Задание №19 ЕГЭ по математике базового уровня

Свойства чисел

Задание №19 ЕГЭ по математике весьма необычно. Для его решения необходимо применить знания в области теории чисел. Тем не менее, задание является весьма решаемым, однако для школьников с оценкой хорошо и ниже я рекомендовал бы оставить это задание на последнюю очередь. Перейдем к рассмотрению типового варианта.

Разбор типовых вариантов заданий №19 ЕГЭ по математике базового уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найдите трехзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь оно такое число.

Алгоритм выполнения:
  1. Ввести условные обозначения.
  2. Записать условия с помощью условных обозначений.
  3. Преобразовать полученные выражения.
  4. Логически рассуждая перебрать все возможные варианты, проверить их соответствие условиям.
Решение:

Обозначим первую цифру числа x, а вторую – y. Тогда третье число с учетом суммы цифр равной 20 будет равно 20 – (x + y). (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится.

По условию сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. Запишем сумму квадратов цифр:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2

Преобразуем полученное выражение. Преобразуем квадрат разности с учетом формулы приведения.

Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

(20 – (x + y))2 = 400 -40(x + y) + (x + y)2

Подставим получившееся выражение в начальное, получим:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2 = x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + (x + y)2

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

Подставим:

x 2 + y2 + (20 – (x + y))2 = x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + (x + y)2 = x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + x2 + 2xy + y2

Приведем подобные слагаемые(сложим x2 с x2 и y2 с y2), получим:

x 2 + y2 + 400 — 40(x + y) + x2 + 2xy + y2 = 2x 2 + 2y2 + 2 · 200 — 2 · 20(x + y) + 2xy

Вынесем множитель 2 за скобку:

2x 2 + 2y2 + 2 · 200 — 2 · 20(x + y) + 2xy = 2(x 2 + y2 + 200 — 20(x + y) + xy)

Для удобства объединим 200 и 20(x + y) и вынесем 20 за скобку, получим:

2(x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy)

Множитель 2 – четный, поэтому он никак не влияет на делимость на 3 или 9. Можем его не брать в расчет и рассматривать выражение:

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy

Предположим, что и x, и y делятся на 3. Тогда x 2 + y2 + xy делится на 3, а 20(10 — (x + y)) – не делится. Следовательно, и вся сумма x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy на 3 не делится.

Предположим, что на 3 делится только одна цифра. Тогда, учитывая, что (x + y) обязательно меньше 10, иначе сумма равная 20 не получится, подберем возможные пары.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом подстановки проверим, соответствуют эти пары условию.

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 3 2 + 82 + 20(10 — (3 + 8)) + 3 · 8 = 9 + 64 – 20 + 24 = 77

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 2 + 52 + 20(10 — (6 + 5)) + 6 · 5 = 36 + 25 – 20 + 30 = 71

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 2 + 72 + 20(10 — (6 + 7)) + 6 · 7 = 36 + 49 – 60 + 42 = 67

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 6 2 + 82 + 20(10 — (6 + 8)) + 6 · 8 = 36 + 64 – 80 + 48 = 68

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 9 2 + 22 + 20(10 — (9 + 2)) + 9 · 2 = 81 + 4 – 20 + 18 = 83

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 9 2 + 42 + 20(10 — (9 + 4)) + 9 · 4 = 81 + 16 – 60 + 36 = 73

Ни одна из полученных сумм не удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9».

Следующие пары можно не проверять, так как они дают уже имеющиеся тройки цифр.

Предположим, что ни одна из цифр числа не делится на 3.

Возможные пары:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Проверим:

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 4 2 + 72 + 20(10 — (4 + 7)) + 4 · 7 = 16 + 49 – 20 + 28 = 73

x 2 + y2 + 20(10 — (x + y)) + xy = 5 2 + 72 + 20(10 — (5 + 7)) + 5 · 7 = 25 + 49 – 40 + 35 = 69

Сумма 69 удовлетворяет условию «сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9». Следовательно, подходят цифры 5,7,8 в любом порядке.

Ответ: 578

Второй вариант задания

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения:
  1. Вспомнить признак делимости на 10.
  2. Разместить последние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось 10.
  3. Расположить оставшиеся карточки в произвольном порядке.
Решение:

1. Если сумма делится на 10 нацело, то последняя цифра должна быть 0, остальные цифры значения не имеют.

2. В первый квадрат поместим цифру 1, в следующем числе на последнем месте – цифру 3 (или 6), а в третьем – цифру 6 (или 3), получим (сумма 1+3+6=10):

3. Остальные цифры заполним произвольно, например, так:

и получится сумма

1+23+996 = 1020.

Ответ: 1020

Третий вариант задания

На 6 карточках написаны цифры 1; 2; 2; 3; 5; 7 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении □ + □□ + □□□ вместо каждого квадратика положили карточку из набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 20. Найдите эту сумму. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения:
  1. Вспомнить признак делимости на 10 и сформулировать признак делимости на 20.
  2. Разместить последние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось 10.
  3. Разместить предпоследние цифры каждого слагаемого таким образом, чтобы в сумме получилось четное число в результате с учетом суммы первых цифр.
  4. Расположить оставшиеся карточки в произвольном порядке.
Решение:

1. Чтобы сумма делилась на 20, она должна заканчиваться на 0 и вторая цифра с конца должна быть четной (делиться на 2). Чтобы в конце суммы получить 0, первые три карточки следует выбрать так:

2. Чтобы вторую цифру получить четной, можно взять карточки 2 и 7 (к ней будет добавляться еще 1 от первой суммы 10):

3. В последнее место помещаем оставшуюся цифру 1, в результате имеем:

и сумма равна:

2+23+175=200.

