Корень из 7 корень из 10: Внесите множитель под знак корня: а)7√10. б)5√3. в)6√х. г)10√у. д)3√2а. е)5√3б Внесите положительный множитель под…

2

Корень (кубический, квадратный) в степени: решения, таблицы, примеры

Оглавление:

• Степень с натуральным показателем
• Степень с целым показателем
• Кубический корень
• Корень -ной степени
• Сравнение арифметических корней
• Как избавиться от иррациональности в знаменателе

• Степенью называется выражение вида .

  Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

  к оглавлению ▴

  Степень с натуральным показателем

  Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

  По определению, .

  Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
  Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

  .

  Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

  .

  Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

  к оглавлению ▴

  Степень с целым показателем

  Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

  По определению,

  .

  Это верно для . Выражение 0⁰ не определено.

  Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

  Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

  Например,

  Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

  Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

  Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

  Определение.

  Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

  Согласно определению,

  В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

  Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

  Свойства арифметического квадратного корня:

   

  Запомним важное правило:

  По определению, .

  к оглавлению ▴

  Кубический корень

  Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

  Например, , так как ;

  , так как ;

  , так как .

  Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

  Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

  к оглавлению ▴

  Корень -ной степени

  Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

  Например,

  Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

  Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

  Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

  По определению,

  в общем случае .

  Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

  Например,

  Выражение по определению равно .

  При этом также выполняется условие, что больше 0.

  Например,

  Запомним правила действий со степенями:

  — при перемножении степеней показатели складываются;

  — при делении степени на степень показатели вычитаются;

  — при возведении степени в степень показатели перемножаются;

  Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

  1.

  Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

  2.

  3.

  Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
  4. Найдите значение выражения при

  Решение:

  При получим

  Ответ: -0,5.

  5. Найдите значение выражения при

  Решение:

  При a = 12 получим

  Мы воспользовались свойствами степеней.

  Ответ: 144.

  6. Найдите значение выражения при b = — 5.

  Решение:

  При b = — 5 получим:

  Ответ: -125.

  7. Расположите в порядке возрастания:

  Решение:

  Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

  Так как то

  Так как то

  Сравним и для этого оценим их разность:

  значит

  Получим : поэтому

  Ответ:

  8. Представьте выражение в виде степени:

  Решение:

  Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

  Ответ:

  9. Упростите выражение:

  Решение:

  Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

  (выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

  Ответ: 0,25.

  10. Чему равно значение выражения при ?

  Решение:

  При получим

  Ответ: 9.

  к оглавлению ▴

  Сравнение арифметических корней

  11. Какое из чисел больше: или ?

  Решение:

  Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

  Найдем разность полученных результатов:

  так как

  Значит, первое число больше второго.

  Ответ:

  к оглавлению ▴

  Как избавиться от иррациональности в знаменателе

  Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

  Тогда знаменатель станет рациональным.

  Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

  Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

  и и — сопряженные выражения.

  Пример:

  12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:

  Пример 1.

  Пример 2.

  Пример 3.

  Пример 4.

  Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

  Пример 5.

  13. Сравните и

  1)

  2) Сравним и 14.

  то и а значит,

  Ответ: меньше.

  к оглавлению ▴

  Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

  Покажем несколько примеров.

  14. Упростите: выражения:

  Пример 5.

  т.к.

  Пример 6.

  Пример 7.

  так как

  Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

  Решение:

  Получим уравнение

  Ответ:

  19. Вычислите значение выражения:

  Решение:

  Ответ: 1.

  20. Вычислите значение выражения:

  Решение:

  Ответ: 1.

  21. Вычислите значение выражения: если

  Решение.

  Если то следовательно

  Ответ: — 1.

  22. Вычислите:

  Решение:

  Ответ: 1.

  Рассмотрим уравнение вида где

  Это равенство выполняется, только если

  Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».

  При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

  23. Решите уравнение:

  а)

  б)

  в)

  Решение.

  23. Решите уравнение:

  Решение:

  тогда

  Ответ: -1.

  24. Решите уравнение:

  Решение:

  Ответ: 4.

  25. Решите уравнение:

  Решение:

  Значит,

  Ответ: -0,2.

  Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

  Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.