В правильной треугольной пирамиде sabc точка l середина ребра ac: В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC,

Контрольная работа по теме: «Многогранники»

Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа по теме: «Многогранники»»

Контрольная работа № 6 по теме: «Многогранники».

I вариант

1. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L − середина ребра AC , S − вершина. Известно, что BC = 8, а SL = 7. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 13 см и высотой 3 см. Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 8 см.

3. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см, боковое ребро равно 5 см. Найдите площади боковой и полной поверхности призмы.

II вариант

1. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L − середина ребра AC , S − вершина. Известно, что BC = 10, а SL = 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 11 см и 27 см и высотой 6 см. Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см. 

3. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см, боковое ребро равно 12 см. Найдите площади боковой и полной поверхности призмы.

Контрольная работа № 6 по теме: «Многогранники».

I вариант

1. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L − середина ребра AC , S − вершина. Известно, что BC = 8, а SL = 7. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 13 см и высотой 3 см. Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 8 см.

3. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см, боковое ребро равно 5 см. Найдите площади боковой и полной поверхности призмы.

II вариант

1. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L − середина ребра AC , S − вершина. Известно, что BC = 10, а SL = 9. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 11 см и 27 см и высотой 6 см. Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см. 

3. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см, боковое ребро равно 12 см. Найдите площади боковой и полной поверхности призмы.

Задание 8. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Стороны AB=AC=BC=6, так как треугольник ABC – равносторонний (основание правильной треугольной пирамиды). Гранями правильной треугольной пирамиды являются равнобедренные треугольники со сторонами AS=CS=BS. Тогда отрезок SL – высота треугольника ASC. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трех его треугольных граней и равна

,

откуда

.

Ответ: 45.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды равна 13. Чему будет равна площадь боковой поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 2 раза?

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

1. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , Найдите боковое ребро

2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка

3.В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , Найдите боковое ребро

4. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, , Найдите длину отрезка

5. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, =12, =18. Найдите боковое ребро

6. В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина ребра AB, S – вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

7. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

8. В правильной треугольной пирамиде

SABC точка K – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.

9.В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что =5, а =6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

10.В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что =7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

13.Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

14 .Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.

15. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

16.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания,

S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.

17.В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, вершина, , Найдите длину отрезка

18.В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, вершина, , Найдите длину отрезка

19.В правильной треугольной пирамиде SABC точка R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

20.В правильной треугольной пирамиде SABC точка N — середина ребра BC

, S — вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN.

21.В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

22.В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

23. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды равна Высота пирамиды равна Найдите длину бокового ребра

24.В правильной четырехугольной пирамиде точка − центр основания, − вершина, , Найдите длину отрезка

25.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М— середины рёбер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC.

26. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М — середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.

27. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

28.В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

29.В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 17, а сторона основания равна 8. Найдите высоту.

 

Конспект открытого занятия «Стереометрия. Объемы тел»

Муниципальное бюджетное учреждение дополнительного образования

Тёмкинский Дом творчества

Конспект открытого занятия

в творческом объединении «ПИФАГОР» 2 группа

Педагог дополнительного образования

Хохолева Светлана Анатольевна

Январь 2017

Тема занятия: Стереометрия. Объемы тел

Цель Обобщить и систематизировать знания по теме «Объемы тел».

Задачи

     Образовательные.

Повторить и систематизировать формулы для вычисления объемов многогранников и тел вращения.

Продолжить формирование навыков решения задач по теме.

     Развивающие.

Учить детей приемам мыслительной деятельности. Развивать кругозор. Развивать самостоятельность обучающихся, логическое мышление, математическую речь. Способствовать формированию интеллектуальных умений и владению анализом и синтезом, доказательством, обобщением.

     Воспитательная.

Воспитывать культуру учебного труда. Формировать объективную самооценку знаний.

Ход занятия.

I. Организационный момент.

 

II. Актуализация опорных знаний.

проблемная задача: Продавец на рынке предложил покупателям за одну цену приобретать или один арбуз диаметром 20 см, или два арбуза диаметром по 10 см. Что предпочли бы вы?

   Для того чтобы успешно решать задачи, необходимо повторить основной теоретический материал. Сегодня это формулы для вычисления объемов тел.Для этого заполним таблицы с изображением многогранников и тел вращения.( приложение 1) Необходимо возле стрелочек написать название соответствующего элемента фигуры, формулы площадей и объемов.Возникли ли у вас вопросы? Что непонятно? Остались ли у вас незаполненные поля?

   3.  А теперь перейдем к решению задач по готовым чертежам с целью закрепления формул для вычисления объемов геометрических тел (каждый обучающийся выбирает карточку с задачей и решает ее, затем объясняет остальным свое решение).

Задача 1 Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, имеют длины 3, 4 и 12. Най­ди­те длину диа­го­на­ли этого пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 13

Задача 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 5, а вы­со­та – 10.Ответ: 300

Задача 3    В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка L — се­ре­ди­на ребра AC, S — вер­ши­на. Из­вест­но, что BC = 6, а SL = 5. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.Ответ: 45

Задача 4. Радиус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 3, вы­со­та равна 2. Най­ди­те объем ци­лин­дра.Ответ: 18

Задача5 . Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на . Ответ: 128

I I I. Деятельность обучающихся по применению знаний и умений при решений задач из Банка открытых заданий ЕГЭ по математике

Мы знаем, что основная трудность, с которой     приходится сталкиваться при подготовке к экзамену, — нетипичность формулировок заданий в вариантах ЕГЭ. Поэтому сегодня мы сделаем акцент на решении задач из сборника для подготовки к экзамену.

Наибольшее затруднение вызывают задачи на комбинацию тел. Разберем некоторые из них.

Задача 1 . Шар, объём ко­то­ро­го равен 6π, впи­сан в куб. Най­ди­те объём куба.Ответ: 36

Задача 2 Конус опи­сан около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 4 и вы­со­той 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .Ответ: 16

Задача 3В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.Ответ: 4

Задача 4 Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 4. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 16. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ответ: 0,25

Задача 5 В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Ответ: 125

I V. Самостоятельная работа учащихся.

Предлагаю обучающимся подборку задач для самостоятельной работы.

( приложение 2 )В зависимости от оставшегося времени занятия, решаем несколько задач

V . Итог занятия.

 

Еще раз просматриваем таблицы с формулами. Ответы на вопросы обучающихся.

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

площадь поверхности______________

объем___________________________

 

 

площадь поверхности______________

объем___________________________

диагональ_______________________

площадь поверхности______________

объем___________________________

 

площадь поверхности______________

объем___________________________

площадь поверхности______________

объем___________________________

площадь поверхности______________

объем___________________________

площадь поверхности______________

объем___________________________

 

 

Приложение 2

1. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем куба, если его ребра уве­ли­чить в три раза?

Ответ: 27

2. Одна из гра­ней пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да — квад­рат. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна  и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью этой грани угол 45. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 4

3. Най­ди­те объем про­стран­ствен­но­го кре­ста, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке и со­став­лен­но­го из еди­нич­ных кубов.

Ответ: 7

4 Объём куба равен 12. Най­ди­те объём тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от куба плос-ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух рёбер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны, и парал-лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны.

Ответ: 1,5

5 Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да  равен 9. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды .

Ответ: 1,5

6 От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 12, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Ответ: 3

7. Объем пер­во­го ци­лин­дра равен 12 м3. У вто­ро­го ци­лин­дра вы­со­та в три раза боль­ше, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния — в два раза мень­ше, чем у пер­во­го. Най­ди­те объем вто­ро­го ци­лин­дра. Ответ дайте в ку­би­че­ских мет­рах.

Ответ: 9

8. Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­та умень­шит­ся в 3 раза, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния оста­нет­ся преж­ним?

Ответ: 3

9. Най­ди­те объем  части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ответ: 216

10. Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Ответ: 12

Задачи взяты с сайта https://ege.sdamgia.ru /

В правильной треугольной пирамиде sabc точка l.

2) Площадь осевого сечения цилиндра 12√π дм квадратных,а площадь основания равна 64 дм квадратных.Найдите высоту цилиндра.
3)Отрезок СД равен 25 см,его концы лежат на разных окружностях основания цилиндра.Найдите расстояние от отрезка СД до основания цилиндра,если его высота 7 см,а диаметр основания 26.

6) Отрезок ДЕ-хорда основания конуса,которая удалена от оси конуса 9 см.Отрезок КО-высота конуса,причем КО=3√3 см.Найдите расстояние от точки конуса О(центр основания конуса) до плоскости,проходящей через точки Д, Е и К.
7) Сфера w проходит через вершины квадрата CDEF,сторона которого равна 18 см. Найдите расстояние от центра сферы-точки О до плоскости квадрата,если сферы ОЕ образует с плоскостью квадрата угол равный 30 градусам.
8)Стороны треугольника МNK касаются шара.Найдите радиус шара МК=9,МN=13,KN=14 и расстояние от центра шара О до плоскости MNK равно √6

1 точки А и В принадлежат прямой с.Различны ли прямые АВ и с? 2 верно ли утверждение:на полупрямой от данной точки можно отложить

только один отрезок равный данному. Объясните ответ

3 Сумма двух углов равна 178 градусов. Докажите, что эти углы не могут быть смежными.

4 Длина отрезка АВ равна 5 см. на отрезке отмечены точки М и Р так, что АМ=3,1 см и РВ=2,6 см. Найдите длину отрезка МР.

5 Может ли луч проходить между сторонами угла (аб), если угол (ас)=27 градусов, угол (сд)=73 градуса, угол (аб)=70 градусов

Пирамида

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

В правильной четырехугольной пирамиде точка

центр основания, – вершина,. Найдите боковое ребро

В правильной четырехугольной пирамиде точка 7. – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка.

В правильной четырехугольной пирамиде точка 8. – центр основания, – вершина,. Найдите боковое ребро,.

В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр 9.

основания, — вершина,. Найдите длину отрезка,.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина 11.

ребра AB, S – вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45.

Найдите длину отрезка SM.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина 12.

ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина 13.

ребра BC, S – вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54.

Найдите длину ребра AC.

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды 16.

равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды 17.

равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

18. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все 19.

его ребра увеличить в два раза?

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 20.

4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна.

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания 22.

которой равны 2, а объем равен.

23. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань 25.

перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

– &nbsp– &nbsp–

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

30. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

31. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

32. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

– &nbsp– &nbsp–

52. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M.

Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.

53. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M.

Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

54. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке.

Объем пирамиды равен,. Найдите площадь треугольника.

55. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно 5, сторона основания равна. Найдите объём пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите 56.

площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

– &nbsp– &nbsp–

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М- середины рёбер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М — середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.

Даны две правильные четырёхугольные пирамиды.

Объём первой пирамиды равен 16. У второй пирамиды высота в 2 раза больше, а сторона основания в 1,5 раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

63. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

64. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти ст Ключ № п/п № задания Ответ 7,5 4,5 1,5 0,25 4,5 0,25 0,25 6,5

Похожие работы:

«Отчет по специальной инициативе № 19 Новые НПОпартнеры в реформировании системы здравоохранения в Центральной Азии: Ассоциации групп семейных врачей в Казахстане и Кыргызстане Июль 1999 г.Авторы: Дерик В. Бринкерхофф Абт Ассошиейтс Инк. Марк Макюин Абт Ассошиейтс Инк. Партнерство в р…»

«ЕПИСКОП КАНЕВСКИЙ СИЛЬВЕСТР (Малеванский, 1828–1908) Основные даты жизни 1828 – родился в Волынской епархии 1847 – окончание Волынской семинарии 1848 – сельский приходской священник 1853 – поступление в КДА 1856 – монашеский постриг 1859 – помощник инспектора КДА 1862 – инспектор КДА 1883 – ректор КДА 1885 – епископская хиротони…»

«Программа потребительского кредитования «ОВЕРДРАФТ ПЛЮС» ООО «Земский банк» Настоящая программа разработана в соответствии с действующим законодательством Российской Федерации, Положением ООО «Земский банк» о кредитовании физических лиц и устанавливает условия предос…»

«Инструкция пользователя Altronics AL-900 KIT КОМПЛЕКТ БЕСПРОВОДНОЙ GSM СИГНАЛИЗАЦИИ С ВИДЕОКАМЕРОЙ www.sarutino.com.ua Современная система сигнализации и видеонаблюдения основана на передаче информации через GSM канал, автоматически делает с…»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра электрических машин Е.Т. ЧЕРНОВ, О.Е. ЧЕРНОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИГАТЕЛЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний к лабораторным работам по дисциплине «Электрические машины и…» описываемое в нём программное обеспечение, предоставляется в к…»напишите нам , мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Задание.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием – сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Решение:

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

Так как точки M и N – середины ребер SA и SB, то MN – средняя линия треугольника ABS, то есть MN II AB. AB лежит в плоскости (ABC), следовательно MN II (ABC), поэтому сечение (плоскость α) пересекает плоскость ABC по прямой PQ, параллельной MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию MNQP.

Так как SABC – правильная пирамида, то точка О – центр основания пирамиды, СЕ – медиана треугольника ABC. Медиана СЕ треугольника ABC делится точкой О в отношении 2:1.

Рассмотрим треугольник ABS. SЕ – медиана треугольника ABS. Точка К – точка пересечения плоскости MNQ и прямой MN, а также точка К – середина SЕ. Точка L – точка пересечения плоскости MNQ и прямой PQ.

Плоскость SCE пересекает плоскость MNQ по прямой KL. Плоскости SCE и MNQ перпендикулярны плоскости ABC. Следовательно, KL перпендикулярна плоскости основания ABC.

SO перпендикулярна плоскости основания ABC. Значит, KL II SO. Точка К – середина SЕ, тогда точка L – середина ЕО. KL – средняя линия треугольника SOE.

Итак, получим

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием – сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Объем пирамиды равен

Плоскость MNQ перпендикулярна плоскости ABC, следовательно CL перпендикулярна плоскости MNQ и является высотой пирамиды CMNQP, т.е. CL = h.

Секущая плоскость представляет собой трапецию MNQP, которая является основанием пирамиды CMNQP, т.е. S осн = S MNQP .

Площадь трапеции MNQP равна

MN – средняя линия треугольника ABC.

Треугольники CPQ и ABC подобны, тогда

KL – высота трапеции MNPQ. KL – средняя линия треугольника SOE.

автореферат

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГАОУ ВО «Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова»

Институт математики и информатики

Кафедра методики преподавания математики

МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «МНОГОГРАННИКИ»

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММЫAUTOPLAY MEDIA STUDIO

Направление: 44.04.01 Педагогическое образование

Магистерская программа «Математика в профильном образовании»

Автореферат

Выполнила: студентка 3 курса

группы М-МПО-14 ИМИ СВФУ

Кузьмина Татьяна Ивановна

Руководитель: доцент кафедры

МПМ, к.ф.-м.н., доцент

Попова Алена Михайловна

Якутск – 2016 г.

Общая характеристика работы

Система образования в России вступила в эпоху фундаментальных перемен, характеризующихся новым пониманием целей и ценностей образования, осознанием, новым концептуальным подходом к разработке и использованию технологий обучения. Реализация многих из стоящих перед системой образования задач невозможна без использования современных методов и средств информатизации.

На современном этапе развития образования одним из способов активизации учебной деятельности обучаемых является внедрение в образовательный процесс электронных образовательных ресурсов, например, электронных учебных пособий. В работах И.Г. Захарова, Г.И. Коджаспирова, Г.Б. Кондакова, Н.В. Никонова, Т.С. Юрьева и др. отмечается, что это способствует развитию самостоятельной, поисковой деятельности обучаемых, повышению их познавательного интереса.

Электронные учебные пособия применимы и для стандартной формы обучения, например, как прекрасный иллюстративный материал на уроках геометрии. Образование меняется и качественно. Степень восприятия теперь определяется не только качеством электронного пособия, но и способностью обучающегося учиться. Исключительно высокая степень наглядности представленного материала в электронных учебных пособиях, взаимосвязь различных компонентов, комплексность и интерактивность делают программы незаменимыми помощниками, как для обучаемых, так и для обучающих. Вопросами методики разработки и использования электронных образовательных ресурсов в учебном процессе занимались В.П. Демкин, Е.В. Ефимова, Т.А. Королевич, Н.Ю. Королева, Г.В. Можаева, А.В. Осин, А.А. Приборович, Е.В. Ширшов и др.