Ответ: 200

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (1)

Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Если произведение >0, то, значит, оно не равно нулю. Следовательно, ни один из множителей не может быть равным 0.
  2. Если произведение кратно 15, следовательно, оно кратно 5 и кратно 3.
  3. Если произведение кратно 5, то результат его должен оканчиваться 0 или 5. В данном случае берем 5, т.к. 0 не может быть одним из множителей (см.п.1).
  4. Итак, последняя цифра числа равна 5. Тогда произведение первых трех равно 25:5=5. Это означает, что нужно подобать 3 цифры так, чтобы их произведение было менее 5.
  5. Из всех полученных наборов цифр выбираем такой, чтобы сумма этих цифр плюс 5 (последняя, 4-я цифра) была кратной 3.
Решение:

Поскольку по условию произведение всех цифр кратно 15, то оно кратно 5 и 3.

Кратность 5 означает, что последней цифрой числа может быть только 0 или 5. Но 0 в виде последней цифры означал бы, что произведение всех 4-х цифр стало бы равным 0; а это противоречит условию. Тогда последняя цифра искомого числа равна 5.

Тогда получим: x·y·z·5<25 → x·y·z<5, где x, y, z – соответственно, 1-я, 2-я и 3-я цифры искомого числа.

Меньше 5 произведение таких цифр: 1 1 1, 1 1 3, 1 1 2, 1 2 2.

Согласно признаку делимости на 3, выбираем из этих наборов такой, чтобы сумма его цифр плюс 5 делилась на 3:

1+1+1+5=8 – не подходит;

1+1+3+5=10 – не подходит;

1+2+2+5=10 – не подходит

1+1+2+5=9 – подходит.

Тогда условию задачи соответствуют числа: 1125, 1215, 2115.

Ответ: 1125, 1215, 2115

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (2)

Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Алгоритм выполнения
  1. Число делится на 18, если оно кратно 2 и 9.
  2. Кратность 2 означает, что число должно быть четным. Поэтому сразу отбрасывают последнюю – нечетную – цифру 7.
  3. Кратность 9 означает, что сумма его цифр делится на 9. Значит, находим сумму оставшихся цифр. Далее определяем подходящее для полученной суммы число, кратное 9. Число должно быть таким, чтобы: а) оно было меньшим суммы цифр; б) разница между этой суммой и найденным числом позволяла выделить в числе 2 цифры, сумма которых была бы равной этой разнице. Вычеркиваем эти цифры.
Решение:

Т.к. по условию число кратно 18, то оно кратно 2 и кратно 9.

Поскольку число кратно 2, то оно должно оканчиваться четной цифрой. 7 – нечетная цифра, поэтому вычеркиваем ее. Осталось: 8541762.

Т.к. полученное число кратно 9, то сумма его цифр должна делиться на 9. Находим общую сумму его цифр: 8+5+4+1+7+6+2=33. Ближайшее число, которое делится на 9, – это 27.

33–27=6 – это сумма двух цифр, которые нужно вычеркнуть. Пары цифр, которые при этом в сумме дают 6, – это 5 и 1 или 4 и 2. Вычеркнув их, получаем соответственно: 84762 или 85176.

Кроме этого, на 9 делится 18. Тогда 33–18=15. В этом случае вычеркнуть придется 8 и 7. Получаем: 54162.

На 9 делится еще и 9, однако 33–9=24, а пары цифр, которые дали бы в сумме 24, естественно, не существует.

Ответ: 84762, 85176, 54162

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (3)

На шести карточках написаны цифры 3; 6; 7; 7; 8; 9 (по одной цифре на каждой карточке). В выражении 

Вместо каждого квадратика положили карточку из данного набора. Оказалось, что полученная сумма делится на 10, но не делится на 20.

В ответе укажите какую-нибудь одну такую сумму.

Алгоритм выполнения
  1. Во 2-м предложении текста задачи фактически представлено условие, при котором сумма делится на 10, однако не делится на 2.
  2. Из п.1 следует, что результирующее число должно оканчиваться 0, а предпоследняя его цифра должна быть нечетной.
Решение:

Для удобства восприятия разместим карточки в столбик:

Если число делится на 10, но не делится на 20, значит, оно точно не делится на 2 без последнего нуля.

Поскольку число кратно 10, то оно должно оканчиваться нулем. Поэтому в последнем разряде (единиц) нужно расположить 3 карточки с такими цифрами, чтоб их сумма оканчивалась на 0. Подходят здесь карточки: 1) 6, 7, 7; 2) 3, 8, 9. Их суммы равны 20. Соответственно, 0 мы пишем под чертой, а 2 переносим на предыдущий разряд (десятков):

Чтобы число не делилось на 20, необходимо, чтобы перед нулем стояла нечетная цифра. Нечетная сумма здесь получится тогда, когда одно из слагаемых будет нечетным, а два других четными. Одно из этих (других) слагаемых – это перенесенная 2. Поэтому из оставшихся цифр следует взять: 1) 3 и 8; 2) 6 и 7. Получаем:

