Урок алгебры в 11 классе «Преобразование иррациональных выражений «
учащиеся будут знать определение и свойства корня п-й степени для преобразования иррациональных выражений; применять при преобразование иррациональных выражений: внесение множителя под знак корня, извлечение множителя из- под знака корня, переход от корней к степеням, избавление от иррациональности в знаменателе.
Просмотр содержимого документа
«Урок алгебры в 11 классе «Преобразование иррациональных выражений «»
Раздел | 11.2.А Степени и корни. Степенная функция | |
Ф.И.О (при его наличии) педагога | Альжанова К.Е | |
Класс 11А | Количество присутствующих | Количество отсутствующих |
Тема урока | Преобразование иррациональных выражений | |
Цели обучения в соответствии с учебной программой | 11. 2.1.5. Применять свойства корня п-й степени для преобразования иррациональных выражений, знать и применять формулу сложного радикала | |
Цели урока | Все усвоят определение и свойства корня п-й степени для преобразования иррациональных выражений; будут применять при преобразование иррациональных выражений: внесение множителя под знак корня, извлечение множителя из под знака корня, переход от корней к степеням, избавление от иррациональности в знаменателе. Большинство будут уметь: применять свойства корня п-й степени и формулы сокращенного умножения для преобразования иррациональных выражений, знать и применять формулу сложного радикала; Некоторые смогут: аргументировать свое решение; наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации. |
Ход урока
Этап урока/ Время | Действия педагога | Действия ученика | Оценивание | Ресурсы |
Начало урока 2 мин | Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей. Цель: организация начала урока. Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. . чтобы хорошо работать на уроке, нужен настрой. Начнем с задания на внимание. | Все учащиеся включаются в деловой ритм урока Учащиеся записывают тему урока. | Презентация | |
Начало урока 2 мин + 3 мин | Цель: определение «зоны ближайшего развития», актуализация опорных знаний. Для целеполагания используется Пробное действие. Что знаете? Что надо узнать? На интерактивной доске появится выражение. Спросить у учащихся что это за выражение. Иррациональными выражениями называют выражения, содержащие операцию извлечения корня. Основные виды преобразований иррациональных выражений. При преобразовании иррациональных выражений, как и при преобразовании любых других выражений, надо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) и не допускать ее сужения. С иррациональными выражениями, как и с выражениями других видов, можно проводить любые из основных тождественных преобразований: раскрытие скобок группировка и приведение подобных слагаемых сокращение дроби Применение ФСУ, свойств степени и корня только с иррациональными выражениями следующие преобразования: внесение под знак корня извлечение из-под знака корня избавление от иррациональности в знаменателе упрощение выражений. Упростить выражение: Предположим, что под корнем стоит полный квадрат. Тогда Так как сумма квадратов не может равняться иррациональному числу, то в нашем случае сумма квадратов равна четырнадцати, ; предположим, что и проверяем Вычислите: =
Упростите выражения: Упростите выражения: Упростите выражения: избавьтесь от иррациональности в знаменателе : | Устно дают ответы на задания. Записывают формулы у доски. | Самооценивание | Разноцветные стикеры (дл яделения на группы). Маркеры, мини-доски или ламинированные листы А4. Презентация |
Цель: деятельность по формированию методов преобразования через анализ, обработку материала, исследование, практическую работу. Разделение на команды пары (4 – 6 учащихся) . (Возможно в группах будут по два учащегося, то есть пары (парная работа)) (Совместная, групповая, парная деятельность) Каждой группе предлагается четыре вида задании на преобразование иррациональных выражений несложного типа. Время выполнения — 10 – 12 минут Инструкция для групповой работы: 1. Соблюдать тайм менеджмент 2. 3. Вы можете разделить задания между собой 4. Обсуждение результатов 5. | Внимательно слушают, делают конспект. Решают задания. | |||
