Задание №19 ЕГЭ по математике профильного уровня
19 задание в профильном уровне ЕГЭ по математике направлено на выявление у учеников способности оперировать числами, а именно их свойствами. Это задание наиболее сложное и требует нестандартного подхода и хорошего знания свойств чисел. Перейдем к рассмотрению типового задания.
Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике профильного уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
[su_note note_color=”#defae6″]
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
[/su_note]
Алгоритм решения:
- Вводим переменные k, l, m.
- Находим сумму набора чисел.
- Отвечаем на пункт а).
- Определяем, каких чисел больше (пункт б)).
- Определяем, сколько положительных чисел.
Решение:
1. Пусть среди записанных на доске чисел положительных k. Отрицательных чисел l и нулевых m.
2. Сумма выписанных чисел равна их количеству в данной записи на доске, умноженному на среднее арифметическое. Определяем сумму:
4k −8l + 0⋅m = − 3(k + l +m)
3. Заметим, что слева в приведенном только что равенстве каждое из слагаемых делится на 4, потому сумма количества каждого типа чисел k + l + m тоже делится на 4. По условию общее число записанных чисел удовлетворяет неравенству:
40 < k + l + m < 48
Тогда k + l + m = 44, потому что 44 единственное между 40 и 48 натуральное число, которое делится на 4.
Значит, написано на доске всего 44 числа.
4. Определяем, чисел какого вида больше: положительных или отрицательных.
Для этого приведем равенство 4k −8l = − 3(k + l +m) к более упрощенному виду: 5l = 7k + 3m.
5. m≥ 0. Отсюда вытекает: 5l ≥ 7k, l > k. Получается, что отрицательных чисел записано больше положительных. Подставляем вместо k + l + m число 44 в равенство
4k −8l = − 3(k + l + m).
Имеем
4k − 8l = −132, k = 2l − 33
k + l ≤ 44, тогда получается: 3l − 33 ≤ 44; 3l ≤ 77; l ≤ 25; k = 2l − 33 ≤17. Отсюда приходим к выводу, что положительных чисел не более 17.
Если же положительных чисел всего 17, то на доске 17 раз записано число 4, 25 раз – число −8 и 2 раза записано число 0. Такой набор отвечает всем требованиям задачи.
Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.
Второй вариант 1 (из Ященко, №1)
[su_note note_color=”#defae6″]
На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3.
а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?
б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?
[/su_note]
Алгоритм решения:
- Приведем пример набора чисел, который удовлетворяет условию (Это подтверждает возможность набора чисел).
- Проверяем вероятность второго условия.
- Ищем ответ на третий вопрос, введя переменную n.
- Записываем ответы.
Решение:
1. Такой примерный перечень чисел на доске соответствует заданным условиям:
3,13,23,33,43,53,63,73,2,4,6,…,50,52,56
Это дает положительный ответ на вопрос а.
2. Пусть на доске написано ровно два числа, у которых последняя цифра 3. Тогда там записано 33 чётных числа. Их сумма:
Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1062, то есть, утвердительного ответа на вопрос б нет.
3. Полагаем, что на доске записано n чисел, которые оканчиваются на 3, и (35 – n)из выписанных чётные. Тогда сумма чисел, которые оканчиваются на 3, равна
а сумма чётных:
2+4+…+2(35 – n)=(35 – n)(36 – n)= n2-71 n+1260.
Тогда из условия:
Решаем получившееся неравенство:
Получается, что . Отсюда, зная, что n — натуральное, получаем .
3. Наименьшее число чисел, оканчивающихся на 3, может быть только 5. И добавлено 30 чётных чисел, тогда сумма всех чисел нечётна. Значит, чисел, которые оканчиваются на 3, больше. чем пять, поскольку сумма по условию равна четному числу. Попробуем взять 6 чисел, с последней цифрой 3.
Приведём пример, когда 6 чисел, оканчиваются на три, и 29 чётных чисел. Сумма их равна 1062. Получается такой список:
3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, …, 54, 56, 82.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6.
Третий вариант (из Ященко, №4)
Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд.
В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1173 фотографии больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 17 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 18 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 45 фотографий?
[/su_note]
Алгоритм решения:
- Ответим на вопрос а).
- Найдем ответ на вопрос б).
- Найдем суммарное количество фотографий, сделанных Наташей.
- Запишем ответ.
Решение:
1. Если Маша сделала m фотографий в 1-й день, то за 17 дней она сфотографировала снимков.
Наташа, за 1-й день сделала n фотографий, тогда за оставшиеся 17 дней она сделала
кадров.
Найдем такие m и n, чтобы выполнялось равенство:
Возьмем, к примеру, n=70 и m=1. Это ответ на вопрос а).
2. Если фотографировали девочки всего 18 дней, получается:
1173 на 18 не разделится, следовательно, выбрать такие n и m нельзя. Это ответ на вопрос б.
3. Поищем ответ на последний вопрос. Допускаем, что девочки делали фотографии x дней. Тогда Маша сделала бы в последний день снимков
То есть . А согласно условию
число x является делителем 1173. Тогда возможны только варианты: x = 23, 17 или 3.
Вычисляем наибольшее число фотографий, которые могла сделать Маша. Получаем:
Для числа x=3:
При x=17:
А при x=23:
Самое большое количество снимков, которые сделала Наташа:
759+1173=1932.
Ответ: а) да; б) нет; в) 1932.
Даниил Романович | Просмотров: 10.6k
Уравнения в целых числах. Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы привыкли решать уравнения с одной переменной. А если переменных в одном уравнении целых две? А если 4? С такими ситуациями мы встречаемся, решая задачу 18 Профильного ЕГЭ по математике. И обычно нам помогает то, что эти переменные – целые.
Возьмем… нет, не реальную задачи 18. Возьмем такую, о которых пишут: «Она взорвала интернет».
А началось все с того, что один британский школьник лет 10-11 попросил маму помочь с домашним заданием. А мама не смогла. И папа тоже. И, уложив дите спать, родители отправились куда? — Правильно, в интернет! На форум для родителей. Но и там никто не смог решить задачу, только перессорились. И на других форумах тоже.
А вы справитесь с задачей, которая поставила в тупик столько взрослых людей?
1. На берегу стоят три маяка. Первый включается на три секунды, затем выключается на три секунды. Второй включается на четыре секунды и затем выключается на четыре секунды. Третий включается на пять секунд, затем выключается на пять секунд.
Все три маяка начинают работать одновременно.
а) Через сколько минут после начала работы все три маяка снова одновременно включатся?
б) В какой момент времени все три маяка одновременно отключатся?
По условию, все три маяка включаются одновременно. Маяк может либо светить, либо нет. Нарисуем графики их работы:
а) В какие моменты включаются первый и второй маяки? Первый маяк включается через 6 секунд после начала работы, через 12, через секунд.
Второй маяк – через 8 секунд после начала работы, через 16, 24, 32… — то есть через секунд.
Очевидно, что одновременное включение первого и второго маяков произойдет через 24 секунды после начала работы, поскольку 24 – это наименьшее общее кратное чисел 6 и 8 (то есть наименьшее число, которое делится на 6 и на 8).
Третий маяк включается через
.
Поскольку , наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 10 должно делиться на , на 3 и на 5. Это число 120. Значит, через секунд после начала работы все три маяка включатся одновременно.
Можно сказать, что все три графика работы маяков – периодические функции, причем период для первого маяка равен 6, для второго 8, для третьего 10.
б) В какие же моменты одновременно отключаются все три маяка?
Второй маяк – через секунд после старта, а третий – через
секунд после старта. Если существует такой момент, что все три маяка отключаются одновременно, то должны выполняться условия:
Эта система не имеет решений. В самом деле, величины , и — четные. Тогда в первом уравнении в левой части – нечетная величина, а в правой – четная. Во втором уравнении левая часть четна, правая нечетная. Нет такого момента, когда все три маяка одновременно отключились!
Мы увидели один из принципов решения уравнений в целых числах.
Следующая задача предлагалась когда-то на реальном ЕГЭ, часто встречалась в Демоверсиях ЕГЭ, а теперь появилась и в возможной демоверсии ОГЭ — которая пока называется «перспективной моделью измерительных материалов для государственной итоговой аттестации». Правда, в задаче для ОГЭ осталось два пункта из трех, а именно (а) и (в). Но мы решим задачу полностью.
2. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −12.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Напомним, что среднее арифметическое нескольких чисел есть сумма этих чисел, делённая на их количество.
В условии сказано, что на доске написаны положительные и отрицательные числа. Есть ли среди этих чисел нули? – Да, могут быть и нули. Они не внесут вклад в сумму чисел, зато повлияют на их среднее арифметическое.
Пусть на доске написано чисел. Тогда их сумма: . Обозначим: — количество положительных чисел, — количество отрицательных чисел, — количество нулей. Таким образом, .
Пусть и — суммы положительных и отрицательных чисел соответственно. Имеем: , и так как , то:
.
a) Правая часть данного равенства делится на 6. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, число n делится на 6. Между числами 42 и 54 есть только одно такое число: .
Ответ: 48.
б) Из равенства
получаем после сокращения на 6:
.
Кроме того:
.
Сложим полученные равенства:
. Так как 104 при делении на 3 дает остаток 2, число также даёт остаток 2: . Отсюда: , или
.
Соответственно,
.
Составляем разность:
так что — отрицательных чисел написано больше.
в) Из равенства видим, что .
Приведём пример с (тогда ). Пусть написано 12 чисел 6, 34 числа −12 и два нуля. Этот набор удовлетворяет условию задачи: среднее арифметическое положительных чисел равно, очевидно, 6; среднее арифметическое отрицательных чисел равно −12, а среднее арифметическое всех чисел:
Следовательно, наибольшее возможное количество положительных чисел равно 12.
Ответ: 12.
Видите, как из уравнения с тремя неизвестными мы получили всё. Как в сказке про суп из топора.
И еще одна задача. Сколько чисел на доске – не знаем. Есть одинаковые или все разные – не знаем. Переменных штук, то есть в 2 раза больше, чем самих чисел. И все-таки мы это решим!
3. (ЕГЭ-2015) На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в пять раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел
Двузначные числа на доске – это числа вида , где — первая цифра, — вторая.
По условию,
Обозначим ,
Отсюда .
Подберем пример:
Пусть
Тогда:
,
б) Предположим,
Тогда . Если на доске n чисел, то
, поскольку все .
Если , то , поскольку .
Из условия мы получили, что А=294. Мы пришли к противоречию – значит, в пункте (б) ответ «нет».
И снова «суп из топора». Всё из ничего! Наша задача – извлечь из условия всё что можно и применить, чтобы сделать оценки нужных величин.
в)
Найдем наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. Выразим S из системы:
.
Заметим, что делится на 99. Пусть ; тогда ;
; тогда и .
Мы получили систему:
Пусть на доске было n чисел. А – сумма первых цифр этих чисел, В – сумма вторых цифр этих чисел, причем цифры взяты от 1 до 9,
Из первого неравенства мы взяли оценку для . А в неравенстве (оно следует из второго) умножили обе части на 9, чтобы получить другую оценку для . Тогда:
;
; значит, , (т.к. k – целое)
Тогда .
Если , то .
Приведем пример, когда
.
Пусть ;
. Получим:
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Уравнения в целых числах. Задача 18 Профильного ЕГЭ по математике.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена: 08.03.2023
Вычисление среднего набора чисел
Результаты обучения
- Нахождение среднего набора чисел
Среднее значение часто называют средним арифметическим. Он вычисляется путем деления суммы значений на количество значений. Студенты хотят знать среднее значение своих тестовых баллов. Климатологи сообщают, что средняя температура изменилась или не изменилась. Градостроителей интересует средний размер домохозяйства.
Предположим, что первые три теста Итана были [латекс]85,88,\text{и }94[/латекс]. Чтобы найти средний балл, он складывал их и делил на [латекс]3[/латекс].
[латекс]\begin{array}{}\\ {\Large\frac{85+88+94}{3}}=\\ {\Large\frac{267}{3}}=\\ 89\ end{array}[/latex]
Его средний результат теста составляет [latex]89[/latex] баллов.
Среднее
Среднее значение набора [latex]n[/latex] чисел представляет собой среднее арифметическое чисел.
[latex]\text{mean}={\Large\frac{\text{сумма значений в наборе данных}}{n}}[/latex]
Вычислить среднее значение набора чисел.
- Напишите формулу для среднего
- Найдите сумму всех значений в наборе. Запишите сумму в числителе.
- Подсчитайте количество [latex]n[/latex] значений в наборе. Запишите это число в знаменатель.
- Упростите дробь.
- Убедитесь, что среднее значение разумно. Оно должно быть больше наименьшего числа и меньше наибольшего числа в наборе.
пример
Найдите среднее значение чисел [латекс]8,12,15,9,\текст{ и }6[/латекс].
Решение
| Напишите формулу для среднего: | [латекс]\текст{среднее}={\большой\фракция{\текст{сумма всех чисел}}{n}}[/латекс] |
| Запишите сумму чисел в числителе. | [латекс] \ текст {среднее значение} = {\ большой \ гидроразрыв {8 + 12 + 15 + 9 + 6} {n}} [/латекс] |
Подсчитайте, сколько чисел в наборе. В наборе есть [latex]5[/latex] чисел, поэтому [latex]n=5[/latex] . | [латекс] \ текст {среднее значение} = {\ Большой \ гидроразрыв {8 + 12 + 15 + 9 + 6} {5}} [/латекс] |
| Сложите числа в числителе. | [латекс] \ текст {среднее} = {\ Большой \ гидроразрыва {50} {5}} [/латекс] |
| Затем разделите. | [латекс]\текст{среднее}=10[/латекс] |
| Убедитесь, что среднее значение является «типичным»: [латекс]10[/латекс] не меньше, чем [латекс]6[/латекс], и не больше, чем [латекс]15[/латекс]. | Среднее значение равно [латекс]10[/латекс]. |
попробуйте
пример
Возраст членов семьи, собравшихся на празднование дня рождения, был [латекс]16,26,53,56,65,70,93,\text{ и }97[/latex] лет. Найдите средний возраст.
Показать решение
попробуйте
Вы заметили, что в последнем примере, хотя все числа были целыми числами, среднее значение было [latex]59,5[/latex], число с одним десятичным знаком? Обычно среднее значение указывается с точностью до одного десятичного знака по сравнению с исходными числами.
В следующем примере все числа представляют деньги, и имеет смысл указывать среднее значение в долларах и центах.
пример
За последние четыре месяца счета за мобильный телефон Дейзи составляли [латекс]\text{\$42,75},\text{\$50,12},\text{\$41,54},\text{\$48,15}[/latex] . Найдите среднюю стоимость счетов за мобильный телефон Дейзи.
Показать решение
ПОПРОБУЙТЕ
В следующем видео мы покажем пример того, как найти среднее значение набора тестовых результатов.
Как найти среднее арифметическое
Все математические ресурсы ACT
14 диагностических тестов 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 Следующая →
ACT Math Help » Анализ данных » Статистика » Среднее арифметическое » Как найти среднее арифметическое
Анджела набирает 17, 19, 13, 24 и 14 очков в первых пяти играх баскетбольного сезона из семи игр.
Если лидер по результативности в лиге Анджелы набирает в среднем 18 очков за игру, сколько очков Анджела должна набрать в двух последних играх вместе, чтобы закончить сезон с самым высоким средним результатом в лиге И иметь более высокий средний результат, чем любой другой игрок?
Возможные ответы:
37
39
34
40
32
Правильный ответ:
40
Объяснение:
Поскольку средний результат данного игрока можно определить, разделив сумму очков, набранных на количество игр, мы можем определить общее количество очков лидера по результативности, умножив среднее количество очков за игру на общее количество игр. . 18 x 7 = 126. Анджела должна была бы набрать на 1 очко больше, чем текущий лидер по количеству очков. Текущий результат Анджелы — 87 баллов; следовательно, она должна набрать 40 (87 + 40 = 127) в течение последних двух игр, чтобы иметь самое высокое среднее количество очков за игру в лиге.
Сообщить об ошибке
Какое среднее значение имеет следующий набор чисел: 13, 15, 100, 54, 345, округленный до ближайшего разряда 1?
Возможные ответы:
135
105
100
106
Правильный Ответ:
105999
Объяснение:
среднее значение = сумма всех значений, деленная на количество значений.
Сообщить об ошибке
Среднее пяти чисел равно 40. Среднее двух наименьших чисел равно 25. Каково среднее трех других чисел?
Возможные ответы:
50
45
60
55
40
Правильный ответ:
50
777 Объяснение:
Уравнение для среднего значения группы чисел состоит в том, чтобы найти сумму всех чисел, а затем разделить ее на количество чисел в группе.
Это означает, что если мы знаем среднее значение и количество чисел в группе, мы можем найти сумму этих чисел.
(сумма всех пяти чисел) / 5 = 40 —> сумма всех пяти чисел = 200
(сумма двух наименьших чисел) / 2 = 25 —> сумма двух наименьших чисел = 50
Вычитание суммы двух наименьших чисел из суммы всех пяти дает нам сумму оставшихся трех. Затем мы можем разделить на три, чтобы найти среднее значение этих трех оставшихся чисел.
200 – 50 = 150
150 / 3 = 50
Сообщить об ошибке
Леброн Джеймс сыграл в 7 играх плей-офф. В этих играх он набрал 31, 30, 55, 14, 29, 20 и 12 очков. Каков его средний показатель за эти 7 игр?
Возможные ответы:
20,5 баллов
29 баллов
43 балла
27,3 балла
22 очков
Правильный ответ:
27,3
.
Объяснение:
Чтобы найти среднее значение, нужно сложить все элементы, а затем разделить на количество элементов. Нахождение суммы (31+30+55+14+29+20+12)= 191, а затем деление на 7 даст результат 27,3. [Примечание: медиана равна 29, а диапазон равен 43.]
Сообщить об ошибке
Коби Брайант набирал в среднем около 29,5 очков за игру в первой 81 игре сезона НБА. Его цель — набирать в среднем не менее 30 очков за игру в течение сезона. Какое наименьшее количество очков ему нужно набрать в последней игре сезона, чтобы достичь своей цели? (В сезоне 82 игры.)
Возможные ответы:
61 баллы
31 баллы
41 баллы
71 баллы
51 баллы
Правильный ответ:
71 очки
77477. Объяснение:
Чтобы найти свой ответ, вам нужно установить его как средневзвешенное значение, потому что мы не знаем, сколько он набрал за 81 игру, но мы можем приблизительно определить, сколько фактически очков он набрал, умножив 29,5 на 81.
Таким образом, мы получили бы уравнение (290,5(81)+х)/82=30. Умножьте обе части на 82, чтобы получить 2389,5+х=2460. Таким образом, x=70,5, и мы округлим до 71 очка.
Сообщить об ошибке
Питер получил следующие 4 балла за тесты по математике: 86, 90, 88 и 96. Каков средний балл Питера за 4 теста?
Возможные ответы:
89
90
91
92
88
Правильный Ответ:
9000
9Объяснение:
Чтобы вычислить среднее или среднее арифметическое чисел в наборе, мы сложим все числа, а затем разделим эту общую сумму на n (количество чисел в наборе).
Здесь у нас есть 86, 90, 88 и 96. Это дает нам n = 4.
Складываем 86 + 90 + 88 + 96 = 360. 360 / 4 = 90 .
Сообщить об ошибке
Эшли набрала 80, 80, 83, 85, 90 и 77 баллов за тесты в этом семестре.
Если она хочет получить в среднем 85 баллов по всем тестам, какие ей нужно будет набрать на финальном тесте?
Возможные ответы:
Ни один из других ответов.
95
100
97
85
Правильный ответ:
100
Объяснение:
Можно составить уравнение для среднего балла за тест. 85=(80+80+83+85+90+77+х)/7.
Решение x дает 100.
Сообщить об ошибке
Спортсмен-олимпийец только что пробежал четыре мили. Его среднее время составляло 6 минут на милю. Если он пробежал первую и последнюю милю за 5 минут, а остальные 2 мили прошли за одно и то же время, каково было среднее время прохождения 2 миль посередине?
Возможные ответы:
6 минут на милю
7 минут на милю
14 минут на милю
Недостаточно информации.
Объяснение:
Общее время, затраченное спортсменом, составило 24 минуты, если две мили заняли 10 минут, то две другие — 14.
14/2 дает в среднем 7 миль в минуту
Сообщить об ошибке
На приведенной выше диаграмме, каков был средний балл по экзамену 2? Округлить до 1 знака после запятой.
Возможные ответы:
83.1
84,9
87,4
81,0
79,9
Правильный ответ:
79,9,
777474. Объяснение:
Среднее = (Сумма оценок) / (Количество оценок)
= (85+93+65+70+90+72+65+86+93) / 9
= 719 / 9= 79.9
Сообщить об ошибке
Энтони зарабатывает 4000 долларов в месяц в качестве бармена 10 месяцев в году, а 2 месяца он работает в джаз-клубе, где зарабатывает 6000 долларов в месяц.
Leave A Comment