Как решать задание 19 ЕГЭ по математике базового уровня – разбор заданий

Единый государственный экзамен по математике базового уровня состоит из 20 заданий. В задании 19 проверяются навыки работы с цифровой записью числа. Школьник должен знать признаки делимости чисел на простые и составные числа и уметь применять их для решения различных задач. Здесь вы можете узнать, как решать задание 19 ЕГЭ по математике базового уровня, а также изучить примеры и способы решения на основе подробно разобранных заданий.

ЕГЭ база все задания (263) ЕГЭ база задание 1 (5) ЕГЭ база задание 2 (6) ЕГЭ база задание 3 (45) ЕГЭ база задание 4 (33) ЕГЭ база задание 5 (2) ЕГЭ база задание 6 (44) ЕГЭ база задание 7 (1) ЕГЭ база задание 8 (12) ЕГЭ база задание 10 (22) ЕГЭ база задание 12 (5) ЕГЭ база задание 13 (20) ЕГЭ база задание 15 (13) ЕГЭ база задание 19 (23) ЕГЭ база задание 20 (32)

Все заданияЕГЭ база все задания (263)ЕГЭ база задание 1 (5)ЕГЭ база задание 2 (6)ЕГЭ база задание 3 (45)ЕГЭ база задание 4 (33)ЕГЭ база задание 5 (2)ЕГЭ база задание 6 (44)ЕГЭ база задание 7 (1)ЕГЭ база задание 8 (12)ЕГЭ база задание 10 (22)ЕГЭ база задание 12 (5)ЕГЭ база задание 13 (20)ЕГЭ база задание 15 (13)ЕГЭ база задание 19 (23)ЕГЭ база задание 20 (32)

Приведите пример трёхзначного/четырехзначного натурального числа, кратного N, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите наименьшее трёхзначное число, которое при делении дает разные остатки и которое записано тремя различными нечётными цифрами.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите четырёхзначное натуральное число, большее A, но меньшее B, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное N, у которого произведение его цифр равно K.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите наименьшее пятизначное число, кратное N, произведение цифр которого больше A, но меньше B.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.


Найдите четырёхзначное число, кратное N, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Трёхзначное число при делении на 10 даёт в остатке K. Если последнюю цифру числа перенести в начало его записи, то полученное число будет на N больше первоначального. Найдите исходное число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна N, если известно, что его квадрат делится на K.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Цифры четырёхзначного числа, кратного N, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили ABCD. Приведите ровно один пример такого числа.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найти четырехзначное число, кратное N, любые две соседние цифры которого отличаются на K. В ответе укажите любое такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите четырёхзначное число, кратное N, произведение цифр которого равно K. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами A и B и делится на N. В ответе укажите ровно (какое-нибудь) одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: сумма цифр числа А делится на N; сумма цифр числа (А + K) также делится на N; число А меньше/больше L. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа A делится на N; сумма цифр числа A + K делится на N. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите пятизначное число, кратное N, любые две соседние цифры которого отличаются на K. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите трехзначное натуральное число, большее N, которое при делении на A, на B и на C дает в остатке K. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Найдите трёхзначное число, кратное N, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на A, но не делится на B.

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на M и на N даёт равные ненулевые остатки и первая справа (первая слева, средняя) цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Приведите пример четырёхзначного числа, кратного N, произведение цифр которого больше A, но меньше B. В ответе укажите ровно одно такое число.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 19.

Показать еще статьи

Задание №19 ЕГЭ по математике базового уровня с решением

Задание №19 ЕГЭ по математике весьма необычно. Для его решения необходимо применить знания в области теории чисел. Тем не менее, задание является весьма решаемым, однако для школьников с оценкой хорошо и ниже я рекомендовал бы оставить это задание на последнюю очередь. Перейдем к рассмотрению типового варианта.

Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике базового уровня

Вариант 19МБ1

Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь оно такое число.

Алгоритм выполнения:
  1. Ввести условные обозначения.
  2. Записать условия с помощью условных обозначений.
  3. Преобразовать полученные выражения.
  4. Логически рассуждая перебрать все возможные варианты, проверить их соответствие условиям.
Решение:

Обозначим первую цифру числа x, а вторую – y. Тогда третье число с учетом суммы цифр равной 20 будет равно 20 – (x + y). (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится.

