Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы найдите площадь: 4. Прототип задания B13 ( 27067) Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

Задание В9 (№ 4861) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра

Задание В9

(№ 4861) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

(№ 4863) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда.

(№ 4865) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда.

(№ 4867) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 8,5. Найдите объем параллелепипеда.

(№ 4869) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 9,5. Найдите объем параллелепипеда.

(№ 4885) Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6,5. Найдите его объем.

(№ 4887) Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 7,5. Найдите его объем.

(№ 4889) Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8,5. Найдите его объем.

(№ 4891) Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 9,5. Найдите его объем.

(№ 4893) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

(№ 4895) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

(№ 4897) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

(№ 4899) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

(№ 4901) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

(№ 4903) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

(№ 4951) В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

(№ 4953) В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

(№ 4955) В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

(№ 4957) В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

(№ 4959) В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 9 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

(№ 4961) В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4963) В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4965) В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 6. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4967) В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 10. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4969) В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 3. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4971) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4973) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 7. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4975) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 6. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4977) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4979)В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 5. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4981) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 4. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4983) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 9. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4985) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4987) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

(№ 4989) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 25.

(№ 4991) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 23.

(№ 4993) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27.

(№ 4995) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 18.

(№ 4997) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 14.

(№ 4999) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 16.

(№ 5001) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 11.

(№ 5003) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 17.

(№ 5005) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 87.

(№ 5007) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 45.

(№ 5009) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 81.

(№ 5011) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 72.

(№ 5013) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 75.

(№ 5015) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 57.

(№ 5017) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 63.

(№ 5019) Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 42.

(№ 5021) Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

(№ 5023) Объем конуса равен 168. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

(№ 5025) Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

(№ 5027) Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

(№ 5029) Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

(№ 5031) Объем конуса равен 24. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

(№ 5033) Объем конуса равен 64. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

(№ 5035) Объем конуса равен 144. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

(№ 5039) Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

(№ 5041) Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

(№ 5043) Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

(№ 5045) Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

(№ 5047) Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

(№ 5049) Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

(№ 5051) Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

(№ 5053) Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

(№ 5055) Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

(№ 5057) Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

(№ 5059) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

(№ 5061) Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен

, а высота равна 2.

(№ 5063) Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

(№ 5065) Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

(№ 5067) Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

(№ 5069) Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

(№ 5071) Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

(№ 5073) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

(№ 5075) Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

(№ 5077) Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

(№ 5079) Объем параллелепипеда  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

(№ 5081) Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Задание №8. Стереометрия. ЕГЭ . Математика.

      БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 8. Стереометрия.

81. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

82. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 48. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

83. Шар вписан в цилиндр. Объем шара равен 6. Найдите объем цилиндра.

84. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π.

85. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

86. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

87. Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

88. Объем первой цилиндрической кружки равен 12. У второй кружки высота в два раза меньше, а радиус основания в три раза больше. Найдите объём второй кружки.

89. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

90. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

91. Объем шара равен 288 π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π.

92. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

93. Объем первого шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго.

94. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁  найдите угол между прямыми AD₁  и B₁D₁. Ответ дайте в градусах.

95. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K – середина ребра AA1, точка L — середина ребра

A1B1, точка M — середина ребра A1D1. Найдите угол MLK. Ответ дайте в градусах.

96. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

97. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке.

98. На рисунке изображен многогранник, все двугранные углы прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами A и C3.

99. Объем тетраэдра равен 19. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

100. Площадь поверхности тетраэдра равен 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

101. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

102. Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

103. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

104. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

105. Объем треугольной пирамиды SABC равен 15. Плоскость проходит через сторону AB основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей ребро SC в отношении 1: 2, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды DABC.

106. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

107. От призмы ABCA1B1C1, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида C1ABC. Найдите объем оставшейся части.

108. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.

109. Найдите объем цилиндра, площадь основания которого равен 1, а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30.

110. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π.

111. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

112. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны 2/ π. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

113. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 2√3, а высота равна 2.

114. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 2.

115. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 2.

116. Около куба с ребром √3 описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π.

117. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

118. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

119. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30°.

120. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

121. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

122. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что BD₁ =2AD.  Найдите угол между диагоналями DB₁ и CA₁. Ответ дайте в градусах.

123. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро АВ=2, ребро AD=√5, ребро AA₁=2. Точка К – середина ребра BB₁. Найдите площадь сечения,проходящего через точки A₁, D₁ и K.

124. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  ребро АВ=8, ребро AD=6, ребро AA1=21. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.

125. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна √3.

126. Одна из граней прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Диагональ параллелепипеда равна √8 и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

127. Найдите угол ABD₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB =5,  AD =4,  AA₁ =3. Ответ дайте в градусах.

128. Найдите угол DBD₁ прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=4,  AD=3,  AA₁=5. Ответ дайте в градусах.

ЕГЭ — 2020. Прямоугольный параллелепипед | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по геометрии (11 класс):

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Занятие выполнено ввиде презентации PowerPoint с выходом в программу «Живая Математика».На данном занятии повторяется, обобщается   и систематизируется знания по теме «Построение сечений».За…

Презентация учителя высшей категории Лукахиной М. Ю. МОУ СОШ №10 г. Ногинск Московской области…

Вашему вниманию предлагаю конспект урока по математике «Прямоугольный параллелепипед» в 5 классе по учебнику Н. Я. Виленкина, В.И. Жохова с презентацией….

Тест составлен в Excel и состоит из 10 вопросов. К каждому вопросу предлягаются иллюстрации и варианты ответов. В конце тестирования выставляется оценка….

ЕщЁ К.Д. Ушинский заметил «Детская приода требует наглядности» В пропедевтическом курсе геометрии наглядность играет особую роль, она является основным источником геометрической информации, что диктуе…

Технологическая карта урока по математике в 5 классе по теме « Прямоугольный параллелепипед. Объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда» по учебнику Виленкина Н.я и др…

Урок математики в 5 классе по учебнику Н.Я. Виленкин «Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда&quot…

Задачи и их решение — Решение B11

Решение.
Ребро куба равно диаметру вписанного в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. Отсюда имеем:

.

Ответ: 8.

2. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Решение.

Пусть ребро куба равно , тогда площадь поверхности куба , а диагональ куба . Тогда

.

Ответ: 3.

3.Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

.

Ответ: 24.

4.

Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

,

.

