Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту объем конуса равен 18: Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём цилиндра равен

Тела вращения. Конус, цилиндр, шар. — Математика

Файл к занятию 12

Цилиндр

V=

Конус

V=

Задание 1. Высота конуса равна 24, а диаметр основания равен 90. Найдите образующую конуса. Ответ: 51

Задание 2. Высота конуса равна 9, а длина образующей равна 41. Найдите диаметр основания конуса. Ответ:80

Задание 3. Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 16π, вы­со­та — 6. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. Ответ: 24.

Задание 4. Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения. Ответ: 252

Задание 5. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра. Ответ: 3

Задание 6. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 6 и 9, а второго — 9 и 2.  Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго? Ответ: 2

Задание 7. В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см. Ответ: 4.

Задание 8. Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой. Ответ:4,5

Задание 9. В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 дм³ воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,6 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм³. Ответ: 6

Задание 10. В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 1200 см³ воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 10 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в см³. Ответ: 1000.

Задание 11. Объём конуса равен 60π, а его высота равна 5. Найдите радиус основания конуса. Ответ:6

Задание 12. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π. Ответ: 24

Задание 13. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней? Ответ: 25

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию (перпендикулярной высоте), делит высоту и образующие конуса на пропорциональные отрезки.

Площади сечений конуса, параллельных его основанию, относятся как квадраты их расстояний от вершины конуса.

Задание 14. Площадь полной поверхности конуса равна 16. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Решение: 1 способ:

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле

Так как сечение делит высоту конуса пополам, значит, радиус основания и образующая отсеченного конуса в 2 раза меньше радиуса основания и образующей исходного конуса. Следовательно, площадь поверхности отсеченного конуса

Площадь поверхности отсеченного конуса равна 16/4=4.

2 способ: Исходный и отсеченный конус являются подобными телами. Следовательно, площади их поверхности относятся как коэффициент подобия в квадрате.

k=;

Ответ:4

Задание 15. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. Ответ: 12,6

Задание 16. В со­су­де, име­ю­щем форму ко­ну­са, уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 1/2 вы­со­ты. Объём жид­ко­сти равен 54 мл. Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить, чтобы пол­но­стью на­пол­нить сосуд?

Ре­ше­ние.

Мень­ший конус по­до­бен боль­ше­му с ко­эф­фи­ци­ен­том k=. Объ­е­мы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия.. По­это­му объем боль­ше­го ко­ну­са в 8 раз боль­ше объ­е­ма мень­ше­го ко­ну­cа. V= 54 мл. Значит, не­об­хо­ди­мо до­лить 432 − 54 = 378 мл жид­ко­сти. Ответ: 378.

Задание 17. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 25 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ:175

Шар и сфера. Площадь поверхности и объем.

Шаром называется фигура, полученная при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Сферой называется поверхность шара.

Пусть R — радиус шара, D=2R — его диаметр, S — площадь ограничивающей шар сферы, V — объем шара, тогда имеют место следующие соотношения:

Задание 18. Даны два шара с радиусами 8 и 2.

1)Во сколько раз объём большего шара больше объёма другого? Ответ: 64.

2) Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности другого? Ответ:16

Задание 19. Ци­линдр и конус имеют общее ос­но­ва­ние и общую вы­со­ту. Вы­чис­ли­те объем ци­лин­дра, если объем ко­ну­са равен 42.

Ре­ше­ние.

Объем ци­лин­дра равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту, а объем ко­ну­са равен одной трети про­из­ве­де­ния пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Так как они имеют общее ос­но­ва­ние и вы­со­ту, объем ци­лин­дра в три раза боль­ше объ­е­ма ко­ну­са. Ответ: 126.

Задание 20. Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен 10. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са. Ответ: 20

Задание 21. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса 
равна 11 . Найдите радиус сферы. Ответ:11

Задание 22. Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 111. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та ци­лин­дра равна диа­мет­ру шара, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен ра­ди­у­су шара. Пло­щадь ос­но­ва­ния ци­лин­дра: 

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:
=

 Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра: 

Так как пло­щадь по­верх­но­сти шара вычисляется по фор­му­ле 
 ,

Найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

Имеем: 

. Ответ:166,5.

Задание 23. Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 48. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра. Ответ: 72

Задание 24. Ци­линдр опи­сан около шара. Объем шара равен 24. Най­ди­те объем ци­лин­дра. Ответ: 36

Задание 25. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50.  Найдите объём цилиндра. Ответ:75

Объем конуса

А конус представляет собой трехмерную фигуру с одним круглым основанием. Изогнутая поверхность соединяет основание и вершину.

В объем из 3 -размерное твердое тело — это объем занимаемого пространства. Объем измеряется в кубических единицах ( в 3 , футов 3 , см 3 , м 3 , и так далее). Перед вычислением объема убедитесь, что все измерения относятся к одной и той же единице.

Громкость V конуса с радиус р составляет одну треть площади основания B раз больше высоты час .

V знак равно 1 3 B час или же V знак равно 1 3 π р 2 час , куда B знак равно π р 2

Примечание : Формула объема наклонного конуса такая же, как и у правого.

Объемы конуса и цилиндр связаны так же, как и объемы пирамиды и призма относятся к. Если высота конуса и цилиндра равны, то объем цилиндра в три раза больше объема конуса.

Пример:

Найдите объем показанного конуса. Округлите до ближайшей десятой доли кубического сантиметра.

Решение

Из рисунка радиус конуса равен 8 см и высота 18 см.

