В треугольнике одна сторона: Решение на Задание 367 из ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н.Я

в равнобедренном треугольнике одна сторона равна 16 см, другая-8см. Найдите периметр треугольника — вопрос №1833773

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

У Красной Шапочки в корзине. ..

сделать синтаксический разбор предложения: Шла весной по льду свинья

Решено

Помогите, пожалуйста!!! Очень важно!!! 1)В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с черным и зеленым чаем, одинаковые на вид, причем пакетиков с черным чаем в 9 раз больше, чем с зеленым. Найдите

На пасеке было 7 полных,7наполовину наполненных медом и 7 пустых бочонков.Трое покупателей купили все бочонки и разделили их так,что каждому досталось одинаковое количество мёда и бочонков.Как они

одна стрекоза летит со скоростью 12 м / с и догоняет другую , которая летит со скоростью 10 м /с . вначале расстояние между ними было 6 метров через сколько секунд первая стрекоза догонит вторую

Пользуйтесь нашим приложением

Треугольник вписанный в окружность — формулы, свойства, примеры

Главная » геометрия

Обновлено 06. 03.2022

Содержание

1. Определение
2. Формулы
3. Радиус вписанной окружности в треугольник
4. Радиус описанной окружности около треугольника
5. Площадь треугольника
6. Периметр треугольника
7. Сторона треугольника
8. Средняя линия треугольника
9. Высота треугольника
10. Свойства
11. Доказательство

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

   \[ r = \frac{S}{(a+b+c)/2} \]

2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны площадь и периметр:
   

   \[ r = \frac{S}{\frac{1}{2}P} \]

3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны полупериметр и все стороны:
   

   \[ r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

   \[ R = \frac{AC}{2 \sin \angle B} \]

2. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и площадь:
   

   \[ R = \frac{abc}{4S} \]

3. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и полупериметр:

   \[ R = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника. 2}{2\cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} \]

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin \angle C \]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1.  Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

   \[ P = a + b + c \]

2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известна
   площадь и радиус вписанной окружности:
   

   \[ P = \frac{2S}{r} \]

3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и угол между ними:

   \[ P = \sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) \]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника. 2-2bc \cdot \cos \alpha}}{2} \]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

   \[ h = \frac{2S}{a} \]

2. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен сторона и синус угла прилежащего
   к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

   \[ h = b \cdot \sin \alpha \]

3. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен радиус описанной окружности и
   две стороны, ни одна из которых не является основанием:

   \[ h = \frac{bc}{2R} \]

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Дано: окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

Доказать: окружность описана
около треугольника.

Доказательство:

1.  Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2.  O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

Следовательно: окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Как найти длину стороны прямоугольного треугольника

Все ресурсы по базовой геометрии

9 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

Справка по базовой геометрии » Плоская геометрия » Треугольники » Прямоугольные треугольники » Как найти длину стороны прямоугольного треугольника

 

Какова длина оставшейся стороны прямоугольного треугольника?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Переформулируйте теорему Пифагора, чтобы найти недостающую сторону. Теорема Пифагора:

 где – гипотенуза, а – стороны.

Сообщить об ошибке

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 дм, а катет равен 10 дм. Чему равна сумма двух самых коротких сторон?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Мы используем теорему Пифагора, поэтому задача для решения становится где = неизвестная длина ноги

Итак, и

Сумма двух сторон становится

Сообщить об ошибке

0 Возможные ответы 0 0

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Найдите длину неизвестной стороны прямоугольного треугольника.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нам нужно использовать теорему Пифагора, которая гласит, что .

Поскольку нам нужно найти длину «а», мы можем просто найти «а».

В нашем случае c = 12 и b = 9.

Таким образом, .

Сообщить об ошибке

Найдите недостающий катет прямоугольного треугольника, если один из катетов равен  , а гипотенуза равна .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти недостающую сторону прямоугольного треугольника, вы должны использовать одно из двух:

1. Теорема Пифагора

2. Тригонометрия.

Поскольку мы знаем только длины сторон, мы должны использовать теорему Пифагора.

a=4, b=x и c=5

Таким образом, недостающая длина стороны равна 3

Сообщить об ошибке треугольника

5 одна сторона , найдите длину другой стороны.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти длину недостающей стороны, вы можете либо воспользоваться теоремой Пифагора, либо понять, что это случай особого прямоугольного треугольника со сторонами .

Таким образом, длина другой стороны равна .

Сообщить об ошибке

Найдите длину недостающей стороны.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вспомните теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

Поскольку недостающая сторона соответствует стороне , перепишите теорему Пифагора и найдите .

Теперь подставьте значения  и  в калькулятор, чтобы найти длину стороны . Округлите до десятичных разрядов.

Сообщить об ошибке

Найдите длину недостающей стороны.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вспомните теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

Поскольку недостающая сторона соответствует стороне , перепишите теорему Пифагора и решите для .