Ответ: 4.

5.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

Решение.
Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому площадь основания равна 4, а объем параллелепипеда равен

.

6.

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.
 Решение.
Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной :

7.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30, 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Ребро параллелепипеда напротив угла в равно , поскольку образует с заданной диагональю и диагональю одной из граней равнобедренный треугольник. Два другие ребра по построению лежат в прямоугольных треугольниках напротив угла в и равны, поэтому половине диагонали. Тогда объем параллелепипеда:

Ответ: 4.

8.

Тема 4. Многогранники

А:задания базового уровня сложности с выбором ответа.

Тема 5.Тела вращения.

А:задания базового уровня сложности с выбором ответа.

Задания типа В9 (к уроку)

Задания типа В9 (к уроку)

1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

4. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

5. В цилиндрический сосуд налили воды. Уровень воды при этом достигает высоты см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .

6. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

7. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

8. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

9. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

10. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

11. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.

12. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

13. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

14. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

15. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

16. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

17. Объем параллелепипеда  равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

18. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

19. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

20. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

21. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

22. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

23. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

24. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

25. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

26. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

27. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

28. Найдите объем цилиндра, площадь основания которого равен 1, а образующая равна 6 и наклонена к плоскости основания под углом 30.

29. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

30. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30, 30 и 45 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

31. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

32. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

33. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны  и наклонены к плоскости основания под углом 30.

34. От призмы , объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида . Найдите объем оставшейся части.

35. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

36. Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

37. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

38. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

39. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

40. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

41. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

42. Около куба с ребром  описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

43. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

44. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

45. Площадь поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь поверхности отсеченного конуса.

46. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

47. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

48. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

49. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

50. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

51. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

52. Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на .

53. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

54. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

55. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.

56. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

57. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

58. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

59. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

60. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

61. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

62. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

63. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

64. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

65. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

66. Объем тетраэдра равен Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

66. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

67. Объем куба равен . Найдите его диагональ.

Видео с вопросом: Использование множителей Лагранжа для определения максимального объема прямоугольного параллелепипеда, вписанного в эллипсоид, может иметь

Стенограмма видеозаписи

Найдите объем самого большого прямоугольного параллелепипеда, который может быть вписан в эллипсоид: в квадрате в квадрате плюс 𝑦 в квадрате над 𝑏 в квадрате плюс 𝑧 в квадрате над 𝑐 в квадрате равняется единице. Это (а) восемь над тремя корнями три, (б) b над тремя корнями три, (в) восемь 𝑎𝑏𝑐 над корнем три, (г) шесть 𝑎𝑏𝑐 над корнем три, или (д) восемь?

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, самый простой способ — взять одну вершину, а затем произведение длин трех ее смежных ребер.Итак, здесь, например, если эти три ребра имеют длину 𝛼, 𝛽 и then, то объем этой формы 𝑉 составляет всего 𝛼 раз 𝛽 раз 𝛾. Это кажется достаточно простым. Но для максимизации этого значения для параллелепипеда, вписанного внутри эллипсоида, не очевидно, как эта форма будет ориентирована внутри эллипсоида. Таким образом, нам нужно будет найти как минимум 12 переменных,-, 𝑦- и 𝑧-координаты первой вершины и всех трех ее смежных вершин.

Однако вместо этого мы можем использовать то, что мы знаем о взаимосвязи эллипсоида, с более простой трехмерной формой, сферой.Эллипсоид — это, по сути, просто сфера, масштабируемая по трем перпендикулярным осям. В частности, эллипсоид с заданным уравнением в квадрате в квадрате плюс 𝑦 в квадрате над в квадрате плюс 𝑧 в квадрате в квадрате, равном единице, является просто единичной сферой, которая была масштабирована по оси с коэффициентом 𝑎, вдоль по оси в раз, а по оси в раз. Таким образом, эллипсоид является результатом трех вычислений по трем перпендикулярным осям.

Важным свойством преобразования масштабирования является то, что такое же масштабирование, примененное к любой трехмерной фигуре, будет масштабировать ее объем с тем же коэффициентом масштабирования, что и любая другая трехмерная форма.Это немного легче продемонстрировать в двух измерениях, поэтому давайте освободим немного места. Рассмотрим, например, единичный квадрат. Длина стороны равна единице, а площадь составляет всего одну единицу. Теперь представьте, что квадрат растягивается вдоль некоторой оси в раз. Легко увидеть, что если мы растянем вдоль оси, параллельной одной из его сторон, его площадь увеличится в раз. Итак, новая область — 𝑆. Но на самом деле это применимо независимо от того, в каком направлении мы растягиваемся.

Например, рассмотрим растяжение с коэффициентом 𝑆 вдоль оси, параллельной диагонали квадрата.В результате получается ромб с одной неизменной длиной диагонали корня два, а другой — 𝑆 корня два. Площадь ромба составляет половину произведения двух диагоналей. Итак, у нас есть половина, умноженная на двукратный корень 𝑆 корень два, что просто равно 𝑆, такая же новая площадь, какая была у нас, когда мы растягивались вдоль оси, параллельной одной из сторон квадрата. С помощью матричных преобразований довольно просто доказать, что это увеличение площади одинаково по любой оси и что это также распространяется на объем в трех измерениях.

В результате мы можем найти максимальный объем прямоугольного параллелепипеда, который можно вписать в сферу, а затем просто масштабировать параллелепипед, используя то же преобразование, что и для преобразования сферы в эллипсоид. И это даст нам новый максимальный объем параллелепипеда, который можно вписать в эллипсоид. Мы можем быть уверены, что этот параллелепипед будет иметь максимальный объем, поскольку он был преобразован из параллелепипеда с максимальным объемом в сфере.И любой другой параллелепипед, вписанный в эллипсоид, должен был изменить объем во столько же раз, что и этот. Таким образом, параллелепипед максимального объема в сфере соответствует параллелепипеду максимального объема в эллипсоиде.