Формула для определения объема конуса:

V знак равно 1 3 π р 2 час

Заменять 8 за р и 18 за час .

V знак равно 1 3 π ( 8 ) 2 ( 18 )

Упрощать.

V знак равно 1 3 π ( 64 ) ( 18 ) знак равно 384 π ≈ 1206,4

Следовательно, объем конуса составляет около 1206.4 кубические сантиметры.

Калькулятор конуса

Форма конуса

r = радиус
h = высота
s = наклонная высота
В = объем
L = площадь боковой поверхности
B = площадь основания
A = общая площадь поверхности
π = пи = 3. 1415926535898
√ = квадратный корень

Использование калькулятора

Этот онлайн-калькулятор рассчитает различные свойства правильного кругового конуса с учетом любых двух известных переменных. Термин «круглая» поясняет эту форму как пирамиду с круглым поперечным сечением. Термин «справа» означает, что вершина конуса центрируется над основанием. Сам по себе термин «конус» часто означает правильный круговой конус.

Единицы: Обратите внимание, что единицы показаны для удобства, но не влияют на вычисления. Имеются единицы измерения, указывающие порядок результатов, например футы, футы ² или футы ³ . Например, если вы начинаете с мм и знаете r и h в мм, ваши расчеты приведут к s в мм, V в мм ³ , L в мм ² , B в мм ² и A в мм ² .

Ниже приведены стандартные формулы для конуса.Вычисления основаны на алгебраическом манипулировании этими стандартными формулами.

Формулы кругового конуса для радиуса r и высоты h:

• Объем конуса:
• Наклонная высота конуса:
• Площадь боковой поверхности конуса:
  • L = πrs = πr√ (r ² + h ² )
• Площадь основания конуса (кружка):
• Общая площадь конуса:
  • A = L + B = πrs + πr ² = πr (s + r) = πr (r + √ (r ² + h ² ))

Расчет круглого конуса:

Используйте следующие дополнительные формулы наряду с формулами выше.

• По заданным радиусу и высоте рассчитайте наклонную высоту, объем, площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности.
  Для заданных r, h найти s, V, L, A
• По заданному радиусу и наклонной высоте рассчитайте высоту, объем, площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности.
  Для данного r, s найти h, V, L, A
• По заданному радиусу и объему рассчитайте высоту, наклонную высоту, площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности.
  Для данного r, V найти h, s, L, A
• По заданному радиусу и площади боковой поверхности рассчитайте высоту, наклонную высоту, объем и общую площадь поверхности.
  Для данного r, L найти h, s, V, A
  • с = L / (πr)
  • h = √ (с ² — r ² )
• По заданному радиусу и общей площади поверхности рассчитайте высоту, наклонную высоту, объем и площадь боковой поверхности.
  Для данного r, A найти h, s, V, L
  • s = [A — (πr ² )] / (πr)
  • h = √ (с ² — r ² )
• Зная высоту и наклонную высоту, рассчитайте радиус, объем, площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности.
  По заданному h, s найти r, V, L, A
• По заданной высоте и объему рассчитайте радиус, наклонную высоту, площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности.
  Для заданных h, V найти r, s, L, A
  • r = √ [(3 * v) / (π * h)]
• Зная наклонную высоту и площадь боковой поверхности, рассчитайте радиус, высоту, объем и общую площадь поверхности.
  Дано s, L найти r, h, V, A
  • r = л / (π * с)
  • h = √ (с ² — r ² )

Список литературы

Вайсштейн, Эрик В. «Конус». Из MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram.
http://mathworld.wolfram.com/Cone.html

Объем конуса и цилиндра

Представьте себе прямоугольник, разделенный диагональю на два прямоугольных треугольника. Как площадь прямоугольного треугольника, образованного диагональю, связана с площадью прямоугольника? Площадь любого прямоугольника равна произведению его ширины и длины.Например, если прямоугольник имеет ширину 3 дюйма и длину 5 дюймов, его площадь составляет 15 квадратных дюймов (длина, умноженная на ширину). На рисунке ниже показан прямоугольник, «разделенный» по диагонали, демонстрируя, что прямоугольник можно представить как два равных прямоугольных треугольника, соединенных вместе. Площади прямоугольников и прямоугольных треугольников пропорциональны друг другу: прямоугольник имеет вдвое большую площадь, чем прямоугольный треугольник, образованный его диагональю.

Точно так же объемы конуса и цилиндра, имеющие одинаковые основания и высоту, пропорциональны.Если конус и цилиндр имеют основания (показаны цветом) с равными площадями и оба имеют одинаковую высоту, то объем конуса составляет одну треть объема цилиндра.

Представьте себе, что конус на рисунке перевернут вверх дном, острием вниз. Если бы рожок был полым с открытым верхом, его можно было бы заполнить жидкостью, как рожок мороженого. Чтобы заполнить цилиндр, нужно было бы трижды наполнить и вылить содержимое конуса в цилиндр.

На рисунке выше также показаны термины высота и радиус для конуса и цилиндра.Основание конуса — окружность радиуса r . Высота конуса равна длине h прямой линии от вершины конуса до центра его круглого основания. Оба конца цилиндра представляют собой окружности радиусом r каждый. Высота цилиндра равна длине х между центрами двух концов.

