Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
12.16
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
Решено
помогите срочно контрольная!!!
Решено
Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого 4 см, Найти площадь полной поверхности цилиндра
Решено
Высота конуса равна 6 см, угол при вершин осевого сечения равен 120 градусов.
2
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| Найти производную — d/dx | 92)|||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
4.
2 Линейные аппроксимации и дифференциалыЦели обучения
- Описать линейную аппроксимацию функции в точке.
- Напишите линеаризацию заданной функции.
- Нарисуйте график, иллюстрирующий использование дифференциалов для аппроксимации изменения количества.
- Вычислите относительную ошибку и ошибку в процентах при использовании дифференциальной аппроксимации.
Мы только что видели, как производные позволяют нам сравнивать связанные величины, которые изменяются во времени. В этом разделе мы исследуем другое применение производных: возможность локального приближения функций линейными функциями. Линейные функции — это самые простые функции для работы, поэтому они предоставляют полезный инструмент для аппроксимации значений функций. Кроме того, идеи, представленные в этом разделе, обобщаются во втором томе этого текста, когда мы изучали, как аппроксимировать функции полиномами более высокой степени во Введении в степенные ряды и функции.
[latex]y=\frac{1}{2}-\ frac{1}{4}(x-2)[/latex].
(Рисунок)(a) показывает график [латекс]f(x)=\frac{1}{x}[/latex] вместе с касательной к [латекс]f[/латекс] в точке [латекс] х=2[/латекс]. Обратите внимание, что для [latex]x[/latex] около 2 график касательной близок к графику [latex]f[/latex]. В результате мы можем использовать уравнение касательной для аппроксимации [латекс]f(x)[/латекс] для [латекс]х[/латекс] около 2. Например, если [латекс]х=2,1[/ латекс], значение [latex]y[/latex] соответствующей точки на касательной равно
[латекс]y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(2.1-2)=0,475[/latex].
Фактическое значение [латекс]f(2.1)[/латекс] определяется как
[латекс]f(2.1)=\frac{1}{2.1}\приблизительно 0,47619[/латекс].
Таким образом, касательная дает нам довольно хорошее приближение [latex]f(2.1)[/latex] ((Рисунок)(b)).
Однако обратите внимание, что для значений [latex]x[/latex], далеких от 2, уравнение касательной не дает нам хорошего приближения. Например, если [latex]x=10[/latex], значение [latex]y[/latex] соответствующей точки на касательной равно 9.0919
[латекс]y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(10-2)=\frac{1}{2}-2=-1,5[/latex],
тогда как значение функции при [латекс]х=10[/латекс] равно [латекс]f(10)=0,1[/латекс].
Рисунок 1. (a) Касательная к [латекс]f(x)=1/x[/латекс] в точке [латекс]х=2[/латекс] обеспечивает хорошее приближение к [латекс]f[ /latex] для [latex]x[/latex] около 2. (b) При [latex]x=2,1[/latex] значение [latex]y[/latex] на касательной к [latex]f (x)=1/x[/латекс] равно 0,475. Фактическое значение [latex]f(2.1)[/latex] равно [latex]1/2.1[/latex], что приблизительно равно 0,47619.{\prime}(a)(x-a)[/latex]
линейная аппроксимация или аппроксимация касательной [latex]f[/latex] в [latex]x=a[/latex]. Эта функция [latex]L[/latex] также известна как линеаризация [latex]f[/latex] при [latex]x=a[/latex].
{\circ})[/латекс]. 94[/latex] при [latex]x=0[/latex] без использования результата из предыдущего примера.
Показать решение
Мы видели, что для оценки значений функций можно использовать линейные приближения. Их также можно использовать для оценки величины изменения значения функции в результате небольшого изменения входных данных. Чтобы обсудить это более формально, мы определим родственное понятие: дифференциалы. Дифференциалы дают нам способ оценить величину изменения функции в результате небольшого изменения входных значений.
Когда мы впервые рассмотрели производные, мы использовали нотацию Лейбница [латекс]dy/dx[/латекс] для представления производной [латекс]у[/латекс] по отношению к [латекс]х[/латекс]. Хотя мы использовали выражения [latex]dy[/latex] и [latex]dx[/latex] в этих обозначениях, сами по себе они не имели смысла. Здесь мы видим значение выражений [latex]dy[/latex] и [latex]dx[/latex]. Предположим, что [latex]y=f(x)[/latex] — дифференцируемая функция.
