Вписанные и центральные углы. | Подготовка к ЕГЭ по математике

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

вписанный угол, центральный угол

Свойства вписанных углов

 свойства вписанных углов, вписанный угол, центральный угол

Рассмотрим примеры, после чего для вас – тест по теме “Вписанные, центральные углы”.

Задача 1.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет \frac{4}{9} окружности.

Решение: + показать

 

Задача 2.

Найти величину угла А0С (см. рис.), если угол АВС равен 140^{\circ}

лрт

Решение: + показать

рлЗаметим, тот угол АОС, что помечен на картинке, хоть и является центральным углом, но не является соответствующим для вписанного угла АВС, так как они опираются на разные дуги (угол АВС опирается на дугу АС, а угол АОС – на дугу АВС).

Так как вписанный угол АВС, равный 140^{\circ}, опирается на дугу АС, то она равна 280^{\circ}. Значит дуга АВС равна 360^{\circ}-280^{\circ}=80^{\circ}. А значит центральный угол АОС, который измеряется градусной мерой дуги, на которую опирается, равен 80^{\circ}.

Ответ: 80^{\circ} 

Задача 3.

Найти величину угла  ВАD, изображенного на картинке:

и

 

Решение: + показать

vpisannie-ugli6Так как углы ВСА и ВDA опираются на одну дугу (АВ), то они равны, то есть \angle BDA=40^{\circ}.

Теперь обратимся к треугольнику АВD. Он прямоугольный, так как угол АВD, опирающийся на диаметр, – прямой. Значит, \angle BAD= 90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}.

Ответ: 50^{\circ} 

 

Задача 4.

Найти величину угла D, изображенного на картинке:

свойства вписанных углов

Решение: + показать

1) \angle ASB=\angle CSD=110^{\circ} как вертикальные.

2) Из треугольника АВS: \angle BAS=180^{\circ}-110^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}

3) \angle BAS=\angle BDC=30^{\circ}, так как углы опираются на одну дугу.

Ответ: 30^{\circ} 

Задача 5.

Центральный угол на 20^{\circ} больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол.

Решение:  + показать

Задача 6.

Найти градусную меру  угла ВАD:

vpisannie-ugli25

Решение: + показать

Задача 7.

Найдите угол АСВ, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 120^{\circ} и 40^{\circ}.

vpisannie-ugli13

Решение: + показать

 

Задача 8.

Найдите величину угла АВС.

vpisannie-ugli16

Решение: + показать

 

Задача 9.

Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?

vpisannie-ugli18

Решение: + показать

 

Задача 10.

Найти градусную меру угла, изображенного на рисунке:

vpisannie-ugli20

Решение: + показать

Задача 11.

Найдите величину угла АВС, изображенного на рисунке. Видео New*

vpisannie-ugli21

Решение: + показать

Задача 12.

Четырёхуголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABC равен 106°, угол CAD равен 64°. Най­ди­те угол ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Решение:

ь

Вписанный угол ABD

равен половине дуги \breve{AD}, на которую опирается.

Заметим при этом \breve{ADC}=2\cdot \angle ABC=212^{\circ}, аналогично \breve{CD}=128^{\circ}.

\breve{AD}=\breve{ADC}-\breve{CD}=212^{\circ}-128^{\circ}=84^{\circ}.

Тогда \angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 84^{\circ}=42^{\circ}

Ответ: 42.

UnknownВы можете пройти тест “Вписанные, центральные углы”. Тест хорош как для подготовки к ГИА, так и к ЕГЭ.

Углы в окружности, центральный и вписанный. Свойства и способы нахождения

Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий свойства плоских фигур. К ним относятся не только всем известные треугольники, квадраты, прямоугольники, но и прямые и углы. В планиметрии также существуют такие понятия, как углы в окружности: центральный и вписанный. Но что они означают?

Что такое центральный угол?

Для того чтобы понять, что такое центральный угол, нужно дать определение окружности. Окружность – это совокупность всех точек, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Очень важно отличать ее от круга. Нужно запомнить, что окружность – это замкнутая линия, а круг – это часть плоскости, ограниченная ею. В окружность может быть вписан многоугольник или угол.

Центральный угол – это такой угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Дуга, которую угол ограничивает точками пересечения, называется дугой, на которую опирается данный угол.

Рассмотрим пример №1.

