Задание 11 ЕГЭ по математике Профиль. Исследование функций

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

Исследуем знаки производной.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

Определим знаки производной.

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

при

Найдем знаки производной.

Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при

Если  то  Если , то 

Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю:

. Поскольку если

Найдем знаки производной на отрезке

При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

Мы нашли, что

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции

если Тогда

 При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что  для всех , и функция монотонно возрастает при

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при

Ответ: 6

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.

Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Как решать задания на производную в ЕГЭ? 11 задание профиль

По мнению выпускников, задание № 11 — самое сложное в первой части ЕГЭ по математике. Ведь там… производная! На деле не стоит бояться — все задания можно решить, зная только 2 алгоритма. В этой статье я о них расскажу! А еще поделюсь полезным лайфхаком, как решать некоторые задания на производную в ЕГЭ, вообще не используя алгоритм и экономя драгоценное время.

Производная на ЕГЭ по математике. Как решать задание № 11?

Хочешь круто подготовится к ЕГЭ по математике? Тебе поможет учебный центр MAXIMUM! Все наши преподаватели сами сдавали этот экзамен на хороший балл. Мы ежегодно изучаем изменения ФИПИ и корректируем курсы, исходя из этого. Читай подробнее про наши курсы и выбирай подходящий!

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Два прототипа

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Перейдём ко второму прототипу, в котором нужно найти наибольшее/наименьшее значение функции. Интересно, что второй прототип можно отличить даже визуально, потому что кроме самой функции вам будет дан ещё промежуток, ограничивающий функцию в двух точках [a; b]. Так как мы про эти точки ничего не знаем, их придётся дополнительно учитывать. В остальном начало этого алгоритма будет совпадать с предыдущим. Начинать всегда будем именно с точек экстремума, потом проверим, как ведёт себя функция в каждой точке экстремума, а также в начале и конце заданного промежутка, и в итоге запишем в ответ нужное значение функции.

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Лайфхак, которые мы рассмотрим сегодня, будет опираться на знание формата экзамена. № 11 – задание из части с кратким ответом, ответ на который мы пишем в клеточки на бланке, а чего в этих клеточках не может быть? Очевидно, что бесконечную дробь, буквы 𝑒, ln(…), log(…), 𝜋, sin𝑥, бесконечность и прочие знаки мы не сможем записать, и это очень сильно упрощает нам задачу.

Разбираем лайфхак на примере

Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.

Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.

Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.

При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.

В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

  • Учите производную
  • Пользуйтесь алгоритмами
  • Не забывайте про крутые лайфхаки, но будьте внимательны, применяя их!

Если хочешь разобраться в остальных темах по математике и не только, почитай другие статьи в блоге и обрати внимание на наши онлайн-курсы. Уже более 150 тысяч выпускников подготовились с нами к ЕГЭ. Кстати, у меня на курсах MAXIMUM тоже можно поучиться!

TABE 11 и 12 Оценка взрослых

TABE® работает на основе DRC INSIGHT™, ведущей в отрасли онлайн-системы оценки, которая уже предоставляет надежные оценки более чем половине США. С помощью DRC INSIGHT вы можете повысить гибкость и надежность своей программы тестирования, с той же мерой успеваемости, которую вы знаете и доверяете TABE.

ТАБЛИЦА 11 и 12

  • Сокращенное время тестирования для ТАБЛИЦЫ 11 и 12.
  • Согласование с новыми стандартами готовности к колледжу и карьере и дескрипторами NRS.
  • Соответствует современным строгим положениям Закона об инновациях и возможностях для рабочей силы (WIOA).
  • Веб-инструмент для сканирования поддерживает отчеты и передачу данных, устраняя необходимость ручного ввода данных.
  • Улучшенный локатор готовит учащихся к тестированию.
  • Связь TABE 11 и 12 с эквивалентом средней школы и поступлением в высшие учебные заведения.

ТАБЛИЦА 11 и 12 Грамотность
Содержание подчеркивает интеграцию и применение учебных навыков в контекстах, значимых для взрослых испытуемых. Грамотность является ключевым фактором для взрослых учащихся, и TABE 11 и 12 измеряет ее по этим трем ключевым типам.

  • Базовые навыки
  • Литературные тексты
  • Информационные тексты

ТАБЛИЦА 11 и 12 Чтение
Содержание отражает зрелые, жизненные и рабочие ситуации и подчеркивает пересекающиеся цели, от навыков понимания слов до навыков критического мышления.

ТАБЛИЦА 11 и 12 Язык
Целью обучения взрослых языку является развитие коммуникативных навыков, необходимых для эффективного функционирования на работе и в повседневной жизни.

TABE 11 и 12 Математика
Содержание отражает применение математики, особенно рутинные задачи, такие как оценка величин и выполнение вычислений, связанных со временем, расстоянием, весом и т. д.

