Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование

Статья раскрывает смысл иррациональных выражений  и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.

Что такое иррациональные выражения?

При знакомстве с корнем  в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.

Определение 1

Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.

Основываясь на данном определении, мы имеем, что x-1, 83·36-12·3, 7-4·3·(2+3), 4·a2d5:d92·a35 — это все выражения иррационального типа.

При рассмотрении выражения x·x-7·x+7x+32·x-83 получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям  относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.

Основные виды преобразований иррациональных выражений

При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ.   Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.

Пример 1

Преобразовать выражение 9+33-2+4·33+1-2·33.

Решение

Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что

81+33-2+4·33+1-2·33==9+33-2+4·33+1-2·33

Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим

9+33-2+4·33+1-2·33==9-2+1+33+4·33-2·33==8+3·33
Ответ: 9+33-2+4·33+1-2·33=8+3·33

Пример 2

Представить выражение x+352-2·x+35+1-9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.

Решения

x+352-2·x+35+1-9==x+35-12-9

Представляем 9 в виде 32, причем применим формулу разности квадратов:

x+35-12-9=x+35-12-32==x+35-1-3·x+35-1+3==x+35-4·x+35+2

Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.

Ответ: 

x+352-2·x+35+1-9==x+35-4·x+35+2

Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.

Преобразование подкоренного выражения

Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, 1+6 можно заменить на 7 или 2·a54-6 на 2·a4·a4-6. Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.

Когда не существует а1, отличное от a, где справедливо неравенство вида an=a1n, тогда такое равенство возможно только при а=а1. Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.

Использование свойств корней

Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство a·b=a·b, где a≥0, b≥0, тогда из иррационального  вида 1+3·12 можно стать тождественно равным 1+3·12. Свойство …ankn2n1=an1·n2·,…,·nk , где a≥0 говорит о том, что x2+443 можно записать в форме x2+424.

Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то -7-814=-74-814 записать не можем, так как формула abn=anbn служит только для неотрицательного a и положительного b. Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида 74814.

Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.

Внесение множителя под знак корня

Определение 3

Внести под знак корня – значит заменить выражение B·Cn, а B и C являются некоторыми числами или выражениями, где n – натуральное число, которое больше 1, равным выражением, которое имеет вид Bn·Cn или -Bn·Cn.

Если упростить выражение вида 2·x3, то после внесения под корень, получаем, что 23·x3. Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.

Вынесение множителя из-под знака корня

Если имеется выражение вида Bn·Cn, тогда его приводят к виду B·Cn, где имеется нечетные n, которые принимают вид B·Cn с четными n, В и C являются некоторыми числами и выражениями.

То есть, если брать иррациональное выражение вида 23·x3, вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение 2·x3. Или x+12·7 даст в результате выражение вида x+1·7, которое имеет еще одну запись в виде x+1·7.

Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.

Преобразование дробей, содержащих корни

Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида (2+3)·x4x2+53, то числитель примет вид 5·x4, а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет x2+56. Исходную дробь можно будет записать в виде 5·x4x2+56.

Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что

-x+2·x-3·x2+74=x+2·x-(-3·x2+74)=x+2·x3·x2-74

Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что

3·x+43-1·xx+43-13 сокращаем на x+43-1. Получим выражение 3·xx+43-12.

Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.

Если взять дробь вида 2·x-yx+y, то необходимо вводить новые переменные u=x и v=x, тогда заданное выражение поменяет вид и станет 2·u2-v2u+v. Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что

2·u2-v2u+v=2·(u-v)·u+vu+v=2·u-v. После выполнения обратной замены придем к виду 2·x-y, которое равно исходному.

Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида x3-10,5·x, тогда приведем к знаменателю x. для этого  нужно умножить числитель и знаменатель на выражение 2·x, тогда получаем выражение x3-10,5·x=2·x·x3-10,5·x·2·x=2·x·x3-1x.

Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что  мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида x33. После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида 93·x3.

