На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени: на рисунке 1 дан график зависимости координаты тела от времени. Чему равны амплитуда и

t – ?

x – ?

a – ?

s(t) – ?

v(t) – ?

a(t) – ?

                               Ответ: 40с , 80м , -0,1 м/с².

Физика самостоятельные работы Колебания Основные понятия.

Самостоятельные работы могут быть использованы на разных этапах первых уроков по изучению колебаний в школьном курсе.

В начале урока проверяется знание основных понятий и формул колебательных движений Для более подготовленного класса используется первая работа. При решении задач используется третья работа. Эта работа позволяет уяснить степень усвоения учащимися основных понятий вводной темы и основные алгоритмы решения задач по теме «Колебания». Работы могут быть использованы в конце урока для проверки на сколько хорошо усвоили новый материал После выполнения работа проверяется, чтобы ученики видели, на какие вопросы надо уделить больше внимания при подготовке домашнего задания.

Если в работе 10 заданий, то каждое задание оценивается в 1 балл. Отметка выставляется в соответствии с количеством набранных баллов. Если заданий 8, то шесть заданий по баллу, а два последние по два балла и т.д.

Гармоническое колебание точки описывается уравнением x= 2 sin (100t +) (см)Найдите:

1)частоту колебаний

2) период колебаний

3) циклическую частоту колебаний

4) начальную фазу колебаний

5)амплитуду колебаний

На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени. Используя рисунок, найдите:

6)амплитуду колебаний

7)период колебаний

8) циклическую частоту колебаний

9) фазу колебаний

10)уравнение колебаний тела

Гармоническое колебание точки описывается уравнением x=0,01cos(100t+) (м)Найдите:

1)частоту колебаний

2) период колебаний

3) циклическую частоту колебаний

4) начальную фазу колебаний

5)амплитуду колебаний

На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени. Используя рисунок, найдите:

6)амплитуду колебаний

7)период колебаний

8) циклическую частоту колебаний

9) фазу колебаний

10)уравнение колебаний тела

Гармоническое колебание точки описывается уравнением x= 2 cos (100t+) (м)Найдите:

1)частоту колебаний

2) период колебаний

3) циклическую частоту колебаний

4) начальную фазу колебаний

5)амплитуду колебаний

На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени. Используя рисунок, найдите:

6)амплитуду колебаний

7)период колебаний

8) циклическую частоту колебаний

9) фазу колебаний

10)уравнение колебаний тела

2) Амплитуда колебаний –

3) Частота колебаний-

4) Единица измерения периода колебаний:

5-7. Материальная точка совершает колебания по закону:

х = 0,25 sin( 2t +) (t – в секундах. x-в метрах)

5) Фаза колебаний равна:

6) Амплитуда колебаний точки равна:

7) Частота колебаний равна:

8-10. Дан график зависимости координаты колеблющегося математического от времени. Найдите:

8) амплитуду колебаний

9) путь, пройденный телом за 1,5мс.

10 ) Используя график, запишите кинетический закон гармонического колебания.

2) Период колебаний -…

3) Частота колебаний и период связаны между собой соотношением:

4) Единица измерения частоты колебаний в СИ:

5-7. Материальная точка совершает колебания по закону: x= 4cos(4+ ) ( где t – в секундах , x- в метрах ).

5) Фаза колебаний равна:

6) Амплитуда колебаний точки равна:

7) Период колебаний равен:

8-10. Дан график зависимости координаты колеблющегося математического от времени. Найдите:

8) Амплитуду колебаний;

9) Путь, пройденный телом за 2с. 10 Используя график, запишите кинетический закон гармонического колебания.

2. На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени. Определите период колебаний тела.

3. По графику зависимости координаты тела от времени записать закон колебания тела.

4. Составить уравнение гармонического колебания, если амплитуда колебаний 4 см, период равен 0,01 с. В начальный момент времени смещение точки равно нулю.

5. Амплитуда незатухающих колебаний точки струны 2 мм, частота 1,5 кГц. Какой путь пройдёт эта точка за 3 с?

6. Движение точки описывается уравнением x=5cos(2t+) см. Определить максимальную скорость и максимальное ускорение точки.

7. Мальчик, качающийся на качелях, достигает максимальной скорости 30 раз в

минуту. Определите частоту колебаний качелей.

8. Напишите уравнениеx(t) гармонического колебательного движения, если модуль максимального ускорения точки =50см/период колебаний Т= 2,0с и смещение точки в начальный момент времени 25см.

2. На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени. Определите частоту колебаний тела.

3. По графику зависимости координаты тела от времени записать закон колебания тела.

4. Точка, совершающая гармонические колебания вдоль оси Х, проходит путь 2 м за 2 полных колебания. Определить амплитуду колебаний точки.

5. Материальная точка совершает колебания по закону синуса с частотой 0,5 Гц. Напишите уравнение движения этой точки, если оно начинается из положения х = 40 см. Амплитуда колебаний равна 0,8 м.

6. Движение точки описывается уравнением x=0,2cos(0,1t+ ) м. Определить максимальную скорость и максимальное ускорение точки.

7. Материальная точка совершает гармонические колебания с периодом Т = 1 с.Запишите уравнение колебаний точки, если в начальный момент времени она проходит положение равновесия с положительной скоростью = 6,28 см/с.

8. Амплитуда гармонических колебаний маятника 6 см. Какую часть периода груз маятника находится не далее 3 см от положения равновесия?

2. На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени. Определите частоту колебаний тела.

3. По графику зависимости координаты тела от времени записать закон колебания тела.

4. Пружинный маятник совершает колебания с амплитудой 10 см. масса тела 1 кг. Коэффициент жёсткости пружины равен 400 Н/м. Какова максимальная скорость тела?

5. Напишите уравнение синусоидальных гармонических колебаний материальной точки, если она совершает 45 полных колебаний за 1 мин 30 с и имеет наибольшее отклонение от положения равновесия 5 см. Начальную фазу колебаний принять равной нулю

6. Движение точки описывается уравнением x=0,5cos(0,2t+) м. Определить максимальную скорость и максимальное ускорение точки.

7. Через какой минимальный промежуток времени после начала колебаний смещение точки из положения равновесия будет равно половине амплитуды, если период колебаний равен 12 с, начальная фаза равна нулю? Колебания происходят по закону синуса.

8. Модуль максимальной скорости колебаний материальной точки =63 см/с, амплитуда колебаний А= 4,0см. Определить минимальное время, за которое тело побывает во всех допустимых точках своей траектории.

2. На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени. Определите период колебаний тела.

3. По графику зависимости координаты тела от времени записать закон колебания тела.

4. Точка струны совершает колебания с частотой 1 кГц. Какой путь (в см) пройдет эта точка за 1,2 с, если амплитуда колебаний 1 мм?

5. Определите максимальное ускорение точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А = 15 см, если наибольшая скорость точки = 30 см/с. Напишите уравнение колебаний, приняв начальную фазу, равной нулю.

6. Движение точки описывается уравнением x=2cos(0,5t + ) см. Определить максимальную скорость и максимальное ускорение точки.

7. Движение тела вдоль оси х описывается уравнением x=0,4cos(0,5t+0,5м. Через какой минимальный промежуток времени от момента t=0 тело окажется в точке с координатой х= -0,4 м?

8. Материальная точка массой 10г совершает гармонические колебания с амплитудой А= 10см. Определите частоту колебаний, если максимальная сила, действующая на точку 10мН.

График — зависимость — координата

График — зависимость — координата

Cтраница 1

График зависимости координаты от времени представлен на рис. 1.22 для различных начальных координат и скоростей вдоль оси. Как видно, координаты меняются по линейному закону.  [2]

График зависимости координаты от времени для равноускоренного движения, описываемого формулой (1.37), изображен на рис. 1.29. Формулы (1.37) — (1.40) применимы для описания как прямолинейного, так и криволинейного движения, если ускорение остается постоянным.  [3]

График зависимости координаты от времени представлен на рис. 2.10. Нарисовать графики зависимости скорости и ускорения от времени.  [4]

Часть графика зависимости координаты от времени ниже оси t подобна части графика выше этой оси.  [5]

Часть графика зависимости координаты от времени, расположенная ниже оси t, подобна той части графика, которая выше этой оси.  [6]

Найдите с помощью графиков зависимости координаты от времени момент времени и место соударения частиц, движущихся по одной прямой.  [7]

О 1.2.17. Часть графика зависимости координаты от времени, расположенная ниже оси t, подобна той части графика, которая выше этой оси.  [8]

Найдите с помощью графиков зависимости координаты от времени момент времени и место соударения частиц, движущихся по одной прямой.  [9]

На рис. 9 дан график зависимости координаты тела от времени.  [10]

На рис. 12 представлен график зависимости координаты тела от времени.  [11]

На рис. 9 дан график зависимости координаты тела от времени.  [12]

На рисунке 1.17 дан график зависимости координаты тела от времени. После момента времени ( г кривая графика — парабола.  [13]

Как найти с помощью графика зависимости координаты от времени время и место соударения частиц, движущихся по одной прямой.  [14]

О 3.4.19. На рисунке изображен график зависимости координаты от времени для движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний.  [15]

Страницы:      1    2

3.3 Среднее и мгновенное ускорение — University Physics Volume 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Рассчитайте среднее ускорение между двумя точками времени.
• Рассчитайте мгновенное ускорение с учетом функциональной формы скорости.
• Объясните векторную природу мгновенного ускорения и скорости.
• Объясните разницу между средним ускорением и мгновенным ускорением.
• Найдите мгновенное ускорение в заданное время на графике зависимости скорости от времени.

Важность понимания ускорения охватывает наш повседневный опыт, а также обширные просторы космического пространства и крошечный мир субатомной физики. В повседневном разговоре до ускоряться, означает ускоряться; нажатие педали тормоза приводит к замедлению движения автомобиля. Мы, например, знакомы с ускорением нашей машины. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости за заданный промежуток времени.Ускорение широко наблюдается в экспериментальной физике. Например, в экспериментах с линейным ускорителем частиц субатомные частицы ускоряются до очень высоких скоростей в экспериментах по столкновению, которые сообщают нам информацию о структуре субатомного мира, а также о происхождении Вселенной. В космосе космические лучи — это субатомные частицы, которые были ускорены до очень высоких энергий в сверхновых (взрывающихся массивных звездах) и активных ядрах галактик. Важно понимать процессы, которые ускоряют космические лучи, потому что эти лучи содержат очень проникающее излучение, которое может, например, повредить электронику, установленную на космических кораблях.

Среднее ускорение

Формальное определение ускорения согласуется с этими только что описанными понятиями, но является более всеобъемлющим.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — это скорость изменения скорости:

где

— среднее ускорение, v — скорость, t — время. (Полоса над и означает среднее ускорение .)

Поскольку ускорение — это скорость в метрах, разделенная на время в секундах, единицы измерения ускорения в системе СИ часто обозначаются сокращенно: м / с ² — то есть метры в секунду в квадрате или метры в секунду в секунду. Это буквально означает, на сколько метров в секунду изменяется скорость каждую секунду. Напомним, что скорость — это вектор, он имеет как величину, так и направление, что означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но также может быть изменением направления.Например, если бегун, движущийся со скоростью 10 км / ч на восток, замедляется до остановки, меняет направление, продолжает свой бег со скоростью 10 км / ч на запад, его скорость изменилась в результате изменения направления, хотя величина скорости одинаковы в обоих направлениях. Таким образом, ускорение происходит, когда скорость изменяется по величине (увеличение или уменьшение скорости) или по направлению, или по обоим направлениям.

Ускорение как вектор

Ускорение — это вектор в том же направлении, что и , изменение скорости ,

.Поскольку скорость является вектором, она может изменяться по величине или по направлению, или по обоим направлениям. Следовательно, ускорение — это изменение скорости или направления, или и того, и другого.

Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости, оно не всегда в направлении движения. Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Хотя это обычно называется замедлением (рисунок), мы говорим, что поезд ускоряется в направлении, противоположном его направлению движения.

Термин замедление может вызвать путаницу в нашем анализе, потому что он не является вектором и не указывает на конкретное направление относительно системы координат, поэтому мы его не используем. Ускорение — это вектор, поэтому мы должны выбрать для него соответствующий знак в выбранной нами системе координат.В случае поезда на (Рисунок) ускорение составляет в отрицательном направлении в выбранной системе координат , поэтому мы говорим, что поезд испытывает отрицательное ускорение.

Если движущийся объект имеет скорость в положительном направлении по отношению к выбранной исходной точке и приобретает постоянное отрицательное ускорение, объект в конечном итоге останавливается и меняет направление на противоположное. Если мы подождем достаточно долго, объект пройдет через начало координат в противоположном направлении. Это проиллюстрировано на (Рисунок).

Пример

Расчет среднего ускорения: скакун покидает ворота

Скаковая лошадь, выходящая из ворот, ускоряется из состояния покоя до скорости 15,0 м / с на запад за 1,80 с. Какое у него среднее ускорение?

Стратегия

Сначала мы рисуем эскиз и назначаем систему координат задаче (рисунок). Это простая проблема, но всегда помогает ее визуализировать. Обратите внимание, что мы назначаем восток как положительный, а запад как отрицательный. Таким образом, в этом случае мы имеем отрицательную скорость.

Мы можем решить эту проблему, указав

на основе предоставленной информации, а затем вычисление среднего ускорения непосредственно из уравнения

.

Решение

Сначала определите известных:

(знак минус указывает направление на запад), Δ t = 1,80 с.

Во-вторых, найдите изменение скорости. Поскольку лошадь движется с нуля до –15,0 м / с, ее изменение скорости равно ее конечной скорости:

Наконец, подставьте известные значения (

) и найти неизвестное

:

Значение

Отрицательный знак ускорения указывает на то, что ускорение направлено на запад.Ускорение 8,33 м / с ² на западе означает, что лошадь увеличивает свою скорость на 8,33 м / с на западе каждую секунду; то есть 8,33 метра в секунду в секунду, что мы записываем как 8,33 м / с ² . Это действительно среднее ускорение, потому что поездка не гладкая. Позже мы увидим, что ускорение такой величины потребовало бы от всадника держаться с силой, почти равной его весу.

Проверьте свое понимание

Протонов в линейном ускорителе ускоряются из состояния покоя до

за 10 ^–4 с.Какое среднее ускорение протонов?