При создании электронных учебных пособий используется современная компьютерная информационная технология – мультимедиа, позволяющая объединить в компьютерной системе текст, звук, видеоизображение, графическое изображение и анимацию. Комплексные занятия с привлечением аудиовизуальных материалов, представленных на компьютере, создают условия для расширения диапазонов видов образовательной деятельности обучающих, стимулируют их способности к образованию и самообразованию.

Учитывая актуальность данной проблемы, нами разработано мультимедийное пособие по теме «Многогранники» для учащихся 10 классов.

Тема исследования: методическое обеспечение изучения темы «Многогранники» с использованием программы AutoplayMediaStudio.

Цель исследования: разработка методического обеспечения мультимедийного пособия по теме «Многогранники» для учащихся 10 классов.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в школе.

Предмет исследования: использование мультимедийного пособия «Многогранники» в обучении геометрии в 10 классе.

Гипотеза: использование разработанного мультимедийного пособия на уроке геометрии при изучении темы «Многогранники»:

поможет учителю методическим обеспечением по теме «Многогранники»;

способствует повышению знаний, умений и навыков.

В соответствии с целью, объектом, предметом исследования выдвигаются следующие задачиисследования:

проанализировать психолого-педагогическую, научно-методическую и учебную литературы по применению мультимедийного пособия на уроках геометрии;

определить требования к созданию электронного мультимедийного пособия и изучить программу Autoplay Media Studio;

разработать мультимедийное пособие по теме «Многогранники»;

провести экспериментальную работу по применению мультимедийного пособия «Многогранники» и сделать выводы.

В процессе работы использованы следующиеметоды исследования: теоретический анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы; изучение педагогического опыта; эмпирический: наблюдение, анкетирование, контрольная работа; разработка методических рекомендаций по использованию пособия; проведение и анализ экспериментальной работы.

Практическая значимость: данная работа может быть использована как наглядное пособие при изучении многогранников, как дидактический и методический материал на факультативных (кружковых), элективных занятиях для учащихся, которые интересуются геометрией, как дополнение к традиционному уроку.

Опытно-экспериментальной базой исследования являются МОБУ СОШ №1 и МОБУ СОШ №20 г. Якутска.

Структура магистерской диссертационной работы состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.

Во введении обоснована актуальность данной темы, выбраны объекты и предмет исследования, поставлены цели работы, сформулирована гипотеза, а также определены задачи. В первой главе «Теоретические основы использования электронных мультимедийных пособий при изучении темы «Многогранники»» рассматривается методика изучения темы «Многогранники» в школьном курсе геометрии, психолого-педагогические особенности использования ИКТ в обучении геометрии, также требования к созданию электронного мультимедийного пособия и общие сведения о программе Autoplay Media Studio. Анализ литературы показал, что при проведении урока с использованием мультимедийных технологий повышается эмоциональное восприятие и развивается все виды мышления у учащихся, обеспечивается более эффективное достижение развивающих и воспитательных целей, которые учитель ставит на уроках геометрии. Информационная технология, используемая в данном комплексе, органично включается в привычную структуру урока математики, облегчает труд учителя и делает обучение современным и привлекательным, не требуя отказа от традиционных приемов и методов обучения. Программу AutoPlayMediaStudio, на основе которой сделано пособие, можно использовать для создания мультимедийных пособий, не только по геометрии, но и по всем предметам. Программа проста в использовании, в ней может разобраться ученик сам, если учитель немного направит его действия.

Во второй главе описывается структура и содержание мультимедийного пособия, предложены методические рекомендации по его использованию, описан сам педагогический эксперимент по данной теме. Рассмотрев и проанализировав требования по созданию электронного мультимедийного пособия, разработано мультимедийное пособие. Данное пособие является вспомогательным пособием к учебнику 10-11 класса по геометрии Л.С. Атанасяна по теме «Многогранники». В пособии включены тематическое планирование по геометрии 10 класса, материалы для уроков, технологические карты, тесты, задачи по уровням, методические рекомендации.

В соответствии с учебно-тематическим планом составлены материалы для уроков по темам (14 часов).

Кроме этого отдельно включены технологические карты уроков на основе деятельностного подхода (в условиях внедрения ФГОС), как помощь учителю. Обучение с использованием технологической карты позволяет организовать эффективный учебный процесс, обеспечить реализацию предметных, метапредметных и личностных умений (универсальных учебных действий), в соответствии с требованиями ФГОС второго поколения.

Для проверки теоретического материала предложены тесты в двух вариантах по темам «Призма», «Пирамида», «Параллелепипед и куб», которые содержат по пять задач с выбором ответа. Данные тесты могут использоваться в конце каждой темы и рассчитаны на 10-15 минут. По теме «Многогранники» – тест обобщение, в котором предлагается 24 теоретических вопроса. В пособии предусмотрено два варианта подачи тестового материала: в формате Word (для индивидуальной работы) и в формате My test (для фронтальной работы в классе).

Для более глубокого изучения тем и подготовки к выпускным экзаменам подобраны задачи с учетом требований знаний, умений и навыков на основе обязательного минимума содержания основных образовательных программ и требований к уровню подготовки выпускников средней (базовый уровень) и необходимые элементы содержания за курс основной школы.

Рассмотрим урок по теме «Площадь поверхности пирамиды». Он содержит карту урока, презентацию, видеоурок, тест и задачи.

В ходе урока на различных этапах используется слайдовые презентации как дополнительный наглядный материал.

На этапе закрепления предлагается применить видеоурок, который включен в методическое обеспечение данного урока. Такие материалы помогут учителю наглядно показать учебный материал на своих уроках, а ученику самостоятельно изучить необходимые темы. Видео уроки взяты с диска «Видеоуроки по геометрии 10 класс», автор Игорь Жаборовский.

В карте урока включена технологическая карта, которая позволяет хорошо продемонстрировать деятельностную структуру урока.

Технологическая карта урока «Площадь поверхности пирамиды»

Тема		Площадь поверхности пирамиды
Цель темы		научить на конкретных моделях вычислять площадь основания, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности пирамиды.
Основное содержание темы, термины и понятия		Пирамида, правильная пирамида, боковое ребро, высота, апофема, основание, боковая грань, площадь основания, боковой грани, боковой поверхности правильной пирамиды, полной поверхности пирамиды.
Планируемый результат		Предметные умения	УУД
		знать определения пирамиды, виды пирамид, элементы пирамиды; уметь изображать модели пирамид; уметь вычислять площадь поверхности пирамиды.	Познавательные: уметь ставить цели и находить пути решения; уметь соотносить трехмерные объекты с их описанием, изображением; уметь изображать пирамиду, выполнять чертежи по условию задачи. Коммуникативные: уметь слушать учителя и других учащихся; уметь работать в паре и группе; уметь уважительно относиться к точке зрения других. Регулятивные: уметь оценивать результаты своей деятельности; уметь выполнять задания в соответствии с заданными правилами и временем; уметь контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности. Личностные: уметь точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; уметь развивать интеллектуальные способности в процессе решения задач.
Организация пространства
Метапредметные	Формы		Ресурсы
Черчение, история.	Индивидуальная, парная, фронтальная.		Учебник Л,С, Атанасян, раздаточный материал, инструкции по выполнению л/р, Дополнительная литература: энциклопедия, модели многогранников, презентация.

ХОД УРОКА

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	Формирование УУД
Организационный момент	Приветствие учителя, положительный эмоциональный настрой учащихся	Настраиваются на урок, проверяют готовность своего рабочего места
Актуализация субъектного опыта учащихся	Направить обучающихся на самостоятельное определение целей и задач занятия. Отвечаем на вопросы: Что называется пирамидой, правильной пирамидой? (Слайд 1-2) Показать на модели и дать определение элементов пирамиды? Слайд 3 3. Назовите виды пирамид. Слайд 4-5 4. Как проходит высота, если боковые ребра равны? Слайд 6 5.1.Опишите пирамиду на рисунке (полное название) 2.Назовите основание, вершины, рёбра, грани 3.Укажите высоту пирамиды 4.Перечислите свойства Слайд 7	Отвечают на вопрос учителя. Слушают предложения учеников. Пирамида — это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Пирамида правильная, если в основании правильный многоугольник и высота проходит через центр основания. Показывают на модели призмы ее элементы. Четырехугольная пирамида. В основании лежит четырехугольник АВСD; рёбра AS, BS, DS, CS; грани ABS, ADS, DCS,BCS. высота пирамиды SO; Все грани равны. Есть одна апофема – SK.	Коммуникативные: уметь оформлять свои мысли в устной форме, уметь формулировать и аргументировать собственные суждения, уметь слушать учителя и других учащихся. Личностные: уметь точно и грамотно излагать свои мысли в устной речи.

Целеполагание и проблематизация	Определение темы урока. Что мы еще не выяснили у пирамиды? Как вычислить площадь боковой поверхности пирамиды? Как вычислить площадь полной поверхности пирамиды? Тема урока «Вычисление площади поверхности пирамиды»	Отвечают на вопросы. Записывают тему урока.	Познавательные: вести самостоятельный поиск.
Изучение нового материала	Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: S=Ph Докозательство изучите самостоятельно с учбника на стр. 70	Записывают в тетради теорему вычисления площади боковой поверхности пирамиды. Читают и делают краткую запись доказательства теоремы.	Регулятивные: уметь выполнять задания в соответствии с заданными правилами. Познавательные: ввести отбор информации, выделять главное, сравнивать, обобщать, анализировать.
Первичное закрепление	Учитель раздает модели, проводит инструктаж по выполнению практической работы, организует работу в парах, консультирует работу с инструкционной картой по выполнению практической работы. Выполнение работы: 1.Построить изображение пирамиды, дать полное название. 2.Произвести необходимые измерения, нанести их на чертёж. Указать её элементы. Вычислить какая фигура лежит в основании пирамиды: а)выяснить какая фигура лежит в основании пирамиды, б)подобрать нужную форму, в)подставить данные, г)произвести вычисления. На помощь предлагается просмотр видеоурока. 4.Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды: а) установить вид пирамиды, б) применить нужную формулу или вычислять площадь каждой боковой грани, в) подставить данные, г)произвести вычисления. 5.Вычислить площадь полной поверхности пирамиды.	Выбирают какую пирамиду построить. Изучают инструкцию практической работы. Выполняют задание. Строят в тетрадях чертеж полученной модели и дают полное название. Производят необходимые измерения, наносят на чертеж. На чертеже указывают элементы пирамиды. Смотрят видеоурок. Делают нужные записи. Перерабатывают информацию из одной формы в другую. Представляют в виде формул. Делают замеры модели. Подставляют значение в формулы и вычисляют.	Предметные: умение конструировать модель пирамиды. Познавательные: уметь устанавливать причинно-следственные связи. Регулятивные: уметь контролировать и оценивать процесс и результаты своей деятельности. Личностные: уметь развивать интеллектуальные способности в процессе решения задач.
Закрепление	Дополнительная информация. Слайд 9-13 1.Творческое задание: Вычислить площадь поверхности пирамиды Хеопса, если сторона основания- 230,35 м высота- 146,56 м пирамида имеет вид правильной четырёхугольной пирамиды. 2. Выполните тест	Работа в парах. По стороне основания находят периметр и подставляют в формулу вычисления площади поверхности пирамиды и находят ответ. Перекрестная проверка. Выполняют тест самостоятельно.	Коммуникативные: уметь работать в паре, уметь уважительно относиться к точке зрения других. Личностные: уметь развивать интеллектуальные способности в процессе решения задач.

Рефлексия учебной деятельности	Что нового вы узнали на уроке? -Какая проблема возникала во время проведения практической работы, как вы ее устранили? — Как вы оцените свою работу на уроке?	Отвечают на вопросы учителя. Оценивают правильность выполненных действий, вносят необходимые результаты и корректируют их.	Личностные: уметь точно и грамотно излагать свои мысли в устной речи. Регулятивные: уметь оценивать результаты своей деятельности.
Информация о домашнем задании	Подготовить сообщения по теме «Правильные многогранники».	Записывают домашнее задание.

Для проверки усвоения пройденного материала в конце урока проводится тест на два варианта. Например, вариант первый

Какие из данных многогранников являются пирамидами? 1) а, б, в 2) б, г 3) а, г 4) а, б, г Высота правильной четырехугольной пирамидыMABCD равна 5, сторона основания равна 4. Найдите апофему пирамиды 2) 3 3) 4) Сторона основания правильной треугольной пирамиды SKLM равна 12, боковое ребро 10. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 72 2) 144 3) 180 4) 288 Апофема правильной шестиугольной пирамидыKABCDEF равна 6, радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, равен 5. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 1)55 2)110 3) 108 4) 216 Высота правильной треугольной пирамиды SABC и сторона основания равны 6 и 8 соответственно. Найдите тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. 1)3 2)4 3) 4)

Дополнительно к материалам урока предлагаются задачи, которые подобраны с учетом уровня подготовки выпускников средней школы.

Базовый уровень
1	В правильной треугольной пирамиде SABC точка L – середина ребра AC,S – вершина. Известно, что BC= 6, а SL= 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2	В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина ребра BC,S – вершина. Известно, что SK=4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.
3	Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.
4	Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?
5	В правильной треугольной пирамиде SABCQ – середина ребра AB,S – вершина. Известно, что BC=7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка SQ.
Профильный уровень
1	Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
2	В правильной треугольной пирамиде SABC точка M середина ребра AB,S– вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезкаSM.

3	Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
4	В правильной треугольной пирамидеSABC,P – середина ребра AB,S – вершина. Известно, что BC=5, а SP=6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
5	В правильной треугольной пирамиде SABCN – середина ребра BC,S – вершина. Известно, что AB=1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN.

Разноуровневые дифференцированные задачи позволяют организовать учебный процесс на основе учета индивидуальных особенностей личности, т.е. на уровне его возможностей и способностей. Рассмотренный выше урок позволяет показать методическое обеспечение данного пособия по каждому уроку.

Мультимедийное пособие «Многогранники» размещен наCD-диске. Пособие подлежит к свободному распространению и использованию содержащих материалов. Данное пособие представляет собой программно-методическое обеспечение, позволяющее реализовать полный цикл обучения по теме «Многогранники». Использование данного пособия в практике педагогов создает условия для наиболее успешной реализации требований ФГОС и является основой создания активно-деятельностной познавательной среды для обучающихся. Пособие «Многогранники» могут использовать при обучении по любому учебно-методическому комплексу, входящему в Федеральный перечень учебных изданий, рекомендованных к использованию в учебном процессе.

Приведем варианты использования мультимедийного пособия для проведения уроков:

Вариант 1. Предложенное методическое обеспечения мультимедийного пособия можно применять \ изменять \ дополнять по собственному усмотрению учителя.

Вариант 2. Учащимся на дом дается видеоматериал для самостоятельного просмотра, затем на уроке проверяется теоретическая часть с помощью опроса, математического диктанта либо выступления.

Вариант 3. На уроках комбинированного типа с помощью мультимедийного пособия можно осуществляется повторение и обобщение изученного материала. Такой вариант предпочтительнее для уроков итогового повторения, когда по ходу урока требуется «пролистать» содержание нескольких уроков, повторить наиболее важные моменты.

Вариант 4. Мультимедийное пособие возможно использовать в качестве дополнительного материала в свободное от учебы время. Также можно использовать его как «электронного» репетитора.

Вариант 5. Мультимедийное пособие можно использовать во время консультаций для подготовки к единому государственному экзамену. Предложенные задачи предусмотрены для такого варианта и специально подобраны с учетом требований знаний, умений и навыков на основе обязательного минимума содержания основных образовательных программ и требований к уровню подготовки выпускников средней основной школы.

Вариант 6. Если предлагаемый тематический план не совпадает с Вашими планами, например вместо 14 часов 12, то рекомендуем предложить учащимся самостоятельно изучить тему «Симметрия в пространстве» и объединить контрольную работу и зачет в один урок.

Вариант 7. Принято, перед изучением темы «Объемы» в 11 классе, повторить тему «Многогранники», для этого рекомендуется дать пособие учащимся для самостоятельного повторения и проверить усвоенный материал с помощью теста.

Вариант 8. Мультимедийное пособие используется как средство контроля усвоения учащимися понятий. Процент правильно решенных задач дает ученику представление о том, как он усвоил учебный материал, какие надо впоследствии доработать. Таким образом, ученик в какой-то мере может управлять процессом учения.

