Основные методы решения уравнений в целых числах

Введение

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень). В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая профильный ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;

4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;

5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.

Основная часть

Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:

  1. Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
  2. Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
  3. Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
  4. Использование Малой и Великой теорем Ферма;
  5. Метод бесконечного спуска;
  6. Выражение одной неизвестной через другую;
  7. Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
  8. Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.

Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.

В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).

Задача. Решить в натуральных числах уравнение n! + 5n + 13 = k2.

Решение. Заметим, что  оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3,  n = 4. 

Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение

n = 2, k = 5.

В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.

Теперь приведём комплекс авторских задач.

Задача 1. Решить в целых числах уравнение n2 — 4y! = 3.

Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n2 = 4y! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:

Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.

Задача 2. Решить в целых числах уравнение 8z2 = (t!)2 + 2.

Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения.

Если t > 1, то t! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t! = 2s. В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z2 = 2s2 + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.

Ключевая идея – применение свойств факториалов.

Задача 3. Решить в целых числах уравнение x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0.

Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1)2 + (

y + 3)2 = 5.

Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:

Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.

Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.

Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:

Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.

Ключевая идея – представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.

Задача 5. Решить в целых числах уравнение n(n + 1) = (2k + 1)‼

Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n(n + 1), которое чётно при всех целых значениях k. Противоречие.

Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.

Задача 6.

Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.

Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:

Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка y = –1 в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству –2 = 1. Согласно условию, x – целое число. Иначе говоря,  тоже целое число. Но тогда число  обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3: 1,3 –1, –3. Следовательно, для неизвестной  возможны четыре случая:

y = 0, y = 2, y = –2, y = –4. Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной x. Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения:  (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).

Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.

Задача 7. Решить в целых числах уравнение 5m = n2 + 2.

Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n2 = –1. Оно не имеет целых решений. Если m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и

n, не будет являться целым числом. Значит, m > 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n2 при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.

Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x!)4 + (y – 1)4 = (z + 1)4.

Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x!)4 + |y – 1|4 = |z + 1|4.  Тогда x!,  |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.

Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.

Задача 9. Решить в целых числах уравнение x2 + 4y2 = 16xy.

Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x2 = 4x12. Уравнение преобразуется к виду x12 + y2 = 8x1y. Отсюда вытекает, что числа x1, y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.

1 случай. Пусть x1, y – нечётные числа. Тогда x1 = 2t + 1, y = 2s + 1.  Подставляя эти выражения в уравнение, получим:

Выполним соответствующие преобразования:

Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?

В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.

2 случай. Пусть x1, y – чётные числа. Тогда x1 = 2x2 + 1, y = 2y1. Подставляя эти значения в уравнение, получим:

Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение  и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n и k не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x, y бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x = y = 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0). 

Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.

Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x2 – 3xy + y2 = 4.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x2 – (3x)y + (y2 – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x. Вычислим дискриминант этого уравнения:

Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть  Отсюда имеем следующие возможности для y: y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.

Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).

Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.

Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

Номер задания

Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах)

1

11

2

21

3

18

4

11

5

7

6

11

7

11

8

14

9

11

10

7

Данные показатели говорят о том, что уровень подготовки учащихся девятых классов по данной теме очень низкий. Поэтому целесообразной представляется организация спецкурса «Уравнения в целых числах», который будет направлен на усовершенствование знаний учеников в данной области. Прежде всего, это ученики, которые систематически участвуют в математических конкурсах и олимпиадах, а также планируют сдавать профильный ЕГЭ по математике.

Выводы

В ходе выполнения данной работы:

1) Проанализированы олимпиадные материалы, а также материалы ЕГЭ по математике;

2) Обозначены методы решения уравнений в целых числах и выделены преобладающие;

3) Полученные результаты проиллюстрированы примерами;

4) Составлены тренировочные задания для учащихся девятых классов;

5) Поставлен эксперимент по выявлению уровня подготовки по данной теме учащихся девятых классов;

6) Проанализированы результаты эксперимента и сделаны выводы о целесообразности изучения уравнений в целых числах на математическом спецкурсе.