[показывать-ответ q = ”fs-id1168327875120 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168327875120 ″]

Вставив знания, получим

[/ hidden-answer]

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение a или ускорение в определенный момент времени получается с использованием того же процесса, который описан для мгновенной скорости.То есть мы вычисляем среднюю скорость между двумя моментами времени, разделенными

и пусть

приближаются к нулю. Результатом является производная функции скорости v ( t ), которая составляет мгновенное ускорение и математически выражается как

Таким образом, подобно тому, как скорость является производной функции положения, мгновенное ускорение является производной функции скорости.Мы можем показать это графически так же, как мгновенную скорость. На (Рисунок) мгновенное ускорение в момент времени t ₀ — это наклон касательной к графику зависимости скорости от времени в момент времени t ₀ . Видим, что среднее ускорение

приближается к мгновенному ускорению как

приближается к нулю. Также в части (а) рисунка мы видим, что скорость имеет максимум, когда ее наклон равен нулю.Это время соответствует нулю функции ускорения. В части (b) показано мгновенное ускорение при минимальной скорости, которая также равна нулю, поскольку наклон кривой там тоже равен нулю. Таким образом, для данной функции скорости нули функции ускорения дают либо минимальную, либо максимальную скорость.

между временами

и

.Когда

, среднее ускорение приближается к мгновенному ускорению в момент времени t0. В виде (а) мгновенное ускорение показано для точки на кривой скорости при максимальной скорости. В этой точке мгновенное ускорение — это наклон касательной, равный нулю. В любое другое время наклон касательной — и, следовательно, мгновенное ускорение — не будет нулевым. (b) То же, что (a), но показано для мгновенного ускорения при минимальной скорости.

Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим два примера.Во-первых, простой пример показан с использованием (Рисунок) (b), графика зависимости скорости от времени (Рисунок), для графического определения ускорения. Этот график изображен на (Рисунок) (а), который представляет собой прямую линию. Соответствующий график ускорения в зависимости от времени находится по наклону скорости и показан на (Рисунок) (b). В этом примере функция скорости представляет собой прямую линию с постоянным наклоном, поэтому ускорение является постоянным. В следующем примере функция скорости имеет более сложную функциональную зависимость от времени.

Если мы знаем функциональную форму скорости, v ( t ), мы можем вычислить мгновенное ускорение a ( t ) в любой момент времени в движении, используя (рисунок).

Пример

Расчет мгновенного ускорения

Частица движется и ускоряется.Функциональная форма скорости

.

1. Найдите функциональную форму ускорения.
2. Найдите мгновенную скорость при t = 1, 2, 3 и 5 с.
3. Найдите мгновенное ускорение при t = 1, 2, 3 и 5 с.
4. Интерпретируйте результаты (c) в терминах направлений векторов ускорения и скорости.

Стратегия

Функциональную форму ускорения находим, взяв производную от функции скорости.Затем мы вычисляем значения мгновенной скорости и ускорения из заданных функций для каждой. Для части (d) нам нужно каждый раз сравнивать направления скорости и ускорения.

Решение

2. ,

   ,

   ,

3. ,

   ,

   ,

4. При т = 1 с, скорость

   положительное значение, а ускорение положительное, поэтому скорость и ускорение идут в одном направлении.Частица движется быстрее.

При т = 2 с, скорость увеличилась до

, где он максимальный, что соответствует моменту, когда ускорение равно нулю. Мы видим, что максимальная скорость достигается, когда наклон функции скорости равен нулю, что является просто нулем функции ускорения.

При т = 3 с, скорость

и ускорение отрицательное. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицательный.Частица замедляется.

При т = 5 с, скорость

и ускорение становится все более отрицательным. Между моментами времени t = 3 с и t = 5 с частица уменьшила свою скорость до нуля, а затем стала отрицательной, таким образом изменив свое направление. Теперь частица снова ускоряется, но в противоположном направлении.

Мы можем увидеть эти результаты графически на (Рисунок).

Значение

Выполняя численный и графический анализ скорости и ускорения частицы, мы можем многое узнать о ее движении.Численный анализ дополняет графический анализ, давая полное представление о движении. Нуль функции ускорения соответствует максимуму скорости в этом примере. Также в этом примере, когда ускорение положительное и в том же направлении, что и скорость, скорость увеличивается. По мере того, как ускорение стремится к нулю и в конечном итоге становится отрицательным, скорость достигает максимума, после чего начинает уменьшаться. Если мы подождем достаточно долго, скорость также станет отрицательной, что указывает на изменение направления.Реальным примером такого движения является автомобиль, скорость которого увеличивается до максимума, после чего он начинает замедляться, останавливается, а затем меняет направление движения.

Проверьте свое понимание

Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, летящей на восток. Опишите его ускорение.

[показывать-ответ q = ”fs-id1168327963777 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168327963777 ″]

Если принять за положительное значение восток, то самолет имеет отрицательное ускорение, потому что он ускоряется в сторону запада.Он также замедляется; его ускорение противоположно направлению его скорости.

[/ hidden-answer]

Ощущение ускорения

Вы, вероятно, привыкли испытывать ускорение, когда заходите в лифт или нажимаете на педаль газа в машине. Однако ускорение происходит со многими другими объектами в нашей Вселенной, с которыми мы не имеем прямого контакта. (Рисунок) представлено ускорение различных объектов. Мы можем видеть, что величины ускорений простираются на многие порядки.

В этой таблице мы видим, что типичные ускорения сильно различаются для разных объектов и не имеют никакого отношения к размеру объекта или его массивности.Ускорение также может сильно меняться со временем во время движения объекта. У дрэг-рейсера сразу после старта наблюдается большое ускорение, но затем оно уменьшается, когда транспортное средство достигает постоянной скорости. Его среднее ускорение может сильно отличаться от его мгновенного ускорения в определенный момент времени во время его движения. (Рисунок) графически сравнивает среднее ускорение с мгновенным ускорением для двух очень разных движений.

Сводка

• Ускорение — это скорость изменения скорости.Ускорение — это вектор; он имеет как величину, так и направление. Единица измерения ускорения в системе СИ — метр на секунду в квадрате.
• Ускорение может быть вызвано изменением величины или направления скорости, либо и тем, и другим.
• Мгновенное ускорение a ( t ) является непрерывной функцией времени и дает ускорение в любой конкретный момент во время движения. Он рассчитывается по производной функции скорости. Мгновенное ускорение — это наклон графика зависимости скорости от времени.
• Отрицательное ускорение (иногда называемое замедлением) — это ускорение в отрицательном направлении в выбранной системе координат.

Концептуальные вопросы

Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, когда ускорение не равно нулю?

[показывать-ответ q = ”fs-id1168328025381 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168328025381 ″]

Нет, в одном измерении постоянная скорость требует нулевого ускорения.

[/ hidden-answer]

Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, когда ускорение не равно нулю? Объяснять.

Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение — нет.

[показывать-ответ q = ”fs-id11683282

″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11683282

″]

Мяч подбрасывается в воздух, и его скорость равна нулю на вершине броска, но ускорение не равно нулю.

[/ hidden-answer]

Если поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, в каком направлении он ускоряется? Ускорение положительное или отрицательное?

Знаки плюс и минус используются в одномерном движении для обозначения направления.Каков знак ускорения, уменьшающего величину отрицательной скорости? Положительной скорости?

[показывать-ответ q = ”fs-id1168328228855 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168328228855 ″]

Плюс, минус

[/ hidden-answer]

Гепард может разогнаться от состояния покоя до скорости 30,0 м / с за 7,00 с. Какое у него ускорение?

[показывать-ответ q = ”fs-id1168328195958 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168328195958 ″]

[/ hidden-answer]

Доктор.Джон Пол Стапп был офицером ВВС США, изучавшим влияние экстремального ускорения на человеческое тело. 10 декабря 1954 года Стапп проехал на ракетных санях, разогнавшись из состояния покоя до максимальной скорости 282 м / с (1015 км / ч) за 5,00 с и резко остановившись всего за 1,40 с. Вычислите его (а) ускорение в направлении его движения и (б) ускорение, противоположное его направлению движения. Выразите каждое значение кратным g (9,80 м / с ² ), взяв его отношение к ускорению свободного падения.

Нарисуйте график зависимости ускорения от времени из следующего графика зависимости скорости от времени.

Пассажир выезжает на машине из гаража с ускорением 1,40 м / с. ² . а) Сколько времени ей нужно, чтобы набрать скорость 2,00 м / с? (b) Если она затем тормозит до остановки за 0,800 с, каково ее ускорение?

Предположим, межконтинентальная баллистическая ракета переходит из состояния покоя в суборбитальную скорость 6.50 км / с за 60,0 с (фактическая скорость и время засекречены). Каково его среднее ускорение в метрах в секунду и кратное g (9,80 м / с ² )?

[show-answer q = ”fs-id1168325667515 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1168325667515 ″]

[/ hidden-answer]

Самолет, стартуя из состояния покоя, движется по взлетно-посадочной полосе с постоянным ускорением в течение 18 с, а затем взлетает со скоростью 60 м / с.Какое среднее ускорение самолета?

Глоссарий

среднее ускорение

скорость изменения скорости; изменение скорости с течением времени

мгновенное ускорение

ускорение в определенный момент времени

3.3 Среднее и мгновенное ускорение

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Рассчитайте среднее ускорение между двумя точками времени.
• Рассчитайте мгновенное ускорение с учетом функциональной формы скорости.
• Объясните векторную природу мгновенного ускорения и скорости.
• Объясните разницу между средним ускорением и мгновенным ускорением.
• Найдите мгновенное ускорение в заданное время на графике зависимости скорости от времени.

Важность понимания ускорения охватывает наш повседневный опыт, а также обширные просторы космического пространства и крошечный мир субатомной физики.В повседневном разговоре до ускоряться, означает ускоряться; нажатие педали тормоза приводит к замедлению движения автомобиля. Мы, например, знакомы с ускорением нашей машины. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости за заданный промежуток времени. Ускорение широко наблюдается в экспериментальной физике. Например, в экспериментах с линейным ускорителем частиц субатомные частицы ускоряются до очень высоких скоростей в экспериментах по столкновению, которые сообщают нам информацию о структуре субатомного мира, а также о происхождении Вселенной.В космосе космические лучи — это субатомные частицы, которые были ускорены до очень высоких энергий в сверхновых (взрывающихся массивных звездах) и активных ядрах галактик. Важно понимать процессы, которые ускоряют космические лучи, потому что эти лучи содержат очень проникающее излучение, которое может, например, повредить электронику, установленную на космических кораблях.

Среднее ускорение

Формальное определение ускорения согласуется с этими только что описанными понятиями, но является более всеобъемлющим.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — это скорость изменения скорости:

[латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {0}}, [/ latex]

, где [latex] \ overset {\ text {-}} {a} [/ latex] — среднее ускорение, v — скорость, а t — время. (Полоса над и означает среднее ускорение .)

Поскольку ускорение — это скорость в метрах, разделенная на время в секундах, единицы измерения ускорения в системе СИ часто обозначаются сокращенно: м / с ² — то есть метры в секунду в квадрате или метры в секунду в секунду.Это буквально означает, на сколько метров в секунду изменяется скорость каждую секунду. Напомним, что скорость — это вектор, он имеет как величину, так и направление, что означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но также может быть изменением направления. Например, если бегун, движущийся со скоростью 10 км / ч на восток, замедляется до остановки, меняет направление, продолжает свой бег со скоростью 10 км / ч на запад, его скорость изменилась в результате изменения направления, хотя величина скорости одинаковы в обоих направлениях.Таким образом, ускорение происходит, когда скорость изменяется по величине (увеличение или уменьшение скорости) или по направлению, или по обоим направлениям.

Ускорение как вектор

Ускорение — это вектор в том же направлении, что и , изменение скорости на , [latex] \ text {Δ} v [/ latex]. Поскольку скорость является вектором, она может изменяться по величине или по направлению, или по обоим направлениям. Следовательно, ускорение — это изменение скорости или направления, или и того, и другого.

Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости, оно не всегда в направлении движения.Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Хотя это обычно называется замедлением (рисунок), мы говорим, что поезд ускоряется в направлении, противоположном его направлению движения.

Рисунок 3.10 Поезд метро в Сан-Паулу, Бразилия, замедляет ход при входе на станцию. Он ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения. (кредит: Юсуке Кавасаки)

Термин замедление может вызвать путаницу в нашем анализе, потому что он не является вектором и не указывает на конкретное направление относительно системы координат, поэтому мы его не используем.Ускорение — это вектор, поэтому мы должны выбрать для него соответствующий знак в выбранной нами системе координат. В случае поезда на (Рисунок) ускорение составляет в отрицательном направлении в выбранной системе координат , поэтому мы говорим, что поезд испытывает отрицательное ускорение.

Если движущийся объект имеет скорость в положительном направлении по отношению к выбранной исходной точке и приобретает постоянное отрицательное ускорение, объект в конечном итоге останавливается и меняет направление на противоположное.Если мы подождем достаточно долго, объект пройдет через начало координат в противоположном направлении. Это проиллюстрировано на (Рисунок).

Рисунок 3.11 Объект, движущийся с вектором скорости на восток при отрицательном ускорении, останавливается и меняет направление на противоположное. Через достаточно долгое время он проходит исходную точку в обратном направлении.

Пример

Расчет среднего ускорения: скакун покидает ворота

Скаковая лошадь, выходящая из ворот, набирает скорость до 15.0 м / с на запад за 1.80 с. Какое у него среднее ускорение?

Рисунок 3.12 Скаковые лошади ускоряются из ворот. (кредит: Джон Салливан)

Стратегия

Сначала мы рисуем эскиз и назначаем систему координат задаче (рисунок). Это простая проблема, но всегда помогает ее визуализировать. Обратите внимание, что мы назначаем восток как положительный, а запад как отрицательный. Таким образом, в этом случае мы имеем отрицательную скорость.

Рисунок 3.13 Определите систему координат, данную информацию и то, что вы хотите определить.

Мы можем решить эту проблему, определив [latex] \ text {Δ} v \, \ text {and} \, \ text {Δ} t [/ latex] из заданной информации, а затем вычислив среднее ускорение непосредственно из уравнение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {{v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {0}} [/ latex].

Решение

Сначала определите известные: [latex] {v} _ {0} = 0, {v} _ {\ text {f}} = — 15.0 \, \ text {m / s} [/ latex] (отрицательный указывает направление на запад), Δ t = 1.80 с.

