Окружность. Основные теоремы
\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]
Определения
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.
Теорема
Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство
Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:
Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).
Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:
1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.
2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.
Следствия
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]
Определения
Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:
1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).
2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).
3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).
Теорема
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.
Следствие
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Доказательство
Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):
Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).
Следствие
Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).
\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]
Теорема об угле между секущими
Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство
Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:
Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\).
\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\), тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), откуда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA\), но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} — \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\), что и требовалось доказать.
Теорема об угле между пересекающимися хордами
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]
Доказательство
\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.
Из треугольника \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ — \angle BDA — \angle CAD = 180^\circ — \frac12\buildrel\smile\over{AB} — \frac12\buildrel\smile\over{CD}\).
Но \(\angle AMD = 180^\circ — \angle CMD\), откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]
Теорема об угле между хордой и касательной
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Доказательство
Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\), \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\), пересекает \(a\) в точке \(M\). Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\).
Обозначим \(\angle OAB = \alpha\). Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ — 2\alpha = 2(90^\circ — \alpha)\).
Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\), то есть \(\angle OAM = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ — \angle OAB = 90^\circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).
Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами
Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.
И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.
Доказательство
1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).
\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).
2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).
Теорема
Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.
Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.
Доказательство
1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).
Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).
2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).
Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).
\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]
Теорема о произведении отрезков хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство
Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).
Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\), а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\), откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\).
Теорема о касательной и секущей
Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Доказательство
Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\). Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\). Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\).
Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\): \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\). По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\). Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.
Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\), что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\).
Следствие
Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):
shkolkovo.net
Запоминание через понимание. Визуализация синуса
Запоминание через понимание
Смотрим определение синуса в учебнике геометрии. «Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе».
Дает ли это определение понимание синуса? Нет, не дает. Определение не полное. Потому что оно рассматривает только частный случай треугольника — прямоугольный треугольник.
Смотрим определение синуса в учебнике алгебры. «Ордината точки Р, полученной при повороте точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол а-радиан, называется синусом числа а, а абсцисса этой точки — косинусом».
Это определение вообще из области математической абстракции, так как вводит отрицательные значения синуса и косинуса. И с пониманием синуса по этому определению ещё больше сложностей.
Есть простой тест на понимание синуса и косинуса. Попросите школьника нарисовать линию косинуса для произвольного треугольника (не прямоугольного). Если он этого сделать не может — он не понимает, что такое синус и косинус.
Иллюстрация 1. Тест на понимание. Где линия косинуса?
(Предполагается описанная окружность с единичным диаметром)
Итак, школьные учебники не дают информации для понимания понятий «синус» и «косинус». Основное понятие тригонометрии (и элементарное понятие) «засекретили», спрятали в частных случаях и в математических абстракциях.
При возникновении проблем с пониманием сейчас можно обратиться к поисковым системам и найти в них недостающую информацию. Чтобы визуализировать синус и косинус, нужно вернуться к истокам тригонометрии, понять, откуда эти понятия появились, и для каких целей.
Изначально синус не связан с треугольником. Синус появился из окружности и вписанного в окружность угла.
В окружности с единичным диаметром синус — это хорда, на которую опирается вписанный угол. А косинус — это перпендикулярная хорде-синусу хорда. На иллюстрации видно, что для любого вписанного угла в окружности имеется две линии синуса и две линии косинуса, которые образуют прямоугольник.
Вот эту иллюстрацию и следует использовать для запоминания понятий «синус» и «косинус». По этой иллюстрации можно дать определение синусу своими словами.
Иллюстрация 2. В окружности с единичным диаметром линии синуса и косинуса (для вписанного угла)
образуют прямоугольник.
На картинке виден частный случай — прямоугольный треугольник,
в котором линия косинуса совпадает с катетом.
Связан ли синус (длина хорды) с противолежащим углом? Ведь мы привыкли говорить «синус угла». Связь длины хорды с углом очень не простая… Скорее, можно говорить о табличном соответствии длины хорды и величины вписанного в окружность угла.
Синус напрямую связан с другим элементом в окружности — с её диаметром. Если мы рассмотрим окружность с произвольным диаметром и вписанный в эту окружность произвольный треугольник (не прямоугольный), то синус получается путем деления стороны треугольника на диаметр этой окружности. То есть, синус — это коэффициент пропорциональности стороны вписанного в окружность треугольника. Понятие «синус» напрямую связано со стороной треугольника. Но традиции есть традции — принято говорить «синус угла».
Как получаются синусы сторон треугольника видно на иллюстрации ниже. Мы можем вычислить синусы всех сторон (или синусы всех углов, как принято говорить), измерив точной линейкой стороны треугольника и диаметр описанной окружности, и разделив каждую сторону на диаметр. Величины углов нам для этого не нужны.
Иллюстрация 3. Опишем вокруг треугольника окружность
и точно измерим стороны треугольника и диаметр окружности
В результате мы получим пропорционально уменьшенный треугольник, вписанный в окружность с единичным диаметром, стороны которого и будут синусами сторон исходного треугольника.
