Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше чем 2: Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше чем вторая труба. Сколько литров…

Поскольку жидкости практически несжимаемы, уравнение неразрывности справедливо для всех жидкостей. Однако газы сжимаемы, поэтому уравнение следует применять с осторожностью к газам, если они подвергаются сжатию или расширению.

Пример 2. Расчет скорости жидкости: скорость увеличивается при сужении трубы

Насадка с радиусом 0,250 см присоединена к садовому шлангу с радиусом 0,900 см. Скорость потока через шланг и сопло составляет 0,500 л/с. Рассчитайте скорость воды (а) в шланге и (б) в насадке.

Стратегия

Мы можем использовать соотношение между расходом и скоростью, чтобы найти обе скорости. Мы будем использовать нижний индекс 1 для шланга и 2 для сопла. 92}}[/latex][latex]\boldsymbol{=\:1. 2}[/latex]вместо площади поперечного сечения, получим 92}}[/latex][latex]\boldsymbol{1,96\textbf{ м/с}=25,5\textbf{ м/с}}.[/latex]

Обсуждение

Скорость 1,96 м/с примерно подходит для воды, вытекающей из шланга без насадок. Форсунка создает значительно более быстрый поток, просто сужая поток в более узкую трубку.

Решение последней части примера показывает, что скорость обратно пропорциональна квадрату радиуса трубы, что приводит к большим эффектам при изменении радиуса. Мы можем задуть свечу на довольно большом расстоянии, например, сжав губы, тогда как задувание свечи с широко открытым ртом совершенно неэффективно.

Во многих ситуациях, в том числе в сердечно-сосудистой системе, происходит разветвление потока. Кровь перекачивается из сердца в артерии, которые подразделяются на более мелкие артерии (артериолы), которые разветвляются на очень тонкие сосуды, называемые капиллярами. В этой ситуации непрерывность потока сохраняется, но сохраняется сумма расходов расходов в каждой из ветвей на любом участке вдоль трубы. Уравнение неразрывности в более общем виде принимает вид

[латекс]\boldsymbol{n_1A_1\бар{v}_1=n_2A_2\бар{v}_2},[/латекс]

где[latex]\boldsymbol{n_1}[/latex]и[latex]\boldsymbol{n_2}[/latex]количество ответвлений на каждом из участков вдоль трубы.

Пример 3: расчет скорости кровотока и диаметра сосуда: разветвления в сердечно-сосудистой системе

Аорта является основным кровеносным сосудом, по которому кровь покидает сердце, чтобы циркулировать по всему телу. а) Рассчитайте среднюю скорость движения крови в аорте при скорости потока 5,0 л/мин. Аорта имеет радиус 10 мм. (б) Кровь также течет через более мелкие кровеносные сосуды, известные как капилляры. При скорости кровотока в аорте 5,0 л/мин скорость крови в капиллярах составляет около 0,33 мм/с. Учитывая, что средний диаметр капилляра составляет[latex]\boldsymbol{8.0\:\mu},[/latex]рассчитайте количество капилляров в системе кровообращения. 92}}[/latex][latex]\boldsymbol{=\:0.27\textbf{ м/с.}}[/latex]

Решение для (b)

Использование[latex]\boldsymbol{n_1A_1\ bar{v}_1=n_2A_2\bar{v}_1},[/latex]присваивая индекс 1 аорте и 2 капиллярам, ​​и находя[latex]\boldsymbol{n_2}[/latex](число капилляров) дает[latex]\boldsymbol{n_2=\frac{n_1A_1\bar{v}_1}{A_2\bar{v}_2}}. 93}.[/латекс]

расход

, сокращенно Q , это объем V , протекающий через определенную точку за время t , или Q = V/t

литр

единица объема, равная 10 ⁻³ м ³

Расход и его связь со скоростью

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Рассчитать расход.
• Определить единицы объема.
• Опишите несжимаемые жидкости.
• Объясните следствия уравнения неразрывности.

