Решение арифметических прогрессий: Онлайн калькулятор: Арифметическая прогрессия

Рассмотрим простой пример:
Найдем общую разность в следующей арифметической прогрессии:
а) 0,5,10,15,20
б) 3 ¹ ⁄ ₄ , 5 ¹ ⁄ ₂ , 7 ³ ⁄ ₄ , 10, 12 ¹ ⁄ ₄

Решение

а) Чтобы найти общую разность , используем формулу T _n – T _{(n – 1)} 90 043 д = Т ₂ – Т ₁
T ₂ = 5 и T ₁ = 0
d = 5 – 0
d = 5
Следовательно, общая разность для первого ряда (a) равна 5.

b) Применяя тот же принцип,
d = T ₂ – T ₁
T ₂ = 5 ^{1 d = 5 1 ⁄ ₂ – 3 1 ⁄ ₄
d = 2 1 ⁄ ₄}

n ^th член арифметической прогрессии обозначается как T _n или U _n ,
если T ₁ T ₂ = T ₁ + d = a + d
T ₃ = T 9001 5 2 + д = а + д + d = a + 2d

Это означает, что
T _n = a + (n – 1)d
Эта формула выше является общей формулой, используемой для решения арифметической прогрессии

Возьмем несколько примеров:
a) Найдите n ^th член в числах 34, 40, 46
b) Второй, третий и четвертый члены арифметической прогрессии равны x – 2, 5 и x + 2 соответственно рассчитать значение x.
c) Найдите количество членов арифметической прогрессии, если первый и последний члены равны x и 31x, а общая разность равна 5x.
г) Найдите количество слагаемых и выражение для n ^й член следующей арифметической прогрессии 32, 29, 26, …, -118
д) 8 ^й член арифметической прогрессии равен 18 и 12 ^й член равен 26. Найдите первый член, обычный разница и 20 ^й срок.
f) Первый член арифметической прогрессии равен 10, отношение 7 ^-го -го члена к 9-^-му -му члену равно 3:5. Вычислите общую разность прогрессии.
г) Цифры 11, х, у, 21 ¹ ⁄ ₂ из арифметической прогрессии. Найдите значения x и y.

Решение
а) У нас есть формула как T _n = a + (n – 1)d
a = 34
d = T ₂ – T ₁ = 40 – 34 = 6
Следовательно ,
T _n = 34 + (n – 1)6
T _n = 34 + 6n – 6
T _n = 34 – 6 + 6n
T _n = 28 + 6н

б)
2 ^nd член = x – 2
3 ^rd член = 5
4 ^th член = x + 2

Так как нет первого члена, мы будем использовать общую разность для вычисления значения x ₃
d = 5 – (х – 2) = (х + 2) – 5
5 – х + 2 = х + 2 – 5
5 + 2 – 2 + 5 = х + х
10 = 2х
5 = x
Следовательно, значение x равно 5.

c)
a (первый член) = x
T _n = l (последний член) = 31x
d (общая разность) = 5x

T _n = a + (n – 1)d
31x = x + (n – 1)5x
31x = x + 5nx – 5x
31x = -4x + 5nx
31x + 4x = 5nx
35х = 5nx
7 = n
Следовательно, количество слагаемых равно 7.

г)
A.P. => 32, 29, 26, …, -118
Прежде всего найдем количество слагаемых
Общая формула: T _n = A + (N -1) D
A = 32
D = T ₂ -T ₁
D = 29 -32 = -3
L = -118

-118 = 32 + (n -n 1)-3
-118 = 32 -3n + 3
-118 = 35 – 3n
3n = 35 + 118
3n = 153
n = 51
Следовательно, количество слагаемых равно 51.
Далее находим n ^th терм-выражение = 32 + (n – 1)-3
T _n = 32 + 3 – 3n
T _n = 35 – 3n

e)
T ₈ = 18, n = 8
T ₁₂ = 26 , n = 12

Сначала найдем выражения T ₈ и T ₁₂
T ₈ = a + (8 – 1)d
T ₈ = a + 7d … (I)

T ₁₂ = a + (12 – 1)d
T ₁₂ = a + 11d … (II)

Далее получаем значения a и d, используя одновременное уравнение для уравнения (I) и (II)
Используя метод исключения
18 = a + 7d
-26 = a + 11d

Это оставляет нам это уравнение
-8 = -4d
d = -8 / -4 = 2
Общая разность равна 2

Использование уравнения (II) для нахождения значения a (первого члена)
26 = a + 11d
26 = a + 11(2)
26 = a + 22
a = 26 – 22
a = 4
Первое слагаемое равно 4

Далее вычисляем значение 20 ^-го слагаемого
T ₂₀ = 4 + (20 – 1) 2
T ₂₀ = 4 + 19(2)
T ₂₀ = 4 + 38
T ₂₀ = 42

f)
Первый член (a) = 10 9004 3 Т ₇ : Т ₉ = 3:5 = ³ ⁄ ₅
Используя общую формулу: T _n = a + (n – 1)d

