Преобразование выражений дробных выражений: Преобразование выражений с дробями: примеры, решения

Преобразование выражений с дробями: примеры, решения

Давайте рассмотрим основные преобразования, которые могут применимы для выражений с дробями.

Выражения с дробями и дробные выражения

Судя по заявленной в заголовке статьи теме, речь пойдет о преобразовании выражений с переменными числовых выражений, запись которых содержит хотя бы одну дробь.

Отдельные дроби в данном материале мы рассматривать не будем, так как уделили им достаточно внимания в статье «Преобразование дробей: общий взгляд». Остановимся лишь на разнице смысла словосочетаний «дробные выражения» и « выражения с дробями».

Выражение с дробями – это более общее понятие по сравнению с «дробным выражением». Далеко не любое выражение, содержащее дробь, является дробным выражением. Так, например, выражение x2-1 является целым рациональным числом.

Основные тождественные преобразования выражений с дробями: перестановка местами слагаемых и множителей, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. Все эти приемы мы разбирали для выражений различных видов.

Важно при проведении преобразований соблюдать принятый порядок действий.

Пример 1

Упростите выражение 3·x+1×2-4-1-2·x+1×2-4+3.

Решение

Раскроем скобки: 3·x+1×2-4-3-2·x+1×2-4+3. Мы получили выражение, в котором присутствуют подобные слогаемые 3·x+1×2-4 и -2·x+1×2-4, а также −3 и 3. Методом приведения получим дробь x+1×2-4.

Решение можно записать кратко:
3·x+1×2-4-1-2·x+1×2-4+3==3·x+1×2-4-3-2·x+1×2-4+3=x+1×2-4

Ответ: 3·x+1×2-4-1-2·x+1×2-4+3=x+1×2-4.

Пример 2

Представьте выражение 1×2+6·1x+9 в виде квадрата суммы.

Решение

Мы можем записать число 6 как 2·3, а 9 как 32. Тогда исходное выражение примет следующий вид:

1×2+2·3·1x+32

Теперь используем формулу сокращенного умножения квадрат суммы: 1×2+2·3·1x+32=1x+32.

Ответ: 1×2+6·1x+9=1x+32.

Работа с отдельными дробями

Предлагаем вам обсудить преобразование отдельных дробей, которые входят в запись выражения. Это необходимо для того, чтобы в следующем пункте мы могли перейти к выполнению действий с дробями, которые входят в исходное выражение.

С дробями, являющимися частью выражения, можно выполнять все те преобразования, которые мы подробно описали в материале «Преобразование дробей». Любое преобразование должно давать нам тождественную дробь, а исходное выражение при этом должно давать тождественно равное выражение.

Пример 3

Преобразовать выражение с дробью x+1+(x-1)2-1x к более простому виду.

Решение

Для начала поработаем с дробью (x-1)2-1x: раскроем скобки, приведем подобные слагаемые в числителе: (x-1)2-1x=x2-2·x+1-1x=x2-2·xx

Вынесем общий множитель x за скобки в числителе и произведем сокращение алгебраической дроби: x2-2·xx=x·(x-2)x=x-2.

Подставим полученный результат вместо дроби в выражение из условия задачи, получим:

x+1+x-2.

Ответ:

x+1+(x-1)2-1x=x+1+x-2.

Выполнение действий с дробями

Действия с дробями проводятся в соответствии с общепринятым порядком. Стоит учитывать тот факт, что любое число может быть представлено в виде дроби со знаменателем 1.

Пример 4

Упростите выражение x+2·x-1x+2·x+12x.

Решение

Существует несколько вариантов решения данной задачи. В контексте темы мы решим ее методом выполнения действий с дробями:

x+2·x-1x+2·x+12x==x+2·x-x+12x+2·x

Полученное произведение x+2·x запишем в виде дроби для того, чтобы нам проще был провести вычитание дробей:

x+2·x-x+12x+2·x==x+2·x1-x+12x+2·x==x+2·x·x+2·xx+2·x-x+12x+2·x==x+2·xx+2·x-x+12x+2·x==x+2·x-x+12x+2·x=x2+2·x-x2+2·x+1x+2·x==-1x+2·x=-1x+2·x

Для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, можно выполнить еще одно действие:

-1x+2·x=-x+2·xx2+2·x

Ответ: x+2·x-1x+2·x+12x=-x+2·xx2+2·x.

Применение свойств корней, степеней, логарифмов и т.

п.

