Производная от е в степени минус х: Найти производную y’ = f'(x) = e^(-x+1) (e в степени (минус х плюс 1))

Полная таблица производных элементарных функций

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

154.2K

Самый частый вопрос, который возникает у старшеклассников на уроках алгебры, звучит примерно так: «А нам это в жизни пригодится?». Отвечаем: пригодится! Математика тесно связана с физикой, которая описывает окружающий нас мир. И формулы из таблицы производных основных элементарных функций тоже имеют практический смысл.

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 + 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x).

у = 10 + 3х

у′ = 0 + 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.

Функция f (x)	Производная f’ (х)
С (т. е. константа, любое число)	0
х	1
xn	nxn-1
√x	1/(2√x)
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos2(х)
ctg x	-1/sin2x
ex	ex
ax	ax * ln a
ln x	1/x
logax	1/(x * ln a)

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u — v)′ = u′ — v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v — v’u)/v²

В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции

y = (5 ⋅ x³).

y′ = (5 ⋅ x³)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 ⋅ x³)’ = 5 ⋅ (x³)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х^3-1 = 15х²

Попробуйте самостоятельно решить эти примеры. Правильные ответы найдете в конце статьи:

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций:

y = (3 + 2x²)⁴?

Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Найдем производную функции y(x) = (3 + 2x

2)⁴.

Заменим 3 + 2x² на u и тогда получим y = u⁴.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′_u ⋅ u′_x = 4u³ ⋅ u’_x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u³ ⋅ u′_x = 4 (3 + 2x²)³ ⋅ (3 + 2x²)′ = 16 (3 + 2x²)³ ⋅ х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x³ + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x³ + 4)′ ⋅ cos x + (x³ + 4) ⋅ cos x′ = 3x² ⋅ cos x + (x³ + 4) ⋅ (-sin x) = 3x² ⋅ cos x – (x³ + 4) ⋅ sin x

Ответы на задания

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Яна Кононенко

К предыдущей статье

Параллельность прямых

К следующей статье

Сколько стоят занятия с репетитором

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

свойства экспоненты и основные формулы

Многие числа обрели свою величину и суеверное значение еще в древности. В наши дни к ним добавляются новые мифы. Существует много легенд о числе пи, немногим уступают ему в известности знаменитые числа Фибоначчи. Но, пожалуй, самым удивительным является число е, без которого не может обойтись современная математика, физика и даже экономика.

Арифметическое значение числа е равно приблизительно 2,718. Почему не точно, а приблизительно? Потому что это число иррациональное и трансцендентное, его нельзя выразить дробью с натуральными целыми числами или многочленом с рациональными коэффициентами. Для большинства расчетов указанной точности значения в 2,718 достаточно, хотя современный уровень вычислительной техники позволяет определить его значение с точностью более триллиона знаков после запятой.

Главной особенностью числа е является то, что производная его показательной функции f (x) = e^x равно значению самой функции е^х. Такого необычного свойства нет больше ни у какой другой математической зависимости. Расскажем об этом чуть подробнее.

Содержание:

• Что такое предел
• Что такое производная функции
• Производная экспоненты
• Некоторые интересные факты о числе е
• Видео

Что такое предел

Вначале разберемся с понятием предела. Рассмотрим какое-нибудь математическое выражение, например, i = 1/n. Можно увидеть, что при увеличении «n «, значение «i «будет уменьшаться, а при стремлении «n» к бесконечности (которая обозначается значком ∞), «i» будет стремиться к предельному значению (называемого чаще просто пределом), равному нулю. Выражение предела (обозначаемого как lim) для рассматриваемого случая можно записать в виде lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Существуют различные пределы для различных выражений. Одним из таких пределов, вошедших в советские и российские учебники как второй замечательный предел, является выражение lim n →∞ (1+1/ n) ⁿ . Уже в Средневековье было установлено, что пределом этого выражения является число е.

К первому же замечательному пределу относят выражение lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Как найти производную e^x — в этом видео.

Что такое производная функции

Для раскрытия понятия производной следует напомнить что такое функция в математике. Чтобы не загромождать текст сложными определениями, остановимся на интуитивном математическом понятии функции, заключающимся в том, что в ней одна или несколько величин полностью определяют значение другой величины, если они взаимосвязаны. Например, в формуле S = π ∙ r ² площади круга, значение радиуса r полностью и однозначно определяет площадь круга S.