Это, как мы увидим, значительно упростит задачу. Итак, нам нужно найти максимальный объем параллелепипеда, который можно вписать в единичную сферу. Интуиция может позволить вам догадаться, что это куб, и это действительно так. Но мы собираемся доказать это с помощью множителей Лагранжа.Итак, рассмотрим единичную сферу с центром в начале координат. Его поверхность имеет уравнение в квадрате плюс в квадрате плюс в квадрате, равном единице. Чтобы параллелепипед имел максимальный объем, хотя бы одна из его вершин должна касаться поверхности сферы. В противном случае мы могли бы легко растянуть параллелепипед с одной стороны и увеличить объем. Рассмотрим тогда, без ограничения общности, одну вершину параллелепипеда, касающуюся сферы в положительном октанте; т.е. он имеет координаты 𝑥, 𝑦,, где 𝑥, 𝑦 и 𝑧 положительны.

Теперь рассмотрим ребра, к которым примыкает эта вершина. Мы только что нарисовали здесь первую часть краев. Поскольку вопрос определяет прямоугольный параллелепипед, и мы будем масштабировать эту форму со сферой по трем перпендикулярным осям, эти края также должны быть под прямым углом друг к другу. Таким образом, они останутся под прямым углом друг к другу после преобразования масштабирования. Поскольку эта сфера симметрична по всем трем осям, мы снова можем предположить без ограничения общности, что края параллельны каждой из координатных осей.Если мы теперь продолжим эти ребра дальше, мы можем сделать вывод, что все три ребра будут иметь максимальную длину. Следовательно, прямоугольный параллелепипед будет иметь максимальный объем, когда все три ребра соприкасаются со сферой в своей другой конечной вершине.

Поскольку сфера симметрична относительно всех трех осей, и эти линии параллельны трем осям, вершины параллелепипеда на другом конце этих ребер должны находиться на одинаковом расстоянии вдоль своих соответствующих параллельных осей, но в отрицательном направлении от исходная точка.Таким образом, эта точка должна иметь отрицательные координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧. Эта точка должна иметь координаты 𝑥, отрицательные 𝑦, 𝑧. И эта точка должна иметь координаты 𝑥, 𝑦, отрицательные 𝑧. Это, в свою очередь, означает, что эта сторона имеет длину два 𝑥, эта сторона имеет длину два, а эта сторона имеет длину два 𝑧, что означает, что объем полного прямоугольного параллелепипеда должен быть равным двум 𝑥 умноженным на два 𝑦 раза два 𝑧 равняются восьми 𝑥𝑦𝑧.

Это функция, которую необходимо развернуть. И наше ограничение состоит в том, что наша исходная выбранная точка в, 𝑦, 𝑧 должна лежать на сфере, то есть значения 𝑥, 𝑦 и 𝑧 удовлетворяют уравнению сферы: в квадрате плюс в квадрате плюс в квадрате равны единице.Введя это в обычную форму для функции ограничения, мы имеем равно в квадрате плюс в квадрате плюс в квадрате минус один, равно нулю. Напомним, что функция Лагранжа задается выражением от, 𝜆 равно 𝑓 от плюс от, где 𝑓 — функция, которую нужно максимизировать, 𝑔 — функция ограничения, а 𝜆 — скаляр, известный как множитель Лагранжа. Вектор 𝐱 — это набор переменных, в данном случае 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Итак, в нашем случае 𝐿 из, 𝑦, 𝑧, 𝜆 равно восьми 𝑥𝑦𝑧 плюс 𝜆 умноженное на в квадрате плюс в квадрате плюс 𝑧 в квадрате минус один.Чтобы найти максимум или минимум с учетом ограничения 𝑔, мы берем частные производные лагранжиана по 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝜆; установите их равными нулю; затем решите получившуюся систему уравнений относительно 𝑥, 𝑦 и 𝑧. Нам не нужно явно решать для 𝜆. Давайте сначала освободим место и переместим нашу функцию сюда.

Итак, теперь нам нужно взять частные производные от по 𝑥, 𝑦, 𝑧 и 𝜆. 𝜕𝐿 по 𝜕𝑥 равно восьми 𝑦𝑧 плюс два 𝜆𝑥, 𝜕𝐿 по 𝜕𝑦 равно восьми 𝑥𝑧 плюс два 𝜆𝑦, 𝜕𝐿 по 𝜕𝑧 равно восьми 𝑥𝑦 плюс два 𝜆𝑧, а 𝜕𝐿 по 𝜕𝜆 равно 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате плюс 𝑧 в квадрате минус один, который, как мы заметим, совпадает с функцией ограничения 𝑔.Теперь мы установим все это равными нулю и решим эту систему уравнений относительно 𝑥, 𝑦 и 𝑧.

Судя по симметрии этой системы уравнений, вы можете увидеть, к чему все идет, но давайте продолжим. Мы можем решать эти уравнения в любом порядке. Начнем с первого уравнения, и нам понадобится немного больше места. Из уравнения 1 мы можем переставить так, чтобы было равно отрицательному 𝜆𝑥 над четырьмя. Подставляя это выражение для 𝑧 в уравнение два, мы получаем восемь 𝑥 отрицательных по сравнению с четырьмя 𝑦 плюс два 𝜆𝑦 равны нулю.Разделив на два и взяв 𝜆 в качестве общего множителя перед упрощением, мы получим 𝜆 умноженное на 𝑦 минус 𝑥 в квадрате над 𝑦 равным нулю, что означает, что либо 𝜆 равно нулю, либо 𝑦 минус 𝑥 в квадрате над 𝑦 равно нулю. Если вместо этого мы подставим это выражение для в третье уравнение, мы получим восемь 𝑥𝑦 плюс два 𝜆 отрицательных по сравнению с четырьмя 𝑦 равными нулю.

Переставив и разделив на, что мы можем сделать, поскольку 𝑥, равное нулю, было бы тривиальным результатом с параллелепипедом нулевого объема, мы получаем 16𝑦 в квадрате, равном в квадрате.𝑦 также не равно нулю, поэтому 𝜆 не равно нулю. Следовательно, из нашего предыдущего уравнения мы должны иметь must минус 𝑥 в квадрате над 𝑦 равным нулю. Переставив это уравнение, мы получим в квадрате равно в квадрате, что также равно в квадрате больше 16. Если мы теперь воспользуемся уравнением 4 и подставим в квадрате вместо в квадрате и в квадрате отрицательного 𝜆𝑥 вместо четырех 𝑦, мы получим 𝑥 в квадрате плюс в квадрате плюс минус 𝜆𝑥 больше четырех корней 𝜆 в квадрате больше 16 все в квадрате равно единице.

