Формула площадь треугольника через синус: Формулы площади треугольника через синус

Формулы для площади треугольника

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Произвольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону
		Посмотреть вывод формулы	a и b – две любые стороны, С – угол между ними
		. Посмотреть вывод формулы Герона	a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона»
		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы
		Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
		Посмотреть вывод формулы	a, b, c  – стороны, R – радиус описанной окружности
		S = 2R2 sin A sin B sin C Посмотреть вывод формулы	A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности
Равносторонний (правильный) треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – сторона
		Посмотреть вывод формулы	h – высота
		Посмотреть вывод формулы	r – радиус вписанной окружности
		Посмотреть вывод формулы	R – радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a и b – катеты
		Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – прилежащий острый угол
		Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – противолежащий острый угол
		Посмотреть вывод формулы	c – гипотенуза, φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник
	где a – любая сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	где a и b – две любые стороны, С – угол между ними Посмотреть вывод формулы
	. где a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона» Посмотреть вывод формулы Герона
	где a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c  – стороны, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
	S = 2R2 sin A sin B sin C где A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Равносторонний (правильный) треугольник
	где a – сторона Посмотреть вывод формулы
	где h – высота Посмотреть вывод формулы
	где r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
	где a и b – катеты Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – прилежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – противолежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где c – гипотенуза, φ – любой из острых углов Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник

где a – любая сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы

где a и b – две любые стороны, С – угол между ними Посмотреть вывод формулы

. где a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона» Посмотреть вывод формулы Герона

где a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы Посмотреть вывод формулы

где a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр Посмотреть вывод формулы

где a, b, c  – стороны, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin A sin B sin C где A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где a – сторона Посмотреть вывод формулы

где h – высота Посмотреть вывод формулы

где r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

где R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где a и b – катеты Посмотреть вывод формулы

где a – катет, φ – прилежащий острый угол Посмотреть вывод формулы

где a – катет, φ – противолежащий острый угол Посмотреть вывод формулы

где c – гипотенуза, φ – любой из острых углов Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а h_a – высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

      Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

h_a = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = h_actg C ,       y = h_actg B ,

то

a = x + y =
= h_actg C + h_actg B =
= h_a( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R² sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Поэтому

a = 2R sin A ,    
b = 2R sin B ,    
c = 2R  sin C ,

      В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

2. Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь

      Доказательство.

1. Рассмотрим рисунок 7.



Рис. 7

В силу утверждения 2



2. Рассмотрим рисунок 8.



Рис. 8

Поскольку



то



3. Рассмотрим рисунок 9.



Рис. 9

Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство   h = 3r.  Следовательно,



4. Рассмотрим рисунок 10.



Рис. 10

Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно,



      Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

      Доказательство.

1. Рассмотрим рисунок 11.



Рис. 11

В силу утверждения 2



2. Рассмотрим рисунок 12.



Рис. 12

Поскольку

b = a tg φ ,

то



3. Рассмотрим рисунок 13.



Рис. 13

Поскольку

b = a ctg φ ,

то



4. Рассмотрим рисунок 14.



Рис. 14

Поскольку

a = c cos φ ,    
b = c sin φ ,

то



      Доказательство утверждения 8 завершено.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)

— Вычисления   (показано)   (скрыто)

— примечания   (показано)   (скрыто)

Для всех треугольников

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a

Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности

Площадь треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона a

Угол β°

Угол α°

Для равнобедренных треугольников

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)

Сторона c

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника c

Высота h

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Сторона a (a = b = c)

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота h

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a

Катет b

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона c

Угол α

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Сторона b

Угол α

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок d

Отрезок e

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона с

Радиус r

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.

Таблица с формулами площади треугольника

Определения

Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км², м², см², мм² и т.д.

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки

Площадь треугольника по двум сторонам

Выясним, как найти площадь треугольника по двум сторонам.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по двум сторонам:

Дано:

∆ ABC.

Доказать:

Доказательство:

Проведем в треугольнике ABC высоту BD.

Площадь треугольника

равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Рассмотрим треугольник ABD — прямоугольный (так как BD — высота по построению).

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

Отсюда

Таким образом,

Если в треугольнике ABC

угол A тупой,

то в треугольнике ABD

(как смежные).

По формуле

имеем:

То есть, и в случае тупого угла A выполняется равенство

а значит, верна формула

Что и требовалось доказать.

Формулы площадей всех основных фигур

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α, β — углы трапеции

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α, β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона

α, β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Площадь Треугольников

Есть несколько способов найти площадь треугольника.

Знание базы и высоты

Когда мы знаем основание и высоту, это легко.

Это просто половина b раз ч

Площадь = 1 2 чч

(страница «Треугольники» объясняет больше)

Самое главное, чтобы основание и высота были под прямым углом.Поиграйте здесь:

Пример: какова площадь этого треугольника?

(примечание: 12 — высота , , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

Base = b = 20

Площадь = ½ чч = ½ × 20 × 12 = 120

Знание трех сторон

Существует также формула для определения площади любого треугольника, когда мы знаем длины всех трех его сторон.

Это можно найти на странице формулы Герона.

Знание двух сторон и включенного угла

Когда мы знаем две стороны и включенный угол (SAS), есть другая формула (фактически три эквивалентные формулы), которую мы можем использовать.

В зависимости от того, какие стороны и углы нам известны, формулу можно записать тремя способами:

Площадь = 1 2 ab sin C

Площадь = 1 2 до н.э. sin

Площадь = 1 2 ca sin B

Это действительно одна и та же формула, только с измененными сторонами и углом.

Пример: Найти площадь этого треугольника:

Прежде всего мы должны решить, что мы знаем.

Мы знаем угол C = 25º, а стороны a = 7 и b = 10.

Итак, начнем:

Площадь = (½) ab sin C

Введите значения, которые мы знаем: ½ × 7 × 10 × sin (25º)

Выполнить работу калькулятора: 35 × 0,4226 …

Площадь = 14,8 с точностью до одного знака после запятой

Как запомнить

Просто подумайте «abc»: Площадь = ½ a b sin C

Также хорошо помнить, что угол всегда составляет между двумя известными сторонами , называемыми «включенным углом».

Как это работает?

Мы знаем, как найти область, когда мы знаем основание и высоту:

Площадь = ½ × основание × высота

Итак, мы получаем:

Площадь = ½ × (с) × (b × грех A)

Что (проще):

Площадь = 1 2 до н.э. sin

Изменяя метки на треугольнике, мы также можем получить:

• Площадь = ½ ab sin C
  
• Площадь = ½ ca sin B

Еще один пример:

Пример: Найти, сколько земли

Фермер Джонс владеет треугольным участком земли.

Длина забора АВ составляет 150 м. Длина забора до н.э. составляет 231 м.

Угол между ограждением AB и ограждением BC составляет 123º.

Сколько земли принадлежит фермеру Джонсу?

Прежде всего мы должны решить, какие длины и углы мы знаем:

• AB = c = 150 м,
• г. до н.э. = а = 231 м,
• и угол B = 123º

Итак, мы используем:

Площадь = 1 2 ca sin B

Введите значения, которые мы знаем: ½ × 150 × 231 × грех (123º) м ²

Выполнить работу калькулятора: 17,325 × 0.838 … м ²

Площадь = 14 530 м ²

Фермер Джонс имеет 14 530 м ² земли