Часть 5. Теория вероятностей на ЕГЭ. Трудные задачи. – МАТЕМАТИКА

Еще одна статья по теории вероятностей. В ней собраны задачи на проценты, вероятности зависимых событий, а также задачи, требующие последовательного подсчёта разных вероятностей. Эти задачи относятся к категории «трудные задачи», однако разобрав их с нами, они таковыми вам уже не покажутся.

Теоретическая часть

Если имеются события А и В, то

Эти формулы следуют применять, когда А и В – зависимые совместные события (более простые случаи рассмотрены в предыдущих статьях (часть1, часть 2, часть 3, часть 4).

Задачи о зависимых событиях

Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.
1-й способ.

Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда .

Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) — P(A ∪ B)= 0,6 + 0,6 — 0,78 = 0,42

2-й способ
Обозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».
Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:

P(X∪Y)=P(X)+P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 + 0,4 – 0,22 = 0,58.

Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет  «кофе остался в обоих автоматах», его вероятность равна = 1 –P(X ∪ Y) = 1 –0,58 = 0,42.

3-й способ.
Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,22
кофе остался

По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.

В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,220,18
кофе остался

Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,220,18
кофе остался0,18

Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,220,18
кофе остался0,180,42

Ответ: 0,42.

Задачи на проценты

Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории.

Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.
Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.

Отсюда

Ответ: 0,4

Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение.
Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.

Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х + 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна  ≈ 0,93

Ответ: 0,93.

Разные задачи

Задача 5.4

На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Финляндии будет выступать после группы из Бельгии, но перед группой из Греции? Результат округлите до сотых.

Решение.
1-й способ.
Будем считать исходом порядок выступления групп на фестивале. Разобьём множество исходов на подмножества следующим образом: в одно подмножество будем включать исходы, полученные перестановками рок-групп из Финляндии, Бельгии и Греции (с сохранением мест всех остальных рок-групп).

Тогда в каждом подмножестве будет 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Из этих шести исходов благоприятным будет только БФГ.

Следовательно, благоприятными являются 1/6 всех исходов. Искомая вероятность равна 1\6 ≈ 0,17

2-й способ (этот способ не является математически верным, но при решении на экзамене может помочь, если первый способ непонятен)

Так как в условии не указано общее число рок-групп, будем считать, что их всего три: из Финляндии, Бельгии и Греции. Будем считать исходом порядок выступлений, всего 6 исходов: ФБГ, ФГБ, БГФ, БФГ, ГБФ, ГФБ. Благоприятным является только исход БФГ. Искомая вероятность равна  1\6 ≈ 0,17.

Ответ: 0,17.

Задача 5.5 При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при каждом последующем  0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.
1-й способ
Вероятность промаха при первом выстреле равна 1 – 0,2 = 0,8. Вероятность промаха при каждом последующем равна 0,3. Подсчитаем число выстрелов, при котором цель остаётся непоражённой с вероятностью менее 1 – 0,98 = 0,02.

Вероятность непоражения
после второго выстрела равна 0,8 • 0,3 = 0,24;
после третьего  0,24 • 0,3 = 0,072;
после четвёртого  0,072 • 0,3 = 0,0216;
после пятого  0,0216 • 0,3 = 0,00648.

Следовательно, необходимо 5 выстрелов.

2-й способ (этот способ имеет математическое значение, но непригоден на экзамене из-за необходимости приближённого вычисления логарифма)

Вероятность непоражения после n выстрелов равна , так как при первом выстреле вероятность промаха 0,8, а при каждом последующем 0,3.

По условию необходимо, чтобы


Ответ: 5.

Задача 5.6 Чтобы поступить в институт на специальность «Архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «Живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов – русскому языку, истории и литературе.
Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку  0, 5, по литературе  0,6 и по математике 0,9.
Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение.

Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 – 0,6) • (1 –0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 – 0,04 = 0,96.
Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.

Ответ: 0,384.

Задача 5.7 В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 11 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 14 марта в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Составим таблицу вероятностей для погоды в Волшебной стране.

