Найдите четырехзначное число которое в 4 раза меньше четвертой степени: 19. Найдите четырёхзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого... Ященко И. В. ЕГЭ-2017 Математика ГДЗ. Вариант 6.

Рабочая тетрадь «Практикум по решению задач. Задача № 19(базовый уровень)»

Рабочая тетрадь

Практикум по решению задач

Задача № 19

(базовый уровень)

Глава I Понятие делимости. Признаки делимости

Теоретический материал

___

abc = 100a + 10b + c

____

abcd = 1000a + 100b + 10c + d

Пример: 2345 = 1000·2 + 100·3 + 10·4 + 5

Число n называется кратным некоторому натуральному числу m, если оно нацело делится на m. При этом говорят, что n кратно m.

Признаки делимости

Число делится на 2, если оно заканчивается четной цифрой или нулём.

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях — не делится.

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие — не делятся.

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае — не делится.

Число делится на 7, если разность — это число без его последней цифры минус удвоенная последняя цифра — делится на 7.

___ __

abc делится на 7, если ab – 2c делится на 7

343 делится на 7, так как 34-6= 28 делится на 7

Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях — не делится.

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 — только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 — только те, у которых три последние цифры нули.

Если нужно выяснить, делится ли заданное число на некоторое составное число, необходимо разложить это составное число на множители (признаки которых вам известны) и проверить делимость исходного числа на эти множители.

Если число делится на 27, то это число должно делиться на 9 и 3

Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число.

Если уменьшаемое и вычитаемое делится на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Если некоторое число делится на другое, а это другое — на третье, то и первое число делится на третье.

Образец

Задача №1. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.

Решение:

Если число делится на 27, тогда оно делится на 3 и на 9.

Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9.

Число делится на 3, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3.

Заметим, что, если число делится на 9,то оно делится и на 3.

Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Вычеркнув числа 2, 4 и 6 получим, число, сумма цифр которого равна девяти. Девять делится на девять.

Ответ: 135.

Задача №2. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.

Решение:

Если число делится на 30, то оно также делится на __ и на __.

Поэтому в последнем разряде числа должен быть __.

Тогда вычёркиваем __. Остаётся _______.

Для того, чтобы число делилось на три необходимо, чтобы сумма цифр была кратна трём, значит, нужно вычеркнуть цифру __ или цифру __.

Таким образом, получаем числа ______, _______ и ________

Ответ: _______, _______ или ________.

Образец

Задача №3. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Если число делится на 24, то оно также делится на 3 и на 8.

Перебрав трёхзначные числа из 1 и 2, получим, что только 112 делится на 8. Это число образует последние три цифры искомого числа.

Последние три цифры 112 дают в сумме 4.

Рассмотрим первые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6.

Условиям задачи удовлетворяет сумма цифр, равная 5.

Троек с данной суммой цифр три: 122, 212, 221.

Таким образом, подходят числа: 122112, 212112, 221112.

Ответ: 122112, 212112, 221112.

Решение:

Чтобы число делилось на ___ оно должно делится на __ и на ___.

Число делится на __, если три его последние цифры образуют число, делящееся на ___. Искомое число записывается только ______ и _______, значит, оно заканчивается на 000.

Число делится на __, если его сумма цифр числа делится на __. Поскольку три последние цифры числа нули, первые три должны быть ________.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число ______.

Ответ: _______.

Образец

Задача №5. Найдите четырехзначное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению

Решение:

____

Пусть число – аbcd, тогда а+b+c+d=a·b·c·d

____

Так как аbcd делится на 4, то (10c+d) делится на 4 и d – четное.

Среди цифр a, b, с и d не может быть трех единиц, 1+1+1+d=d –равенство невозможно

Среди цифр a, b, с и d не может быть только одна единица, 1+b+c+d=b·c·d –равенство невозможно

Среди цифр a, b, с и d две единицы

Рассмотрим двузначные числа кратные 4: 12; 16; 24

1+с+1+2=1·с·1·2

1+с+1+6=1·с·1·6

1+1+2+4=1·1·2·4

Из 1 равенства с+4=2с, значит с=4

Из 2 равенства с+8=6с, с – дробное, чего быть не может

3-е равенство верное

Искомые числа: 4112, 1412, 1124

Ответ: 4112, 1412, 1124

Образец

Задача №6. Цифры четырехзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого вычли второе и получили 2457. Приведите пример такого числа.

Решение:

___ ___

Пусть аbcd – dcba=2457

d= 0 или d=5, т.к. число кратно 5

d=0 – не подходит, иначе второе число трехзначное

____ ____

аbc5 – 5cba=2457

а=8

____ ____

8bc5 – 5cb8=2457

с=0; b=4

Ответ: 8405

Задача №7. Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50.

Решение:

____

Пусть число имеет вид abcd

Так как число кратно 15, значит кратно __ и кратно __

Последняя цифра : d= __ или d= __

d= __ не подходит, иначе произведение цифр = __

40 a·b·c·__

Произведение цифр кратно 5, а значит равно __

a·b·c·5= __:5 = __

a·b·c= __·__·__

Ответ: ______

Образец

Задача 8. Приведите пример трехзначного числа, обладающего следующими свойствами:
сумма цифр числа А делится на 6;
сумма цифр числа А + 3 делится на 6.
число А больше 350 и меньше 400.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Пусть наше число имеет вид 3

yz. Если z z » 7

Рассмотрим два случая.

1) y=9: 39z перейдёт в 40(z-7), сумма цифр изменится на 15.

2)y : 3yz перейдёт в 3(y+1)(z-7) , сумма цифр изменится на 6.

Во втором случае сумма цифр будет отличаться на 6, то есть также будет делиться на 6.

Таким образом, искомые числа: 369, 378, 387.

Ответ 369, 378, 387.

Образец

Задача 9. Найдите четырехзначное число, которое в три раза меньше четвертой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Искомое четырехзначное число можно получить, если разделить четвертую степень какого-нибудь натурального числа на 3. Если четвертая степень натурального числа делится на 3, то само число тоже делится на 3.

Возьмем, например, число 9. 9⁴=6561.6561:3=2187 .

Итак, четырехзначное число 2187 в 3 раза меньше, чем 6561.

Ответ: 2187.

Образец

Задача 10. Найдите четырехзначное число, которое в 15 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Искомое четырехзначное число можно получить, если разделить куб какого-нибудь натурального числа на 15. Если куб натурального числа делится на 15, то само число тоже делится на 15.

y=х³: 15, х³= 15y

x =30, х³= 27000, y = 2700: 15= 1800

x =45, х³= 91125, y = 91125: 15= 6075

Задача 11. Найдите четырехзначное число, которое в 9 раз меньше четвертой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Искомое четырехзначное число можно получить, если разделить четвертую степень какого-нибудь натурального числа на 9. Если четвертая степень натурального числа делится на 9, то само число делится на__.

Возьмем, например, число 9. 9⁴=6561.6561:9=729 . Не подходит, т.к. 729 трехзначное число.

Возьмем, например, число __. __⁴=_____. ______:9= _____.

Возьмем, например, число ___. ___⁴=_____. ______:9= _____.

Возьмем, например, число 18. 18⁴=104976.20736:9= 11664. Не подходит, т.к. 11664 пятизначное число.

Итак, ______ или _____

Ответ: _____; ______.

Решите самостоятельно:

Задача 12. Приведите пример трехзначного числа, обладающего следующими свойствами:

сумма цифр числа А делится на 7;
сумма цифр числа А + 2 делится на 7.
число А больше 300 и меньше 350.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ_______

Задача 13. Найдите четырехзначное число, большее 3500, но меньшее 5500, которое делится на 40 и каждая следующая цифра которого меньше предыдущей.

Задача №14. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 6 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.

Ответ_______

Задача 15. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если от этого числа отнять число, но в обратном порядке, то получится 36. Найти число.

Ответ_______

Задача 16. Найдите четырехзначное число, которое в 11 раз меньше куба некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ_______

Глава II Деление с остатком

Теоретический материал

Для любого целого числа a и натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r таких, что a=bq+r, где 0 « r b

Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b (НОК) называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.

Если число имеет одинаковые остатки при делении на какие-то числа, то оно имеет такой же остаток при делении на НОК этих чисел.

Образец

Решение:

Если число делится на 3, его можно представить в виде : 3п ( п – порядковый номер числа).

Если число дает в остатке 2, его можно представить в виде: 3п + 2.

Получаем числа: при п = 1 – 5, при п = 2 – 8, при п = 5 – 17, при п = 12 – 38.

Ответ: 5; 8; 17; 38

Задача №18. Известно, что число при делении на 4, даёт в остатке 3. Найдите такие числа стоящие на 5, 10 и 12 местах.

Решение:

Если число делится на 4, его можно представить в виде : __ ( __ – порядковый номер числа).

Если число дает в остатке 3, его можно представить в виде: __ + __.

Получаем числа: при п = __ – ___, при п = __ – __, при п = ___ – __.

Образец

Задача №19. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 5 и на 7 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Если число имеет одинаковые остатки при делении на какие-то числа, то оно имеет такой же остаток при делении на число, являющееся НОК этих чисел.

То есть в данном случае 105.

Тогда наше число 105k + 1.

Переберём все возможные варианты: 106, 211, 316, 421, 526, 631, 736, 841, 946.

Условиям задачи удовлетворяют числа 421, 631 и 841.

Ответ: 421; 631; 841.

Задача №20. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 3, на 4 и на 5 даёт в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение:

Раз число даёт один и тот же остаток при делении на 3, 4 и 5, то оно даёт такой же остаток и при делении на _•_•__=__.

А значит, число имеет вид 500 ≤ __k+__ ≤ 999

Все числа, удовлетворяющие этому неравенству: ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___.