По условию сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Запишем сумму квадратов цифр:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2

Преобразуем полученное выражение. Преобразуем квадрат разности с учетом формулы приведения.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(20 – (x + y))2 = 400 -40(x + y) + (x + y)2

Подставим получившееся выражение в начальное, получим:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2 = x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + (x + y)2

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

Подставим:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2 = x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + (x + y)2 = x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + x2 + 2xy + y2

Приведем подобные слагаемые(сложим x2 с x2 и y2 с y2), получим:

x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + x2 + 2xy + y2 = 2x 2 + 2y2 + 2 · 200 — 2 · 20(x + y) + 2xy

Вынесем множитель 2 за скобку:

2x 2 + 2y2 + 2 · 200 — 2 · 20(x + y) + 2xy = 2(x 2 + y2 + 200 — 20(x + y) + xy)

Для удобства объединим 200 и 20(x + y) и вынесем 20 за скобку, получим:

2(x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy)

Множитель 2 – четный, поэтому он никак не влияет на делимость на 3 или 9. Можем его не брать в расчет и рассматривать выражение:

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy

Предположим, что и x, и y делятся на 3. Тогда x 2 + y2 + xy делится на 3, а 20(10 — (x + y)) – не делится. Следовательно, и вся сумма x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy на 3 не делится.

Предположим, что на 3 делится только одна цифра. Тогда, учитывая, что (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится, подберем возможные пары.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом подстановки проверим, соответствуют эти пары условию.

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 3 2 + 82 + 20(10 — (3 + 8)) + 3 · 8 = 9 + 64 – 20 + 24 = 77

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 2 + 52 + 20(10 — (6 + 5)) + 6 · 5 = 36 + 25 – 20 + 30 = 71

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 2 + 72 + 20(10 — (6 + 7)) + 6 · 7 = 36 + 49 – 60 + 42 = 67

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 2 + 82 + 20(10 — (6 + 8)) + 6 · 8 = 36 + 64 – 80 + 48 = 68

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 9 2 + 22 + 20(10 — (9 + 2)) + 9 · 2 = 81 + 4 – 20 + 18 = 83

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 9 2 + 42 + 20(10 — (9 + 4)) + 9 · 4 = 81 + 16 – 60 + 36 = 73

Ни одна из полученных сумм не удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9».

Следующие пары можно не проверять, так как они дают уже имеющиеся тройки цифр.

Предположим, что ни одна из цифр числа не делится на 3.

Возможные пары:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Проверим:

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 4 2 + 72 + 20(10 — (4 + 7)) + 4 · 7 = 16 + 49 – 20 + 28 = 73

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 5 2 + 72 + 20(10 — (5 + 7)) + 5 · 7 = 25 + 49 – 40 + 35 = 69

Сумма 69 удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9». Следовательно, подходят цифры 5,7,8 в любом порядке.

Ответ: 578

Вариант 19МБ2

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения:
  1. Вспомнить признак делимости на 10.
  2. Разместить последние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось 10.
  3. Расположить оставшиеся карточки в произвольном порядке.
Решение:

1. Если сумма делится на 10 нацело, то последняя цифра должна быть 0, остальные цифры значения не имеют.

2. В первый квадрат поместим цифру 1, в следующем числе на последнем месте – цифру 3 (или 6), а в третьем – цифру 6 (или 3), получим (сумма 1+3+6=10):

3. Остальные цифры заполним произвольно, например, так:

и получится сумма

1+23+996 = 1020.

Ответ: 1020

Вариант 19МБ3

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 2; 3; 5; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 20. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения:
  1. Вспомнить признак делимости на 10 и сформулировать признак делимости на 20.
  2. Разместить последние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось 10.
  3. Разместить предпоследние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось четное число в результате с учетом суммы первых цифр.
  4. Расположить оставшиеся карточки в произвольном порядке.
Решение:

1. Чтобы сумма делилась на 20, она должна заканчиваться на 0 и вторая цифра с конца должна быть четной (делиться на 2). Чтобы в конце суммы получить 0, первые три карточки следует выбрать так:

2. Чтобы вторую цифру получить четной, можно взять карточки 2 и 7 (к ней будет добавляться еще 1 от первой суммы 10):

3. В последнее место помещаем оставшуюся цифру 1, в результате имеем:

и сумма равна:

2+23+175=200.

Ответ: 200

Вариант 19МБ4

Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Если произведение >0, то, значит, оно не равно нулю. Следовательно, ни один из множителей не может быть равным 0.
  2. Если произведение кратно 15, следовательно, оно кратно 5 и кратно 3.
  3. Если произведение кратно 5, то результат его должен оканчиваться 0 или 5. В данном случае берем 5, т.к. 0 не может быть одним из множителей (см.п.1).
  4. Итак, последняя цифра числа равна 5. Тогда произведение первых трех равно 25:5=5. Это означает, что нужно подобать 3 цифры так, чтобы их произведение было менее 5.
  5. Из всех полученных наборов цифр выбираем такой, чтобы сумма этих цифр плюс 5 (последняя, 4-я цифра) была кратной 3.
Решение:

Поскольку по условию произведение всех цифр кратно 15, то оно кратно 5 и 3.

Кратность 5 означает, что последней цифрой числа может быть только 0 или 5. Но 0 в виде последней цифры означал бы, что произведение всех 4-х цифр стало бы равным 0; а это противоречит условию. Тогда последняя цифра искомого числа равна 5.

