Как найти угол по клеткам: Угол на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге изображён вписанный угол

     Дорогие друзья! Мы уже рассматривали с вами задачи на вписанный в окружность угол. Если вы давно не решали подобных  заданий, и не помните свойство вписанного угла, то обязательно ознакомьтесь с материалами и решите несколько задач, посмотрите статьи на блоге «Угол вписанный в окружность. Часть 1!» и про вписанный четырёхугольник, либо соответствующий раздел в учебной литературе.

Есть ещё один тип заданий с вписанным углом, которые входят в состав ЕГЭ. Их мы и рассмотрим в этой статье. В заданиях имеется одна  особенность – окружность и угол заданы (построены) на листе в клетку и никаких градусных величин в условии не задано. Возникает вопрос: а как тогда углы-то вычислять?

Всё просто! Нужно понимать как «установить» угол, если он построен на листе в клетку, а далее использовать свойство вписанного угла. Запутал?

Начнём с самого простого. Чему равен данный угол?

Конечно же, 90 градусам.

Чему равен этот угол?

Понятно, что 45 градусам.

А этот?

Правильно, 135 градусам (90 + 45 или по-другому 180 – 45).

А такой?

225 градусов (180 + 45    или    360 – 135).

Понимания того, как стороны угла расположены относительно клеток вполне достаточно, чтобы решать такие задачи.

Ещё раз напомню основное свойство вписанного угла.

«Вписанный угол равен половине центрального,

опирающегося на ту же дугу»

 

 

27891. Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC. Ответ дайте в градусах.

Все подобные задания, в которых дан вписанный в окружность угол (либо центральный угол) на листе в клетку, решаются просто – угол определяется по расположению его сторон относительно клеток. Если необходимо, то используется свойство вписанного угла.

Построим центральный угол соответствующий дуге ВС:

Градусная величина дуги на которую опирается вписанный угол равна центральному углу опирающемуся на эту дугу, то есть нам необходимо найти угол  ВОС:

По клеткам видно, что угол ВОС равен 90⁰ + 45⁰ = 135⁰ (ОС проходит по диагонали клеток).

Ответ: 135

 

27887. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте  в  градусах.

Посмотреть решение

 

27888. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

 

27889. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27890. Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Небольшой итог!

Нужно знать свойство вписанного угла (обязательно).

Для решения подобных задач достаточно построить центральный угол и далее использовать  указанное свойство.

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

Когда маленький Дракула не вернулся домой из школы, его мама так и подумала: «Наверное, кол поставили».

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Подготовка к ОГЭ. «Углы на клетках»

Углы на клетках

-1-

Как построить прямой угол по клеткам? Очень просто! – скажете вы. – Отметим точку, вершину угла, от неё чертим вправо или влево луч, затем ещё один луч вверх или вниз. Угол между горизонталью и вертикалью – прямой. А можно и по диагоналям соседних клеток.

Всё верно. А если один из лучей уже построен и он не горизонтальный, не вертикальный и не проходит по диагоналям клеток? Как начертить второй луч, чтобы угол между ними был прямым?

Найдём узел сетки, через который проходит начерченный луч. На нашем рисунке до такого узла от начала луча нужно пройти 3 клетки ВЛЕВО и 1 клетку ВНИЗ. Поэтому чтобы получился прямой угол, надо от начала луча отсчитать 1 клетку ВЛЕВО и 3 клетки ВВЕРХ. Почему? Обозначим упомянутые нами точки – А, В и О. Построим векторы ОА и ОВ. Координаты вектора ОА равны (-3; -1), вектора ОВ (-1; 3). Их скалярное произведение равно 0, поэтому они перпендикулярны.

Можно отсчитывать клетки и так: 1 клетку ВПРАВО и 3 клетки ВНИЗ. Тогда вектор ОВ имеет координаты (1; -3), при этом скалярное произведение векторов ОА и ОВ также равно 0.

Вывод. Векторы с координатами (a; b) и (-b; a), или (a; b) и (b; -a), — перпендикулярны.

Рассмотрим несколько задач, связанных с умением находить прямой угол на рисунке.

№ 1. Найти угол АВС на рисунке.

Решение. На первом рисунке угол АОС построен на диагоналях соседних клеток. На втором рисунке векторы ОА и ОС имеют координаты соответственно (3; -4) и (4; 3). Поэтому на первом и втором рисунках центральный угол АОС – прямой, а вписанный угол АВС, опирающийся на ту же дугу, равен его половине, то есть 45°. На третьем рисунке угол АОС – половина прямого, то есть 45°, а угол АВС соответственно равен 22,5°.

№ 2. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Чему равен угол между прямыми АС и ВD?

Решение. Отрезок ВD переместим параллельно вниз на одну клетку. Появляется отрезок АМ, равный ВD. Угол между прямыми АС и ВD равен углу между АС и АМ на втором рисунке. Соединим отрезком точки С и М. Получается, что угол АМС – прямой и АМ = МС. Треугольник АСМ прямоугольный равнобедренный, поэтому искомый угол равен 45°.

№ 3. Найти тангенс угла, изображенного на рисунке.