ФО тест в тестпаде https://onlinetestpad.com/5cjd2bascgzse | Решают задания у доски. | |||
Обобщают изученный материал. Отвечают на вопросы. Делают вывод. Записывают в дневники домашнее задание. |
Найдите целое число, равное разности
При условии, что a242
1 | Найдите значение выражения: |
2 | |
3 | Извлечь из- под знака корня: |
Вариант 1 | |
1 | Найдите значение выражения: |
2 | Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
3 | Извлечь из- под знака корня: |
Вариант 1 | |
1 | Найдите значение выражения: |
2 | Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
3 | Извлечь из- под знака корня: |
Вариант 1 | |
1 | Найдите значение выражения: |
2 | Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
3 | Извлечь из- под знака корня: |
Вариант 1 | |
1 | Найдите значение выражения: |
2 | Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
3 | Извлечь из- под знака корня: |
Вариант 1 | |
1 | Найдите значение выражения: |
2 | Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
3 | Извлечь из- под знака корня: |
Вариант №2 | |
1 | Найдите значение выражения: |
2 | Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
3 | Найдите целое число, равное разности При условии, что a242 |
4 | Вычислите: |
Вариант №2 | |
1 | Найдите значение выражения: |
2 | Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
3 | Найдите целое число, равное разности При условии, что a242 |
4 | Вычислите: |
Вариант №2 | |
1 | Найдите значение выражения: |
2 | Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
3 | Найдите целое число, равное разности При условии, что a242 |
4 | Вычислите: |
Вариант №2 | |
1 | Найдите значение выражения: |
2 | Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: |
3 | Найдите целое число, равное разности При условии, что a242 |
4 | Вычислите: |
Преобразование ⭐ иррациональных выражений: формулы, примеры решения задач
Что такое иррациональные выражения
Из уроков алгебры известно, что существует несколько классов математических выражений: числовые и буквенные, одночлены и многочлены, дробные, рациональные, иррациональные и другие.
Определение 1Иррациональными называют числовые или буквенные выражения, в которых присутствуют радикалы (корни).
Определение 2Арифметическим корнем числа x называют такое неотрицательное число n, которое при возведении в степень m дает число x.
Формулаxm=n ⇒ nm=x
Переменную x называют подкоренным выражением, переменную m — показателем корня, n — корнем числа x.
Как видно из определения, понятие арифметического корня и степени числа являются взаимообратными операциями.
Преобразование иррациональных выражений
Преобразование и вычисление простых иррациональных выражений не вызывает трудностей.
Пример25×2=5x;9·16=12;(x-5y+7)33=x-5y+7.
Более сложные выражения требует дополнительных операций и преобразований. В этом случае используют специальные тождества и формулы:
- Приведение подобных в подкоренном выражении. Пример: 5x+y3-x+8y33=(5x-x)+(y3+8y3)3=4x+9y33.
- Вынесение общего множителя в подкоренном выражении. Пример: 6x-4y2+y+9×2+3×35=3x·(2+3x+x2)-y·(4y-1)5.
- Операции с дробями, содержащимися в подкоренном выражении. Сюда можно отнести сложение и вычитание дробей, а также сокращение числителя и знаменателя на общий множитель. Пример: 23x-y2x2+2×6=2·2x3x·2x-y2·6×2·6+2x·x6·x=4x-6y2+2x26x2;3x3x2-3y3x-9y93=9x-9yx-9yx29x23=9x(1-y-yx)9×23=1-y-yxx3..
- Если выражение содержит несколько корней с одинаковыми или различными показателями корня, применяют свойства корней. Формула:xknm=xmnk;xm·xk=xm+k;xm÷xk=xm-k;xm·ym=xym;xm÷ym=xym.. Пример: 4×2+2xy6÷2xy-2×223=4×2+2xy6÷2xy-2×26=4×2+2xy2xy-2×26=2x·(2x+y)2x·(y-x)6=2x+yy-x6.
- Внесение общего множителя под корень. При этом вносимый множитель возводят в степень, равную показателю корня. Формула: n·xm=nm·xm.Пример:x·4y2x2-3xx2+2yx2=x·4y-6x+4y2x2=x2·(8y-6x)2×2=2×2·(4y-3x)2×2=4y-3x.
