Средняя линия треугольника и площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

   

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

   

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

   

Вывод:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Если MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Поскольку

   

то 

   

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то 

   

то есть

   

Вывод:

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

   

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

   

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Найти площадь треугольника, средняя линия

Рассмотрим задачу на  подобие, где требуется найти площадь треугольника, средняя линия которого делит его на части.

Утверждение.

Средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3.

    Дано: ∆ ABC,

FK — средняя линия

Доказать:

   

Доказательство:

 

Рассмотрим ∆ FCK и ∆ ACB

 

 

 

По свойству средней линии треугольника, FK∥AB и FK=1/2 AB.

Отсюда, ∠CFK=∠CAB (как соответственные при FK∥AB и секущей AC).

∠C — общий.

Следовательно, ∆ FCK и ∆ ACB подобны (по двум углам).

Так как площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

   

Таким образом,

   

а так как

   

Итак, средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых, соответственно, составляют одну четверть и три четверти от площади исходного треугольника, значит,

   

Что и требовалось доказать.

Задача.

    Дано:

∆ ABC,

F — середина AC,

K — середина BC,

   

Найти:

   

Решение:

Пусть

   

По доказанному выше утверждению,

   

Значит,

   

Поскольку

   

   

   

   

Ответ: 18 см².

Средняя линия треугольника, теория в ЕГЭ по математике

\[{\Large{\text{Подобие треугольников}}}\]

Определения

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого

(стороны называются сходственными, если они лежат напротив равных углов).

 

Коэффициент подобия (подобных) треугольников – это число, равное отношению сходственных сторон этих треугольников.


 

Определение

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

 

Теорема

Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

 

Доказательство

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) со сторонами \(a,b,c\) и \(a_1, b_1, c_1\) соответственно (см. рисунок выше).

 

Тогда \(P_{ABC}=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_{A_1B_1C_1}\)

 

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

 

Доказательство

Пусть треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, причём \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = k\). Обозначим буквами \(S\) и \(S_1\) площади этих треугольников соответственно.


 

Так как \(\angle A = \angle A_1\), то \(\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}\) (по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу).

 

Так как \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = k\), то \(\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1}\cdot\dfrac{AC}{A_1C_1} = k\cdot k = k^2\), что и требовалось доказать.  

\[{\Large{\text{Признаки подобия треугольников}}}\]

Теорема (первый признак подобия треугольников)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Пусть \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) – треугольники такие, что \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Тогда по теореме о сумме углов треугольника \(\angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — \angle A_1 — \angle B_1 = \angle C_1\), то есть углы треугольника \(ABC\) соответственно равны углам треугольника \(A_1B_1C_1\).


 

Так как \(\angle A = \angle A_1\) и \(\angle B = \angle B_1\), то \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot AC}{A_1B_1\cdot A_1C_1}\) и \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \dfrac{AB\cdot BC}{A_1B_1\cdot B_1C_1}\).

 

Из этих равенств следует, что \(\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1}\).

 

Аналогично доказывается, что \(\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1}\) (используя равенства \(\angle B = \angle B_1\), \(\angle C = \angle C_1\)).

 

В итоге, стороны треугольника \(ABC\) пропорциональны сходственным сторонам треугольника \(A_1B_1C_1\), что и требовалось доказать.

 

Теорема (второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Рассмотрим два треугольника \(ABC\) и \(A’B’C’\), таких что \(\dfrac{AB}{A’B’}=\dfrac{AC}{A’C’}\), \(\angle BAC = \angle A’\). Докажем, что треугольники \(ABC\) и \(A’B’C’\) – подобны. Учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно показать, что \(\angle B = \angle B’\).


 

Рассмотрим треугольник \(ABC»\), у которого \(\angle 1 = \angle A’\), \(\angle 2 = \angle B’\). Треугольники \(ABC»\) и \(A’B’C’\) подобны по первому признаку подобия треугольников, тогда \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC»}{A’C’}\).

 

С другой стороны, по условию \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’}\). Из последних двух равенств следует, что \(AC = AC»\).

 

Треугольники \(ABC\) и \(ABC»\) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \(\angle B = \angle 2 = \angle B’\).