Решение. Выделим на этом рисунке узлы сетки – точки А и С. Рассмотрим треугольник АВС. Заметим, что он является прямоугольным, к тому же катет ВС в 2 раза больше катета АС. Отсюда следует, что тангенс угла В равен 1:2 = 0,5.

-2-

Правильный треугольник и описанная около неё окружность, построенные на клетках, несут в себе много интересных свойств. Известно, что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной а, равен

, а радиус вписанной в него окружности — , то есть в два раза меньше. Отсюда следует, что хорда, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через его середину, является стороной правильного треугольника. Другими словами, острый вписанный угол, опирающийся на хорду, перпендикулярную радиусу и проходящую через его середину, равен 60 °, а центральный угол и тупой вписанный угол, опирающиеся на эту хорду, — 120°.

Рассмотрим несколько примеров задач, решаемых на основе этого свойства.

1. Угол АВС на рисунке равен 60°, так как хорда АС проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему.

2. Угол АВС на рисунке является половиной угла в 60° из предыдущей задачи и равен 30°.

3. Угол АВС на следующем рисунке равен 120°. При этом четырёхугольник АВСО является ромбом и его острый угол равен 60°.

-3-

Полезным при решении задач на клетках является знание углов правильных многоугольников. Рассмотрим правильный шестиугольник и правильный восьмиугольник. Около них описаны окружности. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°, угол между диагоналями-диаметрами равен 60°, угол между двумя соседними диагоналями, исходящими из одной вершины, равен 30°, меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне, а с другими соседними сторонами — угол 30°. Каждый угол правильного восьмиугольника равен 135°, угол между соседними диагоналями-диаметрами равен 45°.

Найдите на следующих рисунках градусные меры отмеченных углов.

Мясникова Т.Ф.

Задание 3. Задачи на клетчатой бумаге или координатной плоскости

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №3 Профильного ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам 

1. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: 

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

 , где и — диагонали.

Получим: 

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача.  Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга 

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

 

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости 

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Как видим, задание 3 Профильного ЕГЭ по математике — это разнообразные и не всегда простые задачи. И это, друзья, всего лишь третья задача в варианте! Представляете, что будет дальше? Наверное, вы уже сделали вывод: раз уж выбрали Профильный ЕГЭ по математике, к нему надо серьезно готовиться. Удачи!

 

Вычисление длин и углов по клеткам. Задача 3

1.	Синус или косинус	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Выражение синуса или косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
2.	Тангенс, синус или косинус	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Выражение тангенса, синуса или косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
3.	Тангенс угла	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Проверяется умение определять тангенс угла.
4.	Тупой угол	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Проверяется умение находить косинус, синус тупого угла.

Алгоритм

— Как рассчитать угол по трем точкам?

Переполнение стека

1. Около
2. Товары
3. Для команд

1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
3. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
5. реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
6. О компании

Загрузка…

2. Авторизоваться зарегистрироваться

3. текущее сообщество

.

Базовый угол — Math Open Reference

Базовый угол — Math Open Reference Определение: наименьший угол, на который крайняя сторона данного угла составляет с осью абсцисс. Попробуй это: Отрегулируйте угол ниже, перетащив оранжевую точку вокруг origin и обратите внимание на синий опорный угол.

На рисунке выше, когда вы перетаскиваете оранжевую точку вокруг начала координат, вы можете увидеть, как нарисован синий опорный угол. Это угол между сторона терминала и ось x.По мере того, как точка перемещается в каждую квадрант, обратите внимание, что опорный угол всегда является наименьшим углом между стороной вывода и осью x.

Всегда положительный

Независимо от того, что квадрант мы находимся, опорный угол всегда положительный. Перетащите точку по часовой стрелке, чтобы получить отрицательные углы, и обратите внимание, как опорный угол остается положительным.

Это всегда

Как видно из рисунка выше, опорный угол всегда меньше или равен 90 °, даже для очень больших углов.Перетащите точку вокруг начала координат несколько раз. Обратите внимание на то, что опорный угол всегда остается меньше или равным 90 °, даже для больших углов.

Определение исходного угла

1. Если необходимо, сначала «раскрутите» угол: продолжайте вычитать из него 360, пока он не окажется между 0 и 360 °. (Для отрицательных углов добавьте вместо 360).
2. Нарисуйте угол, чтобы увидеть, в каком квадранте он находится.
3. В зависимости от квадранта найдите опорный угол:

   Квадрант	Базовый угол для θ
   1	То же, что θ
   2	180 — θ
   3	θ — 180
   4	360 — θ

Радианы

Если вы работаете в радианах, вспомните, что 360 ° равняется 2π радианам, а 180 ° равняется π радианам.

Для чего это используется?

В тригонометрии мы используем функции углов, такие как sin, cos и tan. Оказывается, углы, имеющие одинаковые опорные углы, всегда имеют одинаковые значения триггерной функции (знак может отличаться). Так например

sin (45) = 0,707

Угол 135 ° имеет опорный угол 45 °, поэтому его sin будет таким же. Проверка на калькуляторе:

грех (135) = 0,707

Это удобно, потому что нам только тогда нужно запомнить значения триггерной функции для углов меньше 90 °.Остальное мы можем найти, сначала найдя опорный угол.

