Радиус описанной окруТности Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ | Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ радиус описанной окруТности для Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ?

Π’ зависимости ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… условия, ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами. Π“ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ радиуса описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности Π½Π΅Ρ‚.

I. Радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности ΠΊΠ°ΠΊ радиус окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ β€” Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ

Описанная ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· всС Π΅Ρ‘ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, являСтся описанной для любого ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° окруТности ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

   

Π³Π΄Π΅ a β€” сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ξ± β€” ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ Π΅ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ»;

Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

   

Π³Π΄Π΅ a, b, c β€” стороны, S β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Для Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ABCD радиус ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ радиус окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABD:

   

ΠΈΠ»ΠΈ

   

Π³Π΄Π΅ синус ΡƒΠ³Π»Π° A ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABF:

   

III. Радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния сСрСдинных пСрпСндикуляров

Радиус описанной окруТности β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния сСрСдинных пСрпСндикуляров с сторонам Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. (МоТно Ρ€Π°ΡΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅: Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ AOD (AO=OD=R) высота ON являСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠΉ. Для Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° BOC β€” Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ).

Если извСстна высота Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ KN=h, основания AD=a, BC=b, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ON=x.

Если Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, OK=h-x, ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ANO ΠΈ BKO ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ

   

   

ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹Π΅ части

   

   

   

РСшив это уравнСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ x, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ R.

IV. Если диагональ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ пСрпСндикулярна Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ сторонС, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ описанной окруТности Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° сСрСдинС большСго основания ΠΈ радиус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ большСго основания.

   

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° O β€” сСрСдина AD

   

Если диагональ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороной Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ описанной окруТности Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π·Π° большим основаниСм.

I Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ нахоТдСния радиуса для этого случая Π½Π΅ измСняСтся.

 

Π’ΠΎ II случаС OK=h+x, соотвСтствСнно, измСняСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для нахоТдСния x ΠΈ R.

 

 

ПозТС рассмотрим ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ нахоТдСния радиуса описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности.

www.treugolniki.ru

Описанная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ трапСция

Описанная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ трапСция. ЗдравствуйтС! Для вас Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½Π° публикация, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с трапСциями. Задания входят Π² состав экзамСна ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Ρ‹ Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ, Π΄Π°Π½Π° Π½Π΅ просто ΠΎΠ΄Π½Π° трапСция, Π° комбинация Ρ‚Π΅Π» – трапСция ΠΈ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ устно. Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ особоС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 27926.

ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ? Π­Ρ‚ΠΎ:

1. Бвойство сторон Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° описанного ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности.

2. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. *ΠšΡƒΠ΄Π° ΠΌΡ‹ Π±Π΅Π· Π½Π΅Ρ‘ )

3. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с трапСциями, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π±Π»ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ здСсь.

27924. Около Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ описана ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 22, срСдняя линия Ρ€Π°Π²Π½Π° 5. НайдитС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ сторону Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. Нам Π΄Π°Π½Π° срСдняя линия, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ сумму оснований, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ:

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ сумма Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… сторон Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° 22–10=12 (ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ минус основания).  Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° сторона Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 6

27925. Боковая сторона Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ основанию, ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 600, большСС основаниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 12. НайдитС радиус описанной окруТности этой Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.

Если Π²Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ вписанным Π² Π½Π΅Ρ‘ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎ сразу ΠΎΠ·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ – радиус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 6. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ?

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅: равнобСдрСнная трапСция с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ основании Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 600 ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами AD, DC ΠΈ CB, прСдставляСт собой ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°:

Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности. *Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ здСсь ΠΏ.6

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ большСС основаниС этой Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ совпадаСт с Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ описанной окруТности. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ радиус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ.

*ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ равСнство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ADO, DOΠ‘ ΠΈ OCB. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ равносторонниС. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» AOB Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1800 ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ A, D, C ΠΈ B, Π° ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ АО=ΠžΠ’=12/2=6.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 6

27926. Основания Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 8 ΠΈ 6. Радиус описанной окруТности Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 5. НайдитС высоту Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ описанной окруТности Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° оси симмСтрии, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Ρ‘ΠΌ Ссли ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ высоту Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· этот Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈ пСрСсСчСнии с основаниями Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ. ПокаТСм это Π½Π° эскизС, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ соСдиним Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ:

ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ EF являСтся высотой Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ.

Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ OFC Π½Π°ΠΌ извСстна Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° (это радиус окруТности),  FC=3 (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ  DF=FC). По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ OF:

Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ OEB Π½Π°ΠΌ извСстна Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° (это радиус окруТности),  EB=4 (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ  AE=EB). По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ OE:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ EF=FO+OE=4+3=7.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 7

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ нюанс!

Π’ этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ Π½Π° рисункС Ρ‡Ρ‘Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основания Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ стороны ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности, поэтому Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ.

А Ссли Π±Ρ‹ Π² условии Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄Π°Π½ΠΎ эскиза?

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ – Π² Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ с Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями:

*Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… основаниях Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ радиусС окруТности сущСствуСт Π΄Π²Π΅ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.

И Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Β«Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Β» Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ.

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° вычисляСм OF:

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ вычислим OE:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ EF=FO–OE=4–3=1.

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ с ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π½Π° Π•Π“Π­ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚, ΠΈ подобная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π±Π΅Π· эскиза Π΄Π°Π½Π° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ особоС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° эскиз! А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: ΠΊΠ°ΠΊ располоТСны основания Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. А Π²ΠΎΡ‚ Π² заданиях с Ρ€Π°Π·Π²Ρ‘Ρ€Π½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ такая Π² ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Ρ‹Π΅ Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ присутствовала (Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ с услоТнённым условиСм). Π’ΠΎΡ‚, ΠΊΡ‚ΠΎ рассматривал Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ располоТСния Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ тСряли Π±Π°Π»Π» Π½Π° этом Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ.

27937. Около окруТности описана трапСция, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 40. НайдитС Π΅Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ сразу слСдуСт Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ свойство  Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° описанного ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… сторон любого Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° описанного ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚

А срСдняя линия Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ суммы оснований, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 10.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 10

27938. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 22, Π΅Π΅ большая боковая сторона Ρ€Π°Π²Π½Π° 7. НайдитС радиус окруТности.

Радиус окруТности Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ высоты. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ сторона Ρƒ нас это Π‘Π’, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ AD=11–CB=11–7=4. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, радиус Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2

27915. НайдитС высоту Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ вписана ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиуса 1.

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

27936. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 3 ΠΈ 5. НайдитС ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

На этом всё, успСха Π²Π°ΠΌ!

Π‘ ΡƒΠ²Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, АлСксандр ΠšΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ†ΠΊΠΈΡ….

*РасскаТитС ΠΎ сайтС Π² ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сСтях.

matematikalegko.ru

ВрапСция вписана Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Рассмотрим нСсколько Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… трапСция вписана Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Когда Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ? Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° сумма Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° 180ΒΊ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±ΠΎΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ.

Радиус окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ радиус окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΅Π΅ диагональ.

Π“Π΄Π΅ находится Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ? Π­Ρ‚ΠΎ зависит ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагональю Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороной.

Если диагональ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ пСрпСндикулярна Π΅Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ сторонС, Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° сСрСдинС Π΅Π΅ большСго основания. Радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности Π² этом случаС Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π΅Π΅ большСго основания:

   

 

 

 

 

 

Если диагональ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороной острый ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.

 

 

 

 

 

 

Если диагональ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороной Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π·Π° большим основаниСм.

 

 

 

Радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ‚Π²ΠΈΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ синусов. Из Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ACD

   

Из Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC

   

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ радиус описанной окруТности β€”

   

   

 

Бинусы ΡƒΠ³Π»Π° D ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° CAD ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² CFD ΠΈ ACF:

   

   

 

 

 

 

 

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вписанный ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. НапримСр,

   

 

 

 

 

 

ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ COD ΠΈ CAD ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ для нахоТдСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ нахоТдСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ

   

   

Π’ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ AMD ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ основании Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» CMD Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², Π½Π΅ смСТных с Π½ΠΈΠΌ:

   

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°

   

www.uznateshe.ru

Найти радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности

Рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности.

1) Найти радиус окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, основания ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 11 см ΠΈ 21 см, Π° диагональ β€” 20 см.