На место сотен ставим последнюю (оставшуюся) карточку с цифрой: 1) 9; 2) 7. Получаем, соответственно, числа 1030 и 850:

Ответ: 1030,850

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (4)

Найдите четное трехзначное натуральное число, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Вводим буквенные обозначения для цифр искомого числа. Исходя из условия задачи, составляем уравнение.
  2. Выражаем одну из цифр через 2 другие.
  3. Подбираем для этих 2-х (других) цифр значения так, чтобы 3-я (выраженная) представляло бы собой натуральное число. Вычисляем 3-ю цифру.
  4. Формируем искомое число так, чтобы оно было четным.
Решение:

Пусть цифры искомого числа – x, y, z. Тогда получаем:

xyz–(x+y+z)=1

xyz–x–y–z=1

zxy–z=x+y+1

z(xy–1)=x+y+1

z=(x+y+1)/(xy–1)

Знаменатель в этом выражении должен быть целым и положительным. Для простоты (а также для гарантии правильных расчетов) примем, что он должен быть равен 1. Тогда имеем: ху–1=1 → ху=2. Поскольку х и у это цифры, то их значения могут быть равными только 1 и 2 (т.к. только произведение этих однозначных натур.чисел дает в результате 2).

Отсюда z составляет: z=(1+2+1)/(1·2–1)=4/1=4.

Итак, имеем цифры: 1, 2, 4.

Т.к. по условию итоговое число должно быть четным, то оканчиваться оно может только 2 или 4. Тогда правильными вариантами чисел будут такие:

124, 142, 214, 412.

Ответ: 124, 142, 214, 412

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (5)

Найдите шестизначное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Если число делится на 24, значит, оно делится на 8 и на 3.
  2. Согласно признаку делимости на 8, 3 последних цифры его должны образовывать число, которое кратно 8.
  3. Чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Учитывая уже сформированную 2-ю часть числа (см.п.2), дополняем его первыми тремя цифрами соответственно.
Решение:

Чтобы искомое число было кратно 24, требуется, чтобы оно делилось на 8 и в то же время на 3.

Число делится на 8, если последние его 3 цифры образуют число, кратное 8. С использованием только двоек и нулей такое трехзначное число можно образовать так: 000, 002, 020, 022, 200, 202, 220, 222. Из этих чисел на 8 делится только 000 и 200.

Теперь нужно дополнить искомое число первыми 3-мя цифрами так, чтобы оно делилось еще и на 3.

В 1-м случае это будет единственный вариант: 222000.

Во 2-м случае вариантов два: 220200, 202200.

Ответ: 222000, 220200, 202200

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (6)

Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Если число кратно 15, значит, оно кратно 3 и 5.
  2. Применяем признак делимости на 5 и условие задачи, согласно которому произведение цифр числа ≠0. Так получаем, что последняя цифра искомого числа – только 5.
  3. Делим 35 на 5 и 45 на 5. Узнаем диапазон значений, которые может принимать произведение первых 3-х цифр числа. Узнаем, что оно может быть равно только 8.
  4. Определяем последовательности цифр, которые дают при перемножении 8.
  5. Проверяем полученные из найденных цифр числа на кратность трем.
Решение:

Кратность искомого числа 15 дает 2 условия: оно должно делиться на 5 и на 3.

Если число кратно 5, то оно должно оканчиваться цифрой 5 или 0. Однако 0 в данном случае использовать нельзя, поскольку при этом произведение цифр числа оказывается равным 0. По условию же это не так. Итак, последняя – 4-я – цифра числа равна 5.

По условию 35 < x·5 < 45, где х – произведение первых 3-х цифр числа. Тогда имеем: 7 < x < 9. Это неравенство верно только при х=8. Следовательно, для первых 3-х цифр должны выполняться равенства:

1·1·8=8, 1·2·4=8.

Отсюда получаем числа:

1185; 1245.

Проверяем их на кратность 3:

1+1+8+5=15;

1+2+4+5=12.

Вывод: оба найденные числа кратны 3. Плюс кратны их комбинации:

1815; 8115; 1425; 2145; 2415; 4125; 4215.

Ответ: 1815; 8115; 1425; 2145; 2415; 4125; 4215

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (7)

Найдите пятизначные число, кратное 25, любые две соседние цифры которого отличаются на 2. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Принимаем во внимание, что на 25 делятся числа, которые придется последовательно делить на 5 дважды. Определяем, какой парой цифр они должны оканчиваться.
  2. Учитывая, что 2-й частью условия является различие каждой соседней пары цифр исключительно на 2 единицы, выбираем подходящий вариант (или варианты) цифр.
  3. Способом подбора находим остальные цифры и, соответственно, числа. Одно из них запишем в ответе.
Решение:

Если число делится на 25, то оно должно оканчиваться на: 00, 25, 50, 75. Т.к. соседние цифры должны отличаться строго на 2, то использовать для 4-й и 5-й цифр можем только 75. Получаем: ***75.

Далее ищем 3-ю цифру:

  1. **975 или
  2. **575.

Дальше получаем по аналогии:

1) *7975 → 97975 или 57975;

2) *3575 → 13575 или 53575, *7575 → 57575 или 97575.