Во-вторых, найдите изменение скорости. Поскольку лошадь движется с нуля до –15,0 м / с, ее изменение скорости равно ее конечной скорости:

[латекс] \ text {Δ} v = {v} _ {\ text {f}} — {v} _ {0} = {v} _ {\ text {f}} = — 15.0 \, \ text { РС}. [/ латекс]

Наконец, подставьте известные значения ([latex] \ text {Δ} v \, \ text {and} \, \ text {Δ} t [/ latex]) и решите для неизвестного [latex] \ overset {\ text {-}} {a} [/ latex]:

[латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {-15.{2}. [/ латекс]

Значение

Отрицательный знак ускорения указывает на то, что ускорение направлено на запад. Ускорение 8,33 м / с ² на западе означает, что лошадь увеличивает свою скорость на 8,33 м / с на западе каждую секунду; то есть 8,33 метра в секунду в секунду, что мы записываем как 8,33 м / с ² . Это действительно среднее ускорение, потому что поездка не гладкая. Позже мы увидим, что ускорение такой величины потребовало бы от всадника держаться с силой, почти равной его весу.{2}. [/ латекс]

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение a или ускорение в определенный момент времени получается с использованием того же процесса, который описан для мгновенной скорости. То есть мы вычисляем среднюю скорость между двумя моментами времени, разделенными [латексом] \ text {Δ} t [/ latex], и позволяем [latex] \ text {Δ} t [/ latex] приближаться к нулю. Результатом является производная функции скорости v ( t ), которая составляет мгновенное ускорение и математически выражается как

[латекс] a (t) = \ frac {d} {dt} v (t).[/ латекс]

Таким образом, подобно тому, как скорость является производной функции положения, мгновенное ускорение является производной функции скорости. Мы можем показать это графически так же, как мгновенную скорость. На (Рисунок) мгновенное ускорение в момент времени t ₀ — это наклон касательной к графику зависимости скорости от времени в момент времени t ₀ . Мы видим, что среднее ускорение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} [/ latex] приближается к мгновенному ускорению, как [латекс] \ text {Δ} t [/ latex] стремится к нулю.Также в части (а) рисунка мы видим, что скорость имеет максимум, когда ее наклон равен нулю. Это время соответствует нулю функции ускорения. В части (b) показано мгновенное ускорение при минимальной скорости, которая также равна нулю, поскольку наклон кривой там тоже равен нулю. Таким образом, для данной функции скорости нули функции ускорения дают либо минимальную, либо максимальную скорость.

Рис. 3.14 На графике зависимости скорости от времени мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной.(a) Показано среднее ускорение [латекс] \ overset {\ text {-}} {a} = \ frac {\ text {Δ} v} {\ text {Δ} t} = \ frac {{v} _ { \ text {f}} — {v} _ {i}} {{t} _ {\ text {f}} — {t} _ {i}} [/ latex] между временами [латекс] \ text {Δ} t = {t} _ {6} — {t} _ {1}, \ text {Δ} t = {t} _ {5} — {t} _ {2} [/ латекс] и [латекс] \ текст {Δ} t = {t} _ {4} — {t} _ {3} [/ latex]. Когда [latex] \ text {Δ} t \ to 0 [/ latex], среднее ускорение приближается к мгновенному ускорению в момент времени t0. В виде (а) мгновенное ускорение показано для точки на кривой скорости при максимальной скорости.В этой точке мгновенное ускорение — это наклон касательной, равный нулю. В любое другое время наклон касательной — и, следовательно, мгновенное ускорение — не будет нулевым. (b) То же, что (a), но показано для мгновенного ускорения при минимальной скорости.

Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, давайте рассмотрим два примера. Во-первых, простой пример показан с использованием (Рисунок) (b), графика зависимости скорости от времени (Рисунок), для графического определения ускорения. Этот график изображен на (Рисунок) (а), который представляет собой прямую линию.Соответствующий график ускорения в зависимости от времени находится по наклону скорости и показан на (Рисунок) (b). В этом примере функция скорости представляет собой прямую линию с постоянным наклоном, поэтому ускорение является постоянным. В следующем примере функция скорости имеет более сложную функциональную зависимость от времени.

Рис. 3.15 (a, b) График зависимости скорости от времени является линейным и имеет постоянный отрицательный наклон (a), который равен ускорению, показанному на (b).

Если мы знаем функциональную форму скорости, v ( t ), мы можем вычислить мгновенное ускорение a ( t ) в любой момент времени в движении, используя (рисунок).{2} \, \ text {m / s} [/ латекс].

1. Найдите функциональную форму ускорения.
2. Найдите мгновенную скорость при t = 1, 2, 3 и 5 с.
3. Найдите мгновенное ускорение при t = 1, 2, 3 и 5 с.
4. Интерпретируйте результаты (c) в терминах направлений векторов ускорения и скорости.

Стратегия

Функциональную форму ускорения находим, взяв производную от функции скорости.{2} [/ латекс]

При t = 2 с, скорость увеличилась до [latex] v (2 \, \ text {s)} = 20 \, \ text {m / s} [/ latex], где она максимальна, что соответствует моменту, когда ускорение равно нулю. Мы видим, что максимальная скорость достигается, когда наклон функции скорости равен нулю, что является просто нулем функции ускорения.

При t = 3 с, скорость равна [latex] v (3 \, \ text {s)} = 15 \, \ text {m / s} [/ latex], а ускорение отрицательное. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицательный. Частица замедляется.

При t = 5 с, скорость равна [latex] v (5 \, \ text {s)} = — 25 \, \ text {m / s} [/ latex], а ускорение становится все более отрицательным. Между моментами времени t = 3 с и t = 5 с частица уменьшила свою скорость до нуля, а затем стала отрицательной, таким образом изменив свое направление.Теперь частица снова ускоряется, но в противоположном направлении.

Мы можем увидеть эти результаты графически на (Рисунок).

Рис. 3.16 (а) Скорость в зависимости от времени. Касательные линии указаны в моменты времени 1, 2 и 3 с. Наклон касательных — это ускорение. При t = 3 с скорость положительная. При t = 5 с скорость отрицательна, что указывает на то, что частица изменила направление на противоположное. (б) Ускорение против времени. Сравнивая значения ускорений, представленные черными точками, с соответствующими наклонами касательных линий (наклон линий через черные точки) на (а), мы видим, что они идентичны.

Значение

Выполняя численный и графический анализ скорости и ускорения частицы, мы можем многое узнать о ее движении. Численный анализ дополняет графический анализ, давая полное представление о движении. Нуль функции ускорения соответствует максимуму скорости в этом примере. Также в этом примере, когда ускорение положительное и в том же направлении, что и скорость, скорость увеличивается. По мере того, как ускорение стремится к нулю и в конечном итоге становится отрицательным, скорость достигает максимума, после чего начинает уменьшаться.Если мы подождем достаточно долго, скорость также станет отрицательной, что указывает на изменение направления. Реальным примером такого движения является автомобиль, скорость которого увеличивается до максимума, после чего он начинает замедляться, останавливается, а затем меняет направление движения.

Проверьте свое понимание

Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, летящей на восток. Опишите его ускорение.

Если принять за положительное значение восток, то самолет имеет отрицательное ускорение, потому что он ускоряется в сторону запада.Он также замедляется; его ускорение противоположно направлению его скорости.

Ощущение ускорения

Вы, вероятно, привыкли испытывать ускорение, когда заходите в лифт или нажимаете на педаль газа в машине. Однако ускорение происходит со многими другими объектами в нашей Вселенной, с которыми мы не имеем прямого контакта. (Рисунок) представлено ускорение различных объектов. Мы можем видеть, что величины ускорений простираются на многие порядки.

В этой таблице мы видим, что типичные ускорения сильно различаются для разных объектов и не имеют никакого отношения к размеру объекта или его массивности. Ускорение также может сильно меняться со временем во время движения объекта. У дрэг-рейсера сразу после старта наблюдается большое ускорение, но затем оно уменьшается, когда транспортное средство достигает постоянной скорости. Его среднее ускорение может сильно отличаться от его мгновенного ускорения в определенный момент времени во время его движения.(Рисунок) графически сравнивает среднее ускорение с мгновенным ускорением для двух очень разных движений.

Рис. 3.17 Графики мгновенного ускорения в зависимости от времени для двух различных одномерных движений. (а) Ускорение меняется незначительно и всегда в одном и том же направлении, поскольку оно положительное. Среднее значение за интервал почти такое же, как и ускорение в любой момент времени. (b) Ускорение сильно различается, возможно, представляя пакет на конвейерной ленте почтового отделения, который ускоряется вперед и назад, когда он натыкается.В такой ситуации необходимо учитывать небольшие интервалы времени (например, от 0 до 1,0 с) с постоянным или почти постоянным ускорением.

Сводка

• Ускорение — это скорость изменения скорости. Ускорение — это вектор; он имеет как величину, так и направление. Единица измерения ускорения в системе СИ — метр на секунду в квадрате.
• Ускорение может быть вызвано изменением величины или направления скорости, либо и тем, и другим.
• Мгновенное ускорение a ( t ) является непрерывной функцией времени и дает ускорение в любой конкретный момент во время движения.Он рассчитывается по производной функции скорости. Мгновенное ускорение — это наклон графика зависимости скорости от времени.
• Отрицательное ускорение (иногда называемое замедлением) — это ускорение в отрицательном направлении в выбранной системе координат.

Концептуальные вопросы

Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, когда ускорение не равно нулю?

Нет, в одном измерении постоянная скорость требует нулевого ускорения.

Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, когда ускорение не равно нулю? Объяснять.

Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение — нет.

Мяч подбрасывается в воздух, и его скорость равна нулю на вершине броска, но ускорение не равно нулю.

Если поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, в каком направлении он ускоряется? Ускорение положительное или отрицательное?

Знаки плюс и минус используются в одномерном движении для обозначения направления.{2} [/ латекс]

Доктор Джон Пол Стапп был офицером ВВС США, изучавшим влияние экстремального ускорения на человеческое тело. 10 декабря 1954 года Стапп проехал на ракетных санях, разогнавшись из состояния покоя до максимальной скорости 282 м / с (1015 км / ч) за 5,00 с и резко остановившись всего за 1,40 с. Вычислите его (а) ускорение в направлении его движения и (б) ускорение, противоположное его направлению движения. Выразите каждое значение кратным g (9,80 м / с ² ), взяв его отношение к ускорению свободного падения.

Нарисуйте график зависимости ускорения от времени из следующего графика зависимости скорости от времени.

Пассажир выезжает на машине из гаража с ускорением 1,40 м / с. ² . а) Сколько времени ей нужно, чтобы набрать скорость 2,00 м / с? (b) Если она затем тормозит до остановки за 0,800 с, каково ее ускорение?

Предположим, что межконтинентальная баллистическая ракета переходит из состояния покоя в суборбитальную скорость 6,50 км / с за 60,0 с (фактическая скорость и время засекречены).Каково его среднее ускорение в метрах в секунду и кратное g (9,80 м / с ² )?

Самолет, стартуя из состояния покоя, движется по взлетно-посадочной полосе с постоянным ускорением в течение 18 с, а затем взлетает со скоростью 60 м / с. Какое среднее ускорение самолета?

Глоссарий

среднее ускорение

скорость изменения скорости; изменение скорости с течением времени

мгновенное ускорение

ускорение в определенный момент времени

11.2 Угловой момент | Университетская физика, том 1,

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите векторную природу углового момента
• Найдите полный угловой момент и крутящий момент относительно заданной точки начала системы частиц
• Вычислить угловой момент твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси
• Расчет крутящего момента на твердом теле, вращающемся вокруг фиксированной оси
• Использование сохранения углового момента при анализе объектов, изменяющих скорость вращения

Почему Земля продолжает вращаться? С чего все завелось? Почему гравитационное притяжение Земли не приближает Луну к Земле? И как фигуристке удается вращаться все быстрее и быстрее, просто втягивая в себя руки? Почему ей не нужно прикладывать крутящий момент, чтобы вращаться быстрее?

Ответ в новом сохраняемом количестве, поскольку все эти сценарии находятся в закрытых системах.Эта новая величина, угловой момент, аналогична импульсу. В этой главе мы сначала определяем, а затем исследуем угловой момент с различных точек зрения. Однако сначала мы исследуем угловой момент отдельной частицы. Это позволяет нам развить угловой момент для системы частиц и для твердого тела, имеющего цилиндрическую симметрию.

Угловой момент отдельной частицы

(рисунок) показывает частицу в позиции [латекс] \ overset {\ to} {r} [/ latex] с линейным импульсом [латекс] \ overset {\ to} {p} = m \ overset {\ to} { v} [/ latex] относительно происхождения.Даже если частица не вращается вокруг начала координат, мы все равно можем определить угловой момент в терминах вектора положения и линейного момента.

Угловой момент частицы

Угловой момент [латекс] \ overset {\ to} {l} [/ latex] частицы определяется как перекрестное произведение [латекса] \ overset {\ to} {r} [/ latex] и [латекс] \ overset {\ to} {p} [/ latex] и перпендикулярен плоскости, содержащей [латекс] \ overset {\ to} {r} [/ latex] и [латекс] \ overset {\ to} {p}: [/ latex]

[латекс] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p}.[/ латекс]

Рисунок 11.9 В трехмерном пространстве вектор положения [latex] \ overset {\ to} {r} [/ latex] определяет местонахождение частицы в плоскости xy с линейным импульсом [latex] \ overset {\ to} {p} [/ латекс]. Угловой момент относительно начала координат равен [latex] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} [/ latex], который находится в z-направлении. Направление [латекса] \ overset {\ to} {l} [/ latex] задается правилом правой руки, как показано.

Намерение выбрать направление углового момента перпендикулярно плоскости, содержащей [латекс] \ overset {\ to} {r} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex ] аналогичен выбору направления крутящего момента, которое должно быть перпендикулярно плоскости [латекса] \ overset {\ to} {r} \, \ text {and} \, \ overset {\ to} {F}, [/ latex ], как описано в разделе «Вращение с фиксированной осью».{2} \ text {/} \ text {s} [/ latex].

Как и в случае с определением крутящего момента, мы можем определить плечо рычага [латекс] {r} _ {\ perp} [/ latex], которое представляет собой перпендикулярное расстояние от вектора импульса [латекс] \ overset {\ to} {p} [/ latex] в источник, [latex] {r} _ {\ perp} = r \, \ text {sin} \, \ theta. [/ latex] При таком определении величина углового момента становится

[латекс] l = {r} _ {\ perp} p = {r} _ {\ perp} мв. [/ латекс]

Мы видим, что если направление [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex] таково, что оно проходит через начало координат, то [latex] \ theta = 0, [/ latex] и угловой момент равен нулю, потому что плечо рычага равно нулю.В этом отношении величина углового момента зависит от выбора начала координат.

Если мы возьмем производную от углового момента по времени, то получим выражение для крутящего момента на частице:

[латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {l}} {dt} = \ frac {d \ overset {\ to} {r}} {dt} \, × \, \ overset {\ to} {p} + \ overset {\ to} {r} \, × \, \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt} = \ overset {\ to} {v} \, × \, m \ overset {\ to} {v} + \ overset {\ to} {r} \, × \, \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt} = \ overset {\ to} { r} \, × \, \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt}.[/ латекс]

Здесь мы использовали определение [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex] и тот факт, что вектор, пересекающийся сам с собой, равен нулю. Согласно второму закону Ньютона, [латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {F}, [/ latex] чистая сила, действующая на частицу, и определение чистого крутящего момента, мы можем написать

[латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {l}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {\ tau}. [/ латекс]

Обратите внимание на сходство с линейным результатом второго закона Ньютона, [латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {p}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {F} [/ latex].Следующая стратегия решения проблем может служить руководством для расчета углового момента частицы.