Центральный угол

На картинке угол AOB – центральный, потому что вершина угла и центр окружности – это одна точка О. Он опирается на дугу AB, не содержащую точку С.

Чем вписанный угол отличается от центрального?

Однако кроме центральных существуют также вписанные углы. В чем же их различие? Так же как и центральный, вписанный в окружность угол опирается на определенную дугу. Но его вершина не совпадает с центром окружности, а лежит на ней.

Приведем следующий пример.

Что такое вписанный угол

Угол ACB называется углом, вписанным в окружность с центром в точке О. Точка С принадлежит окружности, то есть лежит на ней. Угол опирается на дугу АВ.

Чему равен центральный угол

Для того чтобы успешно справляться с задачами по геометрии, недостаточно уметь различать вписанный и центральный углы. Как правило, для их решения нужно точно знать, как найти центральный угол в окружности, и уметь вычислить его значение в градусах.

Итак, центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Чему равен центральный угол

На картинке угол АОВ опирается на дугу АВ, равную 66°. Значит, угол АОВ также равен 66°.

Таким образом, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

Равные центральные углы

На рисунке дуга DC равна дуге AB. Значит, угол АОВ равен углу DOC.

Как найти вписанный угол

Может показаться, что угол, вписанный в окружность, равен центральному углу, который опирается на ту же дугу. Однако это грубая ошибка. На самом деле, даже просто посмотрев на чертеж и сравнив эти углы между собой, можно увидеть, что их градусные меры будут иметь разные значения. Так чему же равен вписанный в окружность угол?

Градусная мера вписанного угла равна одной второй от дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, если они опираются на одну дугу.

Рассмотрим пример. Угол АСВ опирается на дугу, равную 66°.

Как найти вписанный угол

Значит, угол АСВ = 66° : 2 = 33°

Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

  • Вписанные углы, если они опираются на одну и ту же дугу, хорду или равные дуги, равны.
  • Если вписанные углы опираются на одну хорду, но их вершины лежат по разные стороны от нее, сумма градусных мер таких углов составляет 180°, так как в этом случае оба угла опираются на дуги, градусная мера которых в сумме составляет 360° (вся окружность), 360° : 2 = 180°
  • Если вписанный угол опирается на диаметр данной окружности, его градусная мера равна 90°, так как диаметр стягивает дугу равную 180°, 180° : 2 = 90°
  • Если центральный и вписанный углы в окружности опираются на одну дугу или хорду, то вписанный угол равен половине центрального.

Где могут встретиться задачи на эту тему? Их виды и способы решения

Так как окружность и ее свойства – это один из важнейших разделов геометрии, планиметрии в частности, то вписанный и центральный углы в окружности – это тема, которая широко и подробно изучается в школьном курсе. Задачи, посвященные их свойствам, встречаются в основном государственном экзамене (ОГЭ) и едином государственном экзамене (ЕГЭ). Как правило, для решения этих задач следует найти углы на окружности в градусах.

Углы, опирающиеся на одну дугу

Этот тип задач является, пожалуй, одним из самых легких, так как для его решения нужно знать всего два простых свойства: если оба угла являются вписанными и опираются на одну хорду, они равны, если один из них – центральный, то соответствующий вписанный угол равен его половине. Однако при их решении нужно быть крайне внимательным: иногда бывает сложно заметить это свойство, и ученики при решении таких простейших задач заходят в тупик. Рассмотрим пример.

Задача №1

Дана окружность с центром в точке О. Угол АОВ равен 54°. Найти градусную меру угла АСВ.

Задача номер 1

Эта задача решается в одно действие. Единственное, что нужно для того, чтобы найти ответ на нее быстро – заметить, что дуга, на которую опираются оба угла — общая. Увидев это, можно применять уже знакомое свойство. Угол АСВ равен половине угла АОВ. Значит,

1) АОВ = 54° : 2 = 27°.

Ответ: 54°.

Углы, опирающиеся на разные дуги одной окружности

Иногда в условиях задачи напрямую не прописана величина дуги, на которую опирается искомый угол. Для того чтобы ее вычислить, нужно проанализировать величину данных углов и сопоставить их с известными свойствами окружности.

Задача 2

В окружности с центром в точке О угол АОС равен 120°, а угол АОВ – 30°. Найдите угол ВАС.