Из них удовлетворяют условию про две различные цифры: ___, ____.

Решите самостоятельно:

Задача 21. Найти сумму всех натуральных двузначных чисел, которые при делении на число 5 дают остаток 4?

Ответ_______

Задача 22. Найти натуральное наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает остаток 1 и, кроме того, делится нацело на 7.

Ответ_______

Задача 23. Найдите все натуральных двузначные числа, которые делятся на число 5 без остатка, а при делении на число 17 дают остаток 1?

Ответ_______

Задача 24. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

Ответ_______

Глава III Делимость квадратов натуральных чисел

Теоретический материал

Если число a делится на 4, то a² делится на 16

Если число a делится на 7, то a² делится на 49

Если число a² делится на 25, то a делится на 5

Если число a² делится на 81, то a делится на 9

Образец

Задача №25. Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Решение:

Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём.

При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти.

Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи.

Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, число 578.

твет: 578

Задача №26. Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 25, если известно, что его квадрат делится на 16.

Решение:

Если квадрат числа делится на 16, то число должно делится на __.

Значит две его последние цифры либо ____, либо образуют число, делящееся на 4.

Две последние цифры _____ быть не могу, так как сумма цифр числа равна 25.

Подберем две последние цифры так, чтобы они образовали число, делящееся на 4, и в сумме с первой цифрой составляли 25.

Например, 96. 96 делится на 4, но даже если первая цифра будет 9, сумма цифр будет меньше 25.

Рассуждая аналогично, подберем число ___, тогда первая цифра равна __.

Число ___ делится на 4, значит, его квадрат делится на 16 и сумма цифр равна 25.

Ответ: ___

Решите самостоятельно:

Задача №27. Найдите четырехзначное число, кратное 25, все цифры которого различны и нечетны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Ответ_______

Ответы:

Задача 2 145650; 115650; 415650

Задача 4 111000

Задача 7 1335

Задача 11. 2304; 5625

Задача 12 329; 338

Задача 13 4320

Задача 14 161616

Задача 15 62

Задача 16 3267; 7744

Задача 18 23; 43; 51

Задача 20 662; 722

Задача 21 984

Задача 22 721

Задача 23 35

Задача 24 642; 963

Задача 26 988

Задача 27 9375

Список используемой литературы и ресурсов сети Интернет

1. Математика – 6, Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, — М.: Мнемозина, 2010.

2. Н.Н.Воробьев, Признаки делимости, М.: Наука, 1988.

3. Алгебра и теория чисел в школьной математике : Учеб. пособие / Г. Г. Хамов; Мурм. гос. пед. ин-т. — Мурманск : МГПИ, 1991.

4. ЕГЭ – 2017: Математика: 30 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: базовый уровень/ под ред. И.В. Ященко. – М: АСТ, 2017.

5. https://mathb-ege.sdamgia.ru/

Оглавление:

Глава I Понятие делимости. Признаки делимости 2

Глава II Деление с остатком 8

Глава III Делимость квадратов натуральных чисел 10

Ответы 12

Список используемой литературы и ресурсов сети Интернет 12

Задача 19 ЕГЭ математика база

Из числа 234509157 вычеркните две цифры так, чтобы полученное число делилось на 15. Приведите пример полученного числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

посмотреть ответ

Найдите двузначное число X такое, что:

произведение его цифр кратно 6;
произведение цифр числа X + 5 кратно 6;
X меньше 60.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

посмотреть ответ

Найдите трехзначное число, кратное 33, любые две соседние цифры которого различаются на 3. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

посмотреть ответ

Найдите трехзначное число, кратное 22, любые две соседние цифры которого различаются на 4. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

посмотреть ответ

Цифры двузначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе двузначное число. Из начального числа вычли полученное и получили 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

посмотреть ответ

Цифры трехзначного числа, кратного 11, записали в обратном порядке и получили второе трехзначного число. Из начального числа вычли полученное число и получили 198. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

посмотреть ответ

Найдите трехзначное число, которое в два раза меньше четвертой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

посмотреть ответ

Найдите четырехзначное число, которое в четыре раза меньше четвертой степени некоторого натурального числа. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

посмотреть ответ

Найдите четырехзначное число, записываемое только цифрами 7 и 5, и кратное 15. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

посмотреть ответ

Из числа 362049729 вычеркните три цифры так, чтобы полученное число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно полученное число.

посмотреть ответ

Нахождение всех делителей числа, число делителей числа

В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.

Как найти все делители числа

Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0.

Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1, -1, a, -a. Возьмем простое число 7: у него есть делители 7, -7, 1 и -1, и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1, -1, 367 и -367.

Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.

Теорема 1

Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d=p1t2·p2t2·…·pntn, где t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.

Доказательство 1

Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d, если есть такое число q, что делает верным равенство a=d·q, т.е. q=p1(s1−t1)·p2(s2-t2)·…·pn(sn-tn).

Любое число, делящее a, будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p1, p2, …, pn, оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s1, s2, …, sn.

Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn.
Найти все значения d=p1t2·p2t2·…·pntn, где числа t1, t2, …, tn_{будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.}

Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.

Пример 1

Условие: найти все делители 8.

Решение

Разложим восьмерку на простые множители и получим 8=2·2·2. Переведем разложение в каноническую форму и получим 8=23. Следовательно, a=8, p1=2, s1=3.

Поскольку все делители восьмерки будут значениями p1t1=2t1, то t1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s1=3. Таким образом, если t1=0, то 2t1=20=1, если 1, то 2t1=21=2, если 2, то 2t1=22=4, а если 3, то 2t1=23=8.

Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:

t1	2t1
0	20=1
1	21=2
2	22=4
3	23=8

Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1, 2, 4 и 8, а отрицательными −1, −2, −4 и −8.

Ответ: делителями данного числа будут ±1, ±2, ±4, ±8.

Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.

Пример 2

Условие: найдите все делители числа 567, являющиеся натуральными числами.

Решение

Начнем с разложения данного числа на простые множители.

56718963217133337

Приведем разложение к каноническому виду и получим 567=34·7. Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t1 и t2 значения 0, 1, 2, 3, 4 и 0, 1, вычисляя при этом значения 3t1·7t2. Результаты будем вносить в таблицу:

t1	t2	3t1·7t2
0	0	30·70=1
0	1	30·71=7
1	0	31·70=3
1	1	31·71=21
2	0	32·70=9
2	1	32·71=63
3	0	33·70=27
3	1	33·71=189
4	0	34·70=81
4	1	34·71=567

Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27, 63, 81, 189, 1, 3, 7, 9, 21 и 567.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.

Пример 3

Условие: найти все делители 3 900, которые будут больше 0.

Решение

Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900=22·3·52·13. Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2t1·3t2·5t3·13t4 значения t1, равные 0, 1 и 2, t2=0,1, t3=0, 1, 2, t4=0, 1. Результаты представляем в табличном виде:

t1	t2	t3	t4	2t1·3t2·5t3·13t4
0	0	0	0	20·30·50·130=1
0	0	0	1	20·30·50·131=13
0	0	1	0	20·30·51·130=5
0	0	1	1	20·30·51·131=65
0	0	2	0	20·30·52·130=25
0	0	2	1	20·30·52·131=325
0	1	0	0	20·31·50·130=3
0	1	0	1	20·31·50·131=39
0	1	1	0	20·31·51·130=15
0	1	1	1	20·31·51·131=195
0	1	2	0	20·31·52·130=75
0	1	2	1	20·31·52·131=975

t1	t2	t3	t4	2t1·3t2·5t3·13t4
1	0	0	0	21·30·50·130=2
1	0	0	1	21·30·50·131=26
1	0	1	0	21·30·51·130=10
1	0	1	1	21·30·51·131=130
1	0	2	0	21·30·52·130=50
1	0	2	1	21·30·52·131=650
1	1	0	0	21·31·50·130=6
1	1	0	1	21·31·50·131=78
1	1	1	0	21·31·51·130=30
1	1	1	1	21·31·51·131=390
1	1	2	0	21·31·52·130=150
1	1	2	1	21·31·52·131=1950

t1	t2	t3	t4	2t1·3t2·5t3·13t4
2	0	0	0	22·30·50·130=4
2	0	0	1	22·30·50·131=52
2	0	1	0	22·30·51·130=20
2	0	1	1	22·30·51·131=260
2	0	2	0	22·30·52·130=100
2	1	0	1	22·30·52·131=1300
2	1	0	0	22·31·50·130=12
2	1	0	1	22·31·50·131=156
2	1	1	0	22·31·51·130=60
2	1	1	1	22·31·51·131=780
2	1	2	0	22·31·52·130=300
2	1	2	1	22·31·52·131=3900

Ответ: делителями числа 3 900 будут:195, 260, 300, 325, 390, 650, 780, 975, 75, 78, 100, 130, 150, 156, 13,15, 20, 25, 26, 30, 39, 50,52, 60, 65, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 1 300, 1 950, 3 900

Как определить количество делителей конкретного числа

Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a=p1s1·p2s2·…·pnsn, нужно найти значение выражения (s1+1) ·(s2+1) ·…·(sn+1). О количестве наборов переменных t1, t2, …, tn мы можем судить по величине записанного выражения.

Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900, которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900=22·3·52·13. Значит, s1=2, s2=1, s3=2, s4=1. Теперь подставим значения s1, s2, s3 и s4 в выражение (s1+1) ·(s2+1) ·(s3+1) ·(s4+1) и вычислим его значение. Имеем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36. Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.

Пример 4

Условие: определите, сколько делителей имеет 84.

Решение

Раскладываем число на множители.

844221712237

Записываем каноническое разложение: 84=22·3·7. Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: (2+1)·(1+1)·(1+1) =12. Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2:2·12=24.

Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.

Как вычислить общие делители нескольких чисел

Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.

Разберем пару таких задач.

