Поверхность многогранника: поверхность многогранника — это… Что такое поверхность многогранника?

Многоугольники, из которых состоят многогранники, называются гранями, их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.

Определение понятия «многогранник» в пространстве зависит от того, как на плоскости определять понятие «многоугольник». Если под многоугольником понимать плоские замкнутые ломаные (хотя бы и пересекающиеся), то приходим к первому определению многогранника. Чаще, однако, придерживаются другого определения многоугольника и, соответственно, многогранника. Под многоугольником понимается часть плоскости, ограниченная ломаными. С этой точки зрения, многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое тоже называется многогранником; отсюда возникает третья точка зрения на многогранники, как на геометрические тела, причем допускается существование у этих тел «дырок». На рисунке 4.1.1 приведены некоторые примеры многогранников.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников-граней.

Многогранники

Урок 1: Многогранники — 100urokov.ru

План урока:

Понятие многогранника

Теорема Эйлера

Призма

Типичные задачи на призмы

Понятие многогранника

Ранее мы уже познакомились с тетраэдром и параллелепипедом. Поверхность тетраэдра состоит из 4 треугольников, а параллелепипеда – из 6 параллелограммов. Они являются частными случаями такой фигуры, как многогранник.

Надо понимать, что под многогранником понимают одновременно как поверхность, составленную из многоуг-ков, так и тот объем, который эта поверхность ограничивает. Иногда, чтобы отличать два этих понятия, используют термин «поверхность многогранника».

Каждый многоугольник, образующий поверхность многогранника, именуется гранью многогранника. При этом предполагается, что любые две соседние грани находятся в разных плос-тях.

Многоугольники, образующие поверхность многогранника, имеют свои стороны,которые именуют ребрами многогранника. Вершины же этих многоуг-ков именуют вершинами многогранников. Можно утверждать, что ребра – это отрезки, по которым пересекаются соседние грани. В свою очередь вершины – это точки, где пересекаются соседние ребра. Отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани, именуется диагональю многогранника. Важно отметить, что каждое ребро принадлежит ровно 2 граням. Вершина принадлежит как минимум трем граням, однако может принадлежать и большему их числу.

Если все точки многогранника находятся по одну сторону от любой плос-ти, проходящей через какую-либо грань многогранника, то он называется выпуклым. В противном случае, если через одну из граней проходит плос-ть, «разрезающая» многогранник на две других фигуры, многогранник именуют невыпуклым. На бытовом уровне это означает, что выпуклый многогранник можно поставить на ровную поверхность (например, стол) на любую грань. А вот у невыпуклого многогранника найдется такая грань, на которую его поставить нельзя. Покажем несколько примеров:

На рисунке у невыпуклых многогранников красным цветом показаны плос-ти, которые рассекают многогранник. На эти грани не получится «поставить» многогранник – будет мешать выступающая часть. Заметим, что в выпуклом многограннике всякая диагональ лежит внутри фигуры. А вот у невыпуклого многогранника можно соединить вершины отрезком, лежащим вне объема фигуры. Добавим, что у выпуклого многогранника каждая грань обязательно является выпуклым многоугольником.

Теорема Эйлера

У каждого многогранника можно подсчитать количество граней, вершин и ребер. Например, у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. В свою очередь у параллелепипеда уже 6 граней, 8 вершин и 12 граней. Есть ли какая-то взаимосвязь между этими числами?

Можно заметить, что если у тетраэдра сложить число вершин и граней, а далее вычесть из суммы количество ребер, то получится число 2:

4 + 4 — 6 = 2

Если выполнить такие же действия для параллелепипеда, то снова получится двойка:

6 + 8 — 12 = 2

Оказывается, это не просто совпадение. Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера:

Мы не будем доказывать эту теорему, так как ее доказательство достаточно сложное. Отдельно отметим, что для невыпуклых многогранников эта теорема может и не выполняться.

Задание. Известно, что некоторый выпуклый многогранник состоит из 20 граней и имеет 30 ребер. Сколько у него вершин?

Решение. Запишем теорему Эйлера:

Задание. Поверхность выпуклого многогранника составлена из 12 пятиугольников. Сколько у такого многогранника ребер и вершин?

Решение. У многогранника будет ровно 12 граней. Попробуем подсчитать количество ребер. Так как каждая представляет собой пятиугольник, то все вместе они имеют 12•5 = 60 ребер. Однако при этом мы каждое ребро подсчитали дважды, ведь любое ребро принадлежит строго 2 граням. То есть на самом деле есть только 60:2 = 30 ребер. По теореме Эйлера легко подсчитаем и количество вершин:

Задание. Выпуклый многогранник имеет 8 граней, из них 4 – это четырехугольники, а ещё 4 – пятиугольники. Сколько у него ребер и вершин?

Решение. Как и в предыдущей задаче, снова сложим количество сторон всех граней:

Задание. Существует ли выпуклый многогранник, каждая грань которого является шестиугольником?

Предположим, что такой многогранник существует, и у него Г граней. Тогда его грани имеют в сумме 6Г сторон. Но каждая из этих сторон будет ребром ровно для 2 граней, поэтому всего будет 3Г ребер:

Теперь вспомним, что в каждой вершине сходятся не менее трех ребер. Значит, если мы посчитаем все ребра, выходящие из каждого ребра, то получим величину, не меньшую 3В. Но, так как каждое ребро проходит строго через 2 вершины, мы снова подсчитали ребра дважды. То есть количество ребер будет не меньше 3/2В, или 1,5В:

Это неравенство противоречит полученному ранее равенству Р = 3Г. Противоречие показывает, что на самом деле не может существовать выпуклый многогранник, каждая грань которого – шестиугольник, ч. т. д.

Примечание. Аналогично можно продемонстрировать, что не может существовать и выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из многоуг-ков, каждый из которых имеет не менее 6 сторон. Другими словами, любой выпуклый многогранник имеет хотя бы одну грань, которая является треугольником, четырехугольником или пятиугольником.

Призма

Пусть в некоторой плос-ти α есть n-угольник с вершинами А₁, А₂, А₃,…, А_n. Пусть в другой плос-ти β, которая параллельна α, есть равный ему многоуг-к В₁В₂В₃…В_n, причем отрезки А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃…, А_nВ_n параллельны друг другу:

В результате мы получили геометрическую фигуру, которую именуют призмой. Многоуг-ки А₁А₂А₃…А_n и В₁В₂В₃…В_n именуются основаниями призмы, а все остальные грани – это боковые грани призмы. Можно доказать, что боковые грани – это параллелограммы. Действительно, в четырехуг-ке А₁А₂В₂В₁ стороны А₁В₁ и А₂В₂ параллельны по условию. Также они равны по теореме 12 из этого урока. Это и значит, что А₁А₂В₂В₁ – это параллелограмм (по одному из его признаков). Тоже самое можно доказать и для остальных боковых граней. Теперь мы можем сформулировать определение призмы:

Ребра призмы, не принадлежащие основанию, именуются боковыми ребрами призмы. Ясно, что любые два соседних ребра параллельны, ведь они являются сторонами параллелограммами. Но тогда по свойству транзитивности параллельности получается, что вообще любые два боковых ребра параллельны. Если из какой-нибудь точки основания построен перпендикуляр к противоположному основанию, то он именуется высотой призмы:

Естественно, что высота перпендикулярна обоим основаниям. Возможна ситуация, когда высота падает не на основание, а на какую-нибудь точку плос-ти основания, не находящуюся внутри него. Ясно, что все высоты призмы имеют одинаковую длину независимо от того, через какие точки они проведены, ведь высота по своей сути – это расстояние между плос-тями оснований.