11 марта12 марта13 марта14 марта

хорошая

1

отличная0

Погода 12 марта с вероятностью 0,9 останется хорошей, с вероятностью 0,1 станет отличной. Занесём эти данные в таблицу.

11 марта12 марта13 марта14 марта
хорошая10,9
отличная00,1

Хорошая погода 13 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 12 марта была хорошей и не изменилась. Вероятность этого равна 0,9 • 0,9 = 0,81.
2) Погода 12 марта была отличной и изменилась. Вероятность этого равна 0,1 • 0,1 = 0,01.

Таким образом, вероятность хорошей погоды 13 марта равна 0,81 + 0,01 = 0,82. Вероятность отличной погоды 13 марта равна 1 – 0,82 = 0,18. Заносим эти данные в таблицу.

11 марта12 марта13 марта14 марта
хорошая10,90,82
отличная00,10,18

Отличная погода 14 марта может быть в двух случаях.
1) Погода 13 марта была хорошей и изменилась. Вероятность этого равна 0,82 • 0,1 = 0,082.
2) Погода 13 марта была отличной и не изменилась. Вероятность этого равна 0,18 • 0,9 = 0,162.

Таким образом, вероятность отличной погоды 14 марта равна 0,082 + 0,162 = 0,244.

11 марта12 марта13 марта14 марта
хорошая10,90,82
отличная00,10,180,244

Ответ: 0,244.

Подведем итог

Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.

Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.

Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.

Также рекомендую изучить «Задачи с параметром» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

ЕГЭ. Задача 4. Теория вероятностей

Подготовка к единому государственному экзамену по математике. Полезные материалы и видеоразборы задач по теории вероятностей.

Полезные материалы

  • Теория вероятностей (Фоксфорд. Учебник)

Видеоразборы задач

За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

 

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 28 марта, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 1 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

 

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.

 

На рисунке изображен лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому еще не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придет к выходу D.

 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

 

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Подборка задач

  1. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
  2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
  3. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
  4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
  5. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что доклад профессора Максимова окажется запланированным на последний день конференции?
  6. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  8. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
  9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадает орел, а во второй — решка.
  10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
  11. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы две решки.
  12. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
  13. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
  14. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
  15. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того. что Аня и Нина окажутся в одной группе.
  16. Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
  17. Если гроссмейстер Антонов играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Борисова с вероятностью 0,52. Если Антонов играет черными, то Антонов выигрывает у Борисова с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры Антонов и Борисов играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что Антонов выиграет оба раза.
  18. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
  19. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
  20. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
  21. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?
  22. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
  23. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
  24. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
  25. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
  26. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых
  27. Помещение освещается фонарем с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
  28. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
  29. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятость того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
  30. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
  31. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
  32. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
  33. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.
  34. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Артем хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что Артем пойдет в магазин?
  35. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трех предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что Петров получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что Петров сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей
  36. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Практические задачи на вероятность