Пример 5

Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50? Вычислите их все.

Решение

Начнем с вычисления НОД (140, 50).

Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:

140=50·2+40, 50=40·1+10, 40=10·4, значит, НОД (50, 140)=10.

Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 20·50=1, 20·51=5, 21·50=2 и 21·51=10. Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1, 2, 5 и 10, а всего их четыре.

Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10, 5, 2 и 1.

Пример 6

Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585, 315, 90 и 45.

Решение

Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90=2·3·3·5, 45=3·3·5, 315=3·3·5·7 и 585=3·3·5·13, то таким делителем будет 5: НОД (90, 45, 315, 585) =3·3·5=32·5.

Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.

Считаем:

НОД (90, 45, 315, 585) =32·5:(2+1)·(1+1) =6.

Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.

математических трюков — ядро исследования поведенческих наук

Эта веб-страница посвящена

невероятно boffo
идее о том, что математика может быть увлекательной!

Попробуйте эти уловки:

Вот несколько интересных ссылок:

Список для чтения сложных математических книг, большинство из которых я использовал для этого сайта.
Узнайте об исходном компьютере: Abacus (http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/)
Играйте в математическую погоню (http: // dev.eyecon.com/marcia) — для одного или двух игроков. (Если вы используете Netscape, Не прокручивать страницу вниз, пока загружается .
Играйте в Shoot Balls (http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/applets/bollen/Welcome.html).
Играйте в Flippo 24 (http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/applets/bollen/Welcome.html).
Проверьте свои знания таблиц умножения (http://www.fi.uu.nl/wisweb/en/applets/tafels/Welcome.html)
Попробуйте свои силы в оценке (http: //www.fi.uu.nl / wisweb / en / applets / bollen / Welcome.html).
Исследуйте геометрию в увлекательной и интерактивной форме.
Попробуйте загадку Ханойской башни (http://www.eng.auburn.edu/~fwushan/Hanoi1.html).
Посмотрите, что такое Spriographis (http://www.mainstrike.com/mstservices/handy/Spiro/).
Посмотрите, что такое сет Мандельброта (http://www.franceway.com/java/fractale/mandel_b.htm).
Если вам нужно больше математических задач , попробуйте новый сайт PBS MATHLINE MATH CHALLENGESsite. Попробуйте, вам понравится.(Но помните, что мы были первыми.)

Трюк с добавлением магии # 1

Поразите батраков этим. Все просто. Это эффективно. Он получает их каждый раз.

Задайте свою оценку, чтобы выбрать три (3) различных номеров от 1 до 9.
Скажите ему или ей (или ей или ему) записать три числа рядом друг с другом, наибольшее первое и наименьшее последнее, чтобы получилось одно трехзначное число. Скажите ему / ей, чтобы он не называл вам цифры.
Затем попросите ее или его сформировать новое трехзначное число, поменяв местами цифры, поместив наименьшее первым и наибольшее последнее. И напишите это число прямо под первым числом.
Теперь попросите его или ее вычесть нижнее (и меньшее) трехзначное число из верхнего (и большего) трехзначного числа. Скажите им, чтобы они не рассказывали вам, каков результат.
Теперь у вас есть выбор подытоживания:
1. Попросите друга сложить три цифры числа, полученного в результате вычитания меньшего из большего трехзначного числа.Затем поразите его или ее, сказав им, какова сумма этих трех чисел. Сумма трехзначного ответа всегда будет 18!
2. Скажите своему другу, что если он или она скажет вам, какова первая ИЛИ последняя цифра ответа, вы скажете ей или ему, каковы другие две цифры. Это возможно, потому что средняя цифра всегда будет 9, а сумма двух других цифр всегда будет равна 9! Итак, чтобы получить цифру, отличную от средней (то есть 9), и отличную от цифры, которую говорит вам ваш друг, просто вычтите цифру, которую ваш друг говорит вам, из 9, и это неизвестная цифра.

Наверх

Магический квадрат №15

Сумма в каждой строке и столбце в этом магическом квадрате равна 15. Так что сделайте обе диагонали!

К началу

Магический квадрат # 34

Сумма в каждой строке и столбце этого магического квадрата равна 34. Так что сделайте обе диагонали!

1	15	14	4
12	6	7	9
8	10	11	5
13	3	2	16

Наверх

Рецепт для вашего собственного волшебного квадрата 3 x 3

Вот рецепт создания собственного квадрата с магическим числом 3 х 3.Этот рецепт и оба вышеупомянутых магических квадрата взяты из одной чертовой книги под названием Mathematics for the Million Ланселота Хогбена, изданной Norton and Company. Я очень рекомендую это. Вам совсем не нужно много математики, чтобы окунуться в приключение чисел, рассказанное в этой классической книге.

Некоторые необходимые правила и определения:

Пусть буквы a , b и c обозначают целые числа (то есть целые числа).
Всегда выбирайте a , чтобы оно было больше суммы b и c .То есть a > b + c . Это гарантирует, что в магическом квадрате нет отрицательного числа.
Не позволяйте 2 X b = c . Это гарантирует, что вы не получите одинаковый номер в разных ячейках.
Используя формулы в приведенной ниже таблице, вы можете построить магические квадраты, в которых сумма строк, столбцов и диагоналей равна 3 X независимо от того, что равно на .

а + в	а + б — в	а — б
а — б — в	а	а + б + в
а + б	а — б + в	а — в

Чтобы создать первый Магический квадрат # 15 выше, вы позволяете a быть равным 5, пусть b равняется 3, и пусть c равняется 1.Вот еще несколько:

a = 6, b = 3, c = 2
a = 6, b = 3, c = 1
a = 7, b = 3, c = 2
a = 7, b = 4, c = 2
a = 8, b = 6, c = 1
a = 8, b = 5, c = 2
a = 8, b = 4, c = 3

Попробуйте придумать что-нибудь свое.

К началу

Волшебный квадрат вверх ногами

Вот магический квадрат, который не только дает в сумме 264 во всех направлениях, но и делает это, даже когда он перевернут! Если вы мне не верите, посмотрите на него, пока стоите на голове! (Или просто скопируйте его и переверните вверх дном.)

96	11	89	68
88	69	91	16
61	86	18	99
19	98	66	81

Наверх

Антимагический квадрат

Вот магический квадрат с максимально возможным количеством различных сумм.

Эта таблица дает 8 различных итогов.

К началу

Выиграйте ставки с этим Magic Square

Хорошо, вот отличный способ выигрывать ставки с помощью магического квадрата. Позвоните другу по телефону. Попросите его или ее взять карандаш и бумагу и поднести их к телефону, чтобы он или она могли записать числа от 1 до 9. Скажите другу, что вы будете по очереди набирать номера от 1 до 9. Никто из вас не может. повторить номер, который вызывает другой.Затем вы оба запишите числа от 1 до 9. Затем, когда ваш друг назовет одно из чисел, он или она обведет это число кружком, и вы тоже. Когда вы произносите число, вы рисуете квадрат вокруг этого числа, и ваш друг делает то же самое. Побеждает тот, кто первым наберет три числа, которые в сумме составляют 15.

Скажите, что вы идете первым, а вы зовете 8. Ваш друг может позвонить 6. Затем вы зовете 2. Ваш друг зовет 5, а вы зовете 4. Ваш друг зовет 7, а вы звоните 3.Затем вы говорите своему другу, что вы только что выиграли, потому что вы назвали 8, 3 и 4, что в сумме дает 15.

Ваш друг снова захочет сыграть. Итак, на этот раз вы можете поспорить с ним, что выиграете, с условием, что в случае ничьей (когда вы используете числа от 1 до 9, но никто из вас не набирает 15 очков) никто ничего не должен.

Если вы знаете фокус, вы никогда не проиграете и, вероятно, проиграете в большинстве случаев.

Уловки На самом деле фокус основан как на крестиках-ноликах, так и на магическом квадрате.Магический квадрат выглядит так:

Поскольку это магический квадрат, каждая строка, каждый столбец и каждая диагональ в сумме дают 15. Итак, если перед вами этот квадрат с вашим другом по телефону, вы можете поставить крестик в квадратах. номер, который вы вызываете, и букву O в квадратах номеров, которые называет ваш друг. Затем, как и в крестиках-ноликах, вы пытаетесь получить три крестика подряд, потому что они всегда в сумме дают 15.

Итак, в приведенном выше примере, когда вы вызываете 8, вы ставите X в верхнем левом углу.Когда ваш друг говорит 6, вы ставите) в правом верхнем углу. И так далее.

К началу

Математический карточный трюк

Для этого вауера вам понадобится обычная колода карт. Никакой сложной перетасовки не требуется. Просто выполните следующие простые шаги:

Перемешайте карты, чтобы тщательно перемешать их.
Разложите 36 карт в стопку.
Попросите друга выбрать одну из 36 карточек, посмотреть на нее и запомнить, а затем положить обратно в стопку, не позволяя вам ее увидеть.
Перемешайте 36 карт.
Разложите 36 карт в 6 рядов по 6 карт в каждом. Обязательно наносите верхний ряд слева направо. Затем нанесите второй ряд под ним слева направо. И так далее с каждой последующей строкой, лежащей под предыдущей.
Попросите друга посмотреть на карточки и сказать, в каком ряду находится выбранная карточка. Запомните, под каким номером находится ряд.
Осторожно возьмите карты в том же порядке, в котором вы их положили .Таким образом, первая карта слева от верхнего ряда находится наверху стопки, а последняя карта справа от нижнего ряда находится внизу стопки.
Теперь выложите карты в 6 рядов по 6 карт в каждом, но на этот раз разложите карту по столбцу за раз . Вместо того, чтобы переходить от одной строки к другой, переходите от одного столбца к следующему. Положите первые шесть карточек в столбец сверху вниз в крайнем левом углу. Затем выложите следующие шесть карт во втором столбце из шести карт справа от первого столбца из шести карт.Продолжайте делать это, пока у вас не будет 6 столбцов по 6 карт в каждом (что выглядит так же, как 6 рядов по 6 карт в каждом — потому что — это то же самое).
Еще раз спросите друга, в каком ряду находится выбранная карта.
Когда ваш друг говорит вам, в каком ряду находится карта, вы можете сказать, какая именно карта выбрана. Как? Если ваш друг сказал, что карта была в строке 2 в первый раз, а в строке 5 во второй раз, то выбранная карта находится во втором столбце пятой строки.Это связано с тем, что вы располагаете карточки: то, что было строками в первый раз, во второй раз становится столбцами.

