Как найти Координаты Точки? Примеры

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

114.7K

Современные технологии позволяют в несколько кликов поделиться с другом нашим месторасположением. Достаточно зайти в гугл карты и пошерить координаты точки. В этом материале узнаем, как такое же действие отобразить на бумаге.

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой

x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O.

Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.


  • Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок
    — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Правила координат:

  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью

Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.


Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).


Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

 

  1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
    точка С (0, 2).

  2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
    точка F (3, 0).

  3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).

  4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.

  5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.

  6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).

  7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

 

  1. Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.

  2. Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.

  3. Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

 

  1. Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
    перед 4 стоит знак минус.

  2. Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:


 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

139.8K

Что такое функция?

К следующей статье

Как умножать отрицательные числа

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

  1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

  2. Расскажем, как проходят занятия

  3. Подберём курс

Координатная плоскость — что это, определение и ответ

Координатная плоскость – это прямоугольная система координат, состоящая из двух взаимно перпендикулярных осей, имеющих направление, начало отсчета и единичные отрезки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ:

Любая точка на этой плоскости имеет свои координаты в соответствии с координатами осей. Рассмотрим координатную плоскость, на которой отмечены несколько точек:

Найдем координаты каждой из этих точек.

Чтобы найти координаты точки, нужно:

1. Провести перпендикуляры от точки к каждой координатной оси.

2. Перпендикуляр, упавший на ось Ох, попадет на координату x данной точки, а перпендикуляр, упавший на ось Оу, попадет на координату y данной точки.

Например:

Координата точки А на оси Ох равна 4, а на оси ОУ равна 3. Координаты записывают так:

\(А(4;3)\)

Координата на оси Ох называется абсциссой.

Координата на оси Оу называется ординатой.

Сначала записывают координату оси абсцисс, потом координату оси ординат.

Найдем координаты других точек:

Таким образом:

\({A\left( 4;3 \right) }{B\left( –2;1 \right) }{C\left( –6;–2 \right) }{D\left( 3;–4 \right)}\)

КООРДИНАТНЫЕ ЧЕТВЕРТИ:

Координаты могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от того, с какой стороны от начала координат находится точка. Мы видим, что каждая из представленных точек имеет разные знаки для абсцисс и ординат. Все потому, что они находятся в разных четвертях координатной плоскости, которые образуют координатные оси. На каждой из этих четвертей координаты x и y имеют определенные знаки:

Первой четвертью является четверть, где и абсцисса, и ордината принимают положительные значения. В этой четверти находилась точка А.

Дальше четверти нумеруются против часовой стрелки. Таким образом точка В находилась во второй четверти и имела отрицательную абсциссу и положительную ординату, точка С имела только отрицательные координаты, а точка D имела положительную абсциссу и отрицательную ординату.

СИММЕТРИЯ:

Виды симметрии:

  1. Относительно оси Ох (ордината меняет знак на противоположный).

  2. Относительно оси Оу (абсцисса меняет знак на противоположный).

  3. Относительно начала координат (абсцисса и ордината меняют знаки на противоположные).

Суть симметрии:

Рассмотрим каждый вид симметрии подробнее.

На плоскости можно симметрично отражать любые построение. Представим всю координатную плоскость, как сгибаемый лист бумаги, и отметим на нем точку M(3; 5):

1. Согнем наш лист по линии оси Ох. Получим, что наша точка отпечатается на другой стороне от этой оси. Получим новую точку М1 с координатами (3; –5). Эта точка будет симметрична данной относительно оси Ox:

2. Согнем наш лист по линии оси Оу. Тогда наша точка «отпечатается» на другой стороне от этой оси и попадет в точку М2(–3; 5). Эта точка будет симметрична данной относительно оси Оу:

3. Если мы согнем лист сначала относительно оси Ох, а потом еще и по оси Оу (неважно в каком порядке), то наша точка попадет в точку, M3(–3; –5). Эта точка будет симметрична данной относительно начала координат:

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ ПО КООРДИНАТАМ:

Мы можем как узнать координаты точек на плоскости, так и сами их задавать.

Чтобы отметить на координатной плоскости точку с конкретными координатами, нужно:

1. Провести через абсциссу точки прямую, перпендикулярную оси Ох.

2. Провести через ординату точки прямую, перпендикулярную оси Оу.

3. Точка пересечения этих прямых и будет являться точкой с заданными координатами. Отметить эту точку.

Например:

Построим точку на координатной плоскости по координатам: \(N\left( –1;5 \right)\)

Точка N имеет координаты \((–1;\ 5)\).

1. На оси Ох отметим координату –1 и проведем через нее перпендикуляр к этой оси.

2. На оси Оу отметим координату 5 и проведем через нее перпендикуляр к этой оси.

