Приведите пример квадратичной функции график которой касается прямой y: Приведите пример квадратичной функции, график которой касается прямой y=5 в точке с абсциссой -2

Приведите пример квадратичной функции график которой касается прямой y=3 с абсциссой 6 — Знания.site

Последние вопросы

Алгебра
3 минуты назад
один із коренів рівняння x2+12x+c=0 дорівнює 0. Знайти другий корінь та число c
Алгебра
8 минут назад
Скільки складів з двох букв, перша буква якого позначає приголосний звук, а друга — голосний, можна скласти з букв слова «Дев’ятикласник»?
Алгебра
8 минут назад
Запишіть в квадратному рівнянні його коефіцієнтиx²+3x-10=0
Алгебра
13 минут назад
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 500 метров, за 45 секунд.
Найдите длину поезда в метрах.
Умооооллляяяяюююю!!!
Алгебра
13 минут назад
Алгебра 7 класс уравнение
Алгебра
13 минут назад
cos a= -2/3 , 180градусов
Алгебра

13 минут назад
2) Функцію задано формулою у =-0,6-0,3x, де х i-3< x < 2. Задайте цю функцію таблицею. ДАЮ 40 БАЛЛОВ!!СРОЧНО
Алгебра
28 минут назад
Помогите с алгеброй пожалуйста
Алгебра
28 минут назад
Решение задачи Коли для дифференциального уравнения
Алгебра
1 час назад
Дайте повну відповідь та малюнок, даю 75 балів
Алгебра
1 час назад
Свойства степени. 3пж пж ответьте
Алгебра
1 час назад
добуток двох послідовних натуральних чисел на 71 більший за їх суму. Знайдіть ці числа.

Все предметы

Выберите язык и регион

English

United States

Polski

Polska

Português

Brasil

English

India

Türkçe

Türkiye

English

Philippines

Español

España

Bahasa Indonesia

Indonesia

Русский

Россия

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years

Квадратичная функция, как построить параболу

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

394. 4K

Большинство явлений в нашей жизни можно описать математическим языком. И функция — отличный в этом помощник. Давайте рассмотрим ее квадратичную форму.

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило, в соответствии с которым каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Графический способ: наглядно.

Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек координатной плоскости, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax² + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x² в частном случае при b = 0, c = 0:

Точки, обозначенные фиолетовыми кружками, называют

базовыми точками.

Чтобы найти их координаты для функции y = x², нужно составить таблицу:

x	−2	−1	0	1	2
y	4	1	0	1	4

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x² при любых значениях остальных коэффициентов. При увеличении старшего коэффициента график сужается, при уменьшении — расширяется.

График функции y = –x² выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x	−2	−1	0	1	2
y	−4	−1	0	−1	−4

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

Если старший коэффициент больше нуля (a > 0), то ветви параболы напрaвлены вверх.
Если старший коэффициент меньше нуля (a < 0), то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax² + bx + c. Чтобы найти точки пересечения с осью Ox, нужно решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b² — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:

Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

Теперь понятно, что, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы можем схематично представить график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax² + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax

² + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x² + 3x — 5.

Как строим:

Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x² + 3x — 5.

D = b² — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

√D = 7

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x² + 3x — 5 = 0

Координаты вершины параболы:

Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) относительно оси симметрии.
Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график параболы:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)

² + y₀

Зная координаты вершины параболы и старший коэффициент, можно записать уравнение квадратичной функции в виде у = a(x − x₀) + y₀, где x₀, y₀ — координаты вершины параболы.

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x² + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1)² + 4.

Как строим:

Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

построить график функции y = x²,
умножить ординаты всех точек графика на 2,
сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

Построить график параболы для каждого случая.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид функции позволяет быстро найти нули функции:
(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.
Определим координаты вершины параболы:
Найти точку пересечения с осью OY:
с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой линией.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

123.2K

Решение линейных неравенств

К следующей статье

319. 3K

Модуль числа

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс

Квадратичные функции

Графер	Калькулятор	Возврат
Справка	Точечная диаграмма	Возврат

Содержание : Эта страница соответствует § 3.1 (стр. 244) текста.

Предполагаемые проблемы из текста:

р. 251 #1-8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 30, 33, 37, 38, 75

Графики
Стандартная форма
приложений

Графики

А квадратичная функция имеет вид f(x) = ax ² + bx + c , где a , b и c — это числа, где a не равны нулю.

График квадратичной функции представляет собой кривую, называемую параболой . Параболы могут раскрываться вверх или вниз и различаются по «ширине» или «крутизне», но все они имеют одинаковую основную форму «U». На рисунке ниже показаны три графика, и все они являются параболами.

Все параболы симметричны относительно линии, называемой осью симметрии . Парабола пересекается его ось симметрии в точке, называемой вершиной параболы.

Вы знаете, что две точки определяют прямую. Это означает, что если вам даны любые две точки на плоскости, то существует одна и только одна линия, содержащая обе точки. Аналогичное утверждение можно сделать о точках и квадратичных функции.