Π”Π°Π½ΠΎ: ABCD β€” трапСция, ADβˆ₯BC, AD=21 см, BC=11 см, BD=20 см, ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (O; R) β€” описанная ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ABCD.

Найти: R.

Анализ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

Радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ радиус окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABD:

   

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° сводится ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса ΡƒΠ³Π»Π° A.

РСшСниС:

1) ΠžΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, CD=AB.

2) ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ высоту Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ BF.

По свойству Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ,

   

   

Вогда FD=AD-AF=21-5=16 (см).

3) Рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ BDF. ∠BFD=90ΒΊ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ BF β€” высота Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ).

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°,

   

   

   

4) Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABF.

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°

   

   

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса,

   

5) По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

   

   

   

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 10 5/6 см.

2) Найти радиус описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ окруТности, Ссли извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‘ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ сторона ΠΈ мСньшСС основаниС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 10 см, Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² 60ΒΊ.

Π”Π°Π½ΠΎ: ABCD β€” трапСция, ADβˆ₯BC,

AB=BC=CD=10 см, ∠D=60º,

ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (O;R) β€” описанная ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ABCD.

Найти: R.

РСшСниС:

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ диагональ BD.

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC β€” Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ с основаниСм AC (AB=BC ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ).

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ∠BAC=∠BCA (ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ основании).

∠BCA=∠DAC (ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ накрСст Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ADβˆ₯BC ΠΈ сСкущСй AC).

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ∠BAC=∠DAC, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ диагональ AC являСтся биссСктрисой ΡƒΠ³Π»Π° BAD.

∠BAD=∠D=60ΒΊ (ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ основании Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ 

   

Рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ACD.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ сумма ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 180ΒΊ,

∠ACD=180º-(∠DAC+∠D)=180º-(30º+60º)=90º.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, вписанный ΡƒΠ³ΠΎΠ» ACD опираСтся Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€.

ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π° Π² 30 градусов, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ AD=2βˆ™CD=2βˆ™10=20(см). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, радиус

   

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 10 см.

www.treugolniki.ru

ВсС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для радиуса описанной окруТности

ВсС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для радиуса описанной окруТности

 

 ,  ,     β€”  ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

  β€” ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€

  β€” Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (

 R  ) :

 

 

 

β€” сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

β€” высота

β€” радиус описанной окруТности

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ сторону:

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности равностороннСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· высоту:

 

 

Зная стороны Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, радиус описанной окруТности ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

 

a, b β€” стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

 

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°(R):

 

 

 

Радиус описанной окруТности ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹.

 

a, b β€” ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

c β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

 

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (

R):

 

 

 

 

a β€” Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ

c β€” Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π΅ основаниС

b β€” Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π΅ основаниС

d β€” диагональ

p β€” ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° DBC

p = (a+d+c)/2

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±ΠΎΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, (R)

 

 

Радиус описанной окруТности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ

 

 

a β€” сторона ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°

d β€” диагональ

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° (R):

 

 

 

 

Радиус описанной окруТности ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ

 

 

a, b β€” стороны ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

d β€” диагональ

 

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (R):

 

 

 

 

 

a β€” сторона ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

N β€” количСство сторон ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

 

 

 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° радиуса описанной окруТности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, (R):

 

 

 

 

 

 

a β€” сторона ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

d β€” диагональ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

 

 

 

Радиус описанной окруТности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (R):

 

Радиус описанной окруТности











НавСрх

Β© 2011-2019   ВсС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‰Π΅Π½Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈ использовании ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сайта ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ссылку Π½Π° источник.

www-formula.ru

Вписанная Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Какими свойствами ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ вписанная Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ?

1. Π’ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° суммы Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… сторон Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ ABCD ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ссли AD+BC=AB+CD.

И ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ, Ссли для Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ABCD Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ равСнство AD+BC=AB+CD, Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅Ρ‘ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли  трапСция ABCD β€” равнобСдрСнная, AD βˆ₯ BC, Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‘ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ полусуммС оснований:

   

2. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°, ΠΏΠΎ свойству срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΅Ρ‘ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.