Соотношение объемов между этими конусами и цилиндрами с одинаковыми основаниями и высотой можно выразить математически. Объем объекта — это количество пространства, заключенного в нем.Например, объем куба — это площадь одной стороны, умноженная на его высоту. На рисунке ниже изображен куб. Цветом обозначена площадь его основания. Умножение этой (цветной) площади на высоту L куба дает его объем. И поскольку все измерения (длина, ширина и высота) куба идентичны, его объем составляет L × L × L или L ³ , где L — длина каждой стороны.

Ту же процедуру можно применить для определения объема цилиндра.То есть площадь основания цилиндра, умноженная на высоту цилиндра, дает его объем. Основания цилиндра и конуса, показанные ранее, представляют собой круги. Площадь круга равна π r ² , где r — радиус круга. Следовательно, объем V _cyl определяется уравнением: V _cyl π r ² h (площадь его круглого основания, умноженная на его высоту), где r — радиус цилиндр и х его высота. Объем конуса ( V _конус ) составляет одну треть от объема цилиндра с таким же основанием и высотой:.

Конусы и цилиндры, показанные ранее, являются правильными круговыми конусами и правильными круговыми цилиндрами, что означает, что центральная ось каждого перпендикулярна основанию. Существуют и другие типы цилиндров и конусов, и пропорции и уравнения, которые были разработаны выше, также применимы к этим другим типам цилиндров и конусов.

Филип Эдвард Кот с

Уильям Артур Аткинс

Библиография

Abbott, P. Геометрия. Нью-Йорк: Дэвид Маккей Ко., Инк., 1982.

Интернет-ресурсы

Метод Архимеда. Американское математическое общество. .

% PDF-1.4 % 1150 0 объект > endobj xref 1150 327 0000000016 00000 н. 0000008295 00000 н. 0000008384 00000 п. 0000008633 00000 п. 0000011937 00000 п. 0000011987 00000 п. 0000012036 00000 п. 0000012085 00000 п. 0000012134 00000 п. 0000012183 00000 п. 0000012232 00000 п. 0000012282 00000 п. 0000012332 00000 п. 0000012381 00000 п. 0000012431 00000 п. 0000012481 00000 п. 0000012531 00000 п. 0000012586 00000 п. 0000012637 00000 п. 0000012693 00000 п. 0000012743 00000 п. 0000013057 00000 п. 0000013342 00000 п. 0000013638 00000 п. 0000013717 00000 п. 0000013794 00000 п. 0000014171 00000 п. 0000014797 00000 п. 0000015175 00000 п. 0000015224 00000 п. 0000015275 00000 п. 0000015324 00000 п. 0000015373 00000 п. 0000015422 00000 п. 0000015473 00000 п. 0000015523 00000 п. 0000031745 00000 п. 0000032170 00000 п. 0000032954 00000 п. 0000033063 00000 п. 0000033675 00000 п. 0000033788 00000 п. 0000033941 00000 п. 0000034300 00000 п. 0000034653 00000 п. 0000035619 00000 п. 0000035924 00000 п. 0000036295 00000 п. 0000036373 00000 п. 0000036449 00000 п. 0000036722 00000 п. 0000036761 00000 п. 0000037062 00000 п. 0000037756 00000 п. 0000038201 00000 п. 0000038858 00000 п. 0000039238 00000 п. 0000050700 00000 п. 0000059515 00000 п. 0000060048 00000 п. 0000060247 00000 п. 0000062727 00000 н. 0000063065 00000 п. 0000063426 00000 п. 0000063602 00000 п. 0000064269 00000 н. 0000064653 00000 п. 0000065187 00000 п. 0000065247 00000 п. 0000065887 00000 п. 0000066090 00000 н. 0000066387 00000 п. 0000066489 00000 н. 0000067592 00000 п. 0000067846 00000 п. 0000068192 00000 п. 0000068467 00000 п. 0000068833 00000 п. 0000068966 00000 п. 0000080696 00000 п. 0000091618 00000 п. 0000103944 00000 н. 0000116909 00000 н. 0000117172 00000 н. 0000117436 00000 н. 0000118217 00000 н. 0000130834 00000 н. 0000131790 00000 н. 0000132530 00000 н. 0000134430 00000 н. 0000134496 00000 н. 0000136758 00000 н. 0000142392 00000 н. 0000146292 00000 н. 0000149539 00000 н. 0000151329 00000 н. 0000154022 00000 н. 0000156928 00000 н. 0000158953 00000 н. 0000160791 00000 п. 0000161007 00000 н. 0000161239 00000 н. 0000161832 00000 н. 0000161923 00000 н. 0000162107 00000 н. 0000162170 00000 н. 0000162939 00000 н. 0000163192 00000 н. 0000163639 00000 н. 0000163702 00000 н. 0000163768 00000 н. 0000163831 00000 н. 0000163918 00000 н. 0000163984 00000 н. 0000164047 00000 н. 0000164116 00000 н. 0000164188 00000 п. 0000164257 00000 н. 0000164344 00000 н. 0000164540 00000 н. 0000164763 00000 н. 0000165001 00000 н. 0000165622 00000 н. 0000165814 00000 н. 0000165893 00000 н. 0000207290 00000 н. 0000207331 00000 н. 0000252154 00000 н. 0000252195 00000 н. 0000293592 00000 н. 0000293633 00000 н. 0000303461 00000 н. 0000309681 00000 п. 0000315867 00000 н. 0000322085 00000 н. 0000328345 00000 н. 0000334555 00000 н. 0000340754 00000 н. 0000346944 00000 н. 0000353163 00000 п. 0000359387 00000 н. 0000365590 00000 н. 0000365930 00000 н. 0000366079 00000 п. 0000372299 00000 н. 0000378522 00000 н. 0000384753 00000 п. 00003

