Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма: 567 Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Теорема Вариньона | Треугольники

В школьном курсе теорема Вариньона часто фигурирует в качестве обычной задачи, в которой требуется доказать, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Её доказательство основано на свойствах средней линии треугольника.

Теорема (Вариньона)

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать: MNKF — параллелограмм.

Доказательство:

1) Проведём диагональ AC.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как точки M и N — середины сторон AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC.

По свойствам средней линии треугольника,

   

   

3) Аналогично, FK — средняя линия треугольника ADC и

   

   

4) По признаку параллельности прямых, две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:

   

А так как

   

и

   

то MN=FK.

5) В четырёхугольнике MKNF противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, MKNF — параллелограмм (по признаку).

Что и требовалось доказать.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются только выпуклые четырёхугольники, доказательство приведено только для этого случая. Но и для невыпуклых четырёхугольников (в том числе, и для самопересекающихся), теорема также верна (доказывается аналогично).

Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона (вариньоновским, вариньоновым).

Следствие 1.

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного параллелограмма

:

   

(так как стороны MNKF равны половине диагонали AC или BD).

Следствие 2.

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного параллелограмма:

   

Доказательство:

   

   

углы COD и NMF равны (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и MN и секущей BD),

   

   

   

Что и требовалось доказать.

Произвольный четырехугольник — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

Произвольный четырехугольник

Cтраница 2

Доказать, что в произвольном четырехугольнике отрезок, соединяющий середины диагоналей, проходит через точку пересечения средних линий и делится в этой точке пополам.  [16]

Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  [17]

Для определения центра тяжести площади произвольного четырехугольника поступают следующим образом. Разбивают данный четырехугольник ABCD ( фиг. ABD и DBC диагональю DB и отыскивают их центры тяжести по известным правилам. Значит, общий центр тяжести должен лежать одновременно на линиях О О и OWOIV; следовательно, он лежит в точке их пересечения О.  [18]

Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  [19]

Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  [20]

Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника ABCD являются вершинами параллелограмма.  [21]

Известно, что если в произвольном четырехугольнике соединить последовательно середины сторон отрезками прямых, то получится параллелограмм, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника.  [22]

Воспользуйтесь тем, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.  [23]

Специализация проявляется также в понижении размерности: ведь произвольный четырехугольник, вообще говоря, имеет размерность 3, в то время как параллелограмм самое большее двумерен.  [24]

Точки А и С — середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки В и D — середины двух других его сторон.  [25]

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон

произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.  [26]

Если вы раньше эту задачу ( о последовательном соединении середин сторон произвольного четырехугольника) не решали, то легко сейчас доказать, что полученная фигура есть параллелограмм. Для этого проведем ( мысленно) диагональ А А, она разбивает четырехугольник на два треугольника. Точно так же В С есть средняя линия & AiA2A4, и поэтому В С параллельна той же диагонали и равна ее половине. Следовательно, противоположные стороны 62 3 и Bi С рассматриваемого четырехугольника параллельны и равны. Поэтому четырехугольник В В % ВъС есть параллелограмм.  [27]

Доказать, что площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям произвольного четырехугольника, равна удвоенной площади этого четырехугольника.  [28]

Определить вид четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон данного: 1) произвольного четырехугольника; 2) параллелограмма; 3) прямоугольника; ромба 5) двадрата 6) траиеции.  [29]

Так как параллелограмм — это четырехугольник со специальными свойствами, то он обладает всеми свойствами произвольного четырехугольника

.  [30]

Страницы:      1    2    3

Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

1)
ВА=АС(т.2 = 169-25=144 ВС = 12(корень из 144)

Y=3x и y=8-2x
Приравниваем
3x=8-2x
5x=8
x=1,6
y=4,8

2 месяца назад

я углы сразу числами обозначь, потом буковкии введу, чтоб много не писать. 1=4=а (как вертикальные)

2=3=с как верт, 5=8 Верт, 6=7 как верт, 4=5=а как накрест лежащие, 3=6=с как н/л. откуда получаем 1=4=5=8 =60/2=30

углый 2 и 1 смежные, значит 2=180-30=150

также из вышенаписанного 2=3=6=7=150

2. 2 и 3 — накрест лежащие, значит, они равны. 2=1 ТК треугольник равнобедренный (ЛМ=МН)

значит, угол 1=углу 3. значит, ДН — биссектриса

10 месяцев назад

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

4 месяца назад

Вписанный и описанный четырехугольники.

Справочный материал

Многоугольники.

1. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна .

2. Площадь любого четырехугольника выражается формулой , где d₁ и d₂ – диагонали, а φ – угол между ними.

3. Теорема Вариньона. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырехугольника.

4. Отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника в точке своего пересечения делятся пополам.

5. Сумма квадратов диагоналей четырехугольника равна удвоенной сумме квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

6. Если биссектрисы всех углов многоугольника пересекаются в одной точке O, то в него можно вписать окружность. Точка O будет ее центром.

Параллелограмм, прямоугольник, ромб

Свойства параллелограмма.

1. Противоположные стороны попарно равны.

2. Противоположные углы попарно равны.

3. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180⁰.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

5. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

6. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

7. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

8. Две диагонали делят параллелограмм на два равновеликих треугольника.

9. Высоты параллелограмма, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине.

10. Высоты обратно пропорциональны соответственным сторонам.

11. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

12. Середина любого отрезка с концами на противоположных сторонах параллелограмма лежит на прямой, проходящей через середины двух других сторон.

Признаки параллелограмма.

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1) Две его стороны равны и параллельны;

2) Его противоположные стороны попарно равны;

3) Его противоположные углы попарно равны;

4) Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;

Формулы площади параллелограмма.

, где — основание, — высота; и — стороны, — угол между ними; и — диагонали, — угол между ними.

Свойства ромба:

1. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

2. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

4. Диагонали ромба являются его осями симметрии.

5. Высоты ромба равны.

6. В ромб можно вписать окружность.

Признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если выполняется одно из следующих условий:

1) Все его стороны равны между собой.

2) Его диагонали пересекаются под прямым углом.

3) Одна из его диагоналей является биссектрисой его угла.

Формулы площади ромба.

, где и — сторона ромба и угол между сторонами соответственно, и — диагонали, — высота.

Трапеция

Свойства трапеции:

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180⁰.

2. Биссектриса угла трапеции, пересекающая второе основание, отсекает от трапеции равнобедренный треугольник.

3. Средняя линия трапеции делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам.

4. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям подобны друг другу, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики, т. е. имеют одинаковые площади.

5. В любой трапеции, следующие четыре точки лежат на одной прямой: середины оснований, точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон.

6. Если в трапецию вписана окружность, то отрезки, соединяющие центр окружности с концами боковой стороны трапеции, перпендикулярны.

 

Площадь трапеции с основаниями и , высотой и средней линией выражается формулой .

7. Если в трапецию вписана окружность и m,n,p,q – длины отрезков боковых сторон от точек касания до вершин, то для вычисления радиуса вписанной в неё окружности можно использовать формулы: .

Признак трапеции.

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны.

Вписанный и описанный четырехугольники.

· В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны друг другу.

· Для того, чтобы четырехугольник ABCD был вписанным необходимо и достаточно выполнения любого из следующих условий:

ü Сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180⁰;

ü ABCD – выпуклый четырехугольник и ∠ABD=∠ACD.

 

Средняя линия выпуклого четырехугольника: свойства, определение

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства средних линий выпуклого четырехугольника касательно точки их пересечения, соотношения с диагоналями и т.д.

Примечание: далее мы будем рассматривать только выпуклую фигуру.

Определение средней линии четырехугольника

Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника (т.е. не пересекающий их), называется его средней линией.

• EF – средняя линия, соединяющая середины AB и CD; AE=EB, CF=FD.
• GH – средняя линия, сеодиняющая середины BC и AD; BG=GC, AH=HD.

Свойства средней линии четырехугольника

Свойство 1

Средние линии четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

• EF и GH (средние линии) пересекаются в точке O;
• EO=OF, GO=OH.

Примечание: Точка O является центроидом (или барицентром) четырехугольника.

Свойство 2

Точка пересечения средних линий четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.

• K – середина диагонали AC;
• L – середина диагонали BD;
• KL проходит через точку O, соединяя K и L.

Свойство 3

Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, который называется параллелограммом Вариньона.

Центром образованного таким образом параллелограмма и точкой пересечения его диагоналей является середина средних линий исходного четырехугольника, т.е. точка их пересечения – O.

Примечание: Площадь параллелограмма равняется половине площади четырехугольника.

Свойство 4

Если углы между диагоналями четырехугольника и его средней линией равны, значит диагонали имеют одинаковую длину.

• EF – средняя линия;
• AC и BD – диагонали;
• ∠ELC = ∠BMF = α, следовательно AC=BD. 

Свойство 5

Средняя линия четырехугольника меньше или равна полусумме непересекающих ее сторон (при условии, что данные стороны параллельны).

EF – средняя линия, не пересекающаяся со сторонами AD и BC.

Иначе говоря, средняя линия четырехугольника равняется половине суммы не пересекающих ее сторон тогда и только тогда, когда данный четырехугольник является трапецией. В этом случае рассматриваемые стороны являются основаниями фигуры.

Свойство 6

Для вектора средней линии произвольного четырехугольника выполняется следующее равенство:

Что такое вершины четырехугольника. Докажите что середины сторон произвольного четырехугольника являются

В школьном курсе теорема Вариньона часто фигурирует в качестве обычной задачи, в которой требуется доказать, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Её доказательство основано на свойствах средней линии треугольника.

Теорема (Вариньона)

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Уголки В этой кладовой представлены основные краеугольные камни. После первых представлений о выпуклых и вогнутых углах, плоском угле, угле угла и нулевом угле. Предпосылки Радикалы Решение первой и второй систем уравнений. Классификация и область алгебраических функций Минимальные цели Знание.

С бумагой и ножницами при открытии страны Геометрия Анна Асти Энрика Вентура Слово ничего не обслуживает, дизайн недостаточен, действие необходимо для того, чтобы ребенок объединил операции. Клара Коломбо Боззоло, Карла Альберти, Патриция Дова Руководитель отдела исследований в области математики.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать : MNKF — параллелограмм.

Доказательство :

1) Проведём диагональ AC.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как точки M и N — середины сторон AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC.

Он имеет диагональную конгруэнтность. Поэтому каждый параллелограмм, имеющий конгруэнтные углы и диагональный конгруэнтный, является. Обозначает строчную букву. Сумма внутренних углов всегда. Уравнения и болезни Маттео Бонетти Общий обзор решения уравнений, неравенств.