Пусть [latex]dx[/latex] — независимая переменная, которой можно присвоить любое ненулевое действительное число, и определим зависимую переменную [latex]dy[/latex] как 92}[/latex], найдите [latex]dy[/latex].
Показать решение
Теперь свяжем дифференциалы с линейными приближениями. Дифференциалы можно использовать для оценки изменения значения функции в результате небольшого изменения входных значений. Рассмотрим функцию [latex]f[/latex], дифференцируемую в точке [latex]a[/latex]. Предположим, что ввод [latex]x[/latex] изменяется на небольшую величину. Нас интересует, насколько изменится вывод [latex]y[/latex]. Если [латекс]x[/латекс] меняется с [латекс]а[/латекс] на [латекс]а+dx[/латекс], то изменение в [латекс]х[/латекс] равно [латекс]дх[/ латекс] (также обозначается как [латекс]\Delta x[/латекс]), а изменение [латекс]у[/латекс] равно 9{\prime}(a) \, dx[/latex] используется для аппроксимации фактического изменения [latex]y[/latex], если [latex]x[/latex] увеличивается от [latex]a[/latex] до [латекс]а+дх[/латекс].
Теперь посмотрим, как использовать дифференциалы для аппроксимации изменения значения функции, возникающего в результате небольшого изменения значения входных данных. Обратите внимание, что вычисление с дифференциалами намного проще, чем вычисление фактических значений функций, и результат очень близок к тому, что мы получили бы при более точном вычислении. 92+2x[/latex], найти [latex]\Delta y[/latex] и [latex]dy[/latex] в [latex]x=3[/latex], если [latex]dx=0,2[/latex] .
Показать решение
Любой тип измерения подвержен определенной ошибке. Во многих приложениях определенные величины рассчитываются на основе измерений. Например, площадь круга рассчитывается путем измерения радиуса круга. Ошибка в измерении радиуса приводит к ошибке в вычисленном значении площади. Здесь мы исследуем этот тип ошибки и изучим, как можно использовать дифференциалы для оценки ошибки.
Рассмотрим функцию [latex]f[/latex] с входом, который является измеряемой величиной.
Предположим, что точное значение измеренной величины равно [latex]a[/latex], но измеренное значение равно [latex]a+dx[/latex]. Мы говорим, что ошибка измерения равна [латекс]dx[/латекс] (или [латекс]\Delta x[/латекс]). В результате возникает ошибка в вычисляемой величине [latex]f(x)[/latex]. Этот тип ошибки известен как распространяемая ошибка и задается как
[латекс]\Delta y=f(a+dx)-f(a)[/латекс].
{\ простое число} (а + дх) \, дх [/латекс].В следующем примере мы рассмотрим, как можно использовать дифференциалы для оценки погрешности вычисления объема коробки, если предположить, что измерение длины стороны производится с определенной точностью.
Объем куба
Предположим, что длина стороны куба равна 5 см с точностью до 0,1 см.
- Используйте дифференциалы для оценки ошибки вычисленного объема куба.
- Вычислите объем куба, если длина стороны равна (i) 4.9см и (ii) 5,1 см, чтобы сравнить предполагаемую ошибку с фактической потенциальной ошибкой.
Показать решение
Оцените погрешность вычисления объема куба, если длина стороны равна 6 см с точностью 0,2 см.
Показать решение
Ошибка измерения [latex]dx \, (=\Delta x)[/latex] и распространяющаяся ошибка [latex]\Delta y[/latex] являются абсолютными ошибками. Обычно нас интересует размер ошибки относительно размера измеряемой или вычисляемой величины. Учитывая абсолютную ошибку [латекс]\Delta q[/латекс] для определенного количества, мы определяем относительная ошибка как [латекс]\frac{\Delta q}{q}[/латекс], где [латекс]q[/латекс] — фактическое значение количества. Процентная ошибка — это относительная ошибка, выраженная в процентах. Например, если мы измеряем высоту лестницы как 63 дюйма, когда фактическая высота составляет 62 дюйма, абсолютная ошибка составляет 1 дюйм, а относительная ошибка составляет [латекс]\frac{1}{62}=0,016. [/латекс] или [латекс]1.
