В треугольнике авс точки а1 в1 с1 середины сторон вс ас ав ан высота: В треугольнике ABC точки А1, В1 и С1 – середины… — Задание 16 ЕГЭ по математике (Планиметрическая задача)

Решение №2664 Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

Точки A₁, B₁, С₁ – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А₁СВ₁, А₁ВС₁ и В₁АС₁ пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ = АС = 17 и ВС = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А₁СВ₁, А₁ВС₁ и В₁АС₁.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Решение:

а) Пусть М – отличная от А₁точка пересечения окружностей (двух), описанных около треугольников ΔА₁ВС₁и ΔA₁CB₁.

    Четырёхугольник А₁ВС₁М вписан в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна 180°, выразим ∠А₁МС₁:

∠А₁МС₁ = 180° – ∠В

    Аналогично для четырёхугольника А₁СВ₁М:

∠А₁МВ₁ = 180° – ∠С

    Найдём ∠В₁МС₁:

∠В₁МС₁ = 360° – (∠А₁МС₁ + ∠А₁МВ₁) = 360° – ( 180° – ∠В + 180° – ∠С) = 360° – 360° + ∠В + ∠С = ∠В + ∠С

    Сумма углов любого треугольника равна 180° (ΔАВС), тогда:

∠В₁МС₁ = ∠В + ∠С = 180° – ∠А

    Т.к. у четырёхугольника В₁АС₁М сумма противоположных углов равна 180° (∠А+ ∠В₁МС₁ = 180°, а значит и ∠АС₁М + ∠АВ₁М = 180°), значит он тоже вписанный в окружность.
    Следовательно, точка М лежит и на описанной окружности (третьей) треугольника ΔB₁AC₁. Значит все три окружности пересекаются в одной точке М.
    Что и требовалось доказать.

б) АВ = АС = 17, ВС = 16, найти r окружности вписанной в ΔО₁О₂О₃, где О₁, О₂, О₃ центры окружностей описанных около А₁ВС₁, А₁СВ₁ и В₁АС₁ соответственно:

    Радиус окружности вписанной в ΔО₁О₂О₃ можно найди по формуле:

r=\frac{2\cdot S_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}{P_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}

    По условию АВ = АС, тогда и АС₁ = АВ₁, значит ΔАС₁В₁ равнобедренный ⇒ АМ диаметр окружности описанной около равнобедренного треугольника.  
    Поэтому отрезок МВ₁⊥АС (т.к. ΔАМВ₁ вписанный опирающийся на диаметр, а значит прямоугольный), значит СМ тоже диаметр (т.к. ∠МВ₁С = 90°) описанный около треугольника СВ₁А₁.
    ΔАМВ₁ = ΔСМВ₁ (МВ₁ – общая, АВ₁ = СВ₁, ∠АВ₁М = ∠СВ₁М = 90°), тогда и соответствующие стороны равны, они же диаметры окружностей:

АМ = СМ

    Аналогично для диаметров АМ и ВМ, тогда:

АМ = СМ = ВМ

    Получаем три равнобедренных треугольника ΔАМВ, ΔАМС, ВМС, у которых точки О₁, О₂, О₃ середины сторон (как центры окружностей на диаметрах), тогда О₁О₃, О₁О₂, О₂О₃ средние линии, они равны половине соответствующих оснований, найдём их:

O_{1}O_{3}=\frac{АВ}{2}=\frac{17}{2}=8,5\\O_{2}O_{3}=\frac{АС}{2}=\frac{17}{2}=8,5\\O_{1}O_{2}=\frac{ВС}{2}=\frac{16}{2}=8

    Найдём периметр ΔО₁О₂О₃:

Р_Δ = О₁О₃ + О₂О₃ + О₁О₂ = 8,5 + 8,5 + 8 = 25

    По формуле Герона найдём площадь ΔО₁О₂О₃. Полупериметр равен:

p=\frac{P_{\Delta}}{2}=\frac{25}{2}=12,5

    Площадь равна:

S_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}=\sqrt{p(p-O_{1}O_{3})(p-O_{2}O_{3})(p-O_{1}O_{2})}=\sqrt{12,5(12,5-8,5)(12,5-8,5)(12,5-8)}=\sqrt{12,5\cdot 4\cdot 4\cdot 4,5}=\sqrt{900}=30

    Найдём искомый радиус r:

r=\frac{2\cdot S_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}{P_{\Delta O_{1}O_{2}O_{3}}}=\frac{2\cdot 30}{25}=\frac{2\cdot 6}{5}=\frac{12}{5}=2,4

Ответ: б) 2,4.

Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС

Задача. Точки А₁, В₁, С₁ – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А₁СВ₁, А₁ВС₁ и В₁АС₁, пересекаются в одной точке.

б) Известно, что АВ=АС=17 и ВС=16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А₁СВ₁, А₁ВС₁ и В₁АС₁.

Решение.