Наверх

Калькулятор молний

Вот трюк, чтобы удивлять их каждый раз! Попросите кого-нибудь записать свой номер социального страхования. Затем попросите их переписать его так, чтобы все было перемешано. (Если у них нет номера социального страхования, попросите их записать любые 9 цифр от 1 до 9.) Если есть нули, попросите их изменить их на любое другое число от 1 до 9.Затем попросите их скопировать свои девять чисел в том же порядке рядом с исходными девятью числами. Это даст им номер из 18 цифр, первая половина которого такая же, как и вторая. Затем измените вторую цифру на 7, а одиннадцатую цифру (это будет то же самое число, что и вторая цифра, но во вторых девяти цифрах) также на 7. Затем сделайте ставку на то, что вы сможете сказать им, что останется после деления числа на 7, быстрее, чем они смогут вычислить это вручную.Ответ: 0 — 7 делится на это новое число ровно без остатка!

К началу

Таблицы забавных чисел

Следующие забавные таблицы взяты из одной из моих любимых книг на все времена, Рекреации в теории чисел Альберта Х. Бейлера, изданной Dover Publications. Эта книга фактически объясняет математические причины, по которым эти уловки работают.

3 х 37 = 111 и 1 + 1 + 1 = 3

6 х 37 = 222 и 2 + 2 + 2 = 6

9 х 37 = 333 и 3 + 3 + 3 = 9

12 х 37 = 444 и 4 + 4 + 4 = 12

15 х 37 = 555 и 5 + 5 + 5 = 15

18 х 37 = 666 и 6 + 6 + 6 = 18

21 х 37 = 777 и 7 + 7 + 7 = 21

24 х 37 = 888 и 8 + 8 + 8 = 24

27 x 37 = 999 и 9 + 9 + 9 = 27

1 х 1 = 1

11 х 11 = 121

111 х 111 = 12321

1111 х 1111 = 1234321

11111 х 11111 = 123454321

111111 х 111111 = 12345654321

1111111 х 1111111 = 1234567654321

11111111 х 11111111 = 123456787654321

111111111 х 111111111 = 12345678987654321

1 х 9 + 2 = 11

12 х 9 + 3 = 111

123 х 9 + 4 = 1111

1234 х 9 + 5 = 11111

12345 х 9 + 6 = 111111

123456 х 9 + 7 = 1111111

1234567 х 9 + 8 = 11111111

12345678 х 9 + 9 = 111111111

123456789 х 9 +10 = 1111111111

9 х 9 + 7 = 88

98 х 9 + 6 = 888

987 х 9 + 5 = 8888

9876 х 9 + 4 = 88888

98765 х 9 + 3 = 888888

987654 х 9 + 2 = 8888888

9876543 х 9 + 1 = 88888888

98765432 х 9 + 0 = 888888888

1 х 8 + 1 = 9

12 х 8 + 2 = 98

123 х 8 + 3 = 987

1234 х 8 + 4 = 9876

12345 х 8 + 5 = 98765

123456 х 8 + 6 = 987654

1234567 х 8 + 7 = 9876543

12345678 х 8 + 8 = 98765432

123456789 х 8 + 9 = 987654321

7 х 7 = 49

67 х 67 = 4489

667 х 667 = 444889

6667 х 6667 = 44448889

66667 x 66667 = 4444488889

666667 x 666667 = 444444888889

6666667 x 6666667 = 44444448888889

и т.п.

4 х 4 = 16

34 х 34 = 1156

334 х 334 = 111556

3334 х 3334 = 11115556

33334 х 33334 = 1111155556

и т.п.

К началу

Знаете ли вы …?

Каждое двузначное число, заканчивающееся на 9, является суммой кратных двух цифр и суммы двух цифр. Таким образом, например, 29 = (2 X 9) + (2 + 9). 2 X 9 = 18. 2 + 9 = 11. 18 + 11 = 29.

40 — уникальное число, потому что когда оно написано как «сорок», это единственное число, буквы которого расположены в алфавитном порядке.

Простое число — это целое число больше 1, которое не может делиться равномерно на любое другое целое число, кроме самого себя (и 1). 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17 являются примерами простых чисел.

139 и 149 — первые последовательные простые числа, различающиеся на 10.

69 — единственное число, в квадрате и кубе между ними по одному разу используются все цифры от 0 до 9:
69 ² = 4761 и 69 ³ = 328,509.

Один фунт железа содержит приблизительно 4 891 500 000 000 000 000 000 000 атомов.

Существует около 318 979 564 000 возможных способов сыграть первые четыре хода с каждой стороны в игре в шахматы.

Земля ежедневно проходит более полутора миллионов миль.

В Эйфелевой башне 2 500 000 заклепок.

Если бы все кровеносные сосуды в человеческом теле были проложены встык, они бы растянулись на 100 000 миль.

К началу

Математический трюк на этот год

Предположительно, он будет работать только в 1998 году, но на самом деле одно изменение позволит ему работать в течение любого года.

1. Выберите количество дней в неделю, в которые вы хотели бы выходить (1-7).

2. Умножьте это число на 2.

3. Добавить 5.

4. Умножьте полученную сумму на 50.

5. В 1998 году, если у вас уже был день рождения в этом году, добавьте 1748. Если нет, добавьте 1747. В 1999 году просто добавьте 1 к этим двум числам (поэтому добавьте 1749, если у вас уже был день рождения, и 1748, если у вас нет). В 2000 году число изменится на 1749 и 1748. И так далее.

6. Вычтите четырехзначный год вашего рождения (19XX).

Результатов:

У вас должно получиться трехзначное число.

Первой цифрой этого числа было количество дней, на которое вы хотите выходить каждую неделю (1-7).

Последние две цифры — ваш возраст.

(Спасибо, что передали мне это, Джуди.)

К началу

Где строка?

В следующий раз, когда вы будете с группой людей и захотите произвести на них впечатление своими экстрасенсорными способностями, попробуйте это. Пронумеруйте всех в группе от 1 до числа.Возьмите веревку и скажите им привязать ее к пальцу, пока вы выходите из комнаты или поворачиваетесь спиной. Затем скажите, что вы можете сказать им не только, у кого он есть, но и на какой руке и на каком пальце он находится, если они просто сделают для вас простую математику и скажут вам ответы. Затем попросите одного из них ответить на следующие вопросы:

1. Умножьте номер человека со строкой на 2.

2. Добавить 3.

3. Умножьте результат на 5.

4. Если строка справа, добавьте 8.

Если строка слева, добавьте 9.

5. Умножить на 10.

6. Сложите номер пальца (большой палец = 1).

7. Добавить 2.

Попросите их сказать вам ответ. Затем вычтите мысленно 222. Остаток дает ответ, начиная с правой цифры ответа.

Например, предположим, что веревка находится на третьем пальце левой руки Игрока №6:

1. Умножить на 2 = 12.

2. Складываем 3 = 15.

3.Умножить на 5 = 75.

4. Поскольку строка находится слева, прибавляем 9 = 84.

5. Умножить на 10 = 840.

6. Сложите номер пальца (3) = 843.

7. Складываем 2 = 845.

Теперь мысленно вычтите 222 = 623. Правая цифра (3) говорит вам, что строка находится на третьем пальце. Средняя цифра говорит о том, что он находится слева (правая рука = 1). Левая цифра говорит о том, что строка у Игрока №6.

Кстати, когда число людей больше 9, вы получите ЧЕТЫРЕХзначное число, а ДВЕ цифры слева будут номером Игрока.

В чем секрет?

(Это из замечательной книги Шейлы Энн Барри, Giant Book of Puzzles & Games, . Издана Sterling Publishing Co., Inc., Нью-Йорк, 1978, недавно переиздана в мягкой обложке.)

Следите за новостями, чтобы узнать больше о математических хитростях. Они будут добавляться время от времени, поэтому обязательно зарегистрируйтесь еще раз.

Сумма всех 4-значных чисел, образованных с использованием 0 1 2 3

Список номеров, составленных из цифр 0, 1, 2, 3

Поскольку мы собираемся формировать четырехзначные числа, оставим четыре пробела.

____ ____ ____ ____

Первый пробел (разряды тысяч) имеет три варианта из заданных четырех цифр.

Это 1, 2, 3.

Потому что «0» не может быть заполнен в первом пробеле.

Если одна из трех цифр (1, 2, 3) заполнена в первом пробеле, всего четыре цифры (0, 1, 2, 3), останутся три цифры.

Итак, у второго места есть три варианта, и оно может быть заполнено одной из трех цифр.

После заполнения второго бланка остаются две цифры.

Итак, у третьего места есть два варианта, и оно может быть заполнено одной из двух цифр.

После заполнения третьего бланка останется только одна цифра.

Итак, четвертый пробел имеет только один вариант, и его можно заполнить оставшейся одной цифрой.

Выше объясненный материал может быть записан как

3 x 3 x 2 x 1 = 18

Следовательно, количество четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3, равно 18.

Это

1023

1032

1203

1230

1302

1320

2013

2031

2103

2130

2301

2310

3012

3021

3120

3201

3210

Можно ли записать все 18 чисел и найти их сумму на экзамене, как описано выше?