Скорость потока  Q определяется как объем жидкости, проходящей в каком-либо месте через область в течение периода времени, как показано на рисунке 1. Символами это может быть записано как

[латекс ]Q=\frac{V}{t}\\[/latex],

, где V — объем, t — прошедшее время. Единицей СИ для расхода является м ³ /с, но широко используется ряд других единиц для Q . Например, сердце покоящегося взрослого человека перекачивает кровь со скоростью 5,00 литров в минуту (л/мин). Обратите внимание, что литра (л) составляет 1/1000 кубического метра или 1000 кубических сантиметров (10 ^-3 м ³  или 10 ³  см ³ ). В этом тексте мы будем использовать любые метрические единицы, наиболее удобные для данной ситуации.

Рис. 1. Расход – это объем жидкости в единицу времени, протекающий через точку через площадь A . Здесь заштрихованный цилиндр жидкости течет мимо точки P по однородной трубе за время t . Объем цилиндра равен Ad  , а средняя скорость равна [латекс]\overline{v}=d/t\\[/latex], так что скорость потока равна [латекс]Q=\text{Ad}/t =A\overline{v}\\[/латекс] .

Пример 1. Расчет объема по скорости кровотока: сердце перекачивает много крови за всю жизнь

Сколько кубических метров крови перекачивает сердце за 75 лет жизни, если предположить, что средняя скорость кровотока составляет 5,00 л/мин?

Время и расход Q даны, поэтому объем V можно рассчитать из определения расхода.

Решение Q = V / t для объема дает

V = Qt. 9{3}\end{массив}\\[/латекс].

Это количество составляет около 200 000 тонн крови. Для сравнения, это значение примерно в 200 раз превышает объем воды, содержащейся в 50-метровом плавательном бассейне с 6 дорожками.

Расход и скорость являются связанными, но совершенно разными физическими величинами. Чтобы прояснить различие, подумайте о скорости течения реки. Чем больше скорость воды, тем больше расход реки. Но скорость течения также зависит от размера реки. Быстрый горный поток несет гораздо меньше воды, чем, например, река Амазонка в Бразилии. Точное соотношение между расходом Q и скорость [латекс]\bar{v}\\[/латекс] равна

[латекс]Q=A\overline{v}\\[/латекс],

, где A — площадь поперечного сечения, а [латекс]\bar{v}\\[/латекс] — средняя скорость. Это уравнение кажется достаточно логичным. Соотношение говорит нам, что скорость потока прямо пропорциональна как величине средней скорости (далее называемой скоростью), так и размеру реки, трубы или другого водовода. Чем больше трубопровод, тем больше его площадь поперечного сечения. На рисунке 1 показано, как получается это соотношение. Заштрихованный цилиндр имеет объем

V = Ad,

который проходит через точку P за время t . Разделив обе части этого соотношения на t , мы получим

[латекс]\frac{V}{t}=\frac{Ad}{t}\\[/latex].

Заметим, что Q = V / t и средняя скорость [латекс]\overline{v}=d/t\\[/латекс]. Таким образом, уравнение принимает вид [латекс]Q=A\overline{v}\\[/латекс]. На рисунке 2 показана несжимаемая жидкость, текущая по трубе с уменьшающимся радиусом. Поскольку жидкость несжимаема, через любую точку трубки за заданное время должно пройти одинаковое количество жидкости, чтобы обеспечить непрерывность потока. В этом случае, поскольку площадь поперечного сечения трубы уменьшается, скорость обязательно должна увеличиваться. Эту логику можно расширить, чтобы сказать, что скорость потока должна быть одинаковой во всех точках трубы. В частности, для пунктов 1 и 2,

[латекс]\begin{cases}Q_{1} &=& Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &=&A_{2}v_{2} \end{cases}\\[/ латекс]

Это называется уравнением неразрывности и справедливо для любой несжимаемой жидкости. Следствия уравнения неразрывности можно наблюдать, когда вода течет из шланга в узкую форсунку: она выходит с большой скоростью — в этом назначение форсунки. И наоборот, когда река впадает в один конец водохранилища, вода значительно замедляется и, возможно, снова набирает скорость, когда выходит из другого конца водохранилища. Другими словами, скорость увеличивается, когда площадь поперечного сечения уменьшается, и скорость уменьшается, когда площадь поперечного сечения увеличивается.