1. На шестигранном кубике каждая грань имеет число от 1 до 6. Какова вероятность того, что выпадет 3 или 4?
  1. 1 из 6
  2. 1 из 3
  3. 1 из 2
  4. 1 из 4
2. Три монеты подбрасываются в воздух по одной. Какова вероятность того, что два из них выпадут орлом вверх, а один — решкой?
  1. 0
  2. 1/8
  3. 1/4
  4. 3/8
3. Случайным образом выбирается двузначное число. Какова вероятность того, что выбранное число кратно 7?
  1. 1/10
  2. 1/9
  3. 11/90
  4. 12/90
  5. 13/90
4. Сумка содержит 14 синих, 6 красных, 12 зеленых и 8 пурпурных кнопок. Из сумки случайным образом вынимаются 25 пуговиц. Сколько удаленных пуговиц были красными, если шанс вытащить красную пуговицу из мешка теперь равен 1/3?
  1. 0
  2. 1
  3. 3
  4. 5
  5. 6
5. В мешке 6 синих, 3 красных и 5 желтых шариков. Какова вероятность того, что при первом розыгрыше выпадет синий или красный шарик?
  1. 1/3
  2. 4/7
  3. 8/14
  4. 9/14
  5. 11/14
бросает. Какова вероятность того, что Карлин выкинет шестерку при следующем броске?
  1. 1/2
  2. 1/4
  3. 1/6
  4. 1/30
  5. 1/3125
7. Обычная колода карт формата А2. Если предположить, что вы не вернете карту, которую вы взяли, до следующего розыгрыша, какова вероятность того, что вы вытащите три туза подряд?
  1. 1 в 52
  2. 1 в 156
  3. 1 В 2000
  4. 1 в 5525
  5. 1 В 132600
8. Игрок MP3 собирается играть в песне в Fifteneen Songs, которые он содержит в Память. Любую песню можно проиграть в любое время, даже если она повторяется. Есть 5 песен группы A, 3 песни группы B, 2 песни группы C и 5 песен группы D. Если игрок только что сыграл две песни группы D подряд, какова вероятность того, что следующая песня будет такой же? быть группой D?
  1. 1 из 5
  2. 1 из 3
  3. 1 из 9
  4. 1 из 27
  5. Недостаточно данных для определения.
9. Снова возвращаясь к MP3-плееру, описанному в вопросе 8, какова вероятность того, что обе следующие две песни будут принадлежать группе B?
  1. 1 из 25
  2. 1 из 3
  3. 1 из 5
  4. 1 из 9
  5. Недостаточно данных для определения.
10. Если мешок с шариками состоит из 47 белых шариков, 5 желтых шариков и 10 черных шариков, какова приблизительная вероятность того, что шарик, случайно выбранный из мешка, окажется черным?
  1. 19%
  2. 16%
  3. 21%
  4. 33%
11. В лотерее в среднем на каждые 100 проданных билетов приходится 2 победителя. Если мужчина покупает 10 билетов, какова вероятность того, что он выиграет?
  1. 21,5%
  2. 20%
  3. 18,3%
  4. 2%

1. B: На шестисторонней умирании, вероятность бросания любых чисел. вероятность выпадения 3 или 4 в два раза больше, или 2 из 6. Это можно упростить, разделив 2 и 6 на 2.

Следовательно, вероятность выпадения 3 или 4 равна 1 из 3.

2.  D:  Ниже показано пространство возможных исходов для подбрасывания трех монет по одной за раз. Поскольку существует возможность двух исходов (орел или решка) для каждой монеты, всего существует 2 * 2 * 2 = 8 возможных исходов для трех монет. Обратите внимание, что H представляет собой орел, а T представляет собой решку:

HHH HHT HTT HTH TTT TTH THT THH

Обратите внимание, что из 8 возможных результатов только 3 из них (HHT, HTH и THH) соответствуют желаемому условию, что две монеты приземляется орлом вверх, а одна монета приземляется решкой вверх. Вероятность, по определению, представляет собой количество желаемых результатов, деленное на количество возможных результатов. Следовательно, вероятность двух орлов и одной решки равна 3/8, вариант D.

3.  E:  Есть 90 двузначных чисел (все числа от 10 до 99). Из них есть 13 кратных 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

4.  B:  Добавьте 14 синих, 6 красные, 12 зеленых и 8 фиолетовых кнопок, чтобы получить в общей сложности 40 кнопок. Если убрать 25 пуговиц, в сумке останется 15 пуговиц. Если шанс вытянуть красную кнопку теперь равен 1/3, то 5 из 15 оставшихся кнопок должны быть красными. Первоначальное количество красных кнопок было 6. Таким образом, одна красная кнопка была удалена.

5.  D:  Используйте это отношение для вероятности:

Вероятность = количество желаемых результатов

количество возможных результатов

Есть 6 синих и 3 красных шарика, всего 9 желаемых результатов. Добавьте общее количество шариков, чтобы получить общее количество возможных результатов, 14. Вероятность того, что будет выбран красный или синий шарик, составляет 9/14.

