Задание 11 ЕГЭ по математике Профиль. Исследование функций
Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.
Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:
Нахождение точек максимума и минимума функций
Исследование сложных функций
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
Нахождение точек максимума и минимума функций
1. Найдите точку максимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю. Получим:
Исследуем знаки производной.
В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Ответ: 17.
2. Найдите точку минимума функции
Найдем производную функции.
Приравняем производную к нулю.
Определим знаки производной.
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Ответ: 1.
Исследование сложных функций
3. Найдите точку максимума функции
Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.
при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .
Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.
Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при
Ответ: — 4.
4. Найдите абсциссу точки максимума функции
Напомним, что абсцисса — это координата по
Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.
Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции
Это вершина квадратичной параболы
Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке
5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.
Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.
Найдем знаки производной.
В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.
Ответ: 12.
6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
при
Найдем знаки производной.
Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому
и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.
Ответ: -11.
7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.
Мы применили формулу для логарифма произведения. при
Если то Если , то
Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке
Ответ: 4.
8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции
Приравняем производную к нулю:
. Поскольку если
Найдем знаки производной на отрезке
При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции
Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и
Мы нашли, что
Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ: 4.
9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].
Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:
Найдем производную функции
если Тогда
При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции
Ответ: -7.
10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.
По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки
В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при
Ответ: 12.
11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.
Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.
Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при
Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при
Ответ: 6
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Публикация обновлена: 09.03.2023
Как решать задания на производную в ЕГЭ? 11 задание профиль
По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.
Производная на ЕГЭ по математике. Как решать задание № 11?Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!
Почему задания на производную решает только 40% выпускников?
Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.
Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.
Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.
Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике
В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.
Два прототипаСначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.
Поиск точек экстремума
Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:
Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.
Поиск наибольшего / наименьшего значения функции
Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.
Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ
Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!
Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.
Разбираем лайфхак на примере
Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.
Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.
Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.
При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.
В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!
- Учите производную
- Пользуйтесь алгоритмами
- Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!
Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!
TABE 11 и 12 Оценка взрослых
TABE® работает на основе DRC INSIGHT™, ведущей в отрасли онлайн-системы оценки, которая уже предоставляет надежные оценки более чем половине США. С помощью DRC INSIGHT вы можете повысить гибкость и надежность своей программы тестирования, с той же мерой успеваемости, которую вы знаете и доверяете TABE.
ТАБЛИЦА 11 и 12
- Сокращенное время тестирования для ТАБЛИЦЫ 11 и 12.
- Согласование с новыми стандартами готовности к колледжу и карьере и дескрипторами NRS.
- Соответствует современным строгим положениям Закона об инновациях и возможностях для рабочей силы (WIOA).
- Веб-инструмент для сканирования поддерживает отчеты и передачу данных, устраняя необходимость ручного ввода данных.
- Улучшенный локатор готовит учащихся к тестированию.
- Связь TABE 11 и 12 с эквивалентом средней школы и поступлением в высшие учебные заведения.
ТАБЛИЦА 11 и 12 Грамотность
Содержание подчеркивает интеграцию и применение учебных навыков в контекстах, значимых для взрослых испытуемых. Грамотность является ключевым фактором для взрослых учащихся, и TABE 11 и 12 измеряет ее по этим трем ключевым типам.
- Базовые навыки
- Литературные тексты
- Информационные тексты
ТАБЛИЦА 11 и 12 Чтение
Содержание отражает зрелые, жизненные и рабочие ситуации и подчеркивает пересекающиеся цели, от навыков понимания слов до навыков критического мышления.
ТАБЛИЦА 11 и 12 Язык
Целью обучения взрослых языку является развитие коммуникативных навыков, необходимых для эффективного функционирования на работе и в повседневной жизни.
TABE 11 и 12 Математика
Содержание отражает применение математики, особенно рутинные задачи, такие как оценка величин и выполнение вычислений, связанных со временем, расстоянием, весом и т. д.