 

Теорема (третий признак подобия треугольников)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

Доказательство

Пусть стороны треугольников \(ABC\) и \(A’B’C’\) пропорциональны: \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}\). Докажем, что треугольники \(ABC\) и \(A’B’C’\) подобны.


 

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что \(\angle BAC = \angle A’\).

 

Рассмотрим треугольник \(ABC»\), у которого \(\angle 1 = \angle A’\), \(\angle 2 = \angle B’\).

 

Треугольники \(ABC»\) и \(A’B’C’\) подобны по первому признаку подобия треугольников, следовательно, \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{BC»}{B’C’} = \dfrac{C»A}{C’A’}\).

 

Из последней цепочки равенств и условия \(\dfrac{AB}{A’B’} = \dfrac{AC}{A’C’} = \dfrac{BC}{B’C’}\) вытекает, что \(BC = BC»\), \(CA = C»A\).

 

Треугольники \(ABC\) и \(ABC»\) равны по трем сторонам, следовательно, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A’\).


 

\[{\Large{\text{Теорема Фалеса}}}\]

Теорема

Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.

 

Доказательство

Докажем сначала лемму: Если в \(\triangle OBB_1\) через середину \(A\) стороны \(OB\) проведена прямая \(a\parallel BB_1\), то она пересечет сторону \(OB_1\) также в середине.

 

Через точку \(B_1\) проведем \(l\parallel OB\). Пусть \(l\cap a=K\). Тогда \(ABB_1K\) — параллелограмм, следовательно, \(B_1K=AB=OA\) и \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\) как вертикальные. Значит, по второму признаку \(\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Лемма доказана.

 

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть \(OA=AB=BC\), \(a\parallel b\parallel c\) и нужно доказать, что \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\).

 

Таким образом, по данной лемме \(OA_1=A_1B_1\). Докажем, что \(A_1B_1=B_1C_1\). Проведем через точку \(B_1\) прямую \(d\parallel OC\), причем пусть \(d\cap a=D_1, d\cap c=D_2\). Тогда \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) — параллелограммы, следовательно, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\). Таким образом, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\) как вертикальные, \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\) как накрест лежащие, и, значит, по второму признаку \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

 

Теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

 

Доказательство

Пусть параллельные прямые \(p\parallel q\parallel r\parallel s\) разбили одну из прямых на отрезки \(a, b, c, d\). Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки \(ka, kb, kc, kd\) соответственно, где \(k\) – некоторое число, тот самый коэффициент пропорциональности отрезков.

 

Проведем через точку \(A_1\) прямую \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) — параллелограмм, следовательно, \(AB=A_1B_2\)). Тогда \(\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\) по двум углам. Следовательно, \(\dfrac{OA}{A_1B_2}=\dfrac{OA_1}{A_1B_1} \Rightarrow A_1B_1=kb\).

Аналогично проведем через \(B_1\) прямую \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\) и т.д.


 

\[{\Large{\text{Средняя линия треугольника}}}\]

Определение

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.

 

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

 

Доказательство

1) Параллельность средней линию основанию следует из доказанной выше леммы.

 

2) Докажем, что \(MN=\dfrac12 AC\).

 

Через точку \(N\) проведем прямую параллельно \(AB\). Пусть эта прямая пересекла сторону \(AC\) в точке \(K\). Тогда \(AMNK\) — параллелограмм (\(AM\parallel NK, MN\parallel AK\) по предыдущему пункту). Значит, \(MN=AK\).

 

Т.к. \(NK\parallel AB\) и \(N\) – середина \(BC\), то по теореме Фалеса \(K\) – середина \(AC\). Следовательно, \(MN=AK=KC=\dfrac12 AC\).

 

Следствие

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом \(\frac12\).

Средняя линия треугольника | Треугольники

Что такое средняя линия треугольника?

Каковы свойства средней линии треугольника?

Сколько средних линий в треугольнике?

Определение.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

M — середина AB,

N — середина BC.

MN — средняя линия треугольника ABC.

 

Поскольку в треугольнике три стороны, треугольник имеет три средние линии.

 

MN, MP, PN — средние линии треугольника ABC.

 

 

Теорема (Свойства средней линии треугольника).

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:

   

   

Задача.