Выражения с дробями могут содержать логарифмы, корни, тригонометрические функции, степени с различными показателями. Для их преобразования могут применяться соответствующие свойства.

Применимо к дробям, стоит выделить свойство логарифма разности logcab=logca-logcb, свойство корня из дроби abn=anbn, свойство модуля частного ab=ab и свойство дроби в степени abp=apbp.

Поясним написанное выше на примерах.

Выражение 4×6-2·2×3+1 можно преобразовать, заменив первую дробь степенью 2×32 на базе свойств степени. Это позволяет нам представить исходное выражение в виде квадрата разности.

В логарифмическом выражении lnx+3x+ln x логарифм дроби можно заменить разностью логарифмов. Далее приводим подобные слагаемые и таким образом упрощаем выражение: lnx+3x+ln x=lnx+3-ln x+ln x=lnx+3.

В тригонометрических выражениям отношение синуса к косинусу можно заменить тангенсом одного и того же угла.

Избавиться от аргумента-дроби можно при переходе от половинного аргумента к целому с использованием соответствующих формул. 2+16} \le \frac{1}{2} $$

Максимальное значение при a = 0 равно $\frac{1}{2}$.

Выражение, разделенное другим выражением.

Произношение: /ˈfræk.ʃən/ Объяснение

Дробь — это выражение, деленное на выражение. ^[1] Примеры дробей:

Выражение вверху называется числитель а выражение внизу называется знаменатель.

Дроби, значения которых больше единицы, иногда называют неправильные дроби. Неправильные дроби это часто проще в использовании, чем смешанные числа, особенно при использовании компьютеров.

Целое число, за которым следует дробь, называется смешанным числом. Два примера смешанных чисел:

Сложная фракция дробь с другой дробью в числителе и/или знаменателе:

Операции над дробями

Полный список правил операций над дробями см. в разделе Правила дробей.

Операция	Описание	Пример
Дополнение	Чтобы сложить 2 дроби: Найдите наименьший общий знаменатель Приведите каждую дробь к наименьшему общему знаменателю. Сложите числители, скопируйте общий знаменатель При необходимости сократите дробь.
Вычитание	Чтобы вычесть 2 дроби: Найдите общий знаменатель Приведите каждую дробь к общему знаменателю. Вычесть числители, скопировать общий знаменатель Уменьшить дробь, если необходимо.
Умножение	Чтобы умножить 2 дроби: Умножьте числители. Умножьте знаменатели Уменьшите дробь, если необходимо.
Отдел	Чтобы разделить 2 дроби: умножьте первую дробь на обратную величину второй дроби.
Наименьший общий знаменатель	Чтобы найти наименьший общий знаменатель двух дробей: Найдите простые множители обеих дробей. Произведите произведение простых множителей, убедившись, что каждый множитель умножается один раз. Произведение является наименьшим общим знаменателем.
Уменьшить дробь	Чтобы сократить дробь: Найдите простые множители числителя и знаменателя. Отменить общие факторы. Перемножьте оставшиеся коэффициенты.

Как преобразовать смешанное число в дробь.

Оригинал Выражение	Расчет	Описание
1 900 35	нет	Смешанный номер для преобразования.
2		Умножьте целое число на знаменатель. Продукт 10.
3		Добавьте произведение и числитель. Сумма равна 13.
4			Используйте сумму в качестве числителя и скопируйте знаменатель дроби.

Почему это работает:

Рисунок 1: Преобразование 2 3/5 в 13/5.

Как преобразовать дробь в смешанное число.

Шаг	Операция	Описание
1	нет	Преобразуемая дробь.
2		Разделите 23 на 7. Это даст три целых и остаток 2/7.
3		Составьте смешанное число.

Почему это работает:

Рисунок 2: Преобразование 23/7 в 3 2/7

Ссылки

МакАдамс, Дэвид Э. 0258 . Издание 2-го класса 20150108-4799968. стр. 82. Life is a Story Problem LLC. 8 января 2015. Купить книгу
Файн, Генри Б., доктор философии. Теоретическая и историческая трактовка числовой системы алгебры . 2-е издание. стр. 12-15. www.archive.org. DC Heath & Co., Бостон, США. 1907. Последнее обращение 11. 07.2018. http://www.archive.org/stream/thenumbersystemo17920gut/17920-pdf#page/n21/mode/1up/search/fraction. Купить книгу
Оберг, Эрик. Упрощенная арифметика . стр. 21-31. www.archive.org. Промышленный пресс. 1914. Последний доступ 11.07.2018. http://www.archive.org/stream/arithmeticsimpli00oberrich#page/21/mode/1up/search/fraction. Купить книгу