Иллюстрация 4. Стороны треугольника стали синусами,
когда мы уменьшили окружность до единичного диаметра
Усвоив понятие синуса, визуализировав его у себя в воображении, поняв, откуда оно появилось, можно переходить к частным случаям синуса и косинуса, изложенным в учебниках. Легко заметить, что в прямоугольном треугольнике одна из сторон (гипотенуза) одновременно является и диаметром описанной окружности. Теперь становится более понятным определение из учебника геометрии, по которому синус угла — это отношение катета к гипотенузе (т.е., к диаметру окружности). На иллюстрации 2 видно, что косинус совпадает со стороной треугольника только в прямоугольном треугольнике. В любом другом треугольнике линия косинуса находится вне треугольника. В учебнике алгебры, где синус рассматриваются как проекция точки окружности на ось координат, переходят на половины углов и полухорды, и с единичного диаметра на единичный радиус. Для чего? Чтобы ввести отрицательные значения тригонометрических функций.
На иллюстрации 3 и 4 видна теорема синусов. Теорема синусов является очевидной и не нуждается в доказательстве. Если синусы сторон (углов) изначально получены нами путем деления каждой стороны треугольника на диаметр описанной окружности, то отношение любой стороны треугольника к синусу стороны (синусу угла) будет одной и той же величиной, равной диаметру окружности. Это и есть теорема синусов.
a/sinA = b/sinB = c/sinC = d
(sin A — коэффициент пропорциональности стороны «a»)
————————————————-
А как же все таки угол связан со своим синусом?
Ведь для решения задач удобно находить синус угла по значению самого угла. Сейчас это не проблема. На любом калькуляторе вы можете набрать sin (вставить угол) и получить результат с заданной точностью.
Изменение значения синуса при равномерном изменении величины угла визуально похоже на перемещение с равноускоренным движением (представьте падающий на землю шарик и его ускорение в каждую секунду). И очень приблизительные значения синуса (по углу) можно вычислить по формуле перемещения с равноускоренным движением. Но четкой функциональной зависимости значения синуса от величины угла нет. С заданной точностью синус вычисляется по формуле:
В.Козаренко
Дата размещения материала на сайте: 17 марта 2011 года
mnemotexnika.narod.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия
Вписанные и центральные углы
Определение 1. Центральным угломназывают угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Рис. 1
Определение 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Рис. 2
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Теоремы о вписанных и центральных углах
| Фигура | Рисунок | Теорема |
| Вписанный угол | Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Посмотреть доказательство | |
| Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | |
| Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | |
| Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | |
| Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | |
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной Посмотреть доказательство |
| Вписанный угол |
Теорема: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Посмотреть доказательство |
Теорема: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. |
Теорема: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды |
Теорема: Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды |
Теорема: Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр |
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Теорема: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной Посмотреть доказательство |
Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
| Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
| Угол, образованный пересекающимися хордами | Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Посмотреть доказательство | ||
| Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство | ||
| Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами Посмотреть доказательство | ||
| Угол, образованный касательной и секущей | Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство | ||
| Угол, образованный двумя касательными к окружности | Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный секущими секущими, которые пересекаются вне круга |
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный касательной и хордой хордой, проходящей через точку касания |
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
| Формула: |
Теорема Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
| Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
| Формулы: |
Теорема Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
Теорема 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).
Рис. 5
Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.
Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
Рис. 6
В этом случае справедливы равенства
и теорема 1 в этом случае доказана.
Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
Рис. 7
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1.
Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.
Рис. 8
Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 3. Величина угла, образованного секущими секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.
Рис. 9
Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.
Рис. 10
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать
Теорема 5. Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.
Рис. 11
Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать.
Теорема 6.Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.
Рис. 12
Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство
α = π – γ .
Далее получаем
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Следствие теоремы синусов | Треугольники
Следствие теоремы синусов
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности:
Дано: ∆ ABC,
окружность (O, R) — описанная,
BC=a, ∠A=α.
Доказать:
Доказательство:
I. Если треугольник ABC — остроугольный.
Проведем из точки B диаметр BD.
∠D=∠A=α (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду BC).
∠BCD=90º (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).
Из прямоугольного треугольника BCD по определению синуса острого угла прямоугольного треугольника
BD=2R,
Что и требовалось доказать.
I. Если треугольник ABC — тупоугольный.
В этом случае четырехугольник ABCD — вписанный в окружность, а значит, сумма его противолежащих углов равна 180º:
∠A+∠D=180º.
Отсюда ∠D=∠A=180º — α.
Так как
дальнейшее решение совпадает с решением I.
III. Если треугольник ABC — прямоугольный.
∠C=90º, AB — диаметр, AB=2R.
По определению синуса
Так как по теореме синусов
то
www.treugolniki.ru
Справочник репетитора по математике. Свойства окружности и ее элементов
Теоретические справочные материалы по геометрии для выполнения заданий от репетитора по математике. В помощь ученикам при решении задач.
1) Терема о вписанном угле в окружность.
Теорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть .
2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность.
2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу.
Теорема: если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнителные дуги, их сумма равна
2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр.
Теорема: вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.
AC-диаметр
3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол.
Теорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть
Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.
4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих.
Теорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть
= .
Теорема 2: угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть
5) Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих.
Теорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть
= .
Теорема 2: угол между секущими равен полуразности соответствующих им дуг, то есть
Комментарий репетитора по математике: Обратитте внимание на общую закономерность 4-го и 5-го свойства: хорды в произведениях не участвуют, а сами равенства (с частями и продолжениями хорд) при сохранении обозначений являются точной копией друг друга. Также можно подметить общую структуру равенств с дугами. Репетитору по математике стоит обратить на этих особенностях внимание ученика.
6) Свойства квадрата отрезка касательной
Теорема 1: Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то есть
Теорема 2:угол между касательной и секущей равен полуразности соответствующих им дуг, то есть
7) Угол между касательной и секущей
Теорема:угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен поливине дуги, которую отсекает сукущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).
.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.
ankolpakov.ru
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Рис.1
Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Рис.2
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB. Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D.
Рис.3
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB. Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Рис.4
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE. Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.
Рис.5
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | |
| Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | |
| Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | |
| Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | |
| Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | |
| Теорема синусов | Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов): , где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство | |
| Площадь треугольника | Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство | |
| Радиус описанной окружности | Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
| Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство |
| Окружность, описанная около треугольника |
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство |
| Центр описанной около остроугольного треугольника окружности |
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. |
| Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности |
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство |
| Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности |
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. |
| Теорема синусов |
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов): , где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
| Площадь треугольника |
Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
| Радиус описанной окружности |
Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Рис.6
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
CO = AO .
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
AO = BO .
Следовательно, справедливо равенство:
CO = BO ,
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
AO = OB = OC ,
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)
Рис.7
справедливы равенства:
.
Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Рис.8
Угол MPN, как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Теорема синусов доказана.
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10 |
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
www.resolventa.ru
Синус
см. также синус некоторых углов (sin 60, sin 30, sin 45).
Для прямоугольного треугольника ABC синусом (sin) угла A будет соотношение сторон BC и AB.
Синус угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin A = BC / AB
Значение функции синуса угла альфа в прямоугольном треугольнике будет всегда одинаковым для одного и того же угла независимо от размеров сторон треугольника.
Функция синус угла (sin)
СИНУС (sin) – тригонометрическая величина, функция угла, изменяющаяся с изменением угла. «Синус» переводится с латинского как «изгиб», «кривизна».
Двигая подвижный радиус по полному кругу против часовой стрелки, получаем положительные углы от 0° до 360°.
Двигая подвижный радиус по полному кругу по часовой стрелке, получаются отрицательные углы, соответственно от 0° до -360°.
В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а остальные стороны – катетами.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике есть отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Рассмотрим на окружности изменения функции синуса острого угла, построив на неподвижной стороне угла (ОА) катет прямоугольного треугольника (ОС), у которого гипотенузой будет подвижный радиус (ОВ) (Рис. 1).
По определению синуса угла: sin a=ВС / ОВ .
Для единичной окружности, где ОВ = 1, это длина отрезка ВС. Следовательно, синус угла – это величина проекции подвижного отрезка ОВ на ось у.
Рассмотрим изменения функции sin α (отрезка ВС) при движении подвижного радиуса по окружности и увеличении угла. Пределы изменения синуса угла будем определять по квадрантам.
В I квадранте ( ВС ):
при α = 0º sin α = 0;
при 0º < α < 90º 0 < sin α < 1;
при α = 90º sin α = 1.
Во II квадранте ( В1С1 ):
при α = 90º sin α = 1;
при 90º < α < 180º 1 > sin α > 0;
при α = 180º sin α = 0.
За пройденный первый полукруг sin α изменился от 0 до 0, а наибольшее его значение, равное 1, совпадает с длиной радиуса на положительной полуоси у.
Второй полукруг движения подвижного радиуса можно рассматривать как положительное направление (при движении ОВ дальше против часовой стрелки) и как отрицательное направление (если ОВ вращать по часовой стрелке). Рассмотрим только положительное направление.
В III квадранте ( В2С2 ):
при α = 180º sin α = 0;
при 180º < α < 270º 0 > sin α > -1;
при α = 270º sin α = -1;
В IV квадранте ( В3С3 ):
при α = 270º sin α = -1;
при 270º < α < 360º -1 < sin α < 0;
при α = 360º sin α = 0.
За пройденный второй полукруг sin α изменился от 0 до 0, а наименьшее его значение, равное -1, совпадает с длиной радиуса, но отрицательной полуоси у.
За весь оборот подвижного радиуса ОВ, от совпадения с ОА до второго их совпадения, угол численно изменился от 0º до 360º, а численное значение синуса угла изменялось в пределах от 1 до -1.
см. также — таблица значений основных углов тригонометрических функций.
Начать курс обученияprofmeter.com.ua
Leave A Comment