Ответ: 97975, 57975, 13575, 53575, 57575, 97575

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (8)

Найдите трехзначное натуральное число, большее 600, которое при делении на 3, на 4 и на 5 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Определяем диапазон значений для 1-й цифры числа (сотен).
  2. Определяем, какой может быть последняя цифра (единицы), приняв во внимание: 1) при делении на 5 дает в остатке 1; 2) на этом месте не может быть четная цифра, поскольку это одно из условий делимости на 4.
  3. Способом подбора определяем набор чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.
  4. Из этого набора (см.п.3) отбрасываем числа, которые при делении на 4 дают остаток, отличный от 1.
Решение:

Т.к. искомое число >600 и при этом является трехзначным, то 1-й цифрой может быть только 6, 7, 8 или 9. Тогда получаем для искомого числа:

6***

7***

8***

9***

Если число при делении на 5 должно давать в остатке 1, значит, оно может оканчиваться только на 0+1=1 или на 5+1=6. Шестерку тут отбрасываем, поскольку в этом случае число четное и потенциально может делиться на 4. Поэтому имеем:

6**1

7**1

8**1

9**1

Если число при делении на 3 дает в остатке 1, значит, сумма его цифр должна быть кратной 3 плюс 1. Кроме того, учитываем, что цифры должны располагаться в числе в порядке убывания. Подбираем такие числа:

631

721

751

841

871

931

961

Из этой последовательности отбрасываем числа, для которых не выполняется условие о том, что число при делении на 4 должно давать в остатке 1.

Т.к. признак делимости на 4 заключается в том, что 2 последние цифры должны делиться на 4, то получаем:

для 631: 31=28+3, т.е. в остатке имеем 3; число не подходит

для 721: 21=20+1, т.е. в остатке – 1; число подходит

для 751: 51=48+3, т.е. в остатке – 3; число не подходит

для 841: 41=40+1, т.е. в остатке – 1; число подходит

для 871: 71=68+3, т.е. в остатке – 3; число не подходит

для 931: 31=28+3, т.е. в остатке – 3; число не подходит

для 961: 61=60+1, т.е. в остатке – 1; число подходит

Ответ:  721, 841, 961

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (9)

Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны 0. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Из условия следует, что числа могут начинаться только на 4,5 или 6.
  2. При анализе чисел 4-й сотни отбрасываем числа: 1) 1-го десятка, т.к. в них содержится 0; 2) 4-го десятка, т.к. в этом случае первые две цифры совпадут; 3) числа 5-го десятка, т.к. они должны оканчиваться только на 5 или 0, что недопустимо. Кроме того, для всех четных десятков можно рассматривать только четные числа.
  3. Числа 5-й сотни отбрасываем полностью, т.к. чтобы делиться на каждую свою цифру, они должны оканчиваться 5 или 0.
  4. Для чисел 6-й сотни рассматривать можно только: 1) четные; 2) кратные 3; 3) не оканчивающиеся 0.
Решение:

Числа 40* и 4*0 отбрасываем, т.к. они содержат 0.

Числа 41* годятся только четные, т.к. это обязательное условия для кратности 4. Анализируем:

412 – подходит

414 – не подходит, т.к. в нем совпадают цифры

416 – не подходит, т.к. не делится на 6

418 – не подходит, т.к. не делится ни на 4, ни на 8

Из чисел 42* годятся только четные, поскольку должны делиться на 2:

422 и 424 – не подходят, т.к. в них совпадают цифры

426 – не подходит, т.к. не делится на 4

428 – не подходит, т.к. не делится на 8

Числа 43* годятся только четные и кратные 3. Поэтому тут подходит только 432.

Числа 44* не подходят полностью.

Числа 45* не подходят полностью, т.к. они должны оканчиваться только 5 (т.е. быть нечетными) или 0.

Числа 46*, 47*, 48*, 49* не подходят полностью, т.к. для каждого из них не выполняется 1 или несколько условий.

Числа 5-й сотни не годятся полностью. Они должны делиться на 5, а для этого оканчиваться либо 5, либо 0, что не допускается.

Числа 60* не годятся полностью.

Среди остальных можно рассматривать только четные, кратные 3, не оканчивающиеся 0. Опуская подробности перебора чисел, оговорим только, что из них годятся: 612, 624, 648. Для остальных не выполняется одно или несколько условий.

Ответ: 412, 432, 612, 624, 648

Вариант девятнадцатого задания 2019 года (10)

Найдите четырехзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Алгоритм выполнения
  1. Если число кратно 45, значит, оно делится на 5 и на 9.
  2. Рассматривать следует только числа четных сотен.
  3. Оканчиваться числа могут только 0, т.к. 5 – нечетная цифра.
  4. Сумма цифр числа должна быть равна 18. Только в этом случае можно составить его из всех четных цифр.
Решение:

Т.к. по условию цифры должны быть четными, то рассматривать можно только числа 2-й, 4-й, 6-й и 8-й тысяч. Это значит, что начинаться оно может с 2, 4, 6 или 8.

Если число кратно 45, то оно кратно 5 и кратно 9.

Если число кратно 5, то оно должно оканчиваться 5 или 0. Но поскольку все цифры должны быть четными, то подходит здесь только 0.

Т.о., получаем шаблоны чисел: 2**0, 4**0, 6**0, 8**0. Отсюда следует, что для проверки кратности 9 требуется, чтобы сумма первых 3-х цифр была равной 9, или 18, или 27 и т.д. Но подходит тут только 18. Основания: 1) для получения в сумме 9 нужно, чтобы одно из слагаемых было нечетным, а это противоречит условию; 2) 27 не подходит потому, что даже если взять самую большую 1-ю цифру 8, то сумма 2-й и 3-й цифр будет равна 27–8=19, что превышает допустимый предел. Еще большие суммы цифр, кратные 9, не подходят тем более.