Особый интерес вызывают призмы, где боковые ребра и основания перпендикулярны друг другу. Такие призмы именуются прямыми. Ясно, что у них боковые грани оказываются уже не просто параллелограммами, а уже прямоуг-ками. При этом любое боковое ребро одновременно является и высотой. Все остальные призмы именуют наклонными.

Если в основании призмы находится n-угольник, то призму называют n-угольной. В частности, в основании треугольной призмы лежит треуг-к, в основании десятиугольной призмы находится десятиугольник и т. д. Наконец, в особую группу выделяют прямые призмы, основаниями которых представляют собой правильные многоуг-ки. Их так и именуют – правильные призмы.

Если сложить площадь всех граней призмы, то получится сумма, которую именуют площадью полной поверхности призмы. Обычно ее обозначают как S_полн. Если же складываются только площади боковых граней, то в сумме получается площадь боковой поверхности призмы, обозначаемая как S_бок. Если площадь основания призмы обозначить как S_осн., то справедлива будет очевидная формула:

Действительно, пусть есть прямая призма с основаниями А₁А₂…А_n и B₁B₂…B_n:

Так как ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, то они должны быть перпендикулярны и тем ребрам, которые образуют основания. Это значит, каждая боковая грань – это прямоуг-к. При этом боковые ребра – это одновременно и высоты призмы. Тогда площадь боковых граней вычисляется так:

Отметим наконец, что параллелепипед можно считать частным случаем призмы, а прямоугольный параллелепипед – частным случаем прямой призмы.

Типичные задачи на призмы

Призмы нередко встречаются в заданиях ЕГЭ, поэтому важно уметь решать задачи, в которых используются эти фигуры.

Задание. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?

Решение. В любом многограннике диагональ соединяет точки, не лежащие на одной грани. Каждая вершина призмы принадлежит одному из оснований, причем в n-угольной призме каждому основанию принадлежат n вершин.

Возьмем произвольную вершину на одном из оснований и посчитаем, сколько диагоналей из нее можно провести. Если соединять ее отрезками с другими вершинами, принадлежащему тому же основанию, то получатся диагонали грани, но не диагонали призмы (зеленые линии на рисунке):

Значит, остается только провести прямые к тем вершинами, которые лежат в другом основании. Так как в другом основании находятся n вершин, то и отрезков будет ровно n. Однако три из них не будут диагоналями (показаны на рисунке синим цветом), так как будут либо являться одним из ребер призмы либо одной из диагоналей. Получается, что из вершины можно провести (n – 3) диагоналей. Так как в основании находятся n вершин, то всего можно построить n•(n– 3) диагоналей.

Ответ: n•(n – 3) диагоналей.

Задание. Длина стороны правильной треугольной призмы составляет 8 см, а ее боковое ребро имеет длину 6 см. Через сторону основания проведено сечение, которое пересекает другое основание в противолежащей вершине. Какова площадь этого сечения?

Решение. Выполним построение по условию задачи:

Здесь сечение проведено через ребро В₁С₁ и противолежащую ей вершину А. Призма правильная, поэтому ее основания ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ – это равносторонние треуг-ки, и все их стороны равны 8 см. По определению правильная призма обязательно ещё и прямая. Тогда боковые грани – прямоуг-ки.

∆АВВ₁ – прямоугольный, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить его гипотенузу АВ₁:

Аналогично можно вычислить, что и диагональ АС₁ также равна 10 см. Вообще в правильных призмах все грани – это равные друг другу прямоуг-ки, поэтому и диагонали у них одинаковы.

Длина ребра В₁С₁ составляет 8 см. Получается, нам надо вычислить площадь равнобедренного ∆АВ₁С₁ с основанием 8 см и боковыми сторонами 10 см. Это можно сделать множеством способов. Самый простой из них заключается в использовании формулы Герона. Для ее применения сначала вычислим полупериметр ∆АВ₁С₁:

Задание. В основании призмы находится равносторонний ∆АВС. Ребро АА₁ образует одинаковые углы с ребрами АС и АВ. Докажите, что ребра АА₁ и ВС перпендикулярны и что СС₁В₁В – прямоуг-к.

Решение. Выполняем построение:

По условию ∠А₁АВ и ∠А₁АС одинаковы. Проведем диагонали А₁В и А₁С. В итоге мы получим ∆А₁АВ и А₁АС. У них есть АА₁ – общая сторона, стороны АВ и АС одинаковы (ведь ∆АВС – равносторонний), а углы между ними одинаковы. Значит, ∆А₁АВ и А₁АС равны, и тогда диагонали А₁В и А₁С одинаковы.

Получается, что точка А₁ равноудалена вершин В и С. Аналогично и точка А равноудалена от В и С, ведь АВ и АС одинаковы. Это значит, что и А₁, и А лежат на серединных перпендикулярах, проведенных к отрезку ВС:

Обозначим середину ВС как Н, тогда НА₁ и НА – серединные перпендикулярны. То есть ВС⊥АН и ВС⊥А₁Н. Но это значит (по признаку перпендикулярности прямой и плос-ти), что ВС перпендикулярен всей плос-ти АНА₁. Из этого вытекает, что ВС⊥АА₁, ч. т. д.

Осталось показать, что грань СС₁В₁В – это прямоуг-к. Так как ВВ₁||АА₁, и ВС⊥АА₁, то и ВС⊥ВВ₁. Значит в параллелограмме СС₁В₁В (напомним, что в призме все боковые грани – параллелограммы) есть прямой угол. Это значит, что он является прямоуг-ком, ч. т. д.

Задание. Призма АВСА₁В₁С₁ – наклонная. Известно, что АС = АВ = 13 и ВС = 10. Боковые ребра призмы образуют с основанием АВС угол 45°. Проекция точки А₁ на плос-ть АВС совпадает с точкой пересечения медиан в ∆АВС. Какова площадь грани СС₁В₁В?

Решение. Снова выполняем построение:

Здесь О – это проекция точки А₁ и одновременно точка пересечения медиан. H– середина отрезка ВС, то есть АН – как раз одна из медиан. Заметим, что так как ∆АВС равнобедренный, и ВС – это его основание, то АН одновременно является и высотой, то есть ∠ВНА = 90°. Раз Н – середина ВС, то ВН будет вдвое короче ВС:

Напомним, точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, поэтому мы можем найти ОА:

Понятно, что ОА – это проекция прямой ОА на плос-ть АВС. Тогда угол между ребром АА₁ и плос-тью АВС, по условию равный 45° – это ∠ОАА₁.