Евклидова геометрия Словарь 1 Постулаты, относящиеся к: плоскости, прямой и точка в пространстве Точка, прямая, плоскость в пространстве Точка, прямо в плоскости Пунктуация в строке Точка за пределами. Треугольник — это геометрическая форма с наименьшим количеством сторон, поскольку три — это минимальное количество сторон, с которыми можно.

3) Аналогично, FK — средняя линия треугольника ADC и

Что и требовалось доказать.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются только выпуклые четырёхугольники, доказательство приведено только для этого случая. Но и для невыпуклых четырёхугольников (в том числе, и для самопересекающихся), теорема также верна (доказывается аналогично).

Сумма внутренних углов восьмиугольника. Конгруэнтность между фигурами — отношение эквивалентности. Все плоские линии конгруэнтны друг другу; а также все планы. Мессер Кролик помнит историю. Теоремы конгруэнции по теореме углов γ по дополнительным углам Если два угла дополняют один и тот же угол α β В общем случае: если два угла дополняют два конгруэнтных угла.

Евклидова геометрия — это теория, основанная на четырех примитивных сущностях и на отношениях между ними. Четыре примитивных объекта, о которых идет речь. Сколько стоит квадрат, площадь которого эквивалентна площади треугольника, который имеет основание.

Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона (вариньоновским, вариньоновым).

Следствие 1.

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного параллелограмма .

Теорема Вариньона – достойная внимания тема для рассмотрения в 8 классе на уроках геометрии. Но ее почему-то зачастую обходят стороной в непрофильных классах. А ведь это красивейшая опорная задача, которая помогает решить, что называется, в один присест, массу планиметрических задач, в том числе повышенной сложности и олимпиадных.

В данной статье ликвидируем эту несправедливость и познакомимся с теоремой Вариньона и ее применением к задачам на параллелограмм Вариньона .

Теорема Вариньона

Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма .

Доказательство.

Пусть точки K, L, M, N являются серединами сторон четырехугольника ABCD.

Тогда KL ǁ AC и KL=1/2 AC, MN ǁ AC и MN = 1/2 AC (по свойству средней линии треугольника).

Значит, KL ǁ MN и KL = MN.

То есть, KLMN – параллелограмм.

Определение:

Параллелограмм, вершинами которого являются середины сторон четырехугольника, называется параллелограммом Вариньона .

Задача1 .

Доказать, что периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей четырехугольника ABCD.

Доказательство.

Так как KL = MN = 1/2 AC и LM = KN = 1/2 BD, то P KLMN = AC + BD.

Задача 2.

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, называются средними линиями. Доказать, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство.

Поскольку средние линии KM и LN четырехугольника ABCD являются диагоналями параллелограмма Вариньона , то точка пересечения делит их пополам.

Задача 3.

Правильно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии четырехугольника и отрезков, вдвое меньших от его диагоналей?

Решение.

Правильно, так как параллелограмм Вариньона существует для произвольного выпуклого четырехугольника.

Например, условие задачи удовлетворяют треугольники KLM и LMN.

Задача 4.

Построить ромб с вершинами на сторонах прямоугольника ABCD.

Решение.

Поскольку диагонали прямоугольника равны, параллелограмм Вариньона и будет искомым ромбом для прямоугольника ABCD.

Итак, мы рассмотрели решения некоторых интересных задач. И убедились: теорема Вариньона не только помогает оригинально, быстро и красиво решать задачи, но и открывать (а также доказывать) новые свойства четырехугольников.

Другие задачи на применение теоремы Вариньона можно скачать .

Подписаться на еженедельную рассылку eduction.ru

Признаки параллелограмма. Задачи на доказательство. Задание 25. — 19 Марта 2017 — Блог

Модуль «Геометрия». Доказать, что четырёхугольник параллелограмм можно разными способами: 1). По определению параллелограмма: Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 2). По признакам параллелограмма — Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм. — Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм. — Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом. 1. В параллелограмме ОМСК биссектриса угла М пересекает сторону ОК в точке А, а биссектриса угла К пересекает сторону МС в точке В. Докажите, что четырёхугольник АМВК – параллелограмм. 2. На диагонали АС параллелограмма АВСD отмечены равные отрезки АМ и СК. Докажите, что ВКDМ – параллелограмм. 3. В прямоугольнике АВСD проведены отрезки FE и KP так, что точки Е, F, K, P лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно и делят их в отношении 1 : 4, считая от вершин В и D. Докажите, что EFKP – параллелограмм. 4. АВСD – равнобедренная трапеция, точки М, Р, К, Т – середины её сторон. Докажите, что МРКТ – ромб. 5. В четырёхугольнике АВСD на сторонах отмечены четыре точки, делящие стороны в отношении 1 : 4, считая от вершин В и D. Докажите, что отмеченные точки являются вершинами параллелограмма.