Тогда получим: x·y·z·5<25 → x·y·z<5, где x, y, z – соответственно, 1-я, 2-я и 3-я цифры искомого числа.

Меньше 5 произведение таких цифр: 1 1 1, 1 1 3, 1 1 2, 1 2 2.

Согласно признаку делимости на 3, выбираем из этих наборов такой, чтобы сумма его цифр плюс 5 делилась на 3:

1+1+1+5=8 – не подходит;

1+1+3+5=10 – не подходит;

1+2+2+5=10 – не подходит

1+1+2+5=9 – подходит.

Тогда условию задачи соответствуют числа: 1125, 1215, 2115.

Ответ: 1125, 1215, 2115

Вариант 19МБ5

Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Алгоритм выполнения
  1. Число делится на 18, если оно кратно 2 и 9.
  2. Кратность 2 означает, что число должно быть четным. Поэтому сразу отбрасывают последнюю – нечетную – цифру 7.
  3. Кратность 9 означает, что сумма его цифр делится на 9. Значит, находим сумму оставшихся цифр. Далее определяем подходящее для полученной суммы число, кратное 9. Число должно быть таким, чтобы: а) оно было меньшим суммы цифр; б) разница между этой суммой и найденным числом позволяла выделить в числе 2 цифры, сумма которых была бы равной этой разнице. Вычеркиваем эти цифры.
Решение:

Т.к. по условию число кратно 18, то оно кратно 2 и кратно 9.

Поскольку число кратно 2, то оно должно оканчиваться четной цифрой. 7 – нечетная цифра, поэтому вычеркиваем ее. Осталось: 8541762.

Т.к. полученное число кратно 9, то сумма его цифр должна делиться на 9. Находим общую сумму его цифр: 8+5+4+1+7+6+2=33. Ближайшее число, которое делится на 9, – это 27.

33–27=6 – это сумма двух цифр, которые нужно вычеркнуть. Пары цифр, которые при этом в сумме дают 6, – это 5 и 1 или 4 и 2. Вычеркнув их, получаем соответственно: 84762 или 85176.

Кроме этого, на 9 делится 18. Тогда 33–18=15. В этом случае вычеркнуть придется 8 и 7. Получаем: 54162.

На 9 делится еще и 9, однако 33–9=24, а пары цифр, которые дали бы в сумме 24, естественно, не существует.

Ответ: 84762, 85176, 54162

Вариант 19МБ6

На шести карточках написаны цифры 3; 6; 7; 7; 8; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении 

Вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20.

В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

Алгоритм выполнения
  1. Во 2-м предложении текста задачи фактически представлено условие, при котором сумма делится на 10, однако не делится на 2.
  2. Из п.1 следует, что результирующее число должно оканчиваться 0, а предпоследняя его цифра должна быть нечетной.
Решение:

Для удобства восприятия разместим карточки в столбик:

Если число делится на 10, но не делится на 20, значит, оно точно не делится на 2 без последнего нуля.

Поскольку число кратно 10, то оно должно оканчиваться нулем. Поэтому в последнем разряде (единиц) нужно расположить 3 карточки с такими цифрами, чтоб их сумма оканчивалась на 0. Подходят здесь карточки: 1) 6, 7, 7; 2) 3, 8, 9. Их суммы равны 20. Соответственно, 0 мы пишем под чертой, а 2 переносим на предыдущий разряд (десятков):

 

Чтобы число не делилось на 20, необходимо, чтобы перед нулем стояла нечетная цифра. Нечетная сумма здесь получится тогда, когда одно из слагаемых будет нечетным, а два других четными. Одно из этих (других) слагаемых – это перенесенная 2. Поэтому из оставшихся цифр следует взять: 1) 3 и 8; 2) 6 и 7. Получаем:

 

На место сотен ставим последнюю (оставшуюся) карточку с цифрой: 1) 9; 2) 7. Получаем, соответственно, числа 1030 и 850:

 

Ответ: 1030,850

Вариант 19МБ7

Найдите четное трехзначное натуральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Вводим буквенные обозначения для цифр искомого числа. Исходя из условия задачи, составляем уравнение.
  2. Выражаем одну из цифр через 2 другие.
  3. Подбираем для этих 2-х (других) цифр значения так, чтобы 3-я (выраженная) представляло бы собой натуральное число. Вычисляем 3-ю цифру.
  4. Формируем искомое число так, чтобы оно было четным.
Решение:

Пусть цифры искомого числа – x, y, z. Тогда получаем:

xyz–(x+y+z)=1

xyz–x–y–z=1

zxy–z=x+y+1

z(xy–1)=x+y+1

z=(x+y+1)/(xy–1)

Знаменатель в этом выражении должен быть целым и положительным. Для простоты (а также для гарантии правильных расчетов) примем, что он должен быть равен 1. Тогда имеем: ху–1=1 → ху=2. Поскольку х и у это цифры, то их значения могут быть равными только 1 и 2 (т.к. только произведение этих однозначных натур.чисел дает в результате 2).

