Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5
Задача 1. Периметр прямоугольника равен 28, а площадь равна 92. Найти диагональ прямоугольника.
Используйте этот чертёж ко всем следующим задачам.
Решение. Пусть нам дан прямоугольник со сторонами а и b. Нужно найти диагональ прямоугольника d. Диагональ d является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами а и b. На основании теоремы Пифагора d2=a2+b2. Следовательно, необходимо найти a2+b2. По условию периметр прямоугольника равен 28. Так как формула периметра прямоугольника P=2(a+b), то a+b=14. Так как площадь прямоугольника равна S=ab, и по условию S=92, то ab=48. Рассуждаем: сумма чисел а и b равна 14, а произведение 48. Вспоминаем теорему Виета, когда мы подбирали корни квадратного уравнения
x2-14x+48=0 и находили x1=6 и х2=8. В нашем случае а=6 и b=8 или а=8 и b=6. Тогда основании теоремы Пифагора d2=a2+b2.
Получаем d2=62+82=36+64=100. Отсюда d=10. Ответ: 10.
Задача 2. Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5. Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Рассуждаем аналогично. Теперь по условию a+b=5, ab=4,5. Понимаем, что числа а и b не будут целыми, и подобрать их не получится. Однако найти требуется диагональ d, которая является является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами а и b. На основании теоремы Пифагора d2=a2+b2. Следовательно, необходимо найти a2+b2, а значения а и b находить по отдельности нет необходимости. Возведём обе части равенства a+b=5 в квадрат. Получим (a+b)2=52. Отсюда a2+2ab+b2=25, тогда a2+b2=25-2ab. Так как ab=4,5, то 2ab=9. Получаем: a2+b2=25-9=16. Значит d2=16, а d=4. Ответ: 4.
Задача 3. Периметр прямоугольника равен 3,6, а площадь равна 0,34.
Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Рассуждаем аналогично. По условию a+b=1,8, ab=0,34. Диагональ d будет равна квадратному корню из суммы квадратов a2+b2. Возведём обе части равенства a+b=1,8 в квадрат. Получим (a+b)2=(1,8)2. Отсюда a2+2ab+b2=3,24, тогда a2+b2=25-2ab. Так как ab=0,34, то 2ab=0,68. Получаем: a2+b2=3,24-0,68=2,56. Значит d2=2,56, а d=1,6. Ответ: 1,6.
Задача 4. Диагональ прямоугольника равна 5, а площадь равна 5,5. Найти периметр прямоугольника.
Решение. Используем рассуждения предыдущих задач. В этой задаче d=5, а по теореме Пифагора гипотенуза d равна сумме квадратов катетов а и b прямоугольного треугольника (смотрите рисунок), значит, d2=a2+b2=25. Площадь прямоугольника S=ab, и по условию равна 5,5. Значит, ab=5,5; тогда 2ab=11. Требуется найти периметр прямоугольника.
Так как по формуле периметр P=2(a+b), то достаточно найти сумму смежных сторон прямоугольника (a+b). Имея a2+b2=25 и 2ab=11, сложим эти два равенства почленно. Получаем:
a2+2ab+b2=25+11, отсюда (a+b)2=36, a+b=6. Так как сумма смежных сторон прямоугольника равна 6, то периметр будет равен 12. Ответ: 12.
Задача 5. Диагональ прямоугольника равна 7, а площадь равна 7,5. Найти периметр прямоугольника. Задача совершенно такая же, как предыдущая задача 4, только числа другие. Решите задачу 5 самостоятельно. Ответ: 16.
Задача 6. Диагональ прямоугольника равна 9, а его периметр равен 22. Найти площадь прямоугольника.
Решение. Используем рассуждения предыдущих задач. Стороны прямоугольника а и b являются катетами прямоугольного треугольника, а диагональ прямоугольника d – гипотенузой этого прямоугольного треугольника. На основании теоремы Пифагора d2=a2+b2 , значит, так как d2=92=81, то a2+b2=81.