Если MN β€”

срСдняя линия

Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ABCD,

AD βˆ₯ BC, Ρ‚ΠΎ

   

3. Высота Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π²Π½Π° срСднСму ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ (срСднСму гСомСтричСскому) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΅Ρ‘ основаниями.

По свойству Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ,

   

Если AD=a, BC=b,

   

   

Из ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABF ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°

   

   

   

   

   

   

4. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ радиус вписанной Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ окруТности Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ высоты Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ для Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ равСнство

   

5. Π’ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ касания дСлят стороны Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ².

 

AK=AP=DP=DN,

BK=BF=CF=CN.

 

6. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ вписанной Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ окруТности β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΅Ρ‘ биссСктрис.

БиссСктрисы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΊ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ сторонС, пСрпСндикулярны.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ABCD, AD βˆ₯ BC, CO ΠΈ DO β€” биссСктрисы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ADC ΠΈ BCD,

   

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ COD β€” ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ,

   

(ΠΊΠ°ΠΊ радиус, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ касания).

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ON β€” высота, провСдённая ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅,

   

www.treugolniki.ru

Бвойства Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹

ВрапСция β€” это гСомСтричСская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° с чСтырмя ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ построСнии Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π° Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. Π­Ρ‚ΠΎ слово ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎ Π² ΡΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉ Π“Ρ€Π΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π·Π²ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Β«Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Π΄Π·ΠΈΠΎΠ½Β», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ «столик», Β«ΠΎΠ±Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ столик».

Π­Ρ‚Π° ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ рассказываСт ΠΎ свойствах Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ элСмСнты этой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ гСомСтричСской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ трапСция

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стороны Π² этой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ основаниями, Π° Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ β€” Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами. ΠŸΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, трапСция считаСтся Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ВрапСция, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ пСрпСндикулярно основанию ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² 90Β°, называСтся ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π£ этой, казалось Π±Ρ‹, нСзамысловатой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ имССтся Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ количСство свойств, Π΅ΠΉ присущих, ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ:

  1. Если провСсти ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΏΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ сторонам, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° основаниям. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1/2 разности оснований.
  2. ΠŸΡ€ΠΈ построСнии биссСктрисы ΠΈΠ· любого ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ образуСтся равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.
  3. Из свойств Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности, извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… сторон Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС оснований.
  4. ΠŸΡ€ΠΈ построСнии Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ², Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· сторон являСтся основаниСм Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹.
  5. ΠŸΡ€ΠΈ построСнии Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ², Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· сторон являСтся Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ.
  6. Если ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΈΠ· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° основания, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 90Β°. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ основания, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1/2 ΠΈΡ… разности.

Бвойства Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ лишь ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ условии. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ условиС Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… сторон Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½Π° суммС оснований. НапримСр, ΠΏΡ€ΠΈ построСнии Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ AFDM ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ AF + DM = FD + AM. Волько Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎ свойствах Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности:

  1. Если Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΡŽ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π° ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΅Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ 1/2 ΠΎΡ‚ суммы Π΄Π»ΠΈΠ½ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… сторон.
  2. ΠŸΡ€ΠΈ построСнии Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности, образованная Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° тоТдСствСнна радиусу ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Π° высота Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Ρƒ являСтся ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.
  3. Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ свойством Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ окруТности, являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ боковая сторона сразу Π²ΠΈΠ΄Π½Π° ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 90Β°.

Π•Ρ‰Π΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎ свойствах Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Волько равнобСдрСнная трапСция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вписана Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΡΡ‚ΠΈ условия, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… построСнная трапСция AFDM Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ трСбованиям: AF + DM = FD + MA.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΡ‚ΠΎΠ»Π΅ΠΌΠ΅Ρ гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ тоТдСствСнно ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… сторон. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ построСнии окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ AFDM, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ: AD Γ— FM = AF Γ— DM + FD Γ— AM.

На ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… экзамСнах довольно часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΎΠ΅ количСство Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сразу Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ β€” Π½Π΅ Π±Π΅Π΄Π°. Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго пСриодичСски ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ подсказкС Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эти знания сами собой, Π±Π΅Π· особого Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° ΡƒΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅.

fb.ru