Биссектрисы углов а и в при боковой стороне ав: Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Реклама

Верхний обрезанный слайд

Скачать для чтения офлайн

Образование

Треугольники Введение Сумма углов треугольника Типы треугольников Высота, медиана и биссектриса угла Конгруэнтность треугольников Стороны, противоположные конгруэнтным углам

Реклама

Реклама

Треугольники C2.0

1. Глава 2 Треугольники
2. ГЛАВА 2: ТРЕУГОЛЬНИКИ 2.1 Введение 2.2 Сумма углов треугольника 2.3 Типы треугольников 2.4 Высота, медиана и биссектриса угла 2.5 Конгруэнтность треугольников 2.6 Стороны, противоположные равным углам
3. ГЛАВА 2: ТРЕУГОЛЬНИКИ • 2.1 Введение Как следует из названия треугольника, эта геометрическая фигура состоит из трех углов. Он имеет три стороны, обозначается символом D и называется по его вершины, как показано на рисунке 2.1. D ABC имеет три стороны AB, BC и CA. Он имеет три угла  ABC,  BCA и  CAB.
4. 2.2 Сумма углов треугольника • Можно легко доказать, что сумма трех углов D равна 1800 ГЛАВА 2: ТРЕУГОЛЬНИКИ Рисунок 2.2 D ABC на рис. 2.2 представляет собой треугольник с линией l, параллельной отрезку. до н.э. и проходя через A. seg. АБ — это поперечные на двух параллельных прямых seg. PQ и сегмент BC. Следовательно, m  PAB и m ABC равны, так как они являются альтернативными внутренними углами. Аналогично m  QAC = m  ACB. Теперь  PAQ = m  PAB + m  BAC + m  CAQ т. е. 1800 = m  ABC + m  BAC + m  ACB м  PAQ = 1800, потому что это прямая линия. Таким образом, сумма мер трех углов любого треугольника равна 1800.
5. 2.3 Типы треугольников • Треугольники подразделяются на различных типов, используя два разных параметры — длины их стороны и мера их углы. • Длина стороны а. Равносторонний треугольник: если длины все три стороны треугольника равны равны, то он называется равносторонним треугольник. На рис. 2.3 показан равносторонний треугольник. Рисунок 2.3
6. Длина стороны б. Равнобедренный треугольник: если только два стороны треугольника равны в длина, называется равнобедренной треугольник. На рис. 2.4 показан равнобедренный треугольник. в. Разносторонний треугольник: если все стороны треугольника имеют разную длину называется разносторонним треугольником. Фигура 2.5 показан разносторонний треугольник. 2.3 Типы треугольников
7. Углы • Остроугольный треугольник: треугольник, в котором все углы острые, (т.е. < 900) называется острым треугольник. На рис. 2.6 показан острый треугольник. Частным случаем остроугольного треугольника является когда все три острых угла равны равный. Этот D называется равносторонний треугольник. Рисунок 2.7 изображен равносторонний треугольник. 2.3 Типы треугольников
8. 2.3 Типы треугольников Углы б. Тупоугольный треугольник: треугольник в какой из углов тупой называется тупоугольным треугольником. Фигура 2.8 изображен тупоугольный треугольник. в. Прямоугольный треугольник: это треугольник в какой из углов прямой угол. Рисунок 2.9показывает право треугольник. Поскольку  KJL равно 900, можно сказать что  JKJL и  JLK дополняющий. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой.
9. 2.4 Высота, медиана и биссектриса угла Высота • Высота – это перпендикуляр упал из одной вершины в сторона (или ее продолжение), противоположная вершина. Он измеряет расстояние между вершиной и линия, которая является противоположной стороной. Так как в каждом треугольнике три вершины имеют три высоты. а. Высоты остроугольного треугольника: Для остроугольного треугольника 2.10 все высоты присутствуют в треугольнике.
10. 2.4 Высота, медиана и биссектриса угла б. Высоты для прямоугольного треугольника: • Для прямоугольного треугольника два из высоты лежат по сторонам треугольник, сегмент. АВ это высота от А до сег. до н.э. и сег. ЦБ высота от C до сегмента AB. Оба они находятся по бокам треугольник. Третья высота сег. BD, то есть от B до AC. точка пересечения сег. АВ, сег. до н.э. и сег. BD есть B. Таким образом, для a прямоугольный треугольник три высоты пересекаются в вершине справа угол. Рисунок 2.11
11. 2.4 Высота, медиана и биссектриса угла в. Высоты для тупоугольного треугольника: • D ABC — тупоугольный треугольник. Высота от линии А до пересечения содержащий seg.BC в D. Поэтому сег. AD – высота. Сходным образом seg.CE — высота на AB и BF высота на сегменте. переменного тока. Принадлежащий три высоты, присутствует только одна внутри треугольника. Два других находятся на продолжении линии содержащий противоположную сторону. Эти три высоты встречаются в точка P, которая находится вне треугольник. Рисунок 2.12
12. 2.4 Высота, медиана и биссектриса угла медиана • Отрезок от вершины треугольника до середины стороны, противоположной его называют медианой. Таким образом, каждый треугольник имеет три медианы. На рис. 2.13 показано медианы остроугольного и тупоугольного треугольников. Все три медианы всегда пересекаются внутри треугольника, независимо от типа треугольника.
13. 2.4 Высота, медиана и биссектриса угла Биссектриса угла • Отрезок от вершины до противоположной стороны, делящий угол пополам. вершина называется биссектрисой угла. Таким образом, каждый треугольник имеет три биссектрисы угла. На рис. 2.14 показаны биссектрисы остроугольного и тупоугольного треугольников.
14. 2.5 Конгруэнтность треугольников Два треугольника называются равными, если все соответствующие части равный. Для обозначения конгруэнтности используется символ @ и D PQR @ D STU. подразумевает, что а также т. е. соответствующие углы и соответствующие стороны равны.
15. 2.5 Конгруэнтность треугольников С С С Постулат Если все стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны (рис. 2.15). сег. АВ = сегмент. ПК, сег. БК = сег. QR-код и сег. СА = сегмент. РП D ABC @ D PQR от S S S.
16. 2.5 Конгруэнтность треугольников Постулат С А С Если две стороны и угол, заключенный в одном треугольнике, равны соответствующие две стороны и угол, заключенный в другом треугольнике, то два треугольника равны (рис. 2.16). сег. АВ = сегмент. ПК, сег. БК = сег. QR-код и m  ABC = m  PQR D ABC @ D PQR по постулату S A S.
17. 2.5 Конгруэнтность треугольников А С А постулат Если два угла одного треугольника и сторона, которую они образуют, равны соответствующие углы и сторона другого треугольника, эти два треугольника равны (рисунок 2.17). m  B + m  R m  L = m  P и сег. БК = сег. РП D ABC @ D QRP по постулату A S A.
18. 2.5 Конгруэнтность треугольников Постулат АА S Если два угла треугольника и не заключенная в них сторона равны соответствующие углы и стороны другого треугольника, эти два треугольника равны конгруэнтны (рис. 2.18) m  A = m  P m  B = m  Q и АС = PR D ABC @ D PQR от AA S.
19. 2.5 Конгруэнтность треугольников Постулат HS Этот постулат применим только к прямоугольным треугольникам. Если гипотенуза и любая сторона прямоугольного треугольника равна гипотенузе и соответствующей стороне другого прямоугольного треугольника, то эти два треугольника равны (рис. 2.19).). Тогда гипотенуза AC = гипотенуза PR. Сторона AB = сторона PQ D ABC @ D PQR по постулату HS.
20. Упражнение 1: Назовите постулат, который будет использоваться для доказательства конгруэнтности следующих пар треугольников. а) б)
21. Упражнение 1: Назовите постулат, который будет использоваться для доказательства конгруэнтности следующих пар треугольников. CD)
22. Упражнение 1: Назовите постулат, который будет использоваться для доказательства конгруэнтности следующих пар треугольников. д) е)
23. Упражнение 1: Назовите постулат, который будет использоваться для доказательства конгруэнтности следующих пар треугольников. г)
24. Пример 1 На рис. 2.21 сег. МН @ сегмент. МО, секция. PN @ отд. PO, докажите, что  MNP @MOP. Рисунок 2.21 Решение: Нарисуйте сегмент MP В треугольнике MNP и MOP сег. Миннесота в сегменте МО сег. PN @ отд. ПО сег. депутат @ сег. депутат D MNP @ D MOP … (постулат S S S)  MNP @  MOP ….(поскольку они являются соответствующими углами равные треугольники).
25. Рисунок 2.21 Упражнение 2: На рис. 2.22 H и G — две точки на конгруэнтных сторонах DE и DF многоугольника D DEF, такие, что сег. DH @ сег. ДГ. Докажите, что сег. ВЧ @ сег. ГЭ.
26. 2.6 Стороны, противоположные конгруэнтным углам Теорема: Если две стороны треугольника равны, то противолежащие углы они также равны. Это можно доказать следующим образом: Рассмотрим D ABC, где AB = AC (рис. 2.23). Рисунок 2.23 Доказательство: Чтобы доказать, что m  B = m  C, опустите медиану из A в BC в точке P. Поскольку AP является медианой, BP = CP. В D ABP и D ACP сег. AB @ сег. АС (дано) сег. BP @ сегмент. CP (P — середина) сег. Точка доступа @сегмент. АП (та же линия) Следовательно, два треугольника конгруэнтны по постулату SSS. Д АД @ Д АКП m  B = m  C, поскольку они являются соответствующими углами конгруэнтных треугольников.
27. 2.6 Стороны, противоположные конгруэнтным углам Рисунок 2.24 Обратное утверждение этой теоремы также верно и может быть довольно легко доказано. Рассмотрим D ABC, где m  B = m  C (рис. 2.24). Чтобы доказать, что AB = AC, опустим биссектрису угла AP на BC. Поскольку AP — биссектриса m  BAP = m  CAP m  ABP = m  ACP (дано) сег. Точка доступа @сегмент. АП (та же сторона) D ABP @ D ACP по постулату AAS. Следовательно, соответствующие стороны равны. сег. АВ = сегмент. переменный ток Вывод: если два угла треугольника равны, то противолежащие им стороны также равны.
28.  конец 

Реклама

Теорема о биссектрисе угла | Brilliant Math & Science Wiki

Тревор Араширо, Кханг Нгуен Тхань, Кристофер Бу, и

способствовал

Содержимое

• Определение
• Доказательство теоремы о биссектрисе угла
• Использование теоремы о биссектрисе угла
• Дополнительные проблемы

Разделить угол пополам означает разрезать его на две равные части или углы. Допустим, мы хотим разделить пополам угол в 50 градусов, тогда мы разделим его на два угла по 25 градусов.

Теорема о биссектрисе угла

На рисунке выше пусть \(x+y=c\big(=\lvert\overline{BA}\rvert\big),\) и пусть \(\lvert\overline{CD}\rvert=e\) — длина биссектрисы угла \(C\).

В своей простейшей форме теорема о биссектрисе угла утверждает, что

\[\begin{array} &\frac{a}{x}=\frac{b}{y} &\text{ or } &ay=bx.\qquad (1) \end{array}\]

Теорема о биссектрисе угла также утверждает, что \(e,\) длина биссектрисы угла \(\overline{CD},\) удовлетворяет 92=аб-ху. \qquad (2) \]

Доказательство (1):

Применение правила синусов к \(\треугольнику BCD\) и \(\треугольнику ACD\) дает

\[\dfrac{a}{\sin\angle BDC}=\dfrac{x}{\sin\angle BCD}, ~~~~~\dfrac{b}{\sin\angle ADC}=\dfrac{ y}{\sin\угол ACD}.\]

Используя равенства \(\sin\угол ADC=\sin\left(\pi-\угол BDC\right)=\sin\угол BDC\) и \(\angle BCD=\угол ACD\) \((\ )так как \(CD\) — биссектриса угла\(),\) получаем

\[\dfrac{a}{x}=\dfrac{\sin\angle BDC}{\sin\angle BCD}=\dfrac{\sin\angle ADC}{\sin\angle ACD}=\dfrac{b {у},\] 92x}{ab}}-xy\\ &=аб-ху. \ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

Другое доказательство (1):

Рассмотрим \(\треугольник ABC\) и пусть \(AE\) — биссектриса \(\угол A\).

Теперь продолжим \(AE\) до \(D\) так, чтобы \(CD\) был параллелен \(AB\).

Тогда \(\угол ABE\) = \(\угол DCE\) и \(\угол BAE\) = \(\угол CDE,\), откуда следует

\[\треугольник ABE\sim \треугольник DCE.\]

Итак,

\[\dfrac{c}{x} = \dfrac{a}{y}.\]

Поскольку \(\угол BAE\) = \(\угол CDE\) = \(\угол CAE,\) по свойству равнобедренности \(a = b,\), откуда следует

\[\dfrac{c}{x} = \dfrac{b}{y}. \ _\квадрат\]

В \(\triangle{ABC}\), \(\lvert\overline{AB}\rvert=10, \lvert\overline{BC}\rvert=8, \lvert\overline{AC}\rvert=12\) . Пусть \(D\) — точка на стороне \(\overline{AB}\) такая, что \(\overline{CD}\) делит пополам \(\угол C\). Тогда какова длина \(\overline{AD}?\)

---

Пусть \(\lvert\overline{AB}\rvert=c, \lvert\overline{BC}\rvert=a, \lvert\overline{AC}\rvert=b, \lvert\overline{AD}\rvert =y, \lvert\overline{BD}\rvert=x\), то теперь мы ищем \(y. \)

Используя теорему о биссектрисе угла, \( \frac{y}{b}=\frac{x}{a}\implies \frac{y}{12}=\frac{x}{8}. \qquad (1 ) \)

Поскольку \(x+y=c\) или \(x=c-y,\) подставляется в \((1)\), мы получаем

\[\begin{выравнивание} \frac{y}{12}&=\frac{10-y}{8}\\\\ \Стрелка вправо y&=6. \ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

Следующий пример аналогичен предыдущему, но вместо этого мы находим длину \(e\) биссектрисы угла \(\overline{CD}\).

В \(\triangle{ABC}\), \(\lvert\overline{AB}\rvert=10, \lvert\overline{BC}\rvert=8, \lvert\overline{AC}\rvert=12\) . Пусть \(D\) — точка на стороне \(\overline{AB}\) такая, что \(\overline{CD}\) делит пополам \(\угол C\), тогда какова длина \(\overline {CD}?\)

---

В нашем предыдущем примере мы уже нашли \(\lvert\overline{AD}\rvert=6\) и \(\lvert\overline{BD}\rvert=4\).

Таким образом,

\[\begin{выравнивание} е &=\sqrt{ab-xy}\\ &= \sqrt{(8)(12)-(4)(6)}\\ &=6\кварт{2}. \ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

Нам дан треугольник со следующим свойством: один из его углов разделен на четыре части (делится на четыре равных угла) высотой, биссектрисой угла и медианой, проведенной из этой вершины.

Найдите градус четырехсекционной.

---

База разбита на четыре сегмента в соотношении \(x : x : y : 2x +y\).

Предположим, что длина левой стороны треугольника равна \(1\).
Тогда длина биссектрисы угла также равна \(1\).
Применяя теорему о биссектрисе угла к большому треугольнику, мы видим, что длина правой стороны равна

\[\dfrac{2x+2y}{2x}=1+\dfrac{y}{x}.\]

Но если мы применим теорему о биссектрисе угла к левой половине треугольника, мы получим \(\frac{2x+y}{y}= 1+\frac{2x}{y}\) для той же длины. Следовательно,

\[\dfrac{y}{x}=\dfrac{2x}{y} \подразумевается x:y=1:\sqrt2.\] 9\круг\) треугольник.

Таким образом, четырехгранный угол прямой. \(_\квадрат\)

В \(\треугольнике ABC\), \(\угол ABC = 30°.\) на \(\overline{AC}\) выбраны точки \(P\) и \(Q\) такие, что \(AP+ ВС=АВ+СQ\). Биссектриса внутреннего угла \(\угол ABC\) пересекает \(\overline{AC}\) в точке \(R\).