T ₇ = 10 + (7 – 1)d
T ₇ = 10 + 6d

T ₉ = 10 + (9 – 1)d
T ₉ = 10 + 8d

Начиная с T _{7 900 16 :Т 9 = 3:5
Отсюда следует, что 5T 7 = 3T 9}

5(10 + 6d) = 3(10 + 8d)
50 + 30d = 30 + 24d
30d – 24d = 30 – 50 9004 3 6d = -20
d = -3,3333

Следовательно, общая разность равна -3,3333

g)
A. P. => 11, x, y, 21 ¹ ⁄ ₂
Общая формула: T _n = a + (n – 1)d
T ₄ = 21 ¹ ⁄ ₂ , n = 4, a = 11

21 ¹ ⁄ ₂ = 11 + ( 4 – 1)d
21 ¹ ⁄ ₂ = 11 + 3d
⁴³ ⁄ ₂ = 11 + 3d
Умножая на 2 9004 3 43 = 22 + 6d
43 – 22 = 6d
21 = 6d
D = 21/6
D = 3,5
Далее, давайте найдем x

T ₂ = x = 11 + (2 — 1) 3,5
x = 11 + (1) 3,5
x = 11 + 3,5
x = 14,5

Далее, найдем y

T ₃ = y = 11 + (3 – 1)3,5
y = 11 + (2)3,5
y = 11 + 7
y = 18

Серия получается при добавлении членов последовательности.
Например:
а) 9 + 12 + 15 + 18 + … + 51
б) 4 + 8 + 12 + .. + 48
в) 1 + 2 + 3 + 4 + …
г) 5 + 10 + 15 + 20 + …

Примеры а) и б) называются конечными рядами , потому что они имеют определенное число членов и всегда можно найти сумма конечного ряда .
Примеры c) и d) называются бесконечными рядами . Сумму бесконечных рядов часто невозможно найти.

Решим что-нибудь
Найдите сумму этого A.P.
2 + 4 + 6 + … + 98 + 100
Решение
Срок) = 100
дн. (Общая разность) = T ₂ – T ₁
d (Общая разность) = 4 – 2 = 2

T _n = a + (n – 1)d
100 = 2 + (n – 1)2
100 = 2 + 2n – 2
100 = 2n
n = 100/2
n = 50

Следовательно, количество членов в арифметической прогрессии равно 50 900 45

Присмотритесь к этому

S (сумма) = 2 + 4 + 6 + … + 98 + 100 Складывая два ряда по вертикали, получаем:

2S = 102 + 102 + … + 102 + 102 + 102
2S = 102 x 50
2S = 5100
S = ⁵¹⁰⁰ ⁄ ₂
S = 2550

Следовательно, сумма арифметического ряда равна 2550

Следующее выражение представляет собой общий арифметический ряд, где добавляются термины.

S = а + (а + d) + (а + 2d) + … + l … (III)
S = l + (l – d) + (l – 2d) + … + a … (IV)

Сложение уравнений (III) и (IV)

2S = (a + l) + (a + l) + … + (a + l)
2S = (a + l)n
S = ^{n(a + л)} ⁄ ₂ … (V)

Приведенная выше формула используется, когда заданы первый и последний члены

Существует другая формула

Так как l = a + (n – 1)d
Подставляя l = a + (n – 1)d в уравнение (V)
S _n = ^{n(a + l)} ⁄ ₂
S _n = ^{n(a + a + (n – 1)d)} ⁄ ₂
S _n = ^{n(2a + (n – 1)d)} ⁄ ₂ … (VI)

Приведенное выше уравнение или уравнение (VI) используется, когда дается первый член и общая разность.

Возьмем еще один пример

а) Первый член и последний член арифметической прогрессии равны 2 и 256 соответственно. Сколько членов в последовательности и в чем общее отличие ряда, если его сумма равна 1548?

Решение
а)
Сначала найдем количество слагаемых, n
а (первый член) = 2
l (последний член) = 256
S _n (сумма ряда) = 1548

С _п = ^{n(a + l)} ⁄ ₂
1548 = ^{n(2 + 256)} ⁄ ₂
Умножая на 2
3096 = n(2 + 25) 6)
3096 = 258n
n = ³⁰⁹⁶ ⁄ ₂₅₈
n = 12

Следовательно, количество членов ряда равно 12

Далее, найдем общую разность, d

S _{n 9 0016 = ^{n(2a + (n – 1)d)} ⁄ 2
1548 = ^{12(2(2) + (12 – 1)d)} ⁄ 2
Умножая на 2
3096 = 12(4 + (11)d)
3096 = 48 + 132d
3096 – 48 = 132d
3048 = 132d
d = ³⁰⁴⁸ ⁄ 132
d = 23,0909}

Следовательно , общая разница 23. 0909 .

Калькулятор Nickzom способен вычислить все параметры A рифметической P прогрессии.

Загрузите наше бесплатное приложение для Android

Арифметические прогрессии | Великолепная математика и естественные науки Wiki

Содержимое

• Описание арифметических прогрессий
• Суммы арифметических прогрессий
• Свойства арифметических прогрессий
• Решение проблем
• Смотрите также

Важная терминология

• Начальный член: В арифметической прогрессии первое число в ряду называется «начальным членом».
• Общая разность: Значение, на которое увеличиваются или уменьшаются последовательные члены, называется «обычной разностью».