Стороны треугольника равны a, b, c. Найти стороны и периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

    Дано: ∆ ABC, AB=c, BC=a, AC=b,

M — середина AB, N — середина BC,

P — середина AC.

Найти: MN, PN, MP, P(∆ ABC).

Решение:

Так как точки M, N и P являются серединами сторон треугольника ABC, то отрезки MN, PN и MP- средние линии этого треугольника (по определению).

По свойству средней линии треугольника

   

   

   

Периметр треугольника MNP

   

   

Заметим, что

   

откуда

   

то есть периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен половине периметра данного треугольника.

 

Обзор центров треугольников

— Math Open Reference

Обзор центров треугольников — Открытый справочник по математике

Тысячи лет назад, когда греческие философы закладывали первые основы геометрии, кто-то экспериментировал с треугольниками. Они разделили два угла пополам и заметили, что биссектриса угла скрещена. Они нарисовали третью биссектрису и с удивлением обнаружили, что она тоже проходит через ту же точку. Должно быть, они думали это было просто совпадение.Но когда они нарисовали любой треугольник , они обнаружили, что биссектрисы всегда пересекаются в одной точке! Это должен быть «центр» треугольника. По крайней мере, они так думали.

После некоторых экспериментов они обнаружили другие удивительные вещи. Например, высоты треугольника также проходят через единственную точку (ортоцентр). Но не то же самое, что и раньше. Еще один центр! Затем они обнаружили, что медианы проходят через еще одну точку.В отличие, скажем, от круга, треугольник, очевидно, имеет более одного «центра».

Точки пересечения этих различных линий называются треугольниками. точки параллелизма.

Некоторые центры треугольников

Есть много типов треугольных центров. Ниже приведены четыре распространенных. Для каждого есть страница. Щелкните ссылку, чтобы узнать больше.

В случае равностороннего треугольник, центр окружности, центр описанной окружности и центроид — все находятся в одной и той же точке.

Сколько центров у треугольника?

Много. Со временем математики обнаружили намного больше. Некоторые из них имеют такие названия, как «Точка Аполлония» и «Точка симмедианы». Многие из них экзотичны и выходят за рамки этого тома.

Прочие треугольники

Общие

Периметр / Площадь

Типы треугольников

Центры треугольника

Конгруэнтность и сходство

Решение треугольников

Треугольник викторины и упражнения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

,

треугольников — равносторонние, равнобедренные и чешуйчатые

Треугольник имеет три стороны и три угла

Три угла всегда складываются в 180 °

Равносторонний, равнобедренный и чешуйчатый

Треугольникам даны три специальных имени, которые показывают, сколько сторон (или углов) равны.

Может быть 3 , 2 или нет равных сторон / углов:

Равносторонний треугольник

Три равных стороны
Три равных угла, всегда 60 °

Равнобедренный треугольник

Две равные стороны
Два равных угла

Скаленовый треугольник

Нет равные стороны
Нет равные углы


Как запомнить? По алфавиту идут 3, 2, нет:

  • Равносторонний : «равный» — боковой (боковая означает боковую), поэтому у них все равные стороны
  • Равнобедренный : означает «равные ноги», а у нас две ноги , верно? Также i SOS celes имеет два одинаковых «S ides», соединенных стороной « O dd».
  • Скален : означает «неровный» или «нечетный», поэтому нет равных сторон.

Какой тип угла?

Треугольники также могут иметь имена, которые сообщают вам, какой тип угла находится внутри :

Острый треугольник

Все углы меньше 90 °

Прямой треугольник

Имеет прямой угол (90 °)

Тупой треугольник

Имеет угол более 90 °


Объединение имен

Иногда у треугольника будет два имени, например:

Правый равнобедренный треугольник

Имеет прямой угол (90 °), а также два равных угла.

Вы можете угадать, каковы равные углы?

Поиграй с ним…

Попробуйте перетащить точки и составить разные треугольники:

Вы также можете поиграть с Интерактивным треугольником.

Уголки

Три внутренних угла всегда составляют 180 °

Периметр

Периметр — это расстояние по краю треугольника: просто сложите три стороны:

Площадь

Площадь составляет , половина базовой, умноженная на высоту .

  • «b» — расстояние по базе
  • «h» — высота (измеренная под прямым углом к ​​основанию)

Площадь = ½ × ш × в

Формула работает для всех треугольников.