Результаты, полученные в ходе данного исследования, могут быть использованы при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ по математике, а также при проведении занятий математического кружка.

Список литературы

1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983 – 64 с.

2. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ – М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.

3. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 303 с., илл. 

4. Далингер В.А. Задачи в целых числах – Омск: Амфора, 2010 – 132 с.

5. Гастев Ю. А., Смолянский М. Л. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант, август 1972.

Глоссарий

Метод бесконечного спуска – метод, разработанный французским математиком П.Ферма (1601–1665), заключающийся в получении противоречия путём построения бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел. Разновидность метода доказательства от противного.

Точный (полный) квадрат — квадрат целого числа.

Факториал натурального числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

Уравнения / Натуральные числа и действия над ними / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Натуральные числа и действия над ними
  5. Уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Например: + 5 = 10. Чтобы решить данное уравнение, требуется найти такое число, при подстановке которого в данное равенство вместо буквы (то есть найти значение переменной), числовое равенство будет верным. В нашем случае вместо необходимо подставить 5. Говорят, что число 5 — корень уравнения + 5 = 10.

Корень уравнения — это число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.

Корень уравнения — это решение уравнения. Уравнение может иметь один и более корней или не иметь их вообще. Тогда говорят, что решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет вообще.

Для решения уравнений используют правило нахождения неизвестного:

1) слагаемого: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Решим уравнение + 125 = 200;

= 200 — 125;

= 75.

Ответ: = 75.
2) уменьшаемого: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Решим уравнение — 24 = 36;

= 36 + 24;

= 60.

Ответ: = 60.
3) вычитаемого: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Решим уравнение 135 — = 115;

= 135 — 115;

= 20.

Ответ: = 20.
4) множителя: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Решим уравнение 6 = 42;

= 42 : 6;

= 7.

Ответ: = 7.
5) делимого: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Решим уравнение : 12 = 5;

= 5 12;

= 60.

Ответ: = 60.
6) делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Решим уравнение 184 : = 46;

= 184 : 46;

= 4.

Ответ: = 4.

При решении уравнений проводится проверка решения, для этого найденный корень (или корни) подставляются в уравнение вместо переменной. Если числовое равенство получается верным, то решение найдено верно. При оформлении решения проверка записывается под чертой после решения, а затем пишется ответ, при этом каждое действие записывается на новой строке (т. е. одна строка один знак равенства).

Например, решим уравнение + 36 = 45 и проведем проверку:

+ 36 = 45;

  = 45 — 36;

9 + 36 = 45;

45 = 45 — верно.

Ответ: = 9.

Советуем посмотреть:

Понятие о натуральном числе

Сложение натуральных чисел

Вычитание натуральных чисел

Умножение натуральных чисел

Деление натуральных чисел

Порядок выполнения действий

Степень числа. Квадрат и куб числа

Меньше или больше

Меньше или больше на сколько? во сколько раз?

Формулы

Натуральные числа и действия над ними

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 593, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 675, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 703, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1073, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1350, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1507, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1663, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1838, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 1088, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1119, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 452, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 458, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 998, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1163, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1178, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1192, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1203, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 786, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1515, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 89, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 91, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 311, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 439, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 467, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 781, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 810, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 814, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 835, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 917, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 65, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 175, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 193, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 201, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 208, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 209, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 212, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 217, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 219, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 373, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Формула суммы натуральных чисел

Формула суммы натуральных чисел получается с помощью формулы арифметической прогрессии, где общая разность между предыдущим и последующим числами равна 1. Натуральные числа также называют числами, считая от числа 1 до бесконечности, например как 1,2,3,4,5,6,7 и так далее. Давайте узнаем о сумме n натуральных чисел, о том, как выводится формула, и решим несколько примеров.

Что такое формула суммы натуральных чисел? 9{n}\) = [n(n+1)]/2,

, где n — натуральное число.