Отсюда z составляет: z=(1+2+1)/(1·2–1)=4/1=4.

Итак, имеем цифры: 1, 2, 4.

Т.к. по условию итоговое число должно быть четным, то оканчиваться оно может только 2 или 4. Тогда правильными вариантами чисел будут такие:

124, 142, 214, 412.

Ответ: 124, 142, 214, 412

Вариант 19МБ8

Найдите шестизначное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Если число делится на 24, значит, оно делится на 8 и на 3.
  2. Согласно признаку делимости на 8, 3 последних цифры его должны образовывать число, которое кратно 8.
  3. Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Учитывая уже сформированную 2-ю часть числа (см.п.2), дополняем его первыми тремя цифрами соответственно.
Решение:

Чтобы искомое число было кратно 24, требуется, чтобы оно делилось на 8 и в то же время на 3.

Число делится на 8, если последние его 3 цифры образуют число, кратное 8. С использованием только двоек и нулей такое трехзначное число можно образовать так: 000, 002, 020, 022, 200, 202, 220, 222. Из этих чисел на 8 делится только 000 и 200.

Теперь нужно дополнить искомое число первыми 3-мя цифрами так, чтобы оно делилось еще и на 3.

В 1-м случае это будет единственный вариант: 222000.

Во 2-м случае вариантов два: 220200, 202200.

Ответ: 222000, 220200, 202200

Вариант 19МБ9

Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Если число кратно 15, значит, оно кратно 3 и 5.
  2. Применяем признак делимости на 5 и условие задачи, согласно которому произведение цифр числа ≠0. Так получаем, что последняя цифра искомого числа – только 5.
  3. Делим 35 на 5 и 45 на 5. Узнаем диапазон значений, которые может принимать произведение первых 3-х цифр числа. Узнаем, что оно может быть равно только 8.
  4. Определяем последовательности цифр, которые дают при перемножении 8.
  5. Проверяем полученные из найденных цифр числа на кратность трем.
Решение:

Кратность искомого числа 15 дает 2 условия: оно должно делиться на 5 и на 3.

Если число кратно 5, то оно должно оканчиваться цифрой 5 или 0. Однако 0 в данном случае использовать нельзя, поскольку при этом произведение цифр числа оказывается равным 0. По условию же это не так. Итак, последняя – 4-я – цифра числа равна 5.

По условию 35 < x·5 < 45, где х – произведение первых 3-х цифр числа. Тогда имеем: 7 < x < 9. Это неравенство верно только при х=8. Следовательно, для первых 3-х цифр должны выполняться равенства:

1·1·8=8, 1·2·4=8.

Отсюда получаем числа:

1185; 1245.

Проверяем их на кратность 3:

1+1+8+5=15;

1+2+4+5=12.

Вывод: оба найденные числа кратны 3. Плюс кратны их комбинации:

1815; 8115; 1425; 2145; 2415; 4125; 4215.

Ответ: 1815; 8115; 1425; 2145; 2415; 4125; 4215

Вариант 19МБ10

Найдите пятизначные число, кратное 25, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Принимаем во внимание, что на 25 делятся числа, которые придется последовательно делить на 5 дважды. Определяем, какой парой цифр они должны оканчиваться.
  2. Учитывая, что 2-й частью условия является различие каждой соседней пары цифр исключительно на 2 единицы, выбираем подходящий вариант (или варианты) цифр.
  3. Способом подбора находим остальные цифры и, соответственно, числа. Одно из них запишем в ответе.
Решение:

Если число делится на 25, то оно должно оканчиваться на: 00, 25, 50, 75. Т.к. соседние цифры должны отличаться строго на 2, то использовать для 4-й и 5-й цифр можем только 75. Получаем: ***75.

Далее ищем 3-ю цифру:

  1. **975 или
  2. **575.

Дальше получаем по аналогии:

1) *7975 → 97975 или 57975;

2) *3575 → 13575 или 53575, *7575 → 57575 или 97575.

Ответ: 97975, 57975, 13575, 53575, 57575, 97575

Вариант 19МБ11

Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 3, на 4 и на 5 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Определяем диапазон значений для 1-й цифры числа (сотен).
  2. Определяем, какой может быть последняя цифра (единицы), приняв во внимание: 1) при делении на 5 дает в остатке 1; 2) на этом месте не может быть четная цифра, поскольку это одно из условий делимости на 4.
  3. Способом подбора определяем набор чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.
  4. Из этого набора (см.п.3) отбрасываем числа, которые при делении на 4 дают остаток, отличный от 1.
Решение:

Т.к. искомое число >600 и при этом является трехзначным, то 1-й цифрой может быть только 6, 7, 8 или 9. Тогда получаем для искомого числа:

6***

7***

8***

9***

Если число при делении на 5 должно давать в остатке 1, значит, оно может оканчиваться только на 0+1=1 или на 5+1=6. Шестерку тут отбрасываем, поскольку в этом случае число четное и потенциально может делиться на 4. Поэтому имеем:

6**1

7**1

8**1

9**1

Если число при делении на 3 дает в остатке 1, значит, сумма его цифр должна быть кратной 3 плюс 1. Кроме того, учитываем, что цифры должны располагаться в числе в порядке убывания. Подбираем такие числа:

631

721

751

841

871

931

961

Из этой последовательности отбрасываем числа, для которых не выполняется условие о том, что число при делении на 4 должно давать в остатке 1.