Оберг, Эрик. Элементарная алгебра . стр. 23. www.archive.org. Промышленный пресс. 1914. Последнее обращение 11.07.2018. http://www.archive.org/stream/elementaryalgebr00oberrich#page/n26/mode/1up/search/fraction. Купить книгу
Беттингер, Элвин К. и Инглунд, Джон А. Алгебра и тригонометрия . стр. 9-11. www.archive.org. Международная Учебная Компания. Январь 1963 г. Последний доступ 11.07.2018. http://www.archive.org/stream/алгебраandtrigon033520mbp#page/n18/mode/1up. Купить книгу

Цитируйте эту статью как:

МакАдамс, Дэвид Э.

Фракция . 21.04.2019. Вся энциклопедия математических слов. ООО «Жизнь — это проблема истории». https://www.allmathwords.org/en/f/fraction.html.

Кредиты изображений

Все изображения и манипуляции принадлежат Дэвиду МакАдамсу, если не указано иное. Все изображения Дэвида МакАдамса защищены авторским правом © Life is a Story Problem LLC и находятся под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

История изменений

21.04.2019:

Уравнения и выражения изменены для соответствия новому формату.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

21.12.2018:

Пересмотрено и исправлено произношение МФА.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

09.07.2018:

Удалены битые ссылки, обновлена лицензия, реализована новая разметка, реализован новый протокол Geogebra.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

19.12.2009:

Добавлен «Справочники».

(МакАдамс, Дэвид Э.)

29.

12.2008:

Ключевое слово «сложная дробь» заменено на словарную ссылку.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

28.11.2008:

Добавлен раздел «Сложные дроби».

(МакАдамс, Дэвид Э.)

26.11.2008:

Формулы заменены на изображения.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

16.09.2008:

Добавлен текст описания числителя и знаменателя, изменены некоторые выражения на hot_eqn.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

19.10.2007:

Пояснения к примерам в разделе «Как сделать».

(МакАдамс, Дэвид Э.)

23.09.2007:

Удалено оповещение.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

20.08.2007:

Добавить эту историю изменений.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

08.08.2007:

Первоначальная версия.

(МакАдамс, Дэвид Э.)

MathOnWeb — Электронная книга по алгебре — Дробные выражения и уравнения

В этой главе мы рассмотрим дроби в четвертый и последний раз. Давайте просмотрите наши предыдущие три встречи:

Обыкновенные дроби. В разделе 1.2 мы представили обозначение дроби, a / b , где a и b были целыми числами для описать часть или часть целого объекта. Например, ¾ означало, что мы разбили объект на 4 равные части. части и у нас было 3 из тех частей. Обратите внимание, что a / b был номером; обозначения а / б не имели ничего общего с делением. В разделе 1.2 мы также узнали, как преобразовать дробь в самые низкие условия, как складывать и вычитать дроби, умножить дроби, разделить дроби и как преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь с помощью длинного деления.
Разделение чисел. В разделе 2.4 мы определили деление двух чисел в терминах умножения. Мы сказали, что разделив a по b произвел число c такое, что c умножить на b дали a . Мы использовали то же обозначение дроби, a / b , для обозначения деления a на b , потому что, когда a и b оба были целыми числами, тогда деление а / б дало обыкновенную дробь а / б . Однако в любом другом случае деление давало действительное число. В разделе 2.4 мы также узнали, что деление a по b может быть заменяется умножением на на обратное b . Наконец, мы узнали правила деления с участием знаки минус.
Раздел выражений. В разделе 3.5 мы видели, что существует три различных способа разделения выражений в зависимости от были ли числитель a и знаменатель b мономами, полиномами или полиномами.
- Если бы они были мономами, то деление a на b равнозначно записи алгебраическая дробь, a / b , и уменьшив его до наименьших значений, как обыкновенную дробь.
- Если бы они были полиномами, то a можно разделить на b с использованием длинного деления, точно так же, как неправильная обыкновенная дробь может быть преобразована в смешанную дробь с помощью длинного деления.
- Если a было многочленом, а b был одночленом, то мы разместили каждый член а над б так, чтобы результатом деления была сумма алгебраические дроби.

