Банк ЕГЭ | Открытый банк заданий

Банк ЕГЭ

Банк решенных
заданий ЕГЭ по математике

ЕГЭ по математике

В1 ● В2 ● В3 ● В4 ● В5 ● В6 ● В7
В8 ● В9 ● В10 ● В11 ● В12 ● В13 ● В14
С1 ● С2 ● С3 ● С4

Полезные советы

 

Лента задачек

  1. Мы рекомендуем вам использовать сайт https://www. wolframalpha.com/. На этом сайте вы можете: решать не слишком сложные уравнения и системы уравнений (неравенств), брать производные от функций, стоить графики этих функций и так далее. Во время подготовки к ЕГЭ, этот сайт можно использовать для: проверки отсутствия арифметических ошибок, вычисления громоздких выражений, решения промежуточных систем уравнений, и еще для огромного количества других полезных вещей. Более подробную информацию о том, как пользоваться сайтом wolframalpha.com, можно получить в соответствующей статье.
  2. По адресу https://ucheba.pro/ находится популярный форум, на котором находится большое количество решенных задачек с ЕГЭ. Формулы с этого форума показываются в браузере при помощи технологии MathML, которую на текущий момент поддерживают только Firefox и Opera. Мы рекомендуем просматривать этот форум именно через браузер Firefox, потому что отображение в нем MathML-формул самое лучшее.
  3. Не смотря на то, что администрация сайта bankege.ru стремится минимизировать количество ошибок в решениях задач на своем сайте, эти ошибки все равно присутствуют. В связи с этим, рекомендуется критически относиться к решениям представленных на данном сайте задач. В случае обнаружения ошибки в решении задачи, вы можете прокомментировать (либо сразу исправить) ее. В этом случае, ошибка будет оперативно устранена, что очень сильно поможет множеству людей, которые будут читать решение этой задачки после вас.
 

С4

Дан параллелограмм $ABCD$, сторона которого $AB=13$. Из углов $А$ и $В$ проведены биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$. Расстояние от точки $O$ до отрезка АВ равно $\frac{60}{13}$.

{\circ}$ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах. [посмотреть решение]

В7

Найдите, если $\operatorname{tg}\alpha=-4$ [посмотреть решение]
$$\frac{8\cos\alpha+2\sin\alpha+6}{\sin\alpha+4\cos\alpha+3}$$

 

Сумма углов треугольника — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180о.
Доказательство. Для треугольника АВС через вершину С
проведем прямую, параллельную АВ. Тогда 1 = 4, 2
= 5, как внутренние накрест лежащие углы.
Следовательно, 1 + 2 + 3 = 4 + 5 + 3 = 180.
Следствие. Сумма острых
треугольника равна 90о.
углов
прямоугольного

2. Внешний угол треугольника

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних, не смежных с ним.
4 1 3

3. Упражнение 1

В треугольнике ABC угол A равен 30o, угол B
равен 90o. Найдите угол C.
Ответ: 60о.

4. Упражнение 2

Один острый угол прямоугольного треугольника на
32о больше другого. Найдите больший острый
угол.
Ответ: 61о.

5. Упражнение 3

Один острый угол прямоугольного треугольника в
два раза больше другого. Найдите меньший острый
угол.
Ответ: 30о.

6. Упражнение 4

Два острых угла прямоугольного треугольника
относятся как 2:3. Найдите больший острый угол.
Ответ: 54о.

7. Упражнение 5

В треугольнике ABC угол A равен 40o, AC = BC.
Найдите угол C.
Ответ: 100о.

8. Упражнение 6

В треугольнике ABC угол C равен 120o, AC = BC.
Найдите угол A.
Ответ: 30о.

9. Упражнение 7

Один из углов равнобедренного треугольника
равен 100о. Найдите один из других его углов.
Ответ: 40о.

10. Упражнение 8

В треугольнике ABC угол A равен 40o, внешний
угол при вершине B равен 100o. Найдите угол C.
Ответ: 60о.

11. Упражнение 9

В треугольнике ABC угол A равен 40o. Внешний
угол при вершине B равен 70o. Найдите угол C.
Ответ: 30о.