Т.к. признак делимости на 4 заключается в том, что 2 последние цифры должны делиться на 4, то получаем:

для 631: 31=28+3, т.е. в остатке имеем 3; число не подходит

для 721: 21=20+1, т.е. в остатке – 1; число подходит

для 751: 51=48+3, т.е. в остатке – 3; число не подходит

для 841: 41=40+1, т.е. в остатке – 1; число подходит

для 871: 71=68+3, т. е. в остатке – 3; число не подходит

для 931: 31=28+3, т.е. в остатке – 3; число не подходит

для 961: 61=60+1, т.е. в остатке – 1; число подходит

Ответ:  721, 841, 961

Вариант 19МБ12

Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны 0. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Из условия следует, что числа могут начинаться только на 4,5 или 6.
  2. При анализе чисел 4-й сотни отбрасываем числа: 1) 1-го десятка, т.к. в них содержится 0; 2) 4-го десятка, т.к. в этом случае первые две цифры совпадут; 3) числа 5-го десятка, т.к. они должны оканчиваться только на 5 или 0, что недопустимо. Кроме того, для всех четных десятков можно рассматривать только четные числа.
  3. Числа 5-й сотни отбрасываем полностью, т.к. чтобы делиться на каждую свою цифру, они должны оканчиваться 5 или 0.
  4. Для чисел 6-й сотни рассматривать можно только: 1) четные; 2) кратные 3; 3) не оканчивающиеся 0.
Решение:

Числа 40* и 4*0 отбрасываем, т.к. они содержат 0.

Числа 41* годятся только четные, т.к. это обязательное условия для кратности 4. Анализируем:

412 – подходит

414 – не подходит, т.к. в нем совпадают цифры

416 – не подходит, т.к. не делится на 6

418 – не подходит, т.к. не делится ни на 4, ни на 8

Из чисел 42* годятся только четные, поскольку должны делиться на 2:

422 и 424 – не подходят, т.к. в них совпадают цифры

426 – не подходит, т.к. не делится на 4

428 – не подходит, т.к. не делится на 8

Числа 43* годятся только четные и кратные 3. Поэтому тут подходит только 432.

Числа 44* не подходят полностью.

Числа 45* не подходят полностью, т.к. они должны оканчиваться только 5 (т.е. быть нечетными) или 0.

Числа 46*, 47*, 48*, 49* не подходят полностью, т.к. для каждого из них не выполняется 1 или несколько условий.

Числа 5-й сотни не годятся полностью. Они должны делиться на 5, а для этого оканчиваться либо 5, либо 0, что не допускается.

Числа 60* не годятся полностью.

Среди остальных можно рассматривать только четные, кратные 3, не оканчивающиеся 0. Опуская подробности перебора чисел, оговорим только, что из них годятся: 612, 624, 648. Для остальных не выполняется одно или несколько условий.

Ответ: 412, 432, 612, 624, 648

Вариант 19МБ13

Найдите четырехзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Если число кратно 45, значит, оно делится на 5 и на 9.
  2. Рассматривать следует только числа четных сотен.
  3. Оканчиваться числа могут только 0, т.к. 5 – нечетная цифра.
  4. Сумма цифр числа должна быть равна 18. Только в этом случае можно составить его из всех четных цифр.
Решение:

Т.к. по условию цифры должны быть четными, то рассматривать можно только числа 2-й, 4-й, 6-й и 8-й тысяч. Это значит, что начинаться оно может с 2, 4, 6 или 8.

Если число кратно 45, то оно кратно 5 и кратно 9.

Если число кратно 5, то оно должно оканчиваться 5 или 0. Но поскольку все цифры должны быть четными, то подходит здесь только 0.

Т.о., получаем шаблоны чисел: 2**0, 4**0, 6**0, 8**0. Отсюда следует, что для проверки кратности 9 требуется, чтобы сумма первых 3-х цифр была равной 9, или 18, или 27 и т.д. Но подходит тут только 18. Основания: 1) для получения в сумме 9 нужно, чтобы одно из слагаемых было нечетным, а это противоречит условию; 2) 27 не подходит потому, что даже если взять самую большую 1-ю цифру 8, то сумма 2-й и 3-й цифр будет равна 27–8=19, что превышает допустимый предел. Еще большие суммы цифр, кратные 9, не подходят тем более.