Рассматриваем числа по тысячам.

Числа 2**0. Сумма средних цифр равна: 18–2=16. Получить 16 из четных чисел можно только так: 8+8. Однако цифры не должны повторяться. Поэтому подходящих условию чисел здесь нет.

Числа 4**0. Сумма средних цифр: 18–4=14. 14=8+6. Поэтому получаем: 4680 или 4860.

Числа 6**0. Сумма средних цифр: 18–6=12. 12=6+6, что не подходит, т.к. цифры повторяются. 12=4+8. Получаем: 6480 или 6840.

Числа 8**0. Сумма средних цифр: 18–8=10. 10=2+8, что не подходит, т.к. при этом будет повторяться 8. 10=4+6. Получаем: 8460 или 8640.

Ответ: 4680, 4860, 6480, 6840, 8460, 8640

spadilo.ru

Вопросы»Базовый уровень по математике с решениями. Задание 19. ЕГЭ 2016.|Поступи в ВУЗ

Базовый уровень по математике с решениями. Задание 19. ЕГЭ 2016.

создана: 06.10.2015 в 11:15
…………………………………………

liliana :

В задании 19 базового уровня предложены задачи на тему «Делимость натуральных чисел». Чтобы решить такую задачу, надо хорошо знать признаки делимости натуральных чисел.

Признаки делимости.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 5, 25, 10, 100, 1000.

1. Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

2. Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

3. Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

4. Признаки делимости на 3

и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

5. Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

6. Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.

7. Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.

8. Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.

9. Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

10. Признак делимости на

1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры -нули.

11. Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. (Например, 12364 делится на 11, т.к. 1+3+4=2+6.)

 

 

За­да­ние 19 (1). При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го числа, сумма цифр ко­то­ро­го равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9.

Решение.

Раз­ло­жим число 20 на сла­га­е­мые раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми:

1) 20 = 9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6) 20 = 8 + 7 + 5.

Находим сумму квадратов в каждом разложении и проверяем, делится ли она на 3 и не делится на 9?

Замечаем, что, если в разложении 2 числа делятся на 3, то сумма квадратов на 3 не делится.

92+92+22    не делится на 3

При раз­ло­же­нии спо­со­ба­ми (1)−(4) суммы квад­ра­тов чисел не делятся на 3.

При раз­ло­же­нии спо­со­бом (5) сумма квад­ра­тов делится на 3 и на 9.

Раз­ло­же­ние ше­стым спо­со­бом удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи. Таким об­ра­зом, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет любое число, за­пи­сан­ное циф­ра­ми 5, 7 и 8, на­при­мер, числа 578 или 587 или 785 и т.д.

www.postupivuz.ru

Задание 19. Математика ЕГЭ 2018 (базовый уровень): разбор и решение

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый уровень

Учебник входит в УМК по математике для 10-11 классов, изучающих предмет на базовом уровне. Теоретический материал разделен на обязательный и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, а каждая глава — домашней контрольной работой. В учебник включены темы проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.

Купить

Задание 19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение

А) Пусть среди написанных чисел

x – положительных

y – отрицательных

z – нулей

Среднее арифметическое чисел =  сумма чисел
количество чисел

Тогда имеем, что

  • сумма положительных чисел равна 4x
  • сумма отрицательных чисел равна –8y
  • сумма всех чисел ряда 4x + (–8y) + 0z = –3(x
    + y + z)

4(x – 2y + 0z) = –3(x + y + z)

Т.к. левая часть равенства кратна 4, то и правая часть равенства должна быть кратна 4, значит

x + y + z (количество чисел) кратно 4.

40 < x + y + z < 48,

x + y + z = 44

Значит на доске написано 44 числа.

Б) Рассмотрим равенство 4x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)

4x – 8y

= – 3x – 3y – 3z

4x + 3x + 3z = 8y – 3y

7x + 3z = 5y

Отсюда получаем, т.к. z ≥ 0 (количество нулей в ряду)

7x < 5y

x < y

Значит положительных чисел меньше, чем отрицательных.

В) Т.к. x + y + z = 44,подставим это значение в равенство 4x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z),

получим

4

x – 8y = (–3 · 44)/4

x – 2y = –33

x = 2y – 33

Учитывая, что x + y + z = 44, имеем x + y ≤ 44, подставим x = 2y – 33 в данное неравенство

2y – 33 +y ≤ 44

3y ≤ 77

y ≤ 25, учитывая, что x = 2y – 33 получаем x ≤ 17.

Тогда положительных чисел не больше 17.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

ЕГЭ-2018. Математика (60х90/16) 10 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену. Профильный уровень

Издание содержит 10 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к ЕГЭ. Каждый вариант составлен в полном соответствии с требованиями ЕГЭ, включает задания профильного уровня. Структура вариантов едина. В конце пособия даны ответы на все задания.