12. Упражнение 10

В треугольнике ABC AC = BC, угол C равен 50o.
Найдите внешний угол CBD.
Ответ: 115о.

13. Упражнение 11

В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол
при вершине B равен 120o. Найдите угол C.
Ответ: 60о.

14. Упражнение 12

В треугольнике ABC AB = BC. Внешний угол
при вершине B равен 140o. Найдите угол C.
Ответ: 70о.

15. Упражнение 13

Один из внешних углов треугольника равен 80о.
Углы, не смежные с данным внешним углом,
относятся как 2:3. Найдите наибольший из них.
Ответ: 48о.

16. Упражнение 14

Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к
третьему равна 30o. Найдите этот третий угол.
Ответ: 165o.

17. Упражнение 15

Углы треугольника относятся как 1:2:3. Найдите
меньший из них.
Ответ: 30о.

18. Упражнение 16

Один острый угол прямоугольного треугольника в
5 раз больше другого. Найдите больший острый
угол.
Ответ: 75о.

19. Упражнение 17

Один острый угол прямоугольного треугольника
на 20о больше другого. Найдите меньший острый
угол.
Ответ: 35о.

20. Упражнение 18

В треугольнике АВС угол C равен 90o, CH –
высота, угол A равен 35o. Найдите угол BCH.
Ответ: 35о.

21. Упражнение 19

В треугольнике АВС угол А = 65o, угол В = 73o,
CH – высота. Найдите разность углов ACH и
BCH.
Ответ: 8о.

22. Упражнение 20

В треугольнике АВС угол А равен 30o, CH –
высота, угол BCH равен 20o. Найдите угол C.
Ответ: 40о.

23. Упражнение 21

В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C
равен 50o, угол CAD равен 30o. Найдите угол B.
Ответ: 70о.

24. Упражнение 22

В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C
равен 30o, угол BAD равен 20o. Найдите угол ADB.
Ответ: 50о.

25. Упражнение 23

В треугольнике АВС AC = BC, AD – высота, угол
BAD равен 25o. Найдите угол C.
Ответ: 50о.

26. Упражнение 24

В треугольнике АВС CD – медиана, угол C равен
90o, угол B равен 60o. Найдите угол ACD.
Ответ: 30о.

27. Упражнение 25

В треугольнике ABC угол A равен 70o, BD и CE –
высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол
DOE.
Ответ: 110o.

28. Упражнение 26

Два угла треугольника равны 60о и 70о. Какой угол
образуют между собой высоты, выходящие из
вершин этих углов?
Ответ: 50o.

29. Упражнение 27

В треугольнике ABC угол C равен 60o, AD и
BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке
O. Найдите угол AOB.
Ответ: 120o.

30. Упражнение 28

Острый угол прямоугольного треугольника равен
30о. Найдите угол, образованный биссектрисами
этого и прямого углов треугольника.
Ответ: 60o.

31. Упражнение 29

Найдите углы между биссектрисами острых
углов прямоугольного треугольника.
Ответ: 45o.

32. Упражнение 30

В треугольнике АВС CH – высота, AD –
биссектриса, угол BAD равен 25o. Найдите угол
AOC.
Ответ: 115о.

33. Упражнение 31

В треугольнике АВС угол А равен 48o, угол C
равен 56o. На продолжении стороны АB
отложен отрезок BD = ВС. Найдите угол D
треугольника BCD.
Ответ: 38о.

34. Упражнение 32

В треугольнике АВС угол А равен 48o, угол В
равен 56o. На продолжении стороны АС
отложены отрезки СЕ = ВС и AD = AB.
Найдите углы треугольника DEB.
Ответ: 24о, 38о, 118o.

35. Упражнение 33

Острые углы прямоугольного треугольника равны
30о и 60о. Найдите угол между высотой и
биссектрисой, проведенными из вершины прямого
угла.
Ответ: 15о.

36. Упражнение 34

В прямоугольном треугольнике угол между
высотой и биссектрисой, проведенными из
вершины прямого угла, равен 20о. Найдите
меньший острый угол данного треугольника.
Ответ: 25о.