Даны три точки на плоскости, которые имеют разные первые координаты и не лежат на одной прямой. одну квадратичную функцию f, график которой содержит все три точки. Апплет ниже иллюстрирует этот факт. График содержит три точки и параболу, проходящую через все три. Соответствующая функция показана в тексте поле под графиком. Если перетащить любую из точек, то функция и парабола обновятся.

Многие квадратичные функции можно легко изобразить вручную, используя методы растяжения/сжатия и сдвига. (перевод) парабола y = x ² . (См. раздел об управлении графики.)

Пример 1 .

Нарисуйте график y = x ² /2. Начиная с графика y = x ², мы уменьшаем его в множитель из одной половины. Это означает, что для каждой точки на графике y = x 92 — 5. Начнем с графика y = x ² , сдвинем вправо на 4 единицы, затем 5 единиц вниз.

Упражнение 1 :

(a) Нарисуйте график y = (x + 2) ² — 3. Ответ
(b) Нарисуйте график y = -(x — 5) ² + 3. Ответ

Вернуться к содержанию

Стандартная форма

Функции в частях (a) и (b) упражнения 1 являются примерами квадратичных функций в стандартной форме . Когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее график легко начертить, отражая, сдвигая и растяжение/сжатие параболы y = x ² .

Говорят, что квадратичная функция f(x) = a(x — h) ² + k, не равная нулю, имеет стандартную форму . Если а положительное, то график открывается вверх, а если а отрицательное, то открывается вниз. линия симметрии — вертикальная линия x = h, а вершина — точка (h,k).

Любая квадратичная функция может быть переписана в стандартной форме с помощью , дополняющего квадрат . (см. раздел о решая уравнения алгебраически, чтобы просмотреть завершение квадрата.) Шаги, которые мы используем в этом разделе для заполнения квадрата, будут выглядеть немного иначе, потому что наш главный цель здесь не решение уравнения.

Обратите внимание, что, когда квадратичная функция находится в стандартной форме, также легко найти ее нули по квадратному корню. принцип.

Пример 3 .

Запишите функцию f(x) = x ² — 6x + 7 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f и найдите ее нули. и вершина.
f(x) = x ² — 6x + 7.
= (x ² — 6x )+ 7. Сгруппируйте x ² и х членов и затем завершите квадрат на этих условиях.
= (х ² — 6х + 9 — 9) + 7.
Нам нужно прибавить 9, потому что это квадрат половины коэффициента x, (-6/2) ² = 9. Когда мы решали уравнение, мы просто прибавляли 9 к обеим частям уравнения. В этой настройке мы добавляем и вычитаем 9 так что мы не меняем функцию.
= (х ² — 6x + 9) — 9 + 7. Мы видим, что x ² — 6x + 9 — полный квадрат, а именно (x — 3) ² .
f(x) = (x — 3) ² — 2. Это стандартная форма .
Из этого результата легко найти вершину графа функции f (3, -2).
Чтобы найти нули f, мы приравняем f к 0 и найдем x.
(х — 3) ² — 2 = 0,
(х — 3) ² = 2.
(х — 3) = ± квадратный сантиметр (2).
х = 3 ± квадрат (2).
Чтобы начертить график f, сдвинем график y = x ² на три единицы вправо и на две единицы вниз.

Если коэффициент при х ² не равен 1, то мы должны вынести этот коэффициент из х ² и х терминов, прежде чем продолжить.

Пример 4 .

Запишите f(x) = -2x ² + 2x + 3 в стандартной форме и найдите вершину графика f.
f(x) = -2x ² + 2x + 3.
= (-2x ² + 2x) + 3.
= -2(х ² — х) + 3.
= -2(х ² — х + 1/4 — 1/4) + 3.
Мы прибавляем и вычитаем 1/4, потому что (-1/2) ² = 1/4, а -1 — коэффициент при x.
= -2(х ² — х + 1/4) -2(-1/4) + 3.
Обратите внимание, что все в скобках умножается на -2, поэтому, когда мы удаляем -1/4 из скобок, мы надо умножить на -2.
= -2(х — 1/2) ² + 1/2 + 3.
= -2(х — 1/2) ² + 7/2.
Вершина — это точка (1/2, 7/2). Поскольку график открывается вниз (-2 < 0), вершина является самой высокой точкой на графике.

Упражнение 2 :

Запишите f(x) = 3x ² + 12x + 8 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f, найдите его вершину и найдите нули f. Ответ

Альтернативный метод нахождения вершины

В некоторых случаях завершение квадрата — не самый простой способ найти вершину параболы. Если график квадратичная функция имеет две точки пересечения с х, тогда линия симметрии — это вертикальная линия, проходящая через середину x-перехватов.

Х-пересечения на графике выше находятся в точках -5 и 3. Линия симметрии проходит через -1, что является средним из -5 и 3. (-5 + 3)/2 = -2/2 = -1. Как только мы знаем, что линия симметрии равна x = -1, мы знаем первую координату вершины равно -1. Вторую координату вершины можно найти, вычислив функцию при x = -1.

