -координата точки $ P $ равен $ x = 2 $. Затем мы можем подставить $ x = 2 $ в уравнение для прямой, проходящей через точку $ P $, получив: $ y = 2-1 = 1 $. Следовательно, точка $ P $ имеет координаты $ (2,1) $.

5. Как рисовать прямые линии

5. Как рисовать прямые линии

5.Как рисовать прямые линии

Это руководство основано на тексте и изображениях Copyright © 2002 Seth Burgess. Оригинальный учебник можно найти в Интернете. [ TUT01 ].

Рисунок 3.45. Пример прямых

В этом уроке показано, как рисовать прямые линии с помощью GIMP.Заставить линию быть прямой — это удобный способ справиться с неточностью мышь или планшет, а также использовать возможности компьютера для сделать вещи аккуратными и упорядоченными. В этом руководстве не используется Straight Линии для сложных задач; он предназначен, чтобы показать, как вы можете использовать его для создавать быстрые и легкие прямые линии.

  1. Препараты

    Рисунок 3.46. ​​Знакомство с клавишей Shift

    Изобретение под названием пишущая машинка представило Сдвиг Ключ. Обычно у вас есть 2 из них на клавиатуре. Они выглядят что-то вроде рисунка выше. Клавиши расположены слева и правые стороны клавиатуры. Мышь был изобретен Дугласом Энгельбартом в 1970 году. разные разновидности, но всегда есть хотя бы одна кнопка.

  2. Создание пустого чертежа

    Сначала создайте новый образ. Подойдет любой размер. Использовать → для создания нового образа.

  3. Выберите инструмент

    Рисунок 3.48. Инструменты рисования в ящике для инструментов

    Любой из инструментов, выделенных красным на панели инструментов выше, может работать с линиями.

  4. Создайте начальную точку

    Рисунок 3.49. Отправная точка

    Щелкните кисть на панели инструментов.Щелкните изображение в том месте, где должна начинаться или заканчиваться линия. А на экране появится одна точка. Размер этой точки представляет текущий размер кисти, который вы можете изменить в Brush Диалог (см. Раздел 3.2, «Диалог кистей»). Теперь приступим. рисование линии. Удерживая нажатой клавишу Shift , и потише.

  5. Рисование линии

    Рисунок 3.50. Рисуем линию

    После того, как у вас есть начальная точка и при нажатии Shift ключ, вы увидите прямой строка, следующая за курсором. Нажмите первую кнопку мыши (крайнюю левую обычно один) и отпустить. В течение всего этого «Щелчок» кнопки мыши, вам нужно удерживать нажатой клавишу Shift .

  6. Финал

    Рисунок 3.51. Окончательное изображение

    Это мощная функция. Вы можете рисовать прямые линии любым из инструменты рисования. Вы даже можете нарисовать больше линий в конце этой. Наш последний шаг — отпустить клавишу Shift . И вот оно что. Еще несколько примеров показаны ниже. Счастливый GIMPing!

(PDF) Балансировка прямых и U-образных сборочных линий со временем выполнения задач в зависимости от ресурсов

Corominas, A., Пастор, Р., и Планы, Дж., 2008. Уравновешивание сборочной линии с

квалифицированными и неквалифицированными рабочими. Омега, 36 (6), 1126–1132.

Эрель, Э. и Сарин, С.С., 1998. Обзор процедур балансировки сборочной линии. Производство

Планирование и контроль, 9 (5), 414–434.

Эрель, Э., Сабунджуоглу, И., Аксу, Б.А., 2001. Балансировка U-образных сборочных систем

систем с использованием моделированного отжига. Международный журнал производственных исследований,

39 (13), 3003–3015.

Faaland, B.H., et al., 1992. Балансировка сборочной линии с учетом времени выполнения задач в зависимости от ресурсов. Решение

Наук, 23 (2), 343–364.

Гош, С. и Ганьон, Дж., 1989. Всесторонний обзор литературы и анализ конструкции,

балансировка и планирование сборочных систем. Международный журнал производственных исследований,

27 (4), 637–670.

Go

kc¸en, H. and Ag

pak, K., 2006. Подход целевого программирования к простой задаче балансировки U-образной линии

.Европейский журнал операционных исследований, 171 (2), 577–585.

Go

kc¸en, H., et al., 2005. Формулировка кратчайшего пути для простой балансировки сборочной линии U-типа

. Прикладное математическое моделирование, 29 (4), 373–380.