Осталось обсудить алгебраических дробей , то есть дробей, числитель и знаменатель являются алгебраическими выражениями. В этой главе обсуждаются алгебраические дроби и дробные уравнения. Он содержит следующие разделы:

раздел 11.1 — В этом разделе мы говорим о упрощение алгебраических дробей. Главный новый результат состоит в том, что поскольку теперь мы знаем, как разложить выражение на множители, мы можем разложить числитель или знаменатель, и это открывает новый способ уменьшить алгебраическая дробь до младших членов.
раздел 11.2 — В этом разделе мы Расскажите об умножении и делении алгебраических дробей.
раздел 11. 3 — В этом разделе мы Расскажите о сложении и вычитании алгебраических дробей.
раздел 11.4 — В этом разделе мы покажем, как решать уравнения, содержащие алгебраические дроби.

11.1 — Упрощение алгебраических дробей

Некоторые определения

Обыкновенная дробь форма или а / б , где a , числитель , и b , знаменатель , оба являются целыми числами. Обыкновенная дробь используется для описания части или доли целого объекта. Обозначение означает, что мы разбиваем объект на b равные части, и у нас есть и этих частей. Часть или часть объекта, который у нас есть это а / б .
Отдел определяется с точки зрения умножения. Деление числа a на число b дает число c такое, что c умножить на b дает обратно a . Мы используем то же обозначение дроби, a / b , для обозначения деления a на b , потому что, когда a и b оба были целыми числами, тогда подразделение а / b дает обыкновенную дробь a / b .
Алгебраическая дробь — это дробь, у которой числитель или знаменатель являются алгебраическими выражения. Два примера алгебраических дробей:
и .
рациональная алгебраическая дробь — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель являются полиномами. Первый пример выше — это рациональная алгебраическая дробь; второй нет.
A правильная обыкновенная дробь обыкновенная дробь, числитель которой меньше ее знаменатель и неправильная обыкновенная дробь это тот, числитель которого больше или равен его знаменателю. Смешанная дробь — это сумма целого числа и правильной дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования неправильную дробь в смешанную дробь.
A правильная алгебраическая дробь — рациональная алгебраическая дробь. чей числитель имеет младшую степень чем его знаменатель, а неправильная алгебраическая дробь равна единице числитель которого больше или равен знаменателю. Смешанное выражение представляет собой сумму многочлена и правильной алгебраической дроби. Длинное деление можно использовать для преобразования неправильную алгебраическую дробь к смешанному выражению.

Деление на ноль
Эта операция не допускается в математике. Нажмите здесь, чтобы узнать, почему. Это означает, что в алгебраической дроби
,
x не может равняться 1 или −3, потому что эти значения x вызовут дробь, чтобы знаменатель был равен нулю.
Приведение алгебраической дроби к наименьшим членам
Посмотрите на алгебру, которую мы делаем здесь:
Начнем с дроби a / b .
Умножаем на 1. Это не изменит его значение.
Запишем «1» как дробь d / d .
Перемножаем две дроби. Числитель новой дроби равен и , а знаменатель равен и .
Последняя дробь равна эквивалентно в первой дроби.
Если мы пойдем в обратном направлении, то мы скажем, что сводим дробь к ее простейшая эквивалентная дробь или низшая дробь . Для этого находим любой множитель, который содержится и в числителе, и в знаменателе. и зачеркнуть или зачеркнуть , например:

Пример: Приведите обыкновенные дроби 10/6 и 10/5 к наименьшему виду.
Разложите числитель и знаменатель на множители. Отменить общий делитель 2.
Разложите числитель и знаменатель на множители. Отмените общий делитель 5. Результат деления — целое число. Мы говорим, что знаменатель делит без остатка . в числитель.

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби являются 90 369 мономами 90 370 , то выполните все следующие шагов, чтобы уменьшить дробь до :
Получите знак, используя правила для знаков.
Уменьшить коэффициент до минимума.
Отмена идентичных множителей, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе.
Объедините экспоненты с одинаковым основанием, используя свойство деления экспонент.

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
Знак − ставится перед результатом или перед числителем; никогда не стоит перед знаменателем.
Уменьшить коэффициент 6/9к самые низкие условия.

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
Два знака — заменены знаком +, который нам не нужно отображать. Коэффициент снижается до ¼. Числитель содержит другие множители, поэтому 1 в числителе можно опустить.
Объедините экспоненты с основанием x с использованием свойств экспоненты.

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
Знак − ставится впереди. Коэффициент снижается до 1/3. одинаковых множителей из x ³ в числителе и знаменателе сокращаются. Числитель не содержит других множителей, поэтому на этот раз должна отображаться 1.

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
После проведения всех упрощений знаменатель равен 1, поэтому нам не нужно его отображать. Таким образом, результатом является обычное выражение, не алгебраическая дробь.