6.  C:  Результаты предыдущих бросков не влияют на результаты будущих бросков. Существует один желаемый результат и шесть возможных результатов. Вероятность выпадения шестерки при пятом броске равна 1/6, так же как и вероятность выпадения шестерки при любом отдельном броске.

7.  D:  Вероятность выпадения трех тузов подряд равна произведению вероятностей каждого розыгрыша. Для первого туза это 4 из 52 или 1 из 13; для второго это 3 из 51 или 1 из 27; а для третьего это 2 из 50 или 1 из 25. Таким образом, общая вероятность P равна P=1/13*1/17*1/25=1/5,525

8. B: Вероятность исполнения песни конкретной группой пропорциональна количеству песен этой группы, деленному на общее количество песен, или 5/15=1/3 для B и D. Вероятность исполнения какой-либо конкретной песни не зависит от того, что было сыграно ранее, поскольку выбор является случайным, и песни могут повторяться.

9.  A:  Поскольку 3 из 15 песен принадлежат группе B, вероятность того, что какая-либо одна песня будет принадлежать этой группе, составляет 3/15 = 1/5. Вероятность того, что следующие две песни принадлежат Band B, равна произведению двух вероятностей, где каждая вероятность состоит в том, что следующая песня принадлежит Band B: 1/5*1/5=1/25. Та же вероятность 1/ 5 может быть умножено дважды, потому что то, принадлежит ли первая песня Band B, не влияет на то, принадлежит ли вторая песня Band B. Это независимые события.

10.  B:  Сначала подсчитайте общее количество шариков в мешке: 47 + 5 + 10 = 62.

Десять из них черные, поэтому разделите это число на 62. Затем умножьте на 100, чтобы выразить вероятность в процентах:

10 / 62 = 0,16

0,16 100 = 16%

11. C: Во-первых, упростим коэффициент выигрыша. Если на каждые 100 билетов приходится 2 победителя, то на каждые 50 проданных билетов приходится 1 победитель. Это может быть выражено как вероятность 1/50 или 0,02. Чтобы учесть (маловероятные) сценарии с более чем одним выигрышным билетом, рассчитайте вероятность того, что ни один из билетов не выиграет, а затем вычтите ее из 1. Вероятность равна 49.(10) ≈ 0,817. Таким образом, вероятность того, что хотя бы один билет выиграет, составляет 1 − 0,817 = 0,183 или около 18,3% . Вероятности можно описать словами или числами. Вероятности варьируются от 0 до 1 и могут быть записаны в виде дробей, десятичных знаков или процентов .

Здесь вы найдете подборку вероятностных вопросов разной сложности, показывающих разнообразие, с которым вы, вероятно, столкнетесь в средней и старшей школе, включая несколько более сложных экзаменационных вопросов.

Руководство по эффективному репетиторству для школ Руководители школ и округов

Углубленный обзор самых популярных подходов к репетиторству, который поможет вам выбрать наиболее эффективный для вашей школы

Приведите примеры вероятности из реальной жизни?

Чем более вероятно, что что-то произойдет, тем выше его вероятность. Мы все время думаем о вероятностях.

Например, вы могли заметить, что в определенный день вероятность дождя составляет 20%, или подумать о том, насколько вероятно, что вы выпадете 6 при игре или выиграете в лотерее при покупке билета.


Как рассчитать вероятности

Вероятность того, что что-то произойдет, определяется по формуле: количество возможных исходов}}\]

Мы также можем использовать следующую формулу, которая поможет нам рассчитать вероятности и решить задачи:

  • Вероятность того, что что-то не произойдет = 1 – вероятность того, что произойдет

    P(not\;A) = 1 — Р(А)

  • Для взаимоисключающих событий:

    Вероятность события A ИЛИ события B = Вероятность события A +
    Вероятность события B

    P(A\;или\;B) = P(A)+P(B)

  • Для независимых событий:

    Вероятность события A И события B = вероятность события A, умноженная на вероятность события B

    P(A\;и\;B) = P(A) × P(B)


Вероятностный вопрос: Рабочий пример

Вопрос: Какова вероятность выпадения орла три раза подряд при подбрасывании монеты?

При подбрасывании монеты возможны два исхода – орёл или решка. Каждый из этих вариантов имеет одинаковую вероятность выпадения при каждом подбрасывании. Вероятность выпадения орла или решки при одном подбрасывании монеты равна ½.

Поскольку существует только два возможных исхода и вероятность их возникновения одинакова, это называется биномиальным распределением.

Давайте посмотрим на возможные результаты, если мы подбросим монету три раза.

Пусть H=орел и T=решка.

Возможные исходы: HHH, THH, THT, HTT, HHT, HTH, TTH, TTT

Каждый из этих исходов имеет вероятность ⅛.

Таким образом, вероятность подбросить монету три раза подряд и все три раза упасть орлом равна ⅛.


Вопросы вероятности в средней школе

Вопросы вероятности в средней школе знакомят с идеей шкалы вероятности и фактом, что сумма вероятностей равна единице. Мы рассматриваем теоретическую и экспериментальную вероятность, а также изучаем типовые пространственные диаграммы и диаграммы Венна.

Вероятностные вопросы для 6-го класса

В настоящее время существует два нечетных числа и два простых числа, поэтому шансы выпадения нечетного или простого числа одинаковы. Добавляя 3, 5 или 11, вы добавляете одно простое число и одно нечетное число, поэтому шансы остаются равными.

 

Добавляя 9, вы добавляете нечетное число, но не простое. Было бы три нечетных числа и два простых числа, поэтому счетчик с большей вероятностью выпадет на нечетное число, чем на простое.

\frac{1}{6}

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

A и E — гласные, поэтому 2 результата, которые являются гласными из 6 результатов в целом.

 

Следовательно, вероятность равна   \frac{2}{6}, что можно упростить до \frac{1}{3} .

Вероятностные вопросы 7-го класса

\frac{1}{2}

\frac{26}{41}

\frac{26}{67}

\frac{26}{100}

Макс бросил монета 67 раз и орлом выпала 26 раз.

 

\text{Относительная частота (экспериментальная вероятность)} = \frac{\text{количество успешных испытаний}}{\text{общее количество испытаний}} = \frac{26}{67}

Добавить их вместе

Вычесть число на кубике 2 из числа на кубике 1

Умножить их

Вычесть меньшее число из большего числа

Для каждой пары чисел Грейс вычла меньшее число из большего числа.

 

Например, если она выбросила 2 и 5, она выкинула 5 − 2 = 3,

Вероятностные вопросы для 8-го класса

Поскольку вероятность взаимоисключающих событий в сумме равна 1:  

 

\begin{align} х+4х&=1\\\\ 5x&=1\\\\ х&=\фракция{1}{5} \end{выровнено}

 

\frac{1}{5} шаров красные, а \frac{4}{5} шаров синие.

 

\frac{4}{5} \text{  из  } 25 = 20

Нам нужно посмотреть на числа, которые не входят в круг «Как наука». В данном случае это 9+ 7 = 16.


Вероятностные вопросы в старших классах

В старших классах вероятностные вопросы больше связаны с решением задач для предсказания вероятности события. Мы также узнаем о диаграммах дерева вероятностей, которые можно использовать для представления нескольких событий, и условной вероятности.

Один из первых слайдов вероятности на древовидных диаграммах для старшеклассников в онлайн-вмешательстве Third Space Learning.
Вероятностные вопросы 9 класса

Количество различных комбинаций 2 × 3 × 2 = 12.

\frac{12}{30}

\frac{3}{7}

\frac{1}{4}

\frac{ 3}{12}

Сначала нам нужно определить, сколько учеников ходит в школу пешком:

 

\frac{2}{9} \text{ of } 18 = 4

 

\frac{1}{ 4} \text{ of } 12 = 3

 

4 + 3 = 7

 

7 учеников идут в школу пешком. 4 девочки и 3 мальчика. Таким образом, вероятность того, что студент — мальчик, равна \frac{3}{7} . 92 = 0,16\\\\ р = 0,4. \end{выровнено}

 

Вероятность выпадения орла равна 0,4, поэтому вероятность выпадения решки равна 0,6.