Вариант 9. Мультимедийное пособие можно использовать не только на уроках, но и на факультативных занятиях. Недостаток времени для более глубокого изучения материала можно восполнить на факультативных занятиях.

Вариант 10. Учитель может использовать методическое обеспечение мультимедийного пособия, как репетитор. Репетитор может использовать из данного пособия как тесты, так и дополнительные задачи. Также видеоматериалы для ускоренного повторения теоретического материала.

Созданное мультимедийное пособие «Многогранники» содержит организационные и систематизированные теоретические, практические, контролирующие материалы, построенные на принципах интерактивности, адаптивности, информационной открытости.

Для проверки выдвинутых предположений и решения поставленных задач было проведено экспериментальное исследование, гдеоценка результатов проводилась по нескольким показателям: уровень выполнения учащимися обоих групп итоговых контрольных работ и тестирования, с целью определения достигнутых знаний, умений и навыков учащихся.

На констатирующем этапе в начале эксперимента проведен выбор и выравнивание контрольных и экспериментальных групп на основе проведения входного контроля, а также определение варьируемых и неварьируемых условий эксперимента. В связи с тем, что в школе №20 нет параллельных 10 классов, для сравнения был выбран 10 класс из школы №1. С целью определения начального уровня обученности учащихся взяты оценки первого полугодия по дисциплине «Геометрия». В качестве варьируемого условия эксперимента рассмотрено средство обучения: в экспериментальной группе средством изучения учебного материала выступает мультимедийное пособие, а в контрольной группе – традиционный учебник (учебное пособие или другое традиционное средство обучения). В качестве неварьируемых условий проведения эксперимента рассматривается – изучение одинакового для контрольной и экспериментальной групп объема учебной информации.

Проверку их однородности и тем самым правильность выборки осуществляется с использованием t-критерия Стьюдента (равенство средних). В данном случае предполагается выдвижение двух гипотез: нулевой гипотезы (Н_о), согласно которой различия уровня подготовленности обучающихся недостаточно значительны и поэтому распределение оценок относится к одной генеральной совокупности, т. е. выборка произведена правильно, и альтернативной гипотезы (H₁), согласно которой различия между обоими распределениями достаточно значительны и связаны с малым объемом выборки.

Наблюдаемое значение статистики вычисляем по формуле:

где и – среднее значение первой и второй выборок; и – дисперсия ( среднее квадратичное отклонение) соответственно для первой и второй выборок; и – количество оценок в первой и второй выборках.

Наблюдаемое значение равно Сравниваем с критическим значением, которое определяется из таблицы критических значений t-критерия Стьюдента при уровне значимости и степени свободы : . Так как , можно сделать вывод о том, что нулевая гипотеза не отвергается и обе выборки относятся к одной генеральной совокупности, т. е. они однородны для уровня достоверности 0,05 (вероятность 5 %).

Также на первом этапе эксперимента проведено анкетирование учащихся с целью узнать их отношение к урокам с использованием ИКТ. В опросе приняли участие 44 учащихся 10 классов выбранных школ. Полученный в ходе анкетирования материал позволяет сделать вывод о том, что учащимся нравятся уроки, где они работают самостоятельно. По мнению учащихся, уроки с применением ИКТ, повышают интерес к предмету и тем самым, их успеваемость. Большинство опрошенных пользуются образовательными ресурсами для самостоятельной подготовки к урокам. Практически все учащиеся хотели бы иметь возможность заново просматривать пройденные уроки

Тем самым, мы пришли к выводу, что необходимо создать такое средство, с помощью которого учащиеся и учителя могли бы пользоваться одновременно для изучения, углубления, повторения учебного материала.

Формирующий этап

Второй этап включает собственно проведение педагогического эксперимента. С учетом результатов констатирующего этапа разработано мультимедийное пособие по теме «Многогранники». Для разработки пособия подбиралась соответствующая программа и методические материалы. При выборе программы учитывались следующие основные требования: объем реализуемого содержания обучения, доступность, наглядность и т. п., совокупность программных средств, реализующих обработку аудиовизуальной информации с использованием анимации, графики, фотографий, видео, звука и текста.

Во втором полугодии 2015-2016 учебного года (с 02.03.16 по 27.04.16) в экспериментальной группе (учащиеся 10 классов муниципального общеобразовательного учреждения СОШ №20) обучение проводилось с использованием разработанного пособия, в контрольной – с применением традиционных методик обучения. В ходе эксперимента в пособие вносились изменения с учетом особенностей учащихся, перерабатывалась и дополнялась система заданий.

Контролирующий этап

На заключительном этапе эксперимента оценка результатов проводилась по нескольким показателям: уровень выполнения учащимися обоих групп итоговых контрольных работ и тестирования, с целью определения достигнутых знаний, умений и навыков учащихся, а так же анкетирование учителей, с целью узнать их мнение о разработанном мультимедийном пособии.

Тестирование проводилось для проверки теоретического материала по пройденной теме. Ответы учащихся обеих групп объемом и были оценены следующими балловыми оценками, которые представлены в приложении 3. Для сравнения результатов выполнения теста учащимися этих групп применяется одностроннийкритерий Вилкоксона-Манна-Уитни, т. е. проводится проверка гипотезы : – при альтернативной гипотезе : . Гипотеза Н₀ предполагает, что баллы учащихся СОШ №1 за выполнение тестового контроля не отличаются от баллов учащихся СОШ №20 с вероятностью 0,5, а гипотеза – баллы учащихся СОШ №1 меньше баллов учащихся СОШ №20.

Наблюдаемое значение равно

Критическое значение

где– квантиль нормального распределения, для =0,05=1,96.

Тогда.

Таким образом, оказывается верным неравенство (207,75>158,08). Согласно правилу принятия решений, при использовании двустороннего критерия нулевая гипотеза Н₀ отклоняется на уровне α = 0,05 и принимается альтернативная гипотеза Н₁. Принятие этой гипотезы означает, что анализ экспериментальных данных позволяет сделать вывод о том, что теоретические знания по теме «Многогранники» учащихся СОШ №20 выше.

Для проверки практических навыков при решении задач проведена контрольная работа, состоящая из трех вариантов, по три задачи в каждом. Задачи подобраны с учетом требований знаний, умений и навыков на основе обязательного минимума содержания основных образовательных программ и требований к уровню подготовки выпускников средней и необходимые элементы содержания за курс основной школы. Сравнение полученных результатов целесообразно осуществлять с использованием t-критерия Стьюдента. Необходимо проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. при альтернативной . Наблюдаемое значение . Левосторонняя критическая область имеет вероятность)=0,05. Критическое значение находим по таблице значений функции Лапласа из . Так как , то отвергается, иначе принимается , что показывает о наличии основания считать, что среднее значение результатов контрольной работы учащихся СОШ №1 ниже среднего значения результатов учащихся СОШ №20.

На этом же этапе проведено анкетирование учителей с целью узнать их мнение о разработанном мультимедийном пособии. В анкетировании приняли участие 13 учителей работающих в старшем звене. Вопросы анкетирования можно увидеть в приложении 6. Каждый вопрос оценивался по десятибалльной шкале.

Результаты анкетирования показали, что использование ИКТ способствует повышению эффективности урока – 7 баллов, повышению мотивации – 5,5 баллов, развитию интереса учащихся – 8,2. Учителя оценили методическое обеспечение пособия в 7,7 баллов, доступность – 7,6 баллов и, в целом, удовлетворены использованием разработанного электронного пособия.

Исходя из проведенных исследований следует, что применение мультимедийного пособия «Многогранники» при изучении данной темы способствует повышению знаний,умений и навыков, тем самым гипотеза работы подтверждена.

Заключение

В соответствии с целью и задачами исследования получены следующие основные результаты:

В результате изучения и анализа психолого-педагогической, научно-методической литературы и учебной литературы по теме исследования выявлено: что, при проведении уроков с использованием мультимедийных технологий соблюдается основной принцип дидактики – наглядность, что обеспечивает оптимальное усвоение материала учащимися и увеличивает заинтерисованность обучающихся в получении новых знаний, помогает организовать осмысленное включение учащихся в активный образовательный процесс.

Выявлены требования к созданию электронного мультимедийного пособия и общие сведения о программе Autoplay Media Studio. ИспользованиеAutoPlay Media Studio в учебном процессе позволяет учителю повысить активность образовательного процесса через использование ИКТ; разработать сценарии уроков с проекцией учебно-дидактических материалов на экран; разработать на основе коллекции видеоматериалов уроки в соответствии со сценариями, а учащимся последовательно изучать теоретический материал курса и методы решения задач по всем разделам комплекса; самостоятельно ликвидировать пробелы в изучаемом теоретическом и практическом материале; организовывать повторение курса по индивидуальной программе.

Разработано мультимедийное пособие «Многогранники», в которую входят видеоуроки, технологические карты, презентации, тесты и задачи по уровням, что позволяет обеспечить новое качество образования и соответствует современному уровню развития ИКТ. Использование мультимедийного пособия в практике педагогов создает условия для наиболее успешной реализации требований ФГОС и является основой создания активно-деятельностной познавательной среды для обучающихся. Мультимедийное пособие «Многогранники» могут использовать при обучении по любому учебно-методическому комплексу, входящему в Федеральный перечень учебных изданий, рекомендованных к использованию в учебном процессе.

Экспериментально проверена эффективность использования мультимедийного пособия «Многогранники» в процессе обучения геометрии учащихся 10 класса СОШ №20. Эксперимент показал, что применение мультимедийного пособия способствует повышению знаний, умений и навыков.

Основная литература:

Атанасян, Л. С. Геометрия 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 23-е изд. – М. : Просвещение, 2014. – 255 с.

Бабаева, Ю.Д. Психологические последствия информатизации / Ю.Д. Бабаева, А.Е. Войскунский // Психологический журнал – 1998. №1. – с.18

Беспалько, В.П. Образование и обучение с участием компьютеров (педагогика третьего тысячилетия) / В.П. Беспалько. М.: Изд-во МПСИ, 2008. – 352 с.

Захарова, И.Г. Информационные технологии в образовании / Учебное пособия для высших пед. учеб.заведений / И.Г.Захарова. М.: Академия, 2003.–188 с.

Калугина, Е. В. Мультимедиа презентаций и тестирование на уроках математики// Математика – 1 сентября, 2008. – №15 –c.12

Машбиц, Е.И. Психологические основы управления учебной дятельностью. – Киев: Вища школа, 2007. – 195 с.

Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; Под ред. В.А. Гусева. – М.: Издательский центр «Академия». – 368 с.

Методика преподавания в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я.Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. – М.: Просфещение, 1987. – 416 с.: ил.

Шелехова, Л.В. Математические методы в педагогике и психологии / учебное пособие /: Майкоп, изд-во АГУ, 2010. – 192 с.

УрокиAutoplayMediaStudio [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://aleksius.com/autoplay-media-studio.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/247302-avtoreferat

Задание №14. Стереометрия с доказ-вом. ЕГЭ. Математика.

      БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 14. Стереометрия с доказательством.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а) Докажите, что A₁P:PB₁=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.
а) Докажите, что A₁P:PB₁=3:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

3. Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью α, содержащей прямую BD₁ и параллельной прямой AC, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD— квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями α и BCC₁, если AA₁=10, AB=12.

4. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=6, а боковое ребро SA=4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Ответ: б) 8 + 2√2

5. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB=60, а боковое ребро SA=37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Ответ: б) 5√3

7. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=3, SB=5, SD=3√5.
а) Докажите, что SA— высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Ответ: б) 2,4

8. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=8 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√21, SB=√85, SD=√57.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

9. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF=BE=4.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

10. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA₁ равно 2√2. На рёбрах AB, A₁B₁ и B₁C₁ отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = B₁N= C₁K=2.
а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром AC. Докажите, что MNKL — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.
Ответ: б) 15

11. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁=3. На ребре AB отмечена точка K так, что AK=1. Точки M и L— середины рёбер A₁C₁ и B₁C₁ соответственно. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Ответ: б) 3/4

12. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA₁ равно 4√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK= C₁L=2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

13. В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный (AB=BC) треугольник ABC. Точка K— середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3.
а) Докажите, что KM⊥AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB=6, AC=8, AA₁= 3.

14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=2√2,  AD=6,  AA₁=10. На рёбрах AA₁ и BB₁ отмечены точки E и F  соответств., причём A₁E:EA =3:2 и B₁F:FB=3:7. Точка T — середина ребра B₁C₁.
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D₁.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.
Ответ: б) 22,5

15. На ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E:EA=1:2, на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F:FB=1:5 , а точка Т —середина ребра B₁C₁. Известно, что AB=2, AD=6, AA₁=6.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D₁.
б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA₁B₁.

16. На ребрах CD и BB1  куба ABCDA₁B₁C₁D₁  c  ребром 12 отмечены точки  Р и Q соответственно, причем DP=4, а B₁Q=3. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM=DN=4 и АК=3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

18. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а высота равна 1. На ребрах АВ, АС и AS отмечены точки М, N и К соответственно, причем АМ=AN=3 и AK=7/4.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

19. Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является квадрат ABCD со стороной 4, высота призмы равна 6. Точка K делит ребро AA₁ в соотношении AK:KA₁=1:2. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD₁ в точке M.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD₁ в отношении DM:MD₁=2:1.
б) Найдите площадь сечения.
Ответ: б) 8√6

20. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 12, а боковое ребро AA₁ равно 3√6. На ребрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причем AK=2, B₁L=4. Точка M середина A₁C₁. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости γ.
Ответ: б) √2

21. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=√5 и BC=2. Длины боковых рёбер пирамиды SA=√7, SB=2√3, SD=√11.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Ответ: б) 30

22. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 5. На ребрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA=AQ=RC=2.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
Ответ: б) 7/2

23. В треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB=13, PB=15, cos PBA=48/65. Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды PABC.
Ответ: б) 90

24. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.
а) Докажите, что AA₁=AC.
б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 6, BC = 3.
Ответ: б) √2

6. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Практикум по решению стереометрических задач

Практикум
по решению
стереометрических задач
Пирамида в заданиях ЕГЭ

3. Теория

Пирамида называется правильной, если ее основание правильный
многоугольник, а вершина проектируется в его центр. Т.е. для
правильной пирамиды выполняются все свойства
полуправильных пирамид, а именно:
1.Все боковые ребра равны и наклонены под одним углом к
плоскости основания
2. Все апофемы равны и наклонены под одним углом к плоскости
основания т.е. двугранные углы при ребрах оснований равны.

4. Объем пирамиды

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:
1
V S h,
3
где S площадь основания,
h высота

6. Для произвольной пирамиды площадь боковой поверхности считаем сложением площадей каждой боковой грани, т.к. апофемы разной

длины. Для правильной
пирамиды или полуправильной 2 рода Sбок. равна полупериметру основания на
апофему.

7. Некоторые важные свойства 1. Объемы подобных пирамид относятся как куб коэффициента подобия. 2. Площади поверхностей подобных

пирамид относятся как квадрат
коэффициента подобия
3. Если увеличить высоту пирамиды в к раз, то и ее объем
увеличится в к раз
4. Если все стороны основания пирамиды увеличить в к раз, то ее
объем увеличится в к2 раз.

8. Задача №1

Плоскость, проходящая через точки A, B и C, рассекает
тетраэдр на два многогранника (см. рис). Сколько вершин
у получившегося многогранника с большим числом
граней?
У многогранника с большим
числом
граней
количество
вершин равно 6.

9. Задача №2

Пирамида Снофру имеет форму правильной
четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой
равна 220 м, а высота — 104 м. Сторона основания точной
музейной копии этой пирамиды равна 44 см. Найдите
высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.
Переведём сантиметры в метры и найдём
во сколько раз сторона основания пирамиды
отличается
от
музейной
копии:
220:0,44=500(раз). Найдём высоту музейной
копии: 104 : 500 = 0,208м = 20,8см

10. Задача №3

В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD точка O− центр основания, S − вершина, SA=13,
BD=10. Найдите длину отрезка SO.
В
правильной
пирамиде
вершина
проецируется
в
центр
основания,
следовательно,
SO является высотой
пирамиды. Тогда по теореме Пифагора
2
BD
2 2
2
SO
SB
BO
SB
169
25
1
2

11. Задача №4

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы
основания пересекаются в точке P. Объем пирамиды
равен 1, PS=1. Найдите площадь треугольника ABC.
Основание
пирамиды
—
равносторонний
треугольник, поэтому,
P является центром
основания, а SP — высотой пирамиды SABC.
Ее
объем
вычисляется
по
формуле V=1/3·Soc.·PS.
Тогда
3
V
SABC
S
3
oc
.
PS

12. Задача №5

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы
основания пересекаются в точке М. Площадь Δ АВС=3,
МS = 1. Найдите объём пирамиды.
Основание пирамиды — равносторонний
треугольник, поэтому, точка М является центром основания, а SM — высотой пирамиды SABC . Тогда
1
1
V
S
MS
3
1
SABC
OC
.
3
3

13. Задача №6

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы
основания пересекаются в точке М. Площадь Δ АВС=3,
объём пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка SМ.
Основание пирамиды — равносторонний
треугольник, поэтому, М — является
центром основания, а SМ — высотой
пирамиды SABC. Ее объем вычисляется
по формуле V=1/3·Soc.·МS. Значит
3
V
3
SABC
MS
1
S
3
oc
.