Рекурсивная формула

Мы можем описать арифметическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член относится к предыдущему. Поскольку в арифметической последовательности каждый член задается предыдущим членом с добавленной общей разностью, мы можем написать рекурсивное описание следующим образом:0003

\[ \text{Термин} = \text{Предыдущий термин} + \text{Общая разница.} \]

Более кратко, с общей разницей \(d\), мы имеем:

\[a_n= a_{n-1}+d.\]

Явная формула

Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать взаимосвязь между членами последовательности, часто полезно иметь возможность написать явное описание терминов в последовательности, которая позволила бы нам найти любой термин.

Если известен исходный член, то следующие члены связаны с ним повторным добавлением общей разности. Таким образом, явная формула

\[ \text{Термин} = \text{Начальный термин} + \text{Общая разница} \times \text{Количество шагов от начального термина}.\]

Мы можем записать это с общей разностью \( d\), как:

\[a_n = a_1 + d(n-1).\]

Какая последовательность описывается выражением \(a_n = 2 + 4(n-1)\)?

Последовательность: \(2, 6, 10, 14, \точки\).

Из явной формулы видно, что начальный член равен 2, а общая разность равна 4.

9{\text{й}}\) экзамен.

Если все его оценки следуют арифметической прогрессии с положительной общей разностью, на каком экзамене он получил нулевые оценки?

Сумма терминов: Сумма первых \(n\) членов АП с начальным термином \(a\) и общей разностью \(d\) определяется как

\[S_n=\frac n2 \big[ 2a+(n-1)d\big] \qquad \text{or} \qquad S_n = \dfrac{n}{2} \big[T_1 + T_n\big] \qquad \text{or} \qquad S_n = n \times (\text{средний срок}).

\]

Чему равна сумма первых 100 натуральных чисел?

Предположим, что сумма первых 100 натуральных чисел равна \(S\), тогда

\[S=1+2+3+ \cdots +98+99+100.\]

Теперь запись этого выражения в обратном порядке дает

\[S=100+99+98+ \cdots +3+2+1.\]

Сложив два вышеуказанных значения, мы получим

.

\[\begin{выравнивание} 2S&=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\cdots +(98+3)+(99+2)+(100+1)\\ &=(101)+(101)+(101)+ \cdots + (101)+(101)+(101)\\ &=101 \умножить на 100\\ \\ \Rightarrow S&=\dfrac{101 \times 100}{2}\\&=101 \times 50\\&=5050.\ _\square \конец{выравнивание}\]

В приведенном выше примере обратите внимание, что суммы соответствующих членов в \(S=1+2+3+ \cdots +98+99+100\) и \(S=100+99+98+ \cdots +3 +2+1\) все одинаковы, т.е.

\[1+100=2+99=3+98= \cdots =50+51=51+50=\cdots =98+3=99+2= 100+1.\]

Сумма членов AP может быть найдена вручную путем сложения всех членов, но это может быть очень утомительным процессом. На основании вышеуказанного свойства, которым обладает АП, существует обобщенная формула для суммы АП.

Для арифметической прогрессии с начальным членом \(a_1\) и общей разностью \(d\) сумма первых \(n\) членов равна

.

\[ S_n = \frac{n}{2}\big[2a_1+(n-1)d\big]. \]

Чему равна сумма первых 50 нечетных натуральных чисел?

Мы понимаем, что это арифметическая последовательность с общей разностью \(2\) и начальным членом \(1.\). Затем мы можем использовать формулу для получения

\[S_n = \frac{1}{2}n\big(2a_1+(n-1)d\big) \подразумевает S_{50} =25\times(2+492. \конец{выравнивание}\]

\[\large 13 + 28 + 43 + \cdots + a_n = 68210\]

Члены \(n\), добавляемые в левую часть приведенного выше уравнения, образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке.

Что такое \(n?\)

Возрастающая/убывающая последовательность:

• Если общая разность положительна, т. е. \(d>0,\), то арифметическая прогрессия представляет собой возрастающую 908 40 последовательность и удовлетворяет условию \(a_{n-1}

• Если общая разность отрицательна, т.е. \(d<0,\), то арифметическая прогрессия представляет собой убывающую последовательность и удовлетворяет условию \(a_{n-1}>

  a_n:\) \[ a_1 > a_2 > a_3 > \cdots .\] Например, арифметическая прогрессия с начальным членом \(1\) и общей разностью \(-3, \), т.е. \(1, -2, -5, -8, -11, \dots, \) — убывающая последовательность.

Другие свойства:

• Если \(a,b,c\) находятся в AP, то \(2b = a + c.\) 9{\text{th}}\) член последовательности \(1, 2, 3, 4, 5, \dots\), соответствующие точки можно нарисовать \((n,a_n)\) в декартовой системе координат следующим образом:

  
  Все точки \((n,a_n)\) лежат на одной прямой, то есть, если соединить все точки, можно составить прямую линию.