37. Упражнение 35

Острые углы прямоугольного треугольника равны
25о и 65о. Найдите угол между высотой и
медианой, проведенными из вершины прямого
угла.
Ответ: 40о.

38. Упражнение 36

В прямоугольном треугольнике угол между
высотой и медианой, проведенными из вершины
прямого угла, равен 30о. Найдите больший из
острых углов этого треугольника.
Ответ: 60о.

39. Упражнение 37

Острые углы прямоугольного треугольника равны
25о и 65о. Найдите угол между биссектрисой и
медианой, проведенными из вершины прямого
угла.
Ответ: 20о.

40. Упражнение 38

Угол между биссектрисой и медианой
прямоугольного треугольника, проведенными из
вершины прямого угла, равен 15о. Найдите
меньший острый угол этого треугольника.
Ответ: 30о.

41. Упражнение 39

В треугольнике ABC угол B равен 45o, угол C равен
80o, AD – биссектриса, AE = AC. Найдите угол
BDE.
Ответ: 35o.

42. Упражнение 40

В треугольнике ABC угол A равен 30o, угол B равен
85o, CD – биссектриса внешнего угла, СE = BC.
Найдите угол BDE.
Ответ: 55o.

43. Упражнение 41

На рисунке угол 1 равен 45о, угол 2 равен
90о, угол 3 равен 30о. Найдите угол 4.
Ответ: 120о.

44. Упражнение 42

На рисунке 1 = 45о, 2 = 100о, 3 = 60о, 4
= 30о . Найдите углы 5, 6.
Ответ: 110о, 140о.

45. Упражнение 43

На рисунке 1 = 45о, 2 = 110о, 3 = 70о, 4
= 45о, 5 = 20о. Найдите угол 6.
Ответ: 155о.

English     Русский Правила

Теорема по углам наружного угла — Формула и примеры

, написанные

Малкольм МакКинси

Проверка по фактам

Пол Маззола

Внешний угол.

любой внешний угол треугольника равен сумме двух противоположных внутренних углов и что сумма всех трех внутренних углов треугольника равна 180° , сумме двух прямых углов (теорема о сумме треугольников).

Формула теоремы о внешнем угле

Теорема о внешнем угле основана на предложении 16 Евклида и предложении 32 его «Элементов». Вместе они дают нам теорему о внешнем угле, которую мы можем использовать для решения отсутствующих углов треугольников.

Теорема о внешнем угле

Внешние углы треугольника

Чтобы понять теорему о внешнем угле, вы должны знать, что такое внешний угол любого многоугольника. Треугольник имеет три внутренних угла, но он также имеет шесть внешних углов, которые являются углами между стороной треугольника и продолжением смежной стороны.

Взяв по одному внешнему углу в каждой вершине, сумма трех внешних углов любого многоугольника всегда равна 360° . Это работает в любом направлении.

Доказательство теоремы о внешнем угле

Построим треугольник с внешним углом и докажем теорему о внешнем угле.

Вот △ABC , названный в честь трех углов: угол A , угол B и угол C . Мы расширили одну сторону, до н.э. , далеко за пределы треугольника:

Построение внешнего угла

Добавляем Точку D на отрезок BC и получаем отрезок BD . Это дает нам внешний вид ∠ACD .

Далее построим отрезок, параллельный отрезку AB :

Доказательство теоремы о внешнем угле

. Это означает ∠BAC и ∠ACE  конгруэнтны, потому что они представляют собой чередующиеся внутренние углы двух параллельных прямых, пересеченных секущей.

Два угла, ∠ECD и ∠ABC , также равны, потому что они являются соответствующими углами.

Следовательно, ∠ACD  равно сумме мер ∠BAC + ∠ABC , двух внутренних углов треугольника, противоположных внешнему ∠ACD .

Последний шаг, добавление внутреннего ∠ACB к ∠ACD  чтобы получить отрезок прямой BD , показывает, что сумма трех внутренних углов треугольника составляет 180° .