Все это упрощается до трех 𝑥 в квадрате равняется единице, что затем означает, что в квадрате равно 𝑦 в квадрате равняется одной трети.Из нашего уравнения для 𝑧 мы можем получить в квадрате равно в квадрате 𝑥 в квадрате больше 16𝑦 в квадрате, что упрощается до 𝑥 в квадрате, поэтому в квадрате также равно одной трети. Итак, мы теперь решили эту систему уравнений для 𝑥, 𝑦 и 𝑧, и 𝑥 равно 𝑦 равно 𝑧 равно единице над корнем три. И это положительный корень три, потому что мы изначально заявили, что 𝑥, 𝑦 и 𝑧 положительны. Помните, что каждая сторона параллелепипеда имела длину две, две 𝑦 и две соответственно. Таким образом, каждая сторона этого параллелепипеда имеет одинаковую длину — две над корнем три.

Так что это действительно куб. Его объем равен восьми 𝑥𝑦𝑧, что составляет всего восемь умноженных на единицу над корнем, трижды одну над корнем, трижды, одну над корнем три, что дает нам восемь над тремя корнями три, максимальный объем прямоугольного параллелепипеда, который может быть вписан внутрь. единичная сфера. Теперь нам нужно растянуть эту единичную сферу и куб внутри нее вдоль оси в раз, вдоль оси в раз и вдоль оси в раз. Это масштабирование умножит объем куба на 𝑎, 𝑏 и 𝑐.Таким образом, это дает объем самого большого прямоугольного параллелепипеда, который может быть вписан в этот эллипсоид, как восемь 𝑎𝑏𝑐 над тремя корнями три. Возвращаясь к нашим возможным ответам, мы видим, что это соответствует (а) восьми 𝑎𝑏𝑐 над тремя корнями три.

Калькулятор сфер

Как найти площадь поверхности и объем сферы?

Множество точек в пространстве, одинаково удаленных от заданной точки $ O $, является сферой. Точка $ O $ называется центром сферы.Расстояние от центра сферы до любой точки на сфере называется радиусом этой сферы. Радиус сферы должен быть положительным действительным числом. Отрезок, соединяющий две точки на сфере и проходящий через центр, называется диаметром шара. сфера. Все радиусы сферы равны друг другу. Сферу можно получить, вращая полукруг вокруг диаметра. Две сферы одного радиуса конгруэнтны.

Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.Круг, полученный как поперечное сечение сферы и плоскости, проходящей через центр сферы, называется большим кругом. Любая плоскость, проходящая через центр $ O $ сферы, делит ее на две конгруэнтные части, известные как полусферы.

Найдите стационарную точку:

\ [
{V ‘\ left (x \ right) = 0, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{Hx}} {{R — r}} \ left ({2R — \ frac {{ 3x}} {2}} \ right) = 0, \; \;} \ Rightarrow
{2R — \ frac {{3x}} {2} = 0, \; \;} \ Rightarrow
{x = \ frac {{4R}} {3}.}
\]

Производная положительна слева от этой точки и отрицательна справа. Следовательно, это точка максимума функции \ (V \ left (x \ right).\) Тогда высота параллелепипеда

\ [
{y = \ frac {{H \ left ({R — \ frac {x} {2}} \ right)}} {{R — r}}}
= {\ frac {{H \ left] ({R — \ frac {{4R}} {6}} \ right)}} {{R — r}}}
= {\ frac {{HR \ left ({1 — \ frac {2} {3}) } \ right)}} {{R — r}}}
= {\ frac {{HR}} {{3 \ left ({R — r} \ right)}}.}
\]

Итак, параллелепипед, вписанный в усеченный конус, имеет наибольший объем, когда его стороны равны

\ [{x = \ frac {{4R}} {3},} \; \; \; \ kern-0.3pt {y = \ frac {{HR}} {{3 \ left ({R — r} \верно)}}.2}}}}} {{\ sqrt [3] {4}}}} = {\ frac {{\ sqrt 5 \ sqrt [3] {{3V}}}} {{\ sqrt [6] {2} }}.} \]

Пример 16.

Решение.

Обозначим наклонную высоту конуса через \ (m \) (рисунок \ (16a \)).

Площадь боковой поверхности выражается формулой

\ [{S _ {\ text {L}}} = \ pi Rm. \]

Далее будем обозначать площадь боковой поверхности конуса просто буквой \ (S.{\ large \ frac {1} {2} \ normalsize}} = \ sqrt 2.}
\]

Таким образом, высота конуса с наименьшей площадью боковой поверхности должна быть примерно в \ (1,4 \) раз больше, чем радиус основания.

Интересно, каково отношение высоты к радиусу основания у такого конусообразного мегастроения, как Развлекательный центр «Хан Шатыр» (рисунок \ (16b \))? Если площадь боковой поверхности была одним из критических факторов при проектировании, вполне вероятно, что ее форма должна быть близка к нашему решению.3}}} {{27}}.} \]

Элементы Евклида, Предметный указатель

А B C D E F грамм ЧАС я J K L M N О п Q р S Т U V W Y Z Цифры и символы

A

B

С

D

E

F

G

H

I

Дж К L

M

N

O

P

Q

R

S

Т

U V W X Y Z

Цифры и символы

равносторонний четырехугольник по периметру

Можно ли описать круг вокруг каждой из следующих фигур? Почему или почему нет? a) Параллелограмм c) Прямоугольник b) Ромб d) Квадрат

Согласно статье «Тестирование презервативов на усталость (Polymer Testing, 2009: 567571)», тесты, используемые в настоящее время для c…

Вероятность и статистика для техники и наук

Дан график y = 3xx2. Используйте преобразования, чтобы создать функцию, график которой показан на рисунке. 7.

Исчисление одной переменной

Дано n (A) = 1500, n (A ∪ B) = 2250 и n (A ∠© B) = 310, найдите n (B).

Математические экскурсии (список курсов MindTap)

Определение предела трансцендентальной функции В упражнениях 23-36 найдите предел трансцендентальной функции ….