Стратегия решения проблем: угловой момент частицы

1. Выберите систему координат, относительно которой необходимо вычислить угловой момент.
2. Запишите радиус-вектор точечной частицы в записи единичного вектора.
3. Запишите вектор импульса частицы в записи единичного вектора.
4. Возьмите векторное произведение [латекс] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} [/ latex] и используйте правый- правило руки, чтобы установить направление вектора момента количества движения.
5. Посмотрите, есть ли зависимость от времени в выражении вектора углового момента. Если есть, то существует крутящий момент относительно начала координат, и используйте [latex] \ frac {d \ overset {\ to} {l}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex ] для расчета крутящего момента. Если в выражении для углового момента нет зависимости от времени, то чистый крутящий момент равен нулю.

Пример

Угловой момент и крутящий момент на метеоре

Метеор входит в атмосферу Земли ((Рисунок)) и кто-то наблюдает за ним на земле, прежде чем он сгорит в атмосфере.{2} (\ text {-} \ hat {j}) [/ latex] вдоль его пути, который для наших целей можно принять за прямую линию. {2}) (\ text {-} \ hat {j}) = 30.{5} \, \ text {N} · \ text {m} (\ text {-} \ hat {k}). \ Hfill \ end {array} [/ latex]

Значение

Поскольку метеор ускоряется вниз к Земле, его радиус и вектор скорости изменяются. Следовательно, поскольку [latex] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} [/ latex], угловой момент изменяется как функция времени. Крутящий момент на метеоре относительно начала координат, однако, постоянен, потому что плечо рычага [латекс] {\ overset {\ to} {r}} _ {\ perp} [/ латекс] и сила, действующая на метеор, являются постоянными.Этот пример важен тем, что показывает, что угловой момент зависит от выбора начала координат, относительно которого он рассчитывается. Методы, использованные в этом примере, также важны для определения углового момента для системы частиц и твердого тела.

Проверьте свое понимание

Протон, вращающийся вокруг магнитного поля, совершает круговое движение в плоскости бумаги, как показано ниже. Круговой путь имеет радиус 0,4 м, а скорость протона [латекс] 4.{2} \ text {/} \ text {s} \ hat {k} [/ latex]

Угловой момент системы частиц

Угловой момент системы частиц важен во многих научных дисциплинах, одной из которых является астрономия. Рассмотрим спиральную галактику, вращающийся остров звезд, подобный нашему Млечному Пути. Отдельные звезды можно рассматривать как точечные частицы, каждая из которых имеет свой угловой момент. Векторная сумма отдельных угловых моментов дает полный угловой момент галактики. В этом разделе мы разрабатываем инструменты, с помощью которых мы можем вычислить полный угловой момент системы частиц.

В предыдущем разделе мы ввели угловой момент одиночной частицы около указанной точки начала координат. Выражение для этого углового момента: [latex] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p}, [/ latex], где вектор [latex] \ overset {\ to} {r} [/ latex] — это путь от начала координат до частицы, а [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex] — это линейный импульс частицы. Если у нас есть система из N частиц, каждая из которых имеет вектор положения от начала координат, заданное [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {i} [/ latex], и каждая имеет импульс [latex] { \ overset {\ to} {p}} _ {i}, [/ latex] тогда полный угловой момент системы частиц относительно начала координат равен векторной сумме индивидуальных угловых моментов относительно начала координат.То есть

[латекс] \ overset {\ to} {L} = {\ overset {\ to} {l}} _ {1} + {\ overset {\ to} {l}} _ {2} + \ cdots + { \ overset {\ to} {l}} _ {N}. [/ латекс]

Аналогично, если частица и подвергается действию чистого крутящего момента [латекс] {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {i} [/ latex] относительно начала координат, то мы можем найти чистый крутящий момент относительно происхождение за счет системы частиц путем дифференцирования (рисунок):

[латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {L}} {dt} = \ sum _ {i} \ frac {d {\ overset {\ to} {l}} _ {i}} {dt } = \ sum _ {i} {\ overset {\ to} {\ tau}} _ {i}.[/ латекс]

Сумма отдельных крутящих моментов создает чистый внешний крутящий момент в системе, который мы обозначаем [латекс] \ sum \ overset {\ to} {\ tau}. [/ latex] Таким образом,

[латекс] \ frac {d \ overset {\ to} {L}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {\ tau}. [/ латекс]

(рисунок) утверждает, что скорость изменения полного углового момента системы равна чистому внешнему крутящему моменту, действующему на систему, когда обе величины измеряются относительно данного источника. (рисунок) может применяться к любой системе, имеющей чистый угловой момент, включая твердые тела, как обсуждается в следующем разделе.

Пример

Угловой момент трех частиц

Ссылаясь на (Рисунок) (а), определите полный угловой момент трех частиц около начала координат. б) Какова скорость изменения углового момента?

Рис. 11.11 Три частицы в плоскости xy с разными векторами положения и импульса.

Стратегия

Запишите векторы положения и импульса для трех частиц. Вычислите отдельные угловые моменты и сложите их как векторы, чтобы найти полный угловой момент.{2} \ text {/} \ text {s} \ hat {k}. [/ латекс]

Значение

Этот пример иллюстрирует принцип суперпозиции для углового момента и момента системы частиц.Необходимо соблюдать осторожность при оценке радиус-векторов [латекс] {\ overset {\ to} {r}} _ {i} [/ latex] частиц для вычисления угловых моментов и плеч рычага, [латекс] {\ overset {\ to} {r}} _ {i \ perp} [/ latex] для расчета крутящих моментов, поскольку это совершенно разные величины.

Угловой момент твердого тела

Мы исследовали угловой момент отдельной частицы, который мы обобщили на систему частиц. Теперь мы можем использовать принципы, рассмотренные в предыдущем разделе, для развития концепции углового момента твердого тела.У небесных объектов, таких как планеты, есть угловой момент из-за их вращения и орбит вокруг звезд. В технике все, что вращается вокруг оси, несет угловой момент, например, маховики, пропеллеры и вращающиеся части в двигателях. Знание угловых моментов этих объектов имеет решающее значение для проектирования системы, частью которой они являются.

Чтобы получить угловой момент твердого тела, мы моделируем твердое тело как состоящее из небольших массовых сегментов, [latex] \ text {Δ} {m} _ {i}.[/ latex] На (Рисунок) твердое тело вынуждено вращаться вокруг оси z с угловой скоростью [латекс] \ omega [/ latex]. Все массовые сегменты, составляющие твердое тело, совершают круговое движение вокруг оси z с одинаковой угловой скоростью. В части (а) рисунка показан массовый сегмент [латекс] \ text {Δ} {m} _ {i} [/ latex] с вектором положения [латекс] {\ overset {\ to} {r}} _ {i} [/ latex] от начала координат и радиуса [latex] {R} _ {i} [/ latex] до оси z . Величина его тангенциальной скорости равна [латекс] {v} _ {i} = {R} _ {i} \ omega [/ latex].Поскольку векторы [latex] {\ overset {\ to} {v}} _ {i} \, \ text {и} \, {\ overset {\ to} {r}} _ {i} [/ latex] являются перпендикулярно друг другу, величина углового момента этого массового сегмента составляет

[латекс] {l} _ {i} = {r} _ {i} (\ text {Δ} m {v} _ {i}) \ text {sin} \, 90 \ text {°}. [/ латекс]

Рис. 11.12 (a) Твердое тело вынуждено вращаться вокруг оси z. Твердое тело симметрично относительно оси z. Массовый сегмент [латекс] \ text {Δ} {m} _ {i} [/ latex] расположен в позиции [latex] {\ overset {\ to} {r}} _ {i}, [/ latex], которая образует угол [латекс] {\ theta} _ {i} [/ latex] по отношению к оси z.Показано круговое движение бесконечно малого массового сегмента. (b) [latex] {\ overset {\ to} {l}} _ {i} [/ latex] — угловой момент массового сегмента и имеет компонент вдоль оси z [латекс] {({\ overset {\ to} {l}} _ {i})} _ {z} [/ latex].

Используя правило правой руки, вектор углового момента указывает в направлении, показанном в части (b). Сумма угловых моментов всех массовых сегментов содержит компоненты как вдоль, так и перпендикулярно оси вращения. Каждый массовый сегмент имеет перпендикулярную составляющую углового момента, которая компенсируется перпендикулярной составляющей идентичного массового сегмента на противоположной стороне твердого тела.Таким образом, компонент вдоль оси вращения является единственным компонентом, который дает ненулевое значение при суммировании по всем массовым сегментам. В части (b) компонент [латекс] {\ overset {\ to} {l}} _ {i} [/ latex] вдоль оси вращения составляет

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill {({l} _ {i})} _ {z} & = {l} _ {i} \ text {sin} \, {\ theta} _ {i} = ({r} _ {i} \ text {Δ} {m} _ {i} {v} _ {i}) \ text {sin} \, {\ theta} _ {i}, \ hfill \\ & = ({r} _ {i} \ text {sin} \, {\ theta} _ {i}) (\ text {Δ} {m} _ {i} {v} _ {i}) = {R} _ {i} \ text {Δ} {m} _ {i} {v} _ {i}.{2}, [/ latex], который представляет собой момент инерции тонкого обруча, показанного на (Рисунок). Таким образом, величина момента количества движения вдоль оси вращения твердого тела, вращающегося с угловой скоростью [латекс] \ omega [/ латекс] вокруг оси, составляет

[латекс] L = I \ omega. [/ латекс]

Это уравнение аналогично величине количества движения [латекс] p = mv [/ латекс]. Направление вектора углового момента направлено вдоль оси вращения, заданной правилом правой руки.

Пример

Угловой момент манипулятора робота

Рука робота на марсоходе, таком как Curiosity , показанном на (Рисунок), имеет длину 1,0 м и имеет щипцы на свободном конце для захвата камней. Масса руки 2,0 кг, масса щипцов 1,0 кг. См. (Рисунок). Рука робота и щипцы перемещаются из состояния покоя в [латекс] \ omega = 0,1 \ pi \, \ text {rad} \ text {/} \ text {s} [/ latex] за 0,1 с. Он вращается вниз и поднимает марсианский камень массой 1,5 кг. Ось вращения — это точка, в которой рука робота соединяется с марсоходом.(a) Каков угловой момент манипулятора робота вокруг оси вращения через 0,1 с, когда рука перестала ускоряться? (б) Каков угловой момент манипулятора робота, когда он держит в своих щипцах марсианский камень и вращается вверх? (c) Когда рука не имеет камня в щипцах, каков крутящий момент в точке, где рука соединяется с марсоходом, когда он ускоряется от состояния покоя до своей конечной угловой скорости?

Рисунок 11.13 Рука робота на марсоходе наклоняется и поднимает марсианский камень.(кредит: модификация работы NASA / JPL-Caltech)

Стратегия

Мы используем (рисунок), чтобы найти угловой момент в различных конфигурациях. Когда рука вращается вниз, правило правой руки дает вектор углового момента, направленный за пределы страницы, который мы будем называть положительным направлением z . Когда рука вращается вверх, правило правой руки задает направление вектора углового момента на страницу или в отрицательном направлении z-.{2} \ text {/} \ text {s} \ text {.} [/ Latex]

Теперь вектор углового момента направлен на страницу в направлении [latex] \ text {-} \ hat {k} [/ latex] по правилу правой руки, так как рука робота теперь вращается по часовой стрелке.

Значение

Угловой момент в (а) меньше, чем в (б) из-за того, что момент инерции в (б) больше, чем (а), в то время как угловая скорость такая же.

Проверьте свое понимание

Который имеет больший угловой момент: твердая сфера массой м , вращающаяся с постоянной угловой частотой [латекс] {\ omega} _ {0} [/ latex] вокруг оси z , или твердый цилиндр того же самого масса и скорость вращения относительно оси z ?

[латекс] {I} _ {\ text {сфера}} = \ frac {2} {5} m {r} ^ {2}, \ enspace {I} _ {\ text {цилиндр}} = \ frac { 1} {2} м {г} ^ {2} [/ латекс]; Из отношения угловых моментов получаем:

[латекс] \ frac {{L} _ {\ text {цилиндр}}} {{L} _ {\ text {сфера}}} = \ frac {{I} _ {\ text {цилиндр}} {\ omega } _ {0}} {{I} _ {\ text {сфера}} {\ omega} _ {0}} = \ frac {\ frac {1} {2} m {r} ^ {2}} {\ frac {2} {5} m {r} ^ {2}} = \ frac {5} {4} [/ latex].Таким образом, цилиндр имеет [латекс] на 25% [/ латекс] больше углового момента. Это связано с тем, что масса цилиндра распределена дальше от оси вращения.

Сводка

• Угловой момент [латекс] \ overset {\ to} {l} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} [/ latex] отдельной частицы около обозначенная точка отсчета является векторным произведением вектора положения в данной системе координат и импульса частицы.
• Момент импульса [латекс] \ overset {\ to} {l} = \ sum _ {i} {\ overset {\ to} {l}} _ {i} [/ latex] системы частиц около указанного origin — это векторная сумма отдельных импульсов частиц, составляющих систему.
• Чистый крутящий момент в системе относительно данного начала координат — это производная по времени углового момента относительно этого начала: [latex] \ frac {d \ overset {\ to} {L}} {dt} = \ sum \ overset {\ to} {\ tau} [/ латекс].
• Жесткое вращающееся тело имеет угловой момент [латекс] L = I \ omega [/ латекс], направленный вдоль оси вращения. Производная по времени от углового момента [latex] \ frac {dL} {dt} = \ sum \ tau [/ latex] дает чистый крутящий момент на твердом теле и направлен вдоль оси вращения.

Концептуальные вопросы

Можно ли присвоить частице угловой момент без предварительного определения точки отсчета?

Есть ли у частицы, движущейся по прямой линии, точки, в которых угловой момент равен нулю? Предположим, что линия пересекает начало координат.

Все точки на прямой дадут нулевой угловой момент, потому что вектор, пересекающийся с параллельным вектором, равен нулю.

При каких условиях твердое тело имеет угловой момент, но не линейный момент?

Если частица движется относительно выбранной точки начала координат, она имеет линейный импульс. Какие условия должны существовать для того, чтобы угловой момент этой частицы был равен нулю относительно выбранного начала координат?

Частица должна двигаться по прямой, проходящей через выбранную точку начала координат.

Если вы знаете скорость частицы, можете ли вы сказать что-нибудь об угловом моменте частицы?