Все ответят «нет»

Тогда есть ли какой-нибудь ярлык?

Да.Чтобы узнать ярлык, узнайте значение «K», используя формулу, приведенную ниже.

Здесь у студентов могут возникнуть вопросы.

То есть, что нам делать с «K», чтобы найти сумму всех 4-значных чисел, образованных с помощью цифр 0, 1, 2 и 3?

Ответ дан ниже.

Концепция

— Ценность «К»

Что делает «K», если одна из цифр равна «нулю»?

Ответ:

1. Каждая из ненулевых цифр появится K раз в первое место (тысячное место, если это четыре цифровой номер).

2. Цифра «0» появится «K» раз в второе место. Оставшиеся пробелы на втором месте будут разделены равно ненулевым разрядам.

3. Тот же процесс, который описан выше для второго место будет претендовать на третье и четвертое место.

Что делает «K», если ни одна из цифр не равна «нулю»?

Ответ:

Каждая из ненулевых цифр появится «K» раз в первом место, второе место, третье место и четвертое место.

Как описанная выше концепция применяется в нашей задаче?

В нашей задаче мы имеем

K = 18/3

K = 6

В данных четырех цифрах одна из цифр равна «0».

Каждая из трех ненулевых цифр (1, 2, 3) будет находиться на разряде тысячи 6 (= K) раз из 18 чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3 (см. 18 чисел выше) .

И цифра «0» появится 6 (= K) раз на втором месте из 18 образованных чисел.Оставшиеся 12 пробелов второго места будут поровну поделены ненулевыми цифрами (1, 2, 3). То есть каждая из цифр (1, 2, 3) будет занимать второе место 4 раза.

Для третьего и четвертого места будет применяться тот же процесс, который описан выше для второго места.

То есть «0» появится 6 (= K) раз, каждая из цифр (1, 2, 3) появится 4 раза на третьем и четвертом месте.

Сумма чисел на первом, втором, третьем и четвертом местах

Чтобы найти сумму всех четырехзначных чисел, образованных с помощью 0 1 2 3, мы должны найти сумму всех чисел на первом, втором, третьем и четвертом разрядах.

Найдем сумму чисел на первом месте (разряде тысяч).

Из 18 образованных чисел каждая из цифр (1, 2, 3) шесть раз занимает первое место.

Сумма чисел на первом месте (место 1000):

= 6 (1 + 2 + 3)

= 6 x 6

= 36

Найдем сумму чисел на втором месте (сотка).

Из 18 образованных чисел цифра «0» встречается шесть раз, а каждая из цифр (1, 2, 3) четыре раза занимает второе место.

Сумма чисел на втором месте (разряде 100):

= 6 x 0 + 4 (1 + 2 + 3)

= 0 + 4 x 6

= 24

Так как у нас одинаковые процесс второго места для третьего и четвертого места,

Сумма чисел на третьем месте (10-е место)

= 6 x 0 + 4 (1 + 2 + 3)

= 0 + 4 x 6

= 24

Сумма чисел на четвертом месте (1 место)

= 6 x 0 + 4 (1 + 2 + 3)

= 0 + 4 x 6

= 24

Сумма всех 4-значных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3 (без повторения)

Пояснение к вышеприведенному вычислению:

36 — это сумма чисел в разряде тысяч.Итак, 36 умножается на 1000.

24 — это сумма чисел в разряде сотен. Итак, 24 умножается на 100.

24 — это сумма чисел в разряде десятков. Итак, 24 умножается на 10.

24 — это сумма чисел на месте единицы. Таким образом, 24 умножается на 1.

Примечание:

Метод, описанный выше, применим не только для нахождения суммы всех 4-значных чисел, образованных с помощью 0 1 2 3. Этот же метод можно применить для нахождения суммы всех 4 цифровые числа, образованные с помощью любых четырех цифр, в которых одна из цифр равна нулю.

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Алгебра47 задачи на слова

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариации

Проблемы со словами по цене за единицу

Word задачи по сравнению ставок

Преобразование общепринятых единиц в текстовые задачи

Преобразование в метрические единицы в текстовых задачах

Проблемы со словами по простому проценту

Проблемы со словами по сложным процентам

Проблемы со словами по типам ngles

Проблемы со словами с дополнительными и дополнительными углами

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами о прибылях и убытках Word

Разметка и разметка задачи

задачи с десятичными числами

задачи со словами на дроби

задачи со словами на смешанных фракциях

задачи со словами с одношаговым уравнением

задачи с линейными неравенствами

слово пропорции и соотношение задачи

Проблемы со временем и работой со словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Задачи со словами на возрастах

Проблемы со словами по теореме Пифагора

Процент числового слова pr проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибылей и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

Домен и диапазон рациональных функций

Область и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Поиск квадратного корня с помощью long di видение

Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Степени и экспоненты

Степень — это произведение числа на само число.

Обычно степень представлена с помощью базового числа и степени. Базовое число сообщает , какое число умножается. Показатель степени , — небольшое число, написанное выше и справа от основного числа, сообщает , сколько раз умножается базовое число.

Например,? 6 в 5-й степени? можно записать как? 6 ⁵.? Здесь базовое число 6, а показатель степени 5.Это означает, что 6 умножается на себя 5 раз: 6 x 6 x 6 x 6 x 6

6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7,776 или 6 ⁵ = 7,776

100,0004 91

100,000 91

базовое число	2-я степень	3-я степень	4-я степень	5-я степень
1	1	1	1	1
2	4	8	16
3	9	27	81	243
4	16	64	256	1,024
5	25	12525	5	25	12525	3	12525900 91
6	36	216	1,296	7,776
7	49	343	2,401	16,807
8	6 4	512	4,096	32,768
9	81	729	6,561	59,049
10	100	1,000
1,000
121	1,331	14,641	161,051
12	144	1,728	20,736	248,832

Факториалы 1 Числа и формулы Умножение комплексных чисел

Факториалы Числа и формулы Умножение комплексных чисел

Умножение производится алгебраически.

Сложное умножение — это более сложная операция для понимания с алгебраической или геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически, а для умножения возьмем определенные комплексные числа, например 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом есть два члена, поэтому, когда мы их умножим, мы получим четыре члена: (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) = 3 + 12 i + 2 i + 8 i ².

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, конечно же, .А как насчет 8 i ²? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1. Другими словами, i — это то, что имеет квадрат –1. Таким образом, 8 i ² равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu — yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть продукт, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле умножения, если v равно нулю, вы получите формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x + yi ) u = xu + yu i .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет посередине между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C на коэффициент 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C в сторону 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы сделали только один случай умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (то есть расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ш. Это было тогда, когда w было настоящим номером и чуть выше. На самом деле это так в целом:

Проверка этого тождества — это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | ² = | z | ² | w | ². Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда согласно формуле умножения zw равно ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что

| z | ² = x ² + y ²

Аналогично имеем

| w | ² = u ² + v ²

и, поскольку zw = ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | ² = ( xu — yv ) ² + ( xv + yu ) ²

Итак, чтобы показать | zw | ² = | z | ² | w | ², все, что вам нужно сделать, это показать, что

( xu — yv ) ² + ( xv + yu ) ² = ( x ² + y ²) ( u ^{v ²) и это простое упражнение по алгебре.
Полномочия
i. В следующем частном случае умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i ² = –1. А как насчет i ³? Это всего лишь i ² умноженное на i , то есть –1 умноженное на i. Следовательно, i ³ = — i. Это интересно: куб i — это собственное отрицание.Затем рассмотрим i ⁴. Это квадрат i ², то есть квадрат –1. Таким образом, i ⁴ = 1. Другими словами, i — это корень четвертой степени из 1. Вы можете показать, что — i — это еще один корень четвертой степени из 1. И поскольку и –1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно,
1, i, –1 и — i. Это наблюдение связано с фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z ⁴ = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня. Более высокие степени i легко найти теперь, когда мы знаем i ⁴ = 1. Например, i ⁵ равно i умножить на i ⁴, и это всего лишь i. . Вы можете уменьшить мощность i на 4 и не изменить результат. Другой пример: i ¹¹ = i ⁷ = i ³ = — i.
Как насчет отрицательных степеней и ? Что является обратным для i, то есть i ^–1? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i ^–1 = i ³ = — i. Таким образом, i является обратным — i. Представьте себе — число, обратное значение которого — собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз — i равно 1, поэтому, конечно, i и — i являются обратными.
Корни единства.
Различные корни из 1 называются корнями из единства. В общем, по Фундаментальной теореме алгебры число n корней -й степени из единицы равно n, , поскольку существует n корней уравнения n -й степени z ^u — 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Корни четвертой степени равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе, посвященном абсолютным значениям. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ± √2 / 2 ± i √2 / 2 были квадратными корнями из i и — i, , и теперь с формулой умножения, которую легко проверить. Следовательно, восемь корней восемь из единицы равны ± 1, ± i, и ± √2 / 2 ± i √2 / 2. Обратите внимание на то, как эти восемь корней единицы равномерно распределены по единичной окружности. Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.
Умножение комплексного числа на
i. В нашей цели по поиску геометрической интерпретации комплексного умножения, давайте теперь рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z i = ( x + yi ) i =
— y + xi . Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц выше. Произошло то, что при умножении на i повернулся к точке z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.
Вы можете проанализировать, что происходит при умножении на — i таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на — i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке примерно на 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на — i дает поворот на –90 ° вокруг 0 или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.
Геометрическая интерпретация умножения.
Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока посмотрим на результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на и , что приводит к вращению. Общий случай — это комбинация масштабирования и вращения. Пусть z и w — точки на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк — абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | Вт |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.
Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z под определенным углом, называемым аргументом для z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °.)
Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где находится zw в C :