Теперь подставьте значения  и  в калькулятор, чтобы найти длину стороны . Округлите до десятичных разрядов.

Сообщить об ошибке

Найдите длину недостающей стороны.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вспомните теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

Поскольку недостающая сторона соответствует стороне , перепишите теорему Пифагора и решите для .

Теперь подставьте значения  и  в калькулятор, чтобы найти длину стороны . Округлите до десятичных разрядов.

Сообщить об ошибке

Найдите длину недостающей стороны.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вспомните теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

Поскольку недостающая сторона соответствует стороне , перепишите теорему Пифагора и решите для .

Теперь подставьте значения  и  в калькулятор, чтобы найти длину стороны . Округлите до десятичных разрядов.

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по базовой геометрии

9 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Стороны треугольника — формула, свойства, правило, примеры

сторон треугольника — это прямые линии, которые соединяются тремя вершинами треугольника. Другими словами, мы можем сказать, что стороны треугольника — это отрезки, пересекающиеся в вершинах треугольника. Стороны прямоугольного треугольника можно найти с помощью различных методов, таких как теорема Пифагора или с помощью периметра треугольника. В случае, если некоторые углы и другие длины сторон заданы, мы можем использовать закон косинусов или закон синусов, чтобы найти длины сторон треугольника.

В этой статье мы рассмотрим понятие сторон треугольника и его формулу. Мы также обсудим свойства и правила сторон треугольника и решим несколько примеров, основанных на концепции, для лучшего понимания.

1.	Каковы стороны треугольника?
2.	Стороны треугольника Формула
3.	Стороны треугольника Свойства
4.	Правило сторон треугольника
5.	Часто задаваемые вопросы о сторонах треугольника

Каковы стороны треугольника?

У каждого треугольника три стороны и три угла. Эти стороны треугольника представляют собой отрезки прямой линии, так что две стороны встречаются в каждой вершине треугольника, образуя трехстороннюю замкнутую фигуру. В прямоугольном треугольнике каждая сторона имеет имя. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой, меньшая сторона треугольника называется основанием, а линия стояния, примыкающая к прямому углу, называется перпендикуляром. На концах каждой стороны треугольника, то есть в каждой вершине, образованы три угла. Теперь обсудим формулу, используемую для нахождения длин этих сторон.

Стороны треугольника Формула

Стороны треугольника. Формула данного треугольника для нахождения его сторон связана с тригонометрическими отношениями. К необходимым условиям относятся — одна сторона треугольника и острый угол и таким образом, мы можем узнать остальные стороны треугольника.

• В случае прямоугольного треугольника мы можем напрямую применить теорему Пифагора.
• В случае равнобедренного треугольника мы можем использовать формулу площади или периметра.
• В случае общего, некоторые из углов и некоторые длины сторон известны, мы можем использовать закон косинусов или закон синусов.

Формула сторон треугольника

1. Если нам известны угол и длина стороны прямоугольного треугольника,

• Синус θ = длина противоположной стороны / длина стороны гипотенузы
• Cos θ = длина прилегающей стороны / длина стороны гипотенузы
• Tan θ = длина противоположной стороны / длина соседней стороны

2. Закон синусов: sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

Где,

• a, b и c — стороны противоположных треугольников.
• A, B и C — соответствующие углы.

3. Закон косинусов: c ² = a ² + b ² — 2ab cos(C)

Где

• a, b и c — стороны треугольников.
• С — угол, образованный сторонами а и b.

Используем приведенные выше формулы для нахождения длины сторон треугольника в зависимости от известных величин треугольника.

Свойства сторон треугольника

Теперь, когда мы обсудили формулы для нахождения длин сторон треугольника, давайте рассмотрим некоторые важные свойства сторон треугольника:

• Сторона, противоположная наибольшему углу треугольника, равна самая длинная сторона треугольника.
• Два треугольника называются конгруэнтными, если длины соответствующих сторон треугольника равны.
• Два треугольника называются подобными, если длины соответствующих сторон треугольника пропорциональны.
• Сумма трех сторон треугольника дает периметр треугольника.
• Площадь треугольника можно рассчитать, используя три стороны треугольника (формула Герона), формула которой:
  • Площадь = √[s(s – a)(s – b)(s – c)], где a, b, c – три стороны треугольника, а s – полупериметр.

Стороны треугольника Правило

До сих пор мы обсуждали важные свойства сторон треугольника, теперь давайте разберемся с его основным правилом. Правило сторон треугольника состоит в том, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Это правило также известно как теорема о неравенстве треугольника. Отсюда следует, что у нас не может быть треугольника с длинами 3, 4, 9.как 3 + 4 = 7 < 9. Давайте посмотрим на применение сторон формулы и правила треугольника в следующем разделе.

Важные примечания о сторонах треугольника

• Стороны треугольника представляют собой прямые линии, которые соединяются тремя вершинами треугольника.
• В случае прямоугольного треугольника мы можем применить теорему Пифагора или формулу тригонометрических соотношений, чтобы найти стороны.
• Мы можем использовать закон косинусов или закон синусов, чтобы найти длины сторон треугольника.