Проблемы

Частица весом 0,2 кг движется по линии [latex] y = 2.0 \, \ text {m} [/ latex] со скоростью [latex] 5.0 \, \ text {m} \ text {/} \ text { s} [/ латекс]. Каков угловой момент частицы относительно начала координат?

Птица летит над вашим местом на высоте 300,0 м со скоростью 20, горизонтально по отношению к земле.0 м / с. Птица имеет массу 2,0 кг. Радиус-вектор птицы составляет угол [латекс] \ тета [/ латекс] по отношению к земле. Радиус-вектор птицы и ее вектор импульса лежат в плоскости xy . Каков момент количества движения птицы относительно точки, в которой вы стоите?

Величина перекрестного произведения радиуса птицы и ее вектора импульса дает [latex] rp \, \ text {sin} \, \ theta [/ latex], что дает [latex] r \, \ text {sin } \, \ theta [/ latex] как высота птицы h .{2} \ text {/} \ text {s} \ hat {k} [/ latex]

Болид Формулы-1 массой 750,0 кг проезжает трассу в Монако и входит в круговой поворот со скоростью 220,0 км / ч против часовой стрелки относительно начала круга. На другом участке дистанции автомобиль входит во второй круговой поворот на скорости 180 км / ч также против часовой стрелки. Если радиус кривизны первого поворота составляет 130,0 м, а радиус второго — 100,0 м, сравните угловые моменты гоночного автомобиля в каждом повороте относительно начала кругового поворота.

Частица массой 5,0 кг имеет вектор положения [latex] \ overset {\ to} {r} = (2.0 \ hat {i} -3.0 \ hat {j}) \ text {m} [/ latex] в определенном момент времени, когда его скорость равна [latex] \ overset {\ to} {v} = (3.0 \ hat {i}) \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex] относительно Происхождение. а) Каков угловой момент частицы? (b) Если в этот момент на частицу действует сила [латекс] \ overset {\ to} {F} = 5.0 \ hat {j} \, \ text {N} [/ latex], каков крутящий момент источник?

а.{2} \ text {/} \ text {s} \ hat {k} [/ latex];

г. [латекс] \ overset {\ to} {\ tau} = 10.0 \, \ text {N} · \ text {m} \ hat {k} [/ latex]

Используйте правило правой руки, чтобы определить направления угловых моментов относительно начала координат частиц, как показано ниже. Ось z- находится вне страницы.

Предположим, что частицы в предыдущей задаче имеют массу [латекс] {m} _ {1} = 0,10 \, \ text {kg,} \ enspace {m} _ {2} = 0,20 \, \ text {kg,} \ Enspace {m} _ {3} = 0,30 \, \ text {kg,} [/ latex] [latex] {m} _ {4} = 0.40 \, \ text {кг} [/ латекс]. Скорость частиц [латекс] {v} _ {1} = 2.0 \ hat {i} \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex], [latex] {v} _ {2} = (3.0 \ hat {i} -3.0 \ hat {j}) \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex], [latex] {v} _ {3} = -1,5 \ hat {j} \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex], [latex] {v} _ {4} = — 4,0 \ hat {i} \ text {m} \ text {/} \ text {s} [/ latex]. (а) Вычислите угловой момент каждой частицы относительно начала координат. (б) Каков полный угловой момент четырехчастичной системы относительно начала координат?

а.{2} \ text {/} \ text {s} [/ latex]; б. Нет, угловой момент остается прежним, поскольку перекрестное произведение включает только перпендикулярное расстояние от плоскости до земли независимо от того, где она находится на своем пути.

В определенный момент положение частицы весом 1,0 кг таково: [latex] \ overset {\ to} {r} = (2.0 \ hat {i} -4.0 \ hat {j} +6.0 \ hat {k}) \ text {m} [/ latex], его скорость [латекс] \ overset {\ to} {v} = (- 1.0 \ hat {i} +4.0 \ hat {j} +1.0 \ hat {k}) \ text { m} \ text {/} \ text {s} [/ latex], и сила, действующая на него, равна [latex] \ overset {\ to} {F} = (10.0 \ hat {i} +15.0 \ hat {j}) \ text {N} [/ latex]. а) Каков угловой момент частицы относительно начала координат? б) Каков крутящий момент частицы относительно начала координат? (c) Какова скорость изменения углового момента частицы в данный момент?

Частица массой м. падает в точку [latex] (\ text {-} d, 0) [/ latex] и падает вертикально в гравитационном поле Земли [latex] \ text {-} g \ hat {j }. [/ latex] (a) Каково выражение для углового момента частицы вокруг оси z , которая указывает прямо за пределы страницы, как показано ниже? (b) Рассчитайте крутящий момент на частицу вокруг оси z .(c) Равен ли крутящий момент скорости изменения углового момента во времени?

а. [латекс] \ overset {\ to} {v} = \ text {-} gt \ hat {j}, \ enspace {\ overset {\ to} {r}} _ {\ perp} = \ text {-} d \ hat {i}, \ enspace \ overset {\ to} {l} = mdgt \ hat {k} [/ latex];

г. [латекс] \ overset {\ to} {F} = \ text {-} mg \ hat {j}, \ enspace \ sum \ overset {\ to} {\ tau} = dmg \ hat {k} [/ latex] ; c. да

(a) Вычислите угловой момент Земли на ее орбите вокруг Солнца. (b) Сравните этот угловой момент с угловым моментом Земли вокруг своей оси.{2} \ text {/} \ text {s} [/ latex]

Спутник вращается со скоростью 6,0 об / с. Спутник состоит из основного корпуса в форме шара радиусом 2,0 м и массой 10 000 кг, а также двух антенн, выступающих из центра масс основного корпуса, которые можно аппроксимировать стержнями длиной 3,0 м и массой 10. кг. Антенна лежит в плоскости вращения. Какой угловой момент спутника?

Винт состоит из двух лопастей длиной 3,0 м каждая и массой 120 кг каждая.{4} \, \ text {N} · \ text {m} [/ latex]

Американские горки имеют массу 3000,0 кг и должны безопасно пройти через вертикальную круговую петлю радиусом 50,0 м. Каков минимальный угловой момент подставки в нижней части петли, чтобы она могла безопасно пройти? Пренебрегайте трением на трассе. Возьмите каботажное судно за точечную частицу.

Маунтинбайкер совершает прыжок в гонке и взлетает в воздух. Горный велосипед движется со скоростью 10,0 м / с, прежде чем взлететь. Если масса переднего колеса велосипеда составляет 750 г и имеет радиус 35 см, каков момент количества движения вращающегося колеса в воздухе в момент отрыва велосипеда от земли?

[латекс] \ omega = 28.{2} \ text {/} \ text {s} [/ latex]

Глоссарий

угловой момент

вращательный аналог количества движения, вычисляемый как произведение момента инерции на угловую скорость

Горизонтальное и вертикальное смещение снаряда

Предыдущие диаграммы, таблицы и обсуждение относятся к тому, как горизонтальные и вертикальные компоненты вектора скорости меняются со временем в ходе траектории снаряда.Теперь мы исследуем, каким образом горизонтальная и вертикальная составляющие смещения снаряда меняются со временем. Как уже обсуждалось, вертикальное смещение (обозначенное символом y в обсуждении ниже) снаряда зависит только от ускорения свободного падения и не зависит от горизонтальной скорости. Таким образом, вертикальное смещение ( y ) снаряда можно предсказать, используя то же уравнение, которое используется для нахождения смещения свободно падающего объекта, совершающего одномерное движение.Это уравнение обсуждалось в Блоке 1 Физического Класса. Уравнение можно записать следующим образом.

, где g составляет -9,8 м / с / с, а t — время в секундах. Вышеприведенное уравнение относится к снаряду без начальной вертикальной скорости и, как таковое, предсказывает расстояние по вертикали, на которое снаряд падает, если его уронить из состояния покоя.Ранее также обсуждалось, что сила тяжести не влияет на горизонтальное движение снаряда. Горизонтальное смещение снаряда зависит только от скорости, с которой он движется по горизонтали ( v _ix ) и количества времени ( t ), в течение которого он перемещался по горизонтали. Таким образом, если бы горизонтальное смещение ( x ) снаряда было представлено уравнением, то это уравнение было бы записано как

На схеме ниже показана траектория снаряда (красным), путь снаряда, выпущенного из состояния покоя без горизонтальной скорости (синий) и путь того же объекта при выключенной гравитации (зеленый).Положение объекта отображается с интервалом в 1 секунду. В этом примере начальная горизонтальная скорость составляет 20 м / с, а начальная вертикальная скорость отсутствует (то есть в случае горизонтально запущенного снаряда).

Как видно на диаграмме выше, вертикальное расстояние, выпадающее из состояния покоя в течение каждой последующей секунды, увеличивается (т. Е. Существует вертикальное ускорение). Также можно видеть, что вертикальное смещение соответствует приведенному выше уравнению (y = 0,5 • g • t ² ).Кроме того, поскольку нет горизонтального ускорения, горизонтальное расстояние, которое снаряд преодолевает каждую секунду, является постоянной величиной — снаряд проходит горизонтальное расстояние 20 метров каждую секунду. Это соответствует начальной горизонтальной скорости 20 м / с. Таким образом, горизонтальное смещение составляет 20 м за 1 секунду, 40 метров за 2 секунды, 60 метров за 3 секунды и т. Д. Эта информация обобщена в таблице ниже.

Теперь рассмотрим значения смещения для снаряда, выпущенного под углом к ​​горизонтали (т.е. снаряда, выпущенного негоризонтально). Как наличие начальной вертикальной составляющей скорости повлияет на значения смещения? На схеме ниже показано положение снаряда, выпущенного под углом к ​​горизонтали. Снаряд по-прежнему падает 4,9 м, 19.2. Однако свободный от гравитации путь больше не является горизонтальной линией, поскольку снаряд запускается не горизонтально. В отсутствие силы тяжести снаряд поднимется на расстояние по вертикали, эквивалентное времени, умноженному на вертикальную составляющую начальной скорости (v _iy • t). При наличии силы тяжести он упадет на расстояние 0,5 • g • t ² . Объединение этих двух влияний на вертикальное смещение дает следующее уравнение .

y = v _iy • t + 0.5 • г • т ²

, где v _iy — начальная вертикальная скорость в м / с, t — время в секундах, а g = -9,8 м / с / с (приблизительное значение ускорения свободного падения). Если снаряд запускается с начальной вертикальной скоростью 19,6 м / с и начальной горизонтальной скоростью 33,9 м / с, то смещения снаряда по осям x и y могут быть рассчитаны с использованием приведенных выше уравнений.Ниже приведен пример расчета.

В следующей таблице приведены результаты таких расчетов для первых четырех секунд движения снаряда.

Данные в таблице выше показывают симметричный характер траектории снаряда.Вертикальное смещение снаряда т за секунд до достижения пика такое же, как вертикальное смещение снаряда т за секунд после достижения пика. Например, снаряд достигает своего пика за 2 секунды; вертикальное смещение такое же в 1 секунду (1 секунда до достижения пика) такое же, как и в 3 секунды (1 секунда после достижения пика). Кроме того, время достижения пика (2 секунды) такое же, как время падения с его пика (2 секунды).

Используйте свое понимание снарядов, чтобы ответить на следующие вопросы. Затем нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.

1. Анна Литикал сбрасывает мяч с высоты 78,4-метровой скалы. Сколько времени потребуется, чтобы мяч достиг земли и на какой высоте он будет находиться после каждой секунды движения?

Щелкните здесь, чтобы увидеть диаграмму ситуации.

2. Пушечное ядро ​​запускается горизонтально с вершины обрыва высотой 78,4 метра. Сколько времени потребуется, чтобы мяч достиг земли и на какой высоте он будет находиться после каждой секунды полета?

Щелкните здесь, чтобы увидеть диаграмму ситуации.

3. Заполните таблицу ниже, указав значения горизонтальной и вертикальной составляющих скорости и ускорения снаряда.

4. На схеме ниже показана траектория снаряда, выпущенного негоризонтально с возвышенности на вершине обрыва. Начальная горизонтальная и вертикальная составляющие скорости составляют 8 м / с и 19,6 м / с соответственно. Отображаются положения объекта с интервалом в 1 секунду. Определите горизонтальную и вертикальную скорости в каждый момент времени, показанный на диаграмме.

Следующая диаграмма относится к вопросам №1 и №2 выше. Используется масштаб, где 1 см = 5 метров. (Обратите внимание, что 1 см может быть разным расстоянием для разных компьютерных мониторов; поэтому на схеме указана линейка в сантиметрах.)

Вернуться к вопросу №1.

Вернуться к вопросу №2.

графиков и диаграмм | SkillsYouNeed

Картинка, как говорят, расскажет тысячу слов.А как насчет графика или диаграммы?

Хороший график или диаграмма может отображать до нескольких абзацев слов. Но как выбрать, какой стиль графика использовать?

На этой странице изложены некоторые основы рисования и создания хороших графиков и диаграмм. Под «хорошими» мы подразумеваем те, которые показывают то, что вы хотите, и не вводят читателя в заблуждение.

Типы графиков

Есть несколько различных типов диаграмм и диаграмм. Четыре наиболее распространенных — это, вероятно, линейные диаграммы, гистограммы и гистограммы, круговые диаграммы и декартовы диаграммы.Обычно они используются и лучше всего подходят для совершенно разных целей.

Вы должны использовать:

• Гистограммы для отображения чисел, которые не зависят друг от друга. Примеры данных могут включать такие вещи, как количество людей, которые предпочли китайскую еду на вынос, индийскую еду на вынос и рыбу с жареным картофелем.

• Круговые диаграммы , чтобы показать вам, как целое делится на разные части. Например, вы можете захотеть показать, как бюджет был потрачен на разные статьи в конкретном году.

• Линейные графики показывают, как числа менялись с течением времени. Они используются, когда у вас есть данные, которые связаны, и для отображения тенденций, например, средней ночной температуры в каждом месяце года.

• Декартовы графики имеют числа на обеих осях, что позволяет вам показать, как изменения в одном элементе влияют на другой. Они широко используются в математике, особенно в алгебре .

Оси

Графики имеют две оси , линии, проходящие через нижнюю и верхнюю стороны.Линия внизу называется горизонтальной или осью x , а линия вверху сбоку называется вертикальной или осью y .

• Ось x может содержать категории или числа. Вы читаете это в нижнем левом углу графика.
• Ось y обычно содержит числа, снова начиная с нижнего левого угла графика.

Числа на оси Y обычно, но не всегда, начинаются с 0 в нижнем левом углу графика и движутся вверх.Обычно оси графика помечены, чтобы указать тип данных, которые они показывают.