00000 н. 0000397305 00000 н. 0000403593 00000 н. 0000409887 00000 н. 0000416109 00000 н. 0000422268 00000 н. 0000428537 00000 п. 0000428874 00000 н. 0000429025 00000 н. 0000435292 00000 н. 0000441556 00000 н. 0000447839 00000 н. 0000454122 00000 н. 0000460387 00000 н. 0000466670 00000 н. 0000472962 00000 н. 0000479161 00000 н. 0000485460 00000 н. 0000491732 00000 н. 0000491999 00000 н. 0000492148 00000 н. 0000498426 00000 н. 0000504662 00000 н. 0000510930 00000 н. 0000517202 00000 н. 0000523468 00000 н. 0000529750 00000 н. 0000536029 00000 н. 0000542261 00000 н. 0000548478 00000 н. 0000554332 00000 н. 0000554754 00000 н. 0000554906 00000 н. 0000560755 00000 н. 0000566584 00000 н. 0000572432 00000 н. 0000578254 00000 н. 0000578681 00000 н. 0000578827 00000 н. 0000579265 00000 н. 0000579410 00000 п. 0000579823 00000 н. 0000579975 00000 н. 0000580047 00000 н. 0000580119 00000 п. 0000580195 00000 н. 0000580329 00000 н. 0000580480 00000 н. 00005

00000 н. 00005
00000 н. 0000591223 00000 н. 0000591967 00000 н. 0000592112 00000 н. 0000598364 00000 н. 0000604596 00000 н. 0000610840 00000 п. 0000617117 00000 н. 0000623288 00000 н. 0000629447 00000 н. 0000635722 00000 н. 0000641870 00000 н. 0000648151 00000 н. 0000654344 00000 п. 0000654912 00000 н. 0000655063 00000 н. 0000661209 00000 н. 0000667401 00000 н. 0000673543 00000 н. 0000679731 00000 н. 0000685884 00000 н. 0000692062 00000 н. 0000698215 00000 н. 0000704427 00000 н. 0000710693 00000 п. 0000716948 00000 н. 0000717288 00000 н. 0000717437 00000 н. 0000723649 00000 н. 0000729927 00000 н. 0000736151 00000 п. 0000742368 00000 н. 0000748602 00000 н. 0000754855 00000 н. 0000761126 00000 н. 0000767305 00000 н. 0000773559 00000 н. 0000779843 00000 н. 0000780180 00000 н. 0000780331 00000 п. 0000786301 00000 п. 0000792555 00000 н. 0000798806 00000 п. 0000805062 00000 н. 0000811335 00000 н. 0000817613 00000 н. 0000823864 00000 н. 0000830115 00000 н. 0000836371 00000 п. 0000842621 00000 н. 0000842888 00000 н. 0000843037 00000 н. 0000849278 00000 н. 0000855547 00000 н. 0000861740 00000 н. 0000868000 00000 н. 0000874259 00000 н. 0000880537 00000 п. 0000886794 00000 н. 0000893064 00000 н. 0000899317 00000 н. 0000

3 00000 н. 0000

5 00000 н. 0000

7 00000 н. 0000912395 00000 н. 0000918653 00000 п. 0000924876 00000 н. 0000931143 00000 п. 0000937411 00000 п. 0000943620 00000 н. 0000949871 00000 п. 0000956124 00000 п. 0000962405 00000 п. 0000968603 00000 п. 0000969016 00000 н. 0000969168 00000 п. 0000975425 00000 н. 0000981694 00000 н. 0000987976 00000 н. 0000994185 00000 н. 0001000408 00000 п. 0001006677 00000 п. 0001012957 00000 п. 0001019257 00000 п. 0001025509 00000 п. 0001031786 00000 п. 0001031937 00000 п. 0001038218 00000 п. 0001044487 00000 п. 0001050746 00000 п. 0001056948 00000 п. 0001063212 00000 п. 0001069477 00000 п. 0001075744 00000 п. 0001081996 00000 п. 0001088250 00000 п. 0001094527 00000 п. 0001094876 00000 п. 0001095076 00000 п. 0001095317 00000 п. 0001095526 00000 п. 0001095731 00000 п. 0001095942 00000 п. 0001096164 00000 п. 0001096382 00000 п. 0001096629 00000 п. 0001098403 00000 п. 0001103339 00000 п. 0001105618 00000 п. 0001107491 00000 п. 0001107673 00000 п. 0001108613 00000 п. 0001108847 00000 п. 0001110436 00000 п. 0001125581 00000 п. 0001126803 00000 п. 0001127841 00000 п. 0001128094 00000 п. 0001128323 00000 п. 0001128580 00000 п. 0001130198 00000 п. 0001131410 00000 п. 0001134063 00000 п. 0001134224 00000 п. 0001134422 00000 п. 0001136744 00000 п. 0001137061 00000 п. 0001137593 00000 п. 0001137955 00000 п. 0001138145 00000 п. 0000006836 00000 н. трейлер ] / Назад 3443661 >> startxref 0 %% EOF 1476 0 объект > поток h ޼ U {PTe? DzOvp65KP D ޠ0 JC ր) 1 DM @ P-FILFfto70 ~ gνw {;

Вычислитель объема круглого усеченного конуса

[1] 2021/02/18 01:15 Женщина / Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / Аспирант / Полезно /

Цель использования

Расчет объема в усеченном керамическом кувшине

[2] 2021. 01.24 14:17 Женский / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / Аспирант / Очень /

Цель использования

Расчет приблизительного объема дерева твердых пород на дне бразильского озера.