Рассматриваем числа по тысячам.

Числа 2**0. Сумма средних цифр равна: 18–2=16. Получить 16 из четных чисел можно только так: 8+8. Однако цифры не должны повторяться. Поэтому подходящих условию чисел здесь нет.

Числа 4**0. Сумма средних цифр: 18–4=14. 14=8+6. Поэтому получаем: 4680 или 4860.

Числа 6**0. Сумма средних цифр: 18–6=12. 12=6+6, что не подходит, т.к. цифры повторяются. 12=4+8. Получаем: 6480 или 6840.

Числа 8**0. Сумма средних цифр: 18–8=10. 10=2+8, что не подходит, т.к. при этом будет повторяться 8. 10=4+6. Получаем: 8460 или 8640.

Ответ: 4680, 4860, 6480, 6840, 8460, 8640

числовых баз | Математика | Компьютеры

Существует более простое объяснение системы счисления, а также интерактивные страницы. на двоичные, двоичные дроби, нормализованные двоичные числа с плавающей запятой и шестнадцатеричный в разделе Interactive . Существует также система счисления Abacus , которую вы можете использовать для экспериментов с различными системами счисления, и вы можете смотрите видео по числовым базам на YouTube-канале AdvancedICT . Для большинства курсов GCSE по информатике требуется преобразование между системами счисления.

Что такое числовая база?

Немецкий математик Леопольд Кронекер однажды сказал, что «Бог дал нам целые числа, а все остальное — дело рук человека». Я думаю, он имел в виду, что числа существуют, но мы можем представлять их по-разному и делать с ними разные вещи. Не вдаваясь в философию, полезно помнить, что часто то, о чем мы думаем как о числах, на самом деле является символами, представляющими число — так же, как то, как вы пишете свое имя, не является вами, и вы все еще тот же человек, если вы печатаете свое имя, напишите его другим цветом или используйте другой алфавит.

Основы счисления — это разные способы записи и использования одного и того же числа. Для нашей арифметики мы используем систему, называемую основанием 10, или десятеричным числом, но существует почти столько же числовых оснований, сколько и самих чисел. Многие люди думают, что мы используем основание 10, потому что у нас есть 10 пальцев, на которых мы можем считать. Компьютеры и другие электронные устройства могут надежно использовать только электрический ток или отсутствие тока для счета (например, наличие двух пальцев), и поэтому они, как правило, используют основание 2 (двоичное) внутри.

Важно помнить, что системы счисления — это просто различные способы записи чисел — точно так же, как римские цифры или таблицы подсчета, — но в остальном числа ведут себя как обычно. Это не означает, что их арифметика принципиально отличается — на самом деле то, как ведут себя системы счисления, полностью согласовано.

Как они работают?

Вы будете знакомы с идеей основания 10 и заголовками столбцов, о которых вы говорили в начальной школе — единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. — другие системы счисления работают точно так же. У них есть столбцы с заголовками, которые используются для представления чисел, а разные цифры располагаются в разных позициях, начиная справа.

Заголовки столбцов для общих оснований и общее основание x показаны в таблице ниже:

Заголовки столбцов Базовый номер
128 64 32 16 8 4 2 1 2 (двоичный)
и т. д. 262144 32768 4096 512 64 8 1 8 (восьмеричный)
и др.
и т. Д. 65536 4096 256 16 1 16 (Hexadecil)
и т. д. Х 6 Х 5 X 4 X 3 X 2 X 1 X 909122 3 0 909122 х

Основание обычно записывается в виде нижнего индекса после числа, поэтому вы можете сказать, что 111 2 — это 7 в двоичном формате, а не сто одиннадцать.

Вы можете работать с любой системой счисления (кроме 1, что на самом деле не имеет смысла), и некоторые языки программирования, такие как Лисп, позволяют вам это делать. Однако в вычислительной технике вы, как правило, сталкиваетесь только со следующими четырьмя основаниями, и вы уже знаете основание 10. Эти общие основы также имеют собственные имена, указанные в скобках:

  • база 2 (двоичная)
  • основание 8 (восьмеричное)
  • основание 10 (денарий)
  • основание 16 (шестнадцатеричное)

Самая большая цифра, которая может быть в любом столбце, на единицу меньше числа основания. Итак, для двоичного (по основанию 2) это 1, затем 7 для восьмеричного (по основанию 8), 9 для десятичного (по основанию 10) и т. д.

Однако после основания 10 у нас закончились цифры для представления чисел, поэтому мы должны использовать буквы, где A = 10, B = 11, C = 12 и т. д. Таким образом, последовательность чисел, записанных в шестнадцатеричном формате, равна 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, за которыми следуют 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F и т. д.