Остерегайтесь графиков, на которых ось Y не начинается с 0, так как они могут попытаться ввести вас в заблуждение относительно показанных данных (подробнее об этом читайте на нашей странице, Everyday Mathematics ).

Гистограммы и гистограммы

Гистограммы обычно имеют категории на оси x и числа на оси y (но они взаимозаменяемы). Это означает, что вы можете сравнивать числа в разных категориях.Категории должны быть независимыми, то есть изменения в одной из них не влияют на другие.

Вот сводка «некоторых данных» в таблице данных:

И те же данные, отображаемые на гистограмме:

Вы сразу видите, что этот график дает вам четкое представление о том, какая категория самая большая, а какая самая маленькая.Это дает четкое сравнение между категориями.

Вы также можете использовать график для считывания информации о том, сколько человек входит в каждую категорию, без необходимости возвращаться к таблице данных, которая может или не может быть предоставлена ​​с каждым графиком, который вы видите.

Как правило, вы можете рисовать гистограммы с горизонтальными или вертикальными полосами, потому что это не имеет никакого значения. Стержни не касаются .

Гистограмма — это особый тип гистограммы, где категории — это диапазоны чисел .Следовательно, гистограммы показывают комбинированные непрерывные данные.

Гистограмма — рабочий пример

Вам дан список возрастов в годах, и вам нужно отобразить их в виде графика.

Возраст:
5, 12, 23, 22, 28, 17, 11, 21, 25, 23, 7, 16, 13, 39, 35, 42, 24, 31, 35, 36, 35, 34, 37, 44, 51, 53, 46, 45 и 57.

Вы можете сгруппировать их по десятилетним возрастным категориям: 0–10, 11–20, 21–30 и так далее:

Чтобы отобразить эти данные в виде гистограммы, ваша ось x будет пронумерована десятками от 0 до вашего наивысшего возраста, ось y от 0 до 8 (наибольшее количество людей в любой группе), и не будет промежутков между полосами , потому что нет промежутков между возрастными диапазонами.

Пиктограммы

Пиктограмма — это особый тип гистограммы. Вместо того, чтобы использовать ось с числами, он использует изображения для представления определенного количества элементов. Например, вы можете использовать пиктограмму для данных о возрасте выше, с изображением человека, чтобы показать количество людей в каждой категории:

Круговые диаграммы

Круговая диаграмма выглядит как круг (или круговая диаграмма), разрезанный на сегменты. Круговые диаграммы используются, чтобы показать, как целое разбивается на части.

Например, эти данные показывают объем продаж за год с разбивкой по кварталам:

Из круговой диаграммы сразу видно, что продажи в первом квартале были намного больше, чем во всех остальных: более 50% от общего годового объема продаж.

За 2-м кварталом было около 25% продаж.

Не зная больше ничего об этом бизнесе, вы можете быть обеспокоены тем, что продажи упали за год.

Круговые диаграммы , в отличие от гистограмм, показывают зависимых данных .

Общие продажи за год должны были произойти в том или ином квартале. Если вы ошиблись в цифрах, а первый квартал должен быть меньше, в один из других кварталов будут добавлены продажи для компенсации, при условии, что вы не ошиблись с итоговой суммой.

Круговые диаграммы показывают проценты от целого. Таким образом, ваша сумма составляет 100%, а размеры сегментов круговой диаграммы пропорциональны, чтобы представлять процент от общей суммы. Подробнее о процентах см. На нашей странице: Введение в проценты .

Обычно нецелесообразно использовать круговые диаграммы для более чем 5 или 6 различных категорий. Многие сегменты трудно визуализировать, и такие данные могут быть лучше отображены на диаграмме или графике другого типа.

Линейные графики

Линейные графики обычно используются для отображения зависимых данных и, в частности, тенденций во времени.

Линейные графики отображают количество баллов для каждой категории, которые объединены в линию. Мы также можем использовать данные круговой диаграммы в виде линейного графика.

Еще более очевидно, что продажи за год резко упали, хотя к концу года замедление выровняется. Линейные графики особенно полезны для определения момента времени, в который был достигнут определенный уровень продаж, дохода (или того, что представляет значение y).

Предположим, что в приведенном выше примере мы хотим знать, в каком квартале продажи впервые упали ниже 5.Мы можем провести линию напротив 5 по оси Y (красная линия в примере) и увидеть, что это было во втором квартале.

Декартовы графы

Декартовы графы — вот что на самом деле имеют в виду математики, когда они говорят о графах. Они сравнивают два набора чисел, один из которых нанесен на ось x, а другой — на ось y. Числа могут быть записаны в виде декартовых координат , которые выглядят как (x, y), где x — это число, считываемое по оси x, а y — число по оси y.

Предупреждение!

Декартовы графы не всегда начинаются с 0; довольно часто (0,0) является средней точкой графика.

Декартов граф — Рабочий пример

Джон на два года старше Мэри, и их возраст в сумме равен 12. Какого возраста они оба сейчас?

Мы можем решить эту проблему, проведя две линии: одну из возрастов Джона по сравнению с возрастом Мэри, а другую — из возрастов, которые в сумме дают 12.

Строка 1: (фактический) возраст Джона, когда Мэри разный возраст от 1 до 9

Строка 2: Возраст Джона (гипотетический), когда Мэри разный возраст: от 1 до 9 , если их возраст в сумме составляет 12

Изобразив две линии на графике с возрастом Марии в качестве оси абсцисс, вы увидите, что есть точка, в которой линии пересекаются.Это единственная точка, в которой а) Иоанн на два года старше Марии и б) их возраст в сумме составляет 12. Это должен быть их текущий возраст, который, таким образом, составляет 5 лет для Марии и 7 лет для Иоанна.

Чтобы узнать больше об использовании декартовых графиков для решения математических задач, посетите наши страницы Алгебра и Одновременные и квадратные уравнения .

Рисование графиков с использованием компьютерных пакетов

Для рисования графиков можно использовать различные пакеты компьютерных программ, включая Word и Excel.

Некоторые пакеты чрезвычайно эффективны при эффективном использовании. Однако имейте в виду, что некоторые приложения довольно ограничены в типах диаграмм, которые они могут рисовать, и вы можете не найти результаты, полностью соответствующие вашим ожиданиям! Вам действительно нужно базовое понимание графиков и диаграмм, чтобы вы могли сравнивать то, что создал компьютер, с тем, что вы хотите показать.

Компьютерные приложения также упрощают создание чрезмерно сложных графиков. Трехмерная круговая диаграмма может выглядеть «круто», но помогает ли она вам или другим людям визуализировать данные? Часто лучше, чтобы графики и диаграммы были простыми, с аккуратным и понятным форматированием.

График стоит…

Как бы вы ни выбрали представление данных, как только вы овладеете навыками создания четких графиков и диаграмм, вы почти наверняка обнаружите, что старая поговорка верна: изображение действительно может рассказать тысячу слов.

Независимо от того, стоит ли ваш хорошо нарисованный график тысячу чисел или дюжину, он, безусловно, будет эффективным способом представления ваших данных и демонстрации взаимосвязей или различий между ними.

Урок 4, Раздел 3 | Курс самообучения SS1978 | CDC

Раздел 3: Графики

«Таблицы… должны выполнять определенные основные задачи: они должны быть: (1) точным отображением фактов, (2) четкими, легко читаемыми и понятными, и (3) такими, чтобы они были разработаны и построены таким образом, чтобы привлекать и удерживать внимание.”(12)

— CF Schmid и SE Schmid

График (используется здесь как синоним диаграммы) отображает числовые данные в визуальной форме. Он может отображать закономерности, тенденции, отклонения, сходства и различия в данных, которые могут не отображаться в таблицах. Таким образом, график может быть важным инструментом для анализа и понимания данных. Кроме того, график часто является эффективным способом представления данных другим, менее знакомым с данными.

При разработке графиков также применяются рекомендации по категоризации данных для таблиц.Кроме того, некоторые передовые методы работы с графикой включают:

• Убедитесь, что графическое изображение может быть автономным, с помощью четкой маркировки заголовка, источника, осей, масштабов и легенд;
• Четкое обозначение отображаемых переменных (легенды или ключи), включая единицы измерения;
• Минимизировать количество линий на графике;
• Как правило, частота отображается в вертикальной шкале, начиная с нуля, а переменная классификации — в горизонтальной шкале;
• Убедитесь, что масштабы для каждой оси соответствуют представленным данным;
• Определите любые сокращения или символы; и
• Укажите любые исключенные данные.

В эпидемиологии большинство графиков имеют две шкалы или оси, одну горизонтальную и одну вертикальную, которые пересекаются под прямым углом. Горизонтальная ось, известная как ось x, обычно показывает значения независимой (или x) переменной, такой как время или возрастная группа. Вертикальная ось представляет собой ось Y и показывает зависимую (или y) переменную, которая в эпидемиологии обычно является мерой частоты, такой как количество случаев или уровень заболеваемости. Каждая ось должна быть помечена, чтобы показать, что она представляет (как имя переменной, так и единицы, в которых она измеряется), и отмечена шкалой измерения вдоль линии.

«Сделайте данные заметными. Избегайте излишков »(13)

— WS Кливленд

При построении полезного графика также применяются рекомендации по категоризации данных для таблиц по типам данных. Например, количество зарегистрированных случаев кори по отчетным годам технически является номинальной переменной, но из-за большого количества случаев при агрегировании по США мы можем рассматривать эту переменную как непрерывную. Таким образом, для отображения этих данных подходит линейный график.

Попробуй: построение графика

Сценарий: В таблице 4.14 показано количество случаев кори по отчетным годам с 1950 по 2003 год. Число случаев кори с 1950 по 1954 год показано на Рисунке 4.1 ниже. Независимая переменная, годы, показана на горизонтальной оси. Зависимая переменная, количество наблюдений, отображается на вертикальной оси. Сетка включена на рис. 4.1, чтобы проиллюстрировать построение точек. Например, чтобы обозначить точку на графике количества случаев в 1953 году, проведите линию вверх от 1953 года, а затем проведите линию от 449 случаев вправо.Точка пересечения этих линий — это точка 1953 года на графике.

Your Turn: Используйте данные в Таблице 4.14, чтобы построить точки с 1955 по 1959 год и завершить график на Рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 Частичный график заболеваемости корью по годам сообщения — США, 1950–1959 гг.

Таблица 4.14 Число зарегистрированных случаев кори, по годам составления отчета — США, 1950–2003 гг.

Источники данных: Центры по контролю и профилактике заболеваний.Сводка болезней, подлежащих уведомлению — США, 1989 г. MMWR 1989; 38 (№ 54).
Центры по контролю и профилактике заболеваний. Сводка болезней, подлежащих уведомлению — США, 2002 г. MMWR 2002; 51 (№ 53)
Центры по контролю и профилактике заболеваний. Сводка болезней, подлежащих уведомлению — США, 2003 г. MMWR 2005; 52 (№ 54)

Линейные графики в арифметической шкале

Линейный график в арифметической шкале (например, рис. 4.1) показывает закономерности или тенденции по некоторой переменной, часто во времени. В эпидемиологии этот тип графика используется для отображения длинных рядов данных и сравнения нескольких рядов.Это предпочтительный метод построения графиков темпов с течением времени.

На линейном графике с арифметической шкалой заданное расстояние вдоль любой оси представляет одно и то же количество в любом месте этой оси. На рисунке 4.2, например, промежуток между делениями по оси y (вертикальная ось) представляет увеличение на 10 000 (10 × 1000) случаев в любом месте оси — непрерывная переменная.

Кроме того, расстояние между любыми двумя отметками на оси x (горизонтальная ось) представляет период времени в один год.Это представляет собой пример дискретной переменной. Таким образом, линейный график в арифметическом масштабе — это такой график, на котором равные расстояния по оси x или y отображают равные значения.

Линейные графики с арифметической шкалой могут отображать числа, скорости, пропорции или другие количественные показатели на оси Y. Как правило, ось X для этих графиков используется для отображения периода времени появления, сбора или представления данных (например, дни, недели, месяцы или годы). Таким образом, эти графики в основном используются для отображения общей тенденции во времени, а не для анализа отдельных наблюдений (отдельных точек данных).Например, на Рисунке 4.2 показана распространенность (дефектов нервной трубки) на 100 000 рождений.

Рисунок 4.2 Тенденции развития дефектов нервной трубки (анэнцефалия и расщелина позвоночника) среди всех новорожденных, 45 штатов и округ Колумбия, 1990–1999 гг.

Описание изображения

Источник: Honein MA, Paulozzi LJ, Mathews TJ, Erickson JD, Wong L-Y. Влияние обогащения фолиевой кислотой продуктов питания в США на возникновение дефектов нервной трубки. JAMA 2001; 285: 2981–6.

На рис. 4.3 показан еще один пример линейного графика в арифметической шкале.Здесь по оси ординат отложена расчетная переменная, средний возраст смерти людей, родившихся с синдромом Дауна в 1983–1997 годах. Здесь также мы видим ценность отображения двух рядов данных на одном графике; мы можем сравнить риск смертности для мужчин и женщин.

Рисунок 4.3 Средний возраст смерти людей с синдромом Дауна с разбивкой по полу — США, 1983–1997 гг.

Описание изображения

Источник: Yang Q, Rasmussen A, Friedman JM. Смертность, связанная с синдромом Дауна в США с 1983 по 1997 год: популяционное исследование.Ланцет 2002; 359: 1019–25.

Подробнее об осях X и Y

При создании линейного графика с арифметическим масштабом необходимо выбрать масштаб для осей x и y. Шкала должна отражать как данные, так и точку графика. Например, если вы используете данные в таблице 4.14 для построения графика количества случаев кори по годам с 1990 по 2002 год, то шкала оси x, скорее всего, будет годом отчета, потому что именно так представлены данные. доступный. Однако подумайте, есть ли у вас строковые данные с фактическими датами начала или отчет за несколько лет.Вы можете предпочесть построить график этих данных по неделям, месяцам, кварталам или даже годам, в зависимости от того, что вы хотите сделать.

Следующие шаги рекомендуются для создания масштаба для оси Y.

• Сделайте ось y короче оси x, чтобы график был горизонтальным или «альбомным». Для длины оси x к оси y часто рекомендуется соотношение 5: 3.
• Всегда начинайте ось Y с 0. Хотя эта рекомендация соблюдается не во всех областях, это стандартная практика в эпидемиологии.
• Определите диапазон значений, которые необходимо отобразить на оси Y, указав наибольшее значение, которое необходимо отобразить на оси Y, и округлив это число до немного большего числа. Например, наибольшее значение y на рис. 4.3 составляет 49 лет в 1997 году, поэтому шкала на оси y увеличивается до 50. Если средний возраст продолжит увеличиваться и превысит 50 в будущие годы, будущий график должен будет расшириться. шкала по оси ординат до 60 лет.
• Разместите отметки и их метки, чтобы описать данные достаточно подробно для ваших целей.На рис. 4.3 пять интервалов по 10 лет каждый считались достаточными, чтобы дать читателю хорошее представление о точках данных и структуре.