Задача номер 2

Для начала стоит сказать, что возможно решение этой задачи с помощью свойств равнобедренных треугольников, однако для этого потребуется выполнить большее количество математических действий. Поэтому здесь будет приведен разбор решения с помощью свойств центральных и вписанных углов в окружности.

Итак, угол АОС опирается на дугу АС и является центральным, значит, дуга АС равна углу АОС.

АС = 120°

Точно так же угол АОВ опирается на дугу АВ.

АВ = 30°.

Зная это и градусную меру всей окружности (360°), можно с легкостью найти величину дуги ВС.

ВС = 360° — АС — АВ

ВС = 360° — 120° — 30° = 210°

Вершина угла САВ, точка А, лежит на окружности. Значит, угол САВ является вписанным и равен половине дуги СВ.

Угол САВ = 210° : 2 = 110°

Ответ: 110°

Задачи, основанные на соотношении дуг

Некоторые задачи вообще не содержат данных о величинах углов, поэтому их нужно искать, исходя только из известных теорем и свойств окружности.

Задача 1

Найдите угол, вписанный в окружность, который опирается на хорду, равную радиусу данной окружности.

Задача номер 3

Если мысленно провести линии, соединяющие концы отрезка с центром окружности, то получится треугольник. Рассмотрев его, можно заметить, что эти линии являются радиусами окружности, а значит, все стороны треугольника равны. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60°. Значит, дуга АВ, содержащая вершину треугольника, равна 60°. Отсюда найдем дугу АВ, на которую опирается искомый угол.

АВ = 360° — 60° = 300°

Угол АВС = 300° : 2 = 150°

Ответ: 150°

Задача 2

В окружности с центром в точке О дуги соотносятся как 3:7. Найдите меньший вписанный угол.

Для решения обозначим одну часть за Х, тогда одна дуга равна 3Х, а вторая соответственно 7Х. Зная, что градусная мера окружности равна 360°, составим уравнение.

3Х + 7Х = 360°

10Х = 360°

Х = 36°

По условию, нужно найти меньший угол. Очевидно, что если величина угла прямо пропорциональна дуге, на которую он опирается, то искомый (меньший) угол соответствует дуге, равной 3Х.

Значит, меньший угол равен (36° * 3) : 2 = 108° : 2 = 54°

Ответ: 54°

Задача 3

В окружности с центром в точке О угол АОВ равен 60°, а длина меньшей дуги — 50. Вычислите длину большей дуги.

Для того чтобы вычислить длину большей дуги, нужно составить пропорцию — как меньшая дуга относится к большей. Для этого вычислим величину обеих дуг в градусах. Меньшая дуга равна углу, который на нее опирается. Ее градусная мера составит 60°. Большая дуга равна разности градусной меры окружности (она равна 360° вне зависимости от остальных данных) и меньшей дуги.

Большая дуга равна 360° — 60° = 300°.

Так как 300° : 60° = 5, то большая дуга в 5 раз больше меньшей.

Большая дуга = 50 * 5 = 250

Ответ: 250

Итак, конечно, существуют и другие подходы к решению подобных задач, но все они так или иначе основаны на свойствах центральных и вписанных углов, треугольников и окружности. Для того чтобы успешно их решать, необходимо внимательно изучать чертеж и сопоставлять его с данными задачи, а также уметь применять свои теоретические знания на практике.

Окружность. Основные теоремы

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

 

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

 

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

 

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

 

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:


 

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

 

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

 

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

 

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.


 

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

 

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.  

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

 

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

 

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

 

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).


 

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

 

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

 

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):


 

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

 

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

 

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:


 

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\).

 

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\), тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), откуда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA\), но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB — \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} — \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\), что и требовалось доказать.

 

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.


 

Из треугольника \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ — \angle BDA — \angle CAD = 180^\circ — \frac12\buildrel\smile\over{AB} — \frac12\buildrel\smile\over{CD}\).

 

Но \(\angle AMD = 180^\circ — \angle CMD\), откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

 

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\), \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\), пересекает \(a\) в точке \(M\). Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\).


 

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\). Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ — 2\alpha = 2(90^\circ — \alpha)\).

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\), то есть \(\angle OAM = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ — \angle OAB = 90^\circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

 

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

 

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

 

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).


 

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

 

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

 

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.


 

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

 

Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

 

2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

 

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\), а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

 

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\), откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\).

 

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

 

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\). Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\). Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\).


 

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\): \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\). По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\). Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\), что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\).

 

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):


 

Конспект «Центральный угол. Вписанный угол»

«Центральный угол. Вписанный угол»



центральный угол, вписанный угол - определение

Центральный угол в окружности — плоский угол с вершиной в его центре.
Градусная мера дуги окружности — градусная мера соответствующего центрального угла.
Вписанный угол в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности^ стороны пересекают эту окружность.

Доказательство теоремы о вписанном угле приводится в «Началах» Эвклида. То, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, знали вавилоняне еще 4000 лет назад.

Свойства вписанного угла. Радианная мера углов

центральный угол, вписанный угол - определение

Свойства вписанного угла:
1. Вписанный угoл равен половине дуги, на которую он опирается.
2. Вписанный угoл, опирающийся на диаметр, является прямым.
3. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Вписaнные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма равна 180°.

Радианная мера углов
1 радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности. 1 радиан = примерно 57°.
• Угол с вершиной за окружностью (стороны которого пересекают окружность) равен половине разности дуг, лежащих внутри угла.
• Угол,образованный касательной и хордой, с проведенной в точку касания, равен половине дуги, лежащей внутри угла.
• Угол между двумя касательными к окружности, проведенными через одну точку, равен половине разности дуг, ограниченных его сторонами.


Это конспект по теме «Центральный угол. Вписанный угол». Выберите дальнейшие действия:

 

Центральный угол Википедия

Окружность (C), её центр (O), радиус (R) и диаметр (D)

Окру́жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки[1]: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Окружность разбивает плоскость на две части[2] — конечную внутреннюю и бесконечную внешнюю. Внутренность окружности называется кругом; граничные точки (то есть саму окружность) в зависимости от подхода, круг может включать или не включать.

Построение окружности циркулем

Практическое построение окружности возможно с помощью циркуля.

Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.

Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

Далее всюду буква R {\displaystyle R} обозначает радиус окружности.

Хорды, дуги и касательные[

Определение центрального угла

Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.

Центральный угол рассматривается вместе со своей внутренней областью – одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость. Измеряется в пределах \([0^{\circ}; 360^{\circ}]\).

Определение градусной меры дуги окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).

$$ \overset{\smile}{AB}=\angle AOB $$

Определение вписанного угла

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.

Вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).

Теорема о вписанном угле

Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$

Угол, опирающийся на диаметр

Угол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.

\( \angle{ACB}=90^{\circ} \Leftrightarrow \) \(AB\) – диаметр

Признак вписанного четырёхуольника

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^{\circ}\), то этот четырёхугольник вписанный.

\(\angle{A}+\angle{C}=180^{\circ} \Rightarrow ABCD\) – вписанный

Угол, образованный хордами

Градусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{CD}\right) $$

Угол, образованный касательной и хордой

Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB} $$

Угол с вершиной на окружности

Пусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{BC}\right) $$

Угол с вершиной в круге

Градусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.

\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) + дуга\(_2 )\)

Угол, образованный секущими

Градусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{CD}\right) $$

Угол, образованный касательными

Градусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{ACB}-\overset{\smile}{ADB}\right) $$

Угол, образованный касательной и секущей

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right) $$

Признак касания прямой и окружности

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$ \alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right) $$

Угол с вершиной вне круга

Если вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

\( \alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) – дуга\(_2 )\)

Окружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойства


Определение. Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.

Определение. Единичная окружность — окружность, радиус которой равна единице.

Определение. Круг — часть плоскости, ограничена окружностью.

Определение. Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.

Определение. Диаметр окружности D — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.

Основные свойства окружности

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

D = 2r

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.

3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.

4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.

5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.

Формулы длины окружности и площади круга

Формулы длины окружности

1. Формула длины окружности через диаметр:

L = πD

2. Формула длины окружности через радиус:

L = 2πr

Формулы площади круга

1. Формула площади круга через радиус:

S = πr2

2. Формула площади круга через диаметр:

S = πD24

Уравнение окружности

1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:

r2 = x2 + y2

2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

r2 = (x — a)2 + (y — b)2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
{x = a + r cos t
y = b + r sin t

Касательная окружности и ее свойства

Определение. Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.

касательная 3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

AB = AC

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

∠ОAС = ∠OAB

Секущая окружности и ее свойства

Определение. Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.