Рис. 2. Когда трубка сужается, тот же объем занимает большую длину. Чтобы один и тот же объем прошел точки 1 и 2 за заданное время, скорость должна быть больше в точке 2. Процесс точно обратим. Если жидкость течет в противоположном направлении, ее скорость будет уменьшаться при расширении трубы. (Обратите внимание, что относительные объемы двух цилиндров и соответствующие стрелки вектора скорости нарисованы не в масштабе.)

Поскольку жидкости практически несжимаемы, уравнение неразрывности справедливо для всех жидкостей. Однако газы сжимаемы, поэтому уравнение следует применять с осторожностью к газам, если они подвергаются сжатию или расширению.

Пример 2. Расчет скорости жидкости: скорость увеличивается при сужении трубы

Насадка радиусом 0,250 см присоединена к садовому шлангу радиусом 0,900 см. Скорость потока через шланг и сопло составляет 0,500 л/с. Рассчитайте скорость воды (а) в шланге и (б) в насадке.

Мы можем использовать соотношение между расходом и скоростью, чтобы найти обе скорости. Мы будем использовать нижний индекс 1 для шланга и 2 для сопла. 9{2}}=1,96\text{ м/с}\\[/латекс].

Мы могли бы повторить этот расчет, чтобы найти скорость в сопле [латекс]\bar{v}_{2}\\[/латекс], но мы будем использовать уравнение неразрывности дать несколько иное представление. Используя уравнение, которое устанавливает

[латекс]{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={A}_{2}{\overline{v}}_{2}\\[ /латекс],

решение для [латекс]{\overline{v}}_{2}\\[/латекс] и подстановка πr ² площади поперечного сечения дает 9{2}}1,96\text{ м/с}=25,5 \text{ м/с}\\[/латекс].

Скорость 1,96 м/с подходит для воды, вытекающей из шланга без насадки. Форсунка создает значительно более быстрый поток, просто сужая поток в более узкую трубку.

Решение последней части примера показывает, что скорость обратно пропорциональна квадрату радиуса трубы, что приводит к большим эффектам при изменении радиуса. Мы можем задуть свечу на довольно большом расстоянии, например, сжав губы, тогда как задувание свечи с широко открытым ртом совершенно неэффективно. Во многих ситуациях, в том числе и в сердечно-сосудистой системе, происходит разветвление течения. Кровь перекачивается из сердца в артерии, которые подразделяются на более мелкие артерии (артериолы), которые разветвляются на очень тонкие сосуды, называемые капиллярами. В этой ситуации непрерывность потока сохраняется, но это сумма расходов в каждой из ветвей на любом участке обслуживаемой трубы. Уравнение непрерывности в более общем виде принимает вид

[латекс]{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{A }_{2}{\overline{v}}_{2}\\[/latex],

, где n ₁ и n ₂ — количество ответвлений в каждом из участков вдоль трубка.

Пример 3. Расчет скорости кровотока и диаметра сосуда: разветвление в сердечно-сосудистой системе

Аорта является основным кровеносным сосудом, по которому кровь покидает сердце, чтобы циркулировать по всему телу. а) Рассчитайте среднюю скорость движения крови в аорте при скорости потока 5,0 л/мин. Аорта имеет радиус 10 мм. (б) Кровь также течет через более мелкие кровеносные сосуды, известные как капилляры. При скорости кровотока в аорте 5,0 л/мин скорость крови в капиллярах составляет около 0,33 мм/с. Учитывая, что средний диаметр капилляра составляет 8,0  мкм м, рассчитайте количество капилляров в системе кровообращения. 9{2}}=0,27\text{ м/с}\\[/латекс].