Кроме того, при решении тригонометрических уравнений мы можем заметить один член, например sin (x) , а другой — sin (π-x) , и поймите, что они будут равны, потому что второй является опорным углом первого.

Что попробовать

1. На рисунке выше нажмите «сбросить» и «скрыть детали».
2. Перетащите оранжевую точку вокруг начала координат в новое место.
3. Рассчитать опорный угол для него
4. Нажмите «Показать подробности», чтобы проверить свой ответ.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

,

java — Расчет угла между линией, определяемой двумя точками

Переполнение стека

1. Около
2. Товары
3. Для команд

1. Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
2. Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
3. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
4. Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
5. реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
6. О компании

,

Решающих треугольников

«Решение» означает поиск недостающих сторон и углов.

	Когда мы знаем какие-либо 3 стороны или углы … … мы можем найти остальные 3
	(За исключением трех углов, потому что нам нужно как минимум с одной стороны, чтобы определить размер треугольника.)

Шесть различных типов

Если вам нужно собрать треугольник прямо сейчас , выберите один из шести вариантов ниже:

Какие стороны или углы вы уже знаете? (Нажмите на изображение или ссылку)

AAA
Три угла
AAS
Два угла и сторона , а не между
ASA
Два угла и сторона между
SAS
Две стороны и Угол между
SSA
Две стороны и Угол , а не между

… или читайте дальше, чтобы узнать, как стать экспертом по решению треугольников :

Ваш набор инструментов для решения проблем

Хотите научиться решать треугольники?

Представьте, что вы « The Solver » …
… тот, который они просят, когда нужно решить треугольник!

В вашем наборе инструментов для решения (вместе с ручкой, бумагой и калькулятором) у вас есть эти 3 уравнения:

1. Углы всегда складываются до 180 °: А + В + С = 180 ° Когда вы знаете два угла, вы можете найти третий. 2. Закон синуса (правило синуса): Когда есть угол напротив стороны, это уравнение приходит на помощь. Примечание: угол A противоположен стороне a, B противоположен b, а C противоположен c. 3. Закон косинусов (правило косинусов): Это сложнее всего использовать (и запомнить), но иногда необходимо , чтобы вывести вас из сложных ситуаций. Это улучшенная версия теоремы Пифагора, которая работает на любом треугольнике.

С помощью этих трех уравнений вы можете решить любой треугольник (если его вообще можно решить).

Шесть различных типов (подробнее)

Есть ШЕСТЬ различных типов головоломок, которые вам, возможно, придется решить. Познакомьтесь с ними:

1. AAA:

Это означает, что нам даны все три угла треугольника, но нет сторон.

Треугольники

AAA невозможно решить дальше, поскольку нам нечего показать. размер … мы знаем форму, но не знаем, насколько она велика.

Нам нужно знать хотя бы одну сторону, чтобы идти дальше. См. Раздел «Решение треугольников AAA».

2. AAS

Это означает, что нам даны два угла треугольника и одна сторона, причем не является стороной, смежной с двумя данными углами.

Такой треугольник можно решить, используя Углы треугольника, чтобы найти другой угол, и Закон синусов, чтобы найти каждую из двух других сторон.См. Раздел «Решение треугольников AAS».

3. ASA

Это означает, что нам даны два угла треугольника и одна сторона, из которых — это сторона, прилегающая к двум данным углам.

В этом случае мы находим третий угол, используя Углы треугольника, а затем используем Закон синусов, чтобы найти каждую из двух других сторон. См. Раздел «Решение треугольников ASA».

4. SAS

Это означает, что нам даны две стороны и включенный угол.

Для этого типа треугольника мы, , должны сначала использовать Закон косинусов для вычисления третьей стороны треугольника; затем мы можем использовать Закон синусов, чтобы найти один из двух других углов, и, наконец, использовать Углы треугольника, чтобы найти последний угол. См. Раздел «Решение треугольников SAS».

5. SSA

Это означает, что нам даны две стороны и один угол, который не входит в состав.

В этом случае сначала используйте Закон синусов, чтобы найти один из двух других углов, затем используйте Углы треугольника, чтобы найти третий угол, затем снова Закон синусов, чтобы найти последнюю сторону.См. Раздел «Решение треугольников SSA».

6. SSS

Это означает, что нам даны все три стороны треугольника, но нет углов.

В этом случае у нас нет выбора. Мы, , должны сначала использовать Закон косинусов, чтобы найти любой из трех углов, затем мы можем использовать Закон синусов (или снова использовать Закон косинусов), чтобы найти второй угол, и, наконец, Углы треугольника, чтобы найти третий угол. См. Раздел «Решение треугольников SSS».

Советы по Решению

Вот простой совет:

Когда треугольник имеет прямой угол, использовать его, как правило, намного проще.

Когда известны два угла, вычислите третий, используя Углы треугольника, сложенные до 180 °.

Попробуйте закон синусов перед законом косинусов, так как его проще использовать.

,