Примечание: более простой способ записать формулу — bh / 2

Пример: Какова площадь этого треугольника?

(Примечание: 12 — это высота , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ × b × h = ½ × 20 × 12 = 120

Основание может быть любой стороной. Убедитесь, что «высота» измеряется под прямым углом к ​​»основанию». :

(Примечание: вы также можете рассчитать площадь по длинам всех трех сторон, используя формулу Герона.)

Почему область «половина bh»?

Представьте, что вы «удвоили» треугольник (перевернули его вокруг одного из верхних краев), чтобы получилась квадратная форма (параллелограмм), которую можно преобразовать в простой прямоугольник:

ЗАТЕМ вся площадь составляет bh , что соответствует обоим треугольникам, поэтому только один будет ½ × bh .

,

Площадь треугольника (традиционный метод) с калькулятором

Площадь треугольника (традиционный метод) с калькулятором — Math Open Reference Количество квадратных единиц, необходимое для точного заполнения интерьера треугольник. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину чтобы изменить форму треугольника. Показанная формула пересчитает площадь с использованием этого метода.

Самый распространенный метод

Площадь треугольника, обычно называемая «половина основания, умноженная на высоту», определяется по формуле ниже. где b — длина база
a — длина соответствующего высота над уровнем моря

Вы можете выбрать любую сторону, чтобы быть основание. Это не обязательно должен быть тот, который нарисован внизу треугольника. Высота должен быть тот, который соответствует выбранной вами базе. Высота — это линия, перпендикулярная выбранному основанию от противоположной вершины.

На рисунке выше одна сторона выбрана в качестве основания и показана соответствующая высота.

Калькулятор

Используйте калькулятор выше, чтобы вычислить площадь треугольника.

Введите любые два значения, и будет рассчитано другое.Например: введите базу и высоту и нажмите «Рассчитать». Площадь будет рассчитана.

Точно так же, если вы войдете в область и базу, будет рассчитана высота, необходимая для получения этой области.

Методы определения площади треугольника

Что стоит попробовать

На рисунке выше нажмите «высота замораживания». Теперь, когда вы перетаскиваете точку A, обратите внимание, что область не меняется. Площадь зависит от основания и высоты, и ни один из них не меняется, когда вы перемещаете верхнюю вершину из стороны в сторону.Следовательно, все треугольники, которые вы можете создать таким образом, имеют одинаковую площадь.

Другие темы треугольника

Общие

Периметр / Площадь

Типы треугольников

Центры треугольника

Конгруэнтность и сходство

Решение треугольников

Треугольник викторины и упражнения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

,

Площадь треугольника (метод сторона-угол-сторона) с калькулятором

Площадь треугольника (метод стороны-угла-стороны) с калькулятором — Math Open Reference где a, b — две известные стороны, а C — включенный угол. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждый вершина чтобы изменить форму треугольника. Показанная формула пересчитает площадь с использованием этого метода.

Площадь треугольника, обычно называемого методом «бокового угла», определяется по формуле ниже.Хотя он использует функцию синуса тригонометрии, он работает с любым треугольником, а не только прямоугольные треугольники. , где
a и b — длины двух сторон треугольника
C — включенный угол (угол между двумя известными сторонами)

Калькулятор

Воспользуйтесь калькулятором выше, чтобы вычислить площадь треугольника с двумя сторонами и угол между ними.

Как это работает

Этот метод на самом деле является продолжением обычного метод «половина основания, умноженная на высоту».
На рисунке выше площадь определяется по формуле Но нам не дана h — высота. Но нам даны сторона a и угол C. Мы знаем, что Транспонирование Подставляя это в верхнее уравнение, мы получаем

Методы определения площади треугольника

Попробуй

  1. На рисунке выше нажмите «Скрыть детали»
  2. Перетащите вершины треугольника, чтобы создать новую форму
  3. Рассчитайте площадь с помощью этого метода
  4. Нажмите «Показать подробности», чтобы подтвердить свой ответ.

Другие темы треугольника

Общий

Периметр / Площадь

Типы треугольников

Центры треугольника

Конгруэнтность и сходство

Решение треугольников

Треугольник викторины и упражнения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

,