[3] 2021.01.15 01:52 Мужчина / Уровень 40 лет / Другое / Очень /

Цель использования

Расчет объема формы для оценки веса набора дротиков со стальным наконечником.

[4] 2021.01.12 20:40 Мужчина / Уровень 20 лет / Инженер / Очень /

Цель использования

Расчет потребности в листовом металле для редуктора

[5] 2020/12/04 07:22 Мужчина / 50 лет / Пенсионер / Очень /

Цель использования

Расчет внутреннего объема Instant Pot

[6] 2020/11/13 08:39 Женский / До 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирантка / Очень /

Цель использования

рассчитать объем кофейной чашки

[7] 2020/10/01 08:18 Мужчина / Уровень 30 лет / Инженер / Очень /

Цель использования

Подсчитайте объем воды в коробке клапана в земле, чтобы я мог определить расход воды в землю.

[8] 2020/09/27 03:51 Женщина / Уровень 40 лет / Домохозяйка / Полезно /

Цель использования

Необходим для определения объема садового контейнера. А теперь посчитаем, сколько галлонов!

[9] 2020/09/05 19:49 Мужской / возраст 50 лет / Самозанятые лица / Очень /

Цель использования

Производитель устриц, рассчитывающий размеры для изготовления корзин для устриц: 1 бушель, полтора бушеля

[10] 2020/09/03 06:27 Мужчина / 60 лет и старше / Пенсионер / Очень /

Цель использования

оценка вместимости деревянной урны, которую я делаю для умершего родственника

Объем и площадь поверхности — Prealgebra

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Найдите объем и площадь поверхности прямоугольных тел
• Найдите объем и площадь поверхности сфер
• Найти объем и площадь цилиндров
• Найдите объем конусов

В этом разделе мы закончим изучение геометрических приложений. Находим объем и площадь некоторых трехмерных фигур. Поскольку мы будем решать приложения, мы еще раз покажем нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений.

Стратегия решения проблем для геометрических приложений

1. Прочтите задачу и убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
2. Определите , что вы ищете.
3. Имя то, что вы ищете.Выберите переменную для представления этого количества.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Найти объем и площадь поверхности прямоугольных тел

Тренер по черлидингу приказывает команде красить деревянные ящики в цвета школы, чтобы на них стоять на играх.(См. (Рисунок)). Количество краски, необходимое для покрытия внешней стороны каждой коробки, — это площадь поверхности, квадратная мера общей площади всех сторон. Количество места внутри обрешетки — это объем, кубическая мера.

Деревянный ящик имеет форму прямоугольного твердого тела.

Каждый ящик имеет форму прямоугольного твердого тела. Его размеры — длина, ширина и высота. Прямоугольное тело, показанное на (Рисунок), имеет единицы измерения длины, ширины и высоты.Вы можете сказать, сколько всего кубических единиц? Давайте посмотрим слой за слоем.

Всего кубических единиц. Обратите внимание, что это

Объем любого прямоугольного твердого тела является произведением длины, ширины и высоты.

Мы также могли бы написать формулу объема прямоугольного твердого тела через площадь основания. Площадь базы, равна

Мы можем заменить в формуле объема, чтобы получить другую форму формулы объема.

Теперь у нас есть другая версия формулы объема для прямоугольных тел. Давайте посмотрим, как это работает с прямоугольным телом, с которого мы начали. См. (Рисунок).

Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного твердого тела, подумайте о том, чтобы найти площадь каждой из его граней. Сколько граней у прямоугольного тела наверху? Вы можете увидеть три из них.

Обратите внимание, что для каждого из трех лиц, которые вы видите, есть идентичное противоположное лицо, которое не отображается.

Площадь поверхности прямоугольного твердого тела, показанного на (Рисунок), выражена в квадратных единицах.

В общем, чтобы найти площадь поверхности прямоугольного твердого тела, помните, что каждая грань представляет собой прямоугольник, поэтому его площадь является произведением его длины и ширины (см. (Рисунок)). Найдите площадь каждого лица, которое вы видите, а затем умножьте каждую площадь на два, чтобы учесть лицо на противоположной стороне.

Для каждой стороны прямоугольного твердого тела, обращенного к вам, есть еще одна грань на противоположной стороне.Во всем есть лица.

Объем и площадь прямоугольного твердого тела

Для прямоугольного твердого тела длиной, шириной и высотой

Выполнение задания по манипуляции математикой «Раскрашенный куб» поможет вам лучше понять объем и площадь поверхности.

Для прямоугольного твердого тела длиной см, высотой см и шириной см найдите объема и ⓑ площади поверхности.

Найдите объем и ⓑ площадь поверхности прямоугольного твердого тела, используя следующие параметры: длина в футах, ширина в футах и ​​высота в футах.

1. ⓐ 792 куб. фут
2. ⓑ 518 кв. Футов

Найдите объем и ⓑ площадь поверхности прямоугольного твердого тела, используя следующие параметры: длина в футах, ширина в футах и ​​высота в футах.