Купить


rosuchebnik.ru

План-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс) на тему: Подготовка к ЕГЭ по математике. Задание №19. Базовый уровень | скачать бесплатно

Слайд 1

Числа и их свойства Базовый уровень Задание №19

Слайд 2

№1. Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50 Произведение цифр кратно 5, а значит равно 45 Пусть число имеет вид abcd 40

Слайд 3

№2.Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 35 Вычеркиваем цифру 6, цифру 5 оставляем Т.к. число кратно 35, то кратно 5, оканчивается либо 0, либо 5 Выполним подбор 35·3=105 35·5=175 35·7=245 Вычеркнем цифры 1 и 3 3 х 1 0 х В 19 4 5 2

Слайд 4

№3. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 27 Проверим какое из чисел 126 и 135 кратно 27 3 х 1 0 х В 11 5 3 1 Т.к. число кратно 27, то кратно 9, Сумма цифр кратна 9 1+2+6=9 1+3+5=9 не кратно 27 135 кратно 27

Слайд 5

№4. Найдите наименьшее трехзначное число. Которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 дает остаток 4 и которое записано тремя различными нечетными цифрами Любое нечетное число при делении на 2 даст в остатке 1. Искомое число может состоять из: Суммы цифр 1+5+9=15, 5+7+9=21 исключаем, как кратные 3 1+3+9 =13 13 – 2 =11 1+9+7 = 17 17-2=15 3+5+9=17 17-2=15 Группа цифр 1,3,9 также исключается 1, 3,5 1,3,7 1, 3,9 1,5,7 1, 5,9 1,9,7 3, 5,9 3,5,7 5,7,9 Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 4, оканчиваются либо на 9, либо на 4, но 4 — четное Рассмотрим числа 179, 359, 719, 539 Наименьшее: 179 3 х 1 0 х В 19 7 9 1

Слайд 6

№5. Найдите наибольшее пятизначное число, которое записывается только цифрами 0, 5 и 7 и делится на 120 Искомое число оканчивается 0. 3 х 1 0 х В 11 5 0 0 0 7 Т.к число делится на 4, то две последние цифры 0. Т .к. число кратно 3, значит сумма цифр кратна 3 7+5+0+0+0 =12 кратно 3

Слайд 7

№6. Найдите четырёхзначное число, кратное 4 , сумма цифр которого равна их произведению Так как а bcd (10с+ d ) и d — четное Пусть число – а bcd , тогда а+ b + c + d = a·b·c·d Среди цифр a , b , с и d Не может быть трех единиц, 1+1+1+ d = d –равенство невозможно Среди цифр a , b , с и d нет нулей иначе произведение равно 0 Среди цифр a , b , с и d Не может быть только одна единица, 1+ b + c + d = b·c·d –равенство невозможно

Слайд 8

Рассмотрим двузначные числа кратные 4: 12; 16; 24 №6Найдите четырёхзначное число, кратное 4, сумма цифр которого равна их произведению Среди цифр a , b , с и d д ве единицы 1+с+1+2=1 ·с·1·2 Из 1 равенства с+4=2с, значит с=4 1+с+1+6=1 ·с·1·6 1+1+2+4=1 ·1·2·4 Из 2 равенства с+8=6с, с – дробное, чего быть не может 3-е равенство верное Искомые числа: 4112, 1412, 1124

Слайд 9

Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число. Число кратно 72, значит кратно 9 и кратно 4 и 8 Сумма цифр кратна 9, значит в записи должны быть три двойки и три единицы, т.к. 1+1+1+2+2+2=9 кратно 9 Число из двух последних цифр делится на 4 , значит это 12 Число из трех последних цифр делится на 8 , значит это 112 122112 – одно из чисел 3 х 1 0 х В 19 2 2 1 1 2 1

Слайд 10

Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2457. Приведите пример такого числа. Пусть а bcd – dcba =2457 3 х 1 0 х В 19 4 0 8 5 d= 0 или d =5, т.к. число кратно 5 d =0 – не подходит, иначе второе число трехзначное а bc 5 – 5 cba =2457 а=8 8 bc 5 – 5 cb 8=2457 с =0; b =4

Слайд 11

Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся число. Т.к. число кратно 15, то кратно 5 и 3, значит окачивается либо на 5, либо на 0, и сумма цифр кратна 3 Вычеркнем последние две цифры, тогда число оканчивается цифрой 0 5+3+1+6++4+0= 19 . Можно вычеркнуть либо 1, либо 4 3 х 1 0 х В 19 3 0 4 0 5 6

Слайд 12

Автор шаблона презентации: Ермолаева И.А. Название сайта: http://www.nsportal.ru/ermolaeva-irina-alekseevna Для шаблона использовались http://lake.k12.fl.us/cms/cwp/view.asp?A=3&Q=427619

nsportal.ru

Решение всех прототипов задания 19 (база ЕГЭ).

 

Задача 1366. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Искомое натуральное число делится на 24, следовательно, оно делится на 3 и на 8.

Число делится на 3, если сумма его цифр кратна 3.

Число делится на 8, если три его последние цифры делятся на 8 или являются нулями.

Чтобы искомое число делилось на 3, оно должно состоять из шести цифр 2, или из трех цифр 2 и трех цифр 0.

222 не делится на 8, поэтому первый вариант нас не устраивает.

Значит искомое число состоит трех цифр 2 и трех цифр 0.

На 8 в этом случае делится, например, такое число: 222000

Ответ: 222000

Задача 1376. Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 2 и все цифры которого четные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Сначала найдем число, которое делится на , на и на .

Если число делится на , то его последняя цифра или .

Если число делится на , то две его последние цифры образуют число, которое делится на , или две его последние цифры нули.

Если число делится на , то оно делится на и на , так как .

Если число делится на , то его последняя цифра — четная. И если число делится на , то сумма его цифр делится на .