Основные свойства секущих

Секущая 1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:

AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ

Секущая 2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:

AQ ∙ BQ = CQ2

Хорда окружности ее длина и свойства

Определение. Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.

Длина хорды

длина хорды через центральный угол 1. Длина хорды через центральный угол и радиус:

AB = 2r sin α2

длина хорды через вписанный угол 2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:

AB = 2r sin α

Основные свойства хорд

хорды 1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:

если хорды AB = CD, то

дуги ◡ AB = ◡ CD

хорды 2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:

если хорды AB ∣∣ CD, то

◡ AD = ◡ BC

хорды 3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:

если OD ┴ AB, то

AC = BC

хорды 4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:

AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC

хорды 5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

если хорды AB = CD, то

ON = OK

хорды 6. Чем больше хорда тем ближе она к центру.

если CD > AB, то

ON < OK

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Определение. Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.

Определение. Угол вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.

Основные свойства углов

вписанные уголы опирающиеся на одну дугу 1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны. вписанный угол опирающийся на диаметр 2. Вписанний угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°). вписанный и центральный угол 3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу

β = α2

вписанные углы опирающиеся на одну хорду 4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.

α + β = 180°

Определение. Дуга окружности (◡) — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.

Определение. Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.

длина дуги Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):

l = πr180°∙ α

Определение. Полуокружность — дуга в которой концы соединены диаметром окружности.

Определение. Полукруг (◓) — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.

Определение. Сектор (◔) — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.

сектор Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)

S = πr2360°∙ α

Определение. Сегмент — часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы.

Определение. Концентрические окружности — окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.

Определение. Кольцо — часть плоскости ограниченная двумя концентрическими окружностями.

Центральные углы и дуги

На рисунке 2 AC — это диаметр. — полукруг.

Рисунок 2 Диаметр круга и полукруга.

На рисунке 3 — это малая дуга окружности P .

Рисунок 3 Малая дуга окружности.

На рисунке 4 — большая дуга окружности Q .

Рисунок 4 Большая дуга окружности.

Дуги измеряются тремя разными способами. Они измеряются в градусах и единицах длины следующим образом:

  • Градус полукруга: Это 180 °. Его единичная длина составляет половину окружности круга.
  • Градус малой дуги: Определяется как величина соответствующего центрального угла. Его единичная длина — это часть окружности. Его длина всегда меньше половины окружности.
  • Градус большой дуги: Это 360 ° минус градус малой дуги, конечные точки которой совпадают с конечными точками большой дуги. Единичная длина — это часть окружности, которая всегда больше половины окружности.

В этих примерах м обозначает градус дуги AB , l указывает длину дуги AB , а обозначает саму дугу.

Пример 1: На рисунке 5 окружность O с диаметром AB имеет OB = 6 дюймов. Найдите (а) м и (б) л .

.

Центральные уголки


Этот урок предлагает краткое, но подробное объяснение центральных углов, а также дуг и секторов окружности.

Определение: Угол является центральным углом, если он удовлетворяет следующим двум условиям.

1) Вершина угла расположена в центре окружности.

2) Лучи, составляющие его стороны, являются радиусами круга. Ниже приводится иллюстрация приведенного выше определения:

Central angle

Можно назвать угол ABC.Важно отметить, что такой угол всегда меньше 180 градусов.

Следовательно, такие углы могут быть только острыми или тупыми.

Сопутствующие определения :

Дуга:

Часть окружности круга. Это показано ниже красным:

Arc AB

Сектор :

Сектор — это область, заключенная между центральным углом и дугой. Опять же, это проиллюстрировано ниже, но зеленым:

Sector

Как видите, зеленая область находится между красной дугой и углом

При вычислении площади сектора используйте следующее соотношение или формулу, чтобы узнать, какая часть площади круга покрывается сектором:

Fraction of the circle
Вычисление!

Круг имеет радиус 10 сантиметров.Из этого радиуса и центра круга получается угол 45 градусов. Найдите площадь полученного сектора

Разделите 45 градусов, разделенные на 360 градусов, чтобы определить долю круга, покрытого этим сектором. 45/360 = 1/8

Площадь круга равна

A = pi × r 2

A = 3,14 × 10 2

A = 3,14 × 10 × 10

A = 3,14 × 10 2

A = 3,14 × 100

A = 314 квадратных сантиметров

Теперь просто кратно 314 на 1/8

314 × 1/8 = 314/8 = 39.25

Площадь сектора 39,25 квадратных сантиметра

Вот и все. Если у вас возникнут вопросы по этому уроку, не стесняйтесь обращаться ко мне.

А теперь попробуйте решить эту задачу самостоятельно.

Круг имеет радиус 5 сантиметров. Из этого радиуса и центра круга получается угол 60 градусов. Найдите площадь получившегося сектора

Новые уроки математики

Ваша электронная почта в безопасности. Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.

.

Центральные углы и пересекаемые дуги — Concept

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а концы — на окружности. Конечные точки на окружности также являются конечными точками дуги, пересекаемой углом. Угловая мера центрального угла соответствует размеру пересеченной дуги, что является важным фактом при поиске недостающих дуг или центральных углов .

В круговой вселенной есть два связанных и ключевых термина: центральные углы и пересекаемые дуги.
Мы начнем с центрального угла. Ключевой аспект центрального угла состоит в том, что его вершина является центром круга. Это уравнение здесь говорит, что величина угла abc, который является нашим центральным углом, равна величине дуги ac. Что ж, мы называем эту дугу ac перехваченной дугой, как перехват футбольного паса, поэтому от a до c обратите внимание, что это также место, где центральный угол пересекает круг, поэтому это называется нашей перехваченной дугой, и для центральных углов они всегда будут совпадать. к их перехваченной дуге, и вот на этой картинке я нарисовал то, что не является центральным углом.Причина в том, что его вершина находится на круге, а не в центре круга.
Если мы посмотрим на конгруэнтные аккорды в круге, так что я нарисовал 2 конгруэнтных аккорда, я сказал 2 важные вещи, что конгруэнтные аккорды имеют конгруэнтные центральные углы, что означает, что я могу сказать, что эти два центральных угла должны быть конгруэнтными, и как я могу доказать который? Что ж, если вы посмотрите на эти две стороны, которые я отметил конгруэнтными, и если вы посмотрите на две другие стороны треугольника, мы увидим, что они радиусы, поэтому эти два конгруэнтны, и эти 2 радиуса все совпадают, поэтому мы могли бы использовать боковую сторону боковая гипотеза о том, что эти два треугольника должны быть конгруэнтны, следовательно, их центральные углы также совпадают.
Еще одним следствием этого является то, что у них также будут конгруэнтные пересеченные дуги, поэтому я могу сказать, что эта дуга прямо здесь, которая образована этой конгруэнтной хордой, конгруэнтна этой пересеченной дуге, так что много интересных вещей, проходящих через центральные углы и пересекаемые дуги, что поможет нам найти недостающие меры.

.

Определение длины дуги — Math Open Reference

Определение длины дуги — Math Open Reference Определение: расстояние по изогнутой линии, составляющей дуга

Попробуйте это Перетащите одну из оранжевых точек, определяющих конечные точки синей дуги. Длина дуги будет постоянно рассчитываться.

Длина дуги — это мера расстояния по изогнутой линии, образующей дуга. Он длиннее, чем расстояние по прямой между его конечными точками (что было бы аккорд)

Существует сокращенный способ записать длину дуги: Это читается как «Длина дуги AB равна 10». Строчная буква L спереди коротка от слова «длина». Однако во многих случаях буква L и даже изогнутая линия над AB опускаются, если нет сомнений в том, что имеется в виду.

Центральный угол в градусах

Формула измерения дуги: где:
C — это центральный угол дуги в градусов
R — это радиус дуги
π равен Пи, приблизительно 3,142

Напомним, что 2πR — это длина окружности всего круга, поэтому формула просто уменьшает это значение на соотношение угла дуги на полный угол (360).Путем транспонирования приведенной выше формулы вы находите радиус, центральный угол или длину дуги, если вам известны любые два из них.

Центральный угол в радианах *

Если центральный угол равен радианы, формула проще: где:
C — центральный угол дуги в радианы.
R — это радиус дуги

Это то же самое, что и версия с градусами, но в случае с градусами 2π / 360 преобразует градусы в радианы.

* Радианы — это еще один способ измерения углов вместо градусов. Один радиан составляет примерно 57,3 °
Подробнее об этом см. Определение радианов.

Другие темы кружка

Общие

Уравнения окружности

Углы по окружности

Дуги

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

.