1. ⓐ 1,440 куб. фут
2. ⓑ 792 кв. Фута

Прямоугольный ящик имеет длину в дюймах, ширину в дюймах и высоту в дюймы. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Прямоугольная коробка имеет длину в футах, ширину в футах и ​​высоту в футах.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 216 куб. фут
2. ⓑ 228 кв. Футов

Прямоугольный чемодан имеет длину в дюймах, ширину в дюймах и высоту в дюймах. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 2,772 куб. дюймы
2. ⓑ 1264 кв. Дюйма

Объем и площадь куба

Куб — это прямоугольное тело, длина, ширина и высота которого равны. См. Раздел «Объем и площадь поверхности куба» ниже.Подставляя s для длины, ширины и высоты в формулы для объема и площади поверхности прямоугольного твердого тела, получаем:

Итак, для куба формулы для объема и площади поверхности имеют вид и

Объем и площадь куба

Для любого куба с длиной сторон

Куб имеет дюймы с каждой стороны. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Для куба со стороной 4,5 метра найдите объема и ⓑ площади поверхности куба.

1. ⓐ 91,125 куб. м
2. ⓑ 121.5 кв.м

Для куба со стороной 7,3 ярда найдите объема и ⓑ площади поверхности куба.

1. ⓐ 389.017 куб. ярд
2. ⓑ 319.74 кв. Ярд.

Кубик блокнота имеет дюймы с каждой стороны. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Упаковочная коробка — это куб, измеряющий ножки с каждой стороны. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 64 куб.фут
2. ⓑ 96 кв. Футов

Стена сложена из кирпича кубической формы. Каждый куб имеет дюймы с каждой стороны. Найдите объема и ⓑ площади поверхности каждого куба.

1. ⓐ 4096 куб. дюймы
2. ⓑ 1536 кв. Дюйм

Найдите объем и площадь поверхности сфер

Сфера — это баскетбольный мяч, похожий на трехмерный круг. Как и в случае с кругом, размер сферы определяется ее радиусом, который представляет собой расстояние от центра сферы до любой точки на ее поверхности.Формулы для объема и площади поверхности сферы приведены ниже.

Показать, откуда взялись эти формулы, как мы это делали для прямоугольного твердого тела, выходит за рамки этого курса. Приближаемся к

Объем и площадь поверхности

Для сферы радиусом

Сфера имеет радиус в дюймах. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Найдите объем ⓐ и площадь поверхности сферы радиусом 3 сантиметра.

1. ⓐ 113,04 куб. размеры в см
2. ⓑ 113.04 кв. См

Найдите объем ⓐ и площадь поверхности каждой сферы радиусом фута

1. ⓐ 4,19 куб. фут
2. ⓑ 12,56 кв. Фута

Земной шар имеет форму шара радиусом в сантиметрах. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ. Округлите ответ до сотых.

Пляжный мяч имеет форму шара с радиусом в дюймах. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 3052,08 куб. дюймы
2. ⓑ 1017,36 кв. Дюйма

Римская статуя изображает Атласа, держащего земной шар радиусом в фут. Найдите объема и ⓑ площади земного шара.

1. ⓐ 14,13 куб. фут
2. ⓑ 28,26 кв. Фута

Найдите объем и площадь цилиндра

Если вы когда-нибудь видели банку газировки, вы знаете, как выглядит баллон. Цилиндр представляет собой сплошную фигуру с двумя параллельными кругами одинакового размера вверху и внизу.Верх и низ цилиндра называются основаниями. Высота цилиндра — это расстояние между двумя основаниями. Для всех цилиндров, с которыми мы будем работать здесь, стороны и высота будут перпендикулярны основанию.

Цилиндр имеет два круглых основания одинакового размера. Высота — это расстояние между основаниями.

Прямоугольные тела и цилиндры в чем-то похожи, потому что оба имеют два основания и высоту. Формула объема прямоугольного твердого тела также может использоваться для определения объема цилиндра.

Для прямоугольного твердого тела площадь основания является площадью прямоугольного основания, длина × ширина. Для цилиндра площадь основания — это площадь его круглого основания. (Рисунок) сравнивает, как формула используется для прямоугольных тел и цилиндров.

Увидев, как цилиндр похож на твердое тело прямоугольной формы, можно легче понять формулу объема цилиндра.

Чтобы понять формулу площади поверхности цилиндра, представьте банку с овощами.У него три поверхности: верхняя, нижняя и часть, образующая боковые стороны банки. Если аккуратно отрезать этикетку со стороны банки и развернуть ее, вы увидите, что это прямоугольник. См. (Рисунок).

Разрезав и развернув этикетку банки с овощами, мы можем увидеть, что поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник. Длина прямоугольника — это окружность основания цилиндра, а ширина — это высота цилиндра.

Расстояние по краю банки — это длина окружности основания цилиндра, а также длина прямоугольной этикетки.Высота цилиндра равна ширине прямоугольной этикетки. Таким образом, площадь этикетки можно представить как

Чтобы найти общую площадь поверхности цилиндра, мы добавляем площади двух окружностей к площади прямоугольника.

Площадь цилиндра радиусом и высотой

Объем и площадь цилиндра

Для цилиндра с радиусом и высотой

Цилиндр имеет высоту в сантиметрах и радиус в сантиметрах.Найдите объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Найдите объем ⓐ и площадь поверхности цилиндра радиусом 4 см и высотой 7 см.

1. ⓐ 351,68 куб. размеры в см
2. ⓑ 276,32 кв. См

Найдите объем ⓐ и площадь поверхности цилиндра с заданным радиусом 2 фута и высотой 8 футов.

1. ⓐ 100,48 куб. фут
2. ⓑ 125,6 кв. Фута

Найдите объема и ⓑ площади поверхности банки с газировкой. Радиус основания — сантиметры, а высота — сантиметры.Предположим, банка имеет форму цилиндра.