По условию периметр прямоугольника равен 22, следовательно, полупериметр a+b=11. Возведём в квадрат обе части последнего равенства и получим:
a2+2ab+b2=121, отсюда 2ab=121-(a2+b2)=121-81=40. Площадь квадрата S=ab=40:2=20. Ответ: 20.
Задача 7. Диагональ прямоугольника равна 11, а его периметр равен 24. Найти площадь прямоугольника. Задача совершенно такая же, как предыдущая задача 6, только числа другие. Решите задачу 7 самостоятельно. Ответ: 11,5.
Делаем выводы. Для того чтобы найти диагональ, периметр или площадь прямоугольника не всегда является необходимым находить стороны прямоугольника по отдельности. Чётко ставьте себе задачу, исходя из её условий, и вы найдёте рациональное решение.
Запись имеет метки: диагональ прямоугольника равна 5 а площадь 5 с половиной найти периметр, диагональ прямоугольника равна 9 а его периметр 22 найти площадь, периметр прямоугольника равен 28 а площадь 92 найти диагональ прямоугольника
Навигация
[PDF] ABCD BD, сторона АВ в 3 раза меньше стороны ВС.
1.1.
На рисунке ABCD — прямоугольник, АН BD, сторона АВ в 3 раза меньше стороны ВС. Найдите АН, если BD = 20.
2.
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
MN||AC,AM : MB = 2:1,AC=6. Найти MN. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна к ее боковой стороне и образует с основанием угол в 15°. Найдите углы трапеции. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на два отрезка, длины которых относятся как 3 : 8. Найдите основания трапеции, если средняя линия трапеции равна 22 см. Один из углов ромба ABCD на 40° больше другого. Найдите углы треугольника BОС, если О — точка пересечения диагоналей. В параллелограмме BCDE биссектриса угла D пересекает сторону ВС в точке М, причем ВМ = 7, МС = 10. Найдите периметр параллелограмма. Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD = 10см, BC= 5см, а высота CH= 8см. Стороны прямоугольника 12 см и 16 см. Чему равна диагональ? Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 6 см и 16 см, а боковая сторона равна 13 см.
10.
MN||AC,АM : MB = 1:2,MN =8. Найти AC. 11. Одна из сторон прямоугольника равна 12 см, а диагональ 15 см. Чему равна вторая сторона прямоугольника? 12. В параллелограмме BCDE биссектриса угла Е пересекает сторону ВС в точке Н, причем ВН = 9, СН = 8. Найдите периметр параллелограмма. 13. На рисунке ABCD — прямоугольник, СН BD, сторона АВ в 3 раза меньше диагонали.
14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
Найдите СН, если ВС = 20. Одна из сторон прямоугольника равна 8 см, а диагональ 17 см. Чему равна вторая сторона прямоугольника? В параллелограмме BCDE биссектриса угла В пересекает сторону DE в точке К, причем DK = 4, ЕК = 12. Найдите периметр параллелограмма. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если ВН — его высота, опущенная на сторону AD, площадь параллелограмма равна 120 м2, АН = 6 м, DH = 9 м. Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD = 8 см, BC= 4,5см, а высота CH= 4см. В равнобедренной трапеции диагональ образует с основанием угол в 30°. Найдите углы трапеции, если известно, что меньшее основание трапеции равно ее боковой стороне.
22. 23. 24.
25. 26. 27. 28.
29. 30. 31.
треугольника ВОС Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона — 10 см, высота — 8 см. В ромбе ABCD A = 36°. Найдите угол между диагональю BD и стороной DC. В прямоугольнике ABCD АЕ и CF -перпендикуляры, опущенные из вершин А и С на диагональ BD. Угол между диагоналями равен 30°, CF = 2см. а) Докажите, что AE = CF. б) Найдите длину диагонали BD. В ромбе ABCD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС в точке М. Найдите углы ромба, если AMC= 120°. Стороны параллелограмма равны 6 и 10 см, а высота, проведенная к меньшей из них, равна 8 см. Найдите высоту, проведенную к другой стороне.