Исчисление: ранние трансцендентные функции

Каково значение ( X + 1) для следующих баллов: 0, 1, 4, 2? а.8 б. 9 в. 11 дн. 16

Основы статистики для поведенческих наук (список курсов MindTap)

Найдите площадь конечной части параболоида y = x2 + z2, отсеченную плоскостью y = 25. [Подсказка: спроецируйте …

Многопараметрическое исчисление

Выборка имеет среднее значение M = 25 и стандартное отклонение s = 5. В этом примере найдите значение X, соответствующее …

Статистика для поведенческих наук (список курсов MindTap)

В Упражнениях 1520 упростите выражение.17. 16x5yz481xyz54; x 0, y 0, z 0

Прикладное исчисление для управленческих, жизненных и социальных наук: краткий подход

Определите, является ли утверждение истинным или ложным. Если это правда, объясните почему. Если это неверно, объясните, почему или gi …

Исчисление: ранние трансценденталы

Покажите, что предел f (x), когда x приближается к 3, не существует в примере 10.

Исчисление: прикладной подход (курс MindTap Список)

Есть ли число, которое ровно на 1 больше его куба?

Исчисление одной переменной: ранние трансцендентальные методы, том I

Определите, увеличивается ли последовательность, уменьшается или нет.Ограничена ли последовательность? an = 2 + (1) nn

Calculus (Список курсов MindTap)

Для задач 79–99 ответьте на вопрос алгебраическим выражением. Задача 3 Периметр прямоугольника …

Промежуточная алгебра

В упражнениях 1728 используйте логарифмические тождества, чтобы получить недостающую величину.

Конечная математика и прикладное исчисление (Список курсов MindTap)

В задачах 1–4 определите, является ли каждая функция вогнутой вверх или вниз в указанных точках.4.

Математические приложения для управления, жизни и социальных наук

Конечные точки Предположим, что конечная точка, определяемая t, является точкой (35,45) на единичной окружности. Найдите t …

Предварительное вычисление: математика для исчисления (отдельная книга)

Преобразуйте выражения в упражнениях 31-36 в форму положительной экспоненты. 45y3 / 4

Прикладное исчисление

Разделите (используйте форму остатка с r): 47236

Элементарная техническая математика

Решите уравнения из упражнений 126.(x + 1) (x + 2) + (x + 1) (x + 3) = 0

Конечная математика

Прибыль: Работа в розничной торговле и производительность! Как оценивают розничные магазины? Один из способов ответить на этот вопрос — изучить …

Понимание базовой статистики

Для каждого из следующих трех размеров выборки постройте доверительный интервал 95 для доли населения …

Основы статистики

Кения Доусон имела налоговое обязательство в размере 14 600 долларов в прошлом году. Кроме того, она задолжала 2336 долларов по другим налогам.Она была …

Современная математика для бизнеса и потребителей

Расширение логарифмического выражения В упражнениях 21-30 используйте свойства логарифмов для расширения логарифма …

Исчисление одной переменной

Определите, является ли последовательность сходится или расходится. Если сходится, найдите предел. 23. an = 3 + 5n2n + n2

Исчисление с одной переменной: ранние трансцендентальные методы

В вопросах с 1 по 8 заполните каждый пробел соответствующим словом или выражением.Стандартный вектор …

Тригонометрия (список курсов MindTap)

Упражнения 31. Позвольте быть группой с центром: . Докажите, что если это единственный элемент порядка в, то.

Элементы современной алгебры

В упражнениях 7–16 определите, находится ли данная симплексная таблица в окончательной форме. Если да, то найдите решение проблемы …

Конечная математика для управленческих, жизненных и социальных наук

Верно или неверно: y ′ + xey = ex + y отделимо.

Учебное пособие по исчислению одной переменной Стюарта: ранние трансцендентальные числа, 8-е

Используя правило трапеции и правило Симпсона в упражнениях 69-72, аппроксимируйте определенный интеграл с помощью T …

: ранние трансцендентные функции (список курсов MindTap) )

Сферические координаты точки с прямоугольными координатами находятся: а) б) в) г)

Учебное пособие по многомерному исчислению Стюарта, 8-е

Рассмотрим регрессионное исследование, включающее зависимую переменную y, количественную независимую переменную x1 и кота…

Статистика для бизнеса и экономики, пересмотренная (Список курсов MindTap)

Решите каждое из следующих уравнений, используя принцип вычитания равенства. Проверяйте каждый ответ. 62 = a + 19

Математика для машинных технологий

Высшая лига бейсбола (MLB) включает две группы команд в лигах. В каждой Америке по 15 команд …

Введение в статистику и анализ данных

Сравните и сопоставьте четыре шкалы измерения (номинальную, порядковую, интервальную и пропорциональную) и определите пример…

Методы исследования поведенческих наук (Список курсов MindTap)

Найдите горизонтальные асимптоты, если таковые имеются, каждой рациональной функции. Не наносите график функции. f (x) = x2x2x + 11

College Algebra (Список курсов MindTap)

Простая случайная выборка из 400 человек дает 100 ответов «Да». а. Какова точечная оценка опоры …

СТАТИСТИКА F / БИЗНЕС + ЭКОНОМИКА-ТЕКСТ

Опишите, как репликация защищает от мошенничества, совершаемого в исследованиях.

Методы исследования поведенческих наук (Список курсов MindTap)

Данные моделирования Тормозной путь автомобиля на сухом ровном асфальте, движущемся со скоростью v (в километрах …

Расчет

Оценка предела в Упражнения 15-42, оцените предел, при необходимости используя правило LHpitals limx0sin5xtan9x

Исчисление (список курсов MindTap)

Преобразование прямоугольной формы в сферическую В упражнениях 3136 преобразуйте точку из прямоугольных координат в сферические…

Многопараметрическое исчисление

Постройте график стандартного нормального распределения. Обозначьте горизонтальную ось значениями 3, 2, 1, 0, 1, 2 и …

Основы статистики для бизнеса и экономики

Связь видов и ареалов Число видов данной таксономической группы в пределах данной среды обитания часто остров — это …

Функции и изменения: подход к моделированию алгебры колледжа (список курсов MindTap)

Используйте биномиальную теорему, чтобы расширить выражения в 19–27.27. (x2 + 1x) 5

Дискретная математика с приложениями

Преобразуйте 57,0260 в десятичное.

Математика: практическая одиссея

3. Производственная линия предназначена для наполнения картонных коробок стиральным порошком до среднего веса 32 унции …

Современная бизнес-статистика с помощью Microsoft Office Excel (с печатной картой доступа XLSTAT Education Edition ) (Список курсов MindTap)

КАК ВЫ ЭТО ВИДИТЕ? Определите, имеет ли приведенная ниже матрица форму эшелона строк, сокращенную форму эшелона строк или нейтральную форму…

College Algebra

Модель населения Дифференциальное уравнение dpdt = (kcost) P, где k — положительная константа, является моделью человеческого p …

Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями моделирования (курс MindTap Список)

В следующих упражнениях выполните интеграцию, используя указанную замену. 364. e2x1e 2xdx; u = e2x

Calculus Volume 2

Используйте информацию в таблице 3.19, чтобы ответить на следующие восемь упражнений. В телеграмме показана политическая партия а…

Вступительная статистика

Для следующих упражнений создайте таблицу, чтобы нарисовать график каждой функции, используя следующие значения: x …

Calculus Volume 1

Многогранники, описанные вокруг сферы Многогранник называется описанным вокруг сферы, если плоскости всех ее граней касаются сферы. Сама сфера называется. Сочетание шара с усеченной пирамидой

«Сфера политики» — Отношения социальных субъектов о государственной власти.Научно-теоретический. Процесс взаимодействия политики с экономикой. Вместе с государством. Регулирование общественных отношений обусловлено общественными интересами. Процесс взаимодействия политики с моралью. Сила государства, убеждение, возбуждение.

«Геометрия призмы» — Дана прямая четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. Евклид, вероятно, считал практические руководства по геометрии делом. Прямая призма — призма, боковая грань которой перпендикулярна основанию.Призма в геометрии. По свойству 2-х объемов V = V1 + V2, то есть V = SABD h + SBDC h = (SABD + SBDC) h. Итак, треугольники A1B1C1 и ABC равны с трех сторон.

«Объем призмы» — Как найти объем прямой призмы? Объем исходной призмы равен произведению S · h. Основные шаги доказательства теоремы о прямой призме? Площадь основания S исходной призмы. Рисуем высоту треугольника ABC. Задача. Прямая призма. Цели урока. Концепция призмы. Объем прямой призмы.Решение проблемы. Призму можно разделить на прямые треугольные призмы высотой h.

«Поверхность сферы» — Марс. Мяч мяч? Шар и сфера. Земной шар. Энциклопедия. Мы болеем за нашу школьную бейсбольную команду. Венера. Уран. Есть ли на картинке мяч? Немного истории. Атмосфера. Я решил провести небольшое исследование ……. Сатурн. Готовы ответить на вопросы?

Многогранник, описанный вокруг сферы Многогранник называется описанным вокруг сферы, если плоскости всех его граней касаются сферы.Сама сфера называется вписанной в многогранник. Теорема. Сферу можно вписать в призму тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать круг, а высота призмы равна диаметру этого круга. Теорема. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу, причем только одну.

Упражнение 1 Сотрите квадрат и нарисуйте два параллелограмма, представляющих верх и низ куба. Соедините их вершины отрезками.Получите изображение сферы, вписанной в куб. Нарисуйте сферу, вписанную в куб, как на предыдущем слайде. Для этого нарисуйте эллипс, вписанный в параллелограмм, полученный 4-кратным сжатием круга и квадрата. Отметьте полюса сферы и точки касания эллипса и параллелограмма.

Упражнение 1 Сфера вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой находится ромб со стороной 1 и острым углом 60 °.Найдите радиус сферы и высоту призмы. Решение. Радиус сферы равен половине высоты DG основания, т.е. высота призмы равна диаметру сферы, т.е.

Упражнение 4 Сфера вписана в прямую четырехугольную призму, в основании которой находится четырехугольник, периметр 4 и площадь 2. Найдите радиус r вписанной сферы. Решение. Обратите внимание, что радиус сферы равен радиусу круга, вписанного в основание призмы.Воспользуемся тем, что радиус вписанной в многоугольник окружности равен площади этого многоугольника, деленной на его полупериметр. Мы получили

Упражнение 3 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна 2, а двугранные углы при основании равны 60 °. Решение.Воспользуемся тем, что центр вписанной сферы является точкой пересечения биссектральных плоскостей двугранных углов в основании пирамиды. Для радиуса сферы OE имеет место равенство, следовательно,

Упражнение 4 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, боковые стороны которой равны 1, а плоские углы при вершине равны 90 °. Ответ: Решение. В тетраэдре SABC имеем: SD = DE = SE = Из подобия треугольников SOF и SDE получаем уравнение, решив которое, находим

Упражнение 1 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, все стороны которой равны 1.Воспользуемся тем, что для радиуса r окружности, вписанной в треугольник, имеет место формула: r = S / p, где S — площадь, p — полупериметр треугольника … В нашем случае S = p = Решение. Радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник SEF, в котором SE = SF = EF = 1, SG = Следовательно,

Упражнение 2 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 1, а сторона стороны — 2.Воспользуемся тем, что для радиуса r окружности, вписанной в треугольник, имеет место следующая формула: r = S / p, где S — площадь, p — полупериметр треугольника. В нашем случае S = p = Решение. Радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник SEF, в котором SE = SF = EF = 1, SG = Следовательно,

Упражнение 3 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 2, а двугранные углы при основании равны 60 °.Решение. Воспользуемся тем, что центр вписанной сферы является точкой пересечения биссектральных плоскостей двугранных углов в основании пирамиды. Для радиуса сферы OG имеет место равенство, следовательно,

Упражнение 4 Единичная сфера вписана в правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна 4. Найдите высоту пирамиды. Воспользуемся тем, что для радиуса r окружности, вписанной в треугольник, верна следующая формула: r = S / p, где S — площадь, p — полупериметр треугольника.В нашем случае S = 2h, p = Solution. Обозначим высоту SG пирамиды через h. Радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник SEF, в котором SE = SF = EF = 4. Следовательно, имеем равенство, из которого находим

Упражнение 1 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с ребрами основания, равными 1, и боковыми ребрами, равными 2. Мы будем использовать тот факт, что для радиуса r окружности, вписанной в треугольник, следующая формула принимает место: r = S / p, где S — площадь, p — полупериметр треугольника.В нашем случае S = p = Следовательно, Решение. Радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в треугольник SPQ, в котором SP = SQ = PQ = SH =

