2

Производная онлайн

Примеры решенийЭкстремумы функцииНайти интеграл Точки перегиба Точки разрыва функцииИнтервалы возрастания функции Асимптоты функции Диф уравнения онлайнПредел функции Правило Лопиталя

Производной функции y=f(x) в точке x0 называется конечный предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (см. пример).
Если необходимо найти производные функции нескольких переменных z=f(x,y), то можно воспользоваться данным онлайн-калькулятором. Решение оформляется в формате Word.
  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Также решают
Функция задана в явном виде

f(x) =

Функция задана в неявном виде Примеры

F(x,y) =

Функция задана в параметрическом виде Примеры

x =

y =

Упрощать выражение
Находить вторую производную
Правила ввода функции, заданной в явном виде

Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos2(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в неявном виде

Примеры
≡ x^2/(1+y)
cos2(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ 1+(x-y)^(2/3)

Если функция задана в виде y2-x=cos(y), то ее необходимо записать так: y^2-x-cos(y). (2/3)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции

Решение пределов

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

Таблица производных

  1. (xα)’ = α xα-1
  2. = 1/2x1/2 =
  3. (ax)’ = ax·lna
  4. (ex)’ = ex
  7. (sinx)’ = cosx
  8. (cosx)’ = -sinx
  15. (shx)’ = chx
  16. (chx)’ = shx

Примечание:
– гиперболический синус
– гиперболический косинус
– гиперболический тангенс
– гиперболический котангенс

Как найти производную, исходяя из ее определения?

Правила нахождения производных

Пример 1. Найти производную функции y=cos4x.
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x), получим
(cos4x)′cos x = 4cos4-1x = 4cos3x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной х; поэтому надо полученный результат умножить на производную от cos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′x = (cos4x)′cos x·(cosx)′x = 4·cos3x·(-sin x) = -4·cos3x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

Пример 2. Найти производную функции
.


.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x))v(x), или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый
способ логарифмического дифференцирования.

Пример 3. Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию

Учитывая, что , будем иметь Но , откуда
.

Пример 4. Найти производную функции y=xex
Решение.
;
.

Прикладное использование производной

Вычисление производной первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
  1. Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной: f'(x)=0.