Тогда для двух последних цифр искомого числа существуют такие варианты:

Так как  сумма цифр числа делится на , и все цифры четные, получаем такие варианты для первой цифры:

Далее. По условию искомое число при делении на , на и на дает в остатке . Это значит, что если из искомого числа вычесть , то мы получим число, которое делится без остатка на , на и на . То есть чтобы получить искомое число, нужно к числам, записанным в таблице прибавить .

Таким образом, искомым числом может быть одно из следующих:

 

Ответ: или или или или или .

Задача 1398. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Так как искомое число делится на , следовательно, оно делится на и на ().

Следовательно, две его последние цифры образуют число, которое делится на , или две его последние цифры нули (признак делимости на ). И  сумма его цифр делится на (признак делимости на ).

Таким образом, точно нужно вычеркнуть последнюю цифру, чтобы две последние цифры образовывали число , которое делится на :

181615121

Теперь нужно вычеркнуть еще две цифры так, чтобы сумма  цифр числа делилась на . Сумма всех оставшихся цифр равна Ближайшие числа, которые делятся на это, , , .

Получить  не получится, так как — нужно вычеркнуть только одну цифру , а нужно вычеркнуть две.

Чтобы получить  нужно из  вычесть  — это также не получится сделать, зачеркнув две цифры.

Чтобы получить  нужно из  вычесть . .  Значит, нужно вычеркнуть цифру  и цифру .

То есть так:

181615121

или так:

181615121

или так:

181615121

Аналогичным образом можно попробовать получить сумму цифр , и т.д.

Но нам достаточно того, что получилось.

Ответ: или .

Задача 6089.   Найдите трехзначное число , обладающее следующими свойствами:

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Задача 6100. Найдите четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 35 но меньше 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Если число кратно , то оно делится на и на ()

Если число делится на , то его последняя цифра или .

Последняя цифра не может быть , так как в этом случае произведение цифр будет равно нулю. Следовательно, последняя цифра равна .

Отсюда произведение трех оставшихся цифр больше чем и меньше чем .

Итак, у нас есть произведение трех цифр, которое больше чем но меньше чем . Следовательно, произведение трех первых цифр равно .

Тогда возможные варианты искомого числа (порядок первых трех цифр произвольный):

1185

1245

Кроме того, поскольку искомое число еще делится на , сумма всех цифр числа, включая последнюю цифру делится на .

Сумма цифр числа 1245 делится на .

Следовательно, искомое число равно . (Также нам подойдут все числа, полученные из числа   перестановкой первых трех цифр.)

Ответ: .

Задача 6112. Найдите четырехзначное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Если число кратно , то оно делится на и на .

Следовательно, две его последние цифры образуют число, которое делится на , или две его последние цифры нули (признак делимости на ). И  сумма его цифр делится на (признак делимости на ).

Последние цифры не могут быть нулями, так как в этом случае произведение цифр будет равно нулю.

Число раскладывается на множители двумя способами:

— этот вариант нам не подходит, так как не является цифрой.

.

Следовательно, число можно представить в виде произведения четырех множителей как .

Таким образом, число, которое мы ищем записывается цифрами , сумма которых равна 9. Следовательно число, записанное этими цифрами делится на .

Две последние цифры должны составлять число, которое делится на — это может быть или .

Таким образом, получим числа

1512 (или 5112)

или

1152

Ответ: или или .

Задача 6123. Найдите четырехзначное число, кратное 44, любые две соседние цифры которого отличаются отличаются на 1. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Если число кратно , то оно делится на и на .

Следовательно, две его последние цифры образуют число, которое делится на , или две его последние цифры нули (признак делимости на ). Последние две цифры не могут быть нулями, так как по условию любые две соседние цифры числа отличаются отличаются на 1.

Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, или разность этих сумм кратна 11. (Признак делимости на 11).

Последними двумя двумя цифрами могут быть, например, 12 или 32  — числа 12 и 32 делятся на 4 и цифры, составляющие эти числа отличаются на 1.

Тогда это могут быть, например, числа

3212

или

1232

В обоих числах суммы цифр стоящих на четных и нечетных местах равны 4.

также подходят числа 1012, 3432, 5456, 5676.

Ответ: 3212, 1232, 1012, 3432, 5456, 5676.

Задача 6134. Найдите четырехзначное число, кратное 66, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Если число кратно , то оно делится на , на и на .

Следовательно, его последняя цифра четная, сумма цифр делится на 3, сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах, или разность этих сумм кратна 11.

Последнее невозможно, так как все цифры четные.

Так как сумма цифр, стоящих на четных местах равна сумме цифр стоящих на нечетных местах  и сумма всех цифр делится на 3, каждая сумма делится на 3.

Этим условиям удовлетворяют, например, числа:

6402

6204

4620

2640

2046

4026

Ответ: 6402, 6204, 4620, 2640, 2046, 4026

Задача 6176. Найдите трехзначное число, кратное 70, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Если число кратно , то оно делится на ,  и на .

Следовательно, последняя цифра — 0.

Выпишем трехзначные числа, кратные 70:

140, 210, 280, 350, 420, 490, 560, 630, 700, 770, 840, 910, 980.

Вычеркнем содержащие одинаковые цифры:

140, 210, 280, 350, 420, 490, 560, 630, 700, 770,  840, 910, 980.