TABE 11 и 12 Чтение образцов элементов 11 и 12 Образцы элементов чтения M
TABE 11 и 12 Образцы элементов чтения D
TABE 11 и 12 Образцы элементов чтения A
TABE 11 и 12 Образцы элементов языка
Tabe 11 и 12 Языков. Образец элементов E
Tabe 11 и 12 Языковые образцы. Образец языка M
Tabe 11 и 12 Язык. Образец. Элементы M
TABE 11&12 Math Sample Items D
TABE 11&12 Math Sample Items A
TABE 11&12 Blueprints
Уровень A
Уровень D
Уровень E
Уровень L
Уровень M
Tabe 11 и 12 Blueprints математики
Уровень A
Уровень D
Уровень E
Level
Level M
.
Уровень D
Уровень E
Уровень L
Уровень M
Tabe 11 и 12 Письмо.0003 Нажмите здесь для онлайн-инструментов. Нажмите здесь , чтобы узнать, почему специалисты в области образования взрослых полагаются на TABE больше, чем на любую другую систему оценивания взрослых в стране. Оценка по математике и счету — это больше, чем формирование суждений о способностях учащегося. Он отслеживает понимание учащимся математического языка, концепций и навыков, а также того, что им нужно делать, чтобы добиться успеха. Для этого требуется: Подготовить обучение учащихся по математике является основной задачей учителей. Учителям нужна точная информация о том, что каждый ученик уже знает, и при поддержке, что может быть в пределах досягаемости ученика. Прогресс обучения математике Викторианской эпохи описывает последовательность наблюдаемых показателей все более сложного понимания и навыков в 15 ключевых концепциях арифметики. Прогрессии: Прогресс обучения счету не является учебным планом. См. Викторианскую учебную программу: математика для описания содержания и стандартов успеваемости. Каждый этап обучения включает в себя ряд шагов развития, предусмотренных в промежутке. Каждый шаг иллюстрирует наблюдаемую прогрессию обучения. Например, количественная оценка чисел включает 12 шагов в диапазоне от основания до уровня 6, а работа с десятичными дробями состоит из четырех шагов в диапазоне от уровня 4 до уровня 7. Чтобы помочь учителям понять и использовать прогресс в обучении арифметике, каждый прогресс был сопоставлен с викторианской учебной программой F – 10: Континуум математики. Каждая строка показывает количество шагов в процессе обучения и их отношение к каждому уровню. Для арифметики подзаголовок каждого шага также был включен для поддержки использования учителем. Платформа оценки знаний – это помощь учителям в оценке успеваемости всех учащихся и поддержка более целенаправленных методов обучения. Доступ к этой онлайн-платформе могут получить учителя государственных школ. Ресурсы, поддержка и инструменты на платформе поддерживают высококачественные методы оценки и предоставляют учителям информацию, которую они могут использовать для удовлетворения учебных потребностей учащихся по мере их продвижения по континууму обучения. Цифровая библиотека оценивания (DAL) предоставляет ряд онлайн-инструментов оценивания в классе по математике. Эти оценки предназначены для предоставления значимой и своевременной информации о навыках, знаниях и понимании учащихся по трем направлениям математики. Ресурс Scaffolding numeracy in the Middle Years (SNMY) позволяет практикам получить доступ к оценочным материалам, системе обучения и оценки для мультипликативного мышления (LAF), планам обучения, аутентичным задачам и результатам исследований из проект, в котором исследовался новый подход к улучшению навыков счета учащихся с 4 по 8 классы, основанный на оценивании. Система обучения и оценки мультипликативного мышления (LAF) была разработана на основе исследований, проведенных в рамках проекта SNMY. LAF помогает объединить все ключевые идеи, стратегии и представления умножения и деления, необходимые для уверенной работы с целыми числами, дробями, десятичными дробями и процентами в широком диапазоне контекстов. Он связан с обширными оценочными заданиями, используемыми для оценки мультипликативного мышления, и содержит подробные рекомендации по применению в обучении. Инструменты Оценки распространенных недоразумений (ACM) основаны на серии тестовых заданий, разработанных в учебных целях для определения потребностей в обучении в Number. Руководство по зондированию включает в себя ряд задач и ресурсов, организованных для устранения распространенных недоразумений. Оценка по математике и счету
Платформа оценки знаний
Цифровая библиотека оценивания
Scaffolding numeracy in the Middle Years
Система обучения и оценки мультипликативного мышления
Оценка распространенных недоразумений
Leave A Comment