Построение графиков уравнений, содержащих модули

Построение графиков уравнений, содержащих модули

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (3 МБ)

Тип урока: Урок формирования новых знаний.

Цели урока:

  1. Формировать умение строить графики уравнений содержащих модули.
  2. Развитие логического мышления, познавательного интереса.
  3. Развитие общеучебных навыков и умений – организационных, интеллектуальных и коммуникативных.

Оборудование: мультимедиа проектор, доска.

I. Орг. момент.

II. Устный счет.

  1. Вычислите. (слайд 1)

  2. Решите уравнение. (слайд 2)

III.

Объяснение нового материала.

1. Построить график уравнения  (слайд 3)

Решение. (слайд 4)

По определению модуля имеем:

Построим график уравнения: (слайд 5)

  1. х=2у, если у≥0
  2. х=0, если у<0
  3. Получили график уравнения

2. Построить график уравнения .(слайд 6)

Решение. (слайд 7)

По определению модуля имеем:

Если у=0, то х – любое.

Выполним построение. (слайд 8)

  1. х = 1, если у>0;
  2. x = — 1, если у<0;

3. Построить график уравнения (слайд 9)

Решение. (слайд 10)

По определению модуля имеем:

  1. При х≥0, у≥0, уравнение х+у=4;
  2. При х≥0, у<0, уравнение х-у=4;
  3. При х<0, у≥0, уравнение –х+у=4;
  4. При х<0, у<0, уравнение –х-у=4.

(слайд 11)

Построить график уравнения (слайд 12)

Решение. (слайд 13)

По определению модуля имеем:

  1. При х≥0, у≥0, уравнение х-у=4;
  2. При х≥0, у<0, уравнение х+у=4;
  3. При х<0, у≥0, уравнение –х-у=4;
  4. При х<0, у<0, уравнение –х+у=4.

(слайд 14)

IV. Закрепление. Решение задач.

Построить график уравнения.

(слайд 15)

а) |x|+|y|=2;

б)|x|-|y|=3.

Проверка (слайд ) (слайд 16)

(слайд 17)

V. Итог урока.

Домашнее задание. (слайд 18)

Построить графики уравнений: а) |y|=1-|x|; б)|y|=|x|+3.

Графики прямой, параболы, гиперболы, с модулем

Пошаговое построение графиков.

«Навешивание» модулей на прямые, параболы, гиперболы.

Графики — самая наглядная тема по алгебре. Рисуя графики, можно творить, а если еще и сможешь задать уравнения своего творчества, то и учитель достойно это оценит.

Для понимания друг друга введу немного «обзываний» системы координат:

Для начала построим график прямой y = 2x − 1.

Не сомневаюсь, что ты помнишь. Я напомню себе, что через 2 точки можно провести одну прямую. 

Возьмем значение X = 0 и Х = 1 и подставим в выражение y = 2x − 1, тогда соответственно Y = − 1 и Y = 1

Через данные две точки А = (0; −1) и B = (1; 1) проводим единственную прямую:

А если теперь добавить модуль y = |2x − 1|.

Модуль — это всегда положительное значение, получается, что «y» должен быть всегда положительным.

Значит, если модуль «надет» на весь график, то, что было в нижней части «−y», отразится в верхнюю (как будто сворачиваете лист по оси х и то, что было снизу, отпечатываете сверху).

Получается такая зеленая «галочка».

Красота! А как же будет выглядеть график, если надеть модуль только на «х»: y = 2|x| − 1?

Одна строчка рассуждений и рисуем:

Модуль на «x», тогда в этом случае x = −x, то есть все, что было в правой части, отражаем в левую. А то, что было в плоскости «−x», убираем.

Здесь отражаем относительно оси «y».  Такая же галочка, только теперь через другую ось.

Смертельный номер: y = |2|x| − 1|.

Черную прямую y = 2x − 1 отражаем относительно оси Х, получим y = |2x − 1|. Но мы выяснили, что модуль на х влияет только на левую часть. 

В правой части: y = |2x − 1| и y = |2|x| − 1| идентичны! 


А после этого отражаем относительно оси «y» то, что мы получили справа налево:


Если ты человек амбициозный, то прямых тебе будет мало! Но то, что описано выше, работает на всех остальных графиках, значит делаем по аналогии.

Разберем по винтикам параболу y = x² + x − 2. Точки пересечения с осью «x» получим с помощью дискриминанта: x₁ = 1 и x₂ = -2.

Можно найти вершину у параболы и взять пару точек для точного построения.

А как будет выглядеть график: y = |x²| + x − 2? Слышу: «Такого мы еще не проходили», а если подумаем? Модуль на x², он же и так всегда положителен, от модуля тут толку, как от стоп-сигнала зайцу − никакого.

При y = x² + |x| − 2 все так же стираем всю левую часть, и отражаем справа налево:

А дальше что мелочиться: рассмотри сразу остальные графики с модулем!

Следующий смертельный номер: |y| = x² + x − 2, подумай хорошенько, а еще лучше попробуй нарисовать сам.

При положительных значениях «y» от модуля нет смысла − уравнения y = x² + x − 2, а при «−y» ничего не меняется, будет так же y = x² + x − 2! 

Рисуем параболу в верхней части системы координат (где у > 0), а затем отражаем вниз.

А теперь сразу комбо:

Cиний: похож на y = x² + |x| − 2, только поднят вверх. Строим график в правой части, а затем отражаем через ось Y влево.