Примеры научной записи: сокращение уравнений и чисел
Научная запись похожа на сокращение для записи очень больших или очень маленьких чисел.Вместо того, чтобы записывать число в десятичной форме, число сокращается до числа, умноженного на десять.
Математическая стенография
В экспоненциальной нотации:
Первое число в математическом уравнении называется «коэффициент». Коэффициент должен быть больше или равен единице и меньше 10. Например, чтобы создать научную запись числа 256, коэффициент будет 2,56.
Второе число в уравнении представляет собой степень 10, записанную как 10 с показателем степени, например 10 ², что означает 10 x 10.
Объединение этих двух чисел приведет к получению уравнения в научной записи для 256 — 2,56 x 10 ².
Отрицательная экспонента показывает, что десятичная дробь сдвинута на много позиций влево, а положительная экспонента показывает, что десятичная дробь перемещена на много мест вправо.
Примеры научных обозначений
Вот примеры научных обозначений:
676 000 000 000 = 6,76 x 10 ¹¹
0,000000000000000 = 3.56 x 10 ^-13
Реальные примеры научной нотации
Узнайте, как используются научные обозначения для выражения больших чисел.
7 x 10 ⁹ = Население мира составляет около 7 миллиардов, записывается как 7000000000
1.08 x 10 ⁹ = Приблизительная скорость света составляет 1080 миллионов км в час или 1 080 000 000 км в час
2,4 x 10 ⁵ = Расстояние от Земли до Луны составляет 240 тысяч миль или 240 000 миль
9.3 x 10 ⁷ = Расстояние от Земли до Солнца составляет 93 миллиона миль или 93 000 000 миль
3,99 x 10 ¹³ = Расстояние от Солнца до ближайшей звезды (Проксима Центавра) составляет 39 900 000 000 000 км
9,4605284 × 10 ¹⁵ = Расстояние, которое свет проходит за год, составляет менее 9,5 триллионов километров, или точно 9,460,528,400,000,000 км
1,4 x 10 ⁸ = Площадь водной поверхности на Земле составляет 140 миллионов квадратных миль или 140 000 000 квадратных миль
1.0 x 10 ¹⁴ = Приблизительное количество клеток в организме человека составляет 100 триллионов или 100000000000000
1,332 x 10 ^-3 = Плотность кислорода составляет 1332 миллионных г / куб.см или 0,001332 г / куб.см
2,4 x 10 ^-3 = Диаметр песчинки составляет 24 десятитысячных дюйма или 0,0024 дюйма
7,53 x 10 ^-10 = Масса частицы пыли 0,000000000753 кг
9,1093822 × 10 ^-31 = Масса электрона равна 0.000000000000000000000000000000822 кг
4,0 x 10 ^-7 = Длина самой короткой длины волны видимого света (фиолетовый) составляет 0,0000004 метра
Расчет с научной нотацией
Научная нотация может облегчить выполнение математических функций с большими числами.
Вот пять примеров:
Умножение (4 x 10 ⁴) и (7 x 10 ⁵) Первые 4 x 7 = 28
Затем сложите экспоненты, 4 + 5 = 9
Результат: 28 x 10 ⁹
Перепишите в стандартной форме, 2.8 x 10 ¹⁰
Разделить (6 x 10 ⁵) на (4 x 10 ⁴) 6/4 = 1,5
Вычесть показатели 5 — 4 = 1
Ответ 1,5 x 10 ¹ или 15
Умножение (4 x 10 ^-7) и (3,25 x 10 ⁹) 4 x 3,25 = 13
Сложение показателей = -7 + 9 = 2
Ответ 13 x 10 ² или 1300
Для сложения и вычитания необходимо, чтобы экспоненты были одинаковыми, поэтому необходимы некоторые манипуляции:
(2.456 x 10 ⁵) + (6,0034 × 10 ⁸) Изменить 2,456 x 10 ⁵ на 0,002456 x 10 ⁸
0,002456 + 6,0034 = 6,005856
Ответ: 6,005856 × 10 ⁸
Вычесть (7 × 10 ⁵) — (5,2 × 10 ⁴) Изменить на 7 × 10 ⁵ на 0,52 × 10 ⁴
7 — 0,52 = 6,48
Ответ = 6,48 x 10 ⁴
Теперь вы видите множество примеров научной записи.
Десятичные дроби: округление и научное представление
Результаты обучения
Поймите, что означает округление числа до определенного числа десятичных знаков.
Округлите число до фиксированного количества цифр.
Преобразование из научного представления в десятичное и обратно.
В этом разделе мы рассмотрим, как округлять десятичные дроби до ближайшего целого числа, ближайшей десятой, ближайшей сотой и т.д. десятичный.Мы также посмотрим, как читать научные обозначения. Очень распространенная ошибка, которую допускают студенты, занимающиеся статистикой, заключается в том, что они не замечают, что калькулятор дает ответ в научной записи.
Например, предположим, что вы использовали калькулятор для определения вероятности того, что в случайно выбранный июльский день будет температура выше 90 градусов. Ваш калькулятор дает ответ: 0,4987230156. Это слишком много цифр для практического использования, поэтому имеет смысл округлить до нескольких цифр.К концу этого раздела вы сможете выполнить округление, необходимое для управления неуправляемыми числами.
Краткий обзор десятичного языка
Рассмотрим десятичное число: 62,5739. Существует определенный способ обозначения каждой из цифр.
Цифра 6 стоит в «разряде десятков»
Цифра 2 находится в «Единичном месте»
Цифра 5 стоит на «разряде десятых»
Цифра 7 находится в «разряде сотых»
Цифра 3 находится в «разряде тысячных долей»
Цифра 9 стоит на «десятитысячных»
Мы также говорим, что 62 — это часть «Целое число».
Запоминание этого примера поможет вам, когда вас попросят округлить до определенного числового значения.
Пример \ (\ PageIndex {1} \)
Сообщается, что среднее количество занятий, которые студенты посещают каждый семестр, составляет 3,2541. Тогда цифра в разряде сотых будет 5.
Правила округления
Теперь, когда мы рассмотрели разряды чисел, мы готовы перейти к процессу округления до заданного разряда.При запросе округления до указанного значения разряда в ответе стираются все цифры после указанной цифры. Процесс работы с другими цифрами лучше всего продемонстрировать на примерах.
Пример \ (\ PageIndex {2} \): Случай 1 — Контрольная цифра меньше 5
Округлите 3,741 до десятых.
Решение
Поскольку контрольная цифра (4) меньше 5, мы просто стираем все, что находится справа от десятой цифры, 7. Ответ: 3.7.
Пример \ (\ PageIndex {3} \): Случай 2 — Контрольная цифра 5 или больше
Округлите 8,53792 до сотых.
Решение
Поскольку контрольная цифра (6) равна 5 или больше, мы прибавляем единицу к сотой цифре и стираем все, что находится справа от сотой цифры, 3. Таким образом, 3 становится 4. Ответ: 8,54.
Пример \ (\ PageIndex {4} \): Случай 3 — Контрольная цифра 5 или больше, а цифра позиции округления — 9
Раунд 0.014952 до четырех десятичных знаков.
Решение