☛ Статьи по теме:

• Типы треугольников
• Построение треугольников
• Подобные треугольники

 

1. Пример 1: Каковы стороны прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 10 дюймам, а угол при основании равен 30°?

   Решение: Найти: стороны прямоугольного парка.

   Дано,

   Гипотенуза = 10 дюймов

   Угол при основании = 30 градусов

   Используя формулу сторон треугольника,

   sin θ = длина противоположной стороны / длина стороны гипотенузы

   ⇒ sin 30° = x/10 — (Предположим, что длина противоположной стороны = x)

   ⇒ 1/2 = x/10

   ⇒ x = 5 в

   И, cos θ = длина смежной стороны / длина стороны гипотенузы

   ⇒ cos 30°= y/10 — ( Предположим, что длина смежной стороны = y)

   ⇒ √3/2 = y/10

   ⇒ y = 5√3 в

   Ответ: Остальные стороны треугольного парка равны 5 дюймам и 5√3 дюймам.

2. Пример 2: Длины двух сторон треугольника ABC равны 10 единицам и 9 единицам, а угол между ними равен 47°. Найдите длину третьей стороны треугольника.

   Решение: Чтобы найти длину третьей стороны треугольника, воспользуемся законом косинусов.

   Имеем a = 10, b = 9 и угол C = 47°. Нам нужно найти значение c. Итак, у нас

   C ² = A ² + B ² — 2AB COS (C)

   ⇒ C ² = 10 ² + ² — 2 × 107 ° CAS 97 ° CAS).

   = 100 + 81 — 180 × 0,682

   = 58,24

   ⇒ с = √58,24

   = 7,63 ед.

   Ответ: Длина третьей стороны треугольника равна 7,63 единицы.

3. Пример 3: В треугольнике ABC ∠C = 42° и ∠A = 33°, а сторона, противоположная углу C, равна 12,5 единицы. Найдите длину стороны треугольника, противоположной углу А.

   Решение: Имеем ∠C = 42° и ∠A = 33°, c = 12,5 единиц. Нам нужно найти сторону «а». Итак, по закону синусов имеем

   sinA / a = sinC / c

   ⇒ sin (33°) / a = sin (42°) / 12,5

   ⇒ 0,545 / a = 0,67 / 12,5

   ⇒ a = 12,5 × 0,545 ÷ 0,67

   = 10,17 ед.

   Ответ: Длина стороны, противоположной углу А, равна 10,17 ед.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Стороны треугольника Вопросы

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о сторонах треугольника

Какие стороны треугольника в геометрии?

Стороны треугольника представляют собой отрезки прямой линии, две стороны которых сходятся в каждой вершине треугольника, образуя трехстороннюю замкнутую фигуру.

Формула определения сторон треугольника?

Чтобы найти стороны треугольника, мы используем различные формулы в зависимости от известных значений для данного треугольника. Мы используем закон косинусов или закон синусов, если даны некоторые стороны и некоторые углы. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти стороны прямоугольного треугольника. Мы также можем использовать формулу тригонометрического отношения в случае прямоугольного треугольника.

Когда использовать формулы сторон треугольника?

Мы можем использовать формулу тригонометрических соотношений или формулу теоремы Пифагора только в случае прямоугольного треугольника, так как она включает в себя тригонометрические соотношения, применяемые для нахождения сторон данного треугольника. В случае, если некоторые углы и другие длины сторон заданы, мы можем использовать закон косинусов или закон синусов.

Как использовать формулы сторон треугольника?

Если нам известны угол и длина стороны треугольника,

• Шаг 1: Проверка типа треугольника.
• Шаг 2. Проверьте наличие известных сторон или углов.
• Шаг 3: Поместите данные значения в стороны треугольника по формуле: Синус θ = длина противоположной стороны / длина стороны гипотенузы, Cos θ = длина прилежащей стороны / длина стороны гипотенузы, Tan θ = длина противоположной стороны / Длина смежной стороны или напрямую использовать закон синуса или закон косинуса соответственно.

Каковы применения сторон формулы треугольника?

Формула для сторон треугольника имеет приложения в тригонометрии, которая также имеет множество применений в нашей повседневной жизни, от создания карт до строительства зданий.

Каковы важные свойства сторон треугольника?

Некоторые важные свойства сторон треугольника:

• Сторона, противоположная наибольшему углу треугольника, является самой длинной стороной треугольника.
• Два треугольника называются конгруэнтными, если длины соответствующих сторон треугольника равны.
• Два треугольника называются подобными, если длины соответствующих сторон треугольника пропорциональны.
• Сумма трех сторон треугольника дает периметр треугольника.

Правило сторон треугольника?

Правило сторон треугольника состоит в том, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Это правило также известно как теорема о неравенстве треугольника.