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби равны многочленов , тогда в дополнение к шагам, перечисленным выше, попробуйте выполнить следующие шагов, чтобы сократить дробь до :
Фактор числителя или знаменателя или обоих. Иногда это вызывает новые появляются аннулирующие факторы.
Множитель a − знак вне числителя или знаменателя. Иногда это приводит к появлению нового фактора отмены.
В следующих примерах мы будем предполагать, что вы уже знаете как сделать факторинг поэтому мы просто покажем, как использовать множители для сведения алгебраических дробей к самые низкие условия.
Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
Разложите числитель и знаменатель на множители.
Отменить общий делитель x .

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение:
Разложить числитель на множители.
Отменить общий делитель x − 2.

Пример: Уменьшить алгебраическую дробь на самые низкие условия.
Решение: Это та же алгебраическая дробь, что и в предыдущем примере, за исключением что знаменатель отличается знаком -.
Разложить на множители числитель и фактор a − выйти знаменателя.
Отменить общий делитель x − 2.
Поставить знак − в числителе и распространять его.

11.2 — Умножение и деление алгебраических дробей
Умножение алгебраических дробей
Порядок умножения алгебраических дробей такой же, как и порядок умножения алгебраических дробей. умножение обыкновенных дробей.

Умножение двух алгебраических дробей дает новую алгебраическую дробь. Умножьте два числителя, чтобы получить новый числитель, и умножьте два знаменателя, чтобы получить новый новый знаменатель:
Затем упростите, сократив новую дробь до наименьших членов.
Примеры:
Деление алгебраических дробей
Порядок деления алгебраических дробей такой же, как и порядок деления алгебраических дробей. деления обыкновенных дробей.

Замените деление на дробь на умножение на обратную дробь , например:
Затем выполните умножение двух дробей как описано выше.
Обратите внимание, что вы берете обратную дробь внизу!

Вот почему эта процедура работает:
Суть в том, что вместо того, чтобы видеть дробь, деленную на дробь, ищите одну дробь, числитель и знаменатель которой являются дробями. На первом шаге мы умножили эту дробь на UFOO числитель и знаменатель которого являются дробями. НЛО был выбран так, чтобы дроби в знаменателе сокращались и давали 1. После другого упрощение, оставившее только окончательное умножение дробей.
Примеры: Найдите следующие три шага: (1) инвертируйте нижнюю дробь, (2) умножить дроби, (3) упростить.

11.3 — Сложение и вычитание алгебраических дробей
Процедура сложения или вычитания алгебраических дробей такая же, как и процедура сложение или вычитание обыкновенных дробей.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Фракции, имеющие равные знаменатели, также называются , как и дроби .

Чтобы сложить или вычесть две одинаковые дроби, просто сложите или вычтите числители и поднесите результат к общему знаменателю, так:
Пример:

Сложение дробей с неравными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби, у которых знаменатели не равны, их нужно сначала преобразовать к эквивалентным дробям, которые делают имеют общий знаменатель. Вот шаги:
Найдите наименьшее общее кратное знаменатели. Применительно к дробям это число называется наименьшим общим числом. знаменатель (ЖК) дробей.
Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь, имеющую LCD как его знаменатель. Для этого умножьте числитель на знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель, благодаря которому это происходит.
Сложите числители и поместите над общим знаменателем.
Упростите результат, сократив его до минимума.
Пример: . Чтобы вычесть эти дроби, выполните следующие действия:
Найдите ЖК, это 10.
Поскольку в знаменателе первой дроби уже есть LCD, нам нужно только умножьте вторую дробь на 5/5, чтобы преобразовать ее в эквивалентную дробь с знаменатель 10.
Вычтите числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
Упростите, сократив дробь до меньших членов.

Пример: . Чтобы добавить эти дроби, выполните следующие действия:
Найдите ЖК-дисплей, который равен (4 x − 1)( x + 3).
Умножьте числитель и знаменатель первой дроби на ( x + 3) и числитель и знаменатель второй дроби на (4 x — 1):
Обе дроби теперь имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
Упростите, распределив числитель.

Сложение дробей с факторизуемыми знаменателями

Вы должны всегда факторизовать знаменатели. Это единственный способ определить, является ли фактор появляется более чем в одном знаменателе.
Пример: . Чтобы добавить эти дроби, выполните следующие действия:
Разложите знаменатель первой дроби на множители. Тогда мы видим, что факторы x — 2 и x — 3 появляются более чем в одном знаменателе:
Найдите ЖК-дисплей, который имеет размер ( x − 2)( x − 3).
Умножьте числитель и знаменатель второй дроби на ( х — 3) и числитель и знаменатель третьей дроби на ( x — 2):
Теперь обе дроби имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
Упростите, распределив и добавив одинаковые члены в числителе.