Найдите объем ⓐ и площадь поверхности банки с краской радиусом 8 см и высотой 19 см. Предположим, банка имеет форму цилиндра.

1. ⓐ 3 818,24 куб. размеры в см
2. ⓑ 1356,48 кв. См

Найдите объем ⓐ и площадь поверхности цилиндрического барабана радиусом 2,7 фута и высотой 4 фута. Предположим, барабан имеет форму цилиндра.

1. ⓐ 91.5624 куб. фут
2. ⓑ 113,6052 кв. Фута

Найдите объем конусов

Первое изображение, которое у многих из нас возникает, когда мы слышим слово «рожок», — это рожок мороженого. Есть много других применений рожков (но большинство из них не так вкусно, как рожки мороженого). В этом разделе мы увидим, как найти объем конуса.

В геометрии конус представляет собой твердую фигуру с одним круглым основанием и вершиной. Высота конуса — это расстояние между его основанием и вершиной.Конусы, которые мы рассмотрим в этом разделе, всегда будут иметь высоту, перпендикулярную основанию. См. (Рисунок).

Высота конуса — это расстояние между его основанием и вершиной.

Ранее в этом разделе мы видели, что объем цилиндра равен. Мы можем представить себе конус как часть цилиндра. (Рисунок) показывает конус, помещенный внутри цилиндра той же высоты и того же основания. Если мы сравним объем конуса и цилиндра, то увидим, что объем конуса меньше объема цилиндра.

Объем конуса меньше объема цилиндра с таким же основанием и высотой.

Фактически, объем конуса составляет ровно одну треть объема цилиндра с тем же основанием и высотой. Объем конуса

Поскольку основание конуса — это круг, мы можем подставить формулу площади круга, вместо , чтобы получить формулу для объема конуса.

В этой книге мы найдем только объем конуса, но не площадь его поверхности.

Объем конуса

Для конуса с радиусом и высотой.

Найдите объем конуса с высотой в дюймах и радиусом его основания в дюймах.

Найдите объем конуса с высотой в дюймах и радиусом в дюймах

Найдите объем конуса высотой в сантиметрах и радиусом в сантиметрах

В любимом гастропабе Марти подают картофель фри в бумажной упаковке в форме конуса. Каков объем конической оболочки в дюймах в высоту и в дюймах в диаметре? Округлите ответ до сотых.

Сколько кубических дюймов конфет поместится в конусообразной пиньяте, имеющей длину в дюймах и дюймы в основании? Округлите ответ до сотых.

Каков объем шляпы для вечеринок в форме конуса, имеющей дюйм в высоту и дюйм в ширину у основания? Округлите ответ до сотых.

Сводка геометрических формул

В следующих таблицах представлены все формулы, рассматриваемые в этой главе.

Практика ведет к совершенству

Найти объем и площадь поверхности прямоугольных тел

В следующих упражнениях найдите ⓐ объем и ⓑ площадь поверхности прямоугольного твердого тела заданных размеров.

метра длины, метра ширины, метра высоты

длина футов, ширина футов, высота

футов

ярдов длины, ширины ярдов, высоты

ярдов

1. ⓐ 17,64 куб. ярд
2. ⓑ 41.58 кв. Ярд.

длина сантиметра, ширина сантиметра, высота сантиметра

В следующих упражнениях решите.

Транспортный фургон Прямоугольный передвижной фургон имеет длину ножек, ширину ножек и высоту ножек.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 1,024 куб. фут
2. ⓑ 640 кв. Футов

Подарочная коробка Прямоугольная подарочная коробка имеет длину в дюймах, ширину в дюймах и высоту в дюймах. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Коробка Коробка прямоугольной формы имеет длину см, ширину см и высоту см. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 3350,49 куб. размеры в см
2. ⓑ 1622,42 кв. См

Транспортный контейнер Прямоугольный транспортный контейнер имеет длину в футах, ширину в футах и ​​высоту в футах.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

В следующих упражнениях найдите ⓐ объем и ⓑ площадь поверхности куба с заданной длиной стороны.

см

1. ⓐ 125 куб. размеры в см
2. ⓑ 150 кв. См

дюймов

футов

1. ⓐ 1124,864 куб. футы
2. ⓑ 648.96 кв. Фут

метра

В следующих упражнениях решите.

Научный центр Каждая сторона куба в научном центре Discovery в Санта-Ане имеет длину фута.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 262 144 куб. фут
2. ⓑ 24 576 кв. Футов

Музей Музей в форме куба имеет стороны метровой длины. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Основание статуи Основание статуи представляет собой куб со сторонами метровой длины. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 21,952 куб. м
2. ⓑ 47,04 кв. М

Коробка для салфеток Коробка для салфеток представляет собой куб со сторонами 4.5 дюймов в длину. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Найдите объем и площадь поверхности сфер

В следующих упражнениях найдите ⓐ объем и ⓑ площадь поверхности сферы с заданным радиусом. Округлите ответы до сотых.

см

1. ⓐ 113,04 куб. размеры в см
2. ⓑ 113.04 кв. См

дюймов

футов

1. ⓐ 1,766,25 куб. фут
2. ⓑ 706.5 кв. Футов

ярдов

В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до сотых.