Контрольная цифра 5, поэтому мы должны округлить в большую сторону. Позиция округления — 9, а добавление 1 дает 10, что не является однозначным числом. Вместо этого посмотрите на две цифры слева от контрольной цифры: 49. Если мы прибавим 1 к 49, мы получим 50. Таким образом, ответ будет 0,0150.
Приложения
Округление используется в большинстве областей статистики, поскольку калькулятор или компьютер выдаст числовые ответы с гораздо большим количеством цифр, чем полезно.Если вам не сказали, до какого числа десятичных знаков следует округлить, тогда вам часто нужно думать о наименьшем количестве десятичных знаков, которое нужно сохранить, чтобы не терять важную информацию. Например, предположим, что вы провели выборку, чтобы найти долю студентов колледжа, получающих финансовую помощь, и калькулятор представил 0,568429314. Вы можете превратить это в процент на 56,8429314%. Нет приложений, в которых полезно хранить такое количество десятичных знаков. Если, например, вы хотите представить этот результат студенческому самоуправлению, вы можете округлить его до ближайшего целого числа.В этом случае цифра единиц равна 6, а контрольная цифра — 8. Поскольку 8 > 5, вы добавляете 1 к разряду единиц. Вы можете сообщить студенческому самоуправлению, что 57% всех студентов колледжей получают финансовую помощь.
Пример \ (\ PageIndex {5} \)
Предположим, вы узнали, что вероятность того, что случайно выбранный человек, злоупотребивший рецептурными опиоидами, перейдет на героин, составляет 0,04998713. Округлите это число до четырех десятичных знаков.
Решение
Первые четыре десятичных знака — 0.0499, а тестовая цифра — 8. Поскольку 8 > 5, мы хотим добавить 1 к четвертой цифре. Поскольку это 9, мы переходим к следующей цифре слева. Это также 9, поэтому мы переходим к следующему — 4. Мы можем подумать о сложении 0499 + 1 = 0500. Таким образом, ответ будет 0,0500. Обратите внимание, что мы оставляем последние два нуля после 5, чтобы подчеркнуть, что это с точностью до четвертого десятичного знака.
Округление и арифметика
Часто нам приходится выполнять арифметические действия с числами с несколькими десятичными знаками и требовать округления ответа до меньшего числа десятичных знаков.Вы можете задать один вопрос: нужно ли округлять до выполнения арифметических действий или после. Для получения наиболее точного результата вы всегда должны округлять после предварительной арифметической обработки, если это возможно.
Когда вас просят выполнить арифметику и представить, вы округлите ответ до фиксированного числа десятичных знаков, округляя только после выполнения арифметики.
Пример \ (\ PageIndex {6} \)
Предположим, вы выбрали три карты из колоды из 52 карт с заменой и хотите найти вероятность события A, что ни одна из трех карт не будет червой от 2 до 7.3 = \ text {0.6
67973} \ nonumber \]
Теперь округляем до двух знаков после запятой. Обратите внимание, что сотая цифра — это 9, а контрольная цифра — 2. Таким образом, 9 остается неизменной, а все, что справа от 9, исчезает. результат
\ [P \ влево (A \ вправо) \ приблизительно 0,69 \ nonumber \]
Если бы мы по ошибке округлили 0,8846 до двух десятичных знаков (0,88), а затем построили куб, мы получили бы 0,68, что не является правильным ответом.
Научная запись
Когда калькулятор представляет число в научном представлении, мы должны обращать внимание на то, что оно представляет.{23} \ nonumber \]
Основная цель научного обозначения — дать нам возможность писать очень большие числа или числа, очень близкие к 0, без необходимости использовать такое количество цифр. Большинство калькуляторов и компьютеров используют другую нотацию для научной записи, скорее всего, потому, что надстрочный индекс трудно отобразить на экране. Например, с калькулятором:
\ [0,00000032 = 3,2E-7 \ nonumber \]
Обратите внимание, что для получения 3,2 десятичную дробь нужно переместить на 7 разрядов вправо.
Пример \ (\ PageIndex {7} \)
На калькуляторе отображается:
\ [2.0541E6 \ nonumber \]
Запишите это число в десятичной форме.
Решение
Обратите внимание, что число после E — 6. Это означает, что десятичная дробь переместится на 6 разрядов вправо. Первые 4 хода являются естественными, но для последних 2 ходов нет чисел, которые можно было бы переместить десятичный разряд. Мы всегда можем добавить дополнительные нули после последнего числа справа от десятичного знака:
\ [2.0541E6 = 2.054100E6 \ nonumber \]
Теперь мы можем переместить десятичный знак вправо на 6 разрядов, чтобы получить
\ [2.0541E6 = 2.054100E6 = 2 054 100 \ nonumber \]
Пример \ (\ PageIndex {8} \)
Если вы используете калькулятор или компьютер, чтобы найти вероятность подбросить монету 27 раз и получить все решки, то отобразится:
\ [7.45E-9 \ nonumber \]
Запишите это число в десятичной форме.
Решение
Многие студенты забудут искать букву «Е» и просто напишут, что вероятность равна 7.45, но вероятность никогда не может быть больше 1. У вас не может быть 745% вероятности того, что это произойдет. Обратите внимание, что число, следующее за E, равно −9. Поскольку степень отрицательна, это означает, что десятичная дробь переместится влево и, в частности, на 9 знаков влево. Слева от десятичного разряда всего одна цифра, поэтому нам нужно вставить 8 нулей:
\ [7.45E-9 = 000000007.45E-9 \ nonumber \]
Теперь мы можем переместить десятичный знак вправо на 9 разрядов влево, чтобы получить
\ [7.45E − 9 = 000000007.45E − 9 = 0.00000000745 \ nonumber \]
Разрядите четыре цифры
Предыдущий опыт
Студентам было бы полезно проработать эти три более простых блока по числовым значениям перед этим:
Первая сессия
На этом занятии студенты закрепляют свое понимание трехзначных целых чисел и переходят к четырехзначным числам. Они учатся писать числа в развернутой и компактной форме и применять разрядные значения к задачам, в которых они должны заменить заданное число на целевое число.
Введение всего класса
Смоделируйте, как сделать 482 со стрелками.
Попросите учащегося составить число с помощью знаков разряда (Копимастер один) на Таблице размежевых ценностей (второй — напечатайте размер А4) (4 сотни, 8 десятков и 2 единицы).

Разверните карточки со стрелками, чтобы показать, как число состоит из 400 + 80 + 2. Попросите учащихся указать на диаграмме разряда, к какому количеству относится каждая цифра.
Сколько всего в 482? (482)
Сколько десятков в 482? (48)
Где те десятки на мате разряда? (40 десятков в 400)
Спросите студентов: Представьте, что я ввел 482 в калькулятор и хотел изменить его на 502 без очистки.Какую операцию я могу использовать? (добавление двух десятков (20) дает десять десятков, которые переименовываются в сотню и переводятся в столбец сотен, что дает пять сотен и две единицы. Вы можете использовать калькулятор, чтобы показать операцию. Попросите ученика показать, как 482 становится 502 с использованием Place Value People.
Создайте аналогичные задачи с разными числами, например:
739 + 1 = 740, 275 + 30 = 305, 264 + 36 = 300
Смоделируйте каждую операцию с помощью карточек со стрелками и людей, занимающих определенную позицию.Вы можете перейти к примерам из четырех цифр, например 3 571 + 30 = 3 601. Десять страниц из ста человек легко скрепляются скрепкой и образуют тысячи.
Самостоятельное задание для студентов
В этой игре учащиеся работают в группах по три человека. Каждой группе нужен набор карточек со стрелками. В игру можно играть с полным набором карт из тысяч, сотен, десятков и единиц, или же задача может быть уменьшена, играя только с сотнями, десятками и единицами карт.
Инструкции здесь предназначены для более легкой игры.В каждом раунде карты перемешиваются и раздаются одинаково, так что у каждого игрока есть три сотни карт, три десятки и три карты единиц. Для каждого раунда есть целевая подсказка (см. PowerPoint), например «От 300 до 600», «В пределах 50, меньше или больше 700» или «Раунды до 300». Игроки строят числа, чтобы удовлетворить цель. Они могут построить только три числа, поэтому максимальное количество очков составляет три за раунд. Ни одна карта не может быть использована дважды за раунд.
В конце десятого раунда побеждает игрок с наибольшим количеством очков.
Отражение
Задайте этот вызов своим ученикам.
У вас есть эти карточки со стрелками