Использование [латекса]{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}={n}_{2}{A }_{2}{\overline{v}}_{1}\\[/latex], присваивая индекс 1 аорте и 2 капиллярам и находя n ₂ (количество капилляров ) дает [латекс]{n}_{2}=\frac{{n}_{1}{A}_{1}{\overline{v}}_{1}}{{A}_{2} {\overline{v}}_{2}}\\[/латекс]. Преобразование всех величин в единицы метров и секунд и подстановка в приведенное выше уравнение дает 9{9}\text{капилляры}\\[/латекс].

Обратите внимание, что скорость кровотока в капиллярах значительно снижена по сравнению со скоростью в аорте из-за значительного увеличения общей площади поперечного сечения капилляров. Эта низкая скорость должна дать достаточно времени для эффективного обмена, хотя не менее важно, чтобы поток не становился стационарным, чтобы избежать возможности свертывания крови. Кажется ли разумным такое большое количество капилляров в организме? В активной мышце находится около 200 капилляров на мм 9 .0228 3 , или примерно 200×10 ⁶ на 1 кг мышц. Для 20 кг мышц это составляет примерно 4 × 10 90 228 9 90 229 капилляров.

Резюме раздела

• Скорость потока  Q  определяется как объем V  , протекающий через момент времени  t , или [latex]Q=\frac{V}{t}\\[/latex ] где V — объем, а t — время.
• Единица объема в системе СИ: м ³ .
• Другой распространенной единицей измерения является литр (л), который равен 10 ^-3 м ³ .
• Расход и скорость связаны соотношением [латекс]Q=A\overline{v}\\[/latex], где A  – площадь поперечного сечения потока, а [латекс]\overline{v}\\[ /латекс] — его средняя скорость.
• Для несжимаемых жидкостей скорость потока в различных точках постоянна. То есть

[латекс]\begin{cases}Q_{1} &=& Q_{2}\\ A_{1}v_{1} &=&A_{2}v_{2}\\ n_{1}A_{1 }\bar{v}_{1} &=& n_{2}A_{2}\bar{v}_{2}\end{case}\\[/latex].

Концептуальные вопросы

1. В чем разница между расходом и скоростью жидкости? Как они связаны?

2. На многих рисунках в тексте показаны линии тока. Объясните, почему скорость жидкости наибольшая там, где линии тока расположены ближе всего друг к другу. (Подсказка: рассмотрите взаимосвязь между скоростью жидкости и площадью поперечного сечения, через которое она течет. )

3. Назовите несжимаемые и несжимаемые вещества.

Задачи и упражнения

1. Каков средний расход бензина в см ³ /с в двигатель автомобиля, движущегося со скоростью 100 км/ч, если он составляет в среднем 10,0 км/л?

2. Сердце взрослого человека в состоянии покоя перекачивает кровь со скоростью 5,00 л/мин. (a) Преобразуйте это в см ³ /с. б) Чему равна эта скорость в м ³ /с?

3. Кровь перекачивается из сердца со скоростью 5,0 л/мин в аорту (радиусом 1,0 см). Определить скорость движения крови по аорте.

4. Кровь течет по артерии радиусом 2 мм со скоростью 40 см/с. Определить скорость кровотока и объем, проходящий через артерию за 30 с.

5. Водопад Хука на реке Вайкато — одна из самых посещаемых природных достопримечательностей Новой Зеландии (см. рис. 3). Средний расход реки составляет около 300 000 л/с. В ущелье река сужается до 20 м в ширину и достигает в среднем 20 м глубины. а) Какова средняя скорость течения реки в ущелье? б) Какова средняя скорость воды в реке ниже по течению от водопада, когда она расширяется до 60 м, а ее глубина увеличивается в среднем до 40 м?

Рис. 3. Водопад Хука в Таупо, Новая Зеландия, демонстрирует скорость потока. (кредит: RaviGogna, Flickr)

6. Основная артерия с площадью поперечного сечения 1,00 см ²  разветвляется на 18 меньших артерий, каждая со средней площадью поперечного сечения 0,400 см ² . Во сколько раз уменьшается средняя скорость крови при переходе в эти ветви?