Определение суммы n натуральных чисел

Сумма n натуральных чисел может быть определена как форма арифметической прогрессии, в которой сумма n членов расположена в последовательности, где первый член равен 1, n — количество членов вдоль с n th срок. Сумма n натуральных чисел представляется как [n(n+1)]/2. Натуральные числа — это числа, которые начинаются с 1 и заканчиваются бесконечностью. Натуральные числа включают в себя целые числа, кроме числа 0.

Вывод формулы суммы натуральных чисел

Выведем сумму натуральных чисел, используя сумму n слагаемых в AP. В AP «a» — это первый член, «d» — общая разность, «l» — последний член, т. е. натуральные числа, общая разность между числами равна 1.

Сумма n членов арифметической прогрессии будет:

Сумма = a + (a+d) + (a+2d) …… + (l-2d) + (л-г) + л——————— (1)

При обратном порядке сумма остается той же, следовательно,

Сумма = l+(l-d)+(l-2d)..…+(a+2d)+(a+d)+a——— ———- (2)

Складывая уравнения 1 и 2, получаем

2 × Сумма = (a+l)+[(a+d)+(l-d)]………+[(l-d)+( a+d)]+(l+a)]

2× Сумма = (a+l)+(a+l)………+(a+l)+(a+l)

2× Сумма = n×(a+l)

⇒ Сумма = n/2(a+l)

Подставляя значение l из предыдущего уравнения, получаем

Сумма n членов арифметической прогрессии = n/2[2a + (н – 1)д]

Для натуральных чисел a = 1 и d = 1, следовательно,

S = n/2[2×1+(n-1)1]

S = [n(n+1)]/2

Следовательно, формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Примеры формулы суммы натуральных чисел

Пример 1: Найдите сумму первых 35 натуральных чисел.

Решение: Дано, n = 35

Формула суммы натуральных чисел:

S = [n(n+1)]/2

S = [35(35+1)]/2

S = 630

Следовательно, сумма первых 35 натуральных чисел равна 630

Пример 2: Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Решение: формула прогрессии для нахождения суммы натуральных чисел от 1 до 100. Где a = 1, n = 100 и d = 1

Сумма n членов арифметической прогрессии = n/2[2a + (n – 1)d]

S = 100/2[2×1 + (100 — 1)1]

S = 5050

Следовательно, сумма натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050

Пример 3: Найдите сумму первых 5 натуральных чисел.

Решение: Дано, n = 5

Используя формулу суммы натуральных чисел, мы получаем,

Формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

S = 5(5+1 )/2

S = 15

Следовательно, сумма первых 5 натуральных чисел равна 15

Часто задаваемые вопросы о формуле суммы натуральных чисел

Что означает формула суммы n натуральных чисел?

Формула суммы натуральных чисел используется для нахождения суммы натуральных чисел до n слагаемых. т. е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. до n членов. Для вывода формулы нам нужно использовать сумму формулы арифметической прогрессии, потому что натуральные числа расположены в арифметической последовательности. С 1 в качестве первого члена, 1 в качестве общей разности и до n членов мы используем сумму AP = n/2(2+(n-1)). Решив это, получим формулу суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

Какова формула суммы n натуральных чисел?

Сумма натуральных чисел получается с помощью арифметической прогрессии. Следовательно, формула выглядит так:

Формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

, где n — натуральное число.

Какова формула суммы первых n четных натуральных чисел?

Сумма первых n четных натуральных чисел равна n(n + 1). Вот как мы его получили:

n — это четные натуральные числа, равные 2,4,6,………., 2n, которые образуют арифметическую прогрессию. Здесь а = 2, d = 4 — 2 = 2

Используя формулу арифметической прогрессии, получаем Sn = n/2 [2a + (n – 1) d]

Sn = n/2 [2(2) + (n -1) 2]

Sn = n/2 [4 + 2n – 2]

Sn = n/2 × 2 [2 + n – 1]

Sn = n (n + 1)

Следовательно, сумма четных натуральных чисел равна n(n + 1)

Какова сумма первых 29 натуральных чисел по формуле?

Сумма формулы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

S = 29(29+1)/2

S = 435

Следовательно, сумма первых 29натуральных чисел 435.