Упражнение 2 Найдите радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с ребрами основания, равными 1, и двугранными углами при основании, равными 60 градусам. Решение. Воспользуемся тем, что центр вписанной сферы является точкой пересечения биссектральных плоскостей двугранных углов в основании пирамиды.Для радиуса сферы OH имеет место равенство, следовательно,
Упражнение Найдите радиус сферы, вписанной в единичный октаэдр. Ответ: Решение. Радиус сферы равен радиусу окружности, вписанной в ромб СЭСФ, у которого SE = SF = EF = 1, SO = Тогда высота ромба, сброшенного с вершины E, будет равна Требуемый радиус равен половине высоты и равен O

Упражнение Найдите радиус сферы, вписанной в единичный икосаэдр.Решение. Воспользуемся тем фактом, что радиус OA описанной сферы равен, а радиус AQ окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника со стороной 1, равен По теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику OAQ, мы получаем Упражнение Найти радиус сферы, вписанной в единичный додекаэдр. Решение. Мы используем тот факт, что радиус OF описанной сферы равен, а радиус FQ окружности, описанной вокруг равностороннего пятиугольника со стороной 1, равен По теореме Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику OFQ, получаем

Упражнение 1 Можете ли вы вписать сферу в усеченный тетраэдр? Решение.Отметим, что центр O сферы, вписанной в усеченный тетраэдр, должен совпадать с центром сферы, вписанной в тетраэдр, который совпадает с центром половины сферы, вписанной в усеченный тетраэдр. Расстояния d 1, d 2 от точки O до шестиугольной и треугольной граней вычисляются по теореме Пифагора: где R — радиус полувписанной сферы, r 1, r 2 — радиусы окружностей, вписанных в шестиугольник и треугольник соответственно. Так как r 1> r 2, то d 1 r 2, затем d 1

Тема «Различные задачи для многогранников, цилиндра, конуса и шара» — одна из самых сложных в курсе геометрии 11 класса.Прежде чем решать геометрические задачи, они обычно изучают соответствующие разделы теории, на которые ссылаются при решении задач. В учебнике С. Атанасяна и соавт. По этой теме (стр. 138) можно найти только определения многогранника, описанного вокруг сферы, многогранника, вписанного в сферу, сферы, вписанной в многогранник, и сферы, описанной около многогранника. Методические указания к этому учебнику (см. Книгу С.М. Саакяна и В.Ф. Бутузова «Изучение геометрии в 10-11 классах», с.159) говорят, какие сочетания тел учитываются при решении задач № 629-646, и обращают внимание на то, что «при решении той или иной задачи, прежде всего, необходимо обеспечить, чтобы учащиеся хорошо представляли взаимное расположение тел, указанное в условии ». Ниже приводится решение задач № 638 (а) и № 640.

Учитывая все вышесказанное, а также тот факт, что наиболее сложными задачами для студентов являются задачи совмещения мяча с другими телами, необходимо систематизировать соответствующие теоретические положения и довести их до студентов.

Определения.

1. Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник — описанным вокруг шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

2. Говорят, что шар описан вокруг многогранника, а многогранник вписан в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.

3. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус), описывается около шара, если поверхность шара касается оснований (основания) и всех образующих. цилиндра, усеченный конус (конус).

(Из этого определения следует, что большой круг шара может быть вписан в любое осевое сечение этих тел).

4. Шар называется описанным вокруг цилиндра усеченным конусом (конусом), если основные окружности (базовая окружность и вершина) принадлежат поверхности шара.

(Из этого определения следует, что вокруг любого осевого сечения этих тел можно описать окружность большего круга шара).

Общие замечания о положении центра мяча.

1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссектрисных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он находится только внутри многогранника.

2. Центр шара, описанного вокруг многогранника, лежит на пересечении плоскостей, перпендикулярных всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может располагаться внутри, на поверхности и снаружи многогранника.

Комбинация шара с призмой.

1. Шар, вписанный в прямую призму.

Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму тогда и только тогда, когда в основание призмы можно вписать круг, а высота призмы равна диаметру этого круга.

Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, находится на середине высоты призмы, проходящей через центр круга, вписанного в основание.

Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольные, правильные, четырехугольные (в которых суммы противоположных сторон основания равны друг другу) при условии H = 2r, где H — высота призмы, r — радиус окружности, вписанной в основание.

2. Шар, описанный рядом с призмой.

Теорема 2. Шар можно описать рядом с призмой тогда и только тогда, когда призма прямая и круг можно описать возле ее основания.

Следствие 1 … Центр шара, описанного для прямой призмы, находится на середине высоты призмы, проведенной через центр круга, описанного для основания.

Следствие 2. Шар, в частности, можно описать: около прямой треугольной призмы, около правильной призмы, около прямоугольного параллелепипеда, около прямой четырехугольной призмы, в которой сумма противоположных углов основания равна 180 градусам.

Из учебника Л.С. Атанасян для комбинации шара с призмой можно предложить задачи № 632, 633, 634, 637 (а), 639 (а, б).

Сочетание шара с пирамидой.

1. Шар, описанный вокруг пирамиды.

Теорема 3. Шар можно описать рядом с пирамидой тогда и только тогда, когда можно описать круг возле его основания.

Следствие 1. Центр шара, описанного вокруг пирамиды, находится в точке пересечения прямой линии, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной вокруг этого основания, и плоскости, перпендикулярной любой боковой стороне. край, проведенный через середину этого края.

Следствие 2. Если боковые грани пирамиды равны друг другу (или одинаково наклонены к плоскости основания), то вокруг такой пирамиды можно описать шар. Центр этого шара в данном случае лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежащего в плоскости бокового ребра и высоты.

Следствие 3. Шар, в частности, можно описать: около треугольной пирамиды, около правильной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, в которой сумма противоположных углов равна 180 градусам.

2. Шар, вписанный в пирамиду.

Теорема 4. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую ​​пирамиду можно вписать шар.

Следствие 1. Центр шара, вписанного в пирамиду, боковые грани которого одинаково наклонены к основанию, находится в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла у основания. пирамиды, сторона которой равна высоте боковой грани, проведенной от вершины пирамиды.

Следствие 2. В правильную пирамиду можно вписать шар.

От Л.С. В учебнике Атанасяна по соединению шара с пирамидой можно предложить задачи № 635, 637 (б), 638, 639 (в), 640, 641.

Сочетание шара с усеченной пирамидой.