32. 33. Найдите площадь треугольника ABC, если сторона AB = 13см, а высота CH= 13см. 34. На рисунке ABCD — прямоугольник, ВН АС, сторона АВ в 5 раз меньше диагонали.
35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42.
43.
44.
45.
Найдите ВН, если AD = 12. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника BОС, если АB = 15, AD = 20, BD = 25. В параллелограмме BCDE биссектриса угла С пересекает сторону DE в точке К, причем ЕК = 7, DK =11.
46. Стороны параллелограмма равны 4 и 8 см, а высота, проведенная к большей из них, равна 5 см. Найдите высоту, проведенную к другой стороне. 47. В параллелограмме одна из сторон равна 10 см, а один из углов 30°. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр равен 56 см. 48. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна к основанию AD, угол В равен 135°, площадь параллелограмма равна 49 см2 Найдите сторону AD параллелограмма. 49. Стороны прямоугольника 5 см и 12 см. Чему равна диагональ? 50. Один из углов ромба ABCD на 40° больше другого. Найдите углы треугольника BОС, если О — точка пересечения диагоналей. 51. ∆ ABC задан координатами вершин A(1;-4), В(4;0), C(6;-4). Постройте фигуру симметричную данной относительно 2) прямой у=-2х 3) точки М(-2;-1) 52. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ и является биссектрисой угла D.
и радиус вписанной в него окружности 70. Дан равнобедренный треугольник, у которого основание равно 10 см, высота, опущенная на основание, равна 12 см. Найдите площадь, периметр этого треугольника и радиус окружности, вписанной в треугольник. 71. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см, 12 см и радиус окружности, описанной около треугольника.
72. 7 24 Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 500 мм, sinА = , cosА = . 25 25 Найдите площадь треугольника АВС и радиус вписанной в него окружности. 73. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке А. 74.
75.
76. 77.
Найдите ОВ, если АВ = 12 см. Из точки А к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АВ и АС (В и С — точки касания). Найдите АВ и АС, если ВАС = 60°. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные AM и ВМ (А и В — точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ, если AOB =120°. Хорды АВ и CD пересекаются в точке М. Найдите длину АВ, если СМ=4 см, DM=9 см, АМ:МВ=4. =180 =340
Найти х. 78. =220 =400
Найти х. 79. Диаметр АВ пересекает хорду CD в точке М. Найдите отрезки, на которые
точка М делит диаметр АВ, если г= 10 см, СМ = 4 см, MD = 9 см. 80. Окружность касается сторон прямоугольной трапеции с острым углом 40°. Найдите градусные меры дуг, на которые делят окружность точки касания.
81. Точка К делит хорду АР на отрезки 12 и 14 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от центра окружности до точки К равно 11 см.
82.
83. В АВС все углы различны. Прямая, проходящая через вершину В,
разбивает АВС на два подобных треугольника. Найдите величину угла В. 84. Прямая ВЕ разбивает АВС на два подобных треугольника. Коэффициент подобия равен 3. Найдите углы АВС. 85.
86.
87.
88.
89.
90.
91. 92. 93. 94.
Периметр прямоугольника равен 28 см, а его длина 8 см. f-Turito
Вы уверены, что хотите выйти?
Вопрос
Подсказка:
i. Периметр прямоугольника = 2 (длина + ширина)
ii. Площадь прямоугольника = длина × ширина. пошаговое решение: —
и. Мы будем использовать формулу периметра прямоугольника и подставим значение периметра, указанное в вопросе.
Пусть ширина равна x см
Периметр данного прямоугольника = 28
∴ 2 (длина + ширина) = 28
∴ 2 × (8 + x) = 28
∴ 2 × 8 + 2 × x = 28 .