TABE 11 и 12 Чтение образцов элементов 11 и 12 Образцы элементов чтения M
TABE 11 и 12 Образцы элементов чтения D
TABE 11 и 12 Образцы элементов чтения A

TABE 11 и 12 Образцы элементов языка
Tabe 11 и 12 Языков. Образец элементов E
Tabe 11 и 12 Языковые образцы. Образец языка M
Tabe 11 и 12 Язык. Образец. Элементы M
TABE 11&12 Math Sample Items D
TABE 11&12 Math Sample Items A

TABE 11&12 Blueprints

TABE 11&12 Language Blueprints
Уровень A
Уровень D
Уровень E
Уровень L
Уровень M

Tabe 11 и 12 Blueprints математики
Уровень A
Уровень D
Уровень E
Level
Level M

.
Уровень D
Уровень E
Уровень L
Уровень M

Tabe 11 и 12 Письмо.0003

  • Если программа DRC INSIGHT установлена, откройте программу «DRC INSIGHT Online Assessments» со своего рабочего стола (или из другого места, если во время установки было указано другое место).
  • Если DRC INSIGHT не установлен, доступ к OTT можно получить с помощью Google Chrome здесь. Google Chrome необходим для лучшей имитации функциональности безопасного браузера DRC INSIGHT.
  • Выберите «Обучение онлайн-инструментам» на главной странице.
  • Выберите «ОТТ на английском языке» на странице обучения онлайн-инструментам.
  • Выберите тему ОТТ из представленных.
  • Введите имя пользователя и пароль, отображаемые на экране.
  • Следуйте инструкциям на экране, чтобы взять OTT и испытать TABE в DRC INSIGHT.

Нажмите здесь для онлайн-инструментов.

Нажмите здесь , чтобы узнать, почему специалисты в области образования взрослых полагаются на TABE больше, чем на любую другую систему оценивания взрослых в стране.

Оценка по математике и счету

Оценка по математике и счету — это больше, чем формирование суждений о способностях учащегося. Он отслеживает понимание учащимся математического языка, концепций и навыков, а также того, что им нужно делать, чтобы добиться успеха.

Для этого требуется:

  • понимание того, как развивается обучение
  • какие навыки и знания необходимы учащимся для прогресса
  • распространенные заблуждения, которые могут задержать обучение.

Подготовить обучение учащихся по математике является основной задачей учителей.

Учителям нужна точная информация о том, что каждый ученик уже знает, и при поддержке, что может быть в пределах досягаемости ученика.

Прогресс обучения математике Викторианской эпохи описывает последовательность наблюдаемых показателей все более сложного понимания и навыков в 15 ключевых концепциях арифметики.

Прогрессии:

  • дают учителям четкое представление об обучении счету
  • помогают облегчить профессиональное обучение навыкам счета в школах.

Прогресс обучения счету не является учебным планом. См. Викторианскую учебную программу: математика для описания содержания и стандартов успеваемости.

Каждый этап обучения включает в себя ряд шагов развития, предусмотренных в промежутке. Каждый шаг иллюстрирует наблюдаемую прогрессию обучения. Например, количественная оценка чисел включает 12 шагов в диапазоне от основания до уровня 6, а работа с десятичными дробями состоит из четырех шагов в диапазоне от уровня 4 до уровня 7.

Чтобы помочь учителям понять и использовать прогресс в обучении арифметике, каждый прогресс был сопоставлен с викторианской учебной программой F – 10: Континуум математики. Каждая строка показывает количество шагов в процессе обучения и их отношение к каждому уровню. Для арифметики подзаголовок каждого шага также был включен для поддержки использования учителем.

Платформа оценки знаний


 Платформа оценки знаний – это помощь учителям в оценке успеваемости всех учащихся и поддержка более целенаправленных методов обучения. Доступ к этой онлайн-платформе могут получить учителя государственных школ.

Ресурсы, поддержка и инструменты на платформе поддерживают высококачественные методы оценки и предоставляют учителям информацию, которую они могут использовать для удовлетворения учебных потребностей учащихся по мере их продвижения по континууму обучения.

  • Онлайн-интервью по математике (MOI) — оценивает знания, навыки и стратегии учащихся в отношении ключевых точек роста математики — в таких направлениях, как числа и алгебра, измерения и геометрия.
  • Дроби и десятичные числа Онлайн-интервью – оцените математическое понимание и стратегии дробей, десятичных знаков, отношений и процентов. Он предназначен для учащихся 5–8-х классов, но полезен для оценки успевающих учащихся 4-х классов или учащихся из групп риска 10-х классов.

Цифровая библиотека оценивания


Цифровая библиотека оценивания (DAL) предоставляет ряд онлайн-инструментов оценивания в классе по математике. Эти оценки предназначены для предоставления значимой и своевременной информации о навыках, знаниях и понимании учащихся по трем направлениям математики.

Scaffolding numeracy in the Middle Years

Ресурс Scaffolding numeracy in the Middle Years (SNMY) позволяет практикам получить доступ к оценочным материалам, системе обучения и оценки для мультипликативного мышления (LAF), планам обучения, аутентичным задачам и результатам исследований из проект, в котором исследовался новый подход к улучшению навыков счета учащихся с 4 по 8 классы, основанный на оценивании.

Система обучения и оценки мультипликативного мышления

Система обучения и оценки мультипликативного мышления (LAF) была разработана на основе исследований, проведенных в рамках проекта SNMY. LAF помогает объединить все ключевые идеи, стратегии и представления умножения и деления, необходимые для уверенной работы с целыми числами, дробями, десятичными дробями и процентами в широком диапазоне контекстов. Он связан с обширными оценочными заданиями, используемыми для оценки мультипликативного мышления, и содержит подробные рекомендации по применению в обучении.

Оценка распространенных недоразумений

Инструменты Оценки распространенных недоразумений (ACM) основаны на серии тестовых заданий, разработанных в учебных целях для определения потребностей в обучении в Number. Руководство по зондированию включает в себя ряд задач и ресурсов, организованных для устранения распространенных недоразумений.

  • VCAA On Demand Testing — Математика — ресурсы, в которых тесты предназначены для связи учебного плана и стандартов.