Приглашаю учеников 8 и 9 класса в группу Вконтакте «Готовимся к ОГЭ»  https://vk.com/club130801212   Ещё больше задач вы увидите, если подпишитесь на мой канал на YouTube

Урок Середины четырехугольника — это вершины параллелограмма

Урок Середины четырехугольника — это вершины параллелограмма

Этот урок (Середины четырехугольника являются вершинами параллелограмма) создал ikleyn (37609) : View Source, Show About ikleyn : Середины четырехугольника — вершины параллелограмма Теорема В произвольном выпуклом четырехугольнике середины его сторон являются вершинами параллелограмма.Доказывать. Проба Пусть ABCD будет произвольным выпуклым четырехугольником ( Рисунок 1 ), и пусть точки E , F , G и H будут серединами его сторон AB , BC , CD и AD соответственно. Нам нужно доказать, что четырехугольник EFGH является параллелограммом. Нарисуйте диагонали AC и BD в четырехугольнике ABCD ( Рисунок 2 ). Сегмент HG является сегментом средней точки в треугольнике ACD . Следовательно, отрезок HG параллелен стороне AC треугольника ACD в соответствии с уроком Отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон треугольника (по теме Треугольники схемы раздел Геометрия на этом сайте). Рисунок 1 .К теореме Рисунок 2 . К доказательству теоремы Сегмент EF — это сегмент средней точки в треугольнике ABC . Следовательно, отрезок EF параллелен стороне AC треугольника ABC . Поскольку сегменты HG и EF параллельны диагонали AC , они параллельны друг другу. Точно так же сегмент GF является сегментом средней точки в треугольнике DCB . Следовательно, сегмент GF параллелен стороне DB треугольника DCB . Отрезок HE — это сегмент средней точки в треугольнике ABD . Следовательно, сегмент HE параллелен стороне DB треугольника ABD . Поскольку сегменты GF и HE параллельны диагонали DB , они параллельны друг другу. Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике EFGH противоположные стороны HG и EF , HE и GF попарно параллельны. Следовательно, четырехугольник EFGH является параллелограммом. Теорема доказана. Другие мои уроки по параллелограммам на этом сайте: — В параллелограмме каждая диагональ делит его на два равных треугольника. — Свойства сторон параллелограмма — Свойства сторон параллелограммов — Свойства диагоналей параллелограммов — Противоположные углы параллелограмма — Последовательные углы параллелограмма — Длина диагоналей параллелограмма — Замечательные сложные задачи на параллелограммах — КАК решать задачи о мерах сторон параллелограмма — Примеры — КАК решать задачи об углах параллелограммов — Примеры — СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММ Для навигации по всем темам / урокам Онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл / ссылку ГЕОМЕТРИЯ — ВАШ ОНЛАЙН-УЧЕБНИК. К этому уроку обращались 23690 раз.

Оптимизация

— Четырехугольник, образованный соединением вершин выпуклого четырехугольника с серединами несмежных сторон

Это правда, что 1/5 — максимальное значение, а 1/6 — минимальное значение. Соотношение площадей сохраняется за счет неособых аффинных преобразований, т.е. преобразований вида $$ T (x, y) = (ax + by + e, cx + dy + f) $$ где $ ad — bc \ ne 0 $.Применяя подходящее аффинное преобразование, мы можем добиться, чтобы $ A = (0,0) $, $ B = (2, 0) $ и $ D = (0, 2) $.

Предположим, что $ C = (x, y) $. Четырехугольник $ ABCD $ выпуклый тогда и только тогда, когда $ x> 0 $, $ y> 0 $ и $ x + y> 2 $. Предполагая, что он выпуклый, площадь четырехугольника равна $ x + y $, так как площадь треугольника $ ADC $ равна $ x $, а площадь треугольника $ ABC $ равна $ y $.

Координаты точек внутреннего пересечения $ P $, $ Q $, $ R $ и $ S $ могут быть получены путем решения пар линейных уравнений.

$$ \ begin {align *} P_x & = 2 (x + 2) / (2x + y + 4) \\ P_y & = 2y / (2x + y + 4) \\ Q_x & = (x + 2) (y + 2) / (x + 3y + 2) \\ Q_y & = y (y + 2) / (x + 3y + 2) \\ R_x & = x (x + 2y) / (3x + 4y — 4) \\ R_y & = (y + 2) (x + 2y — 2) / (3x + 4y-4) \\ S_x & = x / (2x + y — 1) \\ S_y & = 2 (x + y — 1) / (2x + y — 1) \\ \ end {выровнять *} $

Следовательно, площадь $ PQRS $ является рациональной функцией $ x $ и $ y $.

Как заметил Джек Д’Орицио, этого достаточно, чтобы доказать, что $$ \ Delta_1: = \ text {Область} (ABCD) — 5 \ text {Область} (PQRS) \ ge 0 $$ и $$ \ Delta_2: = 6 \ text {Область} (PQRS) — \ text {Область} (ABCD) \ ge 0.2 — 3у + 2) / \ Pi, $$ куда $$ \ Pi = (x + 3y + 2) (2x + y — 1) (2x + y + 4) (3x + 4y — 4). $$

Нетрудно проверить, что каждый множитель неотрицателен при условии, что $ x, y> 0 $ и $ x + y> 2 $. Это завершает доказательство того, что $$ \ frac16 <\ frac {\ text {Area} (PQRS)} {\ text {Area} (ABCD)} \ le \ frac15. $$

Мой код Python приведен ниже.

