2

Формулы сокращенного умножения — Математика

Формулы сокращенного умножения

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

2. (a — b)2 = a2 — 2ab + b2.

3. a2 — b2 = (a + b)(a — b).

4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

5. (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3.

6. a3 + b3 = (a + b

)(a2 — ab + b2).

7. a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2).

Раздел «Формулы сокращенного умножения» содержит простые, но в то же время фундаментальные задачи, позволяющие в многочлене увидеть большее, чем просто разложение на множители. Научившись решать такие задачи, вы развиваете интуитивные начала, которые пригодятся в будущем при анализе и решении многих задач.

Применение формул сокращенного умножение не должно доставить много трудностей. Достаточно выучить их и закрепить решением ряда примеров. А посидев некоторое время над многочленами в поисках группировок и разложения на множители, вы вскоре легко станете «щелкать» такие задачи.

Представить в виде многочлена (x2 — )2.

____________________________________

Применяем формулу квадрата разницы и получаем:

(x2 — )2 = (x2)2 — 2·x2· + ()2 = x4 — 2x2 + 5.

Ответ: x4 — 2x2 + 5.


 

Представить в виде многочлена -( — x)(x2 — 3)(

x + ).

_______________________________________________

Очевидно, что можно решить задачу открыв первые две скобки, далее последующие две. Но, если присмотреться, можно заметить более простой путь к решению задачи. А именно — занеся минус в первые скобки и открыв крайние мы получим квадрат разности, который легко преобразуется в многочлен:

-( — x)(x2 — 3)(x + ) = (x — )(x + )(x2 — 3) = (x2 — 3)(x2 — 3) = (x2 — 3)2 = x4 — 6x2 + 9.

Ответ: x4 — 6x2 + 9.


 

Разложить на множители x3 — 3x2 + 4.

________________________________

Глянув на выражение сложно решить, что делать, какую формулу сокращенного умножения здесь применить. Потому для начала нужно сгруппировать выражение так, чтобы применение формулы стало очевидным. Такие решения нетривиальны. Навык, чувство группировки вырабатывается после решения определенного количества подобных задач.

В данной задаче отметим, что отняв и добавив x2 у нас появляются возможные варианты для группирования. Далее применяя формулы сокращенного умножения получаем ответ:

x3 — 3x2 + 4 = x3 + x2 — 4x2 + 4 = x2(x + 1) — 4(x2 — 1) =

= x2(x + 1) — 4(x — 1)(x + 1) = (x2 — 4(x — 1))(x + 1) = (x2 — 4x + 4)(x + 1) = (x — 2)2(x + 1).

Ответ: (x — 2)2(x + 1).


 

Разложить на множители x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4.

_________________________________________

Пусть вас не пугает степень многочлена и неясность, что делать. Начинайте группировать выражения и вскоре вы прийдете к ответу:

x4 — 4x3 + 3x2 + 4x — 4 = x2(x2 — 4x + 3) + 4(x — 1) = x2(x2 — x — 3x + 3) + 4(x — 1) =

= x2(x[x — 1] — 3[x — 1]) + 4(x — 1) = x2(x — 3)(x — 1) + 4(x — 1) = (x — 1)(x2[x — 3] + 4) =

= (x — 1)(x3 — 3x2 + 4).

Так как мы уже решили предыдущую задачу, то знаем, что второй множитель (x3 — 3x2 + 4) равен (x — 2)2(x + 1), а потому:

(x — 1)(x3 — 3x2 + 4) = (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

Ответ: (x — 1)(x + 1)(x — 2)2.

3-8 9 Оценить
квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32
20 Оценить квадратный корень из 18 93}[/latex] называется разностью двух кубов, потому что вычитаются два кубических члена.

Итак, вот формулы, которые обобщают, как разложить на множители сумму и разность двух кубов. Внимательно изучите их. Случай 1: сумма двух кубов

  • Помимо случая «сумма», средний знак трехчленного множителя всегда будет напротив среднего знака данной задачи. Следовательно, это
    минус     .

Случай 2: разность двух кубов

Наблюдения:

  • Помимо случая «разности», средний знак трехчленного множителя всегда будет противоположен среднему знаку данной задачи. Следовательно, это положительных .
94}у[/латекс].

Иногда задача может оказаться неразложимой ни на сумму, ни на разность двух кубов. Если вы видите что-то подобное, постарайтесь исключить общие факторы. Для чисел наибольшим общим делителем является [латекс]3[/латекс], а для переменных наибольшим общим делителем является «[латекс]xy[/латекс]». Следовательно, общий общий множитель будет их произведением, которое равно [латекс]\влево(3\вправо)\влево({ху}\вправо) = 3ху[/латекс].