Так как точки А₁, В₁, С₁ – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС, то отрезки А₁В₁, В₁С₁ и А₁С₁ являются средними линиями треугольника АВС (рис. 1).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Вследствие этого мы получаем 4 треугольника, равных между собой по трём сторонам. Нас будут интересовать 3 из них (окрашены).

Около каждого из этих треугольников описана окружность.

Центр окружности, описанной около любого треугольника – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть точка О₁ – центр окружности (рис. 2), описанной около ΔА₁СВ₁ – пересечение серединных перпендикуляров О₁Х и О₁Х₁ к сторонам А₁С и В₁С;

точка О₂ – центр окружности, описанной около ΔА₁ВС₁ – пересечение серединных перпендикуляров О₂Y и О₂Y₁ к сторонам А₁B и ВС₁. Заметим также, что точки Х, А₁ и Y делят ВС на 4 равных отрезка.

точка О₃ – центр окружности, описанной около ΔB₁AC₁ – пересечение серединных перпендикуляров О₃Z и О₃Z₁ к сторонам АB₁ и AC₁; Заметим также, что точки Х₁, В₁ и Z делят AС на 4 равных отрезка, a точки Y₁, C₁ и Z₁ делят AB на 4 равных отрезка.

а) Около равных треугольников А₁СВ₁ и A₁BC₁ будут описаны равные окружности, которые пересекаются в точках А₁ и М (рис. 3).

Общая хорда А₁М перпендикулярна линии центров О₁О₂ и проходит через точку К – середину отрезка О₁О₂. Следовательно, А₁М будет осью симметрии для этих окружностей и является серединным перпендикуляром к отрезку ВС.

Итак, А₁М Ʇ О₁О₂ и А₁М Ʇ ВС, значит, О₁О₂ || BC.

В прямоугольнике ХО₁О₂Y О₁О₂ = XY, поэтому, очевидно, что О₁О₂ = ½ ВС.

Аналогично, прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О₁ и О₃ (рис. 4), будет являться серединным перпендикуляром к стороне АС треугольника АВС, и О₁О₃ || AC и О₁О₃ = ½ АС.

Точно так же прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О₂ и О₃ будет являться серединным перпендикуляром к стороне АВ треугольника АВС, и О₂О₃ || AВ и О₂О₃ = ½АВ.

Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке, поэтому все три окружности пересекаются в точке М, ч.т.д. Точка М – центр окружности, описанной около треугольника АВС.

б) Так как длины сторон треугольника О₁О₂О₃ равны соответственно половинам сторон треугольника АВС, то Δ О₁О₂О₃ подобен ΔАВС по трём пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия 1/2. Следовательно, радиус окружности, вписанной в треугольник О₁О₂О₃ будет равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС.

Радиус окружности, вписанной в ΔАВС найдём по формуле:

По условию АВ=АС=17 и ВС=16 (рис. 5). Проведём высоту AA₁.

В равнобедренном ΔАВС высота AA₁ – медиана, поэтому, в прямоугольном ΔAА₁B гипотенуза АВ=17, катет ВA₁=8, тогда второй катет AA₁=15 (пифагорова «тройка» 8, 15, 17 или примените теорему Пифагора).

Тогда  2S = ВС ∙ AA₁ = 16 ∙ 15 = 240.

Периметр ΔАВС равен 17+17+16 = 50.

Тогда r = 240 : 50 = 4,8.

Искомый радиус вписанной окружности для Δ О₁О₂О₃ равен половине найденного радиуса вписанной окружности для ΔАВС, делим 4,8 пополам и получаем 2,4.

Ответ: 2,4. Смотреть видео решение.

 

Запись имеет метки: вписана окружность, егэ геометрия, описана окружность, планиметрия егэ

Навигация

Помогите решить задачу по геометрии | Wyzant Спросите эксперта

Геометрические полиномы Комплексные числа

Спрдало М.

спросил 29.10.19

Пусть $ABC$ — треугольник. Точки $A_1, B_1, C_1$ лежат соответственно на сторонах $BC, AC, AB$ и:

$\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{CB_1 }{B_1A} \neq 1$

Если $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1}$, докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Я нашел эту проблему в разделе, где задачи основаны на комплексных числах, сложной геометрии, многочленах,. .. Тем не менее, любое решение будет приветствоваться (особенно сложное :)). Заранее спасибо.

Если Latex не работает:

Пусть ABC — треугольник. Точки A1, B1, C1 лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB и:

AC1/C1B} = BA1/A1C = CB1/B1A, что не равно 1

Если AB/A1B1 = BC/B1C1} = CA/C1A1 докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Подписаться І 1

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Пол М. ответил 30.10.19

Репетитор

5,0 (26)

Бакалавр математики, MD

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Я тоже работал над этой проблемой до того, как Sam Z ответил на нее.

Я еще не все решил, но знаю достаточно, чтобы не согласиться с Сэмом З.