Оранжевый: строим в правой части и отражаем относительно оси Х. Доходим до оси Y и отражаем все что было справа налево. Двойка в знаменателе показывает, что график будет «шире», расходится в бока он быстрее остальных.

Зеленый: Так же начинаем с правой части и отражаем относительно оси оси Y. Получается график y = |x² + x − 2|, но еще есть −2, поэтому опустим график на 2 вниз. Теперь параболы как бы отражается относительно Y = − 2.

Легкий и средний уровень позади, и настала пора выжать концентрацию на максимум, потому что дальше тебя ждут гиперболы, которые частенько встречаются во второй части ЕГЭ и ОГЭ.

y = 1/x — простая гипербола, которую проще всего построить по точкам, 6-8 точек должно быть достаточно:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «+1»? График сдвинется влево на единицу:

А что будет, если мы добавим в знаменателе «−1»? График сдвинется вправо на единицу.

А если добавить отдельно «+1» y = (1/x) + 1? Конечно, график поднимется вверх на единицу!

Глупый вопрос: а если добавить отдельно «−1» y = (1/x) − 1? Вниз на единицу!

Теперь начнем «накручивать» модули: y = |1/x + 1| — отражаем все из нижней части в верхнюю.

Возьмем другой модуль, мой амбициозный друг, раз ты дошел до этогог места: y = |1/(x + 1)|. Как и выше, когда модуль надет на всю функцию, мы отражаем снизу вверх.

Можно придумывать массу вариантов, но общий принцип остается для любого графика. Принципы повторим в выводах в конце статьи.

Фиолетовый: Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. Ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Оранжевый: Ставим +1 в знаменателе и график смещается влево на единицу. Вычитаем из дроби −1 и сдвигаем график вниз на единицу. А после этого ставим модуль − отражаем все, что снизу вверх.

Зеленый: Сначала получим фиолетовый график. После этого ставим «−» и отражаем график по горизонтали. Сгибаем лист по оси Х и переводим его вниз. Остается добавить +1, это значит, что его нужно поднять вверх на единицу.

Модули не так уж страшны, если еще вспомнить, что их можно раскрыть по определению:

И построить график, разбив его на кусочно-заданные функции.

Например для прямой:


Для параболы с одним модулем будет два кусочно-заданных графика: 

C двумя модулями кусочно-заданных графиков будет четыре:

Таким способом, медленно и кропотливо можно построить любой график!


Выводы:

  1. Модуль — это не просто две палочки, а жизнерадостное, всегда положительное значение!
  2. Модулю без разницы находится он в прямой, параболе или еще где-то. Отражения происходят одни и те же.
  3. Любой нестандартный модуль можно разбить на кусочно-заданные функции, условия только вводятся на каждый модуль.
  4. Существует большое количество модулей, но парочку вариантов стоит запомнить, чтобы не строить по точкам:
  • Если модуль «надет» на все выражение (например, y = |x² + x − 2|), то нижняя часть отражается наверх.
  • Если модуль «надет» только на х (например, y = x² + |x| − 2), то правая часть графика отражается на левую часть. А «старая» левая часть стирается.
  • Если модуль «надет» и на х, и на все выражение (например, y = |x² + |x| − 2|), то сначала отражаем график снизу вверх, после этого стираем полностью левую часть и отражаем справа налево.
  • Если модуль «надет» на y (например, |y| = x² + x − 2), то мы оставляем верхнюю часть графика, нижнюю стираем. А после отражаем сверху вниз.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
3-8 9 Оценить квадратный корень из 12
10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить
квадратный корень из 18 92

Функции абсолютного значения

Горячая математика

Функция абсолютного значения — это функция, которая содержит алгебраическое выражение в символах абсолютного значения. Напомним, что абсолютное значение числа — это его расстояние от 0 на числовой прямой.

Родительская функция абсолютного значения, записанная как f(x)=| x |, определяется как

f(x)={x      if  x>00      if  x=0−x   if  x<0

Чтобы построить график функции абсолютного значения, выберите несколько значений x и найдите несколько упорядоченных пар.

х г=| х |
−2 2
−1 1
0 0
1 1
2 2

Нанесите точки на координатную плоскость и соедините их.

Обратите внимание, что график имеет V-образную форму.

(1) Вершина графа (0,0).

(2) Ось симметрии (x=0 или ось y) — это линия, которая делит график на две конгруэнтные половины.

(3) Домен — это множество всех действительных чисел.

(4) Диапазон — это набор всех действительных чисел, больших или равных 0. То есть y≥0.

(5) Точка пересечения по осям x и y равна 0.

Сдвиг по вертикали

Для преобразования функции абсолютного значения f(x)=| х | по вертикали можно использовать функцию

g(x)=f(x)+k.

Когда k>0, график g(x) переводит k единиц вверх.

Когда k<0, график g(x) переводит k единиц вниз.

Горизонтальное смещение

Для перевода функции абсолютного значения f(x)=| х | по горизонтали можно использовать функцию

g(x)=f(x−h).

Когда h>0, график f(x) смещается на h единиц вправо, чтобы получить g(x).

Когда h<0, график f(x) сдвигается на h единиц влево, чтобы получить g(x).

Расширение или сжатие функции абсолютного значения y=| х | определяется функцией y=a| х | где а — константа.