Из прямоугольного ∆АОА₁ с помощью тригонометрии мы найдем длину ребра АА₁:

Теперь покажем, что грань СС₁В₁В – прямоуг-к. Ясно, что ОА₁⊥ВН, ведь ОА₁ – перпендикуляр ко всей плос-ти АВС. Но также ВН⊥АН. Значит, ВН перпендикулярен плос-ти АОА₁, и, в частности, перпендикулярен ребру АА₁. Но тогда и ВВ₁⊥ВН, ведь ВВ₁||АА₁. Значит, грань СС₁В₁В – прямоуг-к, ведь в ней есть прямой угол. Для нахождения площади прямоуг-ка надо перемножить две его смежные стороны:

Задание. Ребро при основании правильной 6-угольной призмы имеет длину 23, а боковое ребро равно 50. Вычислите площадь поверхности призмы (и полную, и боковую).

Решение.

Сначала найдем площадь и периметр основания. Формулы для правильных многоуг-ков мы уже изучали:

Здесь а – сторона шестиугольника, R и r – радиусы описанной и вписанной окружности, n– число сторон шестиугольника. Во второй формуле мы использовали известный факт, что длина стороны правильного 6-угольника совпадает с радиусом описанной около него окружности.

Далее вычисляем площадь боковой поверхности:

Добавив к этому значению удвоенную площадь поверхности основания, найдем и полную площадь призмы:

Задание. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁, у которой все ребра одинаковы и равны единице, вычислите угол между гранью АВС и сечением АСВ₁:

Решение. Вспомним, что для нахождения угла между плос-тями необходимо построить в этих плос-тях перпендикуляры к линии их пересечения, причем эти перпендикуляры должны падать на одну и ту же точку.

Пересекаются плос-ти АВС и АСВ₁ по грани АС. Заметим, что и ∆АВС, и ∆АСВ₁ – равнобедренные, причем у них общее основание АС. Действительно, АВ = ВС, так как в основании правильной призмы лежит равносторонний треуг-к, а АВ₁ = СВ₁, так как это диагонали равных граней АВВ₁А₁ и ВСС₁В₁.

Если мы отметим середину отрезка АС (например, точкой Н) и соединим ее с В и В₁, то мы получим две медианы НВ и НВ₁, которые одновременно будут и высотой. Это значит, что именно ∠ВНВ₁ и будет искомым углом между плос-тями:

Осталось найти ∠ВНВ₁. Длину ВВ₁ мы уже знаем, она составляет 1.

АН вдвое короче АС:

Теперь заметим, что ∆НВВ₁ – прямоугольный, поэтому для него можно использовать тригонометрию:

Задание. Найдите угол между прямыми А₁D и СD₁ в правильной призме, показанной на рисунке:

Все ребра этой призмы равны единице.

Решение. Сначала внимательно рассмотрим верхнее основание призмы. Так как оно представляет собой правильный многоуг-к, то вокруг него можно описать окружность. Обозначим центр этой окружности как О и проведем радиусы к вершинам:

Так как в правильном шестиуг-ке радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, то получается, что ∆А₁ОВ₁, ∆В₁ОС₁ и ∆С₁ОD₁ – равносторонние. Тогда ∠А₁ОВ₁, ∠B₁OC₁ и ∠С₁ОD₁ составляют по 60°. Тогда ∠А₁ОD₁ равен 180°, то есть точки А₁, О и D₁ находятся на одной прямой А₁D₁. Также заметим, что эта прямая параллельна ребру В₁С₁, ведь ∠D₁OC₁и ∠ОС₁B₁ являются накрест лежащими для этих прямых (при секущей ОС₁) и при том они одинаковы. Так как отрезки А₁О и D₁O как стороны равносторонних треуг-ков равны 1, то

Теперь вернемся к призме:

Так как А₁D₁||В₁С₁ и В₁С₁||ВС, то и А₁D₁||ВС. Это значит, что через А₁D₁ и ВС можно провести плос-ть, в которой будут лежать и интересующие нас прямые А₁В и СD₁. Для нахождения угла между ними надо рассмотреть четырехуг-к А₁D₁CB. Раз А₁D₁||ВС, то этот четырехуг-к является трапецией.

Далее найдем длину А₁В. Для этого используем ∆АВА₁:

Аналогично из ∆СDD₁ можно определить, что СD₁ имеет такую же длину. Это значит, что А₁D₁CB – равнобедренная трапеция.

Теперь рассмотрим отдельно эту трапецию, чтобы найти искомый угол:

Опустим из вершин трапеции В и С перпендикуляры на А₁D₁. В итоге получим прямоуг-к ВСРН, где

Сегодня мы более детально изучили понятие многогранника и познакомились с новой геометрической фигурой – призмой. Призма довольно часто встречается в задаче С2 на ЕГЭ. Также мы узнали о теореме Эйлера, из которой вытекают некоторые важные факты. Один из них заключается в том, что не бывает выпуклых многогранников, у которых ни одна грань не является треуг-ком, четырехуг-ком или пятиуг-ком.

Как найти площадь многогранника

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Что такое многогранник? — Определение, факты и пример

Многогранник

Многогранник — это трехмерное тело, образованное соединением многоугольников.

Слово «многогранник» происходит от двух греческих слов: поли, означающее «много», и «эдрон», обозначающее поверхность.

Многогранники определяются количеством граней, которые у них есть.

Пример многогранника

Части многогранника

Каждый многогранник состоит из трех частей:

• Грань: плоские поверхности, составляющие многогранник, называются его гранями. Эти грани представляют собой правильные многоугольники.
• Кромка: области, где две плоские поверхности встречаются и образуют линейный сегмент, называются кромками.
• Вершина: это точка пересечения ребер многогранника. Вершину также называют углом многогранника. Множественное число вершин называется вершинами.

Имена многогранников основаны на количестве граней, которые у них есть:

Виды многогранника

Правильный многогранник

Правильный многогранник состоит из правильных многоугольников.Такие твердые тела также известны как «платоновые твердые тела»

Неправильный многогранник

Неправильный многогранник состоит из многоугольников разной формы, в которых все компоненты не одинаковы. Это означает, что все стороны неправильного многогранника не равны.

Некоторые из правильных многоугольников описаны в таблице ниже:

Многогранники в быту

Интересные факты о многограннике

Если мы знаем количество граней и вершину многогранника, количество ребер можно вычислить с помощью «формулы многогранника» или «формулы Эйлера».

F + V = E — 2

, где F, V и E представляют количество граней, ребер и вершин многогранника соответственно.

1.5.3: Сети и площадь поверхности

Давайте воспользуемся сетками, чтобы найти площадь поверхности многогранников.