.. ……….. (Открывая скобки и умножая 2 на весь член)
∴ 16 + 2x = 28
∴ 2x = 28 — 16
∴ 2x = 12
∴ x =
∴ x = ширина = 6 см ……. (Уравнение i)
ii. Мы будем использовать формулу площади прямоугольника и подставим значение ширины из уравнения i и длину из данной информации.
Площадь заданного прямоугольника = длина × ширина
∴ Площадь заданного прямоугольника = 8 × 6 ………… (Из уравнения i и данной информации)
∴ Площадь заданного прямоугольника = 48 см2
Окончательный ответ:-
∴ Для прямоугольника с периметром 28 см и длиной 8 см, шириной 6 см и площадью 48 см2 плитки со стороной 20 см потребуются для мощения пешеходной дорожки шириной 2 м, огибающей прямоугольный участок длиной 40 м и шириной 22 м.
Сколько квадратных плиток со стороной 20 см потребуется, чтобы вымостить пешеходную дорожку шириной 2 м, огибающую прямоугольный участок длиной 40 м и шириной 22 м.
Общая математика
Общая
Математика-
Круг имеет диаметр 120 метров.
Средняя скорость ходьбы составляет 4 километра в час. За сколько минут вы обойдете границу круга 3 раза? Округлите ответ до ближайшего целого числа.Круг диаметром 120 метров. Средняя скорость ходьбы составляет 4 километра в час. За сколько минут вы обойдете границу круга 3 раза? Округлите ответ до ближайшего целого числа.
Общая математика
Общая
Математика-
Найдите общую площадь на данном рисунке.
Найдите общую площадь на данном рисунке.
Общая математика
Общая
Математика-
Прямоугольная парковка имеет длину 90 ярдов и ширину 35 ярдов. Покрытие каждого квадратного фута парковки асфальтом стоит около 0,45 доллара. Во сколько обойдется асфальтирование парковки?
Прямоугольная стоянка 90 ярдов в длину и 35 ярдов в ширину. Покрытие каждого квадратного фута парковки асфальтом стоит около 0,45 доллара. Во сколько обойдется асфальтирование парковки?
Общая математика
Общая
Математика-
Человек стоит точно в центре круга.
Расстояние человека от границы круга равно 3 м. Найдите площадь круга. Человек стоит точно в центре круга. Расстояние человека от границы круга равно 3 м. Найдите площадь круга.
Математика-Общая
Общая
Математика-
Длина и ширина прямоугольного участка находятся в соотношении 3:1, а его периметр составляет 128 м. Найдите площадь участка?
Длина и ширина прямоугольного участка находятся в соотношении 3:1, а его периметр составляет 128 м. Найдите площадь участка?
Maths-General
General
Maths-
Найдите стоимость ограждения квадратного парка со стороной 16 м, если стоимость ограждения составляет $16/м.
Найдите стоимость ограждения квадратного парка со стороной 16 м, если стоимость ограждения 16 долл./м.
Общая математика
Общая
Математика-
Если площадь треугольника 77 м2, а высота м, найдите длину его основания
Если площадь треугольника 77 м2, а его высота равна м, найдите длину его основания
Математика-Общая
Общая
Математика-
Какова площадь равномерной дорожки шириной 2 м по внешней стороне квадратного участка земли длиной 20 м?
Какова площадь однородной дорожки шириной 2 м по внешней стороне квадратного участка земли длиной 20 м?
Общая математика
Общая
Математика-
Площадь треугольника 7,65 квадратных футов.
Чему равна площадь треугольника в квадратных дюймах?Треугольник имеет площадь 7,65 квадратных футов. Чему равна площадь треугольника в квадратных дюймах?
Общая математика
Общая
Математика-
Прямоугольный пол комнаты имеет длину 18 м и ширину 12 м. Найдите стоимость покрытия пола ковром шириной 6 м по цене 40 рупий за метр.