14. Задача №7

В правильной треугольной пирамиде SABC точка L—
середина ребра BC , S— вершина. Известно, что SL=2 ,
а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите
длину отрезка АВ .
Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна произведению апофемы на
полупериметр основания. Поэтому
3
AB
AB
BC
AC
SL
3
2
3
AB
1
2
2

15. Задача №8

В правильной треугольной пирамиде SABC точка R—
середина ребра BC , S— вершина. Известно, что SR=2,
АВ=1. Найдите площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности правильной
треугольной пирамиды равна половине
произведения периметра основания на
апофему:
1
1
3
S
P
SR
3
AB
SR
2
3
БОК
.
ABC
2
2
2

16. Задача №9

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O –
центр основания, S – вершина, SO=15 , BD=16 . Найдите
боковое ребро SA.
В
правильной
пирамиде
вершина
проецируется
в
центр
основания,
следовательно
SO является высотой
пирамиды. Тогда по теореме Пифагора
2
BD
SA
SB
SO
BO
SO
225
64
1
2
2
2
2

17. Задача №10

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра,
если все его ребра увеличить в два раза?
Объёмы подобных тел относятся
как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 2
раза, объём увеличится в 8 раз.

18. Задача №11

Во сколько раз увеличится площадь поверхности
правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два
раза?
Площади подобных тел относятся
как квадрат коэффициента
подобия. Поэтому если все ребра
увеличить в 2 раза, площадь
поверхности увеличится в 4 раза.

19. Задача №12

Во сколько раз увеличится площадь поверхности
октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
Ответ: 9.

20. Задача №13

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее
высоту увеличить в четыре раза?
1
V SОСН
. H
3
При увеличении высоты в 4 раза
объем пирамиды также увеличится в 4 раза.

21. Задача №14

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной
пирамиды, основанием которой является грань куба, а
вершиной — центр куба.
Объем пирамиды равен 1/3·S·h
1
1 2a 1 3 1
V SH a a VK 2
3
3 2 6
6

22. Задача №15

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1.
Найдите объем шестиугольной пирамиды.
Данные пирамиды имеют общую высоту, поэтому
их объемы соотносятся как площади их оснований.
Площадь
правильного
шестиугольника
со
стороной a равна S=(3√3:2)·a². Площадь же
равнобедренного треугольника ACB
с боковой
стороной a и углах при основании в
30° равна SΔ= (a²·√3):4. Получаем, что площадь
шестиугольника больше площади треугольника
ACB в S:SΔ=6 раз и равна 6.

23. Задача №16

Объем правильной четырехугольной
пирамиды SABCD равен 12. Точка E – середина ребра SB .
Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
Площадь основания пирамиды EABC
по
условию в 2 раза меньше площади основания
пирамиды SABCD. Также высота данной треуголной пирамиды в 2 раза меньше высоты
пирмиды SABCD(т.к. точка E – середина ребра SB).
Поскольу объем пирамиды равен
V=1/3·Sh, то
объем данной треугольной пирамиды в 4 раза
меньше объема пирамиды SABCD и равен 3.

24. Задача №17

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12,
отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей
через вершину пирамиды и среднюю линию основания.
Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Объем пирамиды V=1/3·Sh. Площадь основания отсеченной части меньше в 4 раза
(так как высота и сторона треугольника в основании меньше исходных в 2 раза), поэтому
и объем оставшейся части меньше в 4 раза.
Тем самым, он равен 3.

25. Задача №18

Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения,
проходящего через середины четырех его ребер.
В правильном тетраэдре скрещивающиеся ребра
перпендикулярны. Каждая сторона сечения
является средней линией соответствующей грани,
которая, как известно, в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому = 0,5.
Значит сечением является квадрат со стороной 0,5.
Тогда площадь сечения S=a²=0,25
.

26. Задача №19

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12. Найдите
объем треугольной пирамиды B1ABC .
Высота пирамиды равна высоте
параллелепипеда,
а
ее
основание
вдвое
меньше,
поэтому:
S
1
1
пар1
V
S
H
H
12
2
пир
.
пир
пир
пар
3
3
2 6

27. Задача №20

Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , если
объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 3.
Объем параллелепипеда равен V=Sh,
Ответ: 18
Площадь основания пирамиды, равна
половине
площади
основания
параллелепипеда.
Объем пирамиды равен V=1/3·SΔ·h
Тогда объем параллелепипеда в 6 раз
больше объема пирамиды ABDA1 .

28. Задача №21

Стороны основания правильной четырехугольной
пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите
площадь поверхности этой пирамиды.
Ответ: 340.

29. Задача №22

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды
равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь
боковой поверхности этой пирамиды.
Ответ: 360.

30. Задача №23

Основанием пирамиды является прямоугольник со
сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту
этой пирамиды.
Ответ: 4.

31. Задача №24

Найдите объем правильной треугольной пирамиды,
стороны основания которой равны 1, а высота равна√3
2
a 3
S
4
Ответ: 0,25.

32. Задача №25

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна
6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Площадь
квадрата
равна
половине
произведения
его
диагоналей. Значит….
Ответ: 256.

33. Задача №26

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна
боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а
три другие боковые грани наклонены к плоскости
основания под углом 60 . Высота пирамиды равна 6.
Найдите объем пирамиды.
Треугольник ASD — равносторонний, AD=4√3
Из прямоугольного треугольника SHG находим HG:
HG
SHctg
60
6
ctg
60
2
3
S
AD
AB
AD
HG
4
3
2
3
24
ABCD
1
1
V
S
SH
24
6
48
ABCD
3
3

34. Задача №27

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно
перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите
объем пирамиды.
Удобно
считать
треугольник ASB основанием пирамиды,
тогда отрезок SC будет являться её
высотой.
1
9
S
3
3
4
,
5
ASB
2
2
1 1
1
V
Sh
S
SC
4
,
5
3
4
,
5
ASB
3 3
3

35. Задача №28

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит
через сторону основания этой пирамиды и пересекает
противоположное боковое ребро в точке, делящей его в
отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите
больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает
исходную пирамиду.
При одинаковой площади основания большим объемом будет обладать та часть, высота которой больше,
то есть нижняя. Объем данной пирамиды относится к
объему исходной как 2/3 и поэтому равен 10.

36. Задача №29

Найдите площадь поверхности правильной
четырехугольной пирамиды, стороны основания которой
равны 6 и высота равна 4.
4
3
Площадь поверхности складывается
из площади основания и площади
четырех боковых граней: S=So+4SΔ.
Апофему
найдем
по
теореме
Пифагора. Она равна 5.
Тогда
площадь
поверхности
пирамиды: S=6·6+4·0,5·6·5=96

37. Задача №30

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12,
объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Объем пирамиды вычисляется по формуле
V=1/3·So·H, откуда площадь основания
So = 3V: h = 50.
Сторона основания тогда a=√S=5√2, а
диагональ d=a√2.
Боковое ребро SA найдем по теореме
Пифагора: =√5²+12²=13

38. Задача №31

Сторона основания прaвильной шестиугольной пирамиды
равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем
пирамиды.
V=1/3·So·H
Высоту пирамиды найдём по теореме
Пифагора: h²=4²-2²; h= 2√3
Площадь основания будет = 6·SΔ=
= 6·a²√3/4=6√3
Тогда V=1/3·6√3·2√ =12

39. Задача №32

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона
основания равна 1. Найдите боковое ребро.
a 3
S
4
2
V=1/3·So·H
Ответ: 7.

40. Задача №33

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды
равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен
45 . Найдите объем пирамиды.
Ответ: 48.

41. Задача №34

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее
основанием является многоугольник, соседние стороны
которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер
перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Ответ: 27.

42. Задача №35

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны
1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через середины боковых рёбер.
Каждая
из
сторон
сечения
является средней линией боковой
грани. Поэтому стороны сечения
образуют квадрат со стороной 0,5,
площадь которого равна 0,25.

43. Задача №36

Найдите объём правильной четырёхугольной
пирамиды, сторона основания которой равна 4 , а
боковое ребро равно √17.
Ответ:16.
Задачи
для самостоятельного
решения

45. Задача №1 Решите самостоятельно

В правильной треугольной пирамиде SABC
медианы основания пересекаются в точке М.
Площадь Δ АВС=28, SМ = 12.
Найдите объём пирамиды.

46. Задача №2 Решите самостоятельно

В правильной треугольной пирамиде SABC
медианы основания пересекаются в точке М.
Площадь Δ АВС=13, объём пирамиды равен 52.
Найдите длину отрезка SМ.

47. Задача №3 Решите самостоятельно

1 В правильной треугольной пирамиде SABC
точка L— середина ребра BC , S— вершина.
Известно, что SL=6 , а площадь боковой поверхности
равна 45.
Найдите длину отрезка АВ.

48. Задача №4 Решите самостоятельно

В правильной треугольной пирамиде SABC
точка R— середина ребра BC , S— вершина.
Известно, что SR=6, АВ=5.
Найдите площадь боковой поверхности.

49. Задача №5 Решите самостоятельно

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
точка O – центр основания,
S – вершина,
SO=12 , BD=18 .
Найдите боковое ребро SA.

50. Задача №6 Решите самостоятельно

Во сколько раз увеличится
объем правильного тетраэдра,
если все его ребра увеличить в три раза?

51. Задача №7 Решите самостоятельно

Во сколько раз увеличится
площадь поверхности правильного тетраэдра,
если все его ребра увеличить в 36 раз?

52. Задача №8 Решите самостоятельно

Во сколько раз увеличится объем пирамиды,
если ее высоту увеличить в 31 раз?

53. Задача №9 Решите самостоятельно

Объем куба равен 132.
Найдите объем четырехугольной пирамиды,
основанием которой является грань куба,
а вершиной — центр куба.

54. Задача №10 Решите самостоятельно

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF,
равен 23.
Найдите объем шестиугольной пирамиды.

55. Задача №11 Решите самостоятельно

Основанием пирамиды служит прямоугольник,
одна боковая грань перпендикулярна плоскости
основания,
а три другие боковые грани наклонены к плоскости
основания под углом 60 .
Высота пирамиды равна 12.
Найдите объем пирамиды.

56. Задача №12 Решите самостоятельно

Найдите площадь поверхности
правильной четырехугольной пирамиды,
стороны основания которой равны 14
и высота равна 24.

57. Задача №13 Решите самостоятельно

В правильной четырехугольной пирамиде
высота равна 5,
объем равен 480.
Найдите боковое ребро этой пирамиды.

58. Задача №14 Решите самостоятельно

Сторона основания прaвильной шестиугольной
пирамиды равна 10,
боковое ребро равно 20.
Найдите объем пирамиды. 2

59. Задача №15 Решите самостоятельно

1) Найдите объём правильной четырёхугольной
пирамиды, сторона основания которой равна 6, а
боковое ребро равно √43

задач по твердотельной геометрии — Шарыгин — Matemática Olimpica

 ABCDA1B1C1D1 K - средний
точки ребра AA1 точка L лежит на
край BC. Отрезок KL касается мяча.
вписанный в куб. В каком соотношении находится линия
отрезок KL разделен точкой касания?
/ '...
58. Для тетраэдра ABCD, в котором ABC =
/ '...
BAD = 900 • I AB I = a, I DC I = b, угол
между ребрами AD и BC равно a.
Найдите радиус описанного шара.
59. Ребро куба и ребро правильного
тетраэдр лежат на одной прямой,
середины противоположных граней куба и
тетраэдры совпадают.Найдите объем
общая часть куба и тетраэдра, если
ребро куба равно a.
60. В каком соотношении объем треугольника?
пирамида, разделенная плоскостью, параллельной ее
два скошенных края и разделение одного на другой
края в соотношении 2: 1?
61. В усеченном контуре правильного четырехугольного пир ..
между двумя разделами нарисованы: один через
диагонали оснований, остальные через боковые
нижнего основания и противоположной стороны верхнего
основание. Угол между плоскостями реза составляет
П.1. Вычислительные задачи 17
равно a. Найдите соотношение площадей
разделы.
62. Один конус вписан, а другой
описанная около, правильная шестиугольная пира-
середина Найдите разницу между объемами
описанные и вписанные конусы, если высота над уровнем моря
высота пирамиды равна H, а радиус
основание описанного конуса - R.
63. Дан мяч и точка внутри него. Три
взаимно перпендикулярные плоскости, пересекающие
мяч по трем кругам пропускается через этот
точка произвольным образом.Докажите, что сумма
площади этих трех кругов постоянна, и
найти эту сумму, если радиус шара равен R и
расстояние от точки пересечения
плоскости к центру шара равна d.
64. В шаре радиуса R диаметр AB
нарисован. Две прямые касаются мяча в
точки A и B и образуют угол a (a <90 °)
между собой. На этих строках
указывает C и D так, чтобы CD коснулся мяча, и
угол между AB и CD равен 
 a). Найдите длину
наибольшего ребра тетраэдра.
69. Правый круговой конус с вершиной S не-
начертан в треугольной пирамиде SPQR так, чтобы
круг основания конуса вписан в
базовый PQR пирамиды. Известно, что
/ '..... ~ ~
PSR = n12, SQR = n / 4, PSQ = 7n / 12. Находить
соотношение площади боковой поверхности конуса
к площади основания PQR пирамиды.70: Основание пирамиды ABCDE является пар-
аллелограмма ABeD. Ни одна из боковых граней не
тупой треугольник. На краю DC есть
точка M такая, что прямая EM
маятниковая к ВС. Кроме того, диагональ
base. {iC и боковые кромки ED и EB связаны
редактируется следующим образом: 1 AC 1 ~ t 1 EB I ~ ~ 1 ED I. A
сечение, представляющее собой равнобедренную трапецию,
прошел через вершину B и середину
один 9f боковых краев. Найдите соотношение
площадь сечения к площади основания
пирамида.П. 1. Вычислительные проблемы i9
71. Отрезок AB единичной длины, который
хорда сферы радиуса 1 находится под углом n / 3
диаметру CD этой сферы. Расстояние
от конечной точки C диаметра к ближайшей
конечная точка A хорды A B равна -V 2.
Определите длину отрезка BD.
72. В треугольной пирамиде ABCD грани
ABC и ABD имеют площади p и q соответственно,
и образуют между собой угол a. Находить
площадь проходящего сечения пирамиды
через ребро AB и центр шара
вписанный в пирамиду
73.В треугольной пирамиде ABCD сечение
проходит через край AD (I AD I = a)
и точка E (середина ребра BC). В
раздел делает с гранями ACD и ADB
углы соответственно равны a и ~. Найди
объем пирамиды, если площадь сечения
ADE невероятно похож на S.
74. ABCD - правильный тетраэдр с ребром a.
Пусть M - центр грани ADC, и пусть N
- середина ребра BC. Найдите радиус
шара, вписанного в трехгранный угол A
и касаясь прямой M N.75. Основание треугольной пирамиды ABCD.
- правильный треугольник ABC. Лицо BCD делает
угол 60 ° с плоскостью основания. В
центр круга единичного радиуса, который касается
ребра AB, A C и грань BCD лежит на
прямая, проходящая через точку D пер-
маятниковая к основанию, a. Высота пира-
середина D H составляет половину стороны основания. Находить
объем пирамиды.
76. В треугольной пирамиде SABC I AC I =
1 AB 1 и кромка SA наклонена к плоскостям
20 задач твердотельной геометрии
граней ABC и S BC под углами 45 °.это
известно, что вершина A и середины всех
грани пирамиды, кроме SA, лежат на
сфера радиуса 1. Докажите, что центр
сфера расположена на краю SA, и найти
область лица ASC.
77. Дан куб ABCDAlBlClDl с ребром a.
Найдите радиус сферы, касающейся линии
отрезки ACl и CCv прямые AB
и BC и пересекающие прямые AC
и AlCl.
78. Мяч касается плоскости основания ABCD.
правильной четырехугольной пирамиды SABCD при
точка A, и, кроме того, касается мяча
вписан в пирамиду.Режущая плоскость
прошел через центр первого мяча и
сторона BC основания. Найдите угол наклона
этой плоскости в плоскость основания, если известно
что диагонали сечения перпендикулярны
двояко к краям SA и SD.
79. На сфере радиуса 2 расположены три
круги радиуса 1, каждый из которых касается другого
два. Найдите радиус круга, который меньше всего.
чем данные круги, лежит на данной сфере,
и касается каждого из заданных кругов.80. В данном прямоугольном параллелепипеде
ABCDAlBlClDl длины ребер AB,
BC, a. и BBl соответственно равны 2a, a,
и а; E - середина ребра BC. В
вершины M и N правильного тетраэдра M N PQ
лежат на прямой ClE, вершины P и
Q на прямой, проходящей через точку Bl
и пересекая прямую AD в точке
точка F. Найдите: (а) длину отрезка прямой
П. 1. Вычислительные задачи 21
DF; (б) расстояние между серединами
отрезки M N и PQ.81. Длина ребра куба
ABCDAlBlClDl - это файл. Точки M и N лежат
на отрезках BD и CCl соответственно.
Прямая MN составляет угол n / 4 с
плоскость ABCD и угол n / 6 с плоскостью
BBlClC. Найдите: (а) длину отрезка
ment MN; (б) радиус сферы с центром
на отрезке MN, который касается плоскостей 