Сводка

Сеть пирамиды имеет один многоугольник, который является основанием. Остальные многоугольники — треугольники. Здесь показаны пятиугольная пирамида и ее сетка.

Сеть призмы имеет две копии многоугольника, который является основанием.Остальные многоугольники — прямоугольники. Здесь показаны пятиугольная призма и ее сетка.

В прямоугольной призме есть три пары параллельных и идентичных прямоугольников. Основанием может быть любая пара этих одинаковых прямоугольников.

Поскольку сеть показывает все грани многогранника, мы можем использовать ее, чтобы найти площадь его поверхности. Например, сетка прямоугольной призмы показывает три пары прямоугольников: 4 единицы на 2 единицы, 3 единицы на 2 единицы и 4 единицы на 3 единицы.

Площадь поверхности прямоугольной призмы составляет 52 квадратных единицы, потому что \ (8 + 8 + 6 + 6 + 12 + 12 = 52 \).

Глоссарий

Определение: Основание (призмы или пирамиды)

Слово с основанием может также относиться к грани многогранника.

У призмы два идентичных основания, расположенных параллельно. У пирамиды одно основание.

Призма или пирамида названы в честь формы их основания.

Определение: лицо

Каждая плоская сторона многогранника называется гранью.Например, у куба 6 граней, и все они квадратные.

Определение: Net

Сеть — это двумерная фигура, которую можно сложить в многогранник.

Вот сетка для куба.

Определение: Многогранник

Многогранник — это замкнутая трехмерная форма с плоскими сторонами. Когда у нас более одного многогранника, мы называем их многогранниками.

Вот несколько рисунков многогранников.

Определение: призма

Призма — это тип многогранника, у которого есть два основания, которые являются идентичными копиями друг друга.Основания соединяются прямоугольниками или параллелограммами.

Вот несколько чертежей призм.

Определение: Пирамида

Пирамида — это разновидность многогранника с одним основанием. Все остальные грани представляют собой треугольники, и все они пересекаются в одной вершине.

Вот несколько рисунков пирамид.

Определение: Площадь поверхности

Площадь поверхности многогранника — это количество квадратных единиц, покрывающих все грани многогранника без зазоров и перекрытий.

Например, если каждая грань куба имеет площадь 9 см ² , то площадь поверхности куба равна \ (6 \ cdot 9 \), или 54 см ² .

Многогранник — Типы многогранников — Названные, Выпуклые, Многоугольники и Куб

Многогранник — это трехмерная замкнутая поверхность или твердое тело, ограниченное плоскостью фигуры, называемые многоугольниками .

Слово многогранник происходит от греческого префикса поли- , что означает «многие», и корневого слова hedron , которое означает «поверхность».»Многогранник — это твердое тело, границы которого состоят из плоскостей. Многие обычные объекты в мире вокруг нас имеют форму многогранников. Куб можно увидеть повсюду, от игральных костей до радиочасов; коробки для компакт-дисков и палочки с маслом находятся в форма многогранников называется параллелепипедами. Пирамиды являются разновидностью многогранников, как и геодезических купола . Большинство форм, образующихся в природе, имеют неправильную форму. Однако за интересным исключением кристаллы растут в математически совершенные и часто сложные многогранники.

Ограничивающие многоугольники многогранника называются гранями. Отрезки линии, вдоль которых встречаются грани, называются ребрами. Точки пересечения концов ребер (представьте себе угол коробки с хлопьями) — это вершины. Вершины через тело многогранника соединяются воображаемой линией, называемой диагональю.

Многогранник считается выпуклым, если диагональ содержит только точки внутри многогранника. Выпуклые многогранники также известны как многогранники Эйлера и могут быть определены уравнением E = v + f — e = 2, где v — количество вершин, f — число граней, а e — количество граней.Пересечение плоскости и многогранника называется сечением многогранника. Поперечные сечения выпуклого многогранника — это все выпуклые многоугольники.

Многогранники классифицируются и именуются в соответствии с количеством и типом граней. Многогранник с четырьмя сторонами — это тетраэдр , но его также называют пирамидой . Шестигранный куб еще называют шестигранником. Многогранник с шестью прямоугольниками в качестве сторон также имеет много названий — прямоугольный параллелепипед, прямоугольный , призма или прямоугольник.

Многогранник, у которого все грани представляют собой правильные многоугольники, конгруэнтные друг другу, у которого все многогранные ангелы равны и у которого одинаковое количество граней пересекаются в каждой вершине, называется правильным многогранником. Существует только пять правильных многогранников: тетраэдр (четыре треугольных грани), куб (шесть квадратных граней), октаэдр (восемь треугольных граней — представьте себе две пирамиды, помещенные снизу вниз), додекаэдр (12 пятиугольных граней) и икосаэдр. (20 треугольных граней).

Другие общие многогранники лучше всего описать как такие же, как и один из ранее названных, у которого часть его обрезана или усечена плоскостью.Представьте, что вы срезаете углы куба, чтобы получить, например, многогранник, состоящий из треугольников и квадратов.

Формула многогранника Эйлера | plus.maths.org

Июнь 2007 г.

Леонард Эйлер, 1707 — 1783

Давайте начнем с представления главного героя этой истории — формулы Эйлера:

Хотя это может показаться простой, эта маленькая формула заключает в себе фундаментальное свойство тех трехмерных тел, которые мы называем многогранниками , которые очаровывали математиков более 4000 лет.На самом деле я могу пойти дальше и сказать, что формула Эйлера говорит нам нечто очень глубокое о форме и пространстве. Формула носит имя знаменитого швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707–1783), которому в этом году исполнилось бы 300 лет.

Что такое многогранник?

Прежде чем мы исследуем, что говорит нам формула Эйлера, давайте рассмотрим многогранники более подробно. Многогранник — это твердый объект, поверхность которого состоит из ряда плоских граней , которые сами по себе ограничены прямыми линиями.Каждая грань представляет собой многоугольник , замкнутую форму на плоской 2-мерной плоскости, состоящую из точек, соединенных прямыми линиями.

Рис. 1. Знакомые треугольник и квадрат являются многоугольниками, но многоугольники могут иметь и более неправильную форму, как показано справа.

В многоугольниках не разрешается иметь отверстия, как показано на рисунке ниже: левая фигура здесь является многоугольником, а правая — нет.

Рис. 2: Фигура слева — многоугольник, а фигура справа — нет, потому что в ней есть «дыра».

Многоугольник называется правильным , если все его стороны имеют одинаковую длину и все углы между ними одинаковы; треугольник и квадрат на рисунке 1 и пятиугольник на рисунке 2 правильные.

Многогранник — это то, что вы получаете, когда перемещаетесь на одно измерение вверх. Это замкнутый твердый объект, поверхность которого состоит из множества многоугольных граней. Мы называем стороны этих граней ребрами — две грани пересекаются вдоль каждого из этих ребер. Назовем углы граней вершинами , так что любая вершина лежит как минимум на трех разных гранях.Чтобы проиллюстрировать это, вот два примера известные многогранники.