Переход от корней к степеням

Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство amn=amn, то видно, что его использование возможно, когда a является положительным числом, m –целым числом, а n – натуральным. Если рассматривать выражение 5-23, то иначе имеем право записать его как 5-23. Эти выражения равнозначны.

Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула amn=amn не всегда применима. Если нужно заменить такие корни (-8)35 и (-16)24 степенями, тогда получаем, что -835 и -1624 по формуле amn=amn не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула amn=amn применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.

Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование

Статья раскрывает смысл иррациональных выражений  и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.

Что такое иррациональные выражения?

При знакомстве с корнем  в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.

Определение 1

Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.

Основываясь на данном определении, мы имеем, что x-1, 83·36-12·3, 7-4·3·(2+3), 4·a2d5:d92·a35 — это все выражения иррационального типа.

При рассмотрении выражения x·x-7·x+7x+32·x-83 получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям  относят многочлены и алгебраические дроби.

Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.

Основные виды преобразований иррациональных выражений

При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ.  Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.

Пример 1

Преобразовать выражение 9+33-2+4·33+1-2·33.

Решение

Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что

81+33-2+4·33+1-2·33==9+33-2+4·33+1-2·33

Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим

9+33-2+4·33+1-2·33==9-2+1+33+4·33-2·33==8+3·33
Ответ: 9+33-2+4·33+1-2·33=8+3·33

Пример 2

Представить выражение x+352-2·x+35+1-9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.

Решения

x+352-2·x+35+1-9==x+35-12-9

Представляем 9 в виде 32, причем применим формулу разности квадратов:

x+35-12-9=x+35-12-32==x+35-1-3·x+35-1+3==x+35-4·x+35+2

Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.

Ответ: 

x+352-2·x+35+1-9==x+35-4·x+35+2

Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.

Преобразование подкоренного выражения

Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, 1+6 можно заменить на 7 или 2·a54-6 на 2·a4·a4-6. Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.

Когда не существует а1, отличное от a, где справедливо неравенство вида an=a1n, тогда такое равенство возможно только при а=а1. Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.

Использование свойств корней

Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство a·b=a·b, где a≥0, b≥0, тогда из иррационального  вида 1+3·12 можно стать тождественно равным 1+3·12. Свойство …ankn2n1=an1·n2·,…,·nk , где a≥0 говорит о том, что x2+443 можно записать в форме x2+424.

Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то -7-814=-74-814 записать не можем, так как формула abn=anbn служит только для неотрицательного a и положительного b. Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида 74814.

Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.

Внесение множителя под знак корня

Определение 3

Внести под знак корня – значит заменить выражение B·Cn, а B и C являются некоторыми числами или выражениями, где n – натуральное число, которое больше 1, равным выражением, которое имеет вид Bn·Cn или -Bn·Cn.

Если упростить выражение вида 2·x3, то после внесения под корень, получаем, что 23·x3. Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.

Вынесение множителя из-под знака корня

Если имеется выражение вида Bn·Cn, тогда его приводят к виду B·Cn, где имеется нечетные n, которые принимают вид B·Cn с четными n, В и C являются некоторыми числами и выражениями.

То есть, если брать иррациональное выражение вида 23·x3, вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение 2·x3. Или x+12·7 даст в результате выражение вида x+1·7, которое имеет еще одну запись в виде x+1·7.

Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.

Преобразование дробей, содержащих корни

Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида (2+3)·x4x2+53, то числитель примет вид 5·x4, а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет x2+56. Исходную дробь можно будет записать в виде 5·x4x2+56.

Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что

-x+2·x-3·x2+74=x+2·x-(-3·x2+74)=x+2·x3·x2-74

Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что

3·x+43-1·xx+43-13 сокращаем на x+43-1. Получим выражение 3·xx+43-12.

Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.

Если взять дробь вида 2·x-yx+y, то необходимо вводить новые переменные u=x и v=x, тогда заданное выражение поменяет вид и станет 2·u2-v2u+v. Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что

2·u2-v2u+v=2·(u-v)·u+vu+v=2·u-v. После выполнения обратной замены придем к виду 2·x-y, которое равно исходному.

Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида x3-10,5·x, тогда приведем к знаменателю x. для этого  нужно умножить числитель и знаменатель на выражение 2·x, тогда получаем выражение x3-10,5·x=2·x·x3-10,5·x·2·x=2·x·x3-1x.

Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что  мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида x33. После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида 93·x3.

Переход от корней к степеням

Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство amn=amn, то видно, что его использование возможно, когда a является положительным числом, m –целым числом, а n – натуральным. Если рассматривать выражение 5-23, то иначе имеем право записать его как 5-23. Эти выражения равнозначны.

Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула amn=amn не всегда применима. Если нужно заменить такие корни (-8)35 и (-16)24 степенями, тогда получаем, что -835 и -1624 по формуле amn=amn не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула amn=amn применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.

Примеры уравнений как с рациональными, так и с иррациональными числами

И рациональные, и иррациональные числа могут называться действительными числами, но когда дело доходит до их свойств, есть несколько различий. Вы можете представить рациональное число в форме P/Q, где P и Q — целые числа, а Q ≠ 0.

Иррациональные числа нельзя записывать простыми дробями. 2/3 — пример рационального числа, тогда как √2 — иррациональное число.

Давайте начнем с определения каждого термина отдельно, затем мы сможем узнать больше о каждом и рассмотреть несколько примеров.

Что такое рациональное число?

Любое число, представленное в виде дроби с положительными числами, отрицательными числами и нулем, называется рациональным числом. Рациональные числа произошли от слова «отношение». Другими словами, это отношение двух целых чисел. Например, 3/2 — рациональное число, что означает, что 3 делится на другое целое число 2.

Что такое иррациональное число?

По существу, иррациональные числа могут быть записаны как десятичные дроби, но как отношение двух целых чисел. Иррациональные числа, как правило, имеют бесконечные неповторяющиеся цифры после запятой. Возьмем такой пример: √8= 2,828.

Примеры рациональных и иррациональных чисел

Для рациональных чисел
  • 0,5 можно записать как ½ или 5/10, а любое десятичное число в конце является рациональным числом.
  • √81, так как квадратный корень можно упростить до 9, что является частным дроби 9/1
  • Вы можете выразить 3 как 3/1, где 3 — это частное целых чисел 3 и 1.
  • 0,777777 — это повторяющиеся десятичные дроби и рациональное число.
  • 1/5 — рациональное число, потому что и знаменатель, и числитель — целые числа.
Для Иррациональных
  • √2 это число нельзя упростить; следовательно, это иррациональное число.
  • Π — иррациональное число, имеющее значение 3,142… это бесконечное и неповторяющееся число. Следовательно, значение π не равно какой-либо дроби. Дробь 22/7 — это всего лишь оценка.
  • 0,212112111…является иррациональным числом, неповторяющимся и непрерывающимся, поэтому его нельзя выразить как частное от дроби.
  • Хотя число в √7/5 является дробью, числитель и знаменатель должны быть целыми числами. Но поскольку √ 7 не является целым числом, указанное число иррационально.
  • 5/0 иррационально. Любая дробь со знаменателем 0 иррациональна.

Свойства рациональных и иррациональных чисел

Это основные правила арифметики, применяемые к рациональным и иррациональным числам

Правило 1: Результат суммы двух рациональных чисел также является рациональным

  • Пример: ½ +1/3 = 5/6

Правило 2: Произведение двух рациональных чисел рационально

  • Пример: ½ x 1/3 = 1/6

Правило 3: результат суммы двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным

  • Возьмем, например: √2 + √2 = 2√2 иррационально
  • а 2 + 2√5 + (-2√5) = 2 результат рациональный

Правило 4: Произведение двух иррациональных чисел может быть как иррациональным, так и рациональным.

  • Возьмем, например: √2 * √3 = √6 иррационально
  • , тогда как √2 * √2 = √4 = 2 рационально

Теперь сосредоточимся на отдельных свойствах рациональных и иррациональных чисел.