Сумма квадратов цифр делится на 5, но не делится на 25 у чисел 210, 420, 630, 840, 980

Ответ: 210, 420, 630, 840, 980

Задача 6186. Найдите трехзначное натуральное число, большее 400 но меньшее 650, которое делится на каждую свою цифру, и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Так как число больше 400 но меньше 650, первой цифрой числа могут быть цифры 4, 5 или 6.

Рассмотрим случай, когда первая цифра 4. Тогда число делится на 4, следовательно две его последние цифры образуют число, которое делится на 4. Если число делится на 4, оно также делится на 2.

Кроме того, любое число делится на 1.

Из этих соображений нам подойдет число 412.

Ответ: например, 412.

Задача 6198. Найдите трехзначное натуральное число большее 500, которое при делении на 5 и на 8 дает равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите  какое-нибудь одно такое число.

Решение показать

Найдем числа, которые делятся без остатка на 5 и на 8. Так как 5 и 8 взаимно простые числа, искомое число за вычетом остатка должно делиться на 40.

Так как искомое число за вычетом остатка делится на 4 и оканчивается на 0, вторая цифра числа обязательно четная.

Чтобы получить искомое число, нужно к числу, которое делится на 40 без остатка прибавить остаток.

Остатком от деления на 5  могут быть числа 1, 2, 3, 4. Следовательно, остаток от деления искомого числа на 5 и на 8 может быть одним из этих чисел.

Пусть первая цифра числа равна 5. Чтобы получить четную цифру на втором месте, остаток должен быть нечетным.

Тогда возможны варианты:

531 (остаток 1)

543 (остаток 3)

Вычтем остаток из этих чисел и проверим, делятся ли полученные числа на 40 без остатка.  Ни 530, ни 540 на 40 не делятся.

Пусть первая цифра равна 6. Тогда, чтобы получить четную цифру на втором месте, остаток должен быть четным.

Возможны варианты:

642 (остаток 2)

654 (остаток 4)

Вычтем остаток из этих чисел и проверим, делятся ли полученные числа на 40 без остатка. Число 640 делится на 40 без остатка.

Можно продолжить эти рассуждения и получит другие числа.

Ответ: 642.

Задача 6220. Найдите трехзначное натуральное число, кратно 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите како-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Сумма трех цифр равна их произведению, например, в том случае, если это цифры 1, 2, 3.

Составим из этих цифр число, которое делится на 4. Две последние цифры этого числа должны образовать число, которое делится на 4. Это может быть 12 или 32. В таком случае искомым числом может быть одно из чисел 321 или 132.

Ответ: 312, 132.

Задача 9600. Цифры четырехзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Если число делится кратно 5, то его последняя цифра 0 или 5. 0 не может быть последней цифрой, так в этом случае при записи числа в обратном порядке получим трехзначное число.

Итак, последняя цифра искомого числа 5 и мы имеем такую ситуацию:

Очевидно, что .

Получим:

При вычитании в разряде десятков мы из заняли 1. Поэтому получаем: . Отсюда .

При вычитании в разряде сотен мы к добавили 10. Поэтому получаем: . Отсюда . Получили такое же соотношение и .

Поэтому нас устраивает четырехзначное число, у которого первая цифра равна 7, последняя равна 5, а вторая меньше третьей на 6. Например, 7285.

Ответ: 7285.

Задача 9616. Найдите четырехзначное число, которое в три раза меньше четвертой степени некоторого натурального числа.  В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. 

Решение показать

Искомое четырехзначное число можно получить, если разделить четвертую степень какого-нибудь натурального числа на 3. Если четвертая степень натурального числа делится на 3, то само число тоже делится на 3.

Возьмем, например, число 9. . .

Итак, четырехзначное число 2187 в 3 раза меньше, чем .

Ответ: 2187.

 

ege-ok.ru

Задача с монетами (Задание 20 базовый ЕГЭ )

Задача с монетами (Задание 20 базовый ЕГЭ )

В об­мен­ном пунк­те можно со­вер­шить одну из двух опе­ра­ций:

 · за 2 зо­ло­тые мо­не­ты по­лу­чить 3 се­реб­ря­ные и одну мед­ную;

 · за 5 се­реб­ря­ных монет по­лу­чить 3 зо­ло­тые и одну мед­ную.

У Ни­ко­лая были толь­ко се­реб­ря­ные мо­не­ты. После не­сколь­ких по­се­ще­ний об­мен­но­го пунк­та се­реб­ря­ных монет у него стало мень­ше, зо­ло­тых не по­яви­лось, зато по­яви­лось 100 мед­ных. На сколь­ко умень­ши­лось ко­ли­че­ство се­реб­ря­ных монет у Ни­ко­лая?

Решение.

Во время операции первого типа Николай отдает 2  золотых монеты, и взамен получает 3 серебряных и одну медную. Запишем это так:

Во время операции второго типа Николай отдает 5  серебряных монет, и взамен получает 3 золотых и одну медную. Запишем это так:

Пусть было проведено х операций первого типа, и у операций второго типа.

Тогда в результате проведения этих операций число медных монет увеличится на 100:

Число золотых монет не изментся:

Получили систему уравнений:

   

Выразим из первого уравнения  и подставим во второе уравнение:

 ,

То есть было проведено 60 операций первого типа, и 40 второго.

Тогда количество серебряных монет изменится на

Итак, количество серебряных уменьшится на 20.

Ответ: 20.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru