{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:


Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».


Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например, вычислите логарифм:  а) \(\log_{4}{16}\)     б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)     в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\)     г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)      д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому: 

\(\log_{4}{16}=2\)

б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень \(\frac{1}{2}\).

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение:

\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)

                              

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. {b}=c\)       \(\Leftrightarrow\)       \(\log_{a}{c}=b\)

\(\log_{4}{10}=5x-4\)

 

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

\(5x-4=\log_{4}{10}\)

 

Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. 

\(5x=\log_{4}{10}+4\)

  

Поделим уравнение на 5

\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)


Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) — некоторое число.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) — некоторое число. {2}=25\)

     

Ответ готов.

Ответ: \(25\)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\). 

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\)  . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается  

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}…\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}…\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}…\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\)\(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\)\(…\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\)\(=\log_{2}{\sqrt[3]{2}}=\log_{3}{\sqrt[3]{3}}=\log_{4}{\sqrt[3]{4}}=\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=\log_{6}{\sqrt[3]{6}}=\log_{7}{\sqrt[3]{7}}…\)

И так далее.

Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\):       \(a=\log_{b}{b^{a}}\)

Пример: Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение:

\(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)\(=\)

          

Превращаем единицу в логарифм с основанием \(2\): \(1=\log_{2}{2}\)

\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{2}+\log_{2}{7}}\)\(=\)

 

Теперь пользуемся свойством логарифмов:
\(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}\)

\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{(2\cdot7)}}\)\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{14}}\)\(=\)

 

В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.

\(=1\)

 

Ответ готов.

Ответ: \(1\)

Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12
10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить
квадратный корень из 18 92

База журнала 2

Дата последнего обновления: 19 апреля 2023 г.

•

Всего просмотров: 330,3 тыс. Логарифмическая функция – это функция, обратная показательная функция.

  • Цель логарифма — рассказать нам о показателе степени.

  • Логарифмические функции используются для изучения свойств экспоненциальных функций и используются для решения различных экспоненциальных уравнений. 9x} = b\]

     

    Что такое логарифмическая база 2 или двоичный логарифм?

    • Логарифм по основанию 2 также известен как двоичный логарифм.

    • Обозначается как (log2n).

    • Логарифм по основанию 2 или двоичный логарифм — это логарифм по основанию 2.

    • Это функция, обратная степени двух функций.

    • Двоичный логарифм — это степень, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить значение n. 9{\mathbf{x}}} = {\text{ }}{\mathbf{n}}\]

      График для логарифмической базы 2

      Свойства логарифмической базы 2

      Есть несколько свойств логарифмические функции с основанием 2. Они перечислены в таблице ниже.

      Поскольку мы обсуждаем логарифм с основанием 2, мы будем считать, что здесь основание равно 2.

      Основные правила логарифмического журнала

      9{logb\left( k \right)}} = k\]

      Правило продукта —

      , если логарифм дается как продукт двух чисел, тогда мы можем представлять Logarith в качестве дополнительного номера. и наоборот.

      \[lo{g_b}\left( {x{\text{}} \times {\text{}}y} \right){\text{}} = {\text{}}lo{g_b}x {\text{ }} + {\text{ }}lo{g_b}y\]

      Правило частных –

      Если логарифм дан как отношение двух величин, то его можно записать как разность логарифмов каждого из числительных.

      \[lo{g_b}\left( {\frac{x}{y}} \right)\; = {\text{}}lo{g_b}x{\text{}} — {\text{}}lo{g_b}y\]

      Степенное правило — 9k}) = k{\text{}}lo{g_b}x\]

      Правило нуля –

      Если b больше 0, но не равно 1. Логарифм x = 1 может быть записывается как 0.

      \[lo{g_b}\left( 1 \right){\text{}} = {\text{}}0\]

      тогда основание b и аргумент логарифма (в скобках) равны,

      \[lo{g_b}\left( b \right){\text{}} = {\text{}}1\]

       

      Вот несколько примеров, показывающих, как работают приведенные выше основные правила

      Пример 1 –

      записывается как

      Log (20 × 2)

      правило побочных продуктов ?

       logb(b) = 1, по правилу идентификации

      Следовательно, log4(4) = 1,

       

      Формула изменения основания

      Логарифм может быть в форме логарифма по основанию e или логарифма по основанию 10 или любого другого основания. Вот общая формула для изменения основания —

      \[{\mathbf{Lo}}{{\mathbf{g}}_{\mathbf{b}}}\;{\mathbf{x}}{\text{ }} = {\ text {}} \ frac {{{\ mathbf {Lo}} {{\ mathbf {g}} _ {\ mathbf {a}}} \; {\ mathbf {x}}}} {{ {\mathbf{Lo}}{{\mathbf{g}}_{\mathbf{a}}}\;{\mathbf{b}}}}\;\]

      Чтобы найти значение логарифмической базы 2, сначала нам нужно преобразовать его в логарифм по основанию 10, который также известен как десятичный логарифм.

      \[Log{\text{}}base{\text{}}2{\text{}}of{\text{}}x = \frac{{ln\left( x \right)}}{{ ln\left( 2 \right)}}\]

       

      Теперь вам может быть интересно, что такое десятичная логарифмическая функция?

      • Логарифмическая функция или десятичный логарифм — это логарифм с основанием, равным 10.

      • Он также известен как десятичный логарифм из-за его основания.

      • Десятичный логарифм x обозначается как log x.

        909{y} = x\]

         

        •  Предположим, у нас есть вопрос, log216 = x

        • Используя правило журнала,

        • 7
          • 7 167 8 Мы знаем, что 16 в степени 2 можно записать как (2×2×2×2 =16), 2x=24

        • Следовательно, x равно 4.

         

        Вопросы, которые необходимо решить –

        Вопрос 1) Вычислить значение логарифма по основанию 2 из 64.

        Решение) Здесь

        X= 64

        Используя формулу,

        \[Log{\text{ }}base{\text{ }}2{\text{ }}of{\text{ }}X = \frac{{ln\left( {64 } \right)}}{{ln\left( 2 \right)}} = 6\].

        Логарифмическая база 2 из 64 =\[\frac{{ln\left( {64} \right)}}{{ln\left( 2 \right)}} = 6\].

        Следовательно, логарифмическая база 2 из 64 = 6

         

        Вопрос 2) Найдите значение log2(2).

        Решение) Чтобы найти значение log2(2), воспользуемся основным правилом тождества:

        \[lo{g_b}\left( b \right){\text{ }} = {\text{ }}1 ,\].

        Следовательно, log2(2) = 1.

         

        Вопрос 3) Каково значение log 2 по основанию 10?

        Решение) Значение log 2 по основанию 10 можно вычислить по правилу

        \[Lo{g_a}\left( b \right){\text{}} = \frac{{\log b}}{ {\log а}}\].

        \[Lo{g_{10}}\left( 2 \right){\text{}} = \frac{{\log 2}}{{\log 10}}\; = {\text{}}0,3010\].

        Следовательно, значение log 2 по основанию 10 = 0,3010.

         

        Вопрос 4) Каково значение log 10 по основанию 2?

        Решение) Значение log 10 по основанию 2 можно рассчитать по правилу

        \[Lo{g_b}\left( a \right){\text{ }} = \frac{{\log b}}{ {\log а}}\].

        \[Lo{g_2}\left( {10} \right){\text{}} = \frac{{\log 10}}{{\log 2}}\; = {\text{3}}{\text{.3 = 2}}\].

        Следовательно, значение log 10 по основанию 2 = 3,32.

         

        Использование логарифмов в повседневной жизни

        • Землетрясения регистрируются с помощью сейсмографов, а амплитуда регистрируется по шкале Ритчера. Логарифмические значения используются для понимания этих значений

        • Он также используется для определения значения pH любого вещества.

        • Логарифмы используются для измерения интенсивности звука. Как правило, интенсивность звука измеряется громкостью, которая, в свою очередь, измеряется с помощью логарифмов

        • . Они также используются для измерения комплексных величин.

         

        Как улучшить результаты в логарифме Глава

        Логарифм — это прямо противоположное преобразованию числа в степень цифры. Многие студенты сталкиваются с трудностями при изучении этого предмета, так как им приходится думать и решать задачи в обратном порядке. Вот несколько советов, как улучшить свои результаты в логарифмах:

        • Поймите, что логарифм — это обратное выражение степеней или показателей. Все, что вам нужно сделать, это решить их в обратном порядке

        • Наизусть выучить все законы логарифмирования и знать, какой будет конечный результат для конкретной задачи, если решить ее с помощью формулы

        • Понимание конца результат может быть достигнут путем понимания формулы, которую вы применяете для решения проблемы.