Гусев-Литивиненко-Мордкович-Решение-Проблемы-Геометрия-Мир-1988 — Математика — Ифам — Кампус Аванкадо Манакапуру

 лучи BP и OL, где B - один из лучей вершины основания пирамиды,
P - середина высоты пирамиды, O - центр тяжести основания и L
середина ребра S C.669. Квадратную пластину A B C D сгибаем по диагонали A C так, чтобы плоскость
A B C становится перпендикулярно плоскости A C D. На диагонали AC выбрано
точка K такая, что C K ’. К А = 1: 3. Найдите угол между лучами K B
и C D.
670. В треугольной пирамиде S A B C плоскость имеет углы A S B и C S B на
вершины S равны 90 ° (каждая), а угол A S C равен 45 °. Найдите угол
между лучами K C и S D, если K и D являются серединами
ребра S A и B C, и S A = S B = S C.образуют углы a и P с плоскостью основания. Найдите угол
между этими диагоналями.
673. В правильной четырехугольной пирамиде S A B C D сторона основания A B =
6 см при высоте 4 см. Найти расстояние от вершины A
к плоскости грани S C D.
674. Отрезок AB, длина которого равна a, параллелен
самолет P. Через точки A и B проведены прямые линии, перпендикулярные
отрезок A B и образующие углы равные a и (3 соответственно, с
самолет П.Расстояние между точками пересечения нарисованных линий.
142 гл. 2. Сплошная геометрия
sect плоскость P равна b. Найдите расстояние между отрезком AB
и самолет П.
675. Отрезок, длина которого равна a, а конечные точки лежат в
на двух взаимно перпендикулярных плоскостях составляет угол 30 ° с одной
этих плоскостей и угол, равный 45 °, с другой. Найдите расстояние
между проекциями конечных точек данного отрезка на линию
пересечение плоскостей.676. В плоскости P расположен равносторонний треугольник ABC, в котором AB =
а. На перпендикуляре к плоскости P первый, проходящий через точку
A y отрезок A A отрезан таким образом, что A K = a. Найдите расстояние между
прямые AB и CK.
677. Проведено через верхний край образующей цилиндра.
под углом а является касательной к цилиндру. Найдите расстояния от центров
оснований цилиндра к этой касательной, если высота цилиндра и
радиусы его основания равны h и R соответственно.678. В точках A и B, принадлежащих плоскости P, возведены перпендины.
соедините AC и BD с плоскостью P с одной стороны от нее. Докажи, что прямой
прямые BC и AD пересекаются и находят расстояние от точки их пересечения.
сечение на плоскость P, если известно, что AC = a и BD = b.
679. Высота правильной четырехугольной призмы равна h. Найди
расстояние от стороны основания длиной a до непересекающейся диагонали.
конец призмы.
680. Основание правой призмы ABCDA1B1C1D1 представляет собой ромб со стороной
равный a и острому углу cp.Найдите расстояние от вершины Bl
верхнее основание к диагонали A XD боковой грани, если боковой край призмы
равно h.
681. Найдите расстояние между диагональю куба и непересекающейся
edge, если ребро куба равно a.
682. Найдите расстояние между диагоналями adY и bcx граней
куб a6cda161c1d1, если его ребро равно a.
683. В равностороннем цилиндре радиус основания равен R y.
точка на окружности верхнего основания соединяется с точкой на окружности
огибание нижнего основания.Полученный таким образом отрезок линии образует угол
равно a с плоскостью основания. Найдите расстояние между этими отрезками прямых
и ось симметрии цилиндра.
684. Между двумя параллельными плоскостями нарисованы перпендикуляр и наклонный
линия, образующая угол a с каждой из плоскостей. Найдите расстояние между
середины отрезков наклонной линии и приложенного перпендикуляра
между заданными плоскостями, если длина отрезка перпендикуляра
равно 2a, а расстояние между концами наклонной линии и
перпендикуляр в каждой плоскости равен b.685. В треугольной пирамиде сумма трех плоских углов в каждой из
вершина основания равна 180 °. Найдите расстояние между скошенными краями
пирамида, если стороны основания равны 4 см, 5 см и 6 см.
686. Докажите, что если прямая a образует равные углы с тремя непараллельными
прямые, лежащие в одной плоскости, то прямая a перпендикулярна
этот самолет.
687. Плоские углы в одной из вершин треугольной пирамиды равны
равны 90 ° каждый. Докажите, что высота пирамиды, построенной из этой вершины
проходит через точку пересечения высот противоположной грани.688. Докажите, что высота SO треугольной пирамиды SABC пересекает
высота AD основания тогда и только тогда, когда SA перпендикулярна BC.
689. Докажите, что если одна из высот треугольной пирамиды проходит
через точку пересечения высот противоположной грани, то
другие высоты этой пирамиды обладают тем же свойством.
П. 11. Двугранные и многогранные углы 143
SEC. 11. ДИГЕДРАЛЬНЫЕ И ПОЛИЭДРАЛЬНЫЕ УГЛЫ.
Пример 1. Один из плоских углов трехгранного угла равен
до 60 °, а каждый из двух других содержит 45 °.Найдите двугранный
угол, противоположный плоскости, равен 60 °.
Решение. Пусть фигура SMNL (рис. 131) будет представлением
данного трехгранного угла. Это представление полное. Позволять
найдем его параметрический номер. Предполагая, что угол MSN равен
представление угла 60 °, проводим один параметр. Assum
превращая углы MSL и NSL в представление оригинального
углы, каждый содержащий 45 °, проводим еще два параметра. Таким образом,
мы потратили всего три параметра, то есть при проведении
новые конструкции метрического характера, которые могут потребоваться в
определяя желаемый двугранный угол, мы можем потратить еще два
параметры.Таким образом, / _MSN = 60 ° и Z.MSL = / _NSL = 45 °. Найдите ZLSL,
т.е. двугранный угол на краю SL. С этой целью мы строим и
затем найдите его плоский угол. Построение ведется в следующей последовательности.
мычание. На луче SL выберем произвольную точку A, а в
по плоскости MSL построим прямую AB, которую будем считать
представление перпендикуляра к прямой SL (проводим
один параметр). Аналогично, мы будем считать AC представителем
направление перпендикуляра к SL лучу (здесь мы проводим еще один
параметр).. Поскольку в треугольнике SBC B C = S B = S C, имеем: BC = a Y 2.
Убедимся, что равенство
AB2 -r AC'2 = BC2. Действительно, L
AB2 + A C 2 = 2a2 и BC2 = (a Y = N.
2a2. Таким образом, в треугольнике ABC (по
обратное пифагорейской тео-
rem) / _BAC = 90 °. Следовательно, клубок - / *] \
SL> 5
1) 6 S u i t c u w u a u u i m u u u u v / iu g a i l a u A i i i d l y
параметр. Действительно, как это не сложно
обратите внимание, AABC = A S A B, поэтому / _BAC =
AS AB = 90 °. B
Пример 2. Основание пирамиды.
представляет собой правильную треугольную пирамиду 

| Найдите объем и площадь поверхности (формулы)

Треугольная пирамида

Треугольная пирамида представляет собой трехмерное тело — многогранник — с треугольным основанием и тремя треугольными гранями, пересекающимися в вершине пирамиды.

Основание пирамиды может быть любой двухмерной геометрической формы:

• Треугольник
• Прямоугольник
• Площадь
• Шестиугольник
• восьмиугольник

Есть много типов пирамид, и все пирамиды названы по форме их оснований.

Так же, как у вас может быть треугольная пирамида, у вас также может быть прямоугольная пирамида, пятиугольная пирамида и т. Д.

Великие пирамиды Египта в Гизе, например, представляют собой квадратную пирамиду, потому что ее основание (основание) — квадрат.Треугольная пирамида — это пирамида с треугольным основанием.

Грани, ребра и вершины треугольной пирамиды

В треугольной пирамиде:

• Треугольное основание
• 3 треугольных грани
• 6 граней
• 4 вершины

Правильная треугольная пирамида

Пирамида с основанием равностороннего треугольника — это правильная треугольная пирамида . Если в основе лежит разносторонний или равнобедренный треугольник, то пирамида представляет собой неправильную треугольную пирамиду .

Ни одно правило не требует, чтобы основание треугольной пирамиды было равносторонним, хотя построить разносторонние или равнобедренные треугольные пирамиды намного сложнее, чем построить равностороннюю треугольную пирамиду.

[вставить точный чертеж, основанный на этой ссылке на схему сети треугольной пирамиды]

Содержание

1. Треугольная пирамида
2. Площадь поверхности треугольной пирамиды
3. Объем треугольной пирамиды

Площадь поверхности треугольной пирамиды

Два различных измерения площади поверхности могут быть выполнены для любого 3D-тела: площадь боковой поверхности и площадь поверхности .

Площадь боковой поверхности, LSA, не включает основание нашей пирамиды. Площадь поверхности пирамиды SA включает основание.

Площадь поверхности треугольной пирамиды с тремя совпадающими видимыми гранями — это площадь этих трех треугольных граней плюс площадь треугольного основания.

Формула для расчета площади поверхности включает площадь основания, периметр основания и высоту наклона любой стороны.

Площадь поверхности треугольной пирамиды Формула

SA = Базовая площадь + 12 (периметр × наклонная высота)

Эта формула работает, потому что вы добавляете базовую область к площади всех трех наклонных граней.Периметр дает вам сумму всех трех баз. Вы умножаете эту сумму на наклонную высоту треугольной пирамиды, как если бы у вас был один большой прямоугольник, а затем вы принимаете половину этой площади как площадь трех треугольников.

Как найти площадь поверхности треугольной пирамиды

Предположим, у вас есть треугольная пирамида:

Основание пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, так как все три его стороны составляют 10 локтей. Чтобы найти площадь основного треугольника, используйте эту формулу для площади равностороннего треугольника со стороной a:

Для этой конкретной треугольной пирамиды формула имеет вид:

А = 34102 ≈ 43.3 квадратных локтя (локтей2)

Мы нашли территорию базы. Мы уже знаем, что периметр основания составляет 30 локтей (каждая из трех сторон — 10 локтей), и нам дана наклонная высота — 14 локтей.

SA = Площадь основания + 12 Периметр × Высота наклона

SA = 43,3 локтя2 + 12 30 локтей × 14 локтей

SA = 43,3 локтя2 + 12 420 локтей2

SA = 43,3 локтя2 + 210 локтей2

SA = 253,3 локтя2

Площадь всегда измеряется в квадратных единицах, будь то см2, м2, фут2 или кубиты2.

Как рассчитать площадь боковой поверхности треугольной пирамиды

Возможно, вам нужно было потратить время на то, чтобы разобраться со всем этим, найти область базы, найти периметр, добавить все.

Чтобы найти площадь только наклонных сторон — площадь боковой поверхности (LSA) — вам нужно сделать намного меньше работы:

LSA = 12 (периметр × наклонная высота)

Эти формулы работают только для обычных пирамид.Если у вас неправильная треугольная пирамида, вычислите площадь каждой из четырех граней отдельно (три наклонные грани и основание) и сложите их вместе.

Объем треугольной пирамиды

Объем — это объем пространства, занимаемого трехмерным телом, поэтому с помощью треугольной пирамиды мы определяем, сколько места в ней есть. Он всегда измеряется в кубических единицах. Хотя пирамида быстро уменьшается до вершины, расчет не представляет трудностей.

Формула объема треугольной пирамиды

В объеме формулы треугольной пирамиды A — это площадь основания, а h — высота от основания до вершины.

Для нашей пирамиды с основанием 10 локтей и высотой наклона 14 локтей высота h составляет 13.0767 локтей. Мы уже знаем площадь из наших предыдущих вычислений, поэтому мы можем подставить известные числа, чтобы получить объем в кубических локтях:

В = 13 Ач

V = 13 (43,3 локтя2 × 13,0767 локтя)

V = 13 (566,2211 локтей3)

V ≈ 188,75 локтей3

Обратите внимание, что с дробью как множителем в нашем умножении у нас нет точного десятичного ответа, поэтому у нас есть приблизительное значение.

Следующий урок:

Площадь поверхности прямоугольной призмы

Если основание пирамиды.Основы геометрии: правильная пирамида —

Концепция пирамиды

Определение 1

Геометрическая фигура, образованная многоугольником и точкой, не лежащей в плоскости, содержащей этот многоугольник, соединенной со всеми вершинами многоугольника, называется пирамидой (рис. 1).

Многоугольник, из которого состоит пирамида, называется основанием пирамиды, треугольники, полученные путем соединения с точкой, являются боковыми гранями пирамиды, стороны треугольников являются сторонами пирамиды, а общая точка все треугольники — это вершина пирамиды.

Типы пирамид

В зависимости от количества углов у основания пирамида может называться треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).

Рисунок 2.

Другой тип пирамиды — это правильная пирамида.

Введем и докажем свойство правильной пирамиды.

Теорема 1

Все боковые грани правильной пирамиды — равнобедренные треугольники, которые равны друг другу.

Доказательства.

Рассмотрим правильную $ n- $ угольную пирамиду с вершиной $ S $ и высотой $ h = SO $. Опишем круг вокруг основания (рис. 4).

Рисунок 4.

Рассмотрим треугольник $ SOA $. По теореме Пифагора мы получаем

Очевидно, это будет определять любой боковой край. Следовательно, все боковые грани равны между собой, то есть все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники. Докажем, что они равны друг другу. Поскольку основание — правильный многоугольник, основания всех боковых граней равны друг другу.Следовательно, все боковые грани равны по III критерию равенства треугольников.

Теорема доказана.

Теперь мы дадим следующее определение, относящееся к понятию правильной пирамиды.

Определение 3

Апофема правильной пирамиды — высота ее бокового края.

Очевидно, по теореме 1 все апофемы равны друг другу.

Теорема 2

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды определяется как произведение полупериметра основания и апофемы.

Доказательства.

Обозначим сторону основания $ n- $ угольной пирамиды $ a $, а апофему — $ d $. Следовательно, площадь боковой грани равна

Поскольку по теореме 1 все боковые стороны равны, то

Теорема доказана.

Другой тип пирамиды — усеченная пирамида.

Определение 4

Если через обычную пирамиду провести плоскость параллельно ее основанию, то фигура, образованная между этой плоскостью и плоскостью основания, называется усеченной пирамидой (рис.5).

Рисунок 5. Усеченная пирамида

Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.

Теорема 3

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды определяется как произведение суммы полупериметров основания и апофемы.

Доказательства.