Пример 5 .

Найдите вершину графика функции f(x) = (x + 9)(х — 5).
Поскольку формула для f факторизуется, нули легко найти: -9 и 5.
Среднее значение нулей равно (-9 + 5)/2 = -4/2 = -2. Итак, линия симметрии равна x = -2, а первая координата вершины равно -2.
Вторая координата вершины: f(-2) = (-2 + 9)(-2 — 5) = 7*(-7) = -49.
Следовательно, вершина графика функции f равна (-2, -49).

Вернуться к содержанию

Приложения

Пример 6 .

Владелец ранчо имеет 600 метров забора, чтобы оградить прямоугольный загон с другим забором, разделяющим его посередине. как на схеме ниже.
Как показано на схеме, четыре горизонтальные секции забора будут иметь длину по x метров, а три каждая вертикальная секция будет иметь длину y метров.
Цель владельца ранчо — использовать весь забор и ограждать как можно большую площадь .
Каждый из двух прямоугольников имеет площадь xy, поэтому у нас есть
общая площадь: A = 2xy.
Мы мало что можем сделать с величиной А, пока она выражается как произведение двух переменных. Однако, тот факт, что у нас есть только 1200 метров забора, приводит к уравнению, которому x и y должны удовлетворять.
3у + 4х = 1200,
3г = 1200 — 4х.
г = 400 — 4x/3.
Теперь у нас есть выражение y как функция x, и мы можем подставить это выражение вместо y в формулу для общего район А.
А = 2xy = 2x (400 -4x/3).
Нам нужно найти значение x, при котором A будет как можно больше. A является квадратичной функцией x, и график открывается вниз, поэтому самая высокая точка на графике A является вершиной. Поскольку A факторизуется, самый простой способ найти вершина состоит в том, чтобы найти x-перехваты и среднее значение.
2x (400 -4x/3) = 0,
2x = 0 или 400 -4x/3 = 0.
х = 0 или 400 = 4х/3.
х = 0 или 1200 = 4х.
х = 0 или 300 = х.
Следовательно, линия симметрии графика A равна x = 150, среднее значение 0 и 300.
Теперь, когда мы знаем значение x, соответствующее наибольшей площади, мы можем найти значение y, вернувшись назад. к уравнению, связывающему x и y.
у = 400 — 4х/3 = 400 -4(150)/3 = 200.

Вернуться к содержанию

Графер	Калькулятор	Возврат
Справка	Точечная диаграмма	Возврат

Биоматематика: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень(и) квадратного уравнения. Корни также называют х — точками пересечения или нулями. Квадратичная функция графически изображается параболой с вершиной, расположенной в начале координат ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевые корни.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, на самом деле нас просят найти его корни. Мы уже видели, что завершение квадрата является полезным методом решения квадратных уравнений. Этот метод можно использовать для вывода квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. На самом деле корни функции

f ( x ) = ax ² + bx + c

даются квадратичной формулой. Корни функции это x — перехваты. По определению координата х точек, лежащих на оси х , равна нулю. Следовательно, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение

ах ² + бх + в = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решая для x и упрощая имеем,

Таким образом, корни квадратичной функции задаются как,

Эта формула называется квадратичной формулой , и ее вывод включен, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась. Мы называем терм b ² −4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b ² −4 ac < 0 Действительных корней нет.

2. b ² −4 ac = 0 Существует один действительный корень.

3. b ² −4 ac > 0 Имеется два действительных корня.

Мы рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: нет действительных корней

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет действительных корней, а парабола, которую она представляет, не пересекает x — ось. Поскольку квадратичная формула требует извлечения квадратного корня из дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определен относительно действительной прямой. Пример квадратичной функции без действительных корней:

ф ( х ) = х ² — 3 х + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицательный,

б ² -4 а.с. = (-3) ² — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = -7.

Эта функция графически изображается в виде параболы, направленной вверх, вершина которой лежит над осью x. Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

Вариант 2: один действительный корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает x — ось в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b ² −4 ac = 0 в квадратичной формуле, чтобы получить

Обратите внимание, что это координата x вершины параболы. Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит точно на оси x . Простейший пример квадратичной функции, имеющей только один действительный корень:

х = х ² ,

, где реальный корень равен x = 0,

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем дается выражением

f ( x ) = −4 x ² + 12 x − 9,

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

б ² -4 ак = (12) ² — 4 · -4 · -9 = 144 — 144 = 0,

Эта функция графически представлена параболой, которая раскрывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (т.е. имеет один корень), как показано ниже,

Случай 3: два действительных корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x — перехваты). Извлечение квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, а два корня равны

Пример квадратичной функции с двумя вещественными корнями:

ф ( х ) = 2 х ² — 11 х + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

б ² — 4 ac = (-11) ² — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.

Эта функция графически представлена параболой, которая открывается вверх, вершина которой лежит ниже оси x .

Приведите пример квадратичной функции график которой касается прямой y=3 с абсциссой 6 — Знания.site