Упражнение 4.3

Используя данные о заболеваемости корью (на 100 000 человек) с 1955 по 2002 гг. В таблице 4.15:

1. Постройте линейный график скорости по годам в арифметической шкале. Используйте интервалы на оси Y, соответствующие диапазону данных, которые вы графически отображаете.
2. Постройте отдельный линейный график по арифметической шкале показателей заболеваемости корью с 1985 по 2002 год.Используйте интервалы на оси Y, соответствующие диапазону данных, которые вы графически отображаете.

Миллиметровая бумага предоставляется в виде значка в конце этого урока.

Таблица 4.15 Показатель (на 100 000 населения) зарегистрированных случаев кори по годам составления отчета — США, 1955–2002 гг.

Источники данных: Центры контроля заболеваний.Сводка болезней, подлежащих уведомлению — США, 1989 г. MMWR 1989; 38 (№ 54).
Центры по контролю и профилактике заболеваний. Сводка болезней, подлежащих уведомлению — США, 2002 г. Опубликовано 30 апреля 2004 г. для MMWR 2002; 51 (№ 53).

Проверьте свой ответ.

Линейные графики в полулогарифмическом масштабе

В некоторых случаях диапазон наблюдаемых данных может быть настолько большим, что правильное построение графика арифметического масштаба является проблематичным. Например, в США политика вакцинации значительно снизила заболеваемость эпидемическим паротитом; тем не менее, вспышки болезни все еще могут происходить среди невакцинированного населения.Чтобы изобразить эти конкурирующие силы, одного арифметического графика без вставки, отражающей проблемные годы, недостаточно (рис. 4.4).

Диаграмма 4.4 Свинка по годам — ​​США, 1978–2003 гг.

Описание изображения

Источник: Центры по контролю и профилактике заболеваний. Сводка болезней, подлежащих уведомлению — США, 2003 г. Опубликовано 22 апреля 2005 г., для MMWR 2003; 52 (№ 54): 54.

Альтернативный подход к этой проблеме несовместимых масштабов — использовать логарифмическое преобразование для оси y.Этот метод, получивший название « полулогарифмический », график , полезен для отображения переменной с широким диапазоном значений (как показано на рисунке 4.5). Ось X использует обычную арифметическую шкалу, но ось Y измеряется в логарифмической, а не арифметической шкале. В результате расстояние от 1 до 10 по оси Y такое же, как расстояние от 10 до 100 или от 100 до 1000.

Цикл = порядок величины

То есть от 1 до 10 — это один цикл; от 10 до 100 — другой цикл.

Другое использование полулогарифмического графика — это когда вы хотите отобразить относительную скорость изменения нескольких серий, а не абсолютное значение. На рисунке 4.5 показано это приложение. Обратите внимание на несколько аспектов этого графика:

• Ось y включает четыре цикла порядка , каждый из которых кратен десяти (например, от 0,1 до 1, от 1 до 10 и т. Д.), Каждый из которых является постоянным кратным.
• Внутри цикла десять делений разнесены так, что пробелы становятся меньше по мере увеличения значения.Обратите внимание, что абсолютное расстояние от 1.0 до 2.0 шире, чем расстояние от 2.0 до 3.0, которое, в свою очередь, шире, чем расстояние от 8.0 до 9.0. Это происходит из-за того, что мы графически изображаем логарифмическое преобразование чисел, которое фактически сжимает их по мере их увеличения. Однако мы все еще можем сравнивать серии, поскольку процесс сжатия сохраняет относительное изменение между сериями.

Рисунок 4.5 Скорректированные по возрасту коэффициенты смертности от 5 из 15 основных причин смерти — США, 1958–2002 гг.

Описание изображения

По материалам: Kochanek KD, Murphy SL, Anderson RN, Scott C.Смертные случаи: окончательные данные за 2002 год. Национальный статистический отчет; том 53, № 5. Хяттсвилл, Мэриленд: Национальный центр статистики здравоохранения, 2004 г. с. 9.

Рассмотрим данные, приведенные в таблице 4.16. Две гипотетические страны начинаются с 1000000 населения. Население страны А ежегодно увеличивается на 100 000 человек. Население страны B ежегодно увеличивается на 10%. На рисунке 4.6 показаны данные из страны A слева и страны B справа. Линейные графики в арифметическом масштабе находятся над линейными графиками в полулогарифмическом масштабе тех же данных.Посмотрите на левую часть рисунка. Поскольку население страны А ежегодно увеличивается на постоянное количество человек, данные на линейном графике арифметической шкалы выпадают на прямую линию. Однако, поскольку процентный рост в стране А снижается каждый год, кривая на линейном графике в полулогарифмическом масштабе сглаживается. В правой части рисунка население страны B изгибается вверх на линейном графике арифметической шкалы, но представляет собой прямую линию на полулогарифмическом графике. Таким образом, прямая линия на линейном графике арифметической шкалы представляет постоянное изменение числа или суммы.Прямая линия на линейном графике в полулогарифмическом масштабе представляет постоянное процентное изменение от постоянной скорости.

Таблица 4.16 Гипотетический рост населения в двух странах

Чтобы создать полулогарифмический график из набора данных в модуле анализа:

Чтобы вычислить данные для построения графика, вы должны определить новую переменную. Например, если вы хотите получить полулогарифмический график для годовых данных эпиднадзора за корью в переменной MEASLES, в разделе VARIABLES команд анализа:

• Выбрать Определить .
• Введите logmeasles в поле Имя переменной .
• Поскольку ваша новая переменная не используется другими программами, Scope должен быть Standard .
• Щелкните ОК , чтобы определить новую переменную. Обратите внимание, что logmeasles теперь отображается в раскрывающемся списке переменных .
• В разделе Переменные команд анализа выберите Назначить .

Типы переменных и интервалы классов обсуждаются в Уроке 2.

Рисунок 4.6 Сравнение линейного графика в арифметической шкале и линейного графика в полулогарифмическом масштабе для гипотетической страны A (постоянное увеличение количества людей) и страны B (постоянное увеличение скорости роста)

Следовательно, линейный график в полулогарифмическом масштабе имеет следующие особенности:

• Наклон линии указывает скорость увеличения или уменьшения.
• Прямая линия указывает постоянную скорость (не величину) увеличения или уменьшения значений.
• Горизонтальная линия указывает на отсутствие изменений.
• Две или более линий, следующих параллельными путями, показывают одинаковую скорость изменения.

Semilog имеется в продаже, и большинство из них включает не менее трех циклов.

Гистограммы

Гистограмма — это график частотного распределения непрерывной переменной на основе интервалов классов. Смежные столбцы используются для представления количества наблюдений для каждого интервала классов в распределении.Площадь каждого столбца пропорциональна количеству наблюдений в этом интервале. На рисунках 4.7a и 4.7b показаны две версии гистограммы частотных распределений с равными интервалами классов. Поскольку на этой гистограмме все интервалы классов равны, восьмерка каждого столбца пропорциональна количеству отображаемых наблюдений.

Рисунки 4.7a, 4.7b и 4.7c являются примерами гистограммы особого типа, которая обычно используется в полевой эпидемиологии — эпидемической кривой. Эпидемическая кривая — это гистограмма, которая отображает количество случаев заболевания во время вспышки или эпидемии с разбивкой по времени начала.Ось Y представляет количество случаев; ось абсцисс представляет дату и / или время начала болезни. Рисунок 4.7a представляет собой вполне приемлемую эпидемическую кривую, но некоторые эпидемиологи предпочитают рисовать гистограмму в виде стопки квадратов, где каждый квадрат представляет один случай (Рисунок 4.7b). К гистограмме можно добавить дополнительную информацию. На изображении эпидемической кривой, показанной на рисунке 4.7c, отдельные прямоугольники заштрихованы в каждый период времени, чтобы обозначить, какие случаи были подтверждены результатами посева.Таким образом может быть представлена ​​другая информация, такая как пол или наличие связанного фактора риска.

Обычно числа на оси x центрируются между отметками соответствующего интервала. Интервал времени должен соответствовать рассматриваемому заболеванию, продолжительности вспышки и цели графика. Если цель состоит в том, чтобы показать временную взаимосвязь между временем воздействия и началом заболевания, то широко распространенным практическим правилом является использование интервалов примерно в одну четвертую (или между одной восьмой и одной третью) инкубационного периода Показано заболевание.Инкубационный период сальмонеллеза обычно составляет 12–36 часов, поэтому на оси абсцисс этой эпидемической кривой есть 12-часовые интервалы.

Рисунок 4.7a Число случаев Salmonella Enteriditis среди участников вечеринок по дате и времени начала — Чикаго, Иллинойс, февраль 2000 г.

Описание изображения

Источник: Кортезе М., Гербер С., Джонс Э., Фернандес Дж. Вспышка сальмонеллезного энтеридита в Чикаго. Представлено на конференции Восточной региональной службы эпидемиологической разведки, 23 марта 2000 г., Бостон, Массачусетс.

Рисунок 4.7b Количество случаев Salmonella Enteriditis среди участников вечеринок по дате и времени начала — Чикаго, Иллинойс, февраль 2000 г.

Описание изображения

Источник: Кортезе М., Гербер С., Джонс Э., Фернандес Дж. Вспышка сальмонеллезного энтеридита в Чикаго. Представлено на конференции Восточной региональной службы эпидемиологической разведки, 23 марта 2000 г., Бостон, Массачусетс.

Наиболее распространенным выбором переменной оси X в полевой эпидемиологии является календарное время, как показано на рисунках 4.7a – c. Однако возраст, уровень холестерина или другая переменная с непрерывной шкалой могут использоваться на оси абсцисс эпидемической кривой.

Рисунок 4.7c Количество случаев Salmonella Enteriditis среди участников вечеринок по дате и времени начала — Чикаго, Иллинойс, февраль 2000 г.

Описание изображения

Источник: Кортезе М., Гербер С., Джонс Э., Фернандес Дж. Вспышка сальмонеллезного энтеридита в Чикаго. Представлено на конференции Восточной региональной службы эпидемиологической разведки, 23 марта 2000 г., Бостон, Массачусетс.

На Рисунке 4.8, который показывает частотное распределение взрослых с диагностированным диабетом в Соединенных Штатах, по оси абсцисс отображается мера массы тела — вес (в килограммах), разделенный на рост (в метрах) в квадрате. Выбор переменной для оси x эпидемической кривой явно зависит от точки отображения. Рисунки 4.7a, 4.7b или 4.7c построены так, чтобы показать естественное течение эпидемии с течением времени; На рис. 4.8 показано бремя проблемы избыточного веса и ожирения.

Шесть полосок обозначены от недостаточного веса до крайнего ожирения. Процент населения снижается из категории с избыточным весом до крайне страдающих ожирением.

Рисунок 4.8 Распределение индекса массы тела среди взрослых с диагностированным диабетом — США, 1999–2002 гг.

Описание изображения

Источник данных: Центры по контролю и профилактике заболеваний. Распространенность избыточной массы тела и ожирения среди взрослых с диагностированным диабетом — США, 1988–1994 и 1999–2002 годы.MMWR 2004; 53: 1066–8.

Наиболее интересный компонент всегда следует помещать внизу, потому что верхний компонент обычно имеет неровную базовую линию, что может затруднить сравнение. Рассмотрим данные о пневмокониозе на рис. 4.9а. График ясно показывает постепенное снижение смертности от всех пневмокониозов в период с 1972 по 1999 год. Похоже, что смертность от асбестоза (верхняя подгруппа на рис. 4.9a) пошла вразрез с общей тенденцией, увеличившись за тот же период. Однако рисунок 4.9b проясняет этот момент, помещая асбестоз вдоль базовой линии.

Рисунок 4.9a Количество смертей с любым упоминанием в свидетельстве о смерти асбестоза, пневмокониоза угольщиков (CWP), силикоза и неуточненного / другого пневмокониоза среди лиц в возрасте ≥ 15 лет, по годам — ​​США, 1968–2000 гг.

Описание изображения

По материалам: Центры по контролю и профилактике заболеваний. Изменяющиеся модели смертности от пневмокониоза — США, 1968-2000 гг. MMWR 2004; 53: 627–31.

Этот график аналогичен приведенному выше, за исключением того, что переменные в стеках расположены в другом порядке. Это драматизирует рост смертности от асбестоза с течением времени.

Рисунок 4.9b Количество смертей с любым упоминанием в свидетельстве о смерти асбестоза, пневмокониоза угольщиков (CWP), силикоза и неуточненного / другого пневмокониоза среди лиц в возрасте ≥ 15 лет, по годам — ​​США, 1968–2000 гг.

Описание изображения

Источник данных: Центры по контролю и профилактике заболеваний.Изменяющиеся модели смертности от пневмокониоза — США, 1968-2000 гг. MMWR 2004; 53: 627–31.

Кривые эпидемии более подробно обсуждаются в Уроке 6.

Некоторые гистограммы, особенно те, которые нарисованы в виде стопки квадратов, включают прямоугольник, который указывает, сколько наблюдений представлено каждым квадратом. В то время как квадрат обычно представляет один случай при относительно небольшой вспышке, квадрат может представлять пять или десять случаев при относительно крупной вспышке.

Упражнение 4.4

Используя данные о ботулизме, представленные в упражнении 4.1, постройте эпидемическую кривую. Затем используйте эту эпидемическую кривую, чтобы описать эту вспышку, как если бы вы разговаривали по телефону с кем-то, кто не видит график. В конце урока есть миллиметровая бумага.

Проверьте свой ответ.

Пирамида численности населения

Пирамида населения отображает количество или процент населения по возрасту и полу. Для этого используются две гистограммы — чаще всего одна для женщин и одна для мужчин, каждая по возрастным группам, — повернутые вбок, чтобы столбики были горизонтальными, и расположены от основания к основанию (рисунки 4.10 и 4.11). Обратите внимание на общую пирамидальную форму распределения населения в развивающейся стране с большим количеством рождений, относительно высокой младенческой смертностью и относительно низкой продолжительностью жизни (рис. 4.10). Сравните это с формой распределения населения в более развитой стране с меньшим количеством рождений, более низкой младенческой смертностью и более высокой продолжительностью жизни (рис. 4.11).

Хотя пирамиды численности населения чаще всего используются для отображения распределения населения страны, их также можно использовать для отображения других данных, таких как болезнь или характеристики здоровья по возрасту и полу.Например, распространенность курения по возрасту и полу показана на Рисунке 4.12. Эта пирамида ясно показывает, что в любом возрасте женщины менее склонны к курению, чем мужчины.