В зависимости от вида, функции могут быть алгебраическими, тригонометрическими, логарифмическими и др. В них могут быть взаимосвязаны два, три и более аргументов. Например, пройденное расстояние S, которое объект преодолел с равноускоренной скоростью, описывается функцией S = 0,5 ∙ a ∙ t ² + V ∙ t, где «t» — время движения, аргумент «а» ускорение (может быть как положительной, так и отрицательной величиной) и «V» начальная скорость движения. Таким образом, величина пройденного расстояния зависит от значений трех аргументов, два из которых («а» и «V») постоянны.

Покажем на этом примере элементарное понятие производной функции. Оно характеризует скорость изменения функции в данной точке. В нашем примере это будет скорость движения объекта в конкретный момент времени. При постоянных «а» и «V» она зависит только от времени «t», то есть говоря научным языком нужно взять производную функции S по времени «t».

Этот процесс называется дифференцированием, выполняется путем вычисления предела отношения прироста функции к приросту ее аргумента на ничтожно малую величину. Решения подобных задач для отдельных функций часто является непростым делом и здесь не рассматриваются. Также стоит отметить, что некоторые функции в определенных точках вообще не имеют таких пределов.

В нашем же примере производная S по времени «t» примет вид S’ = ds/dt = а ∙ t + V, из которого видно, что скорость S’ изменяется по линейному закону в зависимости от «t».

Производная экспоненты

Экспонентой называется показательная функция, в качестве основания которой находится число е. Она обычно отображается в виде F (x) = e^x, где показатель степени x является переменной величиной. Данная функция обладает полной дифференцируемостью во всем диапазоне вещественных чисел. С ростом x она постоянно возрастает и всегда больше нуля. Обратная к ней функция — логарифм.

Известный математик Тейлор сумел разложить эту функцию в ряд, названный его именем e^x = 1 + x/1! + x ² /2! + x ³ /3! + … в диапазоне x от — ∞ до + ∞.

Закон, базирующийся на этой функции, называется экспоненциальным. Он описывает:

• возрастание сложных банковских процентов;
• увеличение популяции животных и населения планеты;
• время окоченения трупа и многое другое.

Повторим еще раз замечательное свойство данной зависимости — значение ее производной в любой точке всегда равно значению функции в этой точке, то есть (e^x)’ = e^x .

Приведем производные для наиболее общих случаев экспоненты:

• (e^ax)’ = a ∙ e^ax ;
• (e^{f (x)})’ = f'(x) ∙ e^{f (x)}.

Используя данные зависимости, несложно найти производные для других частных видов этой функции.

Некоторые интересные факты о числе е

С этим числом связаны фамилии таких ученых, как Непер, Отред, Гюйгенс, Бернулли, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, и другие. Последний собственно и ввел обозначение е для этого числа, а также нашел первые 18 знаков, используя для расчета открытый им ряд е = 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! …

Число e встречается в самых неожиданных местах. Например, оно входит в уравнение цепной линии, которое описывает провис каната под действием собственного веса, когда его концы закреплены на опорах.

Видео

Тема видеоурока — производная показательной функции.

Дифференцирование e в степени x

LearnPracticeDownload

Дифференцирование e в степени x — это процесс определения производной e в степени x по x, который математически записывается как d(e ^x )/дх. Экспоненциальная функция имеет вид f(x) = a ^x , где «a» — действительное число, а x — переменная. e в степени x является экспоненциальной функцией с основанием (a), равным числу Эйлера «e», а дифференцирование e в степени x равно e в степени x, то есть самой себе. Записывается как d(e ^x )/dx = e ^x .

Познакомимся с дифференцированием e в степени x и некоторыми вариациями функции e в степени x. Мы определим дифференцирование e в степени x, используя различные методы, включая первый принцип дифференцирования и производную экспоненциальной функции, а также несколько примеров для лучшего понимания.

1.	Какова дифференциация e в степени x?
2.	Дифференциация e в Power x Formula
3.	Дифференцирование e в степени x с использованием первого принципа
4.	Дифференцирование e в степени x с использованием производной от a x
5.	Часто задаваемые вопросы о дифференциации e в степени x

Какова дифференциация e в степени x?

Дифференцирование e в степени x равно e в степени x, потому что производная экспоненциальной функции с основанием ‘e’ равна e ^x . Математически это обозначается как d(e ^x )/dx = e ^x . e в степени x является экспоненциальной функцией с основанием, равным «e», которое известно как «число Эйлера». Оно записывается как f(x) = e ^x , где e — число Эйлера, а его значение приблизительно равно 2,718. Дифференцирование e в степени x может быть выполнено с использованием различных методов, таких как первый принцип дифференцирования и производная ^х .