Hwang, R.K. и Катаяма, Х., 2009. Генетический подход с множеством решений для балансировки рабочей нагрузки

смешанных моделей U-образных систем сборочной линии. Международный журнал производственных исследований,

47 (14), 3797–3822.

Кара, Ю., 2004. Новые модели для решения проблем с балансировкой U-образных сборочных линий и их применение в индустрии автомобильных запчастей

. Турция: неопубликованная диссертация (PhD). Сельчукский университет, Конья.

Кара, Ю., Паксой, Т., и Чанг, К.-Т., 2009. Подход двоичного нечеткого целевого программирования к единой

модели прямой и U-образной балансировки сборочной линии. Европейский оперативный журнал

Research, 195 (2), 335–347.

Кара Ю., Текин М., 2009. Формулировка смешанного целочисленного линейного программирования для оптимальной

балансировки U-линий смешанной модели. Международный журнал производственных исследований, 47 (15),

4201–4233.

McMullen, P.R. и Tarasewich, P., 2006. Балансировка многоцелевой сборочной линии с помощью модифицированного метода оптимизации колоний муравьев

. Международный журнал производственных исследований,

44 (1), 27–42.

Miltenburg, J., 2000. Влияние поломок на U-образные производственные линии.Международный журнал

производственных исследований, 38 (2), 353–364.

Милтенбург, Дж. И Спарлинг, Д., 1995. Алгоритмы оптимального решения для задачи балансировки U-образной линии.

Рабочий документ. Канада: Университет Макмастера, Гамильтон, Онтарио.

Милтенбург, Дж., 1998. Балансировка U-образных линий на объекте с несколькими U-образными линиями. Европейский оперативный журнал

Research, 109 (1), 1–23.

Милтенбург, Дж., 2001. U-образные производственные линии: обзор теории и практики.Международный

Журнал экономики производства, 70 (3), 201–214.

Милтенбург Дж. И Вейнгард Дж., 1994. Задача балансировки U-образной линии. Наука управления, 40 (10),

1378–1388.

Монден, Ю., 1993, производственная система Toyota. 2-е изд. Норкросс, Джорджия: Industrial Engineering Press,

Институт инженеров-промышленников.

Пинто, П.А., Данненбринг, Д.Г., и Хумавала, Б.М., 1983. Балансировка сборочной линии с альтернативными вариантами обработки

: приложение.Наука управления, 29 (7), 817–830.

Салвесон М.Е., 1955. Проблема балансировки сборочной линии. Журнал промышленной инженерии, 6 (3),

18–25.

Шолль А. и Беккер К., 2006. Современные процедуры точного и эвристического решения

для простой балансировки сборочной линии. Европейский журнал операционных исследований, 168 (3),

666–693.

Шолль А. и Кляйн Р., 1999. ULINO: Оптимальная балансировка U-образных сборочных линий JIT.

Международный журнал производственных исследований, 37 (4), 721–736.

18 Y. Kara et al.

Загружено: [TÜBTAK EKUAL] at: 22:47, 16 апреля 2011 г.

Занятия по вырезанию для детей

Просматриваете эту страницу на своем устройстве?
Измените настройки, чтобы включить изображения!
Я использую небольшие фотографии, чтобы проиллюстрировать информацию и действия, которыми я делюсь, и вам будет намного удобнее пользоваться этим веб-сайтом, если вы сможете просматривать изображения.

Создавать забавные задания по вырезанию для ваших детей — это так просто! Эта страница содержит бесплатный загружаемый шаблон для вырезания с простыми формами для вырезания и множество сфотографированных идей, которые помогут вашему ребенку овладеть навыками работы с ножницами.

Эти идеи для резки ножницами разработаны для детей, которые освоили основные движения резки, но все еще нуждаются в большой практике резки линий и фигур.

Убедитесь, что ваш ребенок режет с помощью подходящего ножничного зажима и, желательно, на бумаге примерно в два раза большей обычной толщины.

Используйте мой бесплатный шаблон для вырезания в конце этой страницы, чтобы распечатать нужные линии и формы!


Операции по прямолинейной резке


Проявите творческий подход и дайте своему ребенку много-много практики резать по толстым прямым линиям.

Вы можете использовать прямые линии в бесплатном шаблоне для выполнения этих действий.

Скрепите линии вместе или скотчем, чтобы получилась старая добрая бумажная цепочка или бумажный цветок.