Отличительные признаки рациональных чисел

  • Сумма рациональных чисел всегда является рациональным числом. Например, если W и Z — два рациональных числа, сумма W и Z рациональна.
  • Результат деления рационального числа на ненулевое число является рациональным числом. Например, W÷Z= рациональное число.
  • Произведение любых двух или трех рациональных чисел дает другое рациональное число. Например, если вы умножите W и Z, то ответ, который вы получите, должен быть рациональным.
  • Разница между двумя рациональными числами дает другое число. Например, если вы вычтете Z из W, вы получите рациональное число.

Так как результатом суммы любых двух рациональных чисел является рациональное число, то рациональные числа всегда должны быть закрытыми. Следовательно, рациональные числа одинаково закрыты для умножения, вычитания и деления, если делитель не равен нулю.

Как представить рациональные числа в виде десятичных дробей

Любое рациональное число можно представить как завершающую или неконечную десятичную дробь. Завершающим десятичным знаком является любое десятичное число, в котором после конечного числа десятичных знаков другие последующие разряды равны 0. Например, 1/8 = 0,125.

Как видно из приведенного примера, деление точное. Такие частные называются конечными десятичными дробями. В качестве альтернативы рациональные числа также могут быть выражены как неконечные десятичные дроби. Неконечная десятичная дробь — это те десятичные дроби, которые продолжаются бесконечно после запятой.

Давайте посмотрим на эти примеры:

  1. 3/7=0,42857142
  2. 18/23=0,78260869

В двух приведенных выше примерах вы понимаете, что разделение никогда не заканчивается, независимо от того, как долго оно может продолжаться. Частные таких делений называются конечными десятичными дробями.

В некоторых случаях неконечная десятичная дробь может содержать постоянно повторяющуюся цифру или набор цифр. Эти незавершающиеся десятичные числа называются периодическими, повторяющимися или циркулирующими десятичными знаками. Набор повторяющихся цифр называется периодом повторяющегося десятичного числа.

Примеры

4/9=0,44444444

11/30=0,36666666

Отличительные признаки иррациональных чисел

  • Произведение иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным.
  • Результат произведения ненулевого рационального числа и иррационального числа всегда иррационален.
  • Сумма иррациональных чисел может быть как рациональной, так и иррациональной.
  • Сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна.
  • Разница между двумя иррациональными числами может быть иррациональной, а может и не быть.
  • Сумма рационального и иррационального чисел всегда иррациональна.

Существенные различия между рациональными и иррациональными числами

  • Рациональное число может быть выражено как отношение двух чисел в форме (p/q), а иррациональное число — нет.
  • Рациональное число включает числа, которые могут заканчиваться или повторяться, а иррациональные числа не заканчиваются и не повторяются.
  • Рациональное число имеет совершенные квадраты, такие как 4, 9, 16, 25 и т. д., а иррациональные числа имеют сурды, такие как √2, √3, √5, √7.
  • Для рационального числа числитель и знаменатель являются целыми числами, где знаменатель не равен нулю: 3/2 = 1,5, 3,6767,
  • Иррациональные числа нельзя записать в виде дроби: √5, √11.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что такое рациональные и иррациональные числа?

Вы можете представить рациональные числа в виде отношения (P/Q & Q ≠ 0), но иррациональные числа нельзя выразить в виде дроби. Тем не менее, они оба являются действительными числами, которые вы можете включить в числовую строку.

В чем существенная разница между рациональными и иррациональными числами?

Рациональные числа являются конечными и повторяющимися десятичными знаками, тогда как иррациональные числа бесконечны и не повторяются.

Пи действительное число?

Пи (π) — иррациональное число, поэтому это действительное число. Значение (π) равно 22/7 r 3,142…

Является ли 4 рациональным числом?

Да, потому что оно удовлетворяет всем условиям рационального числа. Вы можете выразить это как отношение, пока знаменатель не равен нулю.