Обозначим стороны оснований $ n- $ угольной пирамиды через $ a \\ и \\ b $ соответственно, а апофему через $ d $. Следовательно, площадь боковой грани равна

Так как все стороны равны, то

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 1

Найдите площадь боковой поверхности усеченной треугольной пирамиды, если она получена из правильной пирамиды со стороной основания 4 и апофемой 5 путем отсечения плоскостью, проходящей через среднюю линию боковых граней.

Решение.

По теореме о средней линии получаем, что верхнее основание усеченной пирамиды составляет $ 4 \ cdot \ frac (1) (2) = 2 $, а апофема равна $ 5 \ cdot \ frac ( 1) (2) = 2.5 $.

Тогда по теореме 3 получаем

Продолжаем рассматривать задачи, входящие в ЕГЭ по математике. Мы уже исследовали задачи, в которых задано условие и требуется найти расстояние между двумя заданными точками или угол.

Пирамида — это многогранник, основание которого — многоугольник, остальные грани — треугольники, и у них общая вершина.

Правильная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а его вершина проецируется на центр основания.

Правильная четырехугольная пирамида — основание квадратное. Вершина пирамиды проецируется на точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

ML — апофема
∠MLO — двугранный у основания пирамиды
∠MCO — угол между боковым краем и плоскостью основания пирамиды

В этой статье мы рассмотрим задачи для решения правильная пирамида. Требуется найти любой элемент, площадь боковой поверхности, объем, высоту.Конечно, нужно знать теорему Пифагора, формулу площади боковой поверхности пирамиды, формулу нахождения объема пирамиды.

В статье «» представлены формулы, необходимые для решения задач стереометрии. Итак, задачи:

SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 51, AC = 136. Найдите боковое ребро SC .

В данном случае основание — квадрат.Это означает, что диагонали AC и BD равны, они пересекаются и пересечение делится пополам. Обратите внимание, что в обычной пирамиде высота, сброшенная с ее вершины, проходит через центр основания пирамиды. Итак, SO — это высота, а треугольник SOC прямоугольный. Затем по теореме Пифагора:

Как искоренить большое число.

Ответ: 85

Решайте сами:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина , SO = 4, AC = 6.Найдите боковое ребро SC .

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO .

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC .

SABC R — середина нервюры BC , S — верх.Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема — это высота боковой грани правильной пирамиды, отсчитываемой от ее вершины):

Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трех боковых граней.Боковые грани правильной треугольной пирамиды представляют собой треугольники одинаковой площади. В данном случае:

Ответ: 168

Решайте сами:

В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC , S — верх. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC , S — верх.Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SR .

В правильной треугольной пирамиде SABC L — середина ребра BC , S — верх. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB .

В правильной треугольной пирамиде SABC M … Площадь треугольника ABC равна 25, объем пирамиды — 100.Найдите длину отрезка MS .

Основание пирамиды — равносторонний треугольник . , следовательно, M, — это центр основания, а MS — высота правильной пирамиды SABC … Объем пирамиды SABC равен: проверьте раствор

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M … Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1.Найдите объем пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M … Объем пирамиды 1, MS = 1. Найдите площадь треугольника АВС .

На этом завершается. Как видите, задачи решаются в один-два этапа. В дальнейшем мы рассмотрим с вами другие задачи из этой части, где даны тела вращения, не пропустите!

Желаю успехов!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду признателен, если вы расскажете о сайте в социальных сетях.

Пирамида называется многогранником, одна из граней которого представляет собой многоугольник ( основание ), а все остальные грани — треугольники с общей вершиной ( боковые грани ) (рис.15). Пирамида называется правильная , если ее основание представляет собой правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется на центр основания (рис. 16).Треугольная пирамида, в которой все стороны равны, называется тетраэдром .

Боковое ребро пирамида — это сторона боковой грани, не относящаяся к основанию Высота Пирамидой называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые грани правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, нарисованной сверху, называется apothem . . Диагональное сечение разрез пирамиды называется плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадь боковой поверхности пирамиды называется суммой площадей всех боковых граней. Полная площадь называется суммой площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной вокруг основания.

2. Если в пирамиде все боковые грани имеют одинаковую длину, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной вокруг основания.

3. Если в пирамиде все грани одинаково наклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проецируется в центр круга, вписанного в основание.

Для расчета объема произвольной пирамиды верна формула:

где В — объем;

S main — площадь основания;

H — высота пирамиды.

Для правильной пирамиды формулы верны:

, где p — периметр основания;

h a — апофема;

H — высота;

S полный

S сторона

S main — площадь основания;

V — объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельная основанию пирамиды (рис.17). Правильная усеченная пирамида называется частью правильной пирамиды, заключенной между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Фундаменты усеченные пирамиды — аналогичные многоугольники. Боковые поверхности — трапеция. Высота усеченная пирамида — это расстояние между ее основаниями. Диагональ усеченной пирамидой называется отрезок, соединяющий ее вершины, которые не лежат на одной грани. Диагональное сечение сечение усеченной пирамиды называется плоскостью, проходящей через два боковых края, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды действительны следующие формулы:

(4)

, где S 1, S 2 — площади верхнего и нижнего оснований;

S полная — площадь общая;

S сторона — площадь боковой поверхности;

H — высота;

V — объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды формула верна:

, где p 1, p 2 — периметры основания;

h a — апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол у основания равен 60º. Найдите тангенс угла наклона боковой кромки к плоскости основания.

Решение. Сделаем чертеж (рис.18).

Пирамида правильная, это означает, что у основания есть равносторонний треугольник, а все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники. Двугранный угол у основания — это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейный угол — это угол a между двумя перпендикулярами: и т. Е. Вершина пирамиды проецируется в центр треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник ABC ).Угол наклона бокового ребра (например SB ) — это угол между самой кромкой и ее выступом на базовую плоскость. Для ребра SB этот угол будет углом SBD … Чтобы найти касательную, нужно знать отрезки SO и OB … Пусть длина отрезка BD равна 3 и … точка О раздел BD разделен на части: и От находим SO : От находим:

Ответ:

Пример 2. Найдите объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота равна 4 см.

Решение. Чтобы найти объем усеченной пирамиды, воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площадь оснований, нужно найти стороны квадратов оснований, зная их диагонали. Стороны оснований 2 см и 8 см соответственно. Итак площадь оснований и Подставив все данные в формулу, вычисляем объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3.

Пример 3. Найдите площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 19).

Боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренную трапецию. Чтобы рассчитать площадь трапеции, нужно знать основание и высоту. Базы даны по условию, неизвестна только высота.Находим его откуда И 1 E перпендикуляр от точки И 1 на плоскости нижнего основания, A 1 D — перпендикуляр от И 1 на AS . И 1 E = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительный чертеж, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка ПРО — проекция центров верхнего и нижнего баз.поскольку (см. рис. 20) и С другой стороны ОК — это радиус вписанной окружности и OM — радиус вписанной окружности:

МК = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, основания которой и и b ( a > b ).Каждая боковая грань образует угол с базовой плоскостью пирамиды, равный j … Найдите общую площадь поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 21). Общая площадь поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то вершина проецируется на центр окружности, вписанной в основание.Точка ПРО — проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получаем:

Аналогично это означает Таким образом, задача свелась к нахождению площади трапеции ABCD … Нарисуйте отдельно трапецию ABCD (рис.22). Точка ПРО — центр окружности, вписанной в трапецию.

Так как круг может быть вписан в трапецию, либо От, по теореме Пифагора, имеем

Здесь вы можете найти основную информацию о пирамидах и связанных с ними формулах и концепциях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к экзамену.

Рассмотрим плоскость, лежащий на ней многоугольник и не лежащую на нем точку S. Соедините S со всеми вершинами многоугольника.Получившийся многогранник называется пирамидой. Сегменты называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n = 3), четырехугольной (n = 4), пятиугольной (n = 5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды — тетраэдр … Высота пирамиды называется перпендикуляром, опущенным от ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если это правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является ее центром.

Комментарий преподавателя :
Не путайте понятия «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». В правильной пирамиде боковые ребра не обязательно равны ребрам основания, но в правильном тетраэдре все 6 ребер равны. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое Апофема?
Апофема пирамиды — высота ее боковой грани.Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% построена с помощью треугольников двух типов:
1) Содержит апофему SK и высоту SP
2) Содержит боковую грань SA и ее проекцию PA

Чтобы упростить задачу относятся к этим треугольникам, репетитору по математике удобнее называть первый апофемическим , а второй реберный … К сожалению, вы не найдете этой терминологии ни в одном из учебников, и учитель вынужден вводить это в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды :
1), где — площадь основания пирамиды, а — высота пирамиды
2), где — радиус вписанной сферы, а — общая площадь поверхности пирамиды.
3), где MN — расстояние любых двух пересекающихся ребер, а — площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Высота основания пирамиды:

Точка P (см. Рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основании пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий для учителя математики : обратите внимание, что все точки имеют одно общее свойство: так или иначе боковые грани задействованы везде (апофемы — их элементы).Поэтому наставник может предложить менее точную, но более удобную для запоминания формулировку: точка P совпадает с центром вписанного круга в основании пирамиды, если имеется такая же информация о ее боковых гранях. Чтобы доказать это, достаточно показать, что все апофемические треугольники равны.

Точка P совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды, если выполняется одно из трех условий:
1) Все боковые грани равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены на высоту

Ken Monks | Профессор математики

• 1.Запомните правила для кванторов ($ \ forall $, $ \ exists $) в форме шаблона из конспектов лекции для возможной викторины в классе в четверг.
• 2. Докажите каждую из следующих теорем. Напечатайте ваши формальные доказательства в Lurch. Используйте формальный стиль, который мы использовали — пронумерованные строки, по одному утверждению в строке, а также причину и предпосылки, указанные для каждой строки, которая в ней нуждается. Вы можете использовать только правила логики высказываний и логики предикатов (никакие другие правила и никакие другие теоремы, даже если они доступны в Lurch).Вы должны использовать правила из раздела «Логика»> «Логика предикатов»> «Пустой документ» в своем файле Lurch (выберите его в меню «Файл»> «Выбрать тему» ​​и установите оба флажка в нижней части диалогового окна, прежде чем нажать кнопку «ОК»). Поместите файлы в папку Dropbox во вложенную папку «Задание 7».
• • а. Разминка существования: $ (\ exists x, Q (x)) \ Rightarrow (\ exists x, P (x) \ Rightarrow Q (x)). $
  • г. Закон Мини-ДеМоргана: $ (\ forall x, \ neg P (x)) \ Rightarrow (\ neg \ exists y, P (y)) $

• 1.Докажите каждую из следующих тавтологий. Напечатайте ваши формальные доказательства в Lurch. Используйте формальный стиль, который мы использовали в классе — нумерованные строки, по одному утверждению в строке, а также причину и предпосылки, указанные для каждой строки, которая в ней нуждается. Вы можете использовать только правила логики высказываний и правило копирования. Начните свой новый документ с помощью меню Lurch File> Choose Topic ..> Logic> Propositional Logic> Blank Document. Никаких других правил и никаких других теорем. Поместите файлы в папку Dropbox во вложенную папку с именем «Задание 6» и назовите файлы «Задание 6 — имя».крениться ». Поскольку Lurch может зависнуть, если вы попросите его проверить такое количество доказательств в одном документе, вы можете создать более одного документа Lurch, указав в имени файла, какие проблемы он содержит, и поместить их все в папку Assignment 6.
• • а. Легко и просто: $ P \ text {and} Q \ Leftrightarrow Q \ text {and} P $
  • г. Или — разминка: $ P \ text {или} Q \ Rightarrow Q \ text {или} P $
  • г.Исключенная середина: $ P \ text {или} \ neg P $
  • г. Альтернативное определение подразумевает: $ P \ Rightarrow Q \ Leftrightarrow \ neg P \ text {или} Q $
  • эл. Распределимость ‘или’ над ‘и’: $ P \ text {или} (Q \ text {и} R) \ Leftrightarrow (P \ text {или} Q) \ text {and} (P \ text {или} R) $
  • ф. Альтернативное ИЛИ-правило: $ (P \ text {или} Q) \ text {и} \ neg P \ Rightarrow Q $
• 2. Запомните правила вывода логики высказываний из раздела 4.2 конспектов лекции. Во вторник мы можем провести в классе викторину, где вас попросят вспомнить их полностью по памяти. (Запомните формы шаблона во второй таблице.)

• 0. Запомните вывод правил для логики высказываний в разделе 4.2 заметок к лекции (в папке Dropbox). В этот день мы можем провести в классе викторину, где вас попросят вспомнить их полностью по памяти.(Запомните формы шаблона из второй таблицы.)
• 1. Докажите каждую из следующих тавтологий . Напечатайте ваши формальные доказательства в Lurch. Используйте формальный стиль, который мы использовали в классе — нумерованные строки, по одному утверждению в строке, а также причину и предпосылки, указанные для каждой строки, которая в ней нуждается. Вы можете использовать только правила логики высказываний и правило копирования. Начните свой новый документ с помощью меню Lurch File> Choose Topic ..> Logic> Propositional Logic> Blank Document.Никаких других правил и никаких других теорем. Поместите файлы в папку Dropbox в подпапку с именем «Задание 5» и назовите файлы «Задание 5 — firstname.lurch».
• • а. Легкая разминка: $ R \ Rightarrow (Q \ Rightarrow (P \ text {или} Q))
  $
  • г. Все следует из противоречия: $ \ rightarrow \ leftarrow \ Rightarrow P $
  • г. Ассоциативность ‘or’: $ (P \ text {or} Q) \ text {or} R \ Leftrightarrow P \ text {or} (Q \ text {or} R) $
  • г. Закон ДеМоргана 2: $ \ neg (P \ text {and} Q) \ Rightarrow \ neg P \ text {or} \ neg Q $

• 0. Запомните вывод правил для логики высказываний в разделе 4.2 заметок лекции (в папке Dropbox). Во вторник мы проведем в классе викторину, где вас попросят вспомнить их полностью по памяти. (Запомните формы шаблона из второй таблицы.)
• 1. Напечатайте формальное доказательство каждого из следующих утверждений. Вы можете использовать только те правила логики высказываний, которые обсуждались в классе. Для этого запустите новый документ, используя меню Lurch File> Choose Topic ..> Logic> Propositional Logic> Blank Document. Для каждой теоремы сначала сформулируйте теорему, а затем приведите ее доказательство непосредственно под ней, как я делал в примерах в классе. Пронумеруйте каждое утверждение в доказательстве и дайте причину для каждого утверждения (кроме предположений, для которых причина не нужна). Используйте автоматически пронумерованный список в Lurch для нумерации строк — не набирайте номера строк вручную.Обязательно указывайте номера строк для утверждений, используемых в качестве предпосылок (т. Е. Входных данных), сразу после причины. Используйте клавишу TAB, чтобы выделить свои предположения, а также выровнять причины в отдельном столбце. Делайте всю свою работу в Lurch. Вам не обязательно использовать Lurch, чтобы проверить свою работу над этим заданием, но вы можете, если хотите. Если у вас есть вопросы, просто дайте мне знать. Поместите свое задание в Dropbox в папку для задания 4. Сохраните его как файл .lurch (не в формате PDF), чтобы я мог набирать его и оставлять комментарии и оценки.
  • а. $ Q \ Rightarrow Q \ text {and} Q $
  • г. $ Q \ Rightarrow Q \ text {or} P $
  • г. $ Q \ Rightarrow (P \ Rightarrow Q) $
  • г. $ P \ Leftrightarrow \ neg \ neg P $
  • эл. $ \ neg (\ neg P \ text {and} P) $

• 1. Ответьте на вопросы 2.1, 2.2 и 2.3 в конспектах лекции. Вы можете напечатать свои ответы в любом редакторе или написать их от руки на бумаге.В любом случае отсканируйте или распечатайте документ в формате PDF и поместите его в соответствующую папку в Dropbox.