Когда мы записываем число по основанию 10, мы знаем его значение, потому что мы умножаем отдельные цифры на соответствующие им заголовки столбцов. Например, когда мы видим 123, даже если мы не думаем об этом, мы вычисляем 1 х 100 + 2 х 10 + 3 х 1, чтобы получить сто двадцать три. Точно так же работают и другие системы счисления.

Вы можете использовать эту информацию для преобразования чисел в других системах счисления в систему счисления 10, например:

.
32 16 8 4 2 1  
1 0 1 1 2 = 8 + 2 + 1 = 11 10

32768 512 64 8 1  
  1 2 3 4 8 = 1 x 512 + 2 x 64 + 3 x 8 + 4 x 1 10
= 512 + 128 + 24 + 4 10
668 10

Двоичный (база 2)

В наши дни вы, вероятно, редко будете сталкиваться с двоичным кодом, но полезно понимать, как компьютер работает внутри, чтобы вы могли понять такие концепции, как параллельная передача. Тот факт, что компьютеры используют двоичный код, объясняет, почему все кратно 2 — почему компьютеры имеют 8 МБ, 16 МБ, 32 МБ, 64 МБ и т. д. памяти, а не 10 МБ, 20 МБ, 30 МБ и т. д., а также почему существует 1024 байтов в килобайте (1024 = 2 10 ), а не 1000 байт.

Основное использование, вероятно, в сочетании с методами побитовой логики, показанными на предыдущей странице, для объединения и разделения значений, хранящихся в одном байте (или слове).

Вам необходимо знать некоторые другие термины, связанные с бинарными файлами. Во-первых, бит — это двоичная цифра , то есть единичное вхождение 0 или 1. Это наименьшая единица хранения, которую вы можете иметь внутри компьютера. Группы по 8 бит называются байт . Байт может использоваться для представления числа, цвета или символа (например, с использованием ASCII). Вы также можете услышать термин nibble , что составляет 4 бита. Наконец, слово — это наибольшее количество битов, которое процессор может обработать за один раз — например, когда мы говорим, что новые компьютеры имеют 64-битные процессоры, мы имеем в виду, что длина слова составляет 64 бита или 8 байт. .

Наибольшее значение, которое вы можете сохранить, используя определенное количество битов, может быть определено довольно легко. Использование n бит, максимальное значение, которое вы можете сохранить, равно 2 n — 1 , а количество различных значений, которое вы можете сохранить, равно 2 n (от 1 до 2 n — 9 1,900 а потом и 0). Таким образом, используя 8 бит, максимальное число, которое вы можете сохранить, равно 2 8 — 1 = 255, а количество возможных значений равно 2 8 = 256 (т.е. 0 — 255). Таким образом, 32-разрядный компьютер может обрабатывать значения до 4 194 967 296 за один такт — он, очевидно, может справиться с большими числами, но сначала их нужно разделить.

Восьмеричный (основание 8)

Я никогда не встречал ничего, что использовало бы восьмеричное число! Я думаю, что он, вероятно, включен в требования к экзамену по чисто академическим причинам, а также потому, что его легко преобразовать в двоичный код (см. ниже).

Шестнадцатеричный (основание 16)

Шестнадцатеричное число по-прежнему используется довольно часто, особенно для таких вещей, как цвета в HTML или языках программирования. Это также весьма полезно, потому что представление больших чисел относительно компактно, но легко преобразуется в двоичное, чтобы вы могли видеть битовые комбинации.

Сдвигающие биты

Вы, несомненно, заметили, что с числами по основанию 10 вы можете перемещать цифры влево или вправо на одно место, умножая или разделяя число на 10. Тот же трюк работает с разными основаниями счисления — вы просто умножаете и делите по основанию число (например, умножьте на 2 в двоичном формате, чтобы сдвинуть биты влево на одну позицию).

Это может быть полезно для таких вещей, как создание шестнадцатеричных значений цвета (например, для веб-страниц). В 24-битной системе (такой как HTML) цвета представлены 24-битными числами от 000000 до FFFFFF (каждая шестнадцатеричная цифра соответствует 4 битам — см. ниже). 24 бита состоят из 8 битов, соответствующих количеству красного, зеленого и синего цветов.

Итак, каждый компонент представлен 8 битами, то есть числом от 0 до 255. Если вы знаете, сколько красного, зеленого и синего вам нужно, как их скомбинировать, чтобы получить полный цвет? Для HTML правильный порядок битов — RRGGBB (r = красный, g = зеленый, b = синий), поэтому нам нужно «сдвинуть» значения зеленого и красного компонентов, а затем сложить все три компонента вместе. .

Мы можем оставить синее значение как есть, но нам нужно переместить зеленое значение на две позиции. Чтобы переместиться на одно место в шестнадцатеричном формате, мы умножаем на 16, поэтому, чтобы переместиться на два места, просто сделайте это дважды — 16 x 16 = 256 — таким образом, умножьте зеленое значение на 256. Для красного значения нам нужно переместиться на четыре места. — 16 х 16 х 16 х 16 = 65 536 — значит, умножаем значение красного компонента на 65 536.