Прямоугольный пол комнаты имеет длину 18 м и ширину 12 м. Найдите стоимость покрытия пола ковром шириной 6 м по цене 40 рупий за метр.
Общая математика
Общая математика
Математика-
Диагональ квадрата 4 √2 см. Найдите длину другой диагонали, если диагональ другого квадрата, площадь которого вдвое больше площади первого квадрата.
Диагональ квадрата 4 √2 см. Найдите длину другой диагонали, если диагональ другого квадрата, площадь которого вдвое больше площади первого квадрата.
Генерал по математике
Общий
Математика-
1 квадратный фут.
Общие
Математика-
Какое геометрическое пересечение представляет данное изображение?
Какое геометрическое пересечение представляет данное изображение?
Maths-General
General
Maths-
285 cm
2 = ___ m 2- 0.285
- 0.0285
- 2.85
- 0.00285
285 cm
2 = ___ m 2Общая математика
- 0,285
- 0,0285
- 2,85
- 0,00285
С Фондом Турито.
Получите экспертную консультацию от Turito.
Академия Турито
С Академией Турито.
Подготовка к экзаменам
С Фондом Турито.
Площадь прямоугольника размером 28 x 18 и геометрические свойства, такие как симметрия, периметр прямоугольника, диагонали
w3.org/1999/xhtml» cellspacing=»0″>Нам дано, что длина прямоугольника = 28,0 единиц, а ширина = 18,0 единиц.
AD = BC = 28,0 ед.
А АВ = CD = 18,0 ед.
Единицами могут быть любые единицы длины: дюймы, см, футы, мили, км и т. д.
Геометрические свойства, которые мы вычислимВычислим площадь, периметр, длину диагонали, радиус описанной окружности, площадь описанной окружности и углы, образуемые диагональю со сторонами.
Вычисление площади прямоугольника
Площадь этого прямоугольника = длина х ширина (длина х ширина) = 28,0 х 18,0 = 504,0 кв. шт.
Вычисление периметра прямоугольникаПериметр этого прямоугольника = 2 * (длина + ширина) = 2 * (28,0 + 18,0) = 92,0 единиц
Диагональ этого прямоугольника может быть вычислена с помощью теоремы Пифагора (или теоремы Пифагора).
Треугольники ADC (или BDC) являются прямоугольными треугольниками.
Итак, диагональ(и) можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника. Таким образом, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длины и ширины.
Длина диагоналей AC и BD = (28,0 2 + 18,0 2 ) (1/2)
Итак, длина диагонали = 33,29 единицы
Вычисление радиуса и площади описанной окружностиНа самом деле у прямоугольника нет вписанной окружности, которая касается каждой стороны. Это возможно только в предельном случае, когда длина и ширина равны и это квадрат.
Однако действительно возможно нарисовать окружность, проходящую через все 4 вершины прямоугольника. Обе диагонали являются диаметрами окружности.
Угол в полуокружности является прямым углом: каждый из 4 углов прямоугольника становится углом полукруга, когда мы рисуем описанную окружность.
Радиус описанной окружности = половина длины диагонали = 33,29/2 единицы = 16,64 единицы
Площадь описанной окружности = PI x радиус окружности2 = PI * 16,64 * 16,64 = 870,22 квадратных единиц
Симметрия и оси симметрии
Прямоугольник имеет 2 оси симметрии: прямую, проходящую через середины сторон AB и CD, и другую прямую, проходящую через середины сторон AD и BC.
Оба проходят через точку E. Прямоугольник также является «изогональным» по своей природе, хотя это понятие вы, возможно, изучите или столкнетесь с ним позже.
Вычисление угла, образованного диагональю со сторонами
Мы можем использовать немного тригонометрии, чтобы вычислить это.