• Напоминание: для каждого задания, которое вы передаете в Dropbox, создайте папку с названием «Назначение №n», где n — номер задания, который я разместил здесь. Итак, для этого задания поместите его в подпапку нашей общей папки Dropbox под названием «Задание № 2» и поместите туда свои документы. Все задания должны быть сданы до начала занятий в день, когда они должны быть сданы. Обязательно назовите свои файлы, как описано в программе ниже.
• 1. Докажите каждую из следующих теорем о круге и точке. Вы должны использовать программное обеспечение Toy Proof, чтобы убедиться, что ваши доказательства верны. Подтвердите их с помощью программного обеспечения, а затем распечатайте эту веб-страницу в PDF-документ и поместите этот PDF-документ в папку с домашними заданиями Dropbox с соответствующим именем файла. Если вы поместите один PDF-файл для каждой проблемы ниже, назовите файлы, чтобы я знал, какой из них какой.
  • Thm H $ \ bullet \ bigcirc \ bullet $
  • Thm J $ \ bigcirc \ bigcirc \ bigcirc $
  • Thm M $ \ bigcirc \ bigcirc \ bullet \ bullet \ bullet $
  • Thm R $ \ bullet \ bigcirc \ bullet \ bigcirc \ bullet \ bigcirc $
• 2. (Бонус) Можете ли вы объяснить, почему каждое выражение «кружок-точка» может быть доказано в игрушечной системе «Круг-точка», или, если нет, определите с уверенностью именно те выражения, которые могут? Напишите свой ответ в PDF-документе (используя любой редактор, который вам нравится сейчас) и поместите его в ту же папку Dropbox с этим заданием.
• 3. Скачайте и установите Lurch 0.8. Установите его на компьютер, который вы используете для выполнения домашней работы, где у вас есть наша общая папка Dropbox.

• 0. Для каждого задания, которое вы передаете в Dropbox, создайте папку с названием «Назначение №n», где n — номер задания, который я разместил здесь. Итак, для этого задания поместите его в подпапку нашей общей папки Dropbox под названием «Задание № 1» и поместите туда свои документы. Все задания должны быть сданы до начала занятий в день, когда они должны быть сданы. Обязательно назовите свои файлы, как описано в программе ниже.
• 1. Ответьте на задачу № 5 в конце главы 1 в конспектах лекции.Введите свой ответ (вы можете использовать любой редактор для этого задания) и сохраните файл в Dropbox, как описано выше.
• 2. Попробуй придумать, как стабильно обыграть Trix Game. Это еще один пример системы Toy Proof. Я попрошу добровольцев в класс. Файлы cookie могут быть предоставлены.

• Загрузите и установите Dropbox на свой ноутбук и отправьте мне адрес электронной почты, который вы использовали для своей учетной записи Dropbox, если вы еще этого не сделали.
• Прочтите программу курса (см. Ниже).Дайте знать, если у вас появятся вопросы.
• Прочтите Задачу № 1 на 2021 год Подтвердите! вступительный тест, а потом поиграйте в скремблер! Каталог товаров, пока вы не придумаете, как надежно забить любую цель на всех трех машинах (Juggler, Frogger, Whirligig). Вам не нужно отвечать на части (a) — (f) вопроса или передавать что-либо, но вы должны попытаться выяснить стратегию, которая гарантированно побьет все три машины, независимо от того, какая цель появится, когда вы выберете «Новая цель». ». Я спрошу вас в классе, как решить каждую машину.Виртуальные призовые файлы cookie могут быть предоставлены.

Добро пожаловать в математику 299. Я буду размещать здесь задания и объявления в течение семестра. Проверяйте почаще. Ниже приведены ссылки на некоторые ресурсы, которые мы будем использовать в курсе.

• Заключительный экзамен, часть I: Сдайте окончательные решения для 2-го раунда USAMTS. Они должны быть отправлены в Dropbox до 17:15 во вторник, 24 ноября 2020 г. (начало нашего заключительного экзаменационного периода).
• Заключительный экзамен, часть II: Будет проведен во время нашего заключительного экзаменационного периода, который начнется в 17:15 во вторник, 24 ноября 2020 г. (в нашем обычном конференц-зале Zoom).В нем будут описаны факты, которые необходимо знать, размещенные на Piazza. Вы должны знать их достаточно хорошо, чтобы быстро отвечать на вопросы в стиле MATHCOUNTS Countdown-Round либо мысленно, либо используя только карандаш и бумагу. Никакие калькуляторы или справочные материалы не допускаются. В конце концов, вы должны знать эти факты.

задач геометрии из ИМО: Всероссийский 1993

Отрезки $ AB $ и $ CD $ длины $ 1 $ пересекаются в точке $ O $, а угол $ AOC $ равен шестидесяти градусам. Докажите, что $ AC + BD \ ge 1 $

2000 Всероссийский сорт IX П3
Пусть $ O $ — центр описанной окружности $ \ omega $ остроугольного треугольника $ ABC $.Окружность $ \ omega_1 $ с центром $ K $ проходит через $ A $, $ O $, $ C $ и пересекает $ AB $ в точке $ M $ и $ BC $ в точке $ N $. Точка $ L $ симметрична $ K $ относительно прямой $ NM $. Докажите, что $ BL \ perp AC $.
2000 Всероссийский сорт IX П7
Пусть $ E $ — точка на медиане $ CD $ треугольника $ ABC $. Окружность $ \ mathcal S_1 $, проходящая через $ E $ и касающаяся $ AB $ в точке $ A $, снова встречается со стороной $ AC $ в точке $ M $. Окружность $ S_2 $, проходящая через $ E $ и касающаяся $ AB $ в точке $ B $, пересекается со стороной $ BC $ в точке $ N $. Докажите, что описанная окружность $ \ треугольника CMN $ касается как $ \ mathcal S_1 $, так и $ \ mathcal S_2 $.2000 Всероссийская марка Х П3
] В остро разностороннем треугольнике $ ABC $ биссектриса острого угла между высотами $ AA_1 $ и $ CC_1 $ пересекает стороны $ AB $ и $ BC $ в точках $ P $ и $ Q $ соответственно. Биссектриса угла $ B $ пересекает отрезок, соединяющий ортоцентр $ ABC $ и середину $ AC $ в точке $ R $. Докажите, что $ P $, $ B $, $ Q $, $ R $ лежат на окружности. 2000 Всероссийская марка Х Р7
Две окружности касаются внутри в точке $ N $. Хорды ​​$ BA $ и $ BC $ большей окружности касаются меньшей окружности в точках $ K $ и $ M $ соответственно.$ Q $ и $ P $ — середины дуг $ AB $ и $ BC $ соответственно. Окружности треугольников $ BQK $ и $ BPM $ пересекаются в точке $ L $. Покажите, что $ BPLQ $ — параллелограмм. 2000 г. Всероссийский сорт ХΙ П7
Четырехугольник $ ABCD $ описан вокруг окружности $ \ omega $. Прямые $ AB $ и $ CD $ пересекаются в точке $ O $. Окружность $ \ omega_1 $ касается стороны $ BC $ в точке $ K $ и продолжения сторон $ AB $ и $ CD $, а окружность $ \ omega_2 $ касается стороны $ AD $ в точке $ L $ и до продолжений сторон $ AB $ и $ CD $.Предположим, что точки $ O $, $ K $, $ L $ лежат на прямой. Докажите, что середины $ BC $ и $ AD $ и центр $ \ omega $ также лежат на одной прямой.

2001 Всероссийский сорт IX P3
Внутри параллелограмма $ ABCD $ взята точка $ K $, так что середина $ AD $ равноудалена от $ K $ и $ C $, а середина $ CD $ равноудалена от $ K $ и $ A $. Пусть $ N $ — середина $ BK $. Докажите, что углы $ NAK $ и $ NCK $ равны.

2001 Общероссийский сорт IX P7
Пусть $ N $ — точка на самой длинной стороне $ AC $ треугольника $ ABC $.Серединные перпендикуляры к $ AN $ и $ NC $ пересекают $ AB $ и $ BC $ соответственно в $ K $ и $ M $. Докажите, что центр $ O $ описанной окружности треугольника ABC $ лежит на описанной окружности треугольника $ KBM $.

2001 Всероссийская комплектация Х Р7
Точки $ A_1, B_1, C_1 $ внутри остроугольного треугольника $ ABC $ выбираются на высотах из $ A, B, C $ соответственно так, чтобы сумма площадей треугольников $ ABC_1, BCA_1 $ и $ CAB_1 $ равна площади треугольника $ ABC $. Докажите, что описанная окружность треугольника $ A_1B_1C_1 $ проходит через ортоцентр $ H $ треугольника $ ABC $.
2001 Общероссийский сорт ХΙ П2
Пусть окружность $ {\ omega} _ {1} $ касается изнутри другой окружности $ {\ omega} _ {2} $ в точке $ N $. Возьмите точку $ K $ на $ {\ omega} _ {1} $ и нарисуйте касательную $ AB $, которая пересекает $ {\ omega} _ {2} $ в точках $ A $ и $ B $. Пусть $ M $ — середина дуги $ AB $, которая находится с противоположной стороны от $ N $. Докажите, что описанный радиус $ \ треугольника KBM $ не зависит от выбора $ K $. 2001 Всероссийская марка ХΙ П8
Сфера с центром на плоскости грани $ ABC $ тетраэдра $ SABC $ проходит через $ A $, $ B $ и $ C $ и снова встречается с ребрами $ SA $, $ SB $, $ SC $ в точках $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ соответственно.Плоскости, проходящие через $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $, касательные к сфере, встречаются в точке $ O $. Докажите, что $ O $ — центр описанной окружности тетраэдра $ SA_1B_1C_1 $.

2002 Общероссийский класс IX P2
Точка $ A $ лежит на одном луче, а точки $ B, C $ лежат на другом луче угла с вершиной в $ O $, так что $ B $ лежит между $ O $ и $ C $. Пусть $ O_1 $ — центр $ \ треугольника OAB $, а $ O_2 $ — центр вневписанной окружности $ \ треугольника OAC $, касающейся стороны $ AC $. Докажите, что если $ O_1A = O_2A $, то треугольник $ ABC $ равнобедренный.

2002 Общероссийский сорт IX P7
Пусть $ O $ — центр описанной окружности треугольника $ ABC $. На сторонах $ AB $ и $ BC $ выбраны точки $ M $ и $ N $ соответственно так, чтобы угол $ AOC $ был в два раза больше угла $ MON $. Докажите, что периметр треугольника $ MBN $ не меньше длины стороны $ AC $

. 2002 Всероссийский сорт Х П2
Четырехугольник $ ABCD $ вписан в круг $ \ omega $. Касательная к $ \ omega $ в точке $ A $ пересекает луч $ CB $ в точке $ K $, а касательная к $ \ omega $ в точке $ B $ пересекает луч $ DA $ в точке $ M $.\ prime $ параллельна биссектрисе $ \ angle BAC $. Аналогично определяются прямые $ b $ и $ c $. Докажите, что $ a, b, c $ имеют общую точку. Диагонали $ AC $ и $ BD $ вписанного четырехугольника $ ABCD $ пересекаются в точке $ O $. Описанные окружности треугольников $ AOB $ и $ COD $ снова пересекаются в точке $ K $. Точка $ L $ такова, что треугольники $ BLC $ и $ AKD $ похожи и одинаково ориентированы. Докажите, что если четырехугольник $ BLCK $ выпуклый, то он касается [имеет вписанную окружность].

2003 Общероссийская сорт IX P2
Две окружности $ S_1 $ и $ S_2 $ с центрами $ O_1 $ и $ O_2 $ соответственно пересекаются в точках $ A $ и $ B $.Касательные в точках $ A $ к $ S_1 $ и $ S_2 $ пересекаются с сегментами $ BO_2 $ и $ BO_1 $ в точках $ K $ и $ L $ соответственно. Покажите, что $ KL \ parallel O_1O_2. $

2003 г. Всероссийский сорт IX П6
Пусть $ B $ и $ C $ — произвольные точки на сторонах $ AP $ и $ PD $ соответственно остроугольного треугольника $ APD $. Диагонали четырехугольника $ ABCD $ пересекаются в точке $ Q $, а $ H_1, H_2 $ являются ортоцентрами треугольников $ APD $ и $ BPC $ соответственно. Докажите, что если прямая $ H_1H_2 $ проходит через точку пересечения $ X \ (X \ neq Q) $ описанных окружностей треугольников $ ABQ $ и $ CDQ $, то она также проходит через точку пересечения $ Y \ (Y \ neq Q) $ описанных окружностей треугольников $ BCQ $ и $ ADQ.$
2003 Всероссийский сорт Х П2
Диагонали вписанного четырехугольника $ ABCD $ пересекаются в точке $ O $. Пусть $ S_1, S_2 $ — описанные окружности треугольников $ ABO $ и $ CDO $ соответственно, а $ O, K $ — точки их пересечения. Прямые, проходящие через $ O $, параллельные $ AB $ и $ CD $, снова пересекают $ S_1 $ и $ S_2 $ в $ L $ и $ M $ соответственно. Берутся точки $ P $ и $ Q $ на отрезках $ OL $ и $ OM $ соответственно, что $ OP: PL = MQ: QO $. Докажите, что $ O, K, P, Q $ лежат на окружности.

2003 Всероссийский сорт X P6
В треугольнике $ ABC O $ — центр описанной окружности, а $ I $ — центр.Вписанная окружность $ \ omega_a $ касается лучей $ AB, AC $ и стороны $ BC $ в точках $ K, M, N $ соответственно. Докажите, что если середина $ P $ треугольника $ KM $ лежит на описанной окружности треугольника ABC $, то точки $ O, N, I $ лежат на прямой.

Вписанная сфера тетраэдра $ ABCD $ касается $ ABC, ABD, ACD $ и $ BCD $ в точках $ D_1, C_1, B_1 $ и $ A_1 $ соответственно. Рассмотрим плоскость, равноудаленную от $ A $ и плоскость $ B_1C_1D_1 $ (параллельную $ B_1C_1D_1 $), и три плоскости, определенные аналогично для вершин $ B, C, D $. Докажите, что центр описанной окружности тетраэдра, образованного этими четырьмя плоскостями, совпадает с центром описанной окружности тетраэдра $ ABCD $.

2004 Общероссийский класс IX P2
Пусть $ ABCD $ — описанный четырехугольник (т. Е. Четырехугольник с вписанной окружностью). Биссектрисы внешних углов углов $ DAB $ и $ ABC $ пересекаются друг с другом в точке $ K $; биссектрисы внешних углов $ ABC $ и $ BCD $ пересекаются друг с другом в точке $ L $; биссектрисы внешних углов углов $ BCD $ и $ CDA $ пересекаются друг с другом в точке $ M $; биссектрисы внешних углов $ CDA $ и $ DAB $ пересекаются друг с другом в точке $ N $. Пусть $ K_ {1} $, $ L_ {1} $, $ M_ {1} $ и $ N_ {1} $ будут ортоцентрами треугольников $ ABK $, $ BCL $, $ CDM $ и $ DAN $, соответственно.Покажите, что четырехугольник $ K_ {1} L_ {1} M_ {1} N_ {1} $ является параллелограммом.

2004 Всероссийский класс IX P8
Пусть $ O $ — центр описанной окружности треугольника $ ABC $, пусть $ T $ — центр описанной окружности треугольника $ AOC $, а $ M $ — середина окружности. сегмент $ AC $. Возьмем точку $ D $ на стороне $ AB $ и точку $ E $ на стороне $ BC $, которые удовлетворяют $ \ angle BDM = \ angle BEM = \ angle ABC $. Покажите, что прямые $ BT $ и $ DE $ перпендикулярны.

2004 Всероссийский сорт X P3
Пусть $ ABCD $ — четырехугольник, который одновременно является вписанным и касательным четырехугольником.(Под касательным четырехугольником мы понимаем четырехугольник с вписанной окружностью.)

Пусть вписанная окружность четырехугольника $ ABCD $ касается его сторон $ AB $, $ BC $, $ CD $ и $ DA $ в точках $ K $, $ L $, $ M $ и $ N $ соответственно. Биссектрисы внешних углов углов $ DAB $ и $ ABC $ пересекаются друг с другом в точке $ K ‘$. Биссектрисы внешних углов $ ABC $ и $ BCD $ пересекают друг друга в точке $ L ‘$. Биссектрисы внешних углов углов $ BCD $ и $ CDA $ пересекаются друг с другом в точке $ M ‘$.Биссектрисы внешних углов углов $ CDA $ и $ DAB $ пересекаются друг с другом в точке $ N ‘$. Докажите, что прямые $ KK ‘$, $ LL’ $, $ MM ‘$ и $ NN’ $ совпадают.