  импортный симпи

x, y, X, Y = sympy.symbols ('x y X Y')

def line (p, q):
    "" "Уравнение по X и Y линии, проходящей через две точки.Предполагается, что правая часть уравнения равна нулю.
    уравнение = (X-p [0]) * (Y-q [1]) - (X-q [0]) * (Y-p [1])
    уравнение возврата

def пересечь (строка1, строка2):
    "" "Найдите точку пересечения двух прямых, учитывая их уравнения." ""
    решение = sympy.solve ([строка1, строка2], [X, Y])
    возврат (решение [X], решение [Y])

def midpoint (p, q):
    "" "Найдите середину отрезка, соединяющего две точки." ""
    m0 = (p [0] + q [0]) / 2
    m1 = (p [1] + q [1]) / 2
    возврат (m0, m1)

def упрощать (выражение):
    "" "Упростите выражение и верните его как красиво отформатированную строку.').заменять('*', '')

ноль = sympy.sympify (0)
два = sympy.sympify (2)

# Вершины выпуклого четырехугольника ABCD
вершины = [
    (ноль, ноль),
    (два, ноль),
    (х, у),
    (ноль, два)
]

# Середины H, E, F, G сторон DA, AB, BC, CD.
средние точки = [
    середина (вершины [i-1], вершины [i])
    для i в диапазоне (4)
]

# Уравнения прямых CH, DE, AF, BG.
средние линии = [
    линия (вершины [i-2], средние точки [i])
    для i в диапазоне (4)
]

# Внутренние точки пересечения R, S, P, Q.
interior_crossings = [
    пересекаются (средние линии [i-1], средние линии [i])
    для i в диапазоне (4)
]

для ярлыка (x, y) в zip ('RSPQ', interior_crossings):
    print ("% sx =% s"% (label, simpleify (x)))
    print ("% sy =% s"% (label, simpleify (y)))

# Площадь многоугольника, заданная списком вершин, упорядоченных против часовой стрелки.область защиты (v):
    вернуть сумму (v [i-1] [0] * v [i] [1] - v [i-1] [1] * v [i] [0] для i в диапазоне (len (v))) / 2

# Площадь внешнего многоугольника ABCD
external_area = sympy.simplify (площадь (вершины))

# Площадь внутреннего многоугольника PQRS
inner_area = sympy.simplify (область (внутренние_пересечения))

print ("\ nouter area =% s"% outer_area)
print ("внутренняя область:")
печать (упростить (внутренняя_область))

# Убедитесь, что область (ABCD)> 5 * Площадь (PQRS)
print ("\ nвнешняя область - 5 * внутренняя область =")
печать (упрощение (внешняя_ область - 5 * внутренняя_ область))

# Проверить, что область (ABCD) <6 * Площадь (PQRS)
print ("\ n6 * внутренняя область - внешняя область =")
печать (упрощение (6 * внутренняя_ область - внешняя_ область))
  

2 февраля 2012 г.

Возьмем любой четырехугольник, например этот

затем отметьте средние точки и соедините их.

Похоже, мы построили параллелограмм, не так ли? Удивительный факт здесь заключается в том, что , независимо от того, с какого четырехугольника вы начинаете, вы всегда получаете параллелограмм, когда соединяете средние точки .

Это результат, который кажется случайным и удивительным. Вам нужно нарисовать несколько четырехугольников, чтобы убедить себя, что это даже кажется правильным. Как вы в целом собираетесь это доказать?

На днях некоторые студенты спросили меня, почему это так.Я совершенно забыл, как подойти к проблеме, поэтому у меня появился шанс поиграть с ней по-новому. У меня было две идеи, как начать. Первый заключался в том, чтобы провести еще одну линию на чертеже и посмотреть, поможет ли это.

Разве синяя линия не параллельна оранжевым линиям над и под ней? Если бы это было правдой, это дало бы нам мощный путь вперед. Это также предвещает мою вторую идею: попробуйте соединить середины треугольника, а не четырехугольника.

Вот как выглядит произвольный треугольник.

Похоже, соединение этих средних точек создает четыре конгруэнтных треугольника, не так ли? На самом деле это не так уж сложно доказать. Узнав это, мы увидим, что любая пара соприкасающихся треугольников образует параллелограмм. Это означает, что две синие линии ниже параллельны.

Итак, мы можем заключить:
Лемма. Синие линии выше параллельны.

Теорема. Оранжевая фигура выше представляет собой параллелограмм.
Доказательство.Снова нарисуйте эту синюю линию.

У нас такая же ситуация, как на картинке треугольника сверху! Ты это видишь?
Сотрем нижнюю половину рисунка и нарисуем параллельные линии одного цвета:

Видите, что синие линии параллельны? Верхняя линия соединяет середины треугольника, поэтому мы можем применить нашу лемму!

Но то же самое верно и для нижней, и для средней линии! Таким образом, все синие линии внизу должны быть параллельны.

То же самое верно и для оранжевых линий по тому же аргументу.

Значит, четырехугольник в конце концов - параллелограмм!

Я нашел это довольно неплохим аргументом: рисование линий из противоположных углов превращает непостижимое в (надеюсь) очевидное. Переход от путаницы к ясности для меня - одна из величайших радостей математических вычислений.

Следующий вопрос заключается в том, можем ли мы изменить результат, отказавшись от первоначальной настройки.Верен ли наш результат, например, когда четырехугольник не выпуклый?

Похоже, он еще будет держаться. Я оставлю это вам.

