Задание 5 математика егэ профиль: Задание 5 ЕГЭ по математике профильный уровень

Задание №5. Простые уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Квадратные уравнения

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Показательная функция

Показательные уравнения

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения

Тригонометрический круг

Формулы приведения

Формулы тригонометрии

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое.

Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Получим:

или

Выбираем меньший корень.

Ответ: -6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Ответ: -6.

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Ответ: -2.

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Решим пропорцию:

Условие при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней).

В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

Ответ: 8.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов:

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

откуда

Ответ: 4.

8. Решите уравнение

Представим как

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Ответ: 12,5.

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел.

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как , чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

Ответ: 21.

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: -4.

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Ответ: 12.

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

Ответ: -2.

15. Решите уравнение: В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на .

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Ответ: 2.

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Решение 13 задания ЕГЭ по математике профиль: разбор задач по стереометрии

27-01-2023

Сдать госэкзамен по математике на высокий балл не так-то просто без подготовки. Причем мы говорим не только о посещении обязательных школьных занятий, но и о дополнительных курсах или самоподготовке. В цикле видео, где наш эксперт делает разбор 13 задания ЕГЭ по математике, вы познакомитесь с разделом стереометрии и оптимальным подходом к решению задач. Вместе со старшим экспертом ЕГЭ по математике и членом проверочной комиссии Михаилом Поповым вы подробно погрузитесь в тему.

Стереометрия ЕГЭ

Конечно, чтобы просто сдать госэкзамен и получить школьный аттестат, достаточно обладать базовыми знаниями по математике. Кому-то не дается стереометрия – ну и ладно! Ведь пара пропущенных задач не критично повлияют на результат. Ну будет 50 баллов, и достаточно.

А вот если вы решились поступать в один из сильнейших ВУЗов страны, придется попотеть и все-таки найти подход к этой науке. В первом обучающем видео преподаватель рассказывает, какие основные моменты следует учитывать в процессе решения задач ЕГЭ по стереометрии. Просто, понятно, без занудных терминов!

Задания ЕГЭ по стереометрии и новые разборы смотрите на нашем канале! Хотите заниматься с этим преподавателем? Запишитесь на бесплатный пробный урок в учебный центр Годограф.

Решение 13 задания ЕГЭ по математике профиль. Теория, часть 1

На какие отправные точки следует обратить внимание при изучении стереометрии:

расположение прямых в пространстве;
признак параллельности прямой и плоскости;
перпендикулярные прямая и плоскость;
признак параллельности плоскостей;

свойства параллельных плоскостей;
углы между параллельными и скрещивающимися прямыми.

Все эти и многие другие теоретические основы вы узнаете из второго ролика от Михаила Попова. Разбирая примеры задания 13 ЕГЭ по математике профильный уровень, педагог учебного центра Годограф показывает, как легко выучить теорию.

Бесплатный курс ЕГЭ и ОГЭ по математике 2023

Получи бесплатное видео в телеге

Получи бесплатный курс по математике

Что нужно знать для решения задания 13 ЕГЭ по профильной математике?

Расположение прямых в пространстве; признак параллельности прямой и плоскости; перпендикулярные прямая и плоскость; признак параллельности плоскостей; свойства параллельных плоскостей; углы между параллельными и скрещивающимися прямыми.

Что нужно делать в задании 13 ЕГЭ по профильной математике?

В задании требуется решить уравнение – тригонометрическое, рациональное, показательное, логарифмическое, уравнение с радикалом или смешанное уравнение, которое может содержать в себе несколько видов, например, логарифмы и тригонометрию.

Все статьи

примеров формирующего оценивания по математике | Houghton Mifflin Harcourt

Должны ли вы проверять учащихся каждые года, чтобы убедиться, что они успевают? Или каждые несколько минут , чтобы убедиться, что они брошены вызов и вовлечены? Ответ оба.

Хотя по всем предметам возникают трудности с оцениванием, математика представляет собой особую проблему. Ученики, которые отстают, сталкиваются со все большими пробелами, которые необходимо заполнить, а сверстники и наставники иногда увековечивают миф о том, являются они или не являются «математиками». Чтобы обеспечить прогресс в математике, важно каждый год уделять время тому, чтобы увидеть, продвигаются ли учащиеся в таких всеобъемлющих понятиях, как операции, уравнения и измерения. Также важно часто регистрироваться, чтобы обучение можно было точно настроить в соответствии с конкретными потребностями учащихся.

Как оценивать учащихся по математике

Существует множество способов оценивания учащихся по математике — от рабочих заданий до бесед в классе. Оценивание широко рассматривается как спектр, в котором суммативное и формирующее находятся на противоположных концах. Крупномасштабное оценивание, такое как выпускные экзамены или тесты государственного уровня, соответствует суммирующему оцениванию, при котором собирается информация об успеваемости учащихся по окончании единицы обучения. Формирующее оценивание обычно меньше по масштабу и проводится чаще. Другими словами, суммативное оценивание – это оценка из обучения, тогда как формирующее оценивание — это оценка для обучения.

Что такое формативная оценка?

Совет руководителей государственных школ (CCSSO) дает определение, которое с тех пор приняли многие образовательные органы: обучение студентов, чтобы улучшить понимание учащимися предполагаемых результатов дисциплинарного обучения и помочь учащимся стать самостоятельными учениками.

Обратите внимание на то, что формирующее оценивание представляет собой процесс, а не какой-либо конкретный вид оценивания. Формирующее оценивание не включает список типов оценивания, таких как «викторина» и «разминка»; скорее, существует ряд стратегий формативной оценки, которые могут быть реализованы во время обучения в классе, которые варьируются от неформальных наблюдений до целенаправленно запланированных методов, предназначенных для выявления доказательств обучения учащихся.

Примеры формирующего оценивания по математике

В этой статье обсуждаются различные примеры и стратегии формирующего оценивания по математике. Поскольку эффективное формирующее оценивание влияет как на ваше преподавание, так и на обучение ваших учащихся, приведенные ниже примеры будут выглядеть по-разному для разных учащихся и классов. Все эти примеры формативного оценивания можно интегрировать в ваш класс любым способом, который лучше всего подходит вам и потребностям ваших учащихся.

Выходные билеты по математике

Выходные билеты — это краткие вопросы или задачи, которые учителя задают ученикам в конце урока. Их часто используют как «билет» для выхода из класса. Они могут быть невероятно эффективными, потому что всего с одним или несколькими вопросами учителя получают так много контроля над тем, что находится в билете и что делать с информацией.

В частности, выходные билеты позволяют быстро выявить пробелы в знаниях. Например, простой вопрос, в котором учащимся предлагается решить уравнение, может быть больше, чем билет вне класса; он может демонстрировать ряд ошибок, таких как неправильный порядок операций или арифметические ошибки, и использоваться для определения фокуса во время следующего занятия. Наблюдение за ответами учащихся также может помочь определить группы учащихся, поскольку билеты должны помочь выяснить, кто понял сегодняшний урок, а кому завтра может потребоваться дополнительное внимание. Взгляните на некоторые билеты на выход ниже из наших В программу Math . Не стесняйтесь использовать их напрямую или адаптировать к своему классу!

Скачать выходной билет по математике (1–2 классы, дополнение)

Скачать выходной билет по математике (3–4 классы, нахождение частных)

Скачать выходной билет по математике (3–4 классы, распространяемая собственность)

Скачать выходной билет по математике (5–6 классы, оцените выражение)

Загрузить выходной билет по математике (алгебра 1)

Большой палец вверх/вниз

В идеале формирующее оценивание быстро и адаптивно проверяет успеваемость учащегося. Одна из техник, которую можно попробовать, состоит в том, чтобы учащиеся использовали технику «большой палец вверх/вниз». Обычно это выглядит так. Учитель представляет проблему или делает утверждение, а затем учащиеся реагируют, используя большой палец. Большой палец вверх означает: «У меня есть это». Большой палец вниз означает: «Я в замешательстве». Это может быть быстрый способ разделить учащихся на группы или определить, можете ли вы продолжить урок или вам нужно остановиться и замедлить темп. Это также способ добавить физического движения в класс, потенциальная помощь в обучении. В 9-й книге Джуди Уиллис 2007 г.0003 Стратегии, дружественные к мозгу, для класса инклюзии , она поясняет, что простое действие, когда учащиеся физически жестикулируют руками, «имеет дополнительное преимущество, заключающееся в связывании изучаемого материала с сенсорным вводом, тем самым расширяя доступ к банкам памяти мозга. ”

Есть много способов расширить эту идею. Выражения «большой палец вниз» могут иметь разное значение, например, реакция «большой палец вниз» на одну проблему может означать «решение неверно». Многие учителя включают большой палец в середину (то есть, указывая в сторону) для учеников, которые чувствуют себя между поднятыми и опущенными большими пальцами. Студенты также могут использовать другие жесты рук, например, подняв три пальца, чтобы сказать: «Мне есть что сказать». В конечном итоге вам решать, что означают жесты рук и когда вы хотите их использовать.