Дифференциация e в Power x Formula

Предположим, что y = e ^x ⇒ ln y = ln e ^x ⇒ ln y = x. Дифференцируя это по x, мы имеем (1/y) dy/dx = 1 ⇒ dy/dx = y ⇒ dy/dx = e ^x . Если мы продифференцируем e в степени x относительно x, мы получим d(e ^x )/dx = e ^x . Следовательно, формула дифференцирования e в степени x:

Дифференцирование e в степени x с использованием первого принципа производных

Далее мы докажем, что дифференцирование e в степени x равно e ^x , используя первый принцип дифференцирования. Мы знаем, что для двух экспоненциальных функций, если основания одинаковы, мы складываем степени. Для доказательства производной e в степени x воспользуемся следующими формулами показательных функций и производных:

• f'(x) = lim _h→0 [f(x + h) — f(x) ] / ч
• е ^{х + ч} = е ^х .e ^ч
• lim _x→0 (e ^x — 1) / x = 1

Используя приведенные выше формулы, мы имеем

d(e ^x )/dx = lim _h→0 [e ^{x + h} — e ^x ] / h

= 9 lim 90 [E ^x . E ^H — E ^x ] / H

= LIM _{H → 0} E ^x [E ^H — 1] / H

= E ^x Lim Lim _ч→0   [e ^h — 1] / h

= e ^x × 1

= e ^x

Таким образом, мы доказали, что дифференцирование e в степени x равно e в степени x .

Дифференцирование e в степени x с использованием производной от a

^x

Показательная функция имеет форму f(x) = a ^x , где ‘a’ — константа (действительное число), а x — переменная. Производная показательной функции f(x) = a ^x равно f'(x) = (ln a) a ^x . Используя эту формулу и подставляя значение a = e в f'(x) = (ln a) a ^x , мы получаем дифференцирование e в степени x, которая определяется выражением f'(x) = (ln e) e ^x = 1 x e ^x = e ^x [Поскольку по правилам журнала, ln e = 1]. Следовательно, производная от e в степени x равна e ^x .

Важные замечания о дифференцировании e в степени x:

• n ^-е дифференцирование e в степени x равно e ^x , то есть d ⁿ (e ^x )/dx ⁿ = e ^x
• Производная показательной функции с основанием e равна e ^x .
• Производная от e ^x равна ae ^x . Используя эту формулу, мы получаем дифференцирование e ^x как 1.e ^x = e ^x .

☛  Связанные темы:

• Производное e ^2x 9{2}}\)

• Пример 2: Определите дифференцирование e в степени x sin x.

  Решение: Чтобы вычислить значение производной от e ^x sinx, воспользуемся правилом дифференцирования произведения.

  d(e ^x sinx)/dx = (e ^x )’ sin x + (sin x)’ e ^x

  = e ^x sin x + e ^x cos x [Потому что производная от sin x равна cos x]

  = e ^x (sin x + cos x)

  Ответ: Следовательно, дифференцирование e в степени x sin x равно e ^x (sin x + cos x).

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Дифференциация e в степени x Вопросы

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о дифференциации e в степени x

Каково дифференцирование e в степени x в исчислении?

дифференцирование e в степени x равно e в самой степени x, потому что производная экспоненциальной функции с основанием ‘e’ равна e ^x . Математически это обозначается как d(e ^x )/dx = e ^x .

Каково дифференцирование e в степени минус x?

Дифференцирование e в степени минус x равно отрицательному значению e в степени минус x, то есть d(e ^{— x} )/dx = -e ^x .

В чем отличие e от Power Sin x?

Дифференцирование e в степени sin x равно произведению cos x и e в степени sin x, то есть d(e ^{sin x} )/dx = cos x e ^{sin x} .

Какая производная от e в степени x log x?

Производная от e в степени x log x определяется выражением d(e ^{x ln x} )/dx = e ^{x ln x} (1 + ln x). Это следует из цепного правила.

Как найти производную показательной функции?

Производная экспоненциальной функции f(x) = a ^x есть f'(x) = (ln a) a ^x , которую можно вычислить, используя первый принцип дифференцирования.

Что такое формула экспоненциального дифференцирования?

Формула экспоненциального дифференцирования для f(x) = a 9-x

Хотя функция e ^-x не содержит круглых скобок, мы все же можем рассматривать ее как составную функцию (функцию функции).

Если мы добавим круглые скобки вокруг показателя степени, мы получим e ^(-x) .