7. (a) Когда кровь проходит через капиллярное русло в органе, капилляры соединяются, образуя венулы (мелкие вены). При увеличении скорости крови в 4,00 раза и общей площади поперечного сечения венул 10,0 см ² , какова общая площадь поперечного сечения капилляров, питающих эти венулы? (б) Сколько капилляров задействовано, если их средний диаметр 10,0 мкм м?

8. Кровеносная система человека имеет приблизительно 1 × 10 ⁹ капиллярных сосудов. Каждый сосуд имеет диаметр около 8 мкм м. Предполагая, что сердечный выброс составляет 5 л/мин, определите среднюю скорость кровотока через каждый капиллярный сосуд.

9. (a) Оцените время, необходимое для наполнения частного бассейна вместимостью 80 000 л из садового шланга с расходом 60 л/мин. б) Сколько времени потребовалось бы для заполнения, если бы вы могли отвести реку среднего размера, текущую на высоте 5000 м 9 ?0228 3 /с, туда?

10. Скорость тока крови через капилляр радиусом 2,00×10 ^-6 -3,80×10 ⁹ . а) Какова скорость кровотока? (Эта небольшая скорость дает время для диффузии материалов в кровь и из крови.) (b) Если предположить, что вся кровь в организме проходит через капилляры, сколько их должно быть, чтобы обеспечить общий поток 90,0 см ³ / с? (Полученное большое число является завышенным, но все же разумным.)

11. (a) Какова скорость жидкости в пожарном шланге диаметром 9,00 см, по которому течет 80,0 л воды в секунду? б) Какова скорость потока в кубических метрах в секунду? (c) Были бы ваши ответы другими, если бы соленая вода заменила пресную воду в пожарном шланге?

12. Диаметр главного воздухозаборника калорифера нагнетательного газового 0,300 м. Какова средняя скорость воздуха в воздуховоде, если каждые 15 мин по нему проходит объем, равный внутреннему объему дома? Внутренний объем дома эквивалентен прямоугольному массиву шириной 13,0 м, длиной 20,0 м и высотой 2,75 м.

13. Вода движется со скоростью 2,00 м/с по шлангу с внутренним диаметром 1,60 см. а) Какова скорость потока в литрах в секунду? (b) Скорость жидкости в насадке этого шланга составляет 15,0 м/с. Какой внутренний диаметр сопла?

14. Докажите, что скорость движения несжимаемой жидкости через сужение, например, в трубе Вентури, увеличивается на коэффициент, равный квадрату коэффициента, на который уменьшается диаметр. (Обратное верно для вытекания из сужения в область большего диаметра.)

15. Вода течет прямо из крана диаметром 1,80 см со скоростью 0,500 м/с. (Из-за конструкции крана скорость потока не меняется.) а) Какова скорость потока в см 90 228 3 90 229 /с? б) Каков диаметр ручья на 0,200 м ниже крана? Эффектами поверхностного натяжения пренебречь.

16. Необоснованные результаты Горный ручей имеет ширину 10,0 м и среднюю глубину 2,00 м. В весенний период сток в ручье достигает 100 000 м ³ /с. а) Какова средняя скорость потока при этих условиях? б) Что неразумного в этой скорости? (c) Что является неразумным или непоследовательным в предпосылках?

Глоссарий

расход:

, сокращенно Q , это объем V , протекающий через определенную точку за время t , или Q = V/t

литр:

единица объема, равная 10 ⁻³ м ³

Избранные решения задач и упражнений

1. 2,78 см ³ /с

3. 27 см/с

5. (а) 0,75 м/с (б) 0,13 м/с 9,00027 0,0005

9. (а) 22 ч (б) 0,016 с

11. (а) 12,6 м/с (б) 9 0,0228 м 3 9 0,0820 м 3 s (c) Нет, не зависит от плотности.

13. (a) 0,402 л/с (b) 0,584 см

15.