2004 г. Всероссийский сорт ХΙ П2
Пусть $ I (A) $ и $ I (B) $ — центры вневписанных окружностей треугольника $ ABC, $, который касается сторон $ BC $ и $ CA $ внутри. Кроме того, пусть $ P $ — точка на описанной окружности $ \ omega $ треугольника $ ABC. $ Покажем, что центр отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников $ I (A) CP $ и $ I (B) CP $ совпадает с центром окружности $ \ omega.$ 2004 г. Всероссийская марка ХΙ П8
Параллелепипед рассекается плоскостью по 6-угольнику. Предположим, этот 6-угольник можно поместить в некоторый прямоугольник $ \ pi $ (что означает, что можно поместить прямоугольник $ \ pi $ на плоскость параллелепипеда так, чтобы 6-угольник полностью был покрыт прямоугольником). Покажите, что можно также поместить одну из граней параллелепипеда в прямоугольник $ \ pi. $

2005 Всероссийский класс IX P1
Для параллелограмма $ ABCD $ с $ AB

2005 Всероссийский сорт №6, сорт X P7
У нас остроугольный треугольник $ ABC $, $ AA ‘, BB’ $ — его высоты. Выбрана точка $ D $ на дуге $ ACB $ описанной окружности $ ABC $. Если $ P = AA ‘\ cap BD, Q = BB’ \ cap AD $, покажите, что середина $ PQ $ лежит на $ A’B ‘$.

2005 Всероссийская марка X P4
$ w_B $ и $ w_C $ — вневписанные окружности треугольника $ ABC $. Окружность $ w_B ‘$ симметрична $ w_B $ относительно середины $ AC $, окружность $ w_C’ $ симметрична $ w_C $ относительно середины $ AB $.Докажите, что радикальная ось $ w_B ‘$ и $ w_C’ $ делит периметр $ ABC $ пополам.

2005 Всероссийский сорт ХΙ П3
Пусть $ A ‘, \, B’, \, C ‘$ — точки, в которых вневписанные окружности касаются соответствующих сторон треугольника $ ABC $. Окружности треугольников $ A’B’C, \, AB’C ‘, \, A’BC’ $ пересекают описанную окружность треугольника $ ABC $ в точках $ C_1 \ ne C, \, A_1 \ ne A, \, B_1 \ ne B $ соответственно. Докажите, что треугольник $ A_1B_1C_1 $ похож на треугольник, образованный точками, в которых вписанная окружность $ ABC $ касается его сторон. 2005 Всероссийский сорт ХΙ П7
Четырехугольник $ ABCD $ без параллельных сторон описан вокруг окружности с центром $ O $.Докажите, что $ O $ является точкой пересечения средних прямых четырехугольника $ ABCD $ (т.е. барицентром точек $ A, \, B, \, C, \, D $) тогда и только тогда, когда $ OA \ cdot OC = OB \ cdot OD $.

2006 г. Всероссийский сорт IX P4
Дан треугольник $ ABC $. Пусть окружность $ \ omega $ касается описанной окружности треугольника $ ABC $ в точке $ A $, пересекает сторону $ AB $ в точке $ K $ и пересекает сторону $ BC $. Пусть $ CL $ касается окружности $ \ omega $, где точка $ L $ лежит на $ \ omega $, а отрезок $ KL $ пересекает сторону $ BC $ в точке $ T $.Покажите, что отрезок $ BT $ имеет ту же длину, что и касательная от точки $ B $ к окружности $ \ omega $.

2006 Всероссийский сорт IX П6
Пусть $ P $, $ Q $, $ R $ — точки на сторонах $ AB $, $ BC $, $ CA $ треугольника $ ABC $ такие, что $ AP = CQ $ и четырехугольник $ RPBQ $ является вписанным. Касательные к описанной окружности треугольника $ ABC $ в точках $ C $ и $ A $ пересекают прямые $ RQ $ и $ RP $ в точках $ X $ и $ Y $ соответственно. Докажите, что $ RX = RY $. 2006 Всероссийская марка Х П4
Рассмотрим равнобедренный треугольник $ ABC $ с $ AB = AC $ и окружность $ \ omega $, которая касается сторон $ AB $ и $ AC $ этого треугольника и пересекает сторону $ BC $ в точках $ K $. и $ L $.Отрезок $ AK $ пересекает окружность $ \ omega $ в точке $ M $ (кроме $ K $). Пусть $ P $ и $ Q $ — отражения точки $ K $ в точках $ B $ и $ C $ соответственно. Покажите, что описанная окружность треугольника $ PMQ $ касается окружности $ \ omega $, 2006 Всероссийская марка Х П6
Пусть $ K $ и $ L $ — две точки на дугах $ AB $ и $ BC $ описанной окружности треугольника $ ABC $ соответственно такие, что $ KL \ parallel AC $. Покажите, что центры треугольников $ ABK $ и $ CBL $ равноудалены от середины дуги $ ABC $ описанной окружности треугольника $ ABC $.2006 Всероссийский сорт ХΙ П4
Дан треугольник $ ABC $. Биссектрисы углов $ ABC $ и $ BCA $ пересекают стороны $ CA $ и $ AB $ в точках $ B_1 $ и $ C_1 $ и пересекают друг друга в точке $ I $. Прямая $ B_1C_1 $ пересекает описанную окружность треугольника $ ABC $ в точках $ M $ и $ N $. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника $ MIN $ вдвое больше, чем радиус описанной окружности треугольника $ ABC $. 2006 Всероссийский сорт ХΙ П6
Рассмотрим тетраэдр $ SABC $. Вписанная окружность треугольника $ ABC $ имеет центр $ I $ и касается его сторон $ BC $, $ CA $, $ AB $ в точках $ E $, $ F $, $ D $ соответственно.Пусть $ A ‘$, $ B’ $, $ C ‘$ — точки на отрезках $ SA $, $ SB $, $ SC $ такие, что $ AA’ = AD $, $ BB ‘= BE $, $ CC. ‘= CF $, и пусть $ S’ $ — точка, диаметрально противоположная точке $ S $ на описанной сфере тетраэдра $ SABC $. Предположим, что прямая $ SI $ — это высота тетраэдра $ SABC $. Покажите, что $ S’A ‘= S’B’ = S’C ‘$.

2007 г. Всероссийский сорт VIII P3
Дан ромб $ ABCD $. На его стороне $ BC $ выбрана точка $ M $. Прямые, проходящие через $ M $ и перпендикулярные $ BD $ и $ AC $, пересекаются с прямой $ AD $ в точках $ P $ и $ Q $ соответственно.Предположим, что прямые $ PB, QC, AM $ имеют общую точку. Найдите все возможные значения отношения $ \ frac {BM} {MC} $.

С. Берлов, Ф. Петров, А. Акопян

2007 Всероссийский сорт VIII П6
Прямая, проходящая через центр $ I $ треугольника $ ABC $, пересекает его стороны $ AB $ и $ BC $ в точках $ M $ и $ N $ соответственно. Треугольник $ BMN $ острый. На стороне $ AC $ выбраны точки $ K, L $ такие, что $ \ angle ILA = \ angle IMB $ и $ \ angle KC = \ angle INB $. Докажите, что $ AM + KL + CN = AC $.

С. Берлова

2007 Всероссийский сорт IX П4 сорт Х П4,
$ BB_ {1} $ — биссектриса остроугольного треугольника $ ABC $. Перпендикуляр из $ B_ {1} $ в $ BC $ пересекает меньшую дугу $ BC $ описанной окружности $ ABC $ в точке $ K $. Перпендикуляр из $ B $ в $ AK $ пересекает $ AC $ в точке $ L $. $ BB_ {1} $ встречает дугу $ AC $ в $ T $. Докажите, что $ K $, $ L $, $ T $ коллинеарны.

В. Астахов

2007 Всероссийский сорт IX П6
Пусть $ ABC $ — острый треугольник. Точки $ M $ и $ N $ являются серединами $ AB $ и $ BC $ соответственно, а $ BH $ — высотой $ ABC $.Описанные окружности $ AHN $ и $ CHM $ пересекаются в $ P $, где $ P \ ne H $. Докажите, что $ PH $ проходит через середину $ MN $.

В. Филимонов

2007 Всероссийская марка Х Р6
Две окружности $ \ omega_ {1} $ и $ \ omega_ {2} $ пересекаются в точках $ A $ и $ B $. Пусть $ PQ $ и $ RS $ — отрезки общих касательных к этим окружностям (точки $ P $ и $ R $ лежат на $ \ omega_ {1} $, точки $ Q $ и $ S $ лежат на $ \ omega_ {2 } $). Оказывается, $ RB \ parallel PQ $. Луч $ RB $ пересекает $ \ omega_ {2} $ в точке $ W \ ne B $.Найдите $ RB / BW $.

С. Берлова

2007 Всероссийский сорт ХI П2
Вписанная окружность треугольника $ ABC $ касается его сторон $ BC $, $ AC $, $ AB $ в точках $ A_ {1} $, $ B_ {1} $, $ C_ {1} $ соответственно. Отрезок $ AA_ {1} $ пересекает вписанную окружность в точке $ Q \ ne A_ {1} $. Прямая $ \ ell $, проходящая через $ A $, параллельна $ BC $. Прямые $ A_ {1} C_ {1} $ и $ A_ {1} B_ {1} $ пересекают $ \ ell $ в точках $ P $ и $ R $ соответственно. Докажите, что $ \ angle PQR = \ angle B_ {1} QC_ {1} $.

А. Полянского

Дан тетраэдр $ T $.Валентин хочет найти два его ребра $ a, b $, не имеющих общих вершин, так, чтобы $ T $ было покрыто шарами диаметров $ a, b $. Всегда ли он найдет такую ​​пару?

А.Заславского

2008 Всероссийский сорт IX П3

В разностороннем треугольнике $ ABC, H $ и $ M $ являются ортоцентром и центроидом соответственно. Рассмотрим треугольник, образованный прямыми, проходящими через $ A, B $ и $ C $, перпендикулярными $ AM, BM $ и $ CM $ соответственно. Докажите, что центр тяжести этого треугольника лежит на прямой $ MH $.

2008 Всероссийский сорт IX П6
Вписанная окружность треугольника $ ABC $ касается стороны $ AB $ и $ AC $ в точках $ X $ и $ Y $ соответственно. Пусть $ K $ — середина дуги $ \ widehat {AB} $ на описанной окружности $ ABC $. Предположим, что $ XY $ делит пополам отрезок $ AK $. Каковы возможные меры угла $ BAC $? 2008 Всероссийская комплектация Х П3
Окружность $ \ omega $ с центром $ O $ касается лучей угла $ BAC $ в точках $ B $ и $ C $. Точка $ Q $ берется внутри угла $ BAC $. Предположим, что точка $ P $ на отрезке $ AQ $ такова, что $ AQ \ perp OP $.Прямая $ OP $ пересекает описанные окружности $ \ omega_ {1} $ и $ \ omega_ {2} $ треугольников $ BPQ $ и $ CPQ $ снова в точках $ M $ и $ N $. Докажите, что $ OM = ON $. 2008 Всероссийская комплектация Х Р6
В разностороннем треугольнике $ ABC $ высоты $ AA_ {1} $ и $ CC_ {1} $ пересекаются в точке $ H, O $ — центр описанной окружности, а $ B_ {0} $ — середина стороны $ AC $. Прямая $ BO $ пересекает сторону $ AC $ в точке $ P $, а прямые $ BH $ и $ A_ {1} C_ {1} $ пересекаются в точке $ Q $. Докажите, что прямые $ HB_ {0} $ и $ PQ $ параллельны.2008 Всероссийская марка ХΙ П4
Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса $ 1 $. Покажите, что тетраэдр можно поместить в сферу радиуса $ \ frac {3} {2 \ sqrt2} $. 2008 Всероссийская марка ХΙ П7
В выпуклом четырехугольнике $ ABCD $ лучи $ BA, CD $ пересекаются в точке $ P $, а лучи $ BC, AD $ пересекаются в точке $ Q $. $ H $ — это проекция $ D $ на $ PQ $. Докажите, что в $ ABCD $ вписана окружность тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников $ ADP, CDQ $ видны из $ H $ под тем же углом.

2009 Общероссийский сорт IX П2
Пусть дан треугольник $ ABC $ и биссектриса его внутреннего угла $ BD $ $ (D \ in BC) $. Прямая $ BD $ пересекает описанную окружность $ \ Omega $ треугольника $ ABC $ в точках $ B $ и $ E $. Окружность $ \ omega $ с диаметром $ DE $ снова разрезает $ \ Omega $ на $ F $. Докажите, что $ BF $ — симедиана треугольника $ ABC $.

2009 Всероссийская категория IX P8
Треугольники $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ имеют одинаковую площадь. С помощью циркуля и линейки всегда можно построить треугольник $ A_2B_2C_2 $, равный треугольнику $ A_1B_1C_1 $, так, чтобы прямые $ AA_2 $, $ BB_2 $ и $ CC_2 $ были параллельны?

2009 Всероссийская марка Х П7
Вписанная окружность $ (I) $ данного разностороннего треугольника $ ABC $ касается его сторон $ BC $, $ CA $, $ AB $ в точках $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ соответственно.Обозначим $ \ omega_B $, $ \ omega_C $ окружности, вписанные в четырехугольники $ BA_1IC_1 $ и $ CA_1IB_1 $ соответственно. Докажите, что внутренний общий касательный точек $ \ omega_B $ и $ \ omega_C $, отличных от $ IA_1 $, проходит через $ A $. 2009 Всероссийский сорт ХΙ П3
Пусть $ ABCD $ — треугольная пирамида, у которой ни одна грань не является прямоугольным, а ортоцентры треугольников $ ABC $, $ ABD $ и $ ACD $ лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной пирамиды сферы лежит на плоскости, проходящей через середины точек $ AB $, $ AC $ и $ AD $.

Пусть дан параллелограмм $ ABCD $ и две точки $ A_1 $, $ C_1 $ на его сторонах $ AB $, $ BC $ соответственно. Строки $ AC_1 $ и $ CA_1 $ пересекаются в точке $ P $. Предположим, что описанные окружности треугольников $ AA_1P $ и $ CC_1P $ пересекаются во второй точке $ Q $ внутри треугольника $ ACD $. Докажите, что $ \ angle PDA = \ angle QBA $.

Прямые, касающиеся окружности $ O $ в точках $ A $ и $ B $, пересекаются в точке $ P $. Точка $ Z $ — это центр $ O $. На малой дуге $ AB $ точка $ C $ выбрана не в середине дуги.Прямые $ AC $ и $ PB $ пересекаются в точке $ D $. Прямые $ BC $ и $ AP $ пересекаются в точке $ E $. Докажите, что центры окружностей треугольников $ ACE $, $ BCD $ и $ PCZ $ лежат на одной прямой.

В остром треугольнике $ ABC $ медиана $ AM $ длиннее стороны $ AB $. Докажите, что вы можете разрезать треугольник $ ABC $ на части по $ 3 $, из которых можно построить ромб.

Дан остроугольный треугольник $ ABC $. Окружность, проходящая через $ B $ и центр описанной окружности треугольника, $ O $, пересекает $ BC $ и $ BA $ в точках $ P $ и $ Q $ соответственно.Докажите, что пересечение высот треугольника $ POQ $ лежит на прямой $ AC $.

Калькулятор объема квадратной пирамиды с учетом стороны основания и высоты

[1] 2020/05/20 05:26 Мужчина / До 20 лет / Высшая школа / Университет / Аспирант / — /

Цель использования

Каков объем квадратной пирамиды с учетом края основания и высоты наклона. Округлите ответ до ближайшей десятой, не используя в ответах никаких единиц измерения.

[2] 2019/05/11 01:24 Женский / Моложе 20 лет / Начальная школа / Младшая средняя школа / Немного /

Комментарий / запрос

облегчить чтение и понимание / не так уж и устаревший

[3] 2019/03/22 08:11 Женский / До 20 лет / Начальная школа / Младшая средняя школа / Немного /

Цель использования

Домашнее задание

[4] 2018/10/20 17:14 Женский / Моложе 20 лет / Начальная школа / Младшая средняя школа / Не совсем /

Цель использования

домашнее задание

[5] 2018/03/01 22:46 Женский / До 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирант / Полезно /

Цель использования

класс стержня

[6] 2017/03/07 13:39 Женщина / Моложе 20 лет / Начальная школа / Ученица неполной средней школы / — /

Цель использования

Как решить квадратную пирамиду

[7] 2014/10/01 15:00 Мужской / До 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирант / Не совсем /

Цель использования

Моя проблема была в том, что это проблема.