Рис. 3. Знакомый куб слева и икосаэдр справа. Многогранник состоит из многоугольных граней , их стороны известны как ребер , а углы — как вершин .

Многогранник состоит из одной части. Например, он не может состоять из двух (или более) в основном отдельных частей, соединенных только ребром или вершиной. Это означает, что ни один из следующих объектов не является истинным многогранником.

Рисунок 4: Эти объекты не являются многогранниками, потому что они состоят из двух отдельных частей, которые встречаются только на ребре (слева) или вершине (справа).

Что нам говорит формула?

Теперь мы готовы посмотреть, что формула Эйлера говорит нам о многогранниках. Посмотрите на многогранник, например куб или икосаэдр, посчитайте количество вершин, которые у него есть, и назовите это число V . У куба, например, 8 вершин, поэтому V = 8 .Затем посчитайте количество ребер многогранника и назовите это число E . У куба 12 ребер, поэтому в случае куб E = 12 . Наконец, посчитайте количество лиц и назовите его F . В случае с кубом F = 6 . Теперь формула Эйлера говорит нам, что

или, говоря словами: количество вершин минус количество ребер плюс количество граней равно двум.

В случае с кубом мы уже видели, что V = 8, E = 12 и F = 6 .Итак,

, что и должно быть согласно формуле Эйлера. Если мы теперь посмотрим на икосаэдр, мы обнаружим, что V = 12, E = 30 и F = 20 . Сейчас,

Формула Эйлера верна для куба и икосаэдра. Оказывается, довольно красиво, что это верно для почти для каждого многогранника . Единственные многогранники, для которых это не работает, — это те, в которых есть отверстия, как показано на рисунке ниже.

Рис. 5. В многограннике сквозное отверстие. Формула Эйлера в этом случае не выполняется.

Эти многогранники называются непростыми , в отличие от многогранников без отверстий, которые называются простыми . Непростые многогранники, возможно, не первое, что приходит в голову, но их много, и мы не можем избежать того факта, что формула Эйлера не работает ни с одним из них. Однако даже этот неловкий факт стал частью совершенно новой теории о космосе. и форма.

Сила формулы Эйлера

Каждый раз, когда математики сталкиваются с инвариантным признаком, свойством, истинным для целого класса объектов, они знают, что натолкнулись на что-то хорошее. Они используют его, чтобы исследовать, какими свойствами может обладать отдельный объект, и для определения свойств, которые должны иметь все они. Формула Эйлера может сказать нам, например, что не существует простого многогранника с ровно семь граней. Вам не нужно садиться с картоном, ножницами и клеем, чтобы узнать это — формула — это все, что вам нужно.Аргумент, показывающий, что не существует семигранного многогранника, довольно прост, так что взгляните на него, если вам интересно.

Используя аналогичным образом формулу Эйлера, мы можем обнаружить, что не существует простого многогранника с десятью гранями и семнадцатью вершинами. Призма, показанная ниже, в основе которой лежит восьмиугольник, имеет десять граней, но число вершин здесь шестнадцать. Пирамида, имеющая 9-гранное основание, также имеет десять граней, но имеет десять вершин. Но формула Эйлера говорит нам, что ни один простой многогранник не имеет ровно десять граней и семнадцать вершин.

Рисунок 6: Оба этих многогранника имеют десять граней, но ни у одного из них нет семнадцати вершин.

Именно такие соображения приводят нас к, вероятно, самому прекрасному открытию из всех. Он включает Платоновых тел , хорошо известный класс многогранников, названный в честь древнегреческого философа Платона, в трудах которого они впервые появились.

Рисунок 7: Платоновы тела. Слева направо мы видим тетраэдр с четырьмя гранями, куб с шестью гранями, октаэдр с восемью гранями, додекаэдр с двенадцатью гранями и икосаэдр с двадцатью гранями.

Хотя их симметричная элегантность сразу бросается в глаза, когда вы смотрите на приведенные выше примеры, на самом деле не так просто описать это словами. Оказывается, это описывается двумя особенностями. Во-первых, у Платоновых тел нет ни шипов, ни провалов, поэтому они имеют красивую округлую форму. Другими словами, это означает, что всякий раз, когда вы выбираете две точки в Платоновом теле и рисуете прямая линия между ними, этот кусок прямой линии будет полностью заключен в твердое тело — Платоново твердое тело называется выпуклым .Вторая особенность, называемая регулярностью , заключается в том, что все грани твердого тела представляют собой правильные многоугольники с одинаковым количеством сторон и одинаковое количество ребер выходит из каждой вершины твердого тела.

Куб правильный, так как все его грани квадратные и из каждой вершины выходит ровно три ребра. Вы можете сами убедиться, что тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр тоже правильные.

Теперь вы можете задаться вопросом, сколько существует различных Платоновых Тел.С момента открытия куба и тетраэдра математиков настолько привлекла элегантность и симметрия Платоновых тел, что они искали больше и пытались перечислить их все. Здесь на помощь приходит формула Эйлера. Вы можете использовать ее, чтобы найти все возможности для числа граней, ребер и вершины правильного многогранника. Вы обнаружите, что на самом деле существует только пять различных правильных выпуклых многогранников! Это очень удивительно; в конце концов, количество различных правильных многоугольников не ограничено, так почему мы должны ожидать здесь ограничения? Пять Платоновых Тел — это тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр, показанные выше.

Доказательство

Рене Декарт,
(1596–1650)

Игра с различными простыми многогранниками покажет вам, что формула Эйлера всегда верна. Но если вы математик, этого недостаточно. Вам понадобится доказательство, водостойкий логический аргумент, который показывает, что это действительно работает для всех многогранников, включая те, которые у вас никогда не будет времени проверить.

Адриан-Мари Лежандр, (1752 — 1833)

Несмотря на название формулы, на самом деле не Эйлер придумал первое полное доказательство.Его история сложна, насчитывает 200 лет и включает в себя некоторых из величайших математиков, в том числе Рене Декарта (1596–1650), самого Эйлера, Адриана-Мари Лежандра (1752–1833) и Огюстена-Луи Коши (1789–1857).

Огюстен-Луи Коши, (1789 — 1857)

Интересно отметить, что все эти математики использовали очень разные подходы для доказательства формулы, каждый из которых поражал своей изобретательностью и проницательностью. Тем не менее, это доказательство Коши, и я хотел бы дать вам здесь представление.Его метод состоит из нескольких этапов и шагов. Первый этап включает построение так называемой сети .

Создание сети

Представьте, что вы держите свой многогранник одной стороной вверх. Теперь представьте, что вы «удаляете» только эту грань, оставляя края и вершины вокруг нее позади, так что у вас есть открытая «коробка». Затем представьте, что вы можете держаться за коробку и отодвинуть края отсутствующей грани друг от друга. Если вы потянете их достаточно далеко, коробка расплющится и превратится в сеть точек и линий. в плоской плоскости.Приведенная ниже серия диаграмм иллюстрирует этот процесс применительно к кубу.

Рисунок 8: Превращение куба в сеть.

Как вы можете видеть на диаграмме выше, каждая грань многогранника становится областью сети, окруженной ребрами, и это то, что мы будем называть гранью сети. Это внутренних лиц сети. Также существует внешняя грань , состоящая из области вне сети; это соответствует той грани, которую мы удалили из многогранника.Итак, у сети есть вершины, прямые края и многоугольные грани.

Рисунок 9: Сеть имеет грани, ребра и вершины.

При формировании сети вы не добавляли и не удаляли вершины, поэтому сеть имеет то же количество вершин, что и многогранник — V . Сеть также имеет такое же количество ребер — E — что и многогранник. Теперь о лицах; все грани многогранника, кроме «недостающей», оказываются «внутри» сети. Отсутствующее лицо стало внешним лицом, которое тянется по всей сети.Итак, включая внешнюю грань, в сети насчитывается F граней. Таким образом, вы можете использовать сеть , а не сам многогранник, чтобы найти значение V — E + F . Теперь мы продолжим преобразование нашей сети, чтобы упростить вычисление этого значения.

Преобразование сети

Есть три типа операций, которые мы можем выполнять в нашей сети. Мы представим три этапа с их участием.

Шаг 1 Мы начинаем с рассмотрения полигональных граней сети и спрашиваем: существует ли грань с более чем тремя сторонами? Если есть, мы рисуем диагональ, как показано на схеме ниже, разделяя лицо на две меньшие грани.

Рисунок 10: Разделение граней.

Мы повторяем это с выбранной гранью до тех пор, пока грань не будет разбита на треугольники.

Рис. 11: В итоге у нас остались треугольные грани.

Если есть еще одна грань с более чем тремя сторонами, мы используем Шаг 1 для этой грани, пока она тоже не будет разбита на треугольные грани. Таким образом, мы можем разбить каждую грань на треугольные грани и получить новую сеть, все грани которой треугольные. Мы проиллюстрируем этот процесс, показав, как преобразовать сеть, созданную из куба.

Рисунок 12: Вот что происходит с сетью куба, когда мы неоднократно выполняем Шаг 1.

Мы возвращаемся к шагу 1 и смотрим на сеть, которую мы получаем после выполнения шага 1 только один раз. Теперь, нарисовав диагональ, мы добавили одно ребро. Наше исходное лицо стало двумя лицами, поэтому мы добавили одно к количеству лиц. Мы не изменили количество вершин. Теперь сеть имеет V, вершин, E + 1 ребер и F + 1 граней. Так как же V — E + F изменилось после того, как мы выполнили шаг 1 один раз? Используя то, что мы знаем об изменениях в V, , E и F , мы можем увидеть, что V — E + F превратилось в V — (E + 1) + (F + 1) .Теперь у нас

Итак, V — E + F имеет не изменено после шага 1! Поскольку каждое использование шага 1 оставляет V — E + F неизменным, оно остается неизменным, когда мы достигаем нашей новой сети, состоящей полностью из треугольников! Влияние на V — E + F при преобразовании сети, созданной из куба, показано в таблице ниже.

Теперь мы представляем шаги 2 и 3.Они будут удалять грани с внешней стороны сети, шаг за шагом уменьшая количество лиц. Как только мы начнем это делать, сеть, вероятно, больше не будет представлять собой многогранник, но важное свойство сети сохранится.

Шаг 2 Проверяем, есть ли в сети грань, которая имеет только одно ребро с внешней гранью. Если это так, мы удаляем эту грань, удаляя одно общее ребро. Область, которая была покрыта выбранной нами гранью, становится частью внешней грани, и сеть имеет новую границу.Это проиллюстрировано приведенной ниже схемой для сети, построенной из куба.

Рис. 13: Удаление граней с одной внешней кромкой.

Теперь возьмем V , E и F как числа вершин, ребер и граней, которые имела сеть, состоящая из треугольных граней, до того, как мы выполнили шаг 2. Теперь посмотрим, как число V — E + F изменился после того, как мы выполнили Шаг 2 один раз. Мы удалили одно ребро, поэтому наша новая сеть имеет E — 1 ребер.Мы не трогали вершины в всего, так что у нас осталось V вершин. Грань, которую мы использовали для шага 2, была объединена с внешней гранью, так что теперь у нас есть F — 1 граней. Итак, V — E + F превратилось в V — (E — 1) + (F — 1) и

Итак, еще раз V — E + F не изменился.

Step 3 Мы проверяем, есть ли у нашей сети грань, которая имеет два общих ребра с внешней гранью.Если это так, мы удаляем эту грань, удаляя как эти общие ребра, так и их общую вершину, так что снова область, принадлежащая нашей выбранной грани, становится частью внешней грани. Это проиллюстрировано ниже в случае сети, сделанной из куба, после выполнения шага 2. дважды.

Рисунок 14: Удаление граней с двумя внешними кромками.

Как и раньше, возьмем V , E и F в качестве количества вершин, ребер и граней сети, с которой мы начинаем.Каким образом шаг 3 повлиял на число V — E + F ? Мы удалили одну вершину — ту, которая находится между двумя ребрами, — теперь осталось V — 1 вершин. Мы удалили два ребра, так что теперь есть E — 2 кромок. Наконец, наша выбранная грань слилась с внешней гранью, так что теперь у нас есть F — 1 граней. Итак, V — E + F превратилось в (V — 1) — (E — 2) — (F — 1) и

Итак, еще раз V — E + F не изменился.

Секрет доказательства заключается в выполнении последовательности шагов 2 и 3 для получения очень простой сети. Напомним, что мы неоднократно использовали шаг 1 для создания сети только с треугольными гранями. Эта сеть определенно будет иметь грань, которая имеет ровно одно ребро с внешней гранью, поэтому мы берем эту грань и выполняем Шаг 2. Мы можем выполнить Шаг 2 на нескольких гранях, по одной, пока не появится появится грань, имеющая два ребра с внешней гранью.Затем мы можем выполнить шаг 3, используя это лицо. Мы продолжаем выполнять шаги 2 и 3 и продолжаем удалять лица таким образом.

При этом необходимо соблюдать два важных правила. Во-первых, мы всегда должны выполнять Шаг 3, когда это возможно; если есть выбор между Шагом 2 и Шагом 3, мы всегда должны выбирать Шаг 3. В противном случае сеть может разбиться на отдельные части. Во-вторых, мы должны удалять лица только по одному. Если мы этого не сделаем, мы можем закончить тем, что края сами по себе будут торчать наружу. лицо, и у нас больше не будет нормальной сети.Чтобы проиллюстрировать процесс, мы выполним несколько шагов в сети куба, продолжая с того места, где мы оставили его на последней диаграмме.

Рисунок 15: Применение нашего алгоритма к сети куба.

Теперь мы можем задать себе один или два вопроса. Прекращается ли когда-нибудь этот процесс удаления лиц, и если да, то с чем мы остались? Небольшое размышление покажет вам, что он должен остановиться — мы можем удалить только конечное число граней и ребер — и что когда это произойдет, у нас останется один треугольник.Вы можете увидеть несколько диаграмм, описывающих весь процесс для сети, образованной из додекаэдра (напомним, что это было одно из Платоновых тел, представленных ранее).

Теперь посмотрите на количество вершин, ребер и граней, присутствующих в нашей окончательной сети — единственном треугольнике. У нас V = 3 , E = 3 и F = 2 — мы все равно должны включить внешнюю грань. Сейчас

На протяжении всего процесса, начиная с полного многогранника и заканчивая треугольником, значение V — E + F не менялось.Итак, если V — E + F = 2 для конечной сети, мы также должны иметь V — E + F = 2 для самого многогранника! Доказательство закончено!

За многогранниками

Я закончу упоминанием некоторых следствий формулы Эйлера за пределами мира многогранников. Я начну с очень малого: компьютерных чипов. Компьютерные микросхемы — это интегральные схемы, состоящие из миллионов мельчайших компонентов, связанных миллионами проводящих дорожек. Они напоминают наши сети выше, , за исключением , которые обычно невозможно разложить в плоскости. без некоторых проводящих дорожек — краев — пересечения.Крестовины — плохая вещь в схемотехнике, поэтому их количество должно быть уменьшено, но найти подходящее расположение — непростая задача. Формула многогранника Эйлера с ее информацией о сетях является важным ингредиентом в поиске решений.

Теперь перейдем к самому большому: нашей Вселенной. До сих пор космологи не пришли к единому мнению о его точной форме. Основным для их рассмотрения является топология , , математическое исследование формы и пространства. В 19 веке математики обнаружили, что все поверхности в трехмерном пространстве по существу характеризуются количеством отверстий, которые у них есть: наши простые многогранники не имеют отверстий, т.е. пончик имеет одно отверстие и т. д.Формула Эйлера не работает для многогранников с дырками, но математики обнаружили захватывающее обобщение. Для любого многогранника V — E + F ровно в 2 минус 2 раза больше количества отверстий! Оказывается, это число, называемое эйлеровой характеристикой , имеет решающее значение для изучения всех трехмерных поверхностей, а не только многогранников. Формулу Эйлера можно рассматривать как катализатор совершенно нового мышления о форме и пространстве.

Об авторе

Аби выросла на севере Англии и переехала на юг, чтобы изучать математику в Имперском колледже в Лондоне и Королеве Марии в Лондонском университете.Сейчас она преподает математику в Открытом университете. Главный математический интерес Аби — теория групп. При написании этой статьи ей очень понравилось исследовать тайны формулы Эйлера.

Первоначально опубликовано 1 июня 2007 г.

Многогранник | Encyclopedia.com

Многогранник — это замкнутое трехмерное твердое тело, полностью ограниченное по крайней мере четырьмя многоугольниками, два из которых не находятся в одной плоскости. Многоугольники — это плоские двухмерные фигуры (плоскости), ограниченные прямыми сторонами.Квадрат и треугольник — два примера многоугольников.

Количество сторон каждого многоугольника является основным отличительным признаком многогранников друг от друга. Некоторые общие многоугольники — это треугольник (с тремя сторонами), четырехугольник (с четырьмя сторонами), пятиугольник (с пятью сторонами), шестиугольник (с шестью сторонами), семиугольник (с семью сторонами) и восьмиугольник (с восемью сторонами). стороны).

Правильный многоугольник, как и квадрат, имеет равные внутренние углы и равные длины сторон.Многоугольник считается неправильным, если его внутренние углы не равны или если длины его сторон не равны.

Каждый многоугольник многогранника называется гранью. Прямая сторона, пересекающая две грани, называется ребром. Точка, в которой встречаются три или более ребра, называется вершиной. На рисунке ниже показаны эти особенности куба, который представляет собой хорошо известный многогранник, состоящий из шести квадратных граней.

Связь между количеством вершин ( v ), граней ( f ) и ребер ( e ) задается уравнением v + f — e = 2.Например, куб имеет 8 вершин, 6 граней и 12 ребер, что дает 8 + 6 — 12 = 2. Значение v + f — e для многогранника называется эйлеровой характеристикой поверхности многогранника. в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707–1783). Используя эйлерову характеристику и зная две из трех переменных, можно вычислить третью переменную.

Платоновы и архимедовы тела

Существует множество групп многогранников, классифицируемых по определенным характеристикам — слишком много, чтобы обсуждать их здесь.Одна общая группа известна как Платоновы тела, названные так потому, что ее пять членов появились в трудах греческого философа Платона. Платоновы тела входят в большую группу, известную как правильные многогранники, в которой многоугольники каждого из них правильные и конгруэнтные (то есть все многоугольники одинаковы по размеру и форме, а все ребра одинаковы по длине) и характеризуются одинаковыми количество полигонов, пересекающихся в каждой вершине.

На иллюстрации ниже изображены пять Платоновых тел (слева направо): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Тетраэдр состоит из четырех треугольных граней и представлен как {3, 3}, в котором первые 3 указывают, что каждая грань состоит из трех сторон, а вторые 3 указывают, что три грани пересекаются в каждой вершине. Куб, иногда называемый шестигранником, имеет шесть квадратных граней и представлен как {4, 3}. Октаэдр состоит из восьми равносторонних треугольников и состоит из двух одинаковых квадратных пирамид, основанных на основании. Октаэдр представлен как {3, 4}. Додекаэдр состоит из пяти сторон каждой грани и трех пятиугольников, пересекающихся в каждой из двадцати вершин многогранника.Он представлен {5, 3}. Икосаэдр состоит из пяти равносторонних треугольников вокруг каждой вершины. Он содержит равносторонние равносторонние треугольники с двадцатью гранями и двенадцатью вершинами и описывается как {3, 5}.

Архимедовы тела. Другая распространенная группа многогранников — это архимедовы тела, в которых появляются два или более различных типа многоугольников. Каждая грань представляет собой правильный многоугольник, и вокруг каждой вершины появляются одинаковые многоугольники в той же последовательности. Например, усеченный додекаэдр состоит из последовательности пятиугольник-пятиугольник-треугольник.

Сетки

Многогранник можно «раскрыть» вдоль некоторых его краев до тех пор, пока его поверхность не расплющится, как коврик. Полученная карта, похожая на выкройку портнихи, называется сеткой. Сеть содержит все грани многогранника, некоторые из которых разделены угловыми промежутками. Поскольку сетка представляет собой плоский узор, который затем можно сложить по краям и связать вместе, чтобы восстановить исходный многогранник, сетка, таким образом, позволяет легко создавать базовые многогранники из бумаги. Построение моделей многогранников может облегчить изучение геометрических понятий.

см. Также Сети.

Уильям Артур Аткинс с

Филип Эдвард Кот

Библиография

Хендерсон, Кеннет Б. Современная геометрия: ее структура и функции. Сент-Луис: Webster Division McGraw-Hill Book Company, 1962.

Что такое многогранник — определение, типы и примеры

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «почему» стоит за «что».«Студенты могут изучить огромное количество интерактивных рабочих листов, наглядных пособий, симуляторов, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию.

Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня! и поучаствуйте в онлайн-классе Cuemath LIVE вместе со своим ребенком.

Многогранник — это трехмерная фигура с плоскими гранями, прямыми краями и острыми углами или вершинами.

Слово «многогранник» происходит от греческих слов poly , что означает «много», и hedron , что означает «поверхность».

Таким образом, многогранник означает множество плоских поверхностей, соединенных вместе, чтобы образовать трехмерную форму.

Множественное число многогранника — это многогранника.

В зависимости от количества граней многоугольника в многограннике они подразделяются на различные формы многогранников.

Различные формы многогранников также определяются их основанием многоугольника.

Наша жизнь вращается вокруг многогранников, поскольку мы живем в трехмерном мире.

Например, кирпичи, игральные кости, офисные столы, дома и т. Д. — все это примеры многогранников.

По количеству многоугольных граней и оснований многогранники подразделяются на различные формы многогранников.

Существует три основных категории многогранников.

• Семейство призм
• Семья пирамид
• Платоновы тела

Они снова в основном делятся на два типа — правильные многогранники и неправильные многогранники.

Многогранник, все грани которого являются правильными многоугольниками и конгруэнтны друг другу, и имеют одинаковое количество граней, пересекающихся в каждой вершине, известен как правильный многогранник .

В правильном многограннике все многогранные углы равны.

Многогранник с неправильными многоугольными гранями, которые не совпадают друг с другом, и в котором многогранные углы не равны, называется неправильным многогранником .

Если отрезок прямой, соединяющий две точки, лежит на выпуклой поверхности многогранника, он называется Вогнутым многогранником .

Если отрезок прямой, соединяющий две точки, лежит на внутренней поверхности многогранника, он называется выпуклым многогранником .

• Сделайте эти фигуры, используя простой лист бумаги.Это поможет визуализировать твердые формы.
• Используя геотвердое тело, проведите пальцем по каждой форме, чтобы понять концепцию граней, ребер и вершин.

Правильные многогранники или платоновы тела выпуклые с одинаковым количеством граней, пересекающихся в каждой вершине, и сторонами, которые равны.

Это 5 правильных многогранников.3 \ end {align} \)

• У этого многогранника 20 граней.
• Каждая грань имеет форму равностороннего треугольника.
• Имеет 30 ребер.
• У него 12 вершин и 5 ребер, пересекающихся в каждой вершине.

Множественное число многогранника — это многогранника, или многогранника.

Наиболее часто встречающиеся многогранники:

Обычные многогранники

Примеры из реальной жизни

Призмы, египетские пирамиды, ульи, бриллианты — вот некоторые из реальных примеров многогранников.

CLUEless по математике? Узнайте, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку Многогранник , используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, которые сделают вашего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!

грани многогранников — это плоские стороны индивидуальной многогранной геометрии.

Края указывают, где встречаются две или более граней.

вершины обозначают углы.

Посмотрите на фигуру ниже.

Сколько лиц вы можете сосчитать?

Вы видите, что у него лицо сверху, снизу, слева, справа, спереди и сзади?

В этом примере мы можем наблюдать 8 лиц.

Теперь посчитаем ребра в указанном выше многограннике.

Мы видим, что у фигуры 18 ребер.

Вы можете заметить, что у этой формы 12 вершин.

Существует взаимосвязь между количеством граней, ребер и вершин в многограннике.

Мы можем представить эту взаимосвязь в виде математической формулы.

Это соотношение известно как Формула Эйлера .

где,

F = Количество граней

V = Количество вершин

E = Количество ребер

В показанном ниже моделировании вы можете исследовать взаимосвязь между гранями, вершинами и ребрами тетраэдра, используя формулу Эйлера.

Важные примечания

1. Многогранник — это трехмерная форма с плоскими гранями, прямыми краями и острыми вершинами.
2. Обычно они встречаются в виде призм, пирамид и платоновых тел.
3. Пять правильных многогранников или платоновых тел: Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Додекаэдр и Икосаэдр.
4. Подсчитав количество граней, вершин и ребер многогранника, мы можем связать их формулой Эйлера F + V — E = 2

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath.Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь пройти тест сейчас.

В каком из следующих правильных многогранников 3 пятиугольника пересекаются в каждой вершине?

(а)

(б)

(в)

Решение:

(a) Этот многогранник состоит из трех пятиугольников, пересекающихся в каждой вершине.

(b) Этот многогранник имеет 2 прямоугольника и один семиугольник, пересекающиеся в каждой вершине.

(c) У этого многогранника 3 треугольника, пересекающихся в вершине.

Мэри считала ребра, грани и вершины многогранника.

Она утверждает, что есть 12 вершин, 5 граней и 10 ребер.

Она сделала ошибку?

Решение:

Используя формулу Эйлера, мы можем проверить, правильно ли она их посчитала.

По ее словам, количество лиц 5

Количество вершин 12

Количество ребер 10

Подставляя эти числа в формулу Эйлера:

\ [F + V-E = 2 \]

\ [5 + 12-10 = 2 \]

\ [7 \ neq 2 \]

Что из перечисленного является платоновыми телами?

(а) Цилиндр

(б) Конус

(в) Октаэдр

(d) Треугольная призма

Решение:

Обычно встречаются платоновы тела или правильные многогранники:

1. Тетраэдр
2. Куб
3. Октаэдр
4. Додекаэдр
5. Икосаэдр

Какова площадь поверхности многогранника внизу?

(а) \ (6 \: e ^ 2 \)

(б) \ (2 \ sqrt {3} \: e ^ 2 \)

(с) \ (\ sqrt {3} \: e ^ 2 \)

(г) \ (3 \ sqrt {25 + 10 \ sqrt {5}} \: e ^ 2 \)

Решение:

(c) Площадь поверхности Тетраэдра равна \ (\ sqrt {3} \: e ^ 2 \)

По дороге домой из школы Генри нашел твердое тело с шестью гранями, шестью вершинами и десятью ребрами.

Определите этот многогранник.

Решение:

Из рисунка выше видно, что заданным параметрам удовлетворяет только пятиугольная пирамида.

Вот несколько занятий для вас.

Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике, вы можете нажать здесь

1.Сколько граней у многогранника?

В зависимости от количества плоских сторон многогранника на основе многоугольника, мы можем подсчитать количество граней.

Мы также можем найти количество граней, используя формулу Эйлера, F + V — E = 2, если мы знаем количество ребер и вершин.

2. Является ли сфера многогранником?

Нет, сфера — это криволинейная поверхность, в то время как многогранники имеют только прямые и плоские поверхности.

3. Является ли призма многогранником?

Да, это многогранник.

У призмы плоские грани, прямые края и острые вершины.

Треугольная призма, прямоугольная призма и пятиугольная призма подпадают под многогранники.