Какие числа можно составить с помощью этих карточек?
Постарайтесь, чтобы учащиеся систематически подходили к задаче. Мотивируйте их, говоря, что вы думаете, что можно составить только восемь чисел (включая только 3 комбинации карт).
Вы можете попросить учащихся изучить проблему в своих группах или обсудить ее всем классом.
Вы можете использовать древовидную диаграмму для организации возможных чисел, составленных из трех карточек.
Двенадцать чисел также можно составить с помощью двух карточек со стрелками (790, 710, 704, 705, 390, 310, 304, 305, 94, 95, 14, 15), а сами карточки образуют еще шесть чисел (700, 300 , 90, 10, 4, 5).
Вы можете предложить ученикам составить как можно больше чисел с помощью другого набора карточек. Очевидно, что увеличение количества доступных карт увеличивает сложность, так как количество карт сотен, десятков и единиц, включая тысячи карт, увеличивается.
Вторая сессия
На этом занятии студенты разными способами исследуют переименование трех чисел. Гибкость переименования важна для мысленных и письменных вычислений с любым набором чисел, но особенно важна с целыми числами, которые составляют основу других наборов, таких как целые числа и рациональные числа.
Введение всего класса
Игры с изменением калькулятора — это полезный способ для учащихся применить свое понимание разряда.Сложность конкретного изменения заключается в сочетании количества цифр, которые необходимо изменить, и необходимого повторного объединения единиц разряда. Например, заменить 435 на 495 относительно легко, поскольку только десять цифр изменяются на шесть единиц по десять (60), и повторного объединения в единицы не требуется. Однако изменить 435 на 395 значительно сложнее, поскольку меняются и десятки, и сотни цифр, и сто нужно преобразовать в десять десятков.
Воспользуйтесь основным онлайн-калькулятором и введите число 435.«В этой задаче мне нужно изменить 435 на 495, добавляя или вычитая одно число. Я не могу очистить калькулятор и просто ввожу 495. Как я мог это сделать? »
Попросите ученика набрать 435 с числовой ценностью людей на циновке с числовой ценностью, а затем предложите идеи, как изменить число на 495. Когда ученики предлагают предложение, используйте калькулятор, чтобы проверить, работает эта идея или нет. Также выполните операцию с людьми, оценивающими месторасположение, чтобы увидеть, что происходит с величинами, которые представляют числа.
Задайте ряд задач, начиная с 435: Заменить 435 на 515
Заменить 435 на 405
Заменить 435 на 395
Заменить 435 на 488
Заменить 435 на 409
Самостоятельное задание для студентов
Copymaster Three предлагает серию задач по смене калькулятора, которые заметно усложняются. Разрешите учащимся получить доступ к калькуляторам и фотокопиям моделей людей, имеющих ценность (см. Copymaster One), чтобы они могли экспериментировать с различными операциями.
Вы можете разрешить учащимся работать парами или индивидуально для целей оценки. Ищите студентов по адресу:
Обратите внимание, какие цифры меняются между начальным числом и целевым числом
Свяжите эти изменения цифр с задействованными разрядами
Распознавать, когда требуется повторное объединение, например десять десятков составляют сто или сто разбиты на десять десятков
Рассчитайте количество единиц, необходимых для изменения, используя базовые знания фактов, e.грамм. 236 → 286 включает добавление пяти десятков с использованием 3 + 5 = 8
Отражение
Стоит поработать над некоторыми проблемами, с которыми ученики сталкиваются как класс, чтобы поддержать учеников в проверке их идей. В идеале выберите примеры, где требуется повторное объединение.
Например:
В этом случае меняются как разряды десятков, так и сотен. Операция — вычитание, поскольку целевое число меньше начального числа.Итак, чтобы найти нужную операцию, сто нужно преобразовать в десять десятков. На самом деле проще всего увидеть 217 как двадцать одну десятку и семь единиц и найти ответ, используя разницу между 21 и 18 (3 десятки). 217 можно переименовать в «сто одиннадцать семь» и записать как 211 7. Это переименование можно показать, сделав 217 с числовыми значениями людей на мате с числовыми значениями, разрезав сотню на десять десятков и переместив эти десятки в свои. правильное место. Затем можно удалить три десятки (30), чтобы получилось 187.
Третья сессия
В этом сеансе продолжается тема переименования. Учащиеся узнают, что целые числа могут иметь много разных имен в зависимости от того, как разделены и объединены значения мест.
Введение всего класса
Начните с числа 1 11 7 (сто одиннадцатьдесят семь), которое состоит из ста, одиннадцати десятков и семи единиц. Это должно быть знакомо учащимся из предыдущего урока.
Как обычно называют этот номер? (217)
Откуда вторая сотня? (Складывая десять десятков)
Составьте число 4 6 15 (Четыреста шестьдесят пятнадцать).
Как обычно называют этот номер? (475)
Откуда остальные десять? (десять штук)
Составьте четыре сотни, двенадцать десятков и семнадцать единиц (4 12 17)
Как мы можем назвать это число? (Четыреста, двенадцать-ти семнадцать)
Как обычно называют это число? (5 3 7)
Как стало 537?
Покажите, как десять единиц вместе составляют десять, а десять десятков составляют сотню.
Модель 529, сделанная с использованием Place Value People на диаграмме разряда.
Что это за номер?
Какие еще интересные имена можно придумать для этого номера?
Предложите ученикам парами обсудить возможные имена и записать свои идеи.
Возможные имена включают:
529 единиц, 4 сотни 12 десятков и девять единиц, 5 сотен 1 десяток и 19 единиц, 52 десятка и 9 единиц, 42 десятка и 19 единиц и т. Д.
Вы можете создать таблицу возможных имен для 529 с моделями Place Value People для представления этих имен.
Попросите учащихся подтвердить каждое предложение, показывая, как модель 529 может быть преобразована в новое имя.
Самостоятельное задание для студентов
Раздайте ученикам копии обложки Кэти Крокодайл (3-значная версия). Вам понадобится цветной ламинированный набор досок и карточек для каждой группы из пяти учеников в вашем классе. Это задание можно настроить как совместное испытание, охватывающее всех крокодилов, или как соревновательную игру. Студенту нужно будет сыграть в игру несколько раз, чтобы научиться переименовывать трехзначные числа.
Отражение
Возьмите определенные карты из набора «Обложка Кэти Крокодайл» и спросите, какие числа могут быть покрыты этой картой.Например, карточкой 6 сотен □ десятков и 9 единиц можно покрыть последовательность чисел; 609, 619, 629, 639,…, 699, 709, 719,…
Четвертая сессия
На этом занятии студенты расширяют систему счисления до четырехзначных чисел. Они используют модели Place Value People, чтобы показать, как десять сотен вместе образуют тысячу, и обратную операцию деления тысячи на десять сотен.
Целый класс Введение
Для этого занятия вам потребуются фотокопии моделей людей, стоящих на месте, для использования учащимися и степлеры, чтобы объединить сотни в тысячи.Также сделайте копии четырехколоночных таблиц с разметочными ценностями формата A3 (см. Copymaster Two)
Покажите студентам «книгу» из десяти сотен скрепок в верхнем левом углу.
Сколько человек в этой коллекции? Какие подсказки вам нужны, чтобы это выяснить?
Студенты должны спросить, сколько сотен в коллекции (десять), и назвать тысячу как общее количество людей. Используйте тысячи вместе с другими единицами «Местная ценность людей», чтобы сформировать количества, и попросите учащихся написать числа и слова для этих количеств.Важно включать нули в качестве заполнителей в некоторые числа.
Самостоятельное задание для студентов
Для этого задания студенты должны работать парами или тройками. У Copymaster Four есть набор вопросов, основанный на количестве жителей, проживающих в городке Фангамата. Учащимся необходимо составить числа с помощью Place Value People и использовать эту модель для проверки своих ответов при каждом изменении количества жителей. Настаивайте, чтобы учащиеся записывали свои ответы на каждый вопрос и обосновывали, откуда они знают, что число верное.Ранние финишеры могут придумать другие сценарии, чтобы изменить население города.
Ищите своих учеников по номеру:
Определите, какие цифры могут измениться при добавлении или вычитании количества людей из совокупности
Распознать, когда единицы, состоящие из единицы, десяти и ста, будут объединены, чтобы сформировать единицу следующего наивысшего значения разряда
Покажите, как большие единицы разряда могут быть разделены на более мелкие единицы, в частности, тысячи, разделенные на десять сотен, и сотни, разделенные на десять десятков
Отражение
Составьте число 4 000, используя Place Value People на циновке с разметкой.
Сколько людей осталось бы, если бы только один человек покинул этот город?
Используйте калькулятор для проверки прогнозов учащихся (4 000 — 1 = 3 999)
Почему все цифры меняются, когда убрана только одна?
Смоделируйте процесс вычитания.
Составьте число 2 400, используя метку Люди на циновке с разметкой
Сколько людей останется, если десять человек уедут из этого города?
Какие цифры поменяются? Почему?
Смоделируйте процесс.
Предложите учащимся ответить на эту задачу без какой-либо поддержки.
В городе 5 067 человек. Уходит 100 человек. Сколько осталось людей?
Пятая сессия
На этом занятии студенты применяют свое понимание четырехзначных чисел. Они используют модели Place Value People, чтобы показать, сколько сотен, десятков и единиц «вложено» в четырехзначное целое число.
Введение всего класса
Составьте число 483 с помощью Place Value People.
Служба гражданской обороны хочет, чтобы мы сформировали группы из десяти человек для подготовки к чрезвычайным ситуациям, таким как землетрясения или циклоны. Сколько команд мы могли бы собрать с 483?
Посмотрите, могут ли ваши ученики определить, что существует 48 десятков из 483 (40 из 4 сотен и 8 из 8 десятков или восьмидесяти).
Измените количество людей на 1 275 человек спросите, сколько команд из десяти человек может быть сформировано.
Посмотрите, определяют ли ваши ученики, что 127 десятков из 1 275 (100 из 1 тысячи, 20 из 2 сотен и 7 из семидесяти).Возможно, вам придется разделить тысячу на сотни, а затем на десятки физически, чтобы поддержать некоторых студентов.
Задайте количество десятков в 3 709, зная, что ноль может вызвать путаницу. При необходимости смоделируйте число с помощью Place Value People.
Как написать определение числа десятков в 483?
Возможно, вам придется связать эту проблему со следующим вопросом: «Сколько троек из двенадцати?» чтобы ваши ученики связали проблему с разделением. Постарайтесь записать уравнения деления и используйте калькулятор для подтверждения ответов:
483 ÷ 10 = 48.3
1275 ÷ 10 = 127,5
3709 ÷ 10 = 370,9
Спросите студентов, что они замечают. Некоторые могут увидеть, что целое число десятков дано цифрами слева от разряда единиц, а остаток — это цифра единиц.
Что будет, если мы разделим на сто вместо десяти?
483 ÷ 100 = 4,83
1275 ÷ 100 = 12,75
3709 ÷ 100 = 37,09
О чем на самом деле говорят нам эти ответы? (Количество сотен команд, которые могут быть составлены из нескольких человек). Возможно, вам потребуется смоделировать определение количества сотен в 3 709 на примере «Местных ценностей».}

Рабочая тетрадь «Практикум по решению задач. Задача № 19(базовый уровень)»

Задача 19 ЕГЭ математика база

Нахождение всех делителей числа, число делителей числа

Как найти все делители числа

Как определить количество делителей конкретного числа

Как вычислить общие делители нескольких чисел

математических трюков — ядро ​​исследования поведенческих наук

Эта веб-страница посвящена

Попробуйте эти уловки:

Вот несколько интересных ссылок:

Трюк с добавлением магии # 1

Магический квадрат №15

Магический квадрат # 34

Рецепт для вашего собственного волшебного квадрата 3 x 3

Волшебный квадрат вверх ногами

Антимагический квадрат

Выиграйте ставки с этим Magic Square

Математический карточный трюк

Калькулятор молний

Таблицы забавных чисел

Знаете ли вы …?

Математический трюк на этот год

Где строка?

Сумма всех 4-значных чисел, образованных с использованием 0 1 2 3

Список номеров, составленных из цифр 0, 1, 2, 3

— Ценность «К»

Как описанная выше концепция применяется в нашей задаче?

Сумма чисел на первом, втором, третьем и четвертом местах

Сумма всех 4-значных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3 (без повторения)

Степени и экспоненты

Умножение производится алгебраически.

Умножение комплексного числа на действительное

Умножение и абсолютное значение.

Полномочия

Корни единства.

Умножение комплексного числа на

Геометрическая интерпретация умножения.

Примеры научной записи: сокращение уравнений и чисел

Математическая стенография

Примеры научных обозначений

Реальные примеры научной нотации

Расчет с научной нотацией

Десятичные дроби: округление и научное представление

Краткий обзор десятичного языка

Правила округления

Приложения

Округление и арифметика

67973} \ nonumber \]

Научная запись

Разрядите четыре цифры

Предыдущий опыт

Первая сессия

Вторая сессия

Третья сессия

Четвертая сессия

Пятая сессия

Share This Story, Choose Your Platform!

Related Posts

Насморк при прорезывании зубов у детей: причины, симптомы и лечение

Как развивать ребенка в 10 месяцев: игры и занятия для малыша

Во сколько месяцев можно ставить мальчиков в ходунки: оптимальный возраст и безопасность использования

УЗИ брюшной полости у детей: подготовка, проведение и расшифровка результатов

Когда и как вводить прикорм грудному ребенку: рекомендации педиатров

Leave A Comment Отменить ответ

математических трюков — ядро исследования поведенческих наук