Тангенс угла CAD = Тангенс угла ACB = ширина прямоугольника / длина прямоугольника = 18,0/28,0 = 0,64
Угол CAD = Угол ACB = tan -1 0,64 = 0,57 радиана = 32,74 градуса
и угол BAC = угол ACD = 90 градусов — угол CAD = 1,0 радиан = 57,26 градуса
Примеры конгруэнтности и конгруэнтных треугольников
Каждая диагональ делит прямоугольник на пару конгруэнтных треугольников.
ДиагональBD делит прямоугольник на равные треугольники BAD и BCD.
Доказательство:
(a) Угол BAD = угол BCD = 90 градусов (прямой угол)
(b) BD общая сторона обоих (гипотенуза)
(c) BA = CD = 18,0 единиц (противоположные стороны прямоугольника равны)
(d) AD = BC = 28,0 единиц (противоположные стороны прямоугольника равны)
Используя (a) (b) и (c), два треугольника конгруэнтны, используя конгруэнтность RHS или HL (гипотенуза-каттер).
Или, используя (c), (a) и (d), два треугольника конгруэнтны, используя конгруэнтность SAS (сторона-угол-сторона)
Аналогично можно доказать, что АС делит прямоугольник на два равных треугольника.
Две диагонали делят прямоугольник на две пары конгруэнтных треугольников
(Треугольник AEB и треугольник CED равны, треугольник BEC и треугольник AED равны)
Чтобы доказать, что треугольник AEB и треугольник CED конгруэнтны:
(a) AB = CD = 18,0 единиц (противоположные стороны прямоугольника равны)
(б) Угол ABD = Угол CDB (AB параллелен CD, а BD — секущая их секущая, это противоположные углы, значит, они равны)
(c) Угол BAC = угол DCA (по той же причине, что и выше)
(d) Угол BEA = угол CED (противоположные или вертикальные углы равны)
Итак, мы можем доказать конгруэнтность двух треугольников с помощью ASA Congruence (используя (c) (a) (b))
Или мы можем доказать конгруэнтность двух треугольников с помощью AAS-конгруэнтности (используя (d)(b)(a))
Аналогичным образом мы можем доказать, что треугольники BEC и AED равны.
Помните: прямоугольник — это четырехугольник с 4 прямыми углами. Противоположные стороны равны. Все свойства, применимые к параллелограммам, применимы и к прямоугольникам.
Квадрат можно рассматривать как частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.
Каждый прямоугольник представляет собой выпуклый многоугольник и вписанный четырехугольник, диагональ которого представляет собой диаметр описанной окружности.
Некоторые примеры, иллюстрирующие сходные прямоугольники, преобразование размеров, коэффициент масштабирования и геометрическое сходство.
Эти учебные пособия по подобным треугольникам, масштабному коэффициенту и преобразованию размеров также могут быть полезны.
Несколько примеров для иллюстрации подобных прямоугольников, преобразования размеров, масштабного коэффициента и геометрического подобияПример:
Пусть текущий прямоугольник (с размерами 28,0 x 18,0) будет прямоугольником A.
Теперь рассмотрим другой прямоугольник B (размерами 14,0 x 9,0)
Оба эти прямоугольника геометрически подобны, потому что отношения длин соответствующих сторон равны.
Длина прямоугольника A : Длина прямоугольника B = Ширина прямоугольника A : Ширина прямоугольника B
28,0 : 14,0 = 18,0 : 9,0 = 2,0 : 1
А отношение их площадей:
Площадь прямоугольника A : Площадь прямоугольника B = 504,0 : 126,0 = 4,0 : 1
Масштабный коэффициент между A:B = длина прямоугольника A : длина прямоугольника B = 28,0 : 14,0 = 2,0
Обратите внимание, что отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон (или масштабному коэффициенту).
Это пример преобразования размера в 2D-фигурах:
, когда все стороны фигуры умножаются на отношение R , площадь новой фигуры в R 2 умножается на площадь исходной фигуры.
Еще несколько примеров:
Геометрические свойства прямоугольника размером 29 x 18.
Leave A Comment