- Вынесение общего множителя из-под знака корня. При вынесении из множителя извлекают корень того же показателя, что и показатель общего выражения. Формула: n·xm=nm·xm. Пример: 4x2y+8x4y22x=4×2·(y+2x2y2)2x=4×2·y+2x2y22x=2x·y+2x2y22x=y+2x2y2.
- Замена иррационального выражения на степенное выражение. При этом показатель корня заменяют дробным показателем степени и используют свойства степени. Способ удобен, когда в подкоренном выражении находится степенное выражение. Формула: xnm=xnm.Пример:(5×2-7xy3)43·(5×2-7xy3)106=(5×2-7xy3)43+106=(5×2-7xy3)186=(5×2-7xy3)3.
Отметим, что при решении задач чаще используют комплексный подход, когда последовательно применяются несколько правил преобразований иррациональных выражений.
Примеры решения задач
Упражнение 1Не используя калькулятора, найдите значение выражения: (20-5)20.
Решение:
Сначала умножим разность на общий множитель, получим:
(20-5)20=20·20-5·20.
Воспользуемся свойством корней с одинаковым показателем:
20·20-5·20=20·20-5·20=400-100.
Подкоренные выражения представляют собой квадраты чисел 20 и 10, тогда:
400-100=20-10=10.
Ответ: 10.
Упражнение 2Не используя калькулятор, вычислить значение выражения: (6·5)26.
Решение:
Выполним преобразование и найдем значения выражения:
(6·5)26=62·(5)26=6·512·2=6·5=30.
Ответ: 30.
Упражнение 3Выполнить преобразование выражения: 2x+63+2xy+6y3(x+3)43·x+33.
Решение:
Выполним преобразование выражения:
2x+63+2xy+6y3(x+3)43·x+33=2(x+3)2+2y(x+3)3(x+3)43+13=(x+3)·(1+2y)3(x+3)53=x+33·1+2y3(x+3)53.
Далее воспользуемся свойствами степеней:
(x+3)13-53·1+2y3=1+y(x+3)43 .
Ответ: 1+y(x+3)43.
Упражнение 4Преобразовать выражение: 2x·5y+3xy-y24x2+24x2y3.
Решение:
Внесем множитель 2x под корень и выполним дальнейшие преобразования:
2x·5y+3xy-y24x2+24x2y3=4×2·(5y+3xy-y2)4×2+24x2y3=4×2·(5y+3xy-y2)4×2(1+6y3)=5y+3xy-y21+6y3.
Ответ: 5y+3xy-y21+6y3.
Задания для самостоятельной работыДля закрепления материала предлагаем самостоятельно решить представленные ниже задания. Для проверки в конце каждого задания даны ответы.
Задача 1Вычислить значение выражения: (2+12)27+24.
Ответ: 2.
Задача 2Упростите выражение: 16x4y2+32x5y+x242x8(x+y)48.
Ответ: 1.
Задача 3Преобразовать выражение: x22+y2·5y+6x312x-8xy2x33.
Ответ: x2+2y218.
9.2 – Подкоренные выражения и рациональные показатели
Цели обучения
- (9.2.1) – Определение и идентификация подкоренного выражения
- (9.2.2) — Преобразование радикалов в выражения с рациональными показателями
- (9.2.3) — Преобразование выражений с рациональными показателями в их радикальные эквиваленты
- (9.2.4) – Рациональные показатели, числитель которых не равен единице
- (9.2.5) — Упрощение подкоренных выражений
- Упрощение подкоренных выражений с помощью факторизации 9{\tfrac{1}{2}}}[/латекс].
Не можете представить себе возведение числа в рациональную степень? К ним может быть трудно привыкнуть, но рациональные показатели могут помочь упростить некоторые задачи. {4 }}y}[/латекс] 9{\tfrac{1}{2}}}[/латекс]
10 Давайте рассмотрим еще несколько примеров, но на этот раз с кубическими корнями. Помните, что кубирование числа возводит его в степень три. Обратите внимание, что в примерах в таблице ниже знаменатель рационального показателя степени равен 3.
- Упрощение подкоренных выражений с помощью факторизации 9{\tfrac{1}{2}}}[/латекс].
Leave A Comment