Пример теоремы о внешнем угле

Теорема о внешнем угле полезна для нахождения неизвестного угла любого треугольника. Если вам дана мера одного внешнего угла треугольника, J , и одного противоположного угла, F ​​ , вычитание даст вам недостающий угол, G . Символ, ∠  обозначает измеренный угол.

Вычтите известный внутренний угол из внешнего угла:

Предположим, что внешний угол равен 110°  и вам сказали, что один из его противоположных внутренних углов равен 47° . Подставьте известные значения, чтобы найти неизвестное:

Теперь вы знаете два из трех внутренних углов и можете, при необходимости, легко найти третий внутренний угол, вычитая их из 180° :

Теорема о внешнем треугольник

Вы также можете использовать теорему, чтобы найти угол, прилегающий к внешнему углу, просто вычитая внешний угол из 180° .

Теорема о внешнем угле Часто задаваемые вопросы

Вы поняли это? Проверьте понимание, ответив на эти вопросы.

  1. Сколько внешних углов у треугольника? Сколько внутренних углов?

  2. Чему равна сумма внутренних углов треугольника?

  3. Чему равна сумма одного набора внешних углов треугольника?

  4. Внешний угол треугольника равен 145° , а один из его противоположных внутренних углов равен 51° . Чему равен другой противолежащий внутренний угол?

  5. Внешний угол треугольника равен 139° . Чему равен прилежащий внутренний угол треугольника?

Пожалуйста, сделайте все возможное, прежде чем сверять свои ответы с нашими.

  1. Треугольник имеет шесть внешние углы и три внутренних угла .

  2. Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (теорема о суммах треугольников).

  3. Сумма одного набора внешних углов треугольника равна 360° .

  4. Внешний угол треугольника равен 145° , а один из его противоположных внутренних углов равен 151° . Размер другого противоположного внутреннего угла равен 91°

  5. Внешний угол треугольника равен 139° . Прилежащий внутренний угол треугольника должен быть равен 41° . Это дополнительные углы.

Дополнительные уголки

Горячая математика

Дополнительные углы два углы чьи меры складываются в 180 ° .

Два угла линейная пара , нравиться ∠ 1 и ∠ 2 на рисунке ниже всегда являются дополнительными.

Но два угла не обязательно должны быть смежными, чтобы быть дополнительными. На следующем рисунке ∠ 3 и ∠ 4 являются дополнительными, потому что их меры добавляют к 180 ° .

Пример 1:

Два угла являются дополнительными. Если градусная мера одного угла в два раза больше другого, найдите градусную меру каждого угла.

Пусть мера одного из дополнительных углов равна а .

Мера другого угла 2 раз а .

Значит, мера другого угла 2 а .

Если сумма мер двух углов равна 180 ° , то углы дополнительные.

Так, а + 2 а «=» 180 °

Упрощать.

3 а «=» 180 °

Изолировать а , разделите обе части уравнения на 3 .

3 а 3 «=» 180 ° 3 а «=» 60 °

Мера второго угла равна

2 а «=» 2 × 60 ° «=» 120 °

Таким образом, меры двух дополнительных углов равны 60 ° и 120 ° .

Пример 2:

Находить м ∠ п и м ∠ Вопрос если ∠ п и ∠ Вопрос являются дополнительными, м ∠ п «=» 2 Икс + 15 , и м ∠ Вопрос «=» 5 Икс − 38 .

Сумма мер двух дополнительных углов равна 180 ° .

Так, м ∠ п + м ∠ Вопрос «=» 180 °

Заменять 2 Икс + 15 для м ∠ п и 5 Икс − 38 для м ∠ Вопрос .

2 Икс + 15 + 5 Икс − 38 «=» 180 °

Соедините подобные термины. Мы получаем:

7 Икс − 23 «=» 180 °

Добавлять 23 в обе стороны. Мы получаем:

7 Икс «=» 203 °

Разделите обе стороны на 7 .

7 Икс 7 «=» 203 ° 7

Упрощать.

Икс «=» 29 °

Найти м ∠ п , заменять 29 для Икс в 2 Икс + 15 .

2 ( 29 ) + 15 «=» 58 + 15

Упрощать.