Если вы представите десятичное число чертой, будет ли оно рациональным или иррациональным? Десятичное число с чертой означает, что число после запятой повторяется, поэтому это рациональное число.

3,605551275… рационально или иррационально?

Многоточие (…) после 3.605551275 показывает, что номер не завершается и не имеет повторяющегося шаблона. Так что это иррационально.

Заключение

Рациональные числа могут применяться для расчета скорости износа, колебаний, течения воды или скорости ветра. Приведенные выше примеры и пояснения позволяют любому легко отличить рациональное число от иррационального числа.

Будьте первым, кто оставит комментарий ниже.

Иррациональные Показатели| Правила | Калькулятор | Решенные примеры

Прежде чем мы начнем этот урок с иррациональными показателями , давайте кратко рассмотрим концепцию показателей. Знаете ли вы, что первое современное использование слова экспонента было замечено в «Арифеметике Интегра», написанной английским писателем и математиком Майклом Стифелем в 1544 году. Это понятие используется в течение многих лет и до сих пор считается очень важным.

                

Мы начнем этот урок с обзора иррациональных показателей, а затем перейдем к их решению. Давай начнем!

План урока  

1. Что вы подразумеваете под иррациональными показателями?
2. Советы и рекомендации 
3. Важные замечания по иррациональным показателям
4. Решенные примеры иррациональных показателей
5. Интерактивные вопросы об иррациональных показателях


Что вы подразумеваете под иррациональными показателями?

Прежде чем мы узнаем об иррациональных показателях, давайте еще раз вернемся к теме показателей.

Экспоненты показывают, сколько раз число повторяется при умножении. 9{\frac{141421}{100000}}\)

Опять же, мы знаем, как интерпретировать и вычислять член правой части. Если бы вы сейчас сказали: это все еще приближение, то можно было бы, в свою очередь, сказать: мы можем взять еще лучшее приближение квадратного корня из 2 и найти значение этого члена еще точнее. И мы могли бы продолжать это делать и все ближе и ближе подходить к действительному значению этого термина.

Как упростить иррациональные показатели?

Мы можем упростить иррациональные показатели, используя закон показателей.

Следовательно, правила иррациональных показателей аналогичны закону показателей.

Это:

  • Закон о продукте
  • Закон частного 
  • Закон нулевого показателя степени
  • Закон отрицательного показателя степени
  • Закон силы силы
  • Закон силы продукта
  • Закон степени частного
9{\ sqrt {3}} \)


Советы и подсказки

 

  • Экспоненциальный член x , возведенный в степень \(\sqrt{y}\), определен математически. Чтобы вычислить его значение, мы могли бы использовать все более и более рациональные приближения \(\sqrt{y}\) для показателя степени и все ближе и ближе приближаться к фактическому значению этого экспоненциального члена.
  • Показатель степени может быть произвольным вещественным числом, поэтому независимо от того, является ли показатель степени целым числом, нецелым рациональным числом или иррациональным числом, можно интерпретировать и вычислять этот член.

В чем разница между рациональными и иррациональными показателями?

Различия между рациональными и иррациональными показателями: \) форма.

  • Иррациональные показатели — это неповторяющиеся или бесконечные десятичные дроби, тогда как рациональные показатели — это рациональные числа.
    • 94) = 81\)

    \(\следовательно\) Ответ 81

    Интерактивные вопросы

    Вот несколько заданий для практики.

    Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

     

     

     

     

    Подведем итоги

    Теперь вы сможете легко решать задачи на упрощение иррациональных показателей, умножение иррациональных показателей, рациональных и иррациональных показателей с помощью калькулятора иррациональных показателей и правил иррационального показателя.

    Мини-урок был посвящен увлекательной концепции иррациональных показателей. Математическое путешествие вокруг полиномиальных выражений начинается с того, что студент уже знает, и продолжается творческим созданием новой концепции в юных умах. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда. В этом заключается магия Cuemath.

    О Cuemath

    В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов! Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.