3. На пересечении этих прямых отметим точку \(N(–1;\ 5\)):

Прямые, которые мы провели в первом и втором пункте можно записать в виде формул:

\({x = \ –1 }{y = 5}\)

Такие формулы описывают, в каких точках прямые пересекают оси под прямым углом.

ОПИСАНИЕ УЧАСТКОВ ПЛОСКОСТИ:

Задавать на плоскости можно не только координаты точек и прямых, но и выделять некоторые площади. Например, разбиение координатной плоскости на четверти задается неравенствами.

Рассмотрим несколько случаев выделения частей плоскости.

Пример №1:

Выделите область, которая включает в себя множество точек так, что: \(x > 2\)

Это выражение описывает множество точек на плоскости, абсциссы которых больше 2.

  1. Чтобы выделить это множество на плоскости, проведем прямую \(x\ = \ 2\):

2. Таким образом эта прямая поделила всю координатную плоскости на две полуплоскости: одна находится справа от прямой, вторая слева.

— Если мы отметим любую точку слева от прямой \(x = 2\), то увидим, что абсцисса этой точки будет меньше, чем 2.

— Если мы отметим любую точку справа от прямой \(x = 2\), то увидим, что абсцисса этой точки будет больше, чем 2.

3. Нам подходит второй вариант, значит множество точек, для которых неравенство \(x > 2\) верное – красная полуплоскость:

Пример №2:

Выделите область, которая включает в себя множество точек так, что: \(–1 < y < 3\)

Здесь нам так же заданы определённые точки, но уже с ограничением ординаты. Нужно выделить область, все точки на которой будут иметь ординату больше, чем –1 и меньше, чем 3. Алгоритм построение такой же, как в примере №1, только у нас появилась вторая прямая.

1. Проведем прямые \(y = \ –1\) и \(y = 3\):

2. У нас появилось три полуплоскости. Проанализируем каждые из них:

— Если поставить точку выше прямой \(y = 3,\) её ордината будет больше 3.

— Если поставить точку ниже прямой \(y = \ –1\), её ордината будет меньше –1.

— Если поставить точку между прямыми \(y = \ –1\ \)и \(y = 3\), её ордината будет больше –1 и меньше 3.

3. Нам подходит область между прямыми, где \(–1 < y < 3\):

Линейные уравнения в координатной плоскости (Алгебра 1, Визуализация линейных функций) – Mathplanet

Линейное уравнение – это уравнение с двумя переменными, график которого представляет собой линию. График линейного уравнения представляет собой набор точек на координатной плоскости, все из которых являются решениями уравнения. Если все переменные представляют действительные числа, можно построить уравнение, нанеся достаточное количество точек для распознавания шаблона, а затем соединив точки, чтобы включить все точки.

Если вы хотите построить график линейного уравнения, у вас должно быть как минимум две точки, но обычно рекомендуется использовать более двух точек. При выборе очков старайтесь включать как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль.

Пример

Привяжите функцию y = x + 2

Начните с выбора пары значений для x, например. -2, -1, 0, 1 и 2 и вычислить соответствующие значения y.

Х Y = х + 2 Заказанная пара
-2 -2 + 2 = 0 (-2, 0)
-1 -1 + 2 = 1 (-1, 1)
0 0 + 2 = 2 (0, 2)
1 1 + 2 = 3 (1, 3)
2 2 + 2 = 4
(2, 4)

Теперь вы можете просто нанести пять упорядоченных пар на координатную плоскость

На данный момент это пример дискретной функции. Дискретная функция состоит из изолированных точек.

Проведя линию через все точки и продолжая линию в обоих направлениях, мы получим противоположность дискретной функции, непрерывную функцию, которая имеет непрерывный график.

Если вы хотите использовать только две точки для определения вашей линии, вы можете использовать две точки, где график пересекает оси. Точка пересечения графика с осью x называется точкой пересечения графика с осью y, а точка пересечения графика с осью y называется точкой пересечения графика с осью y. Пересечение x находится путем нахождения значения x, когда y = 0, (x, 0), а пересечение y находится путем нахождения значения y, когда x = 0, (0, y).

Стандартная форма линейного уравнения:

$$Ax+By = C,\: \: A,B\neq 0$$

Прежде чем вы сможете построить линейное уравнение в его стандартной форме, вы должны сначала решить уравнение относительно y.

$$2y-4x=8$$

$$2y-4x\, {\color{green} {+\, 4x}}=8\, {\color{green} {+\, 4x}} $$

$$2y=4x+8$$

$$\frac{2y}{{\color{green} 2}}=\frac{4x}{{\color{green} 2}}+\ frac{8}{{\color{green} 2}}$$

$$y=2x+4$$

Отсюда вы можете построить уравнение, как мы сделали в приведенном выше примере.