Сложение дробей и не дробей (смешанные выражения)

Чтобы сложить или вычесть дроби и не дроби, преобразуйте не дроби в дроби со знаменателем 1.
Пример: . Чтобы добавить эту дробь и не дробь, выполните следующие действия:
Запишите не дробь в виде дроби со знаменателем 1:
Найдите ЖК-дисплей, который, конечно же, ( x − 2).
Умножьте числитель и знаменатель первой дроби на ( х — 2):
Обе дроби теперь имеют LCD в качестве знаменателя. Добавьте числители и поместите результат на ЖК-дисплей.
Упростите, распределив и добавив одинаковые члены в числителе.

11.4 — Дробные уравнения
Прежде чем читать этот раздел, вы можете рассмотреть следующие темы:
Основы решения уравнений.
Техника очистки фракций для решение линейных уравнений.
Как найти наименьший общий знаменатель (ЖК) алгебраических дробей.
Дробное уравнение — это уравнение, содержащее дробные члены. В разделе 4.2 мы видели как решить линейное уравнение , которое содержит дроби. Шаги для решения любого дробного уравнения точно такие же:
Посмотрите на знаменатель всех дробей и найдите их наименьшее общее кратное (НОК) (это также называется наименьшим общим знаменателем (НОД) дробей).
Умножьте обе части уравнения на LCM.
Распределите LCM по обеим частям уравнения.
Уравнение больше не содержит дробей, и вы можете продолжить его решение с помощью основных процедур решения уравнений.
Проверьте решение. Это особенно важно для дробных уравнений. Там две возможные проблемы:
Если знаменатель любого члена дроби содержит x , то LCM будет также содержат x , и умножение обеих частей уравнения на LCM даст увеличьте степень x в уравнении. Это часто приводит к посторонним решениям.
При подстановке решений обратно в исходное уравнение для их проверки, любое решение, в результате которого любой член дроби имеет нулевой знаменатель, должно быть отброшено. потому что деление на ноль запрещено в математике.

Пример 1: Решите это дробное уравнение для x :
Решение: Члены дробей имеют знаменатели 3, 2 и 6. НОК этих чисел равен 6. Умножьте обе части уравнения на 6. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)
Распределите по обеим частям уравнения:
4 х — 3 = 6 x + 7.
Фракции теперь очищены, так что это больше не дробное уравнение. Завершите решение уравнения, собрав линейные члены в левой части и постоянные члены в правой части. Это дает:
−2 x = 10,
Разделите обе части на −2. Это дает решение:
х = -5.
Проверьте его, подставив обратно в исходное уравнение. Это дает -23/6 = -23/6, так что решение проверено.
Пример 2: Решите это дробное уравнение для x :
Решение: Члены дробей имеют знаменатели x ² + x − 2, x + 2, и 90 371 x 90 372 – 1. Может показаться, что LCM является продуктом всех трех, но поскольку x ² + x − 2 можно разложить на множители как ( x + 2)( x — 1), LCM на самом деле просто ( x + 2)( x — 1). Умножьте на него обе части уравнения. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)
Распределите по обеим частям уравнения:
9 = 3 ( x − 1) + 7 ( x + 2).
Теперь дроби очищены, так что это больше не дробное уравнение; это линейное уравнение. Решите ее, используя обычные методы. Распределите еще раз на правой стороне:
9 = 10 x + 11.
Соберите постоянные члены в левой части:
−2 = 10 x .
Разделите обе части на 10. Это дает решение:
х = −1/5.
Проверьте его, подставив обратно в исходное уравнение. Это дает -25/6 = -25/6, так что решение проверено.
Пример 3: Цель этого примера — проиллюстрировать решение, которое должно быть отклонено, потому что оно вызывает деление на ноль . Уравнение идентично один в предыдущем примере, за исключением того, что он отличается знаком одного термина. Решите это дробное уравнение для x :
Решение: Сравните каждый шаг здесь с соответствующим шагом в приведенном выше примере. Умножьте обе части уравнения на LCM, что снова равно ( х + 2)( х — 1):
Распределите по обеим частям уравнения:
9 = −3 ( x − 1) + 7 ( x + 2).