Сделайте несколько бумажных цепочек Из креативных скобок получится цветок!

Или попробуйте бумажный фонарь или простые бумажные украшения — из них получатся отличные праздничные украшения!

Шаблоны и инструкции для двух действий, показанных ниже, можно найти в моей электронной книге «Рождественские ножницы».

Бумажные фонарики Бумажные украшения для детей

К началу

Режущие круги и спирали


Вырезание кружков поможет вашему ребенку научиться использовать обе руки вместе, чтобы ножницы обрезали фигуру.

Используйте круги и линии в бесплатном шаблоне, чтобы сделать паука и гусеницу, показанные ниже.

Обрезка пауков

  • Добавьте окружность к 8 линиям.
  • Склейте или скрепите их, чтобы получился паук.
  • Добавьте немного веревки в середину, чтобы получился болтающийся паук.
Попросите ребенка вырезать 8 прямых линий и круг.
Caterpillar Cutting Activity

  • Вырежьте 5 или 6 кругов и склейте их вместе, чтобы получилась гусеница.
  • Наклейте кружок «голова» немного выше остальных и нарисуйте смайлик.
  • Добавьте очистители труб (синелевые палочки) для антенн / щупов.
Режущие круги Готовая гусеница!
  • Вы также можете добавить ножки для чистки труб к первому сегменту — я сложил 3 коротких секции очистителя труб пополам и протолкнули их через три маленькие дырочки.
Спиральные змеи

Спиральные змеи — это так весело!

  • Можно нарисовать спираль на бумажной тарелке .
  • Обратите внимание: у ребенка-левши спираль должна идти «в другую» сторону!

My Cutting Printables E-Book , предлагает вам спиральных змей для левшей и правшей. Существуют также варианты более толстой и тонкой лески для новичков и более опытных ножниц.

В начало

Вырезание простых форм


Используйте шаблон для бесплатного вырезания внизу этой страницы, чтобы распечатать треугольники и квадраты, чтобы ваш ребенок мог вырезать их.

Мне нравится разрезать страницу пополам по одной форме на каждой странице, чтобы сделать ее более удобной для маленьких рук.

А теперь попробуйте некоторые из этих идей ниже!

Построить дом! Создайте ракету! Сделайте елку!

В начало

Более продвинутая резка


Удивительные печатные материалы по вырезанию — Моя полная электронная книга!

Моя полная подборка забавных шаблонов нарезки подарит вашему ребенку л оц режущего инструмента с прекрасными конечными продуктами для создания вашего ребенка уверенность!

Моя бесплатная загрузка содержит только несколько шаблонов — с этой электронной книгой вы получите МНОГО шаблонов, а также полные инструкции с фотографиями для каждого занятия! 19 различных поделок для резки ножницами , с множеством шаблонов — более 50 шаблонов всего !

Начиная с простых упражнений по вырезанию , шаблоны позволят вашему ребенку научиться вырезать прямые линии , а затем вырезать формы .Все мероприятия сфотографированы , чтобы вы и ваш ребенок могли видеть, над чем вы работаете!

Просмотрите мою электронную книгу «Веселые практики резки»!

Как только ваш ребенок научится обходить внешние углы квадратов и треугольников, ему нужно будет попрактиковаться в обращении ножницами вокруг внутренних углов. углы (например, сердечки и звезды).

Вырезание меньших кусков и / или по более тонкой леске также является сложной задачей, поскольку требует более внимательного отношения к ножницам.

Попросите ребенка вырезать продукты из флаера супермаркета, чтобы составить список покупок!

В начало

Получите бесплатный шаблон для резки!


Этот бесплатно загружаемый файл в формате PDF содержит шаблоны для печати, которые помогут вашему ребенку попрактиковаться в вырезании по линии и фигурного вырезания. Есть толстых прямых, окружностей, квадратов, треугольников, а также вырезка дома.

Эти бесплатные рабочие листы для вырезания позволят вашему ребенку создавать задания, предлагаемые на этой странице!

Заполните форму ниже, чтобы получить доступ к своей халяве!

В начало

Помогите! Мой ребенок еще не умеет резать ножницами!

Если ваш ребенок еще не развил хорошее движение захвата-отпускания ножниц или если вы не знаете, с чего начать учить ребенка резать ножницами, то эти страницы на моем сайте могут помочь…

Help Your Child Мастер ножниц

Ваш ребенок с трудом подстригает ножницами?

