Решите неравенство (1/4)^2+3*x

Дано неравенство:
$$3 x + \left(\frac{1}{4}\right)^{2} \leq 8^{x} — 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$3 x + \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = 8^{x} — 1$$
Решаем:
$$x_{1} = — \frac{1}{48 \log{\left (2 \right )}} \left(16 \operatorname{LambertW}{\left (- \log{\left (2^{\frac{2^{\frac{15}{16}}}{4}} \right )} \right )} + \log{\left (131072 \right )}\right)$$
$$x_{1} = — \frac{1}{48 \log{\left (2 \right )}} \left(16 \operatorname{LambertW}{\left (- \log{\left (2^{\frac{2^{\frac{15}{16}}}{4}} \right )} \right )} + \log{\left (131072 \right )}\right)$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{1}{48 \log{\left (2 \right )}} \left(16 \operatorname{LambertW}{\left (- \log{\left (2^{\frac{2^{\frac{15}{16}}}{4}} \right )} \right )} + \log{\left (131072 \right )}\right)$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
             /    /  15\\                   
             |    |  --||                   
             |    |  16||                   
             |    | 2  ||                   
             |    | ---||                   
             |    |  4 ||                   
  16*LambertW\-log\2   // + log(131072)   1 
- ------------------------------------- - --
                      1                   10
                48*log (2)

=
$$- \frac{1}{10} — \frac{1}{48 \log{\left (2 \right )}} \left(16 \operatorname{LambertW}{\left (- \log{\left (2^{\frac{2^{\frac{15}{16}}}{4}} \right )} \right )} + \log{\left (131072 \right )}\right)$$
подставляем в выражение
$$3 x + \left(\frac{1}{4}\right)^{2} \leq 8^{x} — 1$$
                                                                       /    /  15\\                       
                                                                       |    |  --||                       
                                                                       |    |  16||                       
       /             /    /  15\\                   \                  |    | 2  ||                       
       |             |    |  --||                   |                  |    | ---||                       
       |             |    |  16||                   |                  |    |  4 ||                       
       |             |    | 2  ||                   |       16*LambertW\-log\2   // + log(131072)   1     
       |             |    | ---||                   |     - ------------------------------------- - --    
       |             |    |  4 ||                   |                           1                   10    
1      |  16*LambertW\-log\2   // + log(131072)   1 |                     48*log (2)                      
-- + 3*|- ------------------------------------- - --| 
 
                                                                        /    /  15\\              
                  /    /  15\\                                          |    |  --||              
                  |    |  --||                                          |    |  16||              
                  |    |  16||                                          |    | 2  ||              
                  |    | 2  ||                                          |    | ---||              
                  |    | ---||               
значит решение неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{1}{48 \log{\left (2 \right )}} \left(16 \operatorname{LambertW}{\left (- \log{\left (2^{\frac{2^{\frac{15}{16}}}{4}} \right )} \right )} + \log{\left (131072 \right )}\right)$$
 
 _____          
      \    
-------•-------
       x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство x^2+x>1 ( х в квадрате плюс х больше 1)

Дано неравенство:
$$x^{2} + x > 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} + x = 1$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + x = 1$$
в
$$x^{2} + x — 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{5}}{2} — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{5}}{2} — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{5}}{2} — \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{5}}{2} — \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
        ___     
  1   \/ 5    1 
- - - ----- - --
  2     2     10

=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} — \frac{3}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + x > 1$$
                  2                       
/        ___     \            ___         
|  1   \/ 5    1 |      1   \/ 5    1     
|- - - ----- - --|  + - - - ----- - -- > 1
\  2     2     10/      2     2     10    
                   2            
      /        ___\      ___    
  3   |  3   \/ 5 |    \/ 5  > 1
- - + |- - - -----|  - -----    
  5   \  5     2  /      2

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство x^2-x>1 ( х в квадрате минус х больше 1)

Дано неравенство:
$$x^{2} — x > 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$x^{2} — x = 1$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} — x = 1$$
в
$$x^{2} — x — 1 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
Данные корни
$$x_{2} = — \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} — \frac{1}{10}$$
=
      ___     
1   \/ 5    1 
- - ----- - --
2     2     10

=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{5}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} — x > 1$$
                2                     
/      ___     \          ___         
|1   \/ 5    1 |    1   \/ 5    1     
|- - ----- - --|  - - - ----- - -- > 1
\2     2     10/    2     2     10    
                 2            
      /      ___\      ___    
  2   |2   \/ 5 |    \/ 5  > 1
- - + |- - -----|  + -----    
  5   \5     2  /      2

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru