8. Графическое изображение равноускоренного движения

Начальный уровень:

А1. Расскажите о движении те­ла, график проекции скоро­сти которого изображен на рисунке.

Рис.А1 Рис.А2 Рис.А3

А2. Расскажите о движении тела, график проекции скорости кото­рого изображен на рисунке.

А3. Расскажите о движении тела, график проекции ускорения ко­торого изображен на рисунке.

А4. Как двигался автомобиль, график проекции скорости движения которого изобра­жен на рисунке?

А5. Расскажите о движении те­ла, график проекции ускоре­ния которого изображен на рисунке.

Рис.А4 Рис.А5 Рис.А6

А6. Как двигался велосипедист, график проекции скорости движения которого изобра­жен на рисунке?

Средний уровень:

Б1. (54.P) Зависимость скорости от времени при разгоне автомо­биля задана формулой vx = 0,8 t. Построить график скорости и найти скорость в конце пятой секунды.

Б2. Зависимость скорости от времени движущегося тела задана формулой vx = 1 + 2t. Опишите это движение (укажите значения характеризующих его величин), постройте график vx (t).

Б3. (55.P) Скорость поезда за 20 с уменьшилась c 72 до 54 км/ч. Написать формулу зависимости скорости от времени vx (t) и построить график этой зависимости.

Б4. (57.P) По заданным на рис.Б4 графикам написать урав­нения vx = vx (t).

Б5. По графикам, изображенным на рисунке, записать уравнения зависимости проекции скорости и координаты от времени vx (t), x(t).

Б6. Уравнение движения тела s = 2t + t

2. Опишите это движение (укажите значения характеризующих его величин), постройте график sx(t)

Рис.Б4 Рис.Б5 Рис. Б9

Б7. (74.P) Уравнение движения материальной точки имеет вид х = 0,4t2. Написать формулу зависимости vx (t) и построить график. Показать на графике штриховкой площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 с, и вычислить этот путь.

Б8. Зависимость скорости от времени движущегося тела задана формулой vx = 4 + t. Опишите это движение (укажите значения характеризующих его величин), постройте график vx (t).

Б9. По графикам, изобра­женным на рисунке, за­писать уравнения зави­симости проекции скоро­сти и координаты от времени vx (t), x (t).

Б10. По графикам, изображенным на рисунке, записать уравнения зависимости проекции скорости и координаты от времени (vx(t), x(t)).

Б11. Уравнение движения тела s = 6-t2. Опишите это движение (укажите значения характеризующих его величин), постройте график s

x (t).

Б12. По графикам, изображенным на рисунке, записать уравнения зависимости проекции скорости и координаты от времени vx (t), x(t).

Рис.Б10 Рис.Б12 Рис.Б13

Б13. (59.P) По графикам зависимости ах (t), приведенным на рис.Б13, а и б, построить графики зависимости vx (t). считая, что в начальный момент времени (t = 0) скорость дви­жения материальной точки равна нулю.

Б14. (81.P) Движения четырех материальных точек заданы сле­дующими уравнениями (соответственно): x1 = 10t + 0,4 t2; х2 = 2t — t2; x3 = — 4t + 2t2; х4 = — t – 6t2 Написать уравнение vx = vx (t) для каждой точки; построить графики этих зависимостей; описать движение каждой точки.

Достаточный уровень:

Рис.В1 Рис. В2 РисВ3

В1. По данному графику проекции скорости построить графики для координаты и проекции ускорения.

В2. По данному графику проекции ускорения построить графики для координаты и проекции скорости.

Рис.В4 Рис.В5 Рис.В6

В3. По данному графику проекции скорости построить графики для координаты и проекции ускорения.

В4. По данному графику проекции ускорения построить графики для координаты и проекции скорости.

В5. По данному графику проекции скорости построить графики для координаты и проекции ускорения.

В6. По данному графику проекции ускорения построить графики для координаты и проекции скорости.

В7. По данному графику проекции скорости построить графики для координаты и проекции ускорения.

Рис. В7 Рис.В8. Рис.В9

В8. Графики каких движений представлены на рисунке? В чем сходны и чем различаются движения тел 1 и 2? Что можно ска­зать о путях, пройденных этими телами за время 3c от начала отсчета времени? Постройте графики пути для обоих тел.

В9. (53.Т) С помощью графика скорости равноускоренного движения с начальной скоростью, равной нулю (рис.В9), покажите, что пути, пройденные телом за последовательные равные промежутки времени, пропорциональны ряду нечетных чисел.

В10. (38.Т) На рис.В10 даны графики ускорений четырех движущихся тел. Как движутся эти тела?

Рис.В10

Высокий уровень:

Г1. Как двигался мотоцик­лист, график проекции скорости движения кото­рого изображен на рисун­ке? Начертите график пу­ти, соответствующий дан­ному графику.

Рис.Г1 Рис. Г2 Рис.Г3

Г2. По данному графику про­екции скорости построить графики для координаты и проекции ускорения.

Г3. По данному графику проекции ускорения построить, графики для координаты и проекции скорости.

Г4. По данному графику проекции скорости построить графики для координаты и проекции ускорения.

Г5. По данному графику проекции ускорения построить графики для координаты и проекции скорости.

Рис.Г4 Рис.Г5 Рис.Г6

Г6. По данному графику проекции ускорения построить графики для координаты и проекции скорости.

Олимпиадные задачи:

Д1. Как двигалось тело, график ускорения которого дан на рисунке. Начертите (качественно) графики скорости и пути, соответст­вующие данному графику ускорения.

Д2. На рисунке даны графики проекции скоростей для двух точек, движущихся по одной прямой от одного и того же начального по­ложения. Известны моменты времени t1 и t2. В какой момент вре­мени t3 точки встретятся? Построить графики движения x(t).

Д3. (51Т) На рисунке 17 дан график скорости тела, движущегося прямолинейно. Постройте график его перемещения и ускорения, если треугольники ОАВ, BCD, DEK равны.

Рис.Д1 Рис.Д2 Рис.Д3

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Разделы: Физика

Цель: научить определять скорость, проекцию скорости, проекцию перемещения, перемещение тела, брошенного вертикально вверх, на опреленной высоте, путь, пройденный телом, уметь по графику проекции скорости определять путь тела.

Задачи:

  • Развивающие: получить представление о движении тела, брошенного вертикально вверх.
  • Познавательные: приобрести умение рассчитывать скорость, проекцию скорости, перемещение, проекцию перемещения, путь через разные интервалы времени.

Демонстрации: опорные конспекты, ОК на экране.

Ход урока

1. Повторение

2. Объяснение нового материала

1. Что называют свободным падением?

Свободное падение — это движение тела под действием силы тяжести Земли с ускорением свободного падения ɡ=9,8 м/с2.

2. Как направлена сила тяжести?

Сила тяжести направлена вниз по радиусу к центру Земли.

3. При движении тела, брошенного вертикально вверх, начальная скорость тела направлена от центра Земли по радиусу Земли вверх. В первой части пути при движении вверх движение тела будет равноускоренным замедленным, на максимальной высоте скорость тела будет равна нулю, во второй части пути, по мере падения тела, скорость тела будет увеличиваться, Движение тела будет равноускоренным ускоренным. Рассмотрим движение тела, брошенного вертикально вверх в разные моменты времени: через время, когда тело не долетит до максимальной высоты, долетит до максимальной высоты, перелетит максимальную высоту, долетит до поверхности Земли и, полетит, в так называемую яму. Наша задача: определить величину и направление скорости тела, перемещение и путь, пройденный телом и по рисунку и графически. При решении задачи в основе лежат формулы проекции перемещения и проекции скорости:

Рассмотрим систему отсчета, связанную с Землей, ось ОУ вертикально вверх. Начальную скорость направим вверх, ускорение свободного падения направим вниз. Спроецируем правую часть уравнений на ось ОУ:

Пусть начальная скорость тела будет равна 40 м/с. Подставим в каждое из уравнений данные скорости и времени: 2с, 4с, 6с, 8с, 10с. Получим значения hу,vу. Проанализируем значения hу, vу.

1. Если hу > 0 — конечное положение выше начального, vу > 0 — тело летит вверх. Делаем рисунок. Определяем путь: l = h.

2. Если hу > 0 — конечное положение выше начального, vу = 0 — тело достигло максимальной высоты. Делаем рисунок. Определяем путь: l = l = hmax

3. Если hу > 0 — конечное положение выше начального, vу < 0 — тело летит вниз. Делаем рисунок. Определяем путь l = hmax+ (hmax — h)

4. Если hу = 0 — тело вернулось в исходное положение, vу< 0 — тело летит вниз, v0= v — тело имеет ту же скорость, по закону сохранения механической энергии, с которой его бросили вертикально вверх.

Делаем рисунок. Определяем путь l = 2hmax = 160м

5. Если hу < 0 — конечное положение ниже начального, тело пролетело исходное положение, vу < 0 — скорость тела направлена вниз. Делаем рисунок. Определяем путь: l = 2hmax + h

Вывод формулы максимальной высоты тела, брошенного вертикально вверх.

Пусть t — время полета до максимальной высоты, , т.к. скорость тела на максимальной высоте равна нулю

Подставляем время в

Найдем максимальную высоту тела:

Сравниваем с нашим решением.

3. Подведение итогов

Повторяем алгоритм решения задач.

Домашнее задание:

  1. Построить графики зависимости проекции скорости от времени и вычислить путь тела через разные интервалы времени по графикам. Сравнить с пройденным путем, полученным при решении задачи.
  2. Определить скорость, проекцию скорости, перемещение, проекцию перемещения, путь для тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью 50м/с через 2с, 5с, 8с, 10, 12с.

Объяснение урока: Движение снаряда под любым углом

В этом объяснении мы научимся находить горизонтальную и вертикальную составляющие скорости снаряда, а также анализировать и решать задачи, связанные с движением снаряда под любым углом.

Предположим, что частица брошена с плоской горизонтальной плоскости под некоторым углом 𝛼∘ над горизонталью с начальной скоростью 𝑈 м⋅с −1 .

Для анализа этого движения может быть очень полезно разделить скорость частицы на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости определяются выражением 𝑈=𝑈(𝛼),𝑈=𝑈(𝛼).cossin

Мы пишем ⃑𝑖 для вектора единичной длины в горизонтальном направлении и ⃑𝑗 для перпендикулярного вектора единичной длины в вертикальном направлении. Тогда мы можем организовать эту информацию в один вектор скорости , выраженный в терминах единичных векторов ⃑𝑖 и ⃑𝑗: ⃑𝑈=𝑈⃑𝑖+𝑈⃑𝑗=𝑈(𝛼)⃑𝑖+𝑈(𝛼)⃑𝑗.cossin

С другой стороны, если нам известен вектор начальной скорости снаряда, мы можем восстановить его начальную скорость и угол проекция.

Если снаряд имеет вектор начальной скорости 𝑈⃑𝑖+𝑈⃑𝑗, то применение теоремы Пифагора дает нам начальную скорость как 𝑈=𝑈+𝑈.

Глядя на график горизонтальной и вертикальной составляющих начальной скорости, мы видим, что tan(𝛼)=𝑈𝑈, поэтому угол проекции равен 𝛼=𝑈𝑈. tan

Потренируемся записывать начальную скорость в векторной форме.

Пример 1. Нахождение векторной формы начальной скорости вектора

Частица вылетает из точки на горизонтальной плоскости с начальной скоростью 39 м⋅с −1 под углом 𝜃 над по горизонтали, где тангенс(𝜃)=512. Выразите начальную скорость в виде вектора с точки зрения ⃑𝑖 и ⃑𝑗, горизонтального и вертикального единичные векторы в вертикальной плоскости.

Ответ

Горизонтальная и вертикальная составляющие вектора начальной скорости ⃑𝑈=𝑈⃑𝑖+𝑈⃑𝑗 определяются выражением 𝑈=𝑈(𝜃),𝑈=𝑈(𝜃),косин где 𝜃 — угол проекции. В этом вопросе нам не дано значение 𝜃, но точнее его касательная. Однако этой информации достаточно, чтобы записать sin(𝜃) и cos(𝜃), что нам здесь и нужно. Учитывая, что tan(𝜃)=512, мы можем нарисовать следующий треугольник.

Теорема Пифагора дает нам длину гипотенузы как ℎ=√12+5=√169=13. 

Следовательно, sin(𝜃)=513 и cos(𝜃)=1213. Кроме того, нам говорят, что начальная скорость частицы составляет 39 м⋅с −1 , поэтому наш начальный вектор скорости равен ⃑𝑈=𝑈(𝜃)⃑𝑖+𝑈(𝜃)⃑𝑗=39×1213⃑𝑖+39×513⃑𝑗=36⃑𝑖+15⃑𝑗⋅.cossinms

Рассмотрим теперь пример горизонтальной скорости и разложим ее на вертикальные компоненты. обратная процедура: восстановление начальной скорости и угла проекции по вектору скорости.

Пример 2. Определение начальной скорости и угла полета снаряда по заданному вектору начальной скорости

  1. Частица летит со скоростью где ⃑𝑖 и ⃑𝑗 — горизонтальная и вертикальная единицы векторы. Найти начальную скорость частицы с точностью до одного десятичного знака.
  2. Найдите угол проекции частицы с точностью до одного десятичного знака.

Ответить

Часть 1

Если снаряд имеет вектор начальной скорости 𝑈⃑𝑖+𝑈⃑𝑗, то начальная скорость определяется выражением 𝑈=𝑈+𝑈 а угол проекции 𝛼=𝑈𝑈. tan

Рисовать эскиз почти всегда полезно. Итак, давайте сделаем это следующим образом.

Из рисунка видно, что начальная скорость 𝑈 определяется выражением 𝑈=𝑈+𝑈=√4+7=√65=8.1⋅,мс округляется до одного десятичного знака.

Часть 2

Кроме того, угол проекции частицы 𝛼=𝑈𝑈=74=60,3,тантан∘ округляется до одного десятичного знака.

Теперь, когда мы знаем, как разложить скорость снаряда на горизонтальную и вертикальную составляющие, мы можем использовать эту технику для решать задачи о движении снаряда. Для этого нам нужно будет вспомнить уравнения движения. В частности, для решения задач с перемещением 𝑠 снаряда за время 𝑡 при условии, что он имеет начальную скорость 𝑢 и ускорение 𝑎 нам нужно уравнение движения 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡.

Пример 3. Нахождение составляющих начальной скорости снаряда

Ракета была выпущена из ракетницы. Через 2 секунды горизонтальное и вертикальное расстояния ракеты от ракетницы были 22 м и 31 м соответственно. Найдите горизонталь ⃑𝑣 и вертикальная ⃑𝑣 составляющие факела Начальная скорость. Возьмем 𝑔=9,8/мс.

Ответ

Горизонтальную и вертикальную составляющие движения вспышки будем анализировать отдельно. Начнем с горизонтального компонент.

Требуется найти начальную горизонтальную скорость вспышки ⃑𝑣. После запуска нет Силы, действующие на факел в горизонтальном направлении. Это означает, что его горизонтальное ускорение ⃑𝑎 равно нулю. Нам говорят, что горизонтальное смещение частицы равно 22 м после времени 𝑡=2 с. Мы можем подставить эти значения в уравнение движения 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡 чтобы получить 22=⃑𝑣×2+12×0×2⃑𝑣=22÷2=11.

Следовательно, горизонтальная составляющая начальной скорости вспышки ⃑𝑣=11/мс.

Теперь проанализируем вертикальную составляющую движения вспышки. Нам говорят, что вертикальное смещение факела ⃑𝑠 составляет 31 м после времени 𝑡=2 с и что его вертикальное ускорение ⃑𝑎 составляет −9,8 м/с 2 из-за гравитации. Обратите внимание, что отрицательный знак вертикального ускорения вспышки связан с тем, что это ускорение направлен против начальной вертикальной скорости вспышки ⃑𝑣. Мы заменяем эти значения в уравнение движения 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡, чтобы получить 31=⃑𝑣×2−12×9.8×22⃑𝑣=31+9.8×2⃑𝑣=(31+19.6)÷2=25.3.

Следовательно, вертикальная составляющая начальной скорости вспышки ⃑𝑣=25.3/мс.

Мы можем использовать эти же методы для решения более сложных задач, связанных с движением снаряда.

Пример 4: Определение горизонтального расстояния частицы до земли с учетом ее положения после заданного времени проецирования

Частица была сброшена из точки 𝑂 на горизонтальную землю. Если после 8 секунд, его горизонтальное расстояние от 𝑂 составлял 48 м, а высота 98 м, определите, на каком расстоянии будет частица от 𝑂 когда он падает на землю. Возьмем 𝑔=9,8/мс.

Ответить

Нам нужно решить этот вопрос в три этапа. Сначала проанализируем вертикальную составляющую движения частицы и используйте значения, данные в момент времени 𝑡=8 с, чтобы найти вертикальная составляющая ⃑𝑢 его начальной скорости. Во-вторых, мы будем использовать начальную вертикаль скорость, которую мы рассчитали, чтобы вычислить время 𝑡, когда частица упадет на землю. В-третьих, мы будем проанализировать горизонтальную составляющую движения частицы, чтобы найти ее горизонтальное смещение при ударе о землю.

Сначала нам нужно найти вертикальную составляющую ⃑𝑢 начальной скорости частицы. Нам говорят, что частица имеет вертикальное смещение 98 м после 8 с и что его ускорение под действием силы тяжести равно 9,8 м/с 2 в отрицательном вертикальном направлении. Подставим эти значения в уравнение движения 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡, чтобы получить 98=⃑𝑢×8−12×9,8×88⃑𝑢=98+313,6⃑𝑢=(98+313,6)÷8=51,45.

Теперь нам нужно найти время 𝑡, когда частица упадет на землю. Обрисуем ситуацию.

Частица падает на землю, когда ее вертикальное смещение ⃑𝑠 равно нулю. Мы видим, что там два раза, когда частица имеет вертикальное смещение, равное нулю: ее момент вылета 𝑡=0 и время когда он упадет на землю 𝑡, которую мы хотим найти. Подставляем снова в закон движения 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡, используя начальную скорость ⃑𝑢=51,45/мс, которую мы только что вычислили: 0=51,45×𝑡−12×9,8×𝑡𝑡(51,45−4,9𝑡)=0,

Мы видим, что это квадратное уравнение имеет два решения: одно при 𝑡=0 и второе при 𝑡, при 51,45−4,9𝑡=0. Таким образом, у нас есть 4,9𝑡=51,45𝑡=10,5.

Теперь мы можем проанализировать горизонтальную составляющую движения частицы, чтобы найти ее горизонтальное смещение при ударе о землю. Сначала нам нужно вычислить его начальную горизонтальную скорость ⃑𝑢. Нам говорят, что во время 𝑡=8, частица имеет горизонтальное перемещение 48 м. Мы также известно, что его горизонтальное ускорение равно 0. Подставим эти значения в уравнение движения 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡, чтобы получить 48=⃑𝑢×8⃑𝑢=6,

Наконец, подставляем эту горизонтальную скорость и время приземления 𝑡=10,5с обратно в уравнение движения, заметив, что горизонтальная ускорение остается равным 0: 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡=6×10,5=63,

Мы заключаем, что частица будет на расстоянии 63 м от 𝑂, когда он падает на землю.

Мы также можем решать задачи, которые явно не включают перемещение снаряда, а скорее его начальную скорость 𝑢, конечная скорость 𝑣 и ускорение 𝑎. Для этого нам понадобится уравнение движения 𝑣=𝑢+𝑎𝑡.

Ниже приведен пример этого типа.

Пример 5. Определение времени, за которое снаряд достигает максимальной высоты

Предположим, что частица летит со скоростью 21 м/с и угол возвышения 51∘. Через какое время частица достичь наибольшей высоты? Дайте правильный ответ с точностью до двух знаков после запятой. Возьми 𝑔=90,8/мс.

Ответ

Для решения этой задачи воспользуемся наблюдением, что снаряд достигает наибольшей высоты в момент остановки поднимается и начинает падать, то есть когда его вертикальная скорость равна 0. Чтобы использовать это наблюдение, мы сначала необходимо вычислить вертикальную составляющую ⃑𝑢 начальной скорости частицы.

Вертикальная составляющая начальной скорости частицы определяется выражением ⃑𝑢=21(51)=16,3200…∘sin.

Мы хотим найти время 𝑡, когда вертикальная скорость частицы ⃑𝑣 равна 0. Подставляем нашу начальную скорость ⃑𝑢=16,3200… в уравнение движения 𝑣=𝑢+𝑎𝑡, заметив, что ускорение свободного падения отрицательно, так как оно направлено в противоположном направлении к начальной вертикальной скорости частицы: 0=16,3200…−9.8𝑡𝑡=16,3200…9,8=1,665….

Делаем вывод, что наибольшей высоты частица достигает через 1,67 с, округляется до двух знаков после запятой.

Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.

Ключевые точки

  • Дан снаряд с начальной скоростью 𝑈 м/с и угла места 𝛼∘, мы можем разложить его движение на горизонтальную и вертикальную составляющие 𝑈 и 𝑈 по формулам 𝑈=𝑈(𝛼),𝑈=𝑈(𝛼).коссин
  • Мы можем организовать эту информацию в единый вектор скорости, выраженный в единицах измерения по горизонтали и вертикали. векторы ⃑𝑖 и ⃑𝑗: ⃑𝑈=𝑈⃑𝑖+𝑈⃑𝑗=𝑈(𝛼)⃑𝑖+𝑈(𝛼)⃑𝑗. коссин
  • Для вектора начальной скорости ⃑𝑈=𝑈⃑𝑖+𝑈⃑ мы можем восстановить начальную скорость снаряда 𝑈 и угол возвышения 𝛼 с помощью формулы 𝑈=𝑈+𝑈 и 𝛼=𝑈𝑈.tan
  • Для решения более сложных задач о движении снаряда мы можем использовать горизонтальное и вертикальное разложение движение снаряда вместе с уравнениями движения 𝑠=𝑢𝑡+12𝑎𝑡 и 𝑣=𝑢+𝑎𝑡.

5.3 Движение снаряда | Техасский шлюз

Цели обученияСвойства движения снарядаРешение задач, связанных с движением снарядаПроверьте свое понимание

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Описывать свойства движения снаряда
  • Применение кинематических уравнений и векторов для решения задач, связанных с движением снаряда
«>
Основные термины раздела
сопротивление воздуха максимальная высота (снаряда) снаряд
движение снаряда диапазон траектория

Свойства движения снаряда

Движение снаряда – это движение предмета, подброшенного (выброшенного) в воздух. После начальной силы, запускающей объект, на него действует только сила тяжести. Объект называется снарядом, а его путь называется его траекторией. Когда объект движется по воздуху, он сталкивается с силой трения, которая замедляет его движение, называемую сопротивлением воздуха. Сопротивление воздуха значительно изменяет траекторию движения, но из-за сложности расчета оно игнорируется во вводной физике.

Самая важная концепция движения снаряда состоит в том, что горизонтальное и вертикальное движения независимы , а это означает, что они не влияют друг на друга. На рис. 5.28 пушечное ядро ​​в свободном падении (обозначено синим цветом) сравнивается с пушечным ядром, запущенным в горизонтальном направлении при движении снаряда (обозначено красным). Вы можете видеть, что пушечное ядро ​​в свободном падении падает с той же скоростью, что и пушечное ядро ​​в движении снаряда. Имейте в виду, что если бы пушка запускала шар с любой вертикальной составляющей скорости, вертикальные смещения не совпадали бы идеально.

Поскольку вертикальные и горизонтальные движения независимы, мы можем анализировать их отдельно, вдоль перпендикулярных осей. Для этого мы разделим движение снаряда на две составляющие его движения, одну по горизонтальной оси, а другую по вертикальной.

Рис. 5.28 На диаграмме показано движение снаряда пушечного ядра, выпущенного под горизонтальным углом, по сравнению с ядром, брошенным без горизонтальной скорости. Обратите внимание, что оба ядра имеют одинаковое вертикальное положение с течением времени.

Мы назовем горизонтальную ось осью x , а вертикальную ось осью y . Для обозначения d — полное перемещение, а х и y — его составляющие по горизонтальной и вертикальной осям. Величины этих векторов равны x и y , как показано на рис. 5.29.

Рис. 5.29 Мальчик пинает мяч под углом θ , и он смещен на расстояние с по своей траектории.

Как обычно, мы используем скорость, ускорение и перемещение для описания движения. Мы также должны найти компоненты этих переменных по осям x и y . Тогда компоненты ускорения очень просты: a y = – g = –9,80 м/с 2 . Обратите внимание, что это определение определяет направление вверх как положительное. Поскольку гравитация вертикальна, a x = 0. Оба ускорения постоянны, поэтому мы можем использовать кинематические уравнения. Для обзора кинематические уравнения из предыдущей главы сведены в Таблицу 5.1.

x= x0 + vavgt x= x0 + vavgt (когда a=0 a=0)
vavg= v0+v2 vavg= v0+v2 (когда a=0 a=0)
v=v0+atv=v0+at
х=х0+v0t+12at2x=x0+v0t+12at2
v2=v02+2a(x−x0)v2=v02+2a(x−x0)

Таблица 5.1 Сводка кинематических уравнений (постоянная а)

Где x — положение, x 0 — исходное положение, v — скорость, v avg — средняя скорость, t — время, a — ускорение.

Решение задач, связанных с движением снаряда

Следующие шаги используются для анализа движения снаряда:

  1. Разделите движение на горизонтальную и вертикальную составляющие по осям x и y. Эти оси перпендикулярны, поэтому используются Ax=AcosθAx=Acosθ и Ay=Asinθ Ay=Asinθ . Величины смещения s  s по осям x и y называются x  x и y. у. Величины компонентов скорости v  v  равны vx=v​​ cosθ  vx=v​​ cosθ и vy=v​​​​sinθ vy=v​​ sinθ, где v  v  — модуль скорости θ  θ  – его направление. Начальные значения обозначены нижним индексом 0,
  2. Рассматривайте движение как два независимых одномерных движения, одно по горизонтали, а другое по вертикали. Кинематические уравнения для горизонтального и вертикального движения принимают следующий вид

    Горизонтальное движение (ax=0)x=x0+vxtvx=v0x=vx=скорость – константа. Горизонтальное движение (ax=0)x=x0+vxtvx=v0x=vx=скорость – константа.

    Вертикальное движение (при положительном значении вверх ay=−g=−9,80 м/с2 ay=−g=−9,80 м/с2)

    y=y0+12(v0y+vy)tvy=v0y-gty=y0+v0yt-12gt2vy2=v0y2-2g(y-y0)y=y0+12(v0y+vy)tvy=v0y-gty=y0+v0yt −12gt2vy2=v0y2−2g(y−y0)

  3. Найдите неизвестные для двух отдельных движений (горизонтального и вертикального). Обратите внимание, что единственной общей переменной между движениями является время t t. Процедуры решения задач здесь такие же, как и для одномерной кинематики.
  4. Рекомбинируйте два движения, чтобы найти полное перемещение s  s и скорость v v. Мы можем использовать аналитический метод сложения векторов, который использует A=Ax2+Ay2  A=Ax2+Ay2 и θ=tan−1(Ay/Ax) θ=tan−1(Ay/Ax) , чтобы найти величину и направление полного смещения и скорости.

    Смещениеd=x2+y2θ=tan−1(y/x)Скоростьv=vx2+vy2θv=tan−1(vy/vx)Смещениеd=x2+y2θ=tan−1(y/x)Скоростьv=vx2+vy2θv=tan −1(vy/vx)

     θ  θ – направление смещения d d, а θv  θv – направление скорости v v (см. рис. 5.30).

    Рис. 5.30 (a) Мы анализируем двумерное движение снаряда, разбивая его на два независимых одномерных движения вдоль вертикальной и горизонтальной осей. (b) Горизонтальное движение простое, потому что  ax=0   ax=0 и  vx   vx постоянно. в) скорость в вертикальном направлении начинает уменьшаться по мере подъема объекта; в самой высокой точке вертикальная скорость равна нулю. Когда объект снова падает на Землю, вертикальная скорость снова увеличивается по величине, но указывает направление, противоположное начальной вертикальной скорости. (г) x — и y -движений рекомбинируются, чтобы получить общую скорость в любой заданной точке траектории.

Советы по достижению успеха

Для задач о движении снаряда важно настроить систему координат. Первый шаг — выбрать начальную позицию для xx и yy. Обычно проще всего установить начальное положение объекта так, чтобы x0=0x0=0 и y0=0y0=0.

Часы с физикой

Снаряд под углом

В этом ролике представлен пример нахождения смещения (или дальности) снаряда, запущенного под углом. Он также рассматривает основы тригонометрии для нахождения синуса, косинуса и тангенса угла.

Щелкните для просмотра содержимого

Проверка на сцепление

Предположим, что поверхность ровная. Если горизонтальная составляющая скорости снаряда удвоится, а вертикальная не изменится, как это повлияет на время полета?

  1. Время достижения земли останется прежним, поскольку вертикальная составляющая не изменится.
  2. Время достижения земли останется прежним, так как вертикальная составляющая скорости также удвоится.
  3. Время достижения земли сократилось бы вдвое, так как горизонтальная составляющая скорости удвоилась.
  4. Время достижения земли удвоится, так как горизонтальная составляющая скорости удвоится.

Рабочий пример

Снаряд фейерверка взрывается высоко и прочь

Во время фейерверка, подобного показанному на рис. 5.31, снаряд выстреливается в воздух с начальной скоростью 70,0 м/с под углом 75° над горизонтом. Взрыватель рассчитан на воспламенение снаряда, когда он достигает своей высшей точки над землей. а) Вычислите высоту взрыва снаряда. б) Сколько времени прошло между пуском снаряда и взрывом? в) Чему равно горизонтальное перемещение снаряда при взрыве?

Рис. 5.31 На схеме показана траектория снаряда фейерверка.

Стратегия

Движение можно разбить на горизонтальное и вертикальное, в которых  ax=0  ax=0 и  ay=g  ay=g. Затем мы можем определить x0  x0 и y0  y0 равными нулю и найти максимальную высоту.

Решение для (a)

Под высотой мы подразумеваем высоту или положение по вертикали  y  y над начальной точкой. Наивысшая точка любой траектории, максимальная высота, достигается, когда  vy=0  vy=0; это момент, когда вертикальная скорость переключается с положительной (вверх) на отрицательную (вниз). Поскольку мы знаем начальную скорость, начальное положение и значение v y , когда фейерверк достигает максимальной высоты, мы используем следующее уравнение, чтобы найти y y

vy2=v0y2−2g(y−y0).vy2=v0y2−2g(y−y0).

Поскольку  y0  y0 и  vy  vy равны нулю, уравнение упрощается до

0=v0y2−2gy. 0=v0y2−2gy.

Решение для  y  y  дает

y=v0y22g.y=v0y22g.

Теперь мы должны найти  v0y v0y, составляющую начальной скорости в направлении y . Она определяется как  v0y=v0sinθ v0y=v0sinθ, где  v0y  v0y начальная скорость 70,0 м/с, а θ=75∘  θ=75∘ начальный угол. Таким образом,

v0y=v0sinθ0=(70,0 м/с)(sin75∘)=67,6 м/sv0y=v0sinθ0=(70,0 м/с)(sin75∘)=67,6 м/с

и  y  y 

3 67,6 м/с)22(9,80 м/с2) ,y=(67,6 м/с)22(9,80 м/с2) ,

, так что

y=233 м.у.=233 м.

Обсуждение для (a)

Поскольку up положителен, начальная скорость и максимальная высота положительны, но ускорение свободного падения отрицательно. Максимальная высота зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости. Числа в этом примере разумны для больших фейерверков, снаряды которых действительно достигают такой высоты перед взрывом.

Решение для (b)

Существует несколько способов решения для времени до высшей точки. В этом случае проще всего использовать y=y0+12(v0y+vy)t y=y0+12(v0y+vy)t . Поскольку  y0  y0 равно нулю, это уравнение сводится к

y=12(v0y+vy)t.y=12(v0y+vy)t.

Обратите внимание, что конечная вертикальная скорость  vy vy в самой высокой точке равна нулю. Следовательно,

t=2y(v0y+vy)=2(233 м)(67,6 м/с)=6,90 с.t=2y(v0y+vy)=2(233 м)(67,6 м/с)=6,90 с.

Обсуждение для (б)

Это время подходит и для больших фейерверков. Когда вы сможете увидеть запуск фейерверка, вы заметите, что пройдет несколько секунд, прежде чем снаряд взорвется. Другой способ найти время — использовать y=y0+v0yt−12gt2 y=y0+v0yt−12gt2 и решить квадратное уравнение для t t.

Решение для (c)

Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь,  ax=0  ax=0 и горизонтальная скорость постоянна. Горизонтальное смещение представляет собой произведение горизонтальной скорости на время, как  x=x0+vxt x=x0+vxt, где  x0  x0 равно нулю

x=vxt,x=vxt,

, где  vx  vx является x -компонентой скорости, которая определяется как  vx=v0cosθ0. vx=v0cosθ0. Теперь

vx=v0cosθ0=(70,0 м/с)(cos75∘)=18,1 м/с. vx=v0cosθ0=(70,0 м/с)(cos75∘)=18,1 м/с.

Время  t  t для обоих движений одинаково, поэтому  x  x  равно

x=(18,1 м/с)(6,90 с)=125 м. x=(18,1 м/с)(6,90 с)=125 м.

Обсуждение для (c)

Горизонтальное движение является постоянной скоростью в отсутствие сопротивления воздуха. Найденное здесь горизонтальное смещение может быть полезно для предотвращения падения фрагментов фейерверка на зрителей. После того, как снаряд взорвется, большое влияние оказывает сопротивление воздуха, и многие осколки приземлятся прямо под ним, в то время как некоторые из осколков теперь могут иметь скорость в направлении -x из-за сил взрыва.

Выражение, которое мы нашли для  y  y  при решении части (a) предыдущей задачи, работает для любой задачи о движении снаряда, где сопротивлением воздуха можно пренебречь. Назовите максимальную высоту  y=h y=h; тогда

ч=v0y22g.h=v0y22g.

Это уравнение определяет максимальную высоту снаряда. Максимальная высота зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости.

Рабочий пример

Расчет движения снаряда: снаряд Hot Rock

Предположим, что большой камень выбрасывается из вулкана, как показано на рис. 5.32, со скоростью 25,0 м/с  25,0 м/с и под углом 35°   35°  над горизонталью. Скала ударяется о борт вулкана на высоте 20,0 м ниже его исходной точки. а) Вычислите время, за которое камень проходит этот путь.

Рис. 5.32 На диаграмме показано движение снаряда большой скалы из вулкана.

Стратегия

Разделение этого двумерного движения на два независимых одномерных движения позволит нам решить на время. Время нахождения снаряда в воздухе зависит только от его вертикального движения.

Решение

Пока камень находится в воздухе, он поднимается, а затем падает в конечное положение на 20,0 м ниже начальной высоты. Мы можем найти время для этого, используя

y=y0+v0yt−12gt2. y=y0+v0yt−12gt2.

Если принять начальное положение  y0  y0 за ноль, то конечное положение  y=−20,0 м. у=-20,0 м. Теперь начальная вертикальная скорость представляет собой вертикальную составляющую начальной скорости, найденную из

5,9 v0y=v0sinθ0=(25,0 м/с)(sin35∘)=14,3 м/с. v0y=v0sinθ0=(25,0 м/с)(sin35∘)=14,3 м/с.

Подстановка известных значений дает

−20,0 м=(14,3 м/с)t−(4,90 м/с2)t2.−20,0 м=(14,3 м/с)t−(4,90 м/с2)t2.

Перестановка членов дает квадратное уравнение in t t

(4,90 м/с2)t2−(14,3 м/с)t−(20,0 м)=0,(4,90 м/с2)t2−(14,3 м/с) t−(20,0 м)=0.

Это выражение представляет собой квадратное уравнение вида at2+bt+c=0 at2+bt+c=0, где константы равны a = 4,90, b = –14,3 и c = –20,0 . Его решения даются квадратичной формулой

t=-b±b2-4ac2a.t=-b±b2-4ac2a.

Это уравнение дает два решения: t = 3,96 и t = –1,03. Вы можете проверить эти решения в качестве упражнения. Время t = 3,96 с или –1,03 с. Отрицательное значение времени подразумевает событие до начала движения, поэтому мы его отбрасываем. Следовательно,

t=3,96 с.t=3,96 с.

Обсуждение

Время движения снаряда полностью определяется вертикальным движением. Таким образом, любой снаряд, имеющий начальную вертикальную скорость  14,3 м/с  14,3 м/с  и приземляющийся на 20,0 м ниже начальной высоты, потратит 3,96 с в воздухе.

Практические задачи

Если объект брошен горизонтально, движется со средней x-составляющей его скорости, равной 5 м/с, и не ударяется о землю, какой будет x-составляющая смещения через 20 с?

  1. −100 м
  2. −4 м
  3. 4 м
  4. 100м

Если мяч бросить прямо вверх с начальной скоростью 20 м/с, какой максимальной высоты он достигнет?

  1. −20,4 м
  2. −1,02 м
  3. 1,02 м
  4. 20,4 м

Тот факт, что вертикальное и горизонтальное движения независимы друг от друга, позволяет нам предсказать дальность полета снаряда. Дальность — это горизонтальное расстояние R , пройденное снарядом на ровной поверхности, как показано на рис. 5.33. На протяжении всей истории люди интересовались поиском диапазона снарядов для практических целей, например, для наведения пушек.

Рисунок 5.33 Траектории снарядов на ровной местности. (а) Чем больше начальная скорость v0 v0, тем больше диапазон для данного начального угла. (б) Влияние начального угла θ0  θ0 на дальность полета снаряда с заданной начальной скоростью. Обратите внимание, что любая комбинация траекторий, которая в сумме составляет 90 градусов, будет иметь одинаковую дальность при отсутствии сопротивления воздуха, хотя максимальные высоты этих траекторий различны.

Как начальная скорость снаряда влияет на его дальность? Очевидно, чем больше начальная скорость v0 v0, тем больше диапазон, как показано на рисунке выше. Начальный угол  θ0  θ0  также сильно влияет на дальность. Когда сопротивление воздуха пренебрежимо мало, дальность  R  R  снаряда на уровень земли это

R=v02sin2θ0g, R=v02sin2θ0g,

, где v0  v0 начальная скорость, а θ0  θ0 начальный угол относительно горизонтали. Важно отметить, что диапазон не применяется к задачам, в которых начальное и конечное положение y различаются, или к случаям, когда объект запускается строго горизонтально.

Виртуальная физика

Движение снаряда

В этой симуляции вы узнаете о движении снаряда, стреляя по объектам из пушки. Вы можете выбирать между такими объектами, как корпус танка, мяч для гольфа или даже Бьюик. Поэкспериментируйте с изменением угла, начальной скорости и массы и добавлением сопротивления воздуха. Сделайте игру из этой симуляции, пытаясь поразить цель.

Рисунок 5.34 Щелкните здесь для моделирования

Проверка захвата

Если снаряд запущен на ровной поверхности, какой угол запуска обеспечивает максимальную дальность полета снаряда?

  1. 0∘
  2. 30∘
  3. 45∘
  4. 60∘

Проверьте свое понимание

Упражнение 7

Что такое движение снаряда?

  1. Снарядное движение — это движение предмета, выбрасываемого в воздух под действием силы тяжести.