Вы хотите научить своего дошкольника стричь ножницами, но не знаете, с чего начать?

Моя 33-страничная электронная книга по навыкам работы с ножницами поможет ответить на ваши вопросы и предоставит вам пошаговых фотоснимка упражнений , которые помогут вашему ребенку овладеть навыками ножниц.

Посмотреть мою электронную книгу «Навыки ножниц»!

Спасибо, что посетили мой сайт! Надеюсь, вы нашли эти упражнения для вашего ребенка полезными!

В начало

Если эта страница была полезной, поделитесь ею с друзьями!

Хотите, чтобы мероприятия и информация были легко доступны?


Попробуйте электронные книги My OT Mom!

Не нашли то, что искали? Попробуйте поискать по моему сайту!

Эта функция требует, чтобы JavaScript был переведен с на .

GIMP Draw Line — javatpoint

GIMP — увлекательная программа для редактирования изображений и других графических задач. Но он не поддерживает никаких прямых инструментов для рисования линии. Рисование линии — важная задача для любого графического инструмента. Но мы можем нарисовать линию в GIMP без установки какого-либо внешнего инструмента или плагина. Это простой процесс.

В GIMP есть много инструментов для рисования линии. Мы можем рисовать и корректировать линию с помощью кисти, рисования от руки и т. Д.Однако, используя эти инструменты, мы не можем правильно провести прямую линию. Мы объясним некоторые нажатия клавиш, которые позволят нам нарисовать точную прямую или горизонтальную линию.

Для рисования линии мы можем использовать следующие инструменты:

  • Кисть
  • Карандаш
  • Инструмент для аэрографии
  • Ink Tool (Инструмент для каллиграфии)
  • Инструмент для удаления пятен
  • Инструмент Dodge / Burn

Все вышеперечисленные инструменты способны провести необходимую линию.Мы протестировали все эти инструменты, и они отлично работают с последней версией GIMP.

В этом уроке мы объясним, как нарисовать прямую линию. Также мы обсудим, как рисовать другие линии, такие как горизонтальные, вертикальные и т. Д.

Как нарисовать прямую линию с помощью GIMP?

В GIMP рисование прямой линии — это такой же простой процесс, как и в Photoshop. Мы можем быстро провести черту. В GIMP нет специальных инструментов для рисования прямой линии.Но мы можем сделать это с помощью клавиши SHIFT и мыши. Для рисования линии мы должны выбрать любой из инструментов рисования, например Кисть, Карандаш. Мы можем рисовать с фоном или без цвета фона на изображении. Давайте разберемся, как нарисовать линию в GIMP.

Чтобы нарисовать линию, выполните следующие действия:

Шаг 1. Создание образа

Первым шагом является создание нового образа. Чтобы создать новое изображение, перейдите в меню File-> New или нажмите клавиши CTRL + N .Откроется диалоговое окно с запросом свойств изображения.

Введите размер изображения и другие значения. Если нам нужен прозрачный фон, выберите опцию Fill With Option с Transparency . Он будет показывать только нарисованные линии. Теперь нажмите Ok , чтобы продолжить.

Шаг 2. Выберите инструмент рисования

Выберите для рисования любой инструмент для рисования, например карандаш, кисть, аэрограф и т. Д. Чтобы выбрать любой инструмент для рисования, выберите его на панели инструментов или перейдите в меню Инструменты-> Инструменты для рисования .

Шаг 3: Начать рисование

После выбора инструмента рисования щелкните в любом месте холста изображения и выберите начальную точку. Чтобы нарисовать изображение, удерживайте клавишу SHIFT и перемещайте указатель; он пойдет прямо в направлении движения. Щелкните в любом месте; линия будет нарисована.

Мы можем настроить толщину, непрозрачность, цвет и т. Д. Линии из меню параметров инструмента, расположенного внизу панели инструментов:

, выберите другую точку и проведите еще одну линию.Когда нужные линии созданы, сохраните изображение, используя опцию импорта из меню файла.

Здесь нарисованы две пересекающиеся друг с другом линии; аналогично мы можем сделать другие диаграммы. Ниже еще один пример рисования линий.

Мы создали изображение, заполненное цветом фона на изображении выше, и выбрали инструмент MyPaint Brush красного цвета.

Это мощный GIMP; просто удерживая клавишу SHIFT, мы можем провести прямую линию в любом направлении.Точно так же мы можем создавать горизонтальные, параллельные и другие линии.

.