Мяч для упражнений Мяч для упражнений имеет радиус в дюймах. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 14 130 куб. дюймы
2. ⓑ 2 826 кв. Дюймов

Полет на воздушном шаре Большой воздушный шар в парке — это большая оранжевая сфера радиусом в фут. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Мяч для гольфа Мяч для гольфа имеет радиус сантиметра.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 381,51 куб. размеры в см
2. ⓑ 254,34 кв. См

Бейсбол Бейсбольный мяч имеет радиус в дюймах. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Найдите объем и площадь поверхности цилиндра

В следующих упражнениях найдите ⓐ объем и ⓑ площадь поверхности цилиндра с заданными радиусом и высотой. Округлите ответы до сотых.

Радиус

футов, высота

футов

1. ⓐ 254.34 куб. фут
2. ⓑ 226.08 кв. Фут

радиус сантиметра, высота

сантиметра

радиуса метров, высоты

метров

1. ⓐ 29,673 куб. м
2. ⓑ 53.694 кв.м

Радиус

ярдов, высота

ярдов

В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до сотых.

Банка для кофе Банка для кофе имеет радиус см и высоту см. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 1020,5 куб. размеры в см
2. ⓑ 565,2 кв. См

Пакет для снеков Пакет для снеков имеет форму цилиндра с радиусом см и высотой см. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Столб для парикмахерской Цилиндрический столб для парикмахерской имеет диаметр в дюймы и высоту в дюймы. Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

1. ⓐ 678,24 куб. дюймы
2. ⓑ 508,68 кв. Дюйма

Архитектура Цилиндрическая колонна имеет диаметр футов и высоту футов.Найдите его объем ⓐ и площадь поверхности ⓑ.

Найдите объем конусов

В следующих упражнениях найдите объем конуса с заданными размерами. Округлите ответы до сотых.

футов высоты и радиуса

футов

дюймов высоты и радиуса

дюймов

высота сантиметра и радиус см

метров высоты и радиуса

В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до сотых.

Типи Каков объем конусообразной палатки-типи высотой в фут и шириной у основания?

Чашка для попкорна Каков объем конической чашки для попкорна, имеющей дюйм в высоту и дюйм в диаметре у основания?

Силос Каков объем силоса конической формы высотой в футах и ​​шириной в футах у основания?

Куча песка Каков объем конической кучи песка метровой высоты и метровой ширины у основания?

Повседневная математика

Столб уличного фонаря Столб уличного фонаря имеет форму усеченного конуса, как показано на рисунке ниже. Это большой конус без верхнего конуса меньшего размера. Большой конус в фут с радиусом в основании. Меньший конус имеет высоту футов с радиусом основания футов. С точностью до десятых,

ⓐ найти объем большого конуса.

ⓑ найти объем маленького конуса.

ⓒ найдите объем столба, вычтя объем малого конуса из объема большого конуса.

1. ⓐ 31,4 куб. фут
2. ⓑ 2,6 куб. фут
3. ⓒ 28.8 куб. фут

Конусы для мороженого Обычный конус для мороженого имеет высоту 4 дюйма и диаметр в несколько дюймов. Вафельный рожок имеет высоту в дюймы и диаметр в дюймах. С точностью до сотых,

ⓐ найти объем обычного рожка мороженого.

ⓑ найти объем вафельного рожка.

ⓒ Насколько больше мороженого умещается в вафельном рожке по сравнению с обычным рожком?

Письменные упражнения

Формулы для объема цилиндра и конуса аналогичны. Объясните, как можно запомнить, какая формула сочетается с какой формой.

Что имеет больший объем: куб со сторонами стопы или сфера диаметром в стопу? Объясните свои рассуждения.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Глоссарий

конус

Конус — это сплошная фигура с одним круглым основанием и вершиной.

куб

Куб — это прямоугольное тело, длина, ширина и высота которого равны.

цилиндр

Цилиндр — это сплошная фигура с двумя параллельными кругами одинакового размера вверху и внизу.

Наклонная высота правого конуса

Наклонная высота правого конуса — Math Open Reference

Определение: Расстояние от вершины конуса вниз по краю до точки на краю основания.

Попробуй это Перетащите оранжевые точки, чтобы настроить радиус и высоту конуса, и обратите внимание на изменение высоты наклона.

Есть три измерения конуса.

• Вертикальная высота (или высота), которая представляет собой перпендикулярное расстояние от верха вниз до основания.
• Радиус круглого основания
• Наклонная высота, которая представляет собой расстояние от верха вниз по стороне до точки на основной окружности.

Эти три связаны, и нам нужны только любые два, чтобы определить конус.Затем мы можем найти третье недостающее измерение. На рисунке выше мы видим, что три измерения образуют прямоугольный треугольник, с наклонной высотой как гипотенуза так что мы можем использовать Теорема Пифагора для его решения *.

Перетащите любую оранжевую точку на верхнем рисунке и обратите внимание, как наклонная высота рассчитывается на основе радиуса и высоты.

* Фактически мы можем использовать любой метод решения этого треугольника, который нам нравится. Это просто зависит от того, что вам дают, и от личных предпочтений.См. Раздел Решение треугольника.

Определение высоты наклона

Применяя теорему Пифагора, наклонная высота определяется по формуле: где r — радиус основания, h — высота.

Если вам задана высота уклона

Переставляя члены теоремы Пифагора, мы можем найти другую длину:

• Радиус r можно найти по формуле где s — наклонная высота, h — высота.
• Высоту h можно найти по формуле где s — высота наклона, r — радиус основания.

Что попробовать

• На верхнем рисунке нажмите «скрыть детали».
• Перетащите оранжевые точки, чтобы установить радиус и высоту конуса.
• Рассчитайте наклонную высоту конуса по формуле
• Нажмите «показать подробности», чтобы проверить свой ответ.

Связанные темы

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.