 

Вероятность выпадения двух решек равна 0,6 × 0,6 = 0,36.

Вероятностные вопросы для 10-го класса

Сначала нам нужно рассчитать вероятность сорвать апельсин. Сумма вероятностей равна 1, поэтому 1 — (0,2 + 0,15 + 0,1 + 0,3) = 0,25.

 

Вероятность сорвать апельсин равна 0,25.

 

Количество раз, которое я ожидаю выбрать апельсиновое драже, равно 0,25 × 60 = 15. } \times \frac{4}{13} = \frac{4}{26}

 

Если в игру сыграют 260 человек, Декстер получит 260 долларов.

 

Ожидаемое количество победителей будет \frac{4}{26} \times 260 = 40

 

Декстеру нужно будет раздать 40 × 3 доллара = 120 долларов.

 

Следовательно, прибыль Декстера составит 260 долл. США – 120 долл. США = 140 долл. США.

\frac{1}{8}

\frac{3}{8}

\frac{1}{2}

\frac{1}{6}

Есть три способа получить две головки и один хвост: HHT, HTH или THH.

 

Вероятность каждого из них равна \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} 

 

Следовательно, общая вероятность равна \frac{1}{8} +\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}

Вероятностные вопросы для 11-го/12-го класса

\frac{32}{200}

\frac{32}{100}

\frac{32}{88}

\frac{32}{56}

Поскольку мы знаем, что человек выбрал 100 м, нам нужно включить людей только в этот столбец.

 

Всего 88 человек выбрали 100 м, поэтому вероятность того, что это женщина, равна \frac{32}{88}  .

\frac{12}{50}

\frac{3}{50}

\frac{12}{35}

\frac{10}{35}

Для этого нам нужно нарисовать диаграмму Венна.

 

Начнем с того, что поместим 25 человек, которым нравятся оба, в среднюю часть. Среди 37 человек, которым нравится овощная пицца, есть 25, которым нравится и то, и другое, так что еще 12 человек должны любить овощную пиццу. 3 тоже не нравится. У нас осталось 50 – 12 – 25 – 3 = 10 человек, так что это число должно нравиться только пепперони.

 

 

Всего 35 человек любят пиццу пепперони. Из них 10 не любят овощную пиццу. Вероятность равна   \frac{10}{35} .

\frac{n(12-n)}{66}

\frac{n(n-1)}{132}

\frac{(12-n)(11-n)}{132}

\frac{n(12-n)}{132}

Нам нужно подумать об этом, используя древовидную диаграмму. Если всего 12 шариков и n красных, то 12-n синих.

 

 

Чтобы получить один красный и один синий, Нико может выбрать красный, затем синий или синий, а затем красный, поэтому вероятность равна:

 

\begin{выровнено} \frac{n}{12} \times \frac{12-n}{11} + \frac{12-n}{11} \times \frac{n}{11} &= \frac{n(12- n)}{132} + \frac{n(12-n)}{132}\\\\ &= \frac{2n(12-n)}{132}\\\\ &=\frac{n(12-n)}{66} \end{выровнено}

Ищете другие вопросы по математике для средней и старшей школы?

Попробуйте эти:

  • 15 вопросов на соотношение
  • 15 вопросов по алгебре
  • 15 вопросов по тригонометрии
  • 15 вопросов по одновременным уравнениям
  • 15 вопросов по диаграмме Венна
  • Вопросы на длинное деление

Есть ли у вас ученики, которым нужна дополнительная помощь по математике?
Предоставьте своим учащимся четвертого и пятого классов больше возможностей для закрепления навыков обучения и практики с помощью персонализированного обучения элементарной математике с их собственным специализированным онлайн-репетитором по математике.