График y = a представляет собой горизонтальную линию, где линия проходит через точку (0, a)

Тогда как график x = a представляет собой вертикальную линию, которая проходит через точку (a, 0)

Нарисуйте график линейного уравнения y =3x — 2

Нарисуйте точки 02 30 0 2 и 30 на миллиметровой бумаге Соедините эти точки по порядку Назовите фигуру, чтобы получить…

Перейти к

  • Координатная геометрия. Упражнение 19..1
  • Координатная геометрия. Упражнение 19.2.
  • Координатная геометрия. Упражнение 19.3.
  • Координатная геометрия. Упражнение 19..4
  • Рациональные и иррациональные числа
  • Сложные проценты
  • Расширения
  • Факторизация
  • Одновременные линейные уравнения
  • Задачи на одновременные линейные уравнения
  • Квадратные уравнения
  • Индексы
  • Логарифмы
  • Треугольники
  • Теорема о средней точке
  • Теорема Пифагора
  • Прямолинейные фигуры
  • Теоремы о площади
  • Круг
  • Измерение
  • Тригонометрические отношения
  • Тригонометрические отношения и стандартные углы
  • Координатная геометрия
  • Статистика

Главная > ML Aggarwal Solutions Класс 9 Математика > Глава 19 — Координатная геометрия > Координатная геометрия. Упражнение 19.1. > Вопрос 12

Вопрос 12 Координатная геометрия Упражнение 19.1

Нанесите точки (0,2), (3,0), (0, -2) и (-3,0) на миллиметровую бумагу. Соедините эти точки (по порядку). Назовите

полученная фигура и найдите площадь полученной фигуры.

Ответ:

Даны точки (0,2), (3,0), (0,-2) и (-3,0).

Точки нанесены на график ниже.

Полученный четырехугольник является ромбом.

BD и AC — диагонали ромба.

Площадь ромба = ½ × d1 × d2

Где d1 и d2 — длины диагоналей.

AC = 4 шт. [из графика]

BD = 6 шт. [из графика]

Площадь ромба ABCD = ½ ×BD×AC

= ½ ×6×4

= 12 кв.

Отсюда площадь 12 кв.

Стенограмма видео

«Эй, дети, добро пожаловать на пляж! Я Винит, твой репетитор по плаванию, который приносит тебе этот вопрос на вашем экране нанесите точки 0 2 3 0 0 минус 2 и 3 минус 3 0 на графике бумага соедините эти точки по порядку назовите полученную цифру и найти площадь полученной фигуры это очень простой вопрос, ребята, так что Давайте посмотрим теперь что нам нужно в первую очередь первое, что нам нужно, это иксы какие иксы ось х и ось Y вправо так это оси сейчас это минус х снова х по оси y теперь отметим координаты так 0 2 так что снова два три четыре давайте отметим точки так что минус 1 так минус 3 минус 2 минус 1 1 2 3 и 4. аналогично 1 2 3 и 4 минус 1 минус 2 минус 3 и минус 4. теперь отметим нужные координаты у нас есть 0 2, поэтому давайте назовем 0 2 как 1 1, поэтому 0 в координате x означает что точка находится на координате y, поэтому это прямо здесь давайте назовем это 0 2 3 0 снова это по координате x поэтому давайте назовем это b 3 0 0 минус 2 снова находится на координате x правильно, если это 0 минус 2, если x равно 0 это по координате y, так что c 0 минус 2 и у нас есть эта точка д минус 3 и 0 верно да так хорошо, что у нас снова с 0 минус 2 и d минус 3 0 теперь давайте соединим точки так что у нас есть здесь цифра явно ромб справа в полученная цифра ромб правильно мы знаем эту площадь ромба площадь ромба равна половине раз произведение их диагоналей так, что является переменный ток в бит так что это будет равно половине раза ac — длина координаты y, поэтому 2 минус минус 2 это переменный ток в координату x снова 3 минус минус 3. так что это равно половине в 4 в 6 так что это равно 12 квадратные единицы не так просто, ребята правильно, если у вас все еще есть сомнения, хотя пожалуйста, оставьте комментарий ниже ставь лайк под видео и подписывайся на наш канал увидимся в нашем следующем видео а пока пока ребята продолжайте тренироваться продолжайте расцвет

Связанные вопросы

Найдите координаты точек, у которых (i) абсцисса равна 3, а ордината -4. (ii) абсцисса равна -3/2 и порядок…

В каком квадранте или на какой оси лежит каждая из следующих точек? (-3, 5), (4, -1) (2, 0), (2, 2…

Какие из следующих точек лежат на (i) оси x? (ii) ось Y? A (0, 2), B (5, 6), C (23, 0), D (0, 23)…

На той же миллиметровке отметьте следующие точки: A (3, 4), B (-3, 1), C (1, -2), D (-2, -3), E (0,…

Напишите координаты точек A, B, C, D, E, F, G и H, показанных на соседнем рисунке.координаты…

В каких квадрантах расположены точки A, B, C и D задачи 3?

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнения

Упражнение по координатной геометрии 19.