1. Шар, описанный вокруг правильной усеченной пирамиды.

Теорема 5. Сферу можно описать вокруг любой правильной усеченной пирамиды.(Этого условия достаточно, но не обязательно)

2. Шар, вписанный в правильную усеченную пирамиду.

Теорема 6. Шар может быть вписан в правильную усеченную пирамиду тогда и только тогда, когда апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

В учебнике Л.С. для комбинации шара с усеченной пирамидой есть только одна задача. Атанасян (№ 636).

Комбинация мяча с круглыми телами.

Теорема 7. Шар можно описать как цилиндр, усеченный конус (прямой круг), конус.

Теорема 8. Шарик можно вписать в цилиндр (прямой круг) тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний.

Теорема 9. Шар можно вписать в любой конус (прямой круг).

Теорема 10. Шар можно вписать в усеченный конус (прямой круг) тогда и только тогда, когда его образующая равна сумме радиусов оснований.

Из учебника Л.С. Атанасян, задачи № 642, 643, 644, 645, 646 могут быть предложены для комбинации шара с круглыми телами.

Для более успешного изучения материала по данной теме необходимо включить в курс занятий устные задания:

1. Ребро куба равно a. Найдите радиусы шаров: вписанные в куб и описанные вокруг него. (r = a / 2, R = a3).

2. Можно ли описать сферу (шар) вокруг: а) куба; б) прямоугольный параллелепипед; в) наклонный параллелепипед с прямоугольником в основании; г) прямой параллелепипед; д) наклонный параллелепипед? (а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет)

3.Верно ли, что вокруг любой треугольной пирамиды можно описать сферу? (есть)

4. Можно ли описать сферу вокруг любой четырехугольной пирамиды? (Нет, не вокруг четырехугольной пирамиды)

5. Какими свойствами должна обладать пирамида, чтобы описывать сферу вокруг нее? (В его основании должен быть многоугольник, вокруг которого можно описать круг)

6. В сферу вписана пирамида, боковой край которой перпендикулярен основанию.Как найти центр сферы? (Центр сферы — это точка пересечения двух геометрических точек точек в пространстве. Первая — это перпендикуляр, проведенный к плоскости основания пирамиды через центр окружности, описанной вокруг нее. Второй — это перпендикуляр, проведенный к плоскости основания пирамиды. плоскость, перпендикулярная этому боковому краю и проведенная через его середину)

7. При каких условиях можно описать сферу вокруг призмы, в основании которой находится трапеция? (во-первых, призма должна быть прямой, а во-вторых, трапеция должна быть равнобедренной, чтобы вокруг нее можно было описать круг)

8.Каким условиям должна удовлетворять призма, чтобы описать сферу вокруг нее? (призма должна быть прямой, а ее основание должно быть многоугольником, вокруг которого можно описать круг)

9. Сфера описывается рядом с треугольной призмой, центр которой находится вне призмы. Какой треугольник является основанием призмы? (Тупой треугольник)

10. Можете ли вы описать сферу вокруг наклонной призмы? (Нет, нельзя)

11. При каких условиях центр сферы, описываемой прямой треугольной призмой, будет располагаться на одной из боковых граней призмы? (у основания прямоугольный треугольник)

12.Основание пирамиды — равнобедренная трапеция. Ортогональная проекция вершины пирамиды на базовую плоскость — это точка, расположенная вне трапеции. Можно ли описать сферу вокруг такой трапеции? (Да, можно. Тот факт, что ортогональная проекция вершины пирамиды находится за пределами ее основания, не имеет значения. Важно, что у основания пирамиды лежит равнобедренная трапеция — многоугольник, вокруг которого находится окружность можно описать)

13.Рядом с правильной пирамидой описана сфера. Как его центр расположен относительно элементов пирамиды? (Центр сферы находится на перпендикуляре, проведенном к плоскости основания через его центр)

14. При каких условиях центр сферы, описываемой о прямой треугольной призме, находится: а) внутри призмы; б) вне призмы? (В основании призмы: а) остроугольный треугольник; б) тупой треугольник)

15. Сфера описывается вокруг прямоугольного параллелепипеда с ребрами равными 1, 2 и 2 дм.Рассчитайте радиус сферы. (1,5 дм)

16. В какой усеченный конус можно вписать сферу? (В усеченном конусе, в осевое сечение которого можно вписать окружность. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренную трапецию, сумма его оснований должна быть равна сумме его боковых сторон. Другими словами, сумма радиусов оснований конуса должна быть равна образующей)

17. В усеченный конус вписана сфера. Под каким углом видна образующая конуса из центра сферы? (90 градусов)

18.Каким свойством должна обладать прямая призма, чтобы в нее можно было вписать сферу? (во-первых, в основании прямой призмы должен быть многоугольник, в который можно вписать круг, а, во-вторых, высота призмы должна быть равна диаметру окружности, вписанной в основание)

19. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя вписать сферу? (Например, четырехугольная пирамида с прямоугольником или параллелограммом в основании)

20.В основании прямой призмы лежит ромб. Можно ли вписать сферу в эту призму? (Нет, нельзя, так как в общем случае нельзя описать круг вокруг ромба)

21. При каких условиях можно вписать сферу в прямую треугольную призму? (если высота призмы в два раза больше радиуса круга, вписанного в основание)

22. При каком условии сфера может быть вписана в правильную прямоугольную усеченную пирамиду? (Если разрез данной пирамиды плоскостью, проходящей через середину стороны основания, перпендикулярной ей, представляет собой равнобедренную трапецию, в которую можно вписать круг)

23.В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера. Какая точка пирамиды является центром сферы? (Центр сферы, вписанной в эту пирамиду, находится на пересечении трех биссектральных плоскостей углов, образованных боковыми гранями пирамиды с основанием)

24. Можно ли описать сферу вокруг цилиндра (правильного круга)? (Да, можно)

25. Можно ли описать сферу конусом, усеченным конусом (прямым кругом)? (Да, в обоих случаях можно)

26.Можно ли вписать сферу в любой цилиндр? Какими свойствами должен обладать цилиндр, чтобы можно было вписать сферу? (Нет, не каждый: осевое сечение цилиндра должно быть квадратным)

27. Можно ли вписать сферу в каждый конус? Как определить положение центра сферы, вписанной в конус? (Да, в любом.