Вот еще несколько вопросов, которые следует рассмотреть:

1. Как площадь параллелограмма, полученная при соединении середин четырехугольника, соотносится с исходным четырехугольником?
2. Есть шестиугольник, в котором, когда вы соединяете середины его сторон, вы получаете шестиугольник с большей площадью, чем вы начали.Сможете ли вы найти шестиугольник с этим свойством?
3. Сможете ли вы найти такой шестиугольник, что, соединив середины его сторон, получится четырехугольник?

Как найти середину каждой диагонали четырехугольника с вершинами P (1,3), Q (6,5), R (8,0) и S (3, -2)?

Нам дан четырехугольник со следующими вершинами:

# цвет (коричневый) (P (1,3), Q (6, 5), R (8,0) и S (3, -2) #

Формула MidPoint для сегмента линии с вершинами #color (blue) ((x_1, y_1) и (x_2, y_2): #

# цвет (синий) ([(x_1 + x_2) / 2, (y_1 + y_2) / 2] #

# цвет (зеленый) (Step.1 #

Рассмотрим Vertices #color (blue) (P (1,3) и R (8,0) # диагонали PR

# Пусть "" (x_1, y_1) = P (1,3) #

# Пусть "" (x_2, y_2) = R (8,0) #

Используя формулу Midpoint , ​​мы можем написать

# [(1 + 8) / 2, (3 + 0) / 2] #

# [9/2, 3/2] #

#color (red) ([4.5, 1.5] "" # Промежуточный результат.1

# цвет (зеленый) (Шаг 2 #

Рассмотрим Vertices #color (blue) (Q (6,5) и S (3, -2) # диагонали QS

# Пусть "" (x_1, y_1) = Q (6,5) #

# Пусть "" (x_2, y_2) = S (3, -2) #

Используя формулу Midpoint , ​​мы можем написать

# [(6 + 3) / 2, (5 + (- 2)) / 2] #

# [9/2, 3/2] #

# цвет (красный) ([4.5, 1.5] "" # Промежуточный результат.2

Наблюдая за двумя промежуточными результатами 1 и 2 , ​​мы понимаем, что обе диагонали имеют одинаковую среднюю точку , ​​и, следовательно, данный Четырехугольник с четырьмя вершинами является параллелограммом .

# цвет (зеленый) (Шаг 3 #

См. Изображение графика , построенного с использованием GeoGebra, приведенное ниже:

MPPR # rArr # Средняя точка диагонали PR

MPQS # rArr # Средняя точка диагонали QS

# цвет (зеленый) (Step.4 #

Некоторые интересные свойства параллелограмма, которые следует запомнить:

1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину и, следовательно, конгруэнтны .

2. Противоположные углы параллелограмма имеют одинаковый размер / меру.

3. Очевидно, противоположных сторон параллелограмма также параллельны.

4. диагоналей параллелограмма делят пополам .

5. Каждая диагональ параллелограмма разделяет его на два равных треугольника.

6. Мы видим, что наш параллелограмм имеет все стороны, равные , ​​и, следовательно, наш параллелограмм представляет собой ромб .

Параллелограмм, вписанный в четырехугольник

Параллелограмм, вписанный в четырехугольник - Math Open Reference

Попробуй это Перетащите любую оранжевую точку и обратите внимание, что красные линии всегда образуют параллелограмм.

Если вы найдете средние точки каждой стороны любого четырехугольник затем свяжите их последовательно линиями, результат всегда будет параллелограмм. Сначала это может показаться неинтуитивным, но если вы перетащите любую вершину четырехугольника выше, вы увидите, что на самом деле это всегда верно, даже когда четырехугольник является «самопересекающимся» - когда некоторые стороны четырехугольника пересекаются с другими сторонами.

Проба

Рисунок ниже такой же, как и выше, за исключением отмеченных точек J, K, L, M и добавленной линии DB.По определению J, K, L, M - середины своих сторон.

	Аргумент	Причина
1	JM - средний сегмент треугольника ABD	Середина треугольника - это линия, соединяющая середины двух сторон (см. Середина треугольника)
2	JM - это половина БД и параллельна ей	Из свойств середины треугольника
3	Точно так же в треугольнике DBC LK также является половиной DB и параллелен ему	Из свойств середины треугольника
4	JKLM - параллелограмм	Пара противоположных сторон (LK и JM) параллельный и конгруэнтный

- Q.E.D

Другие полигоны

Общие

Типы полигонов

Площадь различных типов полигонов

Периметр различных типов полигонов

Углы, связанные с многоугольниками

Именованные многоугольники

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Геометрия: четырехугольники

Геометрия: четырехугольники

ç May Mathematics

---

Общие четырехугольники

Любую форму четырехугольника можно использовать для мозаики на плоскости, не оставляя нигде зазоров.Плитки встречаются в двух ориентациях, связанных половиной оборота.

Линии, соединяющие противоположные углы четырехугольника, составляют его диагонали . Они пересекаются внутри тогда и только тогда, когда четырехугольник выпуклый.

Линии, соединяющие середины противоположных сторон, и линия, соединяющая середины M, N диагоналей (если они существуют), совпадают. Эта точка - центр тяжести четырехугольника. Линия MN - геометрическое место точек P, таких что площадь (PAB + PCD) = площадь (PAC + PBD).
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN² и AC² + BD² = 2 (EG² + HF²).