6 \%[/латекс]. Для сравнения, если мы измеряем ширину куска картона как 8,25 дюйма, когда фактическая ширина составляет 8 дюймов, наша абсолютная ошибка составляет [латекс]\frac{1}{4}[/латекс] дюйма, тогда как относительная ошибка: [латекс]\фракция{0,25}{8}=\фракция{1}{32}[/латекс] или [латекс]3,1\%[/латекс]. Следовательно, процентная ошибка измерения картона больше, хотя 0,25 дюйма меньше, чем 1 дюйм 9.0919
Относительная и процентная погрешность
Астронавт с помощью камеры измеряет радиус Земли как 4000 миль с погрешностью [латекс]\pm 80[/латекс] миль. Давайте используем дифференциалы, чтобы оценить относительную и процентную ошибку использования этого измерения радиуса для вычисления объема Земли, предполагая, что планета является идеальной сферой.
Показать решение
Определите процентную ошибку, если радиус Земли измерен как 3950 миль с погрешностью [латекс]\pm 100[/латекс] миль. 9{\ простое число} (х) \, дх [/латекс].
1.
Какова линейная аппроксимация любой общей линейной функции [latex]y=mx+b[/latex]?
2. Определите необходимые условия, чтобы функция линейного приближения была постоянной. Используйте график, чтобы доказать свой результат.
Показать решение
3. Объясните, почему линейная аппроксимация становится менее точной при увеличении расстояния между [латекс]x[/латекс] и [латекс]а[/латекс]. Используйте график, чтобы доказать свой аргумент. 93+2x+\frac{1}{x}[/latex], [latex]x=1[/latex], [latex]dx=0,05[/latex]
Показать решение
В следующих упражнениях найдите изменение объема [латекс]dV[/латекс] или площади поверхности [латекс]dA[/латекс].
33. [латекс]dV[/латекс], если стороны куба изменяются с 10 на 10,1.
34. [латекс]dA[/латекс], если стороны куба меняются с [латекс]х[/латекс] на [латекс]х+дх[/латекс].
Показать решение
35. [латекс]dA[/латекс], если радиус сферы изменяется от [латекс]r[/латекс] на [латекс]др[/латекс].
36. [latex]dV[/latex], если радиус сферы изменяется с [latex]r[/latex] на [latex]dr[/latex].
Показать решение
37. [латекс]dV[/латекс], если круглый цилиндр с [латекс]r=2[/латекс] меняет высоту с 3 см на [латекс]3,05[/латекс] см.
38. [латекс]dV[/латекс], если круглый цилиндр высотой 3 изменяется с [латекс]r=2[/латекс] на [латекс]r=1,9[/латекс] см.
Показать решение
В следующих упражнениях используйте дифференциалы для оценки максимальной и относительной ошибки при вычислении площади поверхности или объема.
39. Сферический мяч для гольфа имеет радиус [латекс]5[/латекс] мм с возможной погрешностью измерения [латекс]0,1[/латекс] мм.
Каково возможное изменение объема?
40. Бассейн имеет прямоугольное основание размером 10 на 20 футов и глубину 6 футов. Как изменится объем, если вы наполните его только до 5,5 футов?
Показать решение
41. Рожок для мороженого имеет высоту 4 дюйма и радиус 1 дюйм. Если конус имеет толщину 0,1 дюйма, какова разница между объемом конуса, включая скорлупу, и объемом льда? крем вы можете поместиться внутри оболочки? 9{\prime}(a)(x-a)[/latex] является линейной аппроксимацией [latex]f[/latex] при [latex]x=a[/latex]
- процентная ошибка
- относительная ошибка, выраженная в процентах
- распространенная ошибка
- ошибка, которая приводит к вычислению величины [latex]f(x)[/latex] в результате ошибки измерения [latex]dx[/latex]
- относительная ошибка
- при абсолютной ошибке [латекс]\Delta q[/латекс] для определенного количества [латекс]\фракция {\Delta q}{q}[/латекс] является относительной ошибкой.
Leave A Comment