Обсуждения в классе

Обсуждения сами по себе не обязательно являются оценками. Но они могут быть! Обсуждения могут выявить неправильные представления и помочь учителям понять, чему учить дальше. Общение в классе со студентами и между ними может быть формой формирующего оценивания. Учителя должны постоянно принимать ежеминутные решения в классе, например: «Должен ли я задать дополнительный вопрос?» или «какой другой способ показать эту концепцию?» Обсуждения в классе — это способ, с помощью которого учителя быстро дают ответы, проверяют знания учащихся и выясняют, что делать дальше.

То, что обсуждения в классе не формальны, не означает, что к ним нельзя подготовиться. Учителя могут встраивать возможности формативной оценки в беседы в классе, продумывая, какие вопросы использовать. Быть осведомленным о наиболее распространенных ошибках ваших учеников и обращаться к руководствам для преподавателей программы может быть неоценимым.

Домашнее задание

Структура и периодичность домашних заданий, несомненно, различаются в зависимости от учащегося, учителя и школы. Однако, когда это позволяет обстановка в классе, домашнюю работу не нужно оценивать по успеваемости, вместо этого ее можно использовать в качестве инструмента, позволяющего учащимся обдумывать проблемы в своем собственном темпе, а вам — проверять их сильные стороны и проблемы. Домашнее задание становится фактически руководством для вашего обучения. Профессор образования Кэти Ваттеротт предлагает свою точку зрения в Переосмысление домашнего задания: передовой опыт, отвечающий различным потребностям : «Существующее мнение состоит в том, что домашнее задание должно быть формирующим оцениванием, которое помогает подготовить учащихся к итоговому оцениванию. Таким образом, в действительно основанной на стандартах системе домашнее задание не оценивается [но] проверяется и дается обратная связь».

Таким образом, домашняя работа обычно не является зубрежкой того, что было изучено на уроке. Вместо этого это становится способом для студентов самостоятельно исследовать новые идеи. На самом деле, домашнее задание не всегда должно быть напрямую связано с изучаемым навыком или концепцией! Домашнее задание может дать учащимся возможность глубже изучить интересующие их темы, которые уже тесно связаны с математикой, например, спорт, домостроение, дизайн одежды или предпринимательство.

Опросы

Пытаетесь выяснить, что ваши ученики должны делать дальше? Спроси их! Опросы можно проводить во время или после любого занятия в классе. Они также хорошо работают независимо от того, проводится ли обучение лично или онлайн. Они могут варьироваться от вариации билета на выход («Как вы думаете, какое решение?») до метакогнитивных размышлений («Как вы относитесь к этой математической теме?»).

Опросы — очень гибкий инструмент. Учителя могут использовать опросы для удовлетворения многих конкретных учебных целей. Например, опросы могут делать следующее:

Дайте учителю возможность проверить статус, опросив учащихся о доверии
Стимулируйте обсуждение вопросами, имеющими несколько разумных ответов
Быстрая оценка предыдущих знаний
Выявите неправильное представление то, как используются опросы, может способствовать активации других стратегий формативной оценки.
Диаграмма KWL
Диаграмма KWL — это инструмент, который учащиеся могут использовать для систематизации своих знаний. Его можно широко использовать по любому предмету, поскольку он помогает учащимся синтезировать что они знают (K), что они хотят знать (W) и что они узнали (L) по теме. На уроках математики диаграмма KWL может быть ценной возможностью для учащихся сделать шаг назад и поразмышлять над своим обучением, не думая, что математика — это просто «последовательность шагов», а скорее мир взаимосвязанных идей.
Таблица KWL полезна в качестве формирующего оценивания в классе. Это позволяет учителю узнать о предыдущих знаниях учащихся по определенной теме, а затем подготовить предстоящие уроки на основе этой информации. Таблицу KWL можно заполнить при начале новой темы и добавлять в течение всего модуля. Кроме того, при планировании на год учитель может узнать, что ученики узнали к концу уроков.
Цифровые игры и приложения
Цифровые развлечения для учащихся, будь то образовательные видеоигры (такие, как те, что можно найти в Math Expressions или Math 180 ), приложения для занятий математикой (включая наш собственный Waggle ) или что-то среднее между ними. может быть динамичным способом оценки учащихся. Иногда оценивает само программное обеспечение, когда на основе результатов одного уровня или действия приложение определяет, что студент должен делать дальше. Цифровой и онлайн-опыты имеют дополнительное преимущество, поскольку большинство учащихся найдут в нем безопасную и позитивную учебную среду, а те, кто борется с трудностями в традиционной классной среде, будут процветать.
Кроме того, многие цифровые игры и приложения предоставляют учителям данные обо всем, от успеваемости по учебной программе до мышления учащихся. Эти данные также могут превратить цифровой опыт в формирующую оценку, помогая учителям определить, что делать дальше. Подумайте о проблемах формирования эффективных малых групп и о том, что с ними делать. Готовы ли студенты к новым понятиям? Или переобучение в порядке вещей? Автоматически генерируемые данные помогают учителям дифференцировать обучение в зависимости от обучения их учеников.
Опробование стратегий
Эти стратегии не работают по отдельности. Они предназначены для того, чтобы помочь вам определить, на каком этапе математического прогресса находятся учащиеся и как вам следует подготовить их к успеху. Попробуйте их со своими учениками, и если одна стратегия не сработает, попробуйте другую!
***
Для формирующего оценивания по математике и способов адаптации обучения изучите HMH Into Math и Into AGA , где учащиеся становятся бесстрашными решателями задач.
12.4. Объяснение ответов с несколькими вариантами ответов — Руководство для учащихся Open edX: Документация по выпуску мускатного ореха
Если вы сталкиваетесь с вопросом с несколькими вариантами ответов, за которым следует поле для объяснение, на самом деле есть еще несколько шагов, которые вам нужно выполнить для задания. Эти задания включают в себя обмен тем, что вы узнали с другими людьми в вашем онлайн-курсе. Они дают вам возможность учиться друг от друга.
В классной комнате этот тип задания иногда называют «одноклассником». инструкция» или «кликер» вопрос.
В этом разделе описывается, как выполнять эти интерактивные задания.
- Обзор назначений
- Выполнение задания
  - Шаг 1. Объясните свой выбор
  - Шаг 2. Просмотрите другие первоначальные ответы
  - Шаг 3. Пересмотрите свой ответ
  - Шаг 4. Проверьте правильный ответ
  - Шаг 5. Сравните ответы
Если вопрос с множественным выбором также требует объяснения, следующий шаг в задание состоит в том, чтобы поделиться обоснованием вашего ответа с другими учащимися, и увидеть варианты и объяснения, которыми поделились другие учащиеся.
Имена не отображаются с ответами. В результате вы можете сосредоточиться на предоставление наилучшего возможного ответа, не беспокоясь о том, рассуждения, или ваше правописание, совершенно правильно.
Затем вы можете применить то, чему научились у других: у вас есть другой возможность ответить на вопрос.
В задании этого типа вы видите вопрос с несколькими вариантами ответов. После Вас выберите ответ, выполнив эти шаги.
12.4.2.1. Шаг 1. Объясните свой выбор
Напишите объяснение, почему вы выбрали свой ответ.
Этот шаг — ваша возможность представить убедительный аргумент в пользу того, почему ваш ответ правильный. Вы можете включить ссылки на видео курса или учебнике или опишите, как вы пришли к тому выбору, который сделали.
Вместе выбранный вами ответ и это объяснение являются вашим начальным ответ. При выборе Далее , ваш первоначальный ответ будет добавлен в сбор первоначальных ответов всех остальных участников курса.
12.4.2.2. Шаг 2. Просмотрите другие первоначальные ответы
Просмотрите первоначальные ответы, отправленные другими участниками курса. Команда курса решает, сколько вы увидите. Вы можете увидеть один ответ для каждого из возможных вариантов ответа, или набор, который выбирается совершенно случайно.
Этот шаг дает вам возможность научиться из объяснений, которые другие учащиеся представленных, и переоцените свое собственное понимание темы.
Поскольку они являются частью набора первоначальных ответов, ваш ответ и объяснение, вероятно, будет показано другим учащимся, когда они доберутся до этой части задания.
12.4.2.3. Шаг 3. Пересмотрите свой ответ
Решите, хотите ли вы изменить свой первоначальный ответ, выбрав другой вариант ответа, пересмотр вашего объяснения или и то, и другое.

Задание №5. Простые уравнения. Профильный ЕГЭ по математике