Диаграмма 4.12 Процент лиц старше 18 лет, которые в настоящее время курили, в разбивке по возрасту и полу — США, 2002 г.

Описание изображения

Источник данных: Центры по контролю и профилактике заболеваний. Курение сигарет среди взрослых — США, 2002 г. MMWR 2004; 53: 427–31.

Полигоны частот

Полигон частот, как и гистограмма, представляет собой график распределения частот.В многоугольнике частот количество наблюдений в пределах интервала отмечается одной точкой, помещенной в середину интервала. Затем каждая точка соединяется с другой прямой линией. На рис. 4.13 показан пример многоугольника частот по контуру гистограммы для тех же данных. Этот график позволяет легко определить пик эпидемии (4 недели).

Многоугольник частот содержит ту же область под линией, что и гистограмма тех же данных. Действительно, данные, которые были отображены в виде гистограммы на рисунке 4.9a показаны в виде многоугольника частот на рис. 4.14.

Рисунок 4.14 Число смертей с любым упоминанием в свидетельстве о смерти асбестоза, пневмокониоза угольщиков (CWP), силикоза и неуточненного / другого пневмокониоза среди лиц в возрасте ≥ 15 лет, по годам — ​​США, 1968–2000 гг.

Описание изображения

Источник данных: Центры по контролю и профилактике заболеваний. Изменяющиеся модели смертности от пневмокониоза — США, 1968-2000 гг. MMWR 2004; 53: 627–31.

Полигон частот отличается от линейного графика арифметической шкалы несколькими способами.Полигон частот (или гистограмма) используется для отображения всего частотного распределения (количества) непрерывной переменной. Линейный график в арифметической шкале используется для построения серии наблюдаемых точек данных (количества или скорости), обычно с течением времени. Полигон частот должен быть замкнут с обоих концов, потому что область под кривой представляет данные; линейный график в арифметическом масштабе просто отображает точки данных. Сравните данные о смертности от пневмокониоза, отображаемые в виде многоугольника частот на рисунке 4.14 и в виде линейного графика на рис. 4.15.

Рисунок 4.15 Количество смертей с любым упоминанием в свидетельстве о смерти асбестоза, пневмокониоза угольщиков (CWP), силикоза и неуточненного / другого пневмокониоза среди лиц в возрасте ≥ 15 лет, по годам — ​​США, 1968–2000 гг.

Описание изображения

Источник данных: Центры по контролю и профилактике заболеваний. Изменяющиеся модели смертности от пневмокониоза — США, 1968-2000 гг. MMWR 2004; 53: 627–31.

Упражнение 4.5

Рассмотрим эпидемическую кривую, построенную для упражнения 4.4. Подготовьте частотный многоугольник для тех же данных. Сравните интерпретации двух графиков.

Проверьте свой ответ.

Кривые накопленной частоты и выживаемости

Ogive (произносится O’-jive) — еще одно название кривой совокупной частоты. Ogive также означает диагональное ребро готического свода, остроконечную дугу или изогнутую область, составляющую носовую часть снаряда.

Как следует из названия, кривая совокупной частоты отображает совокупную частоту, а не фактическое частотное распределение переменной.Этот тип графика полезен для определения медиан, квартилей и других процентилей. Ось X записывает интервалы классов, а ось Y показывает совокупную частоту либо в абсолютной шкале (например, количество случаев), либо, чаще, в процентах от 0% до 100%. Медиана (50% или середина пути) может быть найдена, проведя горизонтальную линию от отметки 50% на оси Y до кривой совокупной частоты, а затем проведя вертикальную линию от этой точки вниз до оси x. . Рисунок 4.16 представляет собой график совокупной частоты, показывающий количество дней до отделения парши от вакцины против оспы среди лиц, никогда ранее не вакцинированных против оспы (первичные вакцинированные), и среди лиц, которые ранее были вакцинированы (ревакцинированные). Среднее количество дней до отделения парши составляло 19 дней для ревакцинированных и 22 дня для первичных вакцинированных.

Рисунок 4.16. Дни до вакцинации против оспы. Разделение парши среди первичных вакцинированных (n = 29) и ревакцинированных (n = 328) — Западная Вирджиния, 2003 г.

Описание изображения

Источник: Kaydos-Daniels S, Bixler D, Colsher P, Haddy L.Симптомы после вакцинации против оспы — Западная Вирджиния, 2003 г. Представлено на 53-й ежегодной конференции Службы эпидемиологической разведки, 19-23 апреля 2004 г., Атланта, Джорджия.

Кривая выживаемости может использоваться в последующих исследованиях для отображения доли одной или нескольких групп, все еще живущих в разные периоды времени. Подобно осям кривой кумулятивной частоты, на оси X записаны периоды времени, а на оси Y показаны проценты от 0 до 100%, которые еще живы.

Каплан-Мейер — это общепринятый метод оценки вероятности выживания.(14)

Наиболее яркое различие заключается в самих построенных кривых. В то время как совокупная частота начинается с нуля в нижнем левом углу графика и приближается к 100% в верхнем правом углу, кривая выживаемости начинается со 100% в верхнем левом углу и продолжается к нижнему правому углу по мере того, как члены группы умирают. . Кривая выживаемости на рис. 4.17 показывает разницу в выживаемости в начале 1900-х, середине 1900-х и конце 1900-х годов. Кривая выживаемости за 1900–1902 гг. Показывает быстрое снижение выживаемости в течение первых нескольких лет жизни, за которым следует относительно устойчивое снижение.Напротив, кривая для 1949–1951 гг. Сдвинута вправо, показывая значительно лучшую выживаемость среди молодежи. Кривая за 1997 год показывает улучшение выживаемости среди пожилого населения.

Диаграмма 4.17. Процент выживших по возрасту в штатах регистрации смерти, 1900–1902 гг. И США, 1949–1951 и 1997 гг.

Описание изображения

Источник: Андерсон Р.Н. Таблицы дожития в Соединенных Штатах, 1997 год. Национальные отчеты о естественном движении населения; том 47, вып. 28. Хяттсвилл, Мэриленд: Национальный центр статистики здравоохранения, 1999 г.

Обратите внимание, что данные о выделении парши оспы, представленные в виде графика кумулятивной частоты на рис. 4.16, могут быть построены как кривая выживаемости оспы, как показано на рис. 4.18.

Рис. 4.18 «Выживаемость» парши от вакцины против оспы среди первичных вакцин (n = 29) и ревакцинированных (n = 328) — Западная Вирджиния, 2003 г.

Описание изображения

Источник: Кайдос-Дэниэлс С., Бикслер Д., Колшер П., Хадди Л. Симптомы после вакцинации против оспы — Западная Вирджиния, 2003 г. Представлено на Ежегодной конференции службы эпидемиологической разведки № 53 , 19–23 апреля 2004 г., Атланта, Джорджия.

Ссылки (этот раздел)

12. Schmid CF, Schmid SE. Справочник графического оформления. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1954.
13. Кливленд WS. Элементы графического представления данных. Саммит, Нью-Джерси: Hobart Press, 1994.
14. Брукмейер Р, Каррьеро ФК. Оценка кривой выживаемости с частичной неслучайной информацией о воздействии. Статистика в медицине 2002; 21: 2671–83.

Рисунок 4.1

Описание: По оси Y показаны равные интервалы частоты (например,грамм. количество дел, процент, ставка). На оси X показаны равные интервалы метода классификации (например, время начала болезни в днях; год сообщения; возраст случаев в годах). Данные отмечены точкой на пересечении осей X и Y. Прямая линия соединяет точки. Линия показывает рост и уменьшение зарегистрированных случаев кори по годам. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.2

Описание: Линейный график, показывающий распространенность дефектов нервной трубки с течением времени.Наблюдается небольшое снижение, когда обогащение фолиевой кислотой было необязательным, и продолжающееся снижение, когда фолиевая кислота была обязательной. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.3

Описание: Линейный график показывает возраст на момент смерти по оси Y и год по оси X. Данные для мужчин отображаются в виде ромбовидных точек и пунктирной линии. Данные для женщин отображаются в виде квадратной точки и сплошной линии. Данные для мужчин и женщин можно легко сравнить. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.4

Описание: Вакцина против эпидемического паротита была впервые лицензирована в декабре 1967 года. Из-за рекомендации двух доз вакцины против кори, паротита и краснухи и сохранения высокого уровня охвата в Соединенных Штатах заболеваемость паротитом остается низкой и составляет 231 случай. отчитались за 2003 год, что позволило достичь цели «Здоровые люди 2010» — менее 500 случаев в год. На графике ось Y показывает заболеваемость на 100 000 населения. Ось X показывает год. Наблюдается рост в период с 1995 по 1997 год.Вернуться к тексту.

Рисунок 4.5

Описание: Линейный график с осью Y, показывающий полулогарифмическую шкалу со значениями от 0,1 до 1000. Это позволяет использовать несовместимые шкалы для отображения различных данных на одном графике. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.7a

Описание: Гистограмма, показывающая количество случаев в динамике после посещения вечеринки. Высота каждого столбца отражает количество случаев. Между соседними столбцами нет пробелов.Видны тренды по дате и времени. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.7b

Описание: Те же данные, что и на рисунке 4.7a, при этом каждый столбец представлен в виде стопки квадратов. Каждый квадрат представляет 1 случай. Легче увидеть точное количество дел по дате и времени. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.7c

Описание: Этот график аналогичен рисунку 4.7b, однако дополнительная информация представлена ​​прямоугольниками разного цвета, указывающими, какие случаи вероятны, а какие подтверждены.Вернуться к тексту.

Рисунок 4.8

Описание: Гистограмма с шестью группами индекса массы тела (от недостаточного веса до крайне ожирения) на оси абсцисс и процент населения на оси ординат. Степень ожирения в этой популяции легко увидеть. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.9a

Описание: Гистограмма с накоплением. Каждый столбец состоит из 4 столбцов меньшего размера, расположенных друг над другом. Каждый из меньших столбцов представляет другую причину смерти.Внизу столбца отображаются данные CWP. В верхнем столбце отображаются данные об асбестозе. Трудно определить четкую тенденцию смертности от асбестоза. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.9b

Описание: Гистограмма с накоплением, отображающая те же данные, что и на рис. 4.9a. Однако в нижней части столбца отображаются данные об асбестозе, поэтому четкая тенденция более очевидна. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.10

Описание: Пирамида населения. Горизонтальные полосы указывают население по возрасту.Ось Y находится посередине. Полоски, показывающие данные для мужчин, находятся с одной стороны, а для женщин — с другой. Линейная зависимость между возрастом и населением наблюдается как для мужчин, так и для женщин. Общая форма треугольная. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.11

Описание: Пирамида населения. Общая форма не треугольная, потому что нет линейной зависимости между возрастом и населением. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.12

Описание: Пирамида населения, показывающая 2 тенденции: процент курильщиков (как мужчин, так и женщин) увеличивается с возрастом и меньше курящих женщин во всех возрастных группах.Вернуться к тексту.

Рисунок 4.13

Описание: Одни и те же данные отображаются в 2 разных форматах. Гистограмма показывает количество наблюдений в виде столбцов. Многоугольник частоты показывает количество наблюдений в виде точек данных, соединенных линиями. Середины интервалов гистограммы пересекают многоугольник частот. Для многоугольника частот первая точка данных связана со средней точкой предыдущего интервала на оси X. Последняя точка данных связана с серединой следующего интервала.Вернуться к тексту.

Рисунок 4.14

Описание: Многоугольник частот, показывающий те же данные, что и на рис. 4.9a. Вместо столбцов с 4 разными цветами, указывающих количество смертей, серия из 4 строк представляет данные из 4 наборов, создавая более плавную форму. Область под каждой линией окрашена, чтобы указать разницу между каждым набором данных. Линии в начале и в конце пересекают ось X. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.15

Описание: Линейный график, показывающий те же данные, что и на рисунке 4.14. Вместо заштрихованных областей серия из 4 линий, представляющих 4 набора данных, создает более гладкую форму. У каждого набора данных есть разные типы линий, например пунктирные, пунктирные или сплошные. Линии в начале и в конце не пересекают ось X. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.16

Описание: График совокупной частоты, показывающий 2 линии, одну для ревакцинированных и 1 для первичных вакцин. Обе линии начинаются с нуля в левом нижнем углу графика и приближаются к 100% в правом верхнем углу.Видны точки данных с частотой 50%. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.17

Описание: Кривая выживаемости с 3 наборами данных, обозначенными разными линиями. Все линии начинаются со 100% слева и уменьшаются до 0% справа. График противоречит интуиции, поскольку увеличение возраста на момент смерти изображается падающей кривой. Вернуться к тексту.

Рисунок 4.18

Описание: Те же данные, что и на рисунке 4.16, представлены в виде кривой выживаемости с обеими линиями, спускающимися слева направо.Вернуться к тексту.

Правильный способ пометить график

Графики — отличный способ визуально представить собранные данные. Однако без правильной разметки график не будет иметь смысла. Поэтому убедитесь, что вы пометили ось x и ось y и присвоили графику заголовок, чтобы его могли понять люди, не задавая вопросов, что он представляет.

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Чтобы правильно обозначить график, вы должны определить, какую переменную представляют ось x и ось y.Не забудьте указать единицы измерения (называемые шкалой), чтобы читатели могли понять каждую величину, представленную этими осями. Наконец, добавьте заголовок к графику, обычно в форме «переменная оси y против переменной оси x».

Маркировка оси X

Ось X графика — это горизонтальная линия, проходящая из стороны в сторону. Там, где эта линия пересекает ось y, координата x равна нулю. При использовании графика для представления данных важно определить, какую переменную поместить на ось x, поскольку она должна быть независимой переменной.Независимая переменная — это та, которая влияет на другую. Например, если вы строите график зависимости отработанного времени от заработанных долларов, время будет независимой переменной, потому что время будет проходить независимо от дохода.

Добавление масштаба к оси X

Вы также должны выбрать правильный масштаб для оси x и пометить его соответствующими единицами измерения. Например, если вы провели эксперимент с разным количеством удобрений, чтобы увидеть его влияние на рост растений, и использовали ось абсцисс, чтобы показать, сколько удобрений вы использовали, шкала оси абсцисс должна идти от нуля до максимального количества удобрений. удобрение, которое вы использовали.

Допустим, вы использовали 5 г удобрения для одной группы, 10 г для второй группы и 15 г для третьей группы. На вашей шкале можно сделать отметку через каждые 5 г, а заголовок под осью абсцисс будет «Удобрение (граммы)». Если вы не укажете единицу измерения, люди, читающие график, не узнают, дали ли вы каждому растению 5 г удобрения, 5 чашек или 5 фунтов.

Маркировка оси Y

Ось Y графика представляет собой вертикальную линию, проходящую сверху вниз. Там, где эта линия пересекает ось x, координата y равна нулю.