Как найти сумму n натуральных чисел?

Сумма n натуральных чисел может быть получена с помощью формулы

Формула суммы натуральных чисел = [n(n+1)]/2

Как найти сумму натуральных чисел от 1 до 100?

Сумма всех натуральных чисел от 1 до 100 равна 5050, где общее количество натуральных чисел в этом диапазоне равно 100.

Натуральные числа: определение, символы и примеры

Натуральное число — это положительное целое число от 1 и далее . Отрицательные числа не считаются натуральными числами. Некоторые примеры: 1, 67, 450, 23005 и 2000000. Натуральные числа часто представляются на числовой прямой;

Линия натуральных чисел, Thomas-Gay, StudySmarter Originals

Классы чисел

Натуральные числа также могут быть частью других классов чисел, и на приведенной ниже диаграмме показано, как все они связаны;

Классы чисел, Томас-Гей — StudySmarter Originals

Свойства натуральных чисел

Натуральные числа обладают четырьмя различными свойствами;

  • Свойство замыкания – это означает, что при умножении или сложении двух или более натуральных чисел получается натуральное число. Например, 2+2=4 или 3×2=6.

  • Ассоциативное свойство — предполагает, что при сложении или умножении трех натуральных чисел результат будет один и тот же независимо от того, как они сгруппированы. Например, 3 + (2 + 5) = 10 и (3 + 2) + 5 = 10. Это также работает, когда они умножаются, 3 × (2 × 5) = 30 и (3 × 2) × 5 = 30. .

  • Коммутативное свойство — это свойство говорит о том, что при умножении или сложении двух натуральных чисел они дадут один и тот же результат независимо от их порядка. Например, 4 + 8 = 12 и 8 + 4 = 12. Это также работает, когда они умножаются, 4×8=32 и 8×4=32.

  • Распределительное свойство – при умножении трех натуральных чисел с помощью скобок можно это сделать и путем умножения чисел по отдельности. Например, 5 (2 + 3) = 25 и 5×2 + 5×3=25.

Что такое символ натуральных чисел?

Набор натуральных чисел часто обозначается символом ℕ.

ℕ={1,2,3,4,5…}

Как найти сумму натуральных чисел

Список натуральных чисел создает арифметическую последовательность. Существует формула, которую вы можете использовать, чтобы помочь вам найти сумму последовательности натуральных чисел:

∑1n=(n(n+1))2

В приведенной выше формуле n представляет количество терминов. Последовательность будет начинаться с 1. Также важно отметить, что сумма всех натуральных чисел равна бесконечности.

Сигма ∑ — это обозначение, используемое для представления суммы членов.

Найдите сумму первых 50 натуральных чисел.

Чтобы сделать это, вы должны сначала посмотреть на свою формулу, определить n из вопроса и подставить его в формулу;

∑1n=(n(n+1))2

Поскольку вы находите сумму первых 50 слагаемых, n = 50, следовательно;

∑150=(50(50+1))2

Теперь вы можете просто решить формулу, чтобы найти ответ;

∑150=25502

∑150=1275

Найдите сумму первых 100 натуральных чисел.

Как и раньше, вам нужно определить n для формулы из вопроса. В этом случае n=100, и теперь можно подставить его в формулу и решить вопрос:

∑1n=(n(n+1))2

∑1100=(100(100+1))2

∑1100=101002

∑1100=5050

Узнайте больше об арифметических последовательностях и рядах.

Натуральные числа — основные выводы

  • Натуральное число — это положительное целое число, большее 1.
  • Натуральные числа часто представляются на числовой прямой.
  • Обозначение ℕ используется для представления набора натуральных чисел.
  • Формулу ∑1n=(n(n+1))2 можно использовать для нахождения суммы первых n членов натуральных чисел.

Часто задаваемые вопросы о натуральных числах

Натуральные числа — это положительные целые числа, начиная с 1 и далее.

Разница между натуральными и целыми числами заключается в том, что целые числа включают 0, тогда как натуральные числа начинаются с 1.