Центроиды четырех треугольников, образованных вершинами четырехугольника, взятого по три за раз, образуют четырехугольник, противоположный заданному. четырехугольник (т.е. такой же формы и с параллельными краями, но повернутыми на 180 °). Точка пересечения четырех линий, соединяющих соответствующие вершины двух четырехугольников (их центры подобия) и есть центроид.

Если квадраты нарисованы наружу на сторонах четырехугольника ABCD, центры этих квадратов образуют второй четырехугольник WXYZ.Диагонали этого четырехугольника равны по длине и расположены под прямым углом друг к другу. Это остается верным, если одна из сторон имеет нулевую длину, т.е. четырехугольник сводится к треугольнику. [Теорема Обеля, Уэллс, стр. 11] На рисунке не показаны полные квадраты, только посредники.

Если квадраты построены внутрь, то верно то же свойство: эти два более коротких сегмента и более длинная пара имеют только две средние точки. между ними. Середина соединяющей их линии - это центр тяжести четырех вершин исходного четырехугольника.

Середины четырех диагоналей образуют квадрат. [S.Collings, Бюллетень IMA, ноябрь-декабрь 1984 г., позиция EFG-50]

Параллелограммы

Отрезки прямых, которые соединяют соответствующие концы двух равных и параллельных отрезков прямых, сами равны и параллельны. Они образуют параллелограмм .

Два набора эквидистантных параллельных линий, пересекающих друг друга, разрезают плоскость на мозаику конгруэнтных параллелограммов.

Диагонали четырехугольника делят друг друга пополам тогда и только тогда, когда это параллелограмм.

Третий набор равноудаленных параллелей может быть наложен на две данные, чтобы разрезать плоскость на мозаику конгруэнтных треугольников. Третий набор параллелей - это диагонали параллелограммов, образованных двумя другими, то есть они соединяются с противоположными углами. Любой из трех наборы можно рассматривать как диагонали узора, образованного двумя другими.

Середины сторон четырехугольника - это вершины параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника. и на половину их длины.Его площадь вдвое меньше площади четырехугольника в выпуклом случае. Четыре куска срезают углы надписью. параллелограмм в выпуклом случае будет соответствовать друг другу, образуя другой параллелограмм, соответствующий ему.

Соединения середин противоположных сторон выпуклого четырехугольника делят его на четыре части, которые будут соответствовать друг другу, образуя параллелограмм. Если четыре части шарнирно закреплены в трех из средних точек, преобразование может быть выполнено, открыв цепочку из четырех частей и закрывая его в обратном направлении.

Параллелограммы на одном основании и между одними и теми же параллелями равны по площади. Когда параллелограммы не наклонены слишком круто относительно друг другу диаграмма для этого предложения предоставляет средства преобразования одного параллелограмма в другой или в прямоугольник той же высоты. и область путем рассечения на две части, отрезая кусок с одного конца и перемещая его на другой. Новый параллелограмм может быть преобразован аналогичным образом, между другими параллелями, так что образуется третий параллелограмм, который имеет разные стороны и углы к оригиналу и образован из него трехчастное рассечение.Новый и старый параллелограммы могут быть расположены так, чтобы образовать повторяющийся узор, каждый из которых покрывает всю плоскость.

Прямоугольники

Четвертый набор равноудаленных параллелей может быть наложен на набор из трех, чтобы разделить плоскость на мозаику из двух типов треугольников. Эти два типа становятся одним типом в частном случае, когда исходная пара параллелей взаимно перпендикулярна. В этом случае параллелограммы прямоугольники.

Параллелогонов

Любой ровный многоугольник с параллельными противоположными сторонами - это параллелогон .Четырехсторонний - это параллелограмм. Если и противоположные стороны равны, мы иметь равнопараллелогон . Параллелограммы - это 4-сторонние равнопараллелограммы.

Любой выпуклый равнопараллелогон можно разрезать на параллелограммы.

Иллюстративная математика

Задача

Нарисуйте четырехугольник $ ABCD $. Постарайтесь нарисовать свой четырехугольник так, чтобы никакие две стороны не были равными, никакие два угла не совпадали и никакие две стороны не были параллельны.

1. Пусть $ P $, $ Q $, $ R $ и $ S $ - середины сторон $ AB $, $ BC $, $ CD $ и $ DA $ соответственно. Используйте линейку, чтобы найти эти точки как можно точнее, и соедините их, чтобы сформировать новый четырехугольник $ PQRS $. Что вы заметили в четырехугольнике $ PQRS $?
2. Предположим, ваш четырехугольник $ ABCD $ лежит в координатной плоскости. Пусть $ (x_1, y_1) $ - координаты вершины $ A $, $ (x_2, y_2) $ - координаты $ B $, $ (x_3, y_3) $ - координаты $ C $ и $ (x_4, y_4) $ координаты $ D $.Используйте координаты, чтобы подтвердить наблюдение, которое вы сделали в части (а).

IM Комментарий

Это классное задание дает студентам возможность доказать удивительный факт о четырехугольниках: если мы соединим середины произвольного четырехугольника, чтобы сформировать новый четырехугольник, то новый четырехугольник станет параллелограммом, даже если исходный четырехугольник не был.

Наблюдения учащихся о четырехугольнике $ PQRS $ в части (а) будут разными. Некоторые студенты могут предположить, что четырехугольник - это ромб или прямоугольник, в зависимости от того, как они нарисовали исходный четырехугольник.Учителям может быть полезно, чтобы несколько учеников разместили рисунки, которые они нарисовали в части (а), чтобы убедить класс в том, что хотя $ PQRS $ всегда кажется параллелограммом, это может быть не ромб или прямоугольник.

Один из возможных вариантов части (а) - попросить учащихся нарисовать четырехугольник в GeoGebra, предполагая, что у них есть компьютеры. Это позволяет учащимся перемещать различные части четырехугольника и видеть, что средний четырехугольник остается параллелограммом независимо от того, куда перемещаются части.Эта стратегия также позволяет учащимся увидеть, что в целом четырехугольник в средней точке не является ромбом или прямоугольником.

Этот факт представляет собой элегантный пример геометрической теоремы, которую довольно сложно доказать классическими методами, но относительно легко доказать с помощью координат. Учащиеся, работающие над этим заданием, должны будут использовать формулу для средней точки отрезка прямой и критерий параллельности двух прямых (G-GPE.5).

Решения

Решение: Решение

1. Четырехугольник PQRS выглядит как параллелограмм.(На самом деле, на картинке выше он выглядит как ромб, но если мы нарисуем четырехугольник ABCD с двумя соседними сторонами, намного короче двух других сторон, мы увидим, что стороны PQRS не обязательно должны быть равными.)

2. Чтобы доказать, что PQRS - параллелограмм, мы проверим, что сторона PQ параллельна SR, а QR параллельна PS.

   С координатами A, B, C и D, указанными выше, мы имеем \ begin {eqnarray *} P & = & \ left (\ frac {x_1 + x_2} {2}, \ frac {y_1 + y_2} {2} \ right) \\ Q & = & \ left (\ frac {x_2 + x_3} {2}, \ frac {y_2 + y_3} {2} \ right) \\ R & = & \ left (\ frac {x_3 + x_4} {2}, \ frac {y_3 + y_4} {2} \ right) \\ S & = & \ left (\ frac {x_4 + x_1} {2}, \ frac {y_4 + y_1} {2} \ right) \\ \ end {eqnarray *} Таким образом, наклон прямой PQ равен \ begin {eqnarray *} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} & = & \ frac {\ frac {y_2 + y_3} {2} - \ frac {y_1 + y_2} {2}} {\ frac {x_2 + x_3} {2 } - \ frac {x_1 + x_2} {2}} \\ & = & \ frac {(y_2 + y_3) - (y_1 + y_2)} {(x_2 + x_3) - (x_1 + x_2)} \\ & = & \ frac {y_3 - y_1} {x_3 - x_1} \ end {eqnarray *} Наклон линии SR равен \ begin {eqnarray *} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} & = & \ frac {\ frac {y_3 + y_4} {2} - \ frac {y_4 + y_1} {2}} {\ frac {x_3 + x_4} {2 } - \ frac {x_4 + x_1} {2}} \\ & = & \ frac {(y_3 + y_4) - (y_4 + y_1)} {(x_3 + x_4) - (x_4 + x_1)} \\ & = & \ frac {y_3 - y_1} {x_3 - x_1} \ end {eqnarray *} Эти склоны одинаковые; следовательно, прямые PQ и SR параллельны.Мы можем вычислить наклоны прямых QR и PS, чтобы найти, что оба наклона равны $$ \ frac {y_4 - y_2} {x_4 - x_2}. $$ Следовательно, QR и PS тоже параллельны. Поскольку четырехугольник PQRS имеет две пары параллельных сторон, он представляет собой параллелограмм.

Решение: Альтернативное решение для (b)

Мы можем немного упростить алгебраическую работу этого доказательства, применив преобразование к четырехугольнику ABCD, прежде чем мы начнем. Предположим, что, применяя перенос и поворот, если необходимо, мы перемещаем четырехугольник ABCD так, чтобы вершина A находилась в начале координат $ (0, 0) $, а вершина B находилась где-то на оси x, в точке $ (x_2, 0) $.Мы определяем $ (x_3, y_3) $ и $ (x_4, y_4) $ как новые координаты вершин C и D соответственно.

Теперь у нас есть \ begin {eqnarray *} P & = & \ left (\ frac {x_2} {2}, 0 \ right) \\ Q & = & \ left (\ frac {x_2 + x_3} {2}, \ frac {y_3} {2} \ right) \\ R & = & \ left (\ frac {x_3 + x_4} {2}, \ frac {y_3 + y_4} {2} \ right) \\ S & = & \ left (\ frac {x_4} {2}, \ frac {y_4} {2} \ right) \\ \ end {eqnarray *} Таким образом, наклон прямой PQ равен \ begin {eqnarray *} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} & = & \ frac {\ frac {y_3} {2} - 0} {\ frac {x_2 + x_3} {2} - \ frac {x_2} {2}} \\ & = & \ frac {y_3 - 0} {(x_2 + x_3) - x_2} \\ & = & \ frac {y_3} {x_3} \ end {eqnarray *} Наклон линии SR равен \ begin {eqnarray *} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} & = & \ frac {\ frac {y_3 + y_4} {2} - \ frac {y_4} {2}} {\ frac {x_3 + x_4} {2} - \ frac {x_4} {2}} \\ & = & \ frac {(y_3 + y_4) - y_4} {(x_3 + x_4) - x_4} \\ & = & \ frac {y_3} {x_3} \ end {eqnarray *} Эти наклоны одинаковы, поэтому прямые PQ и SR параллельны.