Первое неравенство говорит вам о том, что A1, B1 и C1 НЕ являются серединами сторон.

Равенство говорит вам о том, что ΔABC подобен ΔA1B1C1, потому что стороны пропорциональны.

Хорошо, я понял.

Три треугольника AB1C1, BC1A1 и CA1B1 также подобны, потому что стороны пропорциональны.

Это означает, что ∠A = ∠B = ∠C, потому что они являются соответственными углами подобных треугольников! КЭД

Голосовать за

0 голос против

Подробнее

Отчет

Сэм З. ответил 10/29/19

Репетитор

4.3 (12)

Репетитор по математике/естествознанию

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Без дисплея; Я полагаю, что 1 = средние точки. Этот равносторонний разделен на четверти. 3 угла и треугольники в центре.

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

Математическая задача: Луны Гиппократа

Вычислите сумму площадей так называемых гиппократовых лунок, которые были вырезаны над катетами прямоугольного треугольника (а = 6 см, b = 8 см). Инструкции: Сначала вычислите площадь полукруга над всеми сторонами треугольника ABC. Сравните сумму площадей полулуний с площадью треугольника ABC.

Правильный ответ:

S =  24 см ²

Пошаговое объяснение:

a=6 см b=8 см c=a2+b2

​=62+82 100406 9003 ​

см R=c/2=10/2=5 см S1​=2a⋅ b​=26⋅ 8​=24 см2 Sa=π⋅ (a/2)2/2=3,1416⋅ (6/2)2/ 2≐14,1372 см2 Sb=π⋅ (b/2)2/2=3,1416⋅ (8/2)2/2≐25,1327 см2 Sc=π⋅ R2/2=3,1416⋅ 52/2≐39,2699 см2 S2​=Sc −S1​=39,2699−24≐15,2699 см2 S=Sa+Sb−S2​=14,1372+25,1327−15,2699=24 см2 S=S1​ = 2a⋅ b​=24 см2

Вы нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

напишите нам

. Спасибо!

Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

См. также наш калькулятор прямоугольного треугольника.

Для решения этой задачи по математике вам необходимо знать следующие знания:

• геометрия
• теорема Фалеса
• арифметика 915
• сравнение
• 27 планиметрика
• теорема Пифагора
• прямоугольный треугольник
• круг
• площадь фигуры
• круговой сектор

Единицы физических величин:

• площадь

Уровень решения задачи:

• практика для 14-летних 65 15 старшая школа 9056

 

Мы рекомендуем Вы можете посмотреть это обучающее видео по этой математической задаче: видео1   видео2

• Бесконечная сумма площадей
  Равносторонний треугольник A1B1C1 построен выше высоты равностороннего треугольника ABC, построенного как. Над высотой равностороннего треугольника A1B1C1 строится треугольник A2B2C2 и так далее. Процедура повторяется непрерывно. Что такое
• Прямоугольные треугольники
  Длины соответствующих сторон двух прямоугольных треугольников относятся как 2:5. При каком отношении медианы относятся к гипотенузе этих прямоугольных треугольников? В каком отношении находятся площади этих треугольников? Меньший прямоугольный треугольник имеет катеты 6 и 8 c
• Сконструированный 8161
  Периметр прямоугольного треугольника равен 18 см. Сумма площадей квадратов, построенных над тремя его сторонами, равна 128 см². Чему равна площадь треугольника?
• Прямоугольный треугольник ABC
  Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника ABC. Если известны длины катетов, то гипотенузой будут 4 см, 5,5 см и 6,8 см.
• Квадраты рекурсии
  В квадрат ABCD вписал квадрат так, что его вершины лежат в центрах сторон квадрата ABCD. Процедура вписывания квадрата повторяется таким образом.
  Длина стороны квадрата ABCD равна а = 22 см. Вычислите: а) сумму пери
• Прямоугольный треугольник
  Прямоугольный треугольник ABC со стороной a = 19а площадь S = 95. Вычислите длины остальных сторон.
• Медианы и стороны
  Треугольник ABC в плоскости Oxy; координаты точек: A = 2,7 B = -4,3 C-6-1 Попробуйте вычислить длины всех медиан и всех сторон.
• Прямоугольный 40961
  Прямоугольный треугольник ABC имеет стороны a = 5 см, b = 8 см. Подобный треугольник A’B’C’ в 2,5 раза меньше. Вычислите, какой процент от площади треугольника ABC составляет площадь треугольника A’B’C’.
• Сумма квадратов
  Сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна 900 см². Вычислите площадь квадрата над гипотенузой треугольника.
• Построить 1
  Построить треугольник ABC, a = 7 см, b = 9 см с прямым углом C, и провести оси всех трех сторон. Измерьте длину стороны c (и напишите).
• Треугольная призма
  Вычислите поверхность треугольной призмы высотой 10 см, основание которой представляет собой треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 8 см
• Площадь RT 2
  Вычислите площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6,2 см и 9,8 см.