Очевидно, что если бы вы просто пытались самостоятельно определить цвет, вам не нужно было бы выполнять эти шаги, но если бы вам нужно было создать программу, подобную моей микшеру цветов, то вы бы сделали это так.

Преобразование между базами

Вы можете преобразовать восьмеричную в двоичную и наоборот, сгруппировав эти двоичные цифры (или биты) в тройки, а затем преобразовав их в их двоичные эквиваленты. Например:

Что такое 101100 2 в восьмеричной системе?

101 2 = 5 10

100 2 = 4 10

Просто объедините две цифры:

101100 2 = 54 8

То же самое можно сделать и для шестнадцатеричной системы счисления, только биты должны быть сгруппированы по четыре, т.е.

Что такое 10110110 2 в шестнадцатеричном формате?

1011 2 = 11 10 = В 16

0110 2 = 6 10

Просто объедините два результата:

10110110 2 = B6 16

Наконец-то шутка с числовой базой! Почему программисты путают Рождество с Хэллоуином? Потому что 31 ОКТЯБРЯ = 25 ДЕКАБРЯ!

Увлекательные математические занятия и идеи для планов уроков для каждого уровня

Добро пожаловать в центр математических занятий HMH, где вы можете найти увлекательные математические уроки и задания для каждого уровня. Изучите приведенные ниже мероприятия или посетите нашу страницу с полными обучающими ресурсами, чтобы найти еще больше идей для вашего класса и школы.

Наша коллекция математических ресурсов предлагает гораздо больше, чем рабочие листы, чтобы заинтересовать учащихся и отточить их навыки. Он также включает игры, видео, идеи для занятий и практические уроки. Взглянем!

Уроки математики в детском саду

  • Загрузите эти математические задания для детского сада, чтобы научить своих учеников сложению, числам и счету.

    Фасонный стержень

  • Помогите своим детям в детском саду понять числа и сходство и различие объектов с помощью этих бесплатных загружаемых заданий.

    Фасонный стержень

  • Загрузите эти задания для дошкольников, чтобы научить младших школьников сложению с использованием визуальных представлений.

    Фасонный стержень

Посмотреть полный список математических занятий в детском саду.

Уроки математики и занятия для 1–2 классов

  • Помогите своим детям в 1 классе понять числа через контекст животных.

    Фасонный стержень

  • Расскажите учащимся о различных типах многоугольников в математике, которые можно описать как плоские замкнутые фигуры с тремя или более сторонами.

    Фасонный стержень

  • Использование историй для обучения детей математике — это увлекательный способ изучения математической лексики.

    Фасонный стержень

Посмотреть полный список математических заданий для 1–2 классов.

Уроки математики и занятия для 3–5 классов

  • Помогите учащимся понять информационный текст посредством активного чтения.

    Фасонный стержень

  • Многим ученикам сложно перейти от умножения к делению! Узнайте о делимом, делителе и частном, а также пошаговое объяснение стандартного алгоритма деления.

    Фасонный стержень

  • С помощью этого задания помогите детям 5-го класса укрепить свои навыки использования операций с целыми числами и отточить навыки измерения.

    Фасонный стержень

Посмотреть полный список математических заданий для 3–5 классов.

Уроки математики и занятия для 6–8 классов

  • Загрузите уроки финансовой грамотности для 6–8 классов, чтобы научить учащихся таким темам, как заработная плата, оклады и карьера.

    Фасонный стержень

  • Линейное уравнение с двумя переменными описывает отношение, в котором значение одной из переменных зависит от значения другой переменной.

    Фасонный стержень

  • Загрузите эти бесплатные математические задания для учащихся, чтобы научить их рассчитывать вовлеченность как реальных, так и вымышленных пользователей Instagram.

    Элли Змиески
    Младший архитектор по обучению, математика

Посмотреть полный список математических заданий для 6–8 классов.

Уроки математики и занятия для 9–12 классов

  • Помогите учащимся приобрести навыки в области геометрической вероятности, описания данных, отображения данных и матриц.

    Фасонный стержень

  • Изучите основные идеи булевой алгебры, а также немного истории и примеров, а также бесплатное задание для старшеклассников, чтобы попрактиковаться в вычислении логических логических выражений.

    Фернандо Х. Кастильо

  • Скачать уроки математики для старшеклассников, посвященные вероятности, взаимоисключающим и перекрывающимся событиям, а также распознаванию независимых и зависимых событий.

    Фасонный стержень

Посмотреть полный список математических заданий для 9–12 классов.

***

Ознакомьтесь с нашими бесплатными учебными ресурсами для всех классов и всех предметов.

Мероприятия и уроки Математика 1-2 классы 3-5 классы PreK-K 6-8 классы